CN105808869A - 一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，步骤是：首先获取磁共振信号欠采样模板，构建二维矩阵的块Hankel矩阵，建立一种基于磁共振自由衰减信号的块Hankel矩阵的低秩重建模型，然后通过迭代算法求解重建模型并获得重建的自由衰减信号，最后进行傅里叶变换得到完整的磁共振波谱。此种重建方法需要的采样数据量少，精度高，可以从较少的欠采样数据中重建出完整的磁共振波谱，在得到同等质量重建波谱数据的情况下较现有方法的采样速度快。

Description

一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法

技术领域

本发明涉及一种二维或三维磁共振波谱重建方法，尤其是涉及利用欠采样技术来加快磁共振波谱成像速度和利用块Hankel矩阵性质重建二维或三维磁共振波谱的方法。

背景技术

1953年出现了世界上第一台商品化的核磁共振波谱仪。1956年，曾在Block实验室工作的Varian制造出第一台高分辩率的仪器，从此，核磁共振波谱法成了化学家研究化合物的有力工具，并逐步扩大其应用领域。上世纪七十年代以后，由于科学技术的发展，科学仪器的精密化、自动化，核磁共振波谱法得到迅速发展，在许多领域中已得到广泛应用，特别是在生物化学领域中的研究和应用发挥着巨大的作用。上世纪八十年代以来，又不断出现高精密、高灵敏仪器，如高强磁场的超导核磁共振波谱仪，脉冲傅里叶变换核磁共振波谱仪，核磁共振成像波谱仪在医学上也已得到广泛的应用。

核磁共振波谱法是结构分析最强有力的手段之一，它可以确定几乎所有常见官能团的环境。磁共振波谱的直观性强，特别是碳谱能直接反映出分子的骨架，谱图解释较为容易。但是获取完整二维或者三维波谱数据的过程耗时较长，不利于磁共振波谱的应用和推广，所以对磁共振波谱数据的间接维进行欠采样以达到加快采样时间显得尤为重要。得到磁共振波谱欠采样数据后需要对欠采样的数据进行重建，不同的重建方法在重建精度和最少欠采样数据量的要求差别明显。三维磁共振波谱可以通过欠采样磁共振自由衰减信号二维平面达到加速波谱采样速度目的。但由于信号是欠采样的，因此需要通过信号重建方法才能得到完整的磁共振自由衰减信号，进而得到完整的磁共振波谱。

发明内容

本发明的目的，在于提供一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其需要的采样数据量少，精度高，在得到同等质量重建波谱数据的情况下较现有方法的采样速度快。

为了达成上述目的，本发明的解决方案是：

一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，包括如下步骤：

(1)获取磁共振信号欠采样模板；

(2)构建二维矩阵的块Hankel矩阵；

(3)构建基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型；

(4)在步骤(3)的基础上提出基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型的求解算法；

(5)对重建的二维磁共振自由衰减信号后处理。

上述步骤(1)的详细内容是：根据被采样信号点的位置，构建欠采样模板P_Ω，用数字1表示该位置数据点被采样，用数字0表示该位置数据点丢失且需要补全；利用表示期望得到的完整的二维磁共振自由衰减信号，其中，表示复数域，M表示矩阵的行数，N表示矩阵的列数，X_m,n表示矩阵X的第m行中的第n个元素；集合Ω为上述欠采样模板中数字为“1”的位置的集合，大小为Q；P_ΩX表示按照欠采样模板对二维磁共振自由衰减信号X进行欠采样，即当且仅当(m,n)∈Ω时，X_m,n是被采样到的自由衰减信号数据点，Q表示被采样到的数据点的总数；表示对欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样数据。

上述步骤(2)的详细内容是：用R表示将矩阵转成块Hankel矩阵的操作算子,RX是X对应的块Hankel矩阵，通过以下方式构建块Hankel矩阵：

第一步：构建Hankel矩阵；用X_m表示矩阵X的第m行，根据公式(1.1)构建X_m的Hankel矩阵Z_m：

$Z_m=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{m,1}& X_{m,2}& ...& X_{m,N-K+1}\\ X_{m,2}& X_{m,3}& ...& X_{m,N-K+2}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ X_{m,K}& X_{m,K+1}& ...& X_{m,N}\end{array}\right]---\left(0.9\right)$

其中，X_m,1表示X中第m行的第一个元素，Hankel矩阵Z_m的行数为K，1≤K≤N，列数为N-K+1；依次取出X的第1,2,…,M行，构建每一行对应的Hankel矩阵Z₁,Z₂,…,Z_M；

第二步：构建块Hankel矩阵；用B表示块Hankel矩阵，满足B＝RX；将Hankel矩阵Z_m当做一个元素构建块Hankel矩阵，m＝1,2,…,M，具体过程如公式(1.2)所示：

$B=RX=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_1& Z_2& ...& Z_{M-L+1}\\ Z_2& Z_3& ...& Z_{M-L+2}\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ \·& \·& \·& \·\\ Z_L& Z_{L+1}& ...& Z_M\end{array}\right]---\left(0.10\right)$

其中，L表示矩阵B中每一列的Hankel矩阵的个数，1≤L≤M。

上述步骤(3)的详细内容是：利用X表示待重建的二维磁共振自由衰减信号，||RX||_*表示矩阵RX的核范数，表示矩阵Y-PΩX的弗罗贝尼乌斯范数的平方，建立基于块Hankel矩阵的磁共振时间域的欠采样信号的重建模型：

$\begin{array}{cc}\underset{x}{min}& \left|\right|RX|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\λ}}{2}||Y-P_{\mathrm{\Ω}}X|{|}_F^2\end{array}---\left(0.11\right)$

其中正则化参数λ用于权衡||RX||_*和两项的重要性，λ>0。

上述步骤(4)的详细内容是：引入中间变量Z＝RX和拉格朗日乘子D，公式(1.3)中的优化问题转化为以下优化问题：

$\underset{x,z}{min}\underset{D}{\max }\left|\right|Z|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z|{|}_F^2,---\left(0.12\right)$

其中，<·,·>表示矩阵在希尔伯特空间的内积，即 表示取复数的实部，trace(·)表示矩阵的迹，参数β取值大于零；

引入交替乘子法对公式(1.4)进行求解，公式(1.4)的优化问题求解通过交替求解以下问题得到：

$\left\{\begin{array}{c}X\&LeftArrow;\arg \underset{x}{min}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}\right||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ Z\&LeftArrow;\arg \underset{z}{min}\left\{\right|\left|Z\right|{|}_{*}+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ D\&LeftArrow;D+\mathrm{\&tau;}(RX-Z)\end{array}\right.---\left(0.13\right)$

求解(1.5)中的问题，根据以下公式迭代更新变量：

$X^{k+1}={({\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^T{P}_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&beta;R}}^{T}R)}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^{T}Y+{\mathrm{\&beta;R}}^T(Z^k-\frac{D^k}{\mathrm{\&beta;}})\&rsqb;---\left(0.14\right)$

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1)(0.16)

当达到迭代停止准则时，迭代停止；其中，X^k+1，Z^k+1和D^k+1分别表示变量X，Z和D在第k+1次迭代时的值；表示奇异值收缩算子；矩阵右上角的符号“-1”表示求矩阵的逆；参数β和τ是正数，参数λ是正数。

上述迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或在相邻两次迭代中的二维磁共振自由衰减信号X^k+1与X^k的误差小于设置的阈值η，η>0。

上述步骤(5)的详细内容是：对步骤(4)求解得到的二维磁共振自由衰减信号做二维傅里叶变换得到其二维频谱，由重建的同一系列的平面自由衰减信号组合得到三维磁共振自由衰减信号，对三维磁共振自由衰减信号做三维傅里叶变换得到三维磁共振自由衰减信号的频谱。

采用上述方案后，本发明首先建立一种基于磁共振自由衰减信号的块Hankel矩阵的低秩重建模型，然后通过迭代算法求解重建模型并获得重建的自由衰减信号，最后进行傅里叶变换得到完整的磁共振波谱。这种重建方法精度高，可以从较少的欠采样数据中重建出完整的磁共振波谱。

附图说明

图1是信号采样位置的示意图；

图2是信号欠采样模板的示意图；

图3是本发明实施例中的大小为64×64的全采样的二维磁共振波谱数据；

图4是实施例中进行二维磁共振自由衰减信号的欠采样模板；

图5是根据图4的采样模板对没有采样到的自由衰减信号填零后得到磁共振波谱；

图6是使用本发明从图5中所示的欠采样数据中重建出的磁共振波谱；

图7是本发明的流程图。

具体实施方式

以下将结合附图，对本发明的技术方案及有益效果进行详细说明。

如图7所示，本发明提供一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，包括如下步骤：

(1)获取磁共振信号欠采样模板

在磁共振实验中根据对数据的要求设置实验的欠采样方式和实验参数，此时被采样信号点的维位置可以确定，进而可以得到实验的欠采样模板。结合图1所示，是信号采样位置的示意图，其中空心白色点表示该位置对应的数据被采样，实心黑色点表示该位置对应的数据没有被采样，该位置对应的数据丢失。图2则表示根据信号采样点位置确定的欠采样模板示意图，欠采样模板中的数字“1”表示该位置数据点被采样，数字“0”表示该位置数据点丢失，需要补全。

利用表示期望得到的完整的二维磁共振自由衰减信号，是一个矩阵形式，其中，表示复数域，M表示矩阵的行数，N表示矩阵的列数，X_m,n表示矩阵X的第m行中的第n个元素；集合Ω为上述欠采样模板中数字为“1”的位置的集合，大小为Q；P_ΩX表示按照欠采样模板对二维磁共振自由衰减信号X进行欠采样，即当且仅当(m,n)∈Ω时，X_m,n是被采样到的自由衰减信号数据点，Q表示被采样到的数据点的总数；表示对欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样数据。

(2)构建二维矩阵的块Hankel矩阵

用R表示将矩阵转成块Hankel矩阵的操作算子,RX是X对应的块Hankel矩阵。可以通过以下方式构建块Hankel矩阵：

第一步：构建Hankel矩阵。用X_m表示矩阵X的第m行，根据公式(1.1)构建X_m的Hankel矩阵Z_m：

$Z_m=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{m,1}& X_{m,2}& ...& X_{m,N-K+1}\\ X_{m,2}& X_{m,3}& ...& X_{m,N-K+2}\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ X_{m,K}& X_{m,K+1}& ...& X_{m,N}\end{array}\right]---\left(0.17\right)$

其中，X_m,1表示X中第m行的第一个元素。Hankel矩阵Z_m的行数为K(1≤K≤N)，列数为N-K+1。依次取出X的第1,2,…,M行，构建每一行对应的Hankel矩阵Z₁,Z₂,…,Z_M。

第二步：构建块Hankel矩阵。用B表示块Hankel矩阵，满足B＝RX。将Hankel矩阵Z_m(m＝1,2,…,M)当做一个元素构建块Hankel矩阵，具体过程如公式(1.2)所示：

$B=RX=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_1& Z_2& ...& Z_{M-L+1}\\ Z_2& Z_3& ...& Z_{M-L+2}\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;& \&CenterDot;\\ Z_L& Z_{L+1}& ...& Z_M\end{array}\right]---\left(0.18\right)$

其中，L(1≤L≤M)表示矩阵B中每一列的Hankel矩阵的个数。

(3)构建基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型。X是待重建的二维磁共振自由衰减信号，||RX||_*表示矩阵RX的核范数，表示矩阵Y-P_ΩX的弗罗贝尼乌斯范数的平方。建立基于块Hankel矩阵的磁共振时间域的欠采样信号的重建模型：

$\begin{array}{cc}\underset{x}{min}& \left|\right|RX|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2\end{array}---\left(0.19\right)$

其中正则化参数λ(λ>0)用于权衡||RX||_*和两项的重要性。

(4)在步骤(3)的基础上提出基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型的求解算法。采用交替乘子法(可参见X.Qu,M.Mayzel,J.-F.Cai,Z.Chen,andV.Orekhov,AcceleratedNMRspectroscopywithlow-rankreconstruction.AngewandteChemieInternationalEdition,54(3):852-854,2015.)求解公式(0.19)中的最优化问题。引入中间变量Z＝RX和拉格朗日乘子D，公式(0.19)中的优化问题转化为以下优化问题：

$\underset{x,z}{min}\underset{D}{\max }\left|\right|Z|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z|{|}_F^2,---\left(0.20\right)$

其中，<·,·>表示矩阵在希尔伯特空间的内积，即 表示取复数的实部，trace(·)表示矩阵的迹。参数β取值大于零。

引入交替乘子法对公式(0.20)进行求解，公式(0.20)的优化问题求解可以通过交替求解以下问题得到：

$\left\{\begin{array}{c}X\&LeftArrow;\arg \underset{x}{min}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}\right||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ Z\&LeftArrow;\arg \underset{z}{min}\left\{\right|\left|Z\right|{|}_{*}+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ D\&LeftArrow;D+\mathrm{\&tau;}(RX-Z)\end{array}\right.---\left(0.21\right)$

求解(0.21)中的问题，根据以下公式迭代更新变量：

$X^{k+1}={({\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^T{P}_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&beta;R}}^{T}R)}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^{T}Y+{\mathrm{\&beta;R}}^T(Z^k-\frac{D^k}{\mathrm{\&beta;}})\&rsqb;---\left(0.22\right)$

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1)(0.24)

当达到迭代停止准则时，迭代停止。迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或在相邻两次迭代中的二维磁共振自由衰减信号X^k+1与X^k的误差小于设置的阈值η(η>0)。其中，X^k+1，Z^k+1和D^k+1分别表示变量X，Z和D在第k+1次迭代时的值；表示奇异值收缩算子；矩阵右上角的符号“-1”表示求矩阵的逆；参数β和τ是正数(默认取1)，参数λ是正数，一般取值10³。

(5)对重建的二维磁共振自由衰减信号后处理。步骤(4)求解得到的是二维磁共振自由衰减信号，对其做二维傅里叶变换即可得到其二维频谱。由重建的同一系列的平面自由衰减信号可以组合得到三维磁共振自由衰减信号，对三维磁共振自由衰减信号做三维傅里叶变换得到三维磁共振自由衰减信号的频谱。

采用本发明的一个实施例，设无噪声二维磁共振波谱数据的大小为64×64，包含了40个谱峰，画出此二维磁共振波谱图(如图3所示)。欠采样率为30％大小为64×64的二维磁共振自由衰减信号的欠采样模板如图4所示，图中白色的点表示采样点，黑色点表示没有采样到的点。用图4的欠采样模板在时域对上述大小为64×64的二维磁共振自由衰减信号进行欠采样，对没有采样到的数据点填零后得到信号对其做二维傅里叶变换得到其波谱(如图5所示)。

在本实施例中，总的磁共振波谱数据点数为3600点，欠采样率为30％时得到的总采样数据点为1229；块Hankel矩阵的大小为1024×1089。

设定迭代停止准则为达到最大迭代次数1000次，或在相邻两次迭代中的二维磁共振自由衰减信号X^k+1与X^k的误差小于设置的阈值η取值10^-8。对得到的二维磁共振自由衰减信号做二维傅里叶变换即可得到其频谱(如图6所示)。

以上实施例仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是按照本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明保护范围之内。

Claims (7)

1.一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于包括如下步骤：

(1)获取磁共振信号欠采样模板；

(2)构建二维矩阵的块Hankel矩阵；

(3)构建基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型；

(4)在步骤(3)的基础上提出基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建模型的求解算法；

(5)对重建的二维磁共振自由衰减信号后处理。

2.如权利要求1所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述步骤(1)的详细内容是：根据被采样信号点的位置，构建欠采样模板P_Ω，用数字1表示该位置数据点被采样，用数字0表示该位置数据点丢失且需要补全；利用表示期望得到的完整的二维磁共振自由衰减信号，其中，表示复数域，M表示矩阵的行数，N表示矩阵的列数，X_m,n表示矩阵X的第m行中的第n个元素；集合Ω为上述欠采样模板中数字为“1”的位置的集合，大小为Q；P_ΩX表示按照欠采样模板对二维磁共振自由衰减信号X进行欠采样，即当且仅当(m,n)∈Ω时，X_m,n是被采样到的自由衰减信号数据点，Q表示被采样到的数据点的总数；表示对欠采样信号中丢失数据点进行填零后的欠采样数据。

3.如权利要求2所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述步骤(2)的详细内容是：用R表示将矩阵转成块Hankel矩阵的操作算子,RX是X对应的块Hankel矩阵，通过以下方式构建块Hankel矩阵：

第一步：构建Hankel矩阵；用X_m表示矩阵X的第m行，根据公式(1.1)构建X_m的Hankel矩阵Z_m：

$Z_m=\left[\begin{array}{cccc}{X}_{m,1}& X_{m,2}& \mathrm{...}& X_{m,N-K+1}\\ X_{m,2}& X_{m,3}& \mathrm{...}& X_{m,N-K+2}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ X_{m,K}& X_{m,K+1}& \mathrm{...}& X_{m,N}\end{array}\right]---\left(0.1\right)$

其中，X_m,1表示X中第m行的第一个元素，Hankel矩阵Z_m的行数为K，1≤K≤N，列数为N-K+1；依次取出X的第1,2,…,M行，构建每一行对应的Hankel矩阵Z₁,Z₂,…,Z_M；

第二步：构建块Hankel矩阵；用B表示块Hankel矩阵，满足B＝RX；将Hankel矩阵Z_m当做一个元素构建块Hankel矩阵，m＝1,2,…,M，具体过程如公式(1.2)所示：

$B=RX=\left[\begin{array}{cccc}{Z}_1& Z_2& \mathrm{...}& Z_{M-L+1}\\ Z_2& Z_3& \mathrm{...}& Z_{M-L+2}\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ .& .& .& .\\ Z_L& Z_{L+1}& \mathrm{...}& Z_M\end{array}\right]---\left(0.2\right)$

其中，L表示矩阵B中每一列的Hankel矩阵的个数，1≤L≤M。

4.如权利要求3所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述步骤(3)的详细内容是：利用X表示待重建的二维磁共振自由衰减信号，||RX||_*表示矩阵RX的核范数，表示矩阵Y-P_ΩX的弗罗贝尼乌斯范数的平方，建立基于块Hankel矩阵的磁共振时间域的欠采样信号的重建模型：

$\underset{X}{min}\left|\right|RX|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2---\left(0.3\right)$

其中正则化参数λ用于权衡||RX||_*和两项的重要性，λ>0。

5.如权利要求4所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述步骤(4)的详细内容是：引入中间变量Z＝RX和拉格朗日乘子D，公式(1.3)中的优化问题转化为以下优化问题：

$\underset{X,Z}{min}\underset{D}{max}\left|\right|Z|{|}_{*}+\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z|{|}_F^2,---\left(0.4\right)$

其中，<·,·>表示矩阵在希尔伯特空间的内积，即 表示取复数的实部，trace(·)表示矩阵的迹，参数β取值大于零；

引入交替乘子法对公式(1.4)进行求解，公式(1.4)的优化问题求解通过交替求解以下问题得到：

$\left\{\begin{array}{c}X\&LeftArrow;\arg \underset{X}{min}\left\{\frac{\mathrm{\&lambda;}}{2}\right||Y-P_{\mathrm{\&Omega;}}X|{|}_F^2+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ Z\&LeftArrow;\arg \underset{Z}{min}\left\{\right|\left|Z\right|{|}_{*}+<D,RX-Z>+\frac{\mathrm{\&beta;}}{2}\left|\right|RX-Z\left|{|}_F^2\right\}\\ D\&LeftArrow;D+\mathrm{\&tau;}(RX-Z)\end{array}\right.---\left(0.5\right)$

求解(1.5)中的问题，根据以下公式迭代更新变量：

$X^{k+1}={({\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^T{P}_{\mathrm{\&Omega;}}+{\mathrm{\&beta;R}}^{T}R)}^{-1}\&lsqb;{\mathrm{\&lambda;P}}_{\mathrm{\&Omega;}}^{T}Y+{\mathrm{\&beta;R}}^T(Z^k-\frac{D^k}{\mathrm{\&beta;}})\&rsqb;---\left(0.6\right)$

D^k+1←D^k+τ(RX^k+1-Z^k+1)(0.8)

当达到迭代停止准则时，迭代停止；其中，X^k+1，Z^k+1和D^k+1分别表示变量X，Z和D在第k+1次迭代时的值；表示奇异值收缩算子；矩阵右上角的符号“-1”表示求矩阵的逆；参数β和τ是正数，参数λ是正数。

6.如权利要求5所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或在相邻两次迭代中的二维磁共振自由衰减信号X^k+1与X^k的误差小于设置的阈值η，η>0。

7.如权利要求5所述的一种基于块Hankel矩阵的磁共振波谱重建方法，其特征在于：所述步骤(5)的详细内容是：对步骤(4)求解得到的二维磁共振自由衰减信号做二维傅里叶变换得到其二维频谱，由重建的同一系列的平面自由衰减信号组合得到三维磁共振自由衰减信号，对三维磁共振自由衰减信号做三维傅里叶变换得到三维磁共振自由衰减信号的频谱。