CN111538944B - 一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法 - Google Patents

一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法 Download PDF

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Abstract

一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法，涉及磁共振波谱重建方法。包括以下步骤：1)获取磁共振信号欠采样信号，在磁共振实验中根据对数据的要求设置实验的欠采样方案和实验参数，通过欠采样算子进行采样，进而可得到实验的欠采样信号；2)基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间提出磁共振波谱快速重建模型；3)在步骤2)的基础上提出基于子空间的磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法；4)分为两层迭代求解模型，得到最优磁共振信号；5)对自由衰减信号进行后处理，在步骤4)求解得到的最优磁共振信号，对其做傅里叶变换即可得到波谱。较其他典型高精度波谱重建方法重建误差相近，且重建时间更短，重建速度快。

Description

一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法
技术领域
本发明涉及磁共振波谱重建方法，尤其是涉及一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法。
背景技术
磁共振波谱是分子结构分析的重要检测手段之一，应用于生物医学和物理化学等领域。加快数据采集是现代磁共振波谱的重要发展之一，其中一种方法是对磁共振波谱的时间信号(也称自由感应衰减信号)进行欠采样达到快速采集信号的目的，并利用适当的方法对欠采样信号进行重建(Xiaobo Qu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov."Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,Angewandte Chemie International Edition",54(3):852-854,2015；Xiaobo Qu,YihuiHuang,Hengfa Lu,Tianyu Qiu,Di Guo,Tatiana Agback,Vladislav Orekhov,ZhongChen,"Accelerated nuclear magnetic resonance spectroscopy with deeplearning,"Angewandte Chemie International Edition,DOI:10.1002/anie.201908162,2019.)。
从信号处理的角度来看，时间信号的汉克尔矩阵的奇异值主要对应于谱峰高度。然而，低强度谱峰的奇异值在欠采样倍数过大时难以重建，导致得到磁共振波谱质量下降(Di Guo,Xiaobo Qu,"Improved reconstruction of low intensity magneticresonance spectroscopy with weight low rank hankel matrix completion,"IEEEAccess,6:4933-4940,2018.)。前人提出了汉克尔矩阵的截断核范数或部分奇异值和的波谱重建方法，即使在较大的欠采样倍数下也能可靠重建低强度谱峰(郭迪，涂章仁，屈小波，一种基于截断核范数的磁共振波谱重建方法，国家发明专利，申请号：201810817979.X，申请时间：2018.07.24；郭迪，涂章仁，屈小波,一种基于部分奇异值和的磁共振波谱重建方法，国家发明专利，申请号：201810903898.1,申请时间：2018.08.09.)。然而，上述方法在迭代求解过程中使用时间复杂度较高的奇异值分解，因此波谱重建过程中耗时较长。
发明内容
本发明的目的在于针对如何快速重建高质量波谱这一问题，提供高精度、需要较少采样数据的一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法。本发明基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间，相对于典型高精度波谱重建方法可以达到相近的重建误差，但重建时间更短，因此能实现高精度磁共振波谱的快速重建。
本发明包括以下步骤：
1)获取磁共振信号欠采样信号，在磁共振实验中根据对数据的要求设置实验的欠采样方案和实验参数，通过欠采样算子进行采样，进而可得到实验的欠采样信号；
2)基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间提出磁共振波谱快速重建模型；
3)在步骤2)的基础上提出基于子空间的磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法；
4)分为两层迭代求解模型，得到最优磁共振信号；
5)对自由衰减信号进行后处理，在步骤4)求解得到的最优磁共振信号，对其做傅里叶变换即可得到波谱。
在步骤2)中，所述磁共振波谱快速重建模型为：
Figure BDA0002448625860000021
其中，
Figure BDA0002448625860000022
是欠采样算子，y表示欠采样到的信号，x表示期望得到的目标信号；上标H表示复共轭转置，
Figure BDA0002448625860000023
表示向量
Figure BDA0002448625860000024
的L2范数的平方，λ是平衡参数，Tr(·)是迹函数，
Figure BDA0002448625860000025
和
Figure BDA0002448625860000026
为分解矩阵；
Figure BDA0002448625860000027
和
Figure BDA0002448625860000028
是由左酉矩阵A和右酉矩阵B的前r列构成的两个矩阵且满足
Figure BDA0002448625860000029
Λ是一个对角矩阵，r≤M，r≤N，r≤G；Ar与Br的复共转置
Figure BDA00024486258600000210
相乘得到的
Figure BDA00024486258600000211
是一个秩为r的矩阵，该矩阵是矩阵ABH的一个子空间。
在步骤3)中，所述磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法，引入拉格朗日乘子D将公式(1)转化为以下优化问题：
Figure BDA00024486258600000212
其中，＜·,·＞表示矩阵在希尔伯特空间的内积，
Figure BDA00024486258600000213
表示矩阵
Figure BDA00024486258600000214
的弗洛贝尼乌斯范数的平方，正则化参数β和λ是正数；
在步骤4)中，所述分为两层迭代求解模型，得到最优磁共振信号的具体方法可为：
外层迭代更新信号子空间Ar和Br,外层迭代中信号x转化为汉克尔矩阵
Figure BDA00024486258600000215
并进行奇异值分解
Figure BDA00024486258600000216
取出左酉矩阵A和右酉矩阵B的前r列构成更新信号子空间Ar和Br；内层迭代是寻找给定Ar和Br下的最优x；其中，子空间Ar和Br的初始值由欠采样信号填零补充得到，之后由内部迭代收敛后的更新信号x在进行奇异值分解后的信号子空间得到；
在给定外层第L次迭代下，公式(2)的优化问题求解可以通过交替求解以下问题得到：
Figure BDA0002448625860000031
其中，下标k表示内层第k次的迭代，xL指的是外层第L次迭代时的信号，信号xL转化为汉克尔矩阵并分解为信号子空间AL,r和BL,r，AL,r和BL,r表示外层第L次迭代时更新的信号子空间。
求解式(3)中的问题，根据以下公式迭代更新变量:
Figure BDA0002448625860000032
Figure BDA0002448625860000033
Figure BDA0002448625860000034
Figure BDA0002448625860000035
其中，符号“-1”表示求矩阵的逆，I是单位矩阵。
两层迭代中的迭代停止准则均设定为达到最大迭代次数或x在外层(或内层)迭代中相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(取值大于0)。当迭代误差小于η时，迭代停止。当内部和外部两层迭代都停止后，根据公式(4)得到最优的磁共振信号x。
与现有技术相比，本发明具有以下突出的技术效果和优点：
本发明针对如何快速重建高质量波谱这个问题，提出一种基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间的快速重建高质量磁共振波谱的方法。利用磁共振波谱的时域信号可以建模成指数函数叠加的形式，采用指数函数仿真；对时域信号进行欠采样；构建基于汉克尔矩阵子空间的快速重建模型；依据矩阵分解重建欠采样数据重建出完整的磁共振信号。本发明提出的磁共振波谱重建方法较其他典型高精度波谱重建方法重建误差相近，并且本发明正确重建出磁共振波谱所需要的重建时间更短。即在获取同等质量重建波谱的情况下，用本发明重建速度快。
附图说明
图1是本发明实施例的流程框图。
图2是全采样谱、本发明重建后的谱与另一个子空间自学习方法重建后的谱对比图。(a)全采样谱、(b)子空间自学习重建后谱、(c)本发明方法重建后谱。
图3是本发明重建后的谱峰强度与另一个子空间自学习方法重建后的谱峰强度对比图。在图3中，(a)子空间自学习方法重建后峰强度、(b)本发明方法重建后峰强度。
图4是本发明重建磁共振波谱的时间与另一个子空间自学习方法重建磁共振波谱的时间对比图。
具体实施方式
以下实施例将结合附图对本发明作进一步的说明。
具体实施过程如下：
第一步：得到欠采样的二维磁共振自由衰减信号
本实施例中，二维磁共振波谱数据的大小为1466×170。采样模板在时域对上述大小为1466×170的二维磁共振自由衰减信号进行欠采样，对没有采样到的数据点填零后得到信号为
Figure BDA0002448625860000041
对其按间接维对信号进行重建。
第二步：构建一种基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间的磁共振波谱重建模型
测量得到的含有数据丢失并对没有采样到的数据点填零后得到信号
Figure BDA0002448625860000042
本实施例中总的磁共振波谱数据点数为249,220点，欠采样率15％时得到的总采样数据点为37,383。构建基于子空间的磁共振波谱快速重建模型如下:
Figure BDA0002448625860000043
其中，x表示期望得到的目标信号，
Figure BDA0002448625860000044
是一个将一维采样信号转Hankel矩阵的算子，
Figure BDA0002448625860000045
为欠采样算子；
Figure BDA0002448625860000046
和
Figure BDA0002448625860000047
是由左酉矩阵和右酉矩阵的前r列构成的两个矩阵，满足
Figure BDA0002448625860000048
且Λ是一个对角矩阵，下标r的取值为5，M＝85,N＝86；
Figure BDA0002448625860000049
表示向量
Figure BDA00024486258600000410
的弗洛贝尼乌斯范数的平方；这里平衡参数λ取值为104。上标H是复共轭转置算子，Tr(·)是迹函数，
Figure BDA00024486258600000411
和
Figure BDA00024486258600000412
为分解矩阵，G的取值为50，
Figure BDA00024486258600000413
是表示求矩阵
Figure BDA00024486258600000414
核范数。
第三步：提出基于子空间的磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法
引入拉格朗日乘子D将公式(1)转化为以下优化问题：
Figure BDA0002448625860000051
其中＜·,·＞表示矩阵在希尔伯特空间的内积，即
Figure BDA0002448625860000052
Figure BDA0002448625860000053
表示取复数的实部。这里参数β和τ取值为1。
第四步：求解模型划分为两层迭代：外层迭代更新信号子空间Ar和Br,外层迭代中信号x转化为汉克尔矩阵
Figure BDA0002448625860000054
并进行奇异值分解
Figure BDA0002448625860000055
取出左酉矩阵A和右酉矩阵B的前r列构成为更新信号子空间Ar和Br；内层迭代是寻找给定Ar和Br下的最优x。其中子空间Ar和Br的初始值由欠采样信号填零补充得到，之后由内部迭代收敛后的更新信号x在进行奇异值分解后的信号子空间得到。
在给定外层第L次迭代下，公式(2)的优化问题求解可以通过交替求解以下问题得到：
Figure BDA0002448625860000056
其中，下标k表示内层第k次的迭代。xL指的是外层第L次迭代时的信号，信号xL转化为汉克尔矩阵并分解为信号子空间AL,r和BL,r，AL,r和BL,r表示外层第L次迭代时更新的信号子空间。
求解式(3)中的问题，根据以下公式迭代更新变量:
Figure BDA0002448625860000057
Figure BDA0002448625860000058
Figure BDA0002448625860000059
Figure BDA00024486258600000510
其中，公式(4)中参数β和λ是正数。此处设置了两层迭代，当达到迭代停止准则时，迭代停止。外层迭代停止准则设定为达到最大迭代次数20，或在相邻两次迭代中的磁共振自由衰减信号xL与xL+1的误差小于设置的阈值η取值10-6；内层迭代停止准则设定为达到最大迭代次数200，或在相邻两次迭代中的磁共振自由衰减信号xk+1与xk的误差小于设置的阈值η取值10-6。在本实施例中，参数β和τ取值均为1，其中
Figure BDA0002448625860000061
Pk+1，Qk+1和Dk+1分别表示变量x，P，Q和D在第k+1次迭代时的值，矩阵右上角的符号“-1”表示求矩阵的逆，I是单位矩阵。
第五步：重建磁共振波谱数据的后处理
第四步求解得到最优的磁共振信号x，对该信号做二维傅里叶变换即可得到其波谱。
对实施例中的欠采样磁共振时域信号依据所提方法步骤(图1所示)进行重建，然后进行傅里叶变换后的结果如图2(c)，对比全采样的谱图2(a),子空间自学习的谱图2(c)。图3是子空间自学习方法的谱峰强度与所提方法的波谱的谱峰强度的相关性。图4是所提方法的重建时间与另一种子空间自学习方法的重建时间对比。可以看出，利用本发明所提方法可以快速重建出高质量的磁共振谱。

Claims (1)

1.一种基于子空间的磁共振波谱快速重建方法，其特征在于包括以下步骤：
1)获取磁共振信号欠采样信号，在磁共振实验中根据对数据的要求设置实验的欠采样方案和实验参数，通过欠采样算子进行采样，进而得到实验的欠采样信号；
2)基于矩阵分解的汉克尔矩阵子空间提出磁共振波谱快速重建模型；所述磁共振波谱快速重建模型为：
Figure FDA0003585261890000011
其中，
Figure FDA0003585261890000012
是欠采样算子，y表示欠采样到的信号，x表示期望得到的目标信号；上标H表示复共轭转置，
Figure FDA0003585261890000013
表示向量
Figure FDA0003585261890000014
的L2范数的平方，λ是平衡参数，Tr(·)是迹函数，
Figure FDA0003585261890000015
和
Figure FDA0003585261890000016
为分解矩阵；
Figure FDA0003585261890000017
和
Figure FDA0003585261890000018
是由左酉矩阵A和右酉矩阵B的前r列构成的两个矩阵且满足
Figure FDA0003585261890000019
Λ是一个对角矩阵，r≤M，r≤N，r≤G；Ar与Br的复共转置
Figure FDA00035852618900000110
相乘得到的
Figure FDA00035852618900000111
是一个秩为r的矩阵，该矩阵是矩阵ABH的一个子空间；
3)在步骤2)的基础上提出基于子空间的磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法；
所述磁共振波谱快速重建模型的数值求解算法，引入拉格朗日乘子D将公式(1)转化为以下优化问题：
Figure FDA00035852618900000112
其中，＜·,·＞表示矩阵在希尔伯特空间的内积，
Figure FDA00035852618900000113
表示矩阵
Figure FDA00035852618900000114
的弗洛贝尼乌斯范数的平方，正则化参数β和λ是正数；
4)分为两层迭代求解模型，得到最优磁共振信号，具体方法为：
外层迭代更新信号子空间Ar和Br,外层迭代中信号x转化为汉克尔矩阵
Figure FDA00035852618900000115
并进行奇异值分解
Figure FDA00035852618900000116
取出左酉矩阵A和右酉矩阵B的前r列构成更新信号子空间Ar和Br；内层迭代是寻找给定Ar和Br下的最优x；其中，子空间Ar和Br的初始值由欠采样信号填零补充得到，之后由内部迭代收敛后的更新信号x在进行奇异值分解后的信号子空间得到；
在给定外层第L次迭代下，公式(2)的优化问题求解通过交替求解以下问题得到：
Figure FDA0003585261890000021
其中，下标k表示内层第k次的迭代，xL指的是外层第L次迭代时的信号，信号xL转化为汉克尔矩阵并分解为信号子空间AL,r和BL,r，AL,r和BL,r表示外层第L次迭代时更新的信号子空间；求解式(3)中的问题，根据以下公式迭代更新变量:
Figure FDA0003585261890000022
Figure FDA0003585261890000023
Figure FDA0003585261890000024
Figure FDA0003585261890000025
其中，符号“-1”表示求矩阵的逆，I是单位矩阵；
两层迭代中的迭代停止准则均设定为达到最大迭代次数或x在外层迭代中相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值；当迭代误差小于η时，迭代停止；当内部和外部两层迭代都停止后，根据公式(4)得到最优的磁共振信号x；
5)对自由衰减信号进行后处理，在步骤4)求解得到的最优磁共振信号，对其做傅里叶变换即得到波谱。
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