CN110266318B - 一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法。在压缩感知信号重建中，为了用尽可能低的采样率重建出尽可能高精度的原始信号，这就要求测量矩阵满足RIP条件以及测量矩阵和信号稀疏基之间具有尽可能低的相关性。基于相关性理论，本发明提出一种全新的测量矩阵优化算法，将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramm矩阵逼近单位矩阵的问题。首先通过对Gramm矩阵等效单位矩阵求伪逆来对测量矩阵进行初始化，再通过梯度投影的方式使Gramm矩阵去逼近单位矩阵，从而训练学习出一种全新的测量矩阵。与传统常用的测量矩阵相比，新型测量矩阵与稀疏基之间具有更低的相关性，信号重建的精度和质量都得到了有效的提升。

Description

一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优 化方法

技术领域

本发明涉及一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法，特点通过梯度投影的方式使测量矩阵的Gramm矩阵逼近单位矩阵，从而获得一种优化后的测量矩阵，优化后的测量矩阵有效地提高了不同采样率情况下的信号的重建质量和精度，应用于信号的采集与恢复、图像处理和计算机视觉等，属于信号与信息处理中的信号恢复重建领域。

背景技术

压缩传感(Compressed Sensing,CS)理论在2006年被Donoho、Candès等人提出，压缩感知核心思想是在原始信号是稀疏的或者能够进行稀疏表示的前提下，将信号的压缩与采样合并进行，通过测量矩阵用较少的采样次数直接到信号的线性投影值。压缩感知采样并不经过Nyquist采样的中间阶段实现信号的将维压缩，然后根据相应重构算法由测量值直接恢复重建出原始信号，节约了传输和存储成本，降低了计算复杂度。正是由于压缩感知理论对信号低于Nyquist定理的采样，以及信号的高压缩性和可恢复性，让压缩感知在信号处理领域有着广泛的应用。

在压缩感知的采样过程中，首先定义一个原始信号x，x∈Cⁿ，x乘以大小为m×n的测量矩阵Φ得到测量信号y，y∈C^m，m<n。于是就有以下信号测量模型：

y＝Φx+e, (1)

e为方差为σ²的高斯白噪声，y是通过测量矩阵获得的原始信号x的非完备(undercomplete)线性测量。

原始信号的恢复过程相当于信号测量的逆过程。根据信号测量值y恢复出原始信号x，由于y的维数远远小于信号x的维数，必须解一个欠定方程。由于求解欠定方程通常是非常困难的，原始信号x必须是稀疏的或者能够进行稀疏表示。离散信号的稀疏性通常用信号的L0范数加以表示，||x||₀表示x中非零元素的个数。原始信号x的零范数可以作为(1)式的正则项，因此，我们可以获得以下表达。

其中，ε是非负的正常数，为误差上界。

表示重构信号和真实信号的逼近误差。

如果原始信号x是非稀疏的，必须对信号x进行稀疏表示。我们使用稀疏变换正交基或者冗余字典Ψ对x进行稀疏表示with the elements in Cⁿ，Ψ＝[ψ₁,ψ₂,ψ₃,…,ψ_n]。从而有：

其中，S＝[s₁,s₂,s₃,…,s_n]^T，为信号x在稀疏基Ψ上的稀疏表示系数。如果S中大部分系数为零或者接近于零，则说明信号x能够进行稀疏表示，这样的信号能够进行很好的压缩。在本文中，由于离散小波变换较好的稀疏表示能力，我们采用的稀疏基Ψ为离散小波稀疏基。因此为了求解稀疏表示S，我们可以得到(3)式的一种全新表达形式。

其中，

为稀疏系数向量S的求解近似值，因此我们得到原始信号的近似解为

因此，由上面的分析可知，信号的稀疏性、测量矩阵的构造、信号的重构算法为压缩感知理论的三个主要部分。对于信号重构算法，目前常用的算法有贪婪类算法以及最小范数优化类算法以及门限类算法，本发明使用OMP算法来重建信号。

发明内容

本发明要解决技术问题为：基于压缩感知基本原理，测量矩阵对压缩感知信号的测量和重建起着至关重要的作用。一个具有良好性能的测量矩阵能以更低的采样率恢复重建出更高质量的原始信号。通常以测量矩阵是否更好地满足约束等距性(RestrictedIsometry Property,RIP条件)来评判测量矩阵是否具有优良的性能，但通常很难判定测量矩阵是否满足RIP条件。我们将测量矩阵所满足的RIP性质等效于与稀疏基之间的非相关性，并将这种非相关性用测量矩阵的Gramm矩阵逼近单位矩阵来表示。我们通过梯度投影的方式使Gramm矩阵逼近单位矩阵，获得优化后的测量矩阵，从而对构建测量矩阵性能能够定量或者定性地进行分析。相对于传统的常用的测量矩阵，优化后的测量矩阵有效地提高了重建信号的精度和质量。

本发明解决上述技术问题采用的技术方案为：一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法，通过由测量矩阵和稀疏基形成的Gramm矩阵等价于单位矩阵方式对测量矩阵进行初始化，再由梯度投影算法使Gramm矩阵尽可能地去逼近单位矩阵，最后由获得优化后的测量矩阵来进行更高质量的信号重建。该方法包括如下步骤：

步骤1、基于压缩感知测量矩阵采样和恢复信号的基本原理，测量矩阵必须满足约束等距条件(RIP性质)，保证测量矩阵和稀疏基之间的尽可能大的非相关性，因为这样测量矩阵的采样过程才能保证采样到那些不能够被已知的稀疏矩阵所表示的新信息；

步骤2、将这种测量矩阵和稀疏基之间的非相关性等价为测量矩阵和稀疏基构成的Gramm矩阵逼近单位矩阵的问题，而Gramm矩阵逼近单位矩阵的过程可以通过增加正则项转换成目标函数求解最优值的过程；

步骤3、通过Gramm矩阵等于单位矩阵求解伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，使测量矩阵初始值尽可能大概率的落在全局最优解的附近，然后通过梯度投影的方式，不断迭代求解，使目标函数最小化；

步骤4、通过梯度投影的方式求解Gramm矩阵逼近单位矩阵问题获得优化后的测量矩阵，并把优化后的测量矩阵和传统常用的测量矩阵进行压缩感知信号重建的对比实验，从而验证测量矩阵优化方式的有效性。

其中，基于压缩感知信号测量和重建的基本原理，由于很难判定一个测量矩阵是否满足约束等距条件(RIP性质)，将测量矩阵需具备的RIP性质或者满足的和稀疏基之间的非相关性等价于Gramm矩阵逼近单位矩阵的优化问题，这样便于更加定量的分析测量矩阵的性能。

其中，为了使测量矩阵和稀疏基构成的Gramm矩阵尽可能的去逼近单位矩阵，将逼近单位矩阵的问题加上正则项转换成一个目标函数的最小化问题，通过梯度投影的方式求解目标函数的最优化问题。

其中，在通过梯度投影的方式求解目标函数最优化之前，通过求解Gramm矩阵等于单位矩阵伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，从而使测量矩阵的初始值更大概率的落在全局最优解的附近，使后期的算法迭代求解过程以更高的效率去逼近全局最优解。

其中，通过求解伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，然后再通过梯度投影的方式使Gramm矩阵去逼近单位矩阵，从而获得优化后的测量矩阵，和传统常用的测量矩阵相比，优化后的测量矩阵有效地提高了信号重建的质量和精度。

其中，值得注意的是，测量矩阵和稀疏基之间的非相关性只能保证测量矩阵以更大的概率去重建原始信号，为压缩感知精确重建信号的充分条件，而非必要条件。但这种测量矩阵和稀疏基之间的非相关性性对于RIP条件来说，更加直观，也更加便于定量和定性地去分析测量矩阵的性能。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明利用了Gramm矩阵逼近单位矩阵的方式使测量矩阵和稀疏基之间保持尽可能大的非相关性，现有的测量矩阵通常使用随机测量矩阵，虽然随机矩阵和大多数正交基能保持较大的非相关性，但我们通过Gramm矩阵逼近单位矩阵的方式能从数学优化的角度来获更加优秀性能的测量矩阵。

(2)本发明中设计的一种全新生成测量矩阵的方法，首先通过求伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，这样使测量矩阵能在算法迭代求解前能够以更高的概率落在全局最优解附近的区域，这样也提高了优化测量矩阵的效率。而且相对于传统常用的随机矩阵来说，可以根据不同的稀疏基自适应地去优化相对应的测量矩阵，增强了测量矩阵适应稀疏基的能力。

(3)在本发明中，通过梯度投影算法求解目标函数的最小值获得优化后的测量矩阵，不论是对一维稀疏信号还是二维图像非稀疏信号的重建来说，在不同稀疏度和不同采样率的情况下，与传统常用的四类测量矩阵相比，重建一维稀疏信号具有更低的误差，重建二维非稀疏的图像信号具有更高的峰值信噪比和结构相似度。

附图说明

图1为本发明方法得到的优化后的测量矩阵重建信号的流程图；

图2为本发明中优化后的测量矩阵和传统测量矩阵重建一维稀疏信号的结果；

图3为本发明中对于一维稀疏信号的重建MSE和稀疏度之间关系曲线；

图4为本发明中0.25采样率下不同测量矩阵重构House图像结果，其中，图4(a)为高斯随机测量矩阵，图4(b)为伯努利测量矩阵，图4(c)为部分哈达玛测量矩阵，图4(d)为稀疏随机测量矩阵，图4(e)为本发明方法优化后的测量矩阵；

图5为本发明中0.5的采样率下不同测量矩阵重构Fingerprint图像结果，其中，图5(a)为高斯随机测量矩阵，图5(b)为伯努利测量矩阵，图5(c)为部分哈达玛测量矩阵，图5(d)为稀疏随机测量矩阵，图5(e)为本发明方法优化后的测量矩阵。

具体实施方式

下面结合附图意见具体实施方式进一步说明本发明。

本发明的原理和创新改进之处在于：一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法。本发明基于压缩感知信号重建的基本原理，在压缩感知信号重建中，原始信号通过测量矩阵投影得到采样信号，再由采样信号通过重构算法恢复重建出原始信号。为了用尽可能低的采样率和更高的概率恢复重建出尽可能高精度和高质量的原始信号，这就要求测量矩阵满足RIP条件和测量矩阵和信号稀疏基之间具有尽可能低的相关性。基于相关性理论，本发明提出一种全新的测量矩阵优化算法，将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramm矩阵。首先通过对Gramm矩阵逼近单位矩阵求解伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，通过梯度投影迭代求解全局最优的方式使Gramm矩阵去逼近单位矩阵，从而训练学习出一种全新的测量矩阵。与传统常用的测量矩阵相比，优化后的新型测量矩阵更好地满足RIP条件，并且能够自适应地去生成与稀疏基相适应的测量矩阵，对于不同的稀疏基也能保持尽可能低的相关性。不管是对一维稀疏信号和二维非稀疏的图像信号，信号重建的精度和质量都得到了有效的提升。

本发明的一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法。首先，我们介绍在压缩感知理论中测量矩阵性能评价的理论基础。

Candès和Tao对压缩感知中测量矩阵所需满足的条件给出了大量的数学和理论证明，其中一个重要结论就是测量矩阵Φ必须满足约束等距性(Restricted IsometryProperty,RIP)条件：

就可以恢复出原始信号。其中，x为稀疏度为k的任意原始稀疏信号，δ_k为约束等距常数，δ_k∈(0,1)。

然而测量矩阵满足RIP条件只是保证信号以较高概率重构的充分条件，要验证传感矩阵是否满足此条件是一个非常复杂的问题，所以能否找到一种易于实现的RIP条件的替代方法成为构造测量矩阵的关键。文献证明了如果能保证测量矩阵Φ和正交基Ψ不相关，则Φ在很大的概率上满足RIP性质。由于Ψ是固定的，可以通过设计构造测量矩阵Φ尽可能地去满足和稀疏基Ψ的非相关性。只有测量矩阵和稀疏基之间保持尽可能大的非相关性，测量矩阵的采样过程才能保证采样到那些不能够被已知的稀疏矩阵Ψ所表示的新信息。测量矩阵和稀疏基之间非相关条件只能保证测量矩阵以较大概率满足RIP条件，即这种非相关性只是压缩感知信号精确重构的充分条件，而非必要条件。

通过数学理论和大量的实验证明，随机测量矩阵与大多数固定的正交基构成的矩阵不相关。因此，常用来做测量矩阵的还有0、1二值稀疏随机测量矩阵、高斯随机矩阵、伯努利随机测量矩阵、部分哈达玛测量矩阵，这些矩阵都以较高概率满足RIP条件。

根据相关性理论，将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramma矩阵的单位矩阵逼近问题。Gramma矩阵为：

Gram:＝Θ^HΘ,Θ＝ΦΨ， (6)

Gram矩阵越逼近单位矩阵，Φ和Ψ相关性越低。因此构建更加优化的测量矩阵Φ等价于求解以下优化问题：

其中I为n×n的单位矩阵。首先产生一个随机测量矩阵，然后利用信号稀疏基Ψ的信息，根据(7)的优化条件训练学习出一个优化后的测量矩阵，相比于传统的随机测量矩阵，优化后的测量矩阵与稀疏基之间具有更低的相干性。

根据上述我们对测量矩阵性能理论基础的分析，本发明中我们优化测量矩阵的具体实现方式如下：

为了求解(7)式，我们首先明确目标函数，因此我们对(7)进一步变形为：

其中，τ为权重参数。则(8)式则为我们需要最优化求解的目标函数F(Φ)。

我们使用梯度投影的方式寻找目标函数的最小值，目标函数的梯度

通过对(8)式中的Φ求导获得，如(9)式所示。

在我们的算法中，在每次迭代过程中，我们需要不断去更新Φ，即在第k次到第k+1次的迭代过程中，更新Φ^(k)为Φ^(k+1)。我们首先选择一个为正值的标量参数α^(k)>0，定义以下公式：

其中，

为F(Φ)在Φ(^k)处第k次迭代的梯度，Φ(^k)为测量矩阵Φ在第k次迭代中得到的测量矩阵。()₊为取正运算，(x)₊＝max{0,x}。

我们定义第二个标量参数λ^(k)∈[0,1]，从而得到Φ^(k)的更新Φ^(k+1)，

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ(^k)(w^(k)-Φ(^k)) (11)

λ^(k)的引入降低了在迭代过程中某些时候目标函数F(Φ^(k))值增加的可能性，增加了算法求解全局最优解的效率。

在算法的迭代过程中，最开始需要对Φ进行初始化。我们首先根据(7)式假设Θ^HΘ＝I，通过求解Θ^H的伪逆对Θ进行初始化，得到Θ的初始化Θ⁽⁰⁾为：

Θ⁽⁰⁾＝(Θ^H)^⊥＝(ΘΘ^H)^-1Θ＝ΦΨ (12)

由此得到Φ初始化Φ⁽⁰⁾为：

Φ⁽⁰)＝(ΦΨ(ΦΨ)^H)^-1ΦΨΨ^-1 (13)

下面为我们算法的具体步骤：

1.初始化：迭代次数k，k＝0；通过(13)式对Φ进行初始化；参数α的最小和最大值为α_min和α_max,α⁽⁰⁾∈[α_min,α_max].

2.计算δ^(k)：

δ^(k)＝w^(k)-Φ^(k) (14)

3.在λ^(k)∈[0,1]区间上寻找参数λ^(k)：

其中

当(δ^(k))^TBδ^(k)＝0，我们设λ^(k)＝1。

4.回溯线性搜索使F(Φ^(k+1))最小化：

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ^(k)δ^(k)

5.更新α：

γ^(k)＝(δ^(k))^TBδ^(k) (16)

如果γ^(k)＝0,α^(k+1)＝α_max,否则

6.当算法表现收敛并且满足终止条件：

迭代停止，Φ^(k+1)为优化后的测量矩阵；如果不满足终止条件，则k＝k+1，返回步骤2直到满足终止条件。

在本发明中，我们取得一系列参数的经验值，tolA设置为0.01，τ设置为0.35，α_min为1×10^-3，α_max为1×10³。

值得注意的是，由于测量矩阵Φ中的元素可能既有正数也有负数，在算法的实际求解过程中，为了便于求解，我们将Φ分为正数部分u和负数部分v，则Φ可以表示为：

Φ＝体-V,u_ij≥0,v_ij≥0 (19)

u_ij,v_ij和φ_ij分别为体，V和Φ矩阵中的元素，其中u_ij＝(φ_ij)₊，v_ij＝(-φ_ij)₊，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n。(φ_ij)₊为取正运算，(φ_ij)₊＝max{0,φ_ij}。

在由上述算法获得Φ的优化求解值之后，需要对Φ的每一列进行正则化得到我们最终优化后的测量矩阵Φ值，如下所示。

下面我们将通过实验验证这种构建测量矩阵的优化算法的有效性。在等式(13)中，我们首先对Φ进行随机初始化，我们使用离散小波变换作为稀疏基Ψ，从而得到初始化测量矩阵Φ⁽⁰⁾。我们选择OMP算法作为我们压缩感知信号重建的算法，然后由本发明提出的测量矩阵优化算法对测量矩阵进行构建，再对一维稀疏信号和二维非稀疏的图像信号进行重建，并与四种传统测量矩阵重建信号结果作对比。对于一维稀疏信号的重建，我们使用均方误差(Mean Square Error,MSE)评估信号的重建精度，MSE越低表明一维信号的具有更高的重建精度和质量。

我们使用长度为n＝512，稀疏度为k＝200的一维稀疏信号，其中稀疏度为200表示在这长度为512的一维信号中，随机分布着220个值为±1的信号，测量次数m＝256。

由于一维稀疏信号已经是稀疏的了，不需要再将信号进行稀疏变换，因此我们将(13)中的Ψ取做相应维数的单位矩阵。我们通过(1)式获取我们的测量值y，在0.5采样率的情况下通过不同测量矩阵的重构一维稀疏信号的结果如图2所示。

如图2所示，对于长度为512稀疏度为200的一维稀疏信号，相较于其它四种测量矩阵，优化后的测量矩阵重构一维稀疏信号具有最低的重构误差。由于我们使用的测量矩阵都是随机矩阵，而且我们使用矩阵优化算法的初始化矩阵也是随机产生。因此，为了避免实验的偶然性，必须进行更多的实验才能验证测量矩阵具有稳定的性能。我们针对每个稀疏度的一维信号做五次实验，最后取MSE五次实验的平均值。然后根据实验的结果绘出了在采样率为0.5(m＝256)的情况下，对于一维稀疏信号，MSE和稀疏度之间关系曲线，如图3所示。

如图3所示，红色图线表示优化后的测量矩阵。虽然在非常低的稀疏度情况下，优化后的测量矩阵重构稀疏信号的误差高于其它四种测量矩阵，但随着稀疏度的增加，优化后的测量矩阵重构一维稀疏信号的误差则明显低于其它四种常用的测量矩阵。优化后的测量矩阵重建信号表现更优的这个稀疏度区间也是稀疏信号中常见的稀疏度，特别是对于非稀疏信号来说，经过稀疏变换后的稀疏系数稀疏度也常落在这个区间。因此，这种新型测量矩阵优化算法对非稀疏信号的重建还是具有较大的实际意义。

下面我们将对二维非稀疏的图像信号进行恢复重建实验。我们选取了七幅具有代表性的大小为512×512的图像进行实验，分别代表自然场景、人物、动物、纹理和细节图像。为了提高图像重建效率，降低计算复杂度，我们重建图像的方式是分别对图像的每一列(512×1，n＝512)进行单独投影和单独重建，最后把重建的每一列构成最终重建的图像。我们在采样率0.25(m＝128)和0.5(m＝256)的情况下进行了实验。

表1是在采样率0.25(m＝128)时，分别用五种测量矩阵对上述八幅图像进行重建后的图像峰值信噪比和结构相似度的数据统计，峰值信噪比和结构相似度越高表示图像重建的质量和精度越高。同样，每组实验数据经过五次实验平均得到。

表1为0.25采样率情况下五种测量矩阵对不同类型的图像进行重建后的图像峰值信噪比/结构相似度

为了直观地展示优化后的测量矩阵对图像重建的改善效果，图4为表1中的Building图像通过不同测量矩阵的重建图像。

从表1中的数据可知，在0.25的采样率情况下，我们通过新型算法优化后的测量矩阵相较于其它四种测量矩阵而言，对各类图像的重建效果普遍都有一个很好的提升，峰值信噪比大约提高了2到3个dB，结构相似度提高了大约0.1到0.2。另外从图4中的图像实际重建效果来看，四种传统常用的测量矩阵重建图像失真较为严重，具有较大的噪声。优化后的测量矩阵重建图像噪声更小，图像更加清晰明锐，整体图像的质量和视觉效果更佳。

为了进一步验证优化后的测量矩阵对测量矩阵重建二维图像效果的提升，我们在0.5(m＝256)的采样率情况下，再次对上述八幅图像进行了重建实验，得到表2中的结果。

表2为0.5采样率情况下五种测量矩阵对不同类型的图像进行重建后的图像峰值信噪比/结构相似度

观察表2中的数据，在0.5的采样率情况下，优化后的测量矩阵重建图像的统计数据都是最优的，其中峰值信噪比大约提高了1到2.5个dB，结构相似度提高大约0.05到0.15。相较于四种传统测量矩阵，新型优化测量矩阵重建精度和质量都有较大的提升。为了验证这种新型优化测量矩阵对纹理细节图像的重建效果，我们把表中的Pingerprint图像的实际重建结果展示在图5中。

由图5可知，对于这种指纹类的纹理细节图像，在采样率为0.5的情况下。相较于其它四种传统的测量矩阵，新型优化测量矩阵重建图像具有更低的噪声，纹理更加清晰，图像失真较小，具有更好的细节表示能力。

综上所述，在本发明中，通过对一稀疏信号和二维非稀疏的图像信号在不同稀疏度和不同采样率情况下重建实验来验证了新型算法优化测量矩阵的有效性。我们可以知道，相较于传统测量矩阵，新型算法优化后的测量矩阵对图像具有更强的信息提取能力，更好地满足RIP条件和非相关条件，从而能够更高概率的恢复原始信号，重建信号的具有更小的误差，和更高的精度和质量。通过本发明中对测量矩阵优化算法的理论推导和分析，以及信号重建实验。我们能得出结论，这种通过Gramma矩阵梯度投影求解全局最优方式获取得到的测量矩阵相较于传统随机产生的测量矩阵具有更好的性质和性能。对一维稀疏信号和不同种类的非稀疏图像的重建普遍适用，拥有更好的信号重建质量。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

本技术领域中的普通技术人员应当认识到，以上的实施例仅是用来说明本发明，而并非用作为对本发明的限定，只要在本发明的实质精神范围内，对以上所述实施例变化、变型都将落在本发明权利要求书的范围内。

Claims (1)

1.一种在压缩感知信号重建中基于梯度投影算法的测量矩阵优化方法，应用在图像信号处理中，其特征是：该方法包括如下步骤：

步骤1、基于压缩感知测量矩阵采样和恢复信号的基本原理，测量矩阵必须满足约束等距条件(RIP性质)，保证测量矩阵和稀疏基之间的非相关性，因为这样测量矩阵的采样过程才能保证采样到那些不能够被已知的稀疏矩阵所表示的新信息；

步骤2、将这种测量矩阵和稀疏基之间的非相关性等价为测量矩阵和稀疏基构成的Gramm矩阵逼近单位矩阵的问题，而Gramm矩阵逼近单位矩阵的过程通过增加正则项转换成目标函数求解最优值的过程；

步骤3、通过Gramm矩阵等于单位矩阵求解伪逆的方式对测量矩阵进行初始化，使测量矩阵初始值落在全局最优解的附近，然后通过梯度投影的方式，不断迭代求解，使目标函数最小化；

步骤4、通过梯度投影的方式求解Gramm矩阵逼近单位矩阵问题获得优化后的测量矩阵，并把优化后的测量矩阵和传统常用的测量矩阵进行压缩感知信号重建的对比实验，从而验证测量矩阵优化方式的有效性；

将测量矩阵和稀疏基之间的非相关条件等价为Gramma矩阵的单位矩阵逼近问题，Gramma矩阵为：

Gram:＝Θ^HΘ,Θ＝ΦΨ， (6)

其中，Gram:为Gramma矩阵，Φ为测量矩阵，Ψ为信号稀疏基；

Gram矩阵越逼近单位矩阵，Φ和Ψ相关性越低，构建更加优化的测量矩阵Φ等价于求解以下优化问题：

其中I为n×n的单位矩阵，首先产生一个随机测量矩阵，然后利用信号稀疏基Ψ的信息，根据(7)的优化条件训练学习出一个优化后的测量矩阵，相比于传统的随机测量矩阵，优化后的测量矩阵与稀疏基之间具有更低的相干性；

根据对测量矩阵性能理论基础的分析，该方法优化测量矩阵的具体实现方式如下：

为了求解(7)式，首先明确目标函数，因此对(7)进一步变形为：

其中，τ为权重参数，则(8)式则为需要最优化求解的目标函数F(Φ)；

使用梯度投影的方式寻找目标函数的最小值，目标函数的梯度

通过对(8)式中的Φ求导获得，如(9)式所示，

其中，在每次迭代过程中，需要不断去更新Φ，即在第k次到第k+1次的迭代过程中，更新Φ^(k)为Φ^(k+1)，首先选择一个为正值的标量参数α^(k)>0，定义以下公式：

其中，

为F(Φ)在Φ^(k)处第k次迭代的梯度，Φ^(k)为测量矩阵Φ在第k次迭代中得到的测量矩阵，()₊为取正运算，(x)₊＝max{0,x}；

定义第二个标量参数λ^(k)∈[0,1]，从而得到Φ^(k)的更新Φ^(k+1)，

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ^(k)(w^(k)-Φ^(k)) (11)

λ^(k)的引入降低了在迭代过程中某些时候目标函数F(Φ^(k))值增加的可能性，增加了算法求解全局最优解的效率；

在算法的迭代过程中，最开始需要对Φ进行初始化，首先根据(7)式假设Θ^HΘ＝I，通过求解Θ^H的伪逆对Θ进行初始化，得到Θ的初始化Θ⁽⁰⁾为：

Θ⁽⁰⁾＝(Θ^H)^⊥＝(ΘΘ^H)^-1Θ＝ΦΨ (12)

由此得到Φ初始化Φ⁽⁰⁾为：

Φ⁽⁰⁾＝(ΦΨ(ΦΨ)^H)^-1ΦΨΨ^-1 (13)

下面为具体步骤：

1)初始化：迭代次数k，k＝0；通过(13)式对Φ进行初始化；参数α的最小和最大值为α_min和α_max,α⁽⁰⁾∈[α_min,α_max]；

2)计算δ^(k)：

δ^(k)＝w^(k)-Φ^(k) (14)

3)在λ^(k)∈[0,1]区间上寻找参数λ^(k)：

其中

当(δ^(k))^TBδ^(k)＝0，λ^(k)＝1；

4)回溯线性搜索使F(Φ^(k+1))最小化：

Φ^(k+1)＝Φ^(k)+λ^(k)δ^(k)

5)更新α：

γ^(k)＝(δ^(k))^TBδ^(k) (16)

如果γ^(k)＝0,α^(k+1)＝α_max,否则

6)当算法表现收敛并且满足终止条件：

迭代停止，Φ^(k+1)为优化后的测量矩阵；如果不满足终止条件，则k＝k+1，返回步骤2)直到满足终止条件；

取得一系列参数的经验值，tolA设置为0.01，τ设置为0.35，α_min为1×10^-3，α_max为1×10³；

由于测量矩阵Φ中的元素有正数和/或负数，在算法的实际求解过程中，为了便于求解，将Φ分为正数部分u和负数部分v，则Φ表示为：

Φ＝U-V,u_ij≥0,v_ij≥0 (19)

u_ij,v_ij和φ_ij分别为U，V和Φ矩阵中的元素，其中u_ij＝(φ_ij)₊，v_ij＝(-φ_ij)₊，i＝1,2,…,m,j＝1,2,…,n，(φ_ij)₊为取正运算，(φ_ij)₊＝max{0,φ_ij}；

获得Φ的优化求解值之后，需要对Φ的每一列进行正则化得到最终优化后的测量矩阵Φ值，如下所示，

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