CN103595414A - 一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，该方法包括：确立信号每次采样区间、采样点数、恢复先前信号点数，构建低于Nyquist采样定理数的随机稀疏采样；由随机采样时序值设计观测矩阵，设计信号的稀疏表达域的变换矩阵，确定压缩感知矩阵，分离式压缩感知非线性优化信号重构。本发明是以客观世界规律的合理性作为根本，充分利用信号稀疏性，利用变换空间描述信号，建立新信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于香农采样定理要求速率采样信号，同时又可以完全恢复信号，即将对信号的采样转变成对信息的采样，本发明提出一整套完整方法。可用于一维与多维信号，可处理音频、视频、核磁共振等信号。

Description

一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，特别是指一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法。 

背景技术

经典的数据压缩技术，无论是音频压缩（例如 mp3），图像压缩（例如 jpeg），视频压缩（mpeg），还是一般的编码压缩（zip），都是从数据本身的特性出发，寻找并剔除数据中隐含的冗余度，从而达到压缩的目的。这样的压缩有两个特点：第一、它是发生在数据已经被完整采集到之后；第二、它本身需要复杂的算法来完成。相比而言，解码过程反而一般来说在计算上比较简单，以音频压缩为例，压制一个 mp3 文件的计算量远大于播放（即解压缩）一个 mp3 文件的计算量; 

这种压缩和解压缩的不对称性正好同人们的需求是相反的。在大多数情况下，采集并处理数据的设备，往往是廉价、省电、计算能力较低的便携设备，例如傻瓜相机、或者录音笔、或者遥控监视器等等。而负责处理（即解压缩）信息的过程却反而往往在大型计算机上进行，它有更高的计算能力，也常常没有便携和省电的要求。也就是说，我们是在用廉价节能的设备来处理复杂的计算任务，而用大型高效的设备处理相对简单的计算任务。这一矛盾在某些情况下甚至会更为尖锐，例如在野外作业或者军事作业的场合，采集数据的设备往往曝露在自然环境之中，随时可能失去能源供给或者甚至部分丧失性能，在这种情况下，传统的数据采集-压缩-传输-解压缩的模式就基本上失效了;既然采集数据之后反正要压缩掉其中的冗余度，而这个压缩过程又相对来说比较困难，那么我们为什么不直接「采集」压缩后的数据？这样采集的任务要轻得多，而且还省去了压缩的麻烦;

采样定理（又称取样定理、抽样定理）是采样过程所遵循的规律，说明采样频率与信号频谱之间的关系，1928 年由美国电信工程师Nyquist 首先提出，在1948 年由信息论的创始人Shannon 对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中称为香农采样定理。该理论支配着几乎所有的信号/图像等的获取、处理、存储、传输等，即：当一个信号的最高频率为 

时，只要以2

的采样率对此信号进行采样，则可以完美重构信号。这是一个充分而非必要问题，如果对最高频率的一个波形采两个样，属于充分且必要，那么其它一切频率的一个周期的波就采了两个以上的样-充分但非必要。可以看出，香农采样定理并不是最佳的，它没有利用信号自身具有的结构特性-稀疏（相对于信号长度，只有极少数的几个系数非零，其余系数均为零）性，所采集的数据中只有小部分是对我们的实际工作有用的，要保留，而余下的大部分则要舍弃，浪费了大量的空间存储；

Nyquist 采样编解码理论:编码端先对信号进行采样，再对所有采样值进行变换，并将其中重要系数的幅度和位置进行编码，最后将编码值进行存储或传输；信号的解码过程仅仅是编码的逆过程，接收的信号经解压缩、反变换后得到恢复信号；

上述理论存在两个缺陷：（1）由于信号的采样速率不得低于信号带宽（信号最高频率与最低频率之差）的2 倍，这使得硬件系统面临着很大的采样速率的压力；（2）在压缩编码过程中，为了降低存储、处理和传输的成本，大量变换计算得到的小系数被丢弃，造成了数据计算和内存资源的浪费。这种高速采样再压缩的过程浪费了大量的采样资源，于是很自然地引出一个问题：能否利用其它变换空间描述信号，建立新的信号描述和处理的理论框架，使得在保证信息不损失的情况下，用远低于香农采样定理要求的速率采样信号，同时又可以完全恢复信号。 即能否将对信号的采样转变成对信息的采样？本发明是解决该问题的一整套完整方法。

发明内容

（一）要解决的技术问题 

有鉴于此，本发明的主要目的在于提出一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，使采集很少一部分数据（低于Nyquist采样定理数）包含了原信号的全局信息，找到了一种算法能够从这些少量的数据中快速还原出原先的信息来。

  

（二）技术方案

为达到上述目的，本发明提供了一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，该方法包括：

构建观测矩阵Φ：

该观测矩阵Φ包含时间区间（0，T）之间稀疏随机采样M点的时间t_m，重构该区域N点的等效采样间隔T_s；

将待重构信号稀疏表达变换采用傅里叶变换

；压缩感知矩阵

；

分离式压缩感知快速重构方法，频域稀疏信号重构（包括幅度、频率、相位），时域非稀疏信号重构；

频域稀疏信号重构的形成过程

具体包括：

1)计算

，

为N阶单位矩阵，

；

都为N维零向量；

2)给定，迭代终止条件

，迭代次数

；

3)计算，

，

；

4)若

，

，转步骤3)；否则，停止迭代，

。

优选地，所述提取的随机采样点与重构是一组一组进行，原信号在傅里叶域信号具有稀疏性，关键点是与傅里叶域非相关观测矩阵Φ，重建信号的手段是非线性优化。 

优选地，所述一次采样时间区间（0，T），T的取值是信号所含最小频率f倒数的4~10倍，即T=4/f~10/f。 

优选地，所述一次采样时间区间（0，T）随机采M点，M应大于等于重构信号的点数的八分之一，即N≥M≥N/8；等效采样间隔T_s=T/N。 

优选地，所述稀疏压缩传感（Sparse compressive sensing/sampling，CS）,对信号的采样、压缩编码发生在同一个步骤，利用信号的稀疏性，以远低于Nyquist 采样率的速率对信号进行非自适应的测量编码。测量值并非信号本身，而是从高维到低维的投影值，从数学角度看，每个测量值是传统理论下的每个样本信号的组合函数，即一个测量值已经包含了所有样本信号的少量信息。解码过程不是编码的简单逆过程，而是在盲源分离中的求逆思想下，利用信号稀疏分解中已有的重构方法在概率意义上实现信号的精确重构或者一定误差下的近似重构，解码所需测量值的数目远小于Nyquist 理论的样本数；Nyquist 采样与CS 理论的对应关系如表1 所示。 

优选地，音频、视频一帧一帧实时处理。 

  

（三）有益效果

1、本发明提供的这种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，具有采样数少远远低于Nyquist 理论的样本数，所需存储空间小，传输速度快等特点。

2、本发明提供的这种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，与传统方法相比，不是采用奈奎斯特采样定理要求采样率不小于信号最高频率的两倍,而是以客观世界规律的合理性作为根本，更充分的利用信号的稀疏性。 

3、本发明提供的这种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，能将采样、压缩、去噪一并进行，因采样少，采样速度快，它是现代信号处理的一种有力工具。 

  

附图说明

图1为本发明提供的一种稀疏采样与信号感知压缩重构方法流程图； 

图2为本发明提供的压缩采样过程示意过程；

图3 为本发明提供的压缩感知稀疏采样与信号重构实时仿真图。

  

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚明白，以下结合具体实施例，并参照附图，对本发明进一步详细说明。 

本发明的核心内容是：利用信号的稀疏性认识思想和压缩感知的分析方法，设计了与变换基

不相关(Incoherence)的维的随机观测矩阵

设计；使设计的观测矩阵

能从尽可能少的观测值中恢复原始信号，并且

是一种映射: ，M<<N，采样区间[0，T]，在这区间随机采集M点，

，

是（0，1）的随机点；

；等间隔重构复频域N维

；在区间[0，T]以采样间隔

采N点，

。 

信号重构关键就是如何稀疏采样，之后如何重构；这个压缩感知重构也就是找一种

的逆映射:

（频域），或进一步映射:

（时域），本发明设计了一种分离式压缩感知重构方法。 

客观世界的一类事物区别于另一类事物是因为其具有典型区别于其他事物的特征，将这些特征从高维空间点映射低维空间点，然后用一定的子空间来描述这些特征，以达到认识这些特征，从而认识这个事物的目的。 

客观世界的一个事物，如一张图片，一段语音都可以作为高维空间的一个点来描述，用高维空间的压缩感知几何分析方法，分析这些点的分布规律，找到一个合适的稀疏描述方法，即寻找这些点的特征子空间。 

如图1所示，图1为本发明提供的一种稀疏采样与信号感知压缩重构方法流程图，该方法包括以下步骤： 

步骤101：参数初始化：由信号所含最小频率设置每次采样区间（0，T），参考信号所含最大频率设置该区间采样点数M，确定该区间重建点数N（>M），从而确立等效采样间隔

；设置

逆傅里叶变换矩阵

；

步骤102：随机采取M点：

为观测向量；

步骤103：设计

维观测矩阵

，确立压缩感知矩阵

；

步骤104：非线性优化重构傅里叶变换域N维稀疏信号

；

步骤105：重构N维时域信号：

；

步骤106：下一帧信号实时处理转步骤102。

上述步骤101中所述参数初始化的步骤包括： 

1、一次采样时间区间（0，T），T的取值是信号所含最小频率f倒数的4~10倍，即T=4/f~10/f；

2、一次采样时间区间（0，T）随机采M点，M应大于等于重构信号的点数N的八分之一，即N≥M≥N/8；

3、等效采样间隔T_s=T/N；

4、设置

逆傅里叶变换矩阵。

上述步骤102、103中所述随机采样与观测矩阵的形成过程包括： 

1、随机采取M点：

；

2、产生随机观测矩阵：

；

3、压缩感知矩阵

。

上述步骤104、105中所述信号重构的形成过程包括： 

频域稀疏信号重构的形成过程

具体包括：

1)计算

，

为N阶单位矩阵，

；

都为N维零向量；

2)给定

，迭代终止条件，迭代次数

；

3)计算

，

，

；

4)若

，

，转步骤3)；否则，停止迭代，

；

时域信号重构：

。

基于图1所示的一种稀疏采样与信号感知压缩重构方法流程图，图2进一步示出了压缩采样过程示意过程。 

  

以下结合具体的实施例，对本发明提供的这种基于稀疏采样与信号感知压缩重构方法进一步详细说明；实验取信号函数

   

信号最高频率

，在1秒时间内随机采集M=128点，即它的随机等效采样频率

，随机等效采样频率远远小于信号最高频率的2倍，不满足奈奎斯特采样定理；若以这样的频率均匀采样，再傅里叶变换一定存在频谱混叠与泄露，不可能检测到该信号谐波。采M=256点用本文方法重构频域N=

点，分辨率1Hz，原信号所含频率与信号重构所测频率一样，原对应的幅度分别为20、70、150，而该方法所得为1.9823、0.9798、0.4830；原对应的相位分别为30℃、72℃、45℃，而该方法所得为29.9256℃、71.9750℃、45.2006℃；检测结果见图3。将各谐波频率、幅度、初始相位的真实值与检测值绘于同一坐标图，结果十分准确；

图3中的上图为原信号、采样点与重构时域信号，中图为原始信号与重构信号的幅频图，下部原始信号与重构信号的相频图；时域重构信号的相对误差Relative error=

=0. 0139。

  

以上所述的具体实施例，对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，所应理解的是，以上所述仅为本发明的具体实施例而已，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种稀疏采样与信号压缩感知重构方法，其特征在于该方法包括：

构建观测矩阵Φ：

该观测矩阵Φ包含时间区间（0，T）之间稀疏随机采样M点的时间t_m，重构该区域N点的等效采样间隔T_s；

将待重构信号稀疏表达变换采用傅里叶变换

；压缩感知矩阵

；

分离式压缩感知快速重构方法，频域稀疏信号重构（包括幅度、频率、相位），时域非稀疏信号重构。

2.根据权利要求1所述的基于稀疏采样与信号压缩感知重构方法，其特征在于，所述一次采样时间区间（0，T），T的取值是信号所含最小频率f倒数的4~10倍，即T=4/f~10/f。

3.根据权利要求1所述的基于稀疏采样与信号压缩感知重构方法，其特征在于，所述一次采样时间区间（0，T）随机采M点，M应大于等于重构信号的点数的八分之一，即N≥M≥N/8；等效采样间隔T_s=T/N。

4.根据权利要求1所述的基于稀疏采样与信号压缩感知重构方法，其特征在于，所述频域稀疏信号重构的形成过程

具体包括：

1)计算，

为N阶单位矩阵，

；

都为N维零向量；

2)给定

，迭代终止条件

，迭代次数

；

3)计算

，

，

；

4)若

，

，转步骤3)；否则，停止迭代，

。

5.根据权利要求1所述的基于稀疏采样与信号压缩感知重构方法，其特征在于，所述提取的随机采样点与重构是一组一组进行，原信号在傅里叶域信号具有稀疏性，关键点是与傅里叶域非相关观测矩阵Φ，重建信号的手段是非线性优化。

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