CN109191540B - 一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法 - Google Patents

Abstract

一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法，涉及磁共振波谱重建方法。提供一种低采样率情况下重建低强度谱峰的方法。传统方法是利用核范数来约束分块汉克尔矩阵的低秩特性，可能导致低强度谱峰失真或丢失。从磁共振波谱的时间信号特性出发，采用基于截断核范数方法来恢复低强度谱峰。首先提出基于截断核范数的磁共振波谱重建模型，然后进一步优化模型，最后采用迭代算法对模型求解并对磁共振波谱进行重建。该方法能较准确地重建低强度谱峰。

Description

一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法

技术领域

本发明涉及磁共振波谱重建方法，尤其是涉及一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法。

背景技术

在生物医学应用中，磁共振波谱可以确定几乎所有常见官能团的环境，是结构分析的强有力手段之一。在实际运用中，由于核磁共振时间采样时间较长，为了节省采样时间，经常对数据进行欠采样，因此面临磁共振波谱重建问题。基于低秩汉克尔矩阵的方法(X.Qu,M.Mayzel,J.-F.Cai,Z.Chen,and V.Orekhov,“Accelerated NMR spectroscopywith low-rank reconstruction,”AngewandteChemie International Edition,2015，54(3)：852-4；H.Lu,X.Zhang,T.Qiu,J.Yang,J.Ying,D.Guo,Z.Chen,and X.Qu,“Low rankenhanced matrix recovery of hybrid time and frequency data in fast magneticresonance spectroscopy,”IEEE Transactions on Biomedical Engineering,2018，65(4)：809-820)提供了很好的重建结果。但在某些情况下，例如采样率较低时，这些低秩汉克尔矩阵重建方法可能无法可靠地重建低强度峰。

发明内容

本发明的目的在于提供重建精度高，尤其在低强度峰值重建方面效果较好，通过量化谱峰强度相关性，重建的谱峰比对比方法更加准确的一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法。

本发明包括以下步骤：

1)截断核范数的定义：给定一个矩阵

N,M分别为矩阵的行数和列数，其截断核范数||X||_r的定义为min(N,M)-r个最小奇异值之和：

将奇异值按从大到小排列，其中σ_i(X)为X的第i大奇异值；min(N,M)为N,M中最小值；参数r取正整数；

2)建立基于截断核范数的重建模型：

其中，P_ΩX表示对X进行欠采样，X为待重建的二维磁共振谱的时间信号，Y为欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样时间信号，RX为对X构建分块汉克尔矩阵，

表示矩阵的弗罗贝尼乌斯范数的平方，λ为正则化参数并用于权衡||RX||_r和

的重要性；

3)建立基于截断核范数的优化模型：

其中，

AA^H＝I_r×r，BB^H＝I_r×r，A^H，B^H分别为A，B的复共轭转置矩阵，||RX||_*为矩阵RX的核范数，核范数的定义为矩阵的奇异值之和；

4)提出基于截断核范数重建优化模型的求解算法：为求解公式(3)中的重建模型，采用交替乘子算法，令X₁＝Y，在第l次迭代过程中，固定X_l，利用X_l的奇异值分解可计算左奇异向量矩阵A_l和右奇异向量矩阵B_l，代入公式(4)计算得到X_l+1：

其中，

为矩阵

的迹，迹的定义是矩阵

的对角元素之和，利用交替方向乘子法求解模型公式(4)，引入一个中间变量Z，令Z＝RX，将公式(4)松弛为：

公式(5)的增广拉格朗日形式为：

其中，＜·,·＞为向量内积空间，即

表示取复数的实部，参数β取大于零的值,D为拉格朗日乘子；

采用交替乘子法对公式(6)求解，公式(6)的优化问题可以通过求解下式得到：

对X进行求解，结果为：

其中，X^k+1为X第k+1次迭代时的值，Z^k,D^k为Z,D第k次迭代时的值，矩阵右上角符号“-1”表示求矩阵的逆；

采用奇异值收缩算法对Z进行求解，结果为：

其中，Z^k+1为Z第k+1次迭代时的值，

为奇异值收缩算子，A_l,B_l分别为Α,Β第l次迭代的值；

最后，对D求解，结果为：

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1) (10)

其中，τ为迭代步长；

当达到迭代停止准则时，迭代外层停止准则设定为

小于设置的阈值η或达到最大迭代次数，内层迭代停止准则为

小于设定的阈值；当迭代停止时，可根据公式(8)得到完整的矩阵X^k+1，即为磁共振波谱的完整时间信号；

5)对X^k+1进行傅里叶变换得到磁共振波谱。

本发明提供一种低采样率情况下重建低强度谱峰的方法，传统方法是利用核范数来约束分块汉克尔矩阵的低秩特性，可能导致低强度谱峰失真或丢失。本发明从磁共振波谱的时间信号特性出发，采用基于截断核范数方法来恢复低强度谱峰。首先提出基于截断核范数的磁共振波谱重建模型，然后进一步优化模型，最后采用迭代算法对模型求解并对磁共振波谱进行重建，该方法能较准确地重建低强度谱峰。

附图说明

图1是64×64的二维磁共振波谱的参考谱。

图2是本发明的重建谱。

具体实施方式

下面通过具体实施例对本发明作进一步的说明，并给出重建结果。首先使用具有10个峰的二维仿真谱来验证所提出的方法，这里二维磁共振波谱数据大小为64×64，对时域信号实部和虚部分别施加σ＝0.05的高斯噪声。然后使用随机模板对有噪声的时域信号进行欠采样，得到的总采样数据点为410。最后得到真实谱与重建谱之间的谱峰强度相关系数为0.9889。

64×64的二维磁共振波谱的参考谱参见图1，本发明的重建谱参见图2。

具体步骤如下：

1)生成具有10个峰的二维仿真谱，对时域信号实部和虚部分别加入高斯噪声。

2)截断核范数的定义：给定一个矩阵

N,M分别为矩阵的行数和列数，其截断核范数||X||_r的定义为min(N,M)-r个最小奇异值之和：

将奇异值按从大到小排列，其中σ_i(X)为X的第i大奇异值(Y.Hu,D.Zhang,J.Ye,X.Li,and X.He,“Fast and accurate matrix completion via truncated nuclear normregularization,”IEEE Transactions on Pattern Analysis and MachineIntelligence,2013，35(9)：2117-2130)；min(N,M)为N,M中最小值；参数r取正整数。此处r取10，N,M都为64。

3)建立基于截断核范数的重建模型：

其中，P_ΩX表示对X进行欠采样，X为待重建的二维磁共振谱的时间信号，Y为欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样时间信号。RX为对X构建分块汉克尔矩阵，

表示矩阵的弗罗贝尼乌斯范数的平方，λ为正则化参数并用于权衡||RX||_r和

的重要性。此处取λ为10³。

4)建立基于截断核范数的优化模型：

其中，

AA^H＝I_r×r，BB^H＝I_r×r，A^H，B^H分别为A，B的复共轭转置矩阵，||RX||_*为矩阵RX的核范数，核范数的定义为矩阵的奇异值之和。

5)提出基于截断核范数重建优化模型的求解算法：为求解公式(3)中的重建模型，采用交替乘子算法(X.Qu,M.Mayzel,J.-F.Cai,Z.Chen,and V.Orekhov,“Accelerated NMRspectroscopy with low-rank reconstruction,”AngewandteChemie InternationalEdition,2015，54(3)：852-4)，令X₁＝Y，在第l次迭代过程中，固定X_l，利用X_l的奇异值分解可计算左奇异向量矩阵A_l和右奇异向量矩阵B_l，代入公式(4)计算得到X_l+1：

其中，

为矩阵

的迹，迹的定义是矩阵

的对角元素之和。利用交替方向乘子法求解模型(4)。引入一个中间变量Z，令Z＝RX，将公式(4)松弛为：

公式(5)的增广拉格朗日形式为：

其中，＜·,·＞为向量内积空间，即

表示取复数的实部。参数β取大于零的值,D为拉格朗日乘子。

采用交替乘子法对公式(6)求解，公式(6)的优化问题可以通过求解下式得到：

对X进行求解，结果为：

其中，X^k+1为X第k+1次迭代时的值，Z^k,D^k为Z,D第k次迭代时的值，矩阵右上角符号“-1”表示求矩阵的逆。

采用奇异值收缩(J.-F.Cai.,E.J.Candès.,and Z.Shen.,“A singular valuethresholding algorithm for matrix completion,”SIAM Journal on Optimization,2010，20(4)：1956-1982)算法对Z进行求解，结果为：

其中，Z^k+1为Z第k+1次迭代时的值，

为奇异值收缩算子，A_l,B_l分别为Α,Β第l次迭代的值。

最后，对D求解，结果为：

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1) (10)

其中，τ为迭代步长。此处τ取1。

当达到迭代停止准则时，迭代外层停止准则设定为

小于设置的阈值η，η取10^-6，或达到最大迭代次数10，内层迭代停止准则为

小于设定的阈值，阈值取10^-4。当迭代停止时，可根据公式(8)得到完整的矩阵X^k+1，即为磁共振波谱的完整时间信号。

6)对X^k+1进行傅里叶变换得到磁共振波谱。

Claims (2)

1.一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法，其特征在于包括以下步骤：

1)截断核范数的定义：给定一个矩阵

N,M分别为矩阵的行数和列数，其截断核范数||X||_r的定义为min(N,M)-r个最小奇异值之和：

将奇异值按从大到小排列，其中σ_i(X)为X的第i大奇异值；min(N,M)为N,M中最小值；参数r取正整数；

2)建立基于截断核范数的重建模型：

其中，P_ΩX表示对X进行欠采样，X为待重建的二维磁共振谱的时间信号，Y为欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样时间信号，RX为对X构建分块汉克尔矩阵，

表示矩阵的弗罗贝尼乌斯范数的平方，λ为正则化参数并用于权衡||RX||_r和

的重要性；

3)建立基于截断核范数的优化模型：

其中，

AA^H＝I_r×r，BB^H＝I_r×r，A^H，B^H分别为A，B的复共轭转置矩阵，||RX||_*为矩阵RX的核范数，核范数的定义为矩阵的奇异值之和；

4)提出基于截断核范数重建优化模型的求解算法；

5)对X^k+1进行傅里叶变换得到磁共振波谱，X^k+1为X第k+1次迭代时的值。

2.如权利要求1所述一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法，其特征在于在步骤4)中，所述提出基于截断核范数重建优化模型的求解算法的具体方法为：为求解公式(3)中的重建模型，采用交替乘子算法，令X₁＝Y，在第l次迭代过程中，固定X_l，利用X_l的奇异值分解计算左奇异向量矩阵A_l和右奇异向量矩阵B_l，代入公式(4)计算得到X_l+1：

其中，

为矩阵

的迹，迹的定义是矩阵

的对角元素之和，利用交替方向乘子法求解模型公式(4)，引入一个中间变量Z，令Z＝RX，将公式(4)松弛为：

公式(5)的增广拉格朗日形式为：

其中，＜·,·＞为向量内积空间，即

表示取复数的实部，参数β取大于零的值,D为拉格朗日乘子；

采用交替乘子法对公式(6)求解，公式(6)的优化问题通过求解下式得到：

对X进行求解，结果为：

其中，X^k+1为X第k+1次迭代时的值，Z^k,D^k为Z,D第k次迭代时的值，矩阵右上角符号“-1”表示求矩阵的逆；

采用奇异值收缩算法对Z进行求解，结果为：

其中，Z^k+1为Z第k+1次迭代时的值，

为奇异值收缩算子；

最后，对D求解，结果为：

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1) (10)

其中，τ为迭代步长；

当达到迭代停止准则时，迭代外层停止准则设定为

小于设置的阈值η或达到最大迭代次数，内层迭代停止准则为

小于设定的阈值；

当迭代停止时，根据公式(8)得到完整的矩阵X^k+1，即为磁共振波谱的完整时间信号。

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