CN103646011B - 一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法，通过改变Bluestein等式的表达形式，并将线性系统h(n)补零及周期延拓，获得对称的线性系统h(n)；提出了通过存储的L/2+1点线性系统序列计算L点线性系统序列h(n)傅里叶变换的方法；最后将圆周卷积的结果q(n)向左平移N₀个单位，平移之后的前M个值与（k=0,1,…,M‑1）相乘，即可获得频率分辨率得到提高的信号局部频谱。采用上述方案，不仅能够减少线性系统序列及其傅里叶变换的存储数据量，节省存储空间，而且通过存储的L/2+1点线性系统数据即可计算L点线性系统的傅里叶变换，降低了FFT计算量，提高了计算效率。

Description

一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法

技术领域

本发明属于信号频谱细化技术领域，尤其涉及的是一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法。

背景技术

在频谱分析领域，通常采用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform,FFT）对数字信号进行频谱分析。然而FFT只能得到信号取样点的频谱值，得不到取样点之间的频谱信息，即实际频谱的峰值落在取样点频谱之间时，FFT得不到该峰值的真实频率、幅值和相位，对频谱分析造成一定的影响。另外，FFT得到的是整个波带内的频谱图，有时我们只关心某一波段的频谱图，此时就需要对信号进行频谱细化。

频谱细化分析方法就是在信号处理中，把整个频率范围中的某段重点频区局部放大，获得比整个频谱范围的分辨率更高的频谱，从而观察频谱中的细微部分。目前，常用的频谱细化方法是基于线性调频z变换（Chirp-z Transform,CZT）的频谱细化方法。

CZT实现频谱细化的原理是：若信号x(n)（n是整数）是有限长序列，即数据个数为N，则z变换为，公式一：

为适应z可以沿z平面更一般的路径取值，故沿z平面上的一段螺线作等分角的抽样，z的这些抽样点可表示为，公式二：

z_k＝AW^-k k＝0,1,…,M-1

式中M为所要分析的复频谱的点数，不一定等于N，A和W都是任意复数，可表示为，公式三：

式中A₀表示起始抽样点z₀的矢量半径长度，θ₀表示起始抽样点z₀的相角，W₀表示螺线的伸展率，表示两相邻抽样点之间的角度差。

将公式二代入公式一可知，公式四：

直接计算公式四，需要NM次复数乘法和（N-1）M次复数加法，当N、M很大时，计算量很大，限制了运算速度。采用Bluestein（布鲁斯坦）提出的等式，可以将以上运算转换为卷积和的形式，从而可以采用FFT算法，大大提高运算速度。Bluestein提出的等式为，公式五：

将公式五代入公式四可知，公式六：

式中：

由公式六可知，信号x(n)的z变换可以通过求抽样信号g(n)和线性系统h(n)的线性卷积获得。

圆周卷积能够通过FFT实现，效率高，可以采用圆周卷积计算抽样信号g(n)和线性系统h(n)的线性卷积。即选择一个最小的整数L，使其满足L≥N+M-1，且L=2m（m是正整数），以便采用FFT算法。对抽样信号g(n)补L-N个零值点，如公式七：

采用FFT方法，求取抽样信号g(n)的L点傅里叶变换，如公式八：

将线性系统h(n)从n=M开始补L-(N+M-1)个任意值，然后将序列h(n)以L为周期进行周期延拓，再取主值序列，从而得到进行圆周卷积的一个序列h(n)，如公式九：

采用FFT方法，求取线性系统h(n)的L点傅里叶变换为，公式十：

将G(k)和H(k)相乘，获得L点频域离散序列Q(k)=G(k)H(k)。采用FFT方法，求取Q(k)的L点傅里叶逆变换，得到h(n)与g(n)的圆周卷积为，公式十一：

式中前M个值等于h(n)和g(n)的线性卷积，n≥M的值没有意义，不必去求。则信号x(n)的z变换为，公式十二：

通过以上处理，即可获得信号x(n)的局部频谱X(z_k)，提高了频谱的频率分辨率。但现有技术中存在以下缺点：1，现有技术需要对L点线性系统序列h(n)及其傅里叶变换进行存储，占用了较多的存储资源；2，现有技术直接采用FFT计算L点线性系统h(n)的傅里叶变换，一般信号的数据量N较大，使得L也较大，导致L点FFT计算量大，效率低。

因此，现有技术存在缺陷，需要改进。

发明内容

本发明所要解决的技术问题是针对现有技术的不足，提供一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法。

本发明的技术方案如下：

一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法，包括以下步骤：

步骤1：更改Bluestein等式nk的表达形式；

步骤2：将更改的Bluestein等式代入z变换定义式,为公式四：

从而获得抽样信号g(n)和线性系统h(n)，其中x(n)是信号；

步骤3：对抽样信号g(n)补L-N个零值点；

步骤4：采用快速傅里叶变换（FFT）计算L点抽样信号g(n)的傅里叶变换G(k)；

步骤5：对线性系统h(n)补L-(N+M-1)个任意值，然后以L为周期进行周期延拓，取主值序列作为线性系统h(n)的取值；

步骤6：计算线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)；

步骤7：将G(k)和H(k)相乘，获得L点频域离散序列Q(k)=G(k)H(k)；

步骤8：采用FFT法，求取Q(k)的L点傅里叶逆变换，得到h(n)与g(n)的圆周卷积q(n)；

步骤9：根据q(n)求取信号x(n)的局部频谱；

其中，在步骤1中，Bluestein等式更改之后的表达形式为，公式二十一：

其中N₀=(N-M)/2；

在步骤6中，采用以下方法计算线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)：首先，截取线性系统h(n)的前L/2点数据，并在其后补L/2个零值点，组成新的线性系统h₀(n)；其次，采用FFT方法，计算序列h₀(n)的傅里叶变换H₀(k)；最后，根据H₀(k)计算线性系统h(n)的1～L/2-1点傅里叶变换，并根据公式二十六求取线性系统h(n)其余点的傅里叶变换；

在步骤9中，将圆周卷积的结果q(n)向左平移N₀个单位，平移之后的前M个值与（k=0,1,…,M-1）相乘，即可获得频率分辨率得到提高的信号x(n)的局部频谱。

所述的信号频谱细化方法，其中，步骤2中抽样信号g(n)和线性系统h(n)分别为公式二十二：

所述的信号频谱细化方法，其中，补零后的抽样信号g(n)为,公式二十三：

所述的信号频谱细化方法，其中，线性系统h(n)经过周期延拓后的主值序列为,公式二十四：

此时线性系统h(n)满足以下对称形式，公式二十五：

所述的信号频谱细化方法，其中，任意值是零值。

所述的信号频谱细化方法，其中，线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)满足以下对称形式，公式二十六：

所述的信号频谱细化方法，其中，截取线性系统h(n)的前L/2点数据，并在其后补L/2个零值点，组成新的线性系统h₀(n)，表达式为，公式二十七：

所述的信号频谱细化方法，其中，根据h₀(n)的傅里叶变换H₀(k)计算线性系统h(n)的1～L/2-1点傅里叶变换，公式二十九：

所述的信号频谱细化方法，其中，信号x(n)的频谱细化结果具体计算为，公式三十：

采用上述方案，只需存储线性系统序列h(n)及其傅里叶变换前L/2+1点数据即可，减少了数据存储量，节省了存储空间。而且通过存储的L/2+1点线性系统序列h(n)即可计算L点线性系统h(n)的傅里叶变换，降低了FFT计算量，提高了计算效率。

附图说明

图1为本发明信号频谱细化方法流程图。

具体实施方式

以下结合附图和具体实施例，对本发明进行详细说明。

实施例1

若信号x(n)（n是整数）是有限长序列，即数据个数为N，则z变换为，公式一：

为适应z可以沿z平面更一般的路径取值，故沿z平面上的一段螺线作等分角的抽样，z的这些抽样点可表示为，公式二：

z_k＝AW^-k k＝0,1,…,M-1

式中M为所要分析的复频谱的点数，不一定等于N，A和W都是任意复数，可表示为，公式三：

式中A₀表示起始抽样点z₀的矢量半径长度，θ₀表示起始抽样点z₀的相角，W₀表示螺线的伸展率，表示两相邻抽样点之间的角度差。

将公式二代入公式一，可得信号x(n)的频谱细化结果是，公式四：

在计算信号x(n)的频谱细化时，为了克服现有技术的缺陷，本发明提供一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法，如图1所示，包括以下步骤：

步骤1：将Bluestein等式的表达形式更改为，公式二十一：

其中N₀=(N-M)/2；

步骤2：将更改的Bluestein等式代入z变换公式四，则信号x(n)的频谱细化计算式变为，公式二十：

从而获得抽样信号g(n)和线性系统h(n)，公式二十二：

采用圆周卷积计算抽样信号g(n)和线性系统h(n)的线性卷积，即选择一个最小的整数L，使其满足L≥N+M-1，且L=2m（m是正整数），以便采用FFT算法。

步骤3：对抽样信号g(n)补L-N个零值点，公式二十三：

步骤4：采用FFT法计算抽样信号g(n)的L点傅里叶变换G(k)，公式八：

步骤5：将线性系统h(n)从n=M开始补L-(N+M-1)个任意值，任意值优选是零值；然后将补零后的序列h(n)以L为周期进行周期延拓，再取主值序列，从而得到进行圆周卷积的一个序列h(n)，公式二十四：

此时线性系统h(n)满足以下对称形式，公式二十五：

则h(n)的傅里叶变换H(k)满足以下对称形式，公式二十六：

由于线性系统h(n)及其傅里叶变换H(k)都是对称复数序列，在数据存储时，只需存储前L/2+1点数据即可，节省了存储空间。

步骤6：计算线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)。

首先，提取存储的线性系统h(n)前L/2点数据，并在其后补L/2个零值点，组成新的线性系统序列，如公式二十七：

其次，采用FFT方法，计算序列h₀(n)的傅里叶变换，公式二十八：

最后，根据H₀(k)计算线性系统h(n)的1～L/2-1点傅里叶变换，如公式二十九：

根据公式二十六求取线性系统h(n)其余点的傅里叶变换。

通过以上处理，即可通过存储的L/2+1点数据计算L点线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)。由于新的线性系统h₀(n)是由线性系统h(n)的前L/2点数据和L/2个零值点组成的，根据快速傅里叶变换的蝶形运算法则可知，计算新线性系统h₀(n)的快速傅里叶变换比直接计算线性系统h(n)的快速傅里叶变换节省计算量，提高了计算效率。

步骤7：将G(k)和H(k)相乘，获得L点频域离散序列Q(k)=G(k)H(k)；

步骤8：采用FFT法，求取Q(k)的L点傅里叶逆变换，得到h(n)与g(n)的圆周卷积q(n)，公式十一：

步骤9：将圆周卷积的结果q(n)向左平移N₀个单位，平移之后的前M个值等于h(n)和g(n)的线性卷积，将圆周卷积q(n)平移之后的前M个值与（k=0,1,…,M-1）相乘，则可获得信号x(n)的z变换为，公式三十：

即获得了信号x(n)的局部频谱X(z_k)。

通过上述处理获得了信号x(n)的局部频谱X(z_k)，提高了信号频谱的频率分辨率。

本发明通过改变Bluestein等式的表达形式，并将线性系统h(n)补零及周期延拓，获得对称的线性系统h(n)；提出了通过存储的L/2+1点线性系统序列计算L点线性系统序列h(n)傅里叶变换的方法；最后将圆周卷积的结果q(n)向左平移N₀个单位，平移之后的前M个值与（k=0,1,…,M-1）相乘，即可获得频率分辨率得到提高的信号局部频谱。采用上述方案，不仅能够减少线性系统序列及其傅里叶变换的存储数据量，节省存储空间，而且通过存储的L/2+1点线性系统数据即可计算L点线性系统的傅里叶变换，降低了FFT计算量，提高了计算效率。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (8)

1.一种基于线性调频z变换的信号频谱细化方法，包括以下步骤：

步骤1：更改Bluestein等式nk的表达形式；

步骤2：将更改的Bluestein等式代入原始z变换定义式,为公式四：

$X\left(z_k\right)=\underset{n=0}{\overset{N-1}{\Σ}}x\left(n\right)A^{-n}{W}^{nk},k=0,1,...,M-1$

从而获得抽样信号g(n)和线性系统h(n)，其中x(n)是信号；

步骤3：对抽样信号g(n)补L-N个零值点；

步骤4：采用快速傅里叶变换(FFT)计算L点抽样信号g(n)的傅里叶变换G(k)；

步骤5：对线性系统h(n)补L-(N+M-1)个任意值，然后以L为周期进行周期延拓，取主值序列作为线性系统h(n)的取值；

步骤6：计算线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)；

步骤7：将G(k)和H(k)相乘，获得L点频域离散序列Q(k)＝G(k)H(k)；

步骤8：采用FFT法，求取Q(k)的L点傅里叶逆变换，得到h(n)与g(n)的圆周卷积q(n)；

步骤9：根据q(n)求取信号x(n)的局部频谱；

其中，N为有限长序列的信号x(n)的数据个数；M为所要分析的复频谱的点数；L为满足L≥N+M-1，且L＝2m的最小的整数，m是正整数；A和W都是任意复数，表示为: 式中A₀表示起始抽样点z₀的矢量半径长度，θ₀表示起始抽样点z₀的相角，W₀表示螺线的伸展率，表示两相邻抽样点之间的角度差；

其特征在于，在步骤1中，Bluestein等式更改之后的表达形式为，公式二十一：

$nk=\frac{{(n-N_0)}^2+k^2-{(k-n+N_0)}^2+2N_{0}k}{2}$

其中N₀＝(N-M)/2；

在步骤6中，采用以下方法计算线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)：首先，截取线性系统h(n)的前L/2点数据，并在其后补L/2个零值点，组成新的线性系统h₀(n)；其次，采用FFT方法，计算序列h₀(n)的傅里叶变换H₀(k)；最后，根据H₀(k)计算线性系统h(n)的1～L/2-1点傅里叶变换，线性系统h(n)的傅里叶变换H(k)满足以下对称形式，公式二十六：

$\left\{\begin{array}{cc}H\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{L-1}{\Σ}}h\left(n\right)& k=0\\ H\left(k\right)=\underset{n=0}{\overset{L-1}{\Σ}}{(-1)}^{n}h\left(n\right)& k=\frac{L}{2}\\ H(L-k)=H\left(k\right)& k=1,2,...,\frac{L}{2}-1\end{array}\right.$

根据公式二十六求取线性系统h(n)其余点的傅里叶变换；

在步骤9中，将圆周卷积的结果q(n)向左平移N₀个单位，平移之后的前M个值与(k＝0,1,…,M-1)相乘，即可获得频率分辨率得到提高的信号x(n)的局部频谱。

2.如权利要求1所述的信号频谱细化方法，其特征在于，步骤2中抽样信号g(n)和线性系统h(n)分别为公式二十二：

$\left\{\begin{array}{cc}g\left(n\right)=x\left(n\right)A^{-n}{W}^{{(n-N_0)}^2/2}& n=0,1,...,N-1\\ h\left(n\right)=W^{-{(n+N_0)}^2/2}& n=-N+1,-N+2,...,M-1\end{array}\right..$

3.如权利要求2所述的信号频谱细化方法，其特征在于，补零后的抽样信号g(n)为,公式二十三：

$g\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}x\left(n\right)A^{-n}{W}^{{(n-N_0)}^2/2}& n=0,1,...,N-1\\ 0& n=N,N+1,...,L-1\end{array}\right..$

4.如权利要求2所述的信号频谱细化方法，其特征在于，线性系统h(n)经过周期延拓后的主值序列为,公式二十四：

此时线性系统h(n)满足以下对称形式为，公式二十五：

5.如权利要求4所述的信号频谱细化方法，其特征在于，任意值是零值。

6.如权利要求5所述的信号频谱细化方法，其特征在于，截取线性系统h(n)的前L/2点数据，并在其后补L/2个零值点，组成新的线性系统h₀(n)，表达式为，公式二十七：

$h_0\left(n\right)=\left\{\begin{array}{cc}h\left(n\right)& n=0,1,...,\frac{L}{2}-1\\ 0& n=\frac{L}{2},\frac{L}{2}+1,...,L-1\end{array}\right..$

7.如权利要求1所述的信号频谱细化方法，其特征在于，根据h₀(n)的傅里叶变换H₀(k)计算线性系统h(n)的1～L/2-1点傅里叶变换，公式二十九：

$H\left(k\right)=H_0\left(k\right)+H_0(L-k)+{(-1)}^{k}h\left(\frac{L}{2}\right)-h\left(0\right),k=1,2,...,\frac{L}{2}-1.$

8.如权利要求1所述的信号频谱细化方法，其特征在于，信号x(n)的频谱细化结果具体计算为，公式三十：

$X\left(z_k\right)=W^{\frac{k^2}{2}}{W}^{N_{0}k}q(N_0+k),k=0,1,...,M-1.$