CN107527371B - 一种在压缩感知中逼近光滑l0范数的图像重建算法的设计构建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法。在压缩感知的图像重建中首先对图像进行线性测量观测，这样对原始信号既完成了采样又完成了压缩，使信号维数大大降低，所得的测量值通过重建算法又得以恢复出原始信号，因此重建算法的优劣很大程度上决定了图像重建质量的好坏。本发明是在最小L₀范数非凸优化算法和最小L₂范数凸优化算法的基础上，利用凸优化算法和非凸优化算法各自的特点，提出了一种从最小L₂范数逼近最小L₀范数的新型重构算法。这种算法综合了凸优化算法和非凸优化算法各自的优点，加快了图像重建的速度，提高了重建图像的峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)。

Description

一种在压缩感知中逼近光滑L0范数的图像重建算法的设计构 建方法

技术领域

本发明涉及一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，特点是对信号原始信号数据以更低的采样率(测量值)恢复重建出更高精度的原始信号数据，应用于信号的压缩与恢复、图像处理和计算机视觉等，属于信号与信息处理中的信号压缩传输与恢复重建领域。

背景技术

压缩传感的核心是线性测量过程，设x(n)为原始信号，长度为N，通过左乘测量矩阵Φ得到y(m)，长度为M(M<N)。如果x(n)不是稀疏信号，将进行正交稀疏变换得到s(k)，记为x＝Ψs，将测量过程重新写为y＝Θs，其中Θ＝ΦΨ(M×N),称为传感矩阵，过程如图2所示。压缩传感理论主要包括信号的稀疏表示、测量矩阵的构造和重构算法三个方面。

图像稀疏表示是指图像在特定变换基上的系数中一些数值较大的系数集中了图像的大部分能量和信息，而其它系数都为零或者接近于零，这意味着使用少量的比特数就能达到表示图像的目的。通常时域内的自然信号都是非稀疏的，例如，对于一幅自然图像，几乎所有的像素值都是非零的，但是将其变换到小波域时，大多数小波系数的绝对值都接近于零，并且有限的大系数能够表示出原始图像的绝大部分信息。信号的稀疏性是压缩传感理论的基础和前提，本文实验仿真采用离散小波变换基对图像进行稀疏化。

而在测量矩阵的构造方面，它与稀疏基构成的传感矩阵Θ需满足约束等距条件(RIP条件， 1式)，就可以通过以上重构算法恢复出原始信号。

其中，δ_k的最小值称为RIP常数，是衡量RIP性质好坏的一个标准。

RIP条件是保证信号能够重构的充分条件，然而要验证传感矩阵是否满足此条件是一个非常复杂的问题，因此需要有一种简便的、易于实现的RIP条件替代方法。理论与实践证明如果能保证测量矩阵Φ和正交基Ψ不相关，则Θ在很大的概率上满足RIP性质。由于Ψ是固定的,要使得Θ＝ΦΨ满足约束等距条件,可以通过设计测量矩阵Φ解决。通过数学理论和大量的实践表明，常用来做测量矩阵的有贝努力测量矩阵(二值随机测量矩阵)、随机高斯测量矩阵、傅立叶随机测量矩阵、哈达玛测量矩阵，这些矩阵都以较高概率满足RIP条件。本文采用的测量矩阵为超稀疏二值对角测量矩阵，如图3所示，以及采用如图4所示的双侧投影方式。

信号重构算法是指由M次测量向量y重构长度为N(M<N)的稀疏信号s的过程。上述方程组中未知数个数N超过方程个数M，无法直接从y(m)恢复出s(n)，可以通过求解最小L₀范数非凸优化问题(2)加以解决。

但最小L₀范数问题是一个NP-hard问题，需要穷举x中非零值的所有

种排列可能，因而很难求解，虽然找到的解是最稀疏的，但重构的稀疏信号通常不能得到最接近原始稀疏信号的全局最优值。由此常用次最优解算法进行求解，主要包括凸优化算法(最小L₁范数法和最小L₂范数法)、匹配追踪系列算法、迭代阈值法以及专门处理二维图像问题的最小全变分法等。本文提出的新型算法则是由最小L₂范数向最小L₀范数的一个逼近过程，也是一个由凸优化不断向非凸优化的迭代求解过程，能较好地兼顾这两种算法的优势。

发明内容

本发明要解决技术问题为：针对压缩传感图像信号重建中原有算法很难同时兼顾全局最优解和足够低的稀疏度的问题，设计了一种新型的由L₂范数向L₀范数逼近的算法，这种新型算法更好地兼顾了全局最优和足够低的稀疏度。在同等采样率和一样的重建条件下，该方法很好地提高了重建信号的精度和质量。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，该方法基于最小L₂范数的凸优化算法和最小L₀范数的非凸优化算法，提出的一种从L₂范数逼近L₀范数的新型算法，充分利用两者算法的各自优点，降低了算法复杂度的同时提高提高了图像重建的精度。该方法包括如下步骤：

步骤1、首先定义一个逼近函数，通过调节函数中的参数值使逼近函数的函数值从L₂范数向光滑L₀范数逼近，这个逼近函数模型用于近似替代重构的稀疏信号最稀疏表示的解；

步骤2、然后把这个逼近函数的稀疏表示模型作为正则项，使重构图像投影测量值与实际测量值的误差逼近项极小，即求解误差逼近项的最小二乘解，进而重构出稀疏信号；

步骤3、在不断迭代求解重构信号的过程中，逼近函数中的参数值根据重构误差进行自适应调整，从而实现稀疏表示项从L₂向L₀范数的不断逼近，最后达到更加精确重构信号的目的。

其中，由于求最小L₂范数的凸优化算法目标函数是凸的，容易找到全局最优解，算法复杂度也较低，但重构稀疏信号的稀疏度不够高，导致稀疏信号的重构精度不够，从而使图像重建的质量偏低。

其中，由于求最小L₀范数非凸优化算法目标函数是非凸的，容易陷入局部最优解，所以不容易找到全局最优解，算法复杂度较高，但所需测量次数较少，重构信号具有最稀疏的解，因此拥有更好的稀疏信号的重构精度，从而提高图像重建质量。

其中，最小L₂范数凸优化算法更适合对图像的低频的结构和轮廓信息进行重建，而最小 L₀范数的非凸优化算法则更利于对图像高频的细节和纹理图像进行重建，而由L₂范数向L₀范数的逼近过程则是一个不断迭代逼近最优解的过程。

其中，在最小L₂范数逼近最小L₀范数不断迭代逼近最优解的过程中，陷入局部最优和解不稳定性的风险已被降低，而解落入我们需要的全局最优解附近范围的可能性却在大大增加，因此通过这种方式逼近最小L₀范数的算法所得到的解能更好地逼近全局最优值，从而使重构信号的精度得以提高。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明是结合原有的最小L₂范数算法和最小L₀范数算法，设计出了一种逼近光滑 L₀范数的新型算法。中和了两种范数各自的优点，使求解逐步由凸优化向非凸优化过渡，巧妙地避开了求解最小L₀范数的NP难问题，从而以更高的效率和更大的概率逼近全局最优解，并且保证解足够的稀疏度。

(2)本发明从L₂范数逼近L₀范数，无需考虑L₁范数在零点处不解析的问题，且逼近函数f_σ(s)结构形式简单，易于实现。与现在常用的基于匹配追踪的贪婪算法相比，降低了算法复杂度和采样次数，提高了图像信号的重构精度。在相同的采样率下，相较于传统的贪婪算法，提高了重构图像的峰值信噪比(PSNR)和结构相似度(SSIM)。

(3)一般来说压缩感知图像重建对于高纹理细节类的图像重建效果都较差，相比于低频成分较多的图像，本发明所使用的新型算法对含有高频纹理和丰富细节的图像的重建精度提升效果更为明显，使图像的细节重建能力有了一定的增强，因此在一定程度上弥补了现有压缩传感技术中对高频纹理类图像重建精度不高的问题。

附图说明

图1为本发明方法用于压缩感知数据信号重建的实现流程图；

图2为本发明中压缩感知线性测量过程的基本原理框图；

图3为本发明中采用的超稀疏二值对角测量矩阵；

图4为发明中所使用的双侧投影方式结构框图；

图5为本发明所定义的逼近函数f_σ(s_i)和s_i、σ的二维和三维关系图；

图6为采样率1/9时不同重建算法重建不同类型图像效果对比图。

具体实施方式

下面结合附图意见具体实施方式进一步说明本发明。

本发明的原理和创新改进之处在于：一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法。通常来说，非凸优化算法尤其是最小L₀范数法具有最稀疏的解，所需测量次数最少，但是算法复杂度最高；基于最小L₁范数的凸优化算法具有很强的重建保证，所需测量次数仅比非凸优化算法略多，但在零点处是非解析的(无法求导)，算法复杂度也通常较高，很难适用于大尺度问题；基于匹配追踪的贪婪算法具有很好的重建速度，但是精确重建的理论保证较弱，重建精度较低。而最小L₂范数法也是一种凸优化算法，能更好地找到全局最优，在零点处也是解析的，但所需测量次数较多，重构稀疏信号的稀疏性通常不能满足要求。结合最小L₂范数和最小L₀范数算法各自的优缺点，由于(2)式是一个迭代求最优解的过程，考虑在迭代过程中采用从L₂范数逼近L₀范数的方式，从而充分利用两者范数求解最小二乘解各自的优点，实现一个从凸优化向非凸优化逐渐转换过渡的求解，由此实现更加精确地重构信号。

一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，该方法基于最小L₂范数的凸优化算法和最小L₀范数的非凸优化算法，提出的一种从L₂范数逼近L₀范数的新型算法，充分利用两者算法的各自优点，降低了算法复杂度的同时提高提高了图像重建的精度。该方法包括如下步骤：

步骤1、首先定义一个逼近函数，通过调节函数中的参数值使逼近函数的函数值从L₂范数向光滑L₀范数逼近，这个逼近函数模型用于近似替代重构的稀疏信号最稀疏表示的解；

步骤2、然后把这个逼近函数的稀疏表示模型作为正则项，使重构图像投影测量值与实际测量值的误差逼近项极小，即求解误差逼近项的最小二乘解，进而重构出稀疏信号；

步骤3、在不断迭代求解重构信号的过程中，逼近函数中的参数值根据重构误差进行自适应调整，从而实现稀疏表示项从L₂向L₀范数的不断逼近，最后达到更加精确重构信号的目的。

其中，由于求最小L₂范数的凸优化算法目标函数是凸的，容易找到全局最优解，算法复杂度也较低，但重构稀疏信号的稀疏度不够高，导致稀疏信号的重构精度不够，从而使图像重建的质量偏低。由于求最小L₀范数非凸优化算法目标函数是非凸的，容易陷入局部最优解，所以不容易找到全局最优解，算法复杂度较高，但所需测量次数较少，重构信号具有最稀疏的解，因此拥有更好的稀疏信号的重构精度，从而提高图像重建质量。最小L₂范数凸优化算法更适合对图像的低频的结构和轮廓信息进行重建，而最小L₀范数的非凸优化算法则更利于对图像高频的细节和纹理图像进行重建，而由L₂范数向L₀范数的逼近过程则是一个不断迭代逼近最优解的过程。在最小L₂范数逼近最小L₀范数不断迭代逼近最优解的过程中，陷入局部最优和解不稳定性的风险已被降低，而解落入我们需要的全局最优解附近范围的可能性却在大大增加，因此通过这种方式逼近最小L₀范数的算法所得到的解能更好地逼近全局最优值，从而使重构信号的精度得以提高。

本发明的一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法。通常来说，非凸优化算法尤其是最小L₀范数法具有最稀疏的解，所需测量次数最少，但是算法复杂度最高；基于最小L₁范数的凸优化算法具有很强的重建保证，所需测量次数仅比非凸优化算法略多，但在零点处是非解析的(无法求导)，算法复杂度也通常较高，很难适用于大尺度问题；基于匹配追踪的贪婪算法具有很好的重建速度，但是精确重建的理论保证较弱，重建精度较低。而最小L₂范数法也是一种凸优化算法，能更好地找到全局最优，在零点处也是解析的，但所需测量次数较多，重构稀疏信号的稀疏性通常不能满足要求。结合最小L₂范数和最小L₀范数算法各自的优缺点，由于(2)式是一个迭代求最优解的过程，考虑在迭代过程中采用从L₂范数逼近L₀范数的方式，从而充分利用两者范数各自的优点，实现一个从凸优化向非凸优化逐渐转换过渡的求解。

本发明的一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法。最小L₂范数凸优化算法更适合对图像低频的结构和轮廓信息进行重建，而最小L₀范数的非凸优化算法则更利于对图像高频的细节和纹理图像进行重建，而由L₂范数向L₀范数的逼近过程则是一个不断迭代逼近最优解的过程。在这个迭代逼近最优解的过程中，降低了陷入局部最优和解不稳定性的风险，而在更大程度上提高了解落入我们所需要的全局最优解附近范围的可能性，因此通过这种方式逼近最小L₀范数的算法所得到的解能更好地逼近全局最优值，从而使重构信号的精度得以提高。

由(2)式可知，Θ是传感矩阵，||s||₀是L₀范数测度，表示向量非零项的数目。由于L₀范数是无多项式的NP困难问题，直接求解是个耗时的组合问题。

在逼近稀疏表示方法中，逼近L₀范数的分解法可解决信号的快速且较高精度的稀疏表示问题。首先定义逼近函数：

从而有

其中，n为稀疏信号向量s的长度，s_i为稀疏信号向量s对应的第i个元素，σ为逼近L₀范数的调制参数，F_σ(s)近似表示s非零较大项的数目。逼近函数f_σ(s_i)和 s_i、σ的关系图如图5所示，当σ较大时，F_σ(s)可以近似表示为L₂范数。根据渐进思想，当σ取值逐渐减小时，F_σ(s)逐渐逼近L₀范数，向量s的L₀范数准则的优化问题可近似表示为‖s‖₀＝F_σ(s)。由图5可知，由于逼近的L₀范数的函数曲线是光滑可导的，因此被称为逼近光滑L₀范数算法。由此，稀疏表示问题的非连续函数‖s‖₀的极小，转化为连续函数F_σ(s)的极小。从而稀疏表示模型(2)式转化为：

模型(4)通常适于普通的稀疏表示，对于压缩感知图像重构的特定逆问题，稀疏表示先验作为正则项，所以求解压缩感知信号重构问题系统的最优解，还应考虑逼近项的约束优化。为此，在模型(4)的基础上，添加重构的逼近项，进而形成了逼近光滑L₀范数稀疏表示的压缩感知图像重构模型：

(5)式中λ为权重平衡参数。上述模型中的稀疏表示先验项以稀疏信号s为处理内容，而误差逼近项是重构图像投影测量值与实际测量值的残差极小，可以视为整幅图像的全局优化。由于是由最小L₂范数逼近最小L₀范数的算法求解方式，F_σ(s)中的σ参数是逐步递减的，因此逼近最小L₀范数稀疏表示的优化问题可采用梯度下降的迭代计算来解决，即在(5)式中对s进行求导，在梯度方向ΔJ(s)进行迭代：

基于梯度下降的逼近最小L₀范数算法的伪代码过程如下：

1)问题描述：传感矩阵Θ，测量值y，原始信号的稀疏表示s；

2)初始化：

Θ^⊥为Θ的伪逆阵，Θ^⊥＝(Θ^TΘ)^-1Θ^T，设衰减序列σ＝[σ₁,…,σ_k]、λ和梯度下降步长μ；

3)循环σ序列k：

a)σ＝σ_k，

b)梯度下降法迭代L次：

(a)梯度下降方向：

(b)梯度方向更新：

(c)约束正交投影：

c)

k＝k+1；

4)结束循环：输出

为最终求得的稀疏信号s。

值得注意的是，在算法求解过程中，随着迭代的进行，误差

越来越小，σ减小使稀疏表示正则项

越来越逼近于L₀范数，同时可以让误差

所占权重逐渐减小，逼近L₀范数的稀疏表示正则项F_σ(s)所占权重逐渐增大。因此λ和σ可以设置成和

的值成正相关的值，从而根据误差

的大小能够自适应地去调整λ和σ的值。

由图5中二维和三维关系图可知，随着σ的逐渐减小，稀疏表示正则项F_σ(s)从近似的L₂范数越来越逼近光滑的L₀范数，在逐渐降低了重构稀疏信号的稀疏度的同时逐渐逼近我们需要的全局最优解，从而降低了算法复杂度和提高了图像重建的精度，从而更加利于压缩感知对图像的重建。

用matlab分别对Peppers、Lena、Barbara和Fingerprint大小为512*512的灰度图来做图像重建的仿真实验，这四幅图像分别是高频成分越来多的不同类型的图像。在采样率为1/9时，用本发明所提出的新型算法(NAL0)重构上述图像，再和正交匹配跟踪算法(OMP)和双三次插值(Bicubic)重建的图像进行效果对比，重建图像如图6所示，统计实验结果数据见表一。

表1 1/9采样率时不同重建算法重建不同类型图像的PSNR/SSIM比较

由表一可知，相较于正交匹配跟踪算法(OMP算法)和双三次插值(Bicubic)重建，新型逼近光滑L₀范数算法(NAL0)重构图像的峰值信噪比和结构相似度都有了一定程度的提高，具有更好的重建精度。且由表一中的数据可以得知，当图像中高频细节纹理成分越来越多时， NAL0算法重构图像的提升效果越好。由图6(d)可以看出，特别是对于像Fingerprint这种指纹类纹理图像，改善效果更为明显，NAL0算法让指纹的纹理细节信息变得更加清晰。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

本技术领域中的普通技术人员应当认识到，以上的实施例仅是用来说明本发明，而并非用作为对本发明的限定，只要在本发明的实质精神范围内，对以上所述实施例变化、变型都将落在本发明权利要求书的范围内。

Claims (4)

1.一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，其特征是：该方法包括如下步骤：

步骤1、首先定义一个逼近函数：

从而有

其中，n为稀疏信号向量s的长度，s_i为稀疏信号向量s对应的第i个元素，σ为逼近L₀范数的调制参数，F_σ(s)近似表示s非零较大项的数目，通过调节函数中的参数值使逼近函数的函数值从L₂范数向光滑L₀范数逼近，这个逼近函数模型用于近似替代重构的稀疏信号最稀疏表示的解；

步骤2、然后把这个逼近函数的稀疏表示模型作为正则项，使重构图像投影测量值与实际测量值的误差逼近项极小，即求解误差逼近项的最小二乘解，进而重构出稀疏信号；

步骤3、在不断迭代求解重构信号的过程中，逼近函数中的参数值根据重构误差进行自适应调整，从而实现稀疏表示项从L₂向L₀范数的不断逼近，最后达到更加精确重构信号的目的；

其中，由于求最小L₂范数的凸优化算法目标函数是凸的，容易找到全局最优解，算法复杂度也较低，但重构稀疏信号的稀疏度不够高，导致稀疏信号的重构精度不够，从而使图像重建的质量偏低。

2.根据权利要求1所述的一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，其特征是：由于求最小L₀范数非凸优化算法目标函数是非凸的，容易陷入局部最优解，所以不容易找到全局最优解，算法复杂度较高，但所需测量次数较少，重构信号具有最稀疏的解，因此拥有更好的稀疏信号的重构精度，从而提高图像重建质量。

3.根据权利要求1或2所述的一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，其特征是：最小L₂范数凸优化算法更适合对图像的低频的结构和轮廓信息进行重建，而最小L₀范数的非凸优化算法则更利于对图像高频的细节和纹理图像进行重建，而由L₂范数向L₀范数的逼近过程则是一个不断迭代逼近最优解的过程。

4.根据权利要求3所述的一种在压缩感知中逼近光滑L₀范数的图像重建算法的设计构建方法，其特征是：在最小L₂范数逼近最小L₀范数不断迭代逼近最优解的过程中，陷入局部最优和解不稳定性的风险已被降低，而解落入我们需要的全局最优解附近范围的可能性却在大大增加，因此通过这种方式逼近最小L₀范数的算法所得到的解能更好地逼近全局最优值，从而使重构信号的精度得以提高。

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