CN105513026A - 一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法 - Google Patents

Abstract

本发明提出了一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法。本发明将图像非局部相似、低秩矩阵和最小全变分(TV)相结合，充分利用了图像的局部相似性和局部平滑性两种先验，一方面消除了传统方法基于单个图像小块独立处理而导致的块效应和全局结构信息的丢失，另一方面在抑制噪声的同时很好的保持图像的真实细节、减小或移除由不可靠信息产生的虚假细节。本发明实现了图像的高质量压缩感知重构，与一般的基于变换域稀疏或TV约束的重构方法相比，本发明的方法对噪声具有鲁棒性，且能够获得更好的重构质量，在视觉效果和评价指标上都有大幅的提升。

Description

一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，具体涉及一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法。

背景技术

图像的分辨率越高其包含的细节越丰富，高分辨率图像在实际应用中具有十分重要的意义，然而高分辨图像产生的海量数据一定程度上限制了图像分辨率的进一步提高。传统的压缩采样方法必须遵从奈奎斯特采样定律，即采样频率大于信号最高频率的两倍时采样数据才完整的保留了原始信号的信息，而压缩感知理论突破了奈奎斯特频率的限制，它能以远低于奈奎斯特定理的采样率进行测量，并通过重构算法精确或近似地重构原始信号。

压缩感知理论框架主要包括三部分：稀疏表示，非线性测量，图像重构。有效的图像重构算法是压缩感知的关键技术之一，而图像的先验信息对于图像的重建具有重要作用，如何充分发掘图像的先验信息从而构造有效的约束条件成为了图像重构的关键。目前，常用的先验信息主要包括信号稀疏信息以及图像TV(TotalVariation)信息，信号稀疏性体现在原始图像信号在某固定变换域或稀疏基(如DCT基、小波基等)上的投影系数稀疏，TV值则考虑了图像相邻像素的相关性。基于固定域的稀疏先验和图像TV先验对于分片光滑的信号具有良好的逼近效果，但对于纹理信息丰富的图像重建效果并不理想，纹理特征会在重建过程中被平滑，还有可能产生伪信息。2006年Elad等人率先提出了一种基于机器学习的自适应字典(即稀疏基)构造方法，利用自适应字典代替固定稀疏基，虽然充分考虑了图像块的稀疏性，但是字典训练是一个大规模非凸优化的问题，计算复杂度高。

研究表明，图像中某一选定的图像块包含一定的空间结构信息，而图像中存在大量的重复相似的结构内容和纹理信息，利用这些相似性对重构图像加以约束，可以明显的提升重构图像的质量。

发明内容

本发明的目的在于针对现有技术的不足，提出一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法。

本发明的目的是通过以下技术方案来实现的：一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，包括以下步骤：

步骤1、输入原始图像的观测数据y，构造如下重构模型：

$\underset{u}{\min }{\mathrm{\λ}}_1\left|\right|(d_h,d_v)|{|}_2+{\mathrm{\λ}}_2\underset{k}{\Σ}|\left|A_k\right|{|}_{*}+\frac{1}{2}\left|\right|Hu-y|{|}_2^{2}s.t.d_h=D_{h}u,d_v=D_{v}u,A_k=B_k---\left(1\right)$

其中，表示全变分，D_h、D_v为梯度算子，||·||_*表示矩阵的核范数，u为计算过程中原始图像的辅助变量，B_k表示由相似块组成的矩阵，A_k是B_k对应的待恢复的低秩矩阵，∑A_k表示由相似块组成的图像，λ₁,λ₂为惩罚因子，采用SplitBregmanIteration算法将分裂为u^t+1,三个子问题迭代求解，t为迭代次数；

步骤2、对输入的原始图像的观测数据y快速重建，得到初始图像u⁰，初始化参数；

步骤3、低秩矩阵A_k恢复，求解子问题，具体是：

(3.1)在初始图像u⁰中，对于给定的参考块，搜索与其相似的图像块，将搜索到的每一个图像块表示成列向量，从而使所有相似的图像块组成一个近似低秩矩阵B_k；

(3.2)对矩阵B_k进行奇异值分解，对奇异值进行自适应软阈值处理，得到更新后的矩阵A_k；

(3.3)对所有的参考块重复步骤(3.1)和(3.2)，得到通过低秩约束重构的图像；

步骤4、对步骤(3.3)得到的图像进行全变分约束优化，利用广义收缩算子求解子问题；

步骤5、利用共轭梯度下降算法求解u^t+1子问题，得到新的重构图像；

更新迭代参数，重复步骤3-步骤5，直到最大迭代次数或算法收敛，得到最终的迭代图像即重构结果

所述步骤1中，重构模型第一项λ₁||(d_h,d_v)||₂表示最小全变分(TV)约束，第二项表示非局部相似块组的低秩矩阵约束。

所述步骤2中采用的快速重建算法为直接反投影，获得初始图像u⁰＝H^Ty。

所述步骤(3.1)中，采取基于欧式距离和结构相似度的联合块匹配方式，从而提高相似性度量的准确性。具体如下：

首先对图像做基于TV约束的去噪处理，然后对图像块计算基于变换域硬阈值的欧式距离：

$d(x_k,y_k)=\frac{\left|\right|\mathrm{\γ}\left(T_{2D}^{ht}\right(x_k))-\mathrm{\γ}\left(T_{2D}^{ht}\right(y_k))\left|\right|}{\sqrt{n}\×\sqrt{n}}---\left(3\right)$

参考图像块为x_k∈Rⁿ，匹配图像块为y_k∈Rⁿ，图像块大小为是2-D线性变换，γ(·)表示硬阈值滤波操作。

结构相似度SSIM的计算为：

$SSIM(x,y)=\frac{(2{\mathrm{\μ}}_x{\mathrm{\μ}}_y+C_1)(2{\mathrm{\σ}}_{xy}+C_2)}{({\mathrm{\μ}}_x^2+{\mathrm{\μ}}_y^2+C_1)({\mathrm{\σ}}_x^2+{\mathrm{\σ}}_y^2+C_2)}---\left(4\right)$

将欧氏距离结合SSIM进行联合块匹配，d^real为图像块的相似性，

d^real＝d(x_k,y_k)*(1-SSIM)(5)

式中μ_x,μ_y,σ_x,σ_y为图像x,y的均值和标准差,σ_xy为x,y的协方差，C1、C2为很小的常数。

步骤(3.2)所述的对奇异值进行自适应软阈值处理，具体如下：

$\{\begin{array}{c}(U,\mathrm{\Σ},V)=svd\left(B_k^t\right)\\ \widehat{\mathrm{\Σ}}=S_{\mathrm{\ϵ}}\left(\mathrm{\Σ}\right)\end{array}---\left(6\right)$

其中S_ε表示阈值为ε的软阈值操作，重构后的低秩矩阵为:

$A_k^{t+1}=U\widehat{\Σ}{V}^T---\left(7\right)$

第s个奇异值对应的阈值ε_s根据下列式子确定：

${\mathrm{\ϵ}}_s=\frac{{\mathrm{nm\σ}}^2}{min(n-1,m)\sqrt{r_s}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\σ}}^2=\frac{{\mathrm{\Σ}}_{s=S+1}^{min(n-1,m)}{r}_s}{nm-m-mS+S+S^2}---\left(9\right)$

S是由相似块组成的低秩矩阵的秩。将步骤(3.2)得到的每一个低秩矩阵都进行低秩矩阵的恢复，有关系式：∑A_k＝u。

步骤4所述的对步骤(3.3)得到的图像进行全变分约束优化，利用广义收缩算子求解子问题，具体如下：

通过最小全变分(TV)约束减小或移除虚假细节，即：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=\underset{(d_h,d_v)}{\min }{\mathrm{\λ}}_1\left|\right|(d_h,d_v)|{|}_2+\frac{\mathrm{\τ}}{2}\underset{i=h,v}{\Σ}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2---\left(10\right)$

τ为可调参数，b_i为SBI迭代参数，利用广义收缩公式求解上式：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=max(s^t-\frac{{\mathrm{\λ}}_1}{\mathrm{\τ}},0)\frac{D_i{u}^t+b_i^t}{s^t},(i=h,v)---\left(11\right)$

其中 $s^t=\sqrt{\underset{i=h,v}{\Σ}{\left|D_i{u}^t+b_i^t\right|}^2}.$

步骤5所述的利用共轭梯度下降算法求解u^t+1子问题，得到新的重构图像，具体如下：

构建优化图像的目标函数即u^t+1子问题：

$u^{t+1}=\underset{u}{\min }\frac{1}{2}\left|\right|Hu-y|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\τ}}{2}\underset{i=h,v}{\Σ}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\μ}}{2}\underset{k}{\Σ}\left|\right|B_k-A_k-b_w|{|}_2^2---\left(12\right)$

μ,τ为可调参数，b_i,b_w均为SBI迭代参数。利用共轭梯度下降算法求解式(12)，计算目标函数的梯度：

$g=\left(H^{T}Hu-H^{T}y\right)+\mathrm{\τ}(\underset{i=h,v}{\Σ}{D}_i^T{D}_{i}u+\underset{i=h,v}{\Σ}{D}_i^T{b}_i-\underset{i=h,v}{\Σ}{D}_i^T{d}_i)+\mathrm{\μ}\underset{k}{\Σ}\left(A_k-B_k-b_w\right)---\left(13\right)$

构造搜索方向：d^t＝-g_t+β_t-1d^t-1，其中β_t-1可表示为下式：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\β}}_{t-1}=0& t=1\\ {\mathrm{\β}}_{t-1}=\frac{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gg}}_t}{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gd}}^{t-1}}& t>1\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 $G=H^{T}H+\mathrm{\τ}\underset{i=h,v}{\Σ}{D}_i^T{D}_i+\mathrm{\μ}I.$ 设置搜索步长：

${\mathrm{\λ}}_t=\frac{g_t^T{d}^t}{d^{\left(t\right)T}{\mathrm{Gd}}^t}---\left(15\right)$

则优化图像的目标函数可通过以下式子迭代求解：

u^t+1＝u^t-λ_td^t(16)

与现有重构方法相比，本发明的有益效果为：

本发明引入非局部相似性能够消除传统方法基于单个图像块独立处理而导致的图像全局结构信息丢失的影响，很好地保持纹理等几何结构；使用TV约束项，一方面在抑制图像噪声的同时保留图像细节，另一方面可以减小或移除低秩矩阵恢复过程中的不可靠信息产生的虚假细节。本发明还提出了一种新的相似性度量的方法，即基于欧式距离和结构相似度(SSIM)的联合块匹配方式，提高了相似性度量的准确性。本发明提出的方法能够有效利用图像的特征，高质量重构图像，且对噪声具有鲁棒性。

附图说明

图1为本发明方法的总流程图；

图2为遥感图像非局部相似性示意图；

图3为相似块组矩阵的奇异值；

图4(a)为Barbara原始图像；

图4(b)为0.3下采样率时l1-magic重构图像；

图4(c)为0.3下采样率时TVAL3重构图像；

图4(d)为0.3下采样率时BM3D-CS重构图像；

图4(e)为0.3下采样率时TVNLR重构图像；

图4(f)为0.3下采样率时本发明方法重构图像；

图5(a)为遥感图像Country原始图像；

图5(b)为0.3下采样率时l1-magic重构图像；

图5(c)为0.3下采样率时TVAL3重构图像；

图5(d)为0.3下采样率时BM3D-CS重构图像；

图5(e)为0.3下采样率时TVNLR重构图像；

图5(f)为0.3下采样率时本发明方法重构图像；

图6为平均峰值信噪比(PSNR)与下采样率的关系关系曲线图；

图7(a)为图像Pentagon原始图像；

图7(b)为0.3下采样率，信噪比snr＝5时l1-magic重构图像；

图7(c)为0.3下采样率，信噪比snr＝5时TVAL3重构图像；

图7(d)为0.3下采样率，信噪比snr＝5时BM3D-CS重构图像；

图7(e)为0.3下采样率，信噪比snr＝5时TVNLR重构图像；

图7(f)为0.3下采样率，信噪比snr＝5时本发明方法重构图像；

具体实施方式

以下结合附图对本发明作进一步说明。

本发明是一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法。本发明有效地将图像的非局部相似、低秩矩阵和最小全变分(TV)相结合，采用一种新的相似块匹配方法，最终获得高质量的重构图像。本发明的整体流程图如附图1所示，主要包括相似块匹配、低秩矩阵恢复和最小全变分约束等几个步骤。具体实现步骤如下：

步骤1、初始恢复

根据压缩感知理论，对于维度为N的原始信号x，按照具有一定结构的观测矩阵H∈R^M×N(M<<N)进行伪随机测量，得到观测数据y∈R^M×1，利用优化算法可以从观测数据中精确或大概率近似地重构原始信号。

初始化参数，对输入的观测数据y进行反投影，得到初始恢复图像u⁰＝H^Ty。将本发明算法模型即公式(1)分裂为u^t+1,三个子问题。

步骤2，相似块匹配

2-1将第t次恢复结果u^(t)按步长1进行重叠分块，图像块大小为8*8，得到图像块集合C＝[x₁,x₂,x₃,…]。

2-2如附图2所示，在第t次恢复图像u^(t)中以像素k为中心，取大小为8*8的参考块u_k，可以在图像中找到多个与其相似的图像块。在集合C中进行相似块匹配，构建由相似块组成的矩阵B_k。

块匹配采用基于欧氏距离和结构相似度的联合块匹配方法。首先对图像做基于TV约束的去噪处理，然后对图像块计算基于变换域硬阈值的欧式距离：

$d(x_k,y_k)=\frac{\left|\right|\mathrm{\&gamma;}\left(T_{2D}^{ht}\right(x_k))-\mathrm{\&gamma;}\left(T_{2D}^{ht}\right(y_k))\left|\right|}{\sqrt{n}\&times;\sqrt{n}}---\left(3\right)$

参考图像块为x_k∈Rⁿ，匹配图像块为y_k∈Rⁿ，图像块大小为是2-D线性变换，γ(·)表示硬阈值滤波操作。

结构相似度SSIM的计算为：

$SSIM(x,y)=\frac{(2{\mathrm{\&mu;}}_x{\mathrm{\&mu;}}_y+C_1)(2{\mathrm{\&sigma;}}_{xy}+C_2)}{({\mathrm{\&mu;}}_x^2+{\mathrm{\&mu;}}_y^2+C_1)({\mathrm{\&sigma;}}_x^2+{\mathrm{\&sigma;}}_y^2+C_2)}---\left(4\right)$

将欧氏距离结合SSIM进行联合块匹配，d^real为图像块的相似性，

d^real＝d(x_k,y_k)*(1-SSIM)(5)

式中μ_x,μ_y,σ_x,σ_y为图像x,y的均值和标准差,σ_xy为x,y的协方差，C1、C2为很小的常数。

步骤3、低秩矩阵恢复

利用步骤2得到的由相似块组成的矩阵B_k进行低秩矩阵的恢复，附图3是大小为40×64的矩阵B_k的奇异值。低秩矩阵恢复采用奇异值自适应软阈值法，如下所示：

$\{\begin{array}{c}(U,\mathrm{\&Sigma;},V)=svd\left(B_k^t\right)\\ \widehat{\mathrm{\&Sigma;}}=S_{\mathrm{\&epsiv;}}\left(\mathrm{\&Sigma;}\right)\end{array}---\left(6\right)$

其中S_ε表示阈值为ε的软阈值操作，重构后的低秩矩阵为:

$A_k^{t+1}=U\widehat{\&Sigma;}{V}^T---\left(7\right)$

第s个奇异值对应的阈值ε_s根据下列式子确定：

${\mathrm{\&epsiv;}}_s=\frac{{\mathrm{nm\&sigma;}}^2}{min(n-1,m)\sqrt{r_s}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}^2=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{s=S+1}^{min(n-1,m)}{r}_s}{nm-m-mS+S+S^2}---\left(9\right)$

S是由相似块组成的低秩矩阵的秩。将步骤2得到的每一个低秩矩阵都进行低秩矩阵的恢复，有关系式：∑A_k＝u。

步骤4、最小全变分约束

通过最小全变分(TV)约束减小或移除虚假细节。这一步相当于求解子问题：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=\underset{(d_h,d_v)}{\min }{\mathrm{\&lambda;}}_1\left|\right|(d_h,d_v)|{|}_2+\frac{\mathrm{\&tau;}}{2}\underset{i=h,v}{\&Sigma;}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2---\left(10\right)$

τ为可调参数，b_i为SBI迭代参数，利用广义收缩公式求解上式：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=max(s^t-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{\mathrm{\&tau;}},0)\frac{D_i{u}^t+b_i^t}{s^t},(i=h,v)---\left(11\right)$

其中 $s^t=\sqrt{\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{\left|D_i{u}^t+b_i^t\right|}^2}.$

步骤5、更新图像

固定步骤3和步骤4得到的结果，构建优化图像的目标函数即u^t+1子问题：

$u^{t+1}=\underset{u}{\min }\frac{1}{2}\left|\right|Hu-y|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\&tau;}}{2}\underset{i=h,v}{\&Sigma;}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}\underset{k}{\&Sigma;}\left|\right|B_k-A_k-b_w|{|}_2^2---\left(12\right)$

μ,τ为可调参数，b_i,b_w均为SBI迭代参数。利用共轭梯度下降算法求解式(12)，计算目标函数的梯度：

$g=\left(H^{T}Hu-H^{T}y\right)+\mathrm{\&tau;}(\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{D}_{i}u+\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{b}_i-\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{d}_i)+\mathrm{\&mu;}\underset{k}{\&Sigma;}\left(A_k-B_k-b_w\right)---\left(13\right)$

构造搜索方向：d^t＝-g_t+β_t-1d^t-1，其中β_t-1可表示为下式：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&beta;}}_{t-1}=0& t=1\\ {\mathrm{\&beta;}}_{t-1}=\frac{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gg}}_t}{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gd}}^{t-1}}& t>1\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 $G=H^{T}H+\mathrm{\&tau;}\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{D}_i+\mathrm{\&mu;}I.$ 设置搜索步长：

${\mathrm{\&lambda;}}_t=\frac{g_t^T{d}^t}{d^{\left(t\right)T}{\mathrm{Gd}}^t}---\left(15\right)$

则优化图像的目标函数可通过以下式子迭代求解：

u^t+1＝u^t-λ_td^t(16)

步骤6、迭代优化

更新迭代参数，重复步骤2-步骤5，直到最大迭代次数或算法收敛，得到最终的迭代图像即重构结果

附图4(a-f)和附图5(a-f)分别为不同方法对标准测试图和实际遥感图像的重构结果对比，附图6为不同采样率时重构图像的PSNR值，可以看出本发明方法的重构图像无论是视觉效果还是评价指标都比其他几种方法更好。附图7(a-f)为图像在感知过程加入了信噪比snr＝5的噪声时各方法重构结果对比，可以看出本发明方法对噪声不敏感，重构结果最优。

表1为30％下采样率时重构图像的客观评价指标对比，分别使用峰值信噪比(PSNR)及结构相似度(SSIM)作为评价指标，从表中可以看出，本发明方法可以得到更高质量的重构图像。

表1重构图像PSNR和SSIM比较

	l1-maic	TVAL3	BM3D-CS	TVNLR	本发明
						PSNR	30.66	24.32	28.26	30.03	36.61
SSIM	0.879	0.853	0.858	0.901	0.971

Claims (7)

1.一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1、输入原始图像的观测数据y，构造如下重构模型：

$\begin{array}{ccc}\underset{u}{min}{\mathrm{\&lambda;}}_1\left|\right|(d_h,d_v)|{|}_2+{\mathrm{\&lambda;}}_2\underset{k}{\&Sigma;}|\left|A_k\right|{|}_{*}+\frac{1}{2}\left|\right|Hu-y|{|}_2^2& s.t.& d_h=D_{h}u,d_v=D_{v}u,A_k=B_k\end{array}---\left(1\right)$

其中，表示全变分，D_h、D_v为梯度算子，||·||_*表示矩阵的核范数，u为计算过程中原始图像的辅助变量，B_k表示由相似块组成的矩阵，A_k是B_k对应的待恢复的低秩矩阵，∑A_k表示由相似块组成的图像，λ₁,λ₂为惩罚因子，采用SplitBregmanIteration算法将分裂为三个子问题迭代求解，t为迭代次数；

步骤2、对输入的原始图像的观测数据y快速重建，得到初始图像u⁰，初始化参数；

步骤3、低秩矩阵A_k恢复，求解子问题，具体是：

(3.1)在初始图像u⁰中，对于给定的参考块，搜索与其相似的图像块，将搜索到的每一个图像块表示成列向量，从而使所有相似的图像块组成一个近似低秩矩阵B_k；

(3.2)对矩阵B_k进行奇异值分解，对奇异值进行自适应软阈值处理，得到更新后的矩阵A_k；

(3.3)对所有的参考块重复步骤(3.1)和(3.2)，得到通过低秩约束重构的图像；

步骤4、对步骤(3.3)得到的图像进行全变分约束优化，利用广义收缩算子求解子问题；

步骤5、利用共轭梯度下降算法求解u^t+1子问题，得到新的重构图像；

步骤6、更新迭代参数，重复步骤3-步骤5，直到最大迭代次数或算法收敛，得到最终的迭代图像即重构结果

2.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于步骤1中，重构模型第一项λ₁||(d_h,d_v)||₂表示最小全变分(TV)约束，第二项表示非局部相似块组的低秩矩阵约束。

3.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于所述步骤2中采用的快速重建算法为直接反投影，获得初始图像u⁰＝H^Ty。

4.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于所述步骤(3.1)中，采取基于欧式距离和结构相似度的联合块匹配方式，从而提高相似性度量的准确性；具体如下：

首先对图像做基于TV约束的去噪处理，然后对图像块计算基于变换域硬阈值的欧式距离：

$d(x_k,y_k)=\frac{\left|\right|\mathrm{\&gamma;}\left(T_{2D}^{ht}\right(x_k))-\mathrm{\&gamma;}\left(T_{2D}^{ht}\right(y_k))\left|\right|}{\sqrt{n}\&times;\sqrt{n}}---\left(3\right)$

参考图像块为x_k∈Rⁿ，匹配图像块为y_k∈Rⁿ，图像块大小为 是2-D线性变换，γ(·)表示硬阈值滤波操作；

结构相似度SSIM的计算为：

$SSIM(x,y)=\frac{(2{\mathrm{\&mu;}}_x{\mathrm{\&mu;}}_y+C_1)(2{\mathrm{\&sigma;}}_{xy}+C_2)}{({\mathrm{\&mu;}}_x^2+{\mathrm{\&mu;}}_y^2+C_1)({\mathrm{\&mu;}}_x^2+{\mathrm{\&mu;}}_y^2+C_2)}---\left(4\right)$

将欧氏距离结合SSIM进行联合块匹配，d^real为图像块的相似性，

d^real＝d(x_k,y_k)*(1-SSIM)(5)

式中μ_x,μ_y,σ_x,σ_y为图像x,y的均值和标准差,σ_xy为x,y的协方差，C1、C2为很小的常数。

5.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于步骤(3.2)所述的对奇异值进行自适应软阈值处理，具体如下：

$\left\{\begin{array}{c}(U,\mathrm{\&Sigma;},V)=svd\left(B_k^t\right)\\ \widehat{\mathrm{\&Sigma;}}=S_{\mathrm{\&epsiv;}}\left(\mathrm{\&Sigma;}\right)\end{array}\right.---\left(6\right)$

其中S_ε表示阈值为ε的软阈值操作，重构后的低秩矩阵为:

$A_k^{t+1}=U\widehat{\mathrm{\&Sigma;}}{V}^T---\left(7\right)$

第s个奇异值对应的阈值ε_s根据下列式子确定：

${\mathrm{\&epsiv;}}_s=\frac{{\mathrm{nm\&sigma;}}^2}{min(n-1,m)\sqrt{r_s}}---\left(8\right)$

${\mathrm{\&sigma;}}^2=\frac{{\mathrm{\&Sigma;}}_{s=S+1}^{\min (n-1,m)}{r}_s}{nm-m-mS+S+S^2}---\left(9\right)$

S是由相似块组成的低秩矩阵的秩；将步骤(3.2)得到的每一个低秩矩阵都进行低秩矩阵的恢复，有关系式：∑A_k＝u。

6.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于步骤4所述的对步骤(3.3)得到的图像进行全变分约束优化，利用广义收缩算子求解子问题，具体如下：

通过最小全变分(TV)约束减小或移除虚假细节，即：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=\underset{(d_h,d_v)}{\min }{\mathrm{\&lambda;}}_1\left|\right|(d_h,d_v)|{|}_2+\frac{\mathrm{\&tau;}}{2}\underset{i=h,v}{\mathrm{\&Sigma;}}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2---\left(10\right)$

τ为可调参数，b_i为SBI迭代参数，利用广义收缩公式求解上式：

$(d_h^{t+1},d_v^{t+1})=max(s^t-\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{\mathrm{\&tau;}},0)\frac{D_i{u}^t+b_i^t}{s^t},(i=h,v)---\left(11\right)$

其中 $s^t=\sqrt{\underset{i=h,v}{\&Sigma;}|D_i{u}^t+b_i^t{|}^2}.$

7.如权利要求1所述的一种基于图像非局部相似的压缩感知重构方法，其特征在于步骤5所述的利用共轭梯度下降算法求解u^t+1子问题，得到新的重构图像，具体如下：

构建优化图像的目标函数即u^t+1子问题：

$u^{t+1}=\underset{u}{min}\frac{1}{2}\left|\right|Hu-y|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\&tau;}}{2}\underset{i=h,v}{\&Sigma;}||d_i-D_{i}u-b_i|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\&mu;}}{2}\underset{k}{\&Sigma;}\left|\right|B_k-A_k-b_w|{|}_2^2---\left(12\right)$

μ,τ为可调参数，b_i,b_w均为SBI迭代参数；利用共轭梯度下降算法求解式(12)，计算目标函数的梯度：

$g=(H^{T}Hu-H^{T}y)+\mathrm{\&tau;}(\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{D}_{i}u+\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{b}_i-\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{d}_i)+\mathrm{\&mu;}(A_k-B_k-b_w)---\left(13\right)$

构造搜索方向：d^t＝-g_t+β_t-1d^t-1，其中β_t-1可表示为下式：

$\left\{\begin{array}{cc}{\mathrm{\&beta;}}_{t-1}=0& t=1\\ {\mathrm{\&beta;}}_{t-1}=\frac{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gg}}_t}{d^{(t-1)T}{\mathrm{Gd}}^{t-1}}& t>1\end{array}\right.---\left(14\right)$

其中 $G=H^{T}H+\mathrm{\&tau;}\underset{i=h,v}{\&Sigma;}{D}_i^T{D}_i+\mathrm{\&mu;}I;$ 设置搜索步长：

${\mathrm{\&lambda;}}_t=\frac{g_t^T{d}^t}{d^{\left(t\right)T}{\mathrm{Gd}}^t}---\left(15\right)$

则优化图像的目标函数可通过以下式子迭代求解：

u^t+1＝u^t-λ_td^t(16)。