CN112953875A - 基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，属于信息传输技术领域。基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法基于奇对称、偶对称信号相互正交的特点，依据信号奇偶对称性将需要正交化处理的信号分为奇对称信号、偶对称信号2组；利用半个符号周期信号波形，对奇对称、偶对称信号分组进行正交化处理，并对正交化后信号进行对称拓展，获取整个符号周期信号波形，完成对全部信号的正交化处理。与原椭圆球面波函数信号正交化方法相比，本发明能够有效降低每组参与正交化处理的信号路数、信号抽样点数，在不降低信号功率谱特性、正交性的前提下，能够将信号正交化处理复杂度由原正交化方法的O(QN²)降低为O(QN²/4)。

Description

基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法

技术领域

本发明涉及无线电通信技术，更具体地，本发明涉及一种基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，属于信息传输技术领域。

背景技术

椭圆球面波函数(Prolate Spheroidal Wave Functions,PSWFs)作为一类特殊的非正弦波函数，其无闭式解析解，在实际应用中通常采用数值求解产生。同时，由于PSWFs信号为非周期信号，为保证数值解精度，其时域抽样频率通常要高于Nyquist抽样频率，而数值求解复杂度与抽样点数呈指数关系，系统复杂度较高，特别是对于大时间带宽积PSWFs信号。这无疑增加了PSWFs信号处理时延，严重降低了系统整体传输效率，严重困扰和限制了其工程应用。针对该问题，在实际应用中，通常采用“先产生频谱相互交叠的小时间带宽积PSWFs信号，再正交化处理”的处理思路，理论上可以产生时间带宽积任意大的PSWFs信号。但由于引入正交化处理，且该方法的运算复杂度与参与正交化处理信号路数的平方呈正比，而大时间带宽积对应的信号路数又较多，相应的存在系统复杂度高的不足，这严重限制了大时间带宽积PSWFs信号产生及其工程应用。可以说，PSWFs信号正交化处理复杂度高的不足，俨已成为严重限制大时间带宽积PSWFs信号工程应用的难题之一。

发明内容

本发明的目的在于发明一种基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，降低PSWFs信号正交化处理系统复杂度。本发明提供的信号正交化方法基于奇对称、偶对称信号相互正交的特点，依据信号奇偶对称性将需要正交化处理的信号分为奇对称信号、偶对称信号2组；利用半个符号周期信号波形，对奇对称、偶对称信号分组进行正交化处理，并对正交化后信号进行对称拓展，获取整个符号周期信号波形，完成对全部信号的正交化处理。与原PSWFs信号正交化方法相比，本发明能够有效降低每组参与正交化处理的信号路数、信号抽样点数，在不降低信号功率谱特性、正交性的前提下，能够有效降低信号正交化处理复杂度。

由基于Schmidt、Householder变换、Givens变换的PSWFs信号正交化方法基本原理可知，PSWFs信号正交化处理复杂度与参与正交化处理的信号波形长度、同时参与正交化处理的信号路数呈正比关系。而上述正交化方法在进行正交化处理时，又需要整符号周期信号波形、全部待正交化的PSWFs信号同时参与正交化处理。因此，减少同时参与正交处理的信号路数、信号波形长度，是降低信号正交化处理复杂度的有效途径之一。

根据函数相乘运算的性质可知，不同奇偶对称性的函数相乘后，存在如下关系

因此，对于奇偶对称性不同的函数，函数相乘后产生的新函数，在一个周期时间内，其函数在时域关于中心时刻呈现出奇对称，故其在时域的积分为0。通过上述分析可知，函数间奇偶对称性与正交性之间有着密切的联系，在一定条件下可以互换，对于奇偶对称性不同的函数，其相互正交，此时函数间奇偶对称性为一类特殊的正交性。此外，由奇偶对称性特点可知，具有相同奇偶对称性的PSWFs信号，若能保证其在半个符号周期内相互正交，则其在整个符号周期内同样相互正交。

基于上述奇偶对称信号特点，基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法引入分组处理，先依据椭圆球面波函数信号的奇偶对称性，将需要正交化处理的椭圆球面波函数信号分为2组，一组为奇对称信号Φ_O，一组为偶对称信号Φ_E，其中，O表示奇对称，E表示偶对称；进而，对奇对称信号、偶对称信号分别进行正交化处理，分别获取正交化后信号Φ_O′,Φ_E′；而后，将正交化后信号Φ_O′,Φ_E′信号组合在一起，获取全部正交化后的PSWF信号。具体如下：

假设需正交化的PSWFs信号个数为N，其构成的空间记为

依据PSWFs信号的奇偶对称性，将空间Φ划分为两个子空间，即奇对称信号构成的空间Φ_O，偶对称信号构成的空间Φ_E。

由函数的奇偶对称性可知，空间Φ_O与空间Φ_E中的信号相互正交，即具有天然的正交性。同时，由基于Schmidt、Householder变换、Givens变换的正交化方法基本原理可知，上述方法均通过线性运算的方式，实现对PSWFs信号的正交化处理。此外，由线性运算的性质可知，对于偶对称函数(或奇对称函数)进行线性运算，其实质是按照一定的准则或规则，对函数进行线性加权运算，其结果仍然为偶对称函数(或奇对称函数)，即奇偶对称性相同的函数进行线性运算不改变函数的奇偶对称性。

通过上述分析可知，对偶对称(奇对称)PSWFs信号进行正交化处理，新生成的PSWFs信号仍然为偶对称(或奇对称)信号。因此，对空间Φ_O与空间Φ_E中的PSWFs信号分别进行正交化，正交化后的信号分别组成空间Φ′_O与空间Φ′_E，其空间中的信号仍然具有奇对称、偶对称的特性。同时，由奇偶对称性与正交性间的关系可知，空间Φ′_O与空间Φ′_E中的信号相互正交，故

中的PSWFs信号相互正交，即完成对空间Φ中所有PSWFs信号的正交化处理。具体信号处理流程如下：

步骤1，对待正交化的PSWFs信号按信号奇偶对称性进行分组，奇对称PSWFs信号为一组，记为Φ_O，偶对称信号为一组，记为Φ_E；

步骤2，分别对Φ_O与Φ_E中PSWFs信号进行对折、对称值叠加，获取半个符号周期的PSWFs信号；

步骤3，利用半符号周期信号PSWFs信号进行正交化处理，即对奇对称信号、偶对称信号分别进行正交化处理，并进行对称拓展，获取整符号周期PSWFs信号，即正交化后结果Φ′_O与Φ′_E；

步骤4，将Φ′_O与Φ′_E中已正交化的PSWFs信号组合在一起，即

至此完成对所有PSWF信号的正交化处理。

其中，步骤2中的“对折、对称值叠加，获取半个符号周期的PSWFs信号”具体处理过程、步骤3中的“进行对称拓展，获取整符号周期PSWFs信号”具体处理过程详见专利《严格奇偶对称的PSWF信号构建与信号检测方法(申请号:201911085582.7)》。

此外，在步骤2中，若信号为偶对称信号，正交化处理具体为：

直接对信号进行对折、对称值相加处理，获取半个符号周期的信号波形；

利用半个符号周期信号波形进行正交化处理；

直接对正交化处理后的信号进行对称拓展，获取整个符号周期的正交化后的偶对称信号波形。

在步骤2中，若信号为奇对称信号，正交化处理具体为：

直接对信号进行对折、对称值相减处理，获取半个符号周期的信号波形；

利用半个符号周期信号波形进行正交化处理；

先对正交化处理后的信号符号取反，再进行对称拓展，获取整个符号周期的正交化后的奇对称信号波形。

与现有技术相比，本发明具有如下有益效果：

本发明将N个需正交化处理的PSWFs信号分为2组信号，分别利用半个符号周期信号波形进行正交化处理，有效降低了每组参与正交化处理的信号路数、信号抽样点数，能够有效降低信号正交化处理复杂度。

鉴于基于Givens变换的正交化方法算法复杂度较高，其正交化性能的提高是以牺牲算法复杂度为代价的；基于Schmidt的正交化方法存在舍入误差大、性能不稳定，随着正交化PSWFs信号路数的增加，正交化性能不断下降的不足。因此，在实际工程应用中，通常采用的基于Householder变换的正交化方法。相应的下面将基于Householder变换的正交化方法作为对比对象，对比分析本发明与基于Householder变换的正交化方法间系统复杂度间的差异。

下面以时间复杂度为度量标准，本发明与基于Householder变换的正交化方法计算复杂度进行分析。假设所需进行正交化的PSWFs信号个数为N、采样点数为Q，相应的本发明的加法运算量为QN²/8-N³/6+QN/2、乘法运算量为QN²/4-N³/12，基于Householder变换的正交化方法的加法运算量为QN²/2-2N³/3+QN、乘法运算量为QN²-N³/3。

为更加直观展示，本发明在降低系统复杂度方面的优势，令

式中，C_td,multi,C_td,add分别为基于Householder变换的正交化方法的乘法、加法运算量，C_ip,multi,C_ip,add分别为本发明的乘法、加法运算量。由式(2)可知，随着信号采样点数Q、PSWFs信号路数N的增加，相对于基于Householder变换的正交化方法，本发明复杂度降低的程度不断提高。鉴于乘法运算所需硬件资源远高于加法运算，以乘法复杂度为度量标准，对PSWFs信号正交化方法系统复杂度进行分析。相应的相对于基于Householder变换的正交化方法，本发明将乘加运算次数由O(QN²)降低为O(QN²/4)，最高可降低75％。

总的来说，对于本发明提供的基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，与现有技术相比，本发明所提供的方法能够有效降低每组参与正交化处理的信号路数、信号抽样点数，能够大幅降低正交化处理系统算法复杂度。

附图说明

以下参照附图对本发明具体实施方式和实施例作进一步说明，其中：

图1是基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法原理框图。

图2是不同正交化方法对应PSWFs调制信号功率谱与系统误码性能图。

具体实施方式

在以下的描述中，将描述本发明的多个不同方面，然而，对于本领域内的普通技术人员而言，可仅利用本发明的一部分或全部结构或流程来实施本发明。为了解释的明确性，阐述了特定的数目、配置和顺序，但是很明显，在没有这些特定细节的情况下也可以实施本发明。由于本发明采用的具体技术均为本领域普通技术人员熟知的基本技术，为了不混淆本发明，对于众多周知的特征将不再进行详细阐述。

为了更好说明本发明的实施步骤，同时展现本发明的优良特性，以下结合附图中图1、图2对本发明所提供的基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法进行进一步描述。显然，所描述的实施例仅是本发明的一部分实施例，而不是全部实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。下面结合附图和实施例对本发明作进一步详细描述。

具体仿真参数如下：

1)PSWFs信号：频带3GHz～8GHz，划分为4个频谱交叠度为50％的子波带，不同子波带PSWFs信号时间带宽积c＝4Hz·s，按能量聚集性由高到低，每个子波带取前2阶PSWFs信号，编号为1～8。

2)正交化方法：基于Householder变换的正交化方法、本发明所提供的基于奇偶对称性的信号正交化方法。

3)调制方法及信道条件：2PAM、加性高斯白噪声信道。

图2给出不同PSWFs正交化方法对应调制信号的功率谱，从仿真结果可知，对于本发明与基于Householder变换的正交化方法，二者获得的正交PSWFs信号对应的调制信号具有相同的功率谱特性。

表1基于Householder变换的正交化方法对应PSWFs信号间互相关值

表2本发明对应PSWFs信号间互相关值

表1、表2分别为正交化处理后PSWFs信号间互相关值。从仿真结果可知：

1)本发明能够保证信号间具有良好的正交性，且信号间互相关值的绝对值均在10^-12量级以下，如表1所示。

2)本发明获得的正交PSWFs信号的最大互相关值的绝对值高于原基于Householder变换的正交化方法。如基于Householder变换的正交化方法的最大互相关值的绝对值为1.57×10^-15，本发明所提供的正交化方法的最大互相关值的绝对值为3.35×10^-12，如表1、表2所示。

此外，鉴于PSWFs信号间正交性最终体现在信号的检测性能，下面从信号检测性能角度，对本发明的系统性能做进一步分析。在发射端，第n个码元周期的PSWFs调制信号可表示为

式中，

为第i支路PSWFs信号，T为码元周期，N为PSWFs信号路数。为了便于理论分析且不失一般性，令n＝0，即选择第1个码元周期PSWFs调制信号，即

相应的接收信号可表示为r_l(t)＝s_l(t)+n(t)，n(t)为加性高斯白噪声。相应的第m支路的检测量可以表示为

式中，ε_i,m为第m支路与第i支路PSWFs信号互相关值。由式(5)可知，E_i,j为干扰项，那么E_i,j取值满足怎样的条件时，可保证信号检测性能与理想情况相比，性能不发生明显变化？假设不存在干扰时，第m支路的检测量为

相应的存在干扰时，第m支路的检测量与理想情况的差值为

ΔD_m＝|D_m0-D_m| (7)

下面分析ΔD_m与系统误码性能之间的关系。假设加性高斯白噪声信道条件下，理想情况下(ΔD_m＝0)，信噪比SNR_dB(单位为dB)为

式中，N₀为噪声功率谱密度。相应的当ΔD_m≠0时，信噪比SNR_dB′为

由式(8)可知，当ΔD_m≠0时，与理想情况下相干检测相比，信噪比差距为

同时，由幂级数展开可知，当(ΔD_m/D_m0)²≤1时，式(10)可以表示为

因此，如何依据式(11)，计算ΔD_m，使ΔSNR_dB′＝0，是需要解决的核心问题，即E_i,j取值条件问题，转换为计算ΔD_m的数值。考虑到在工程应用中，两数值差值与数值本身相差3个量级，即可认为两个数相同；且结合式(11)可知，当ΔD_mD_m0为10^-2量级时，ΔSNR_dB′＝O(10^-3)。此时，问题转化为求解满足

的最优解max{ΔD_m/D_m0}。根据式(12)，经过推导计算可知，当ΔD_m/D_m0＝0.0215时，可使ΔSNR_dB′＝O(10^-3)，即max{ΔD_m/D_m0}＝0.0215。

通过上述分析可知，对PSWFs信号进行正交化处理后，只要保证PSWFs信号自相关值与互相关值满足

则PSWFs信号检测性能与理想情况相比，系统检测性能不发生明显变化。

结合表1、表2可知，本发明所提供的正交化方法对应的式(13)所示互相关值与自相关值的比值为10^-12量级。因此，利用本发明所提供的正交化方法获取的正交PSWFs信号进行信息传输时，信号检测性能与理想情况、基于Householder变换的正交化方法相同。在加性高斯白噪声信道条件下，不同正交化方法对应的系统误码性能如图2所示。从仿真结果可知，本发明所提供的正交化方法、基于Householder变换的正交化方法对应的信号检测性能系统与理论值相同。

结合实施例分析可知，总的来说，对于本发明提供的基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，与现有技术相比，具有如下有益效果：

本发明能够有效降低每组参与正交化处理的信号路数、信号抽样点数，在不降低信号功率谱特性、正交性的前提下，能够将信号正交化处理复杂度由原正交化方法的O(QN²)降低为O(QN²/4)，最高可降低75％。

最后需要说明的是，以上具体实施方式和实施例旨在说明本发明的技术方案而不是对技术方法的限制，本发明在应用上可以延伸为其他的修改、变化、应用和实施例，并且因此认为所有这样的修改、变换、应用和实施例都在本发明的精神和教导范围之内。

Claims (3)

1.一种基于奇偶对称性的椭圆球面波函数信号正交化方法，其特征在于，先将需要正交化处理的椭圆球面波函数信号分为2组，一组为奇对称信号Φ_O，一组为偶对称信号Φ_E；进而，对奇对称信号、偶对称信号分别进行正交化处理，分别获取正交化后信号Φ′_O,Φ′_E；而后，将正交化后信号Φ′_O,Φ′_E信号组合在一起，获取全部正交化后的PSWFs信号。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，若信号为偶对称信号，正交化处理具体为：

直接对信号进行对折、对称值相加处理，获取半个符号周期的信号波形；

利用半个符号周期信号波形进行正交化处理；

直接对正交化处理后的信号进行对称拓展，获取整个符号周期的正交化后的偶对称信号波形。

3.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，若信号为奇对称信号，正交化处理具体为：

直接对信号进行对折、对称值相减处理，获取半个符号周期的信号波形；

利用半个符号周期信号波形进行正交化处理；

先对正交化处理后的信号符号取反，再进行对称拓展，获取整个符号周期的正交化后的奇对称信号波形。

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