CN104932863A - 一种高维指数信号数据补全方法 - Google Patents

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一种高维指数信号数据补全方法,涉及高维数据的预测和补全方法。根据张量平行因子分解对高维指数信号建模;建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型;求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型;数据后处理,对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换,即得到补全后的高维指数信号频谱。精度高,可以从少量的数据中补全出完整的信号。在实际应用中,若目标函数可以建模成指数函数的高维信号,则可以通过采用高维指数信号补全方法,实现利用少量的数据补全获得完整的信号,从而达到克服采样设备限制,降低采样时间,提高频谱分辨率的目的。

Description

一种高维指数信号数据补全方法
技术领域
本发明涉及高维数据的预测与补全,尤其是涉及具有指数函数的高维信号的数据补全问题。
背景技术
在许多实际应用中,如核磁共振波谱、雷达目标定位等,我们感兴趣的目标信号可以建模成在频域(相对时域)上若干谱峰的线性叠加,而采集的数据是时域(相对频域)信号,并且符合指数函数。而在实际的采样中,通常由于受到硬件、物理条件的限制,为了加快采样的速度等原因,实际采样得到的数据并不完整或达不到预期的分辨率,甚至只能得到极少部分的数据,需要补全采集到数据中的丢失部分。特别是在高维应用领域,通常由于数据量非常大,造成采样时间非常冗长,往往在测量时采用欠采样的方式缩短采样时间,通过数据补全的方法得到完整的数据和预期的分辨率。
比如核磁共振波谱,它在化学结构分析领域有着重要的应用。但数据采集时间随着维数的增加而指数级增长。2维谱到4维谱的采集时间从分钟不断上升到几十天(M.Mobli and J.C.Hoch,"Nonuniform sampling and non-Fourier signal processing methods in multidimensionalNMR,"Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy,vol.83,pp.21-41,2014.)。冗长的高维核磁共振实验时间,不但使得实验必须耗费大量的谱仪机时,而且加大了不稳定蛋白质样品的实验难度,从而限制了高维核磁共振技术在蛋白质研究中的应用。为了缩短高维核磁共振实验时间,一个常见的做法是采用非均匀采样的方式来减少时间域的采样点数(XiaoboQu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov.Accelerated NMRspectroscopy with low-rank reconstruction,Angewandte Chemie International Edition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)(Xiaobo Qu,Di Guo,Xue Cao,Shuhui Cai and Zhong Chen.Reconstruction of self-sparse 2D NMR spectra from undersampled data in indirect dimension,Sensors,vol.11,no.9,pp.8888-8909,2011.),但这样做造成信号的丢失,需要对信号进行补全。
发明内容
本发明的目的在于提供一种高维指数信号数据补全方法。
本发明包括以下步骤:
1)根据张量平行因子分解对高维指数信号建模,具体方法如下:
N维指数信号根据张量平行因子分解(张贤达,矩阵分析与应用[M].第二版,北京:清华大学出版社,2013.)表示成其中“ο”表示向量外积,列向量称为模式向量,并且符合指数函数,R取正整数,简洁的算子形式可以表示为:
其中 U ( i ) T = a 1 ( i ) a 2 ( i ) ... a R ( i ) , ( i = 1 , 2 , ... , N ) ; 符号“T”表示求矩阵的转置;符号“[[]]”表示tucker算子(张贤达,矩阵分析与应用[M].第二版,北京:清华大学出版社,2013.);
2)建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型,具体方法如下:
测量得到的含有数据丢失的N维指数信号Y=Q[[(1)UT,(2)UT,…,(N)UT]],Q表示带有数据丢失的采样算子,确定数据丢失的位置,建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型为:
m i n { ( k ) U ( k = 1 , ... , N ) } Σ r = 1 R Σ k = 1 N | | RP r ( k ) U | | * + λ 2 | | Y - Q [ [ U ( 1 ) T , U ( 2 ) T , ... , U ( N ) T ] ] | | F 2 - - - ( 2 )
其中Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量,RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵,||RPr(k)U||*表示求矩阵RPr(k)U的核范数,即对矩阵RPr(k)U的奇异值求和;表示对张量求弗罗贝尼乌斯范数,即求张量Y-Q[[(1)UT,(2)UT,…,(N)UT]]各元素的平方和;λ是正则化参数(λ>0),用于权衡两项的重要性;参数R为正整数,通常可取信号在频域上预期谱峰个数的2~5倍;
3)求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型,具体方法如下:
求解公式(2)中的最优化问题,可以采用交替方向乘子法,引入中间变量(k)Zr=RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr,(k=1,…,N;r=1,…,R),可以根据下式迭代更新变量:
U ( k ) ( t + 1 ) = ( Σ r = 1 R βP r * R * RP r + λ ( k ) G * ( k ) Q * ( k ) Q ( k ) G ) - 1 ( Σ r = 1 R βP r * R * ( k ) Z r - P r * R * ( k ) D r + λ ( k ) G * ( k ) Q * Y ( k ) ) - - - ( 3 )
( k ) Z r ( t + 1 ) S 1 / β ( RP r ( k ) U + ( k ) D r β ) - - - ( 4 )
( k ) D r ( t + 1 ) = ( k ) D r ( r ) + τ ( RP r ( k ) U ( t ) - ( k ) Z r ( t ) ) - - - ( 5 )
其中(k)U(t+1)分别表示变量(k)U,(k)Zr(k)Dr在第t+1次迭代时的值;符号“*”表示求矩阵的共轭转置;符号“-1”表示求矩阵的逆;(k)G=(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT,“·”表示Khatri-Rao积(张贤达,矩阵分析与应用[M].第二版,北京:清华大学出版社,2013.);矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化(张贤达,矩阵分析与应用[M].第二版,北京:清华大学出版社,2013.);(k)Q表示带有数据丢失的采样算子,并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同;表示奇异值收缩算子(J.F.Cai,E.J.Candes,and Z.W.Shen,"A singularvalue thresholding algorithm for matrix completion,"SIAM Journal on Optimization,vol.20,pp.1956-1982,2010.)(Xiaobo Qu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov.Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,Angewandte Chemie InternationalEdition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.);参数β和τ是正数,通常可取1;当达到迭代停止准则时,迭代停止;迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或(k)U(k=1,…,N)在相邻两次迭代中的误差||(k)U(t+1)-(k)U(t)||F小于设置的阈值η(取值大于0);当迭代停止时,可根据公式(1)得到完整的高维指数信号;
4)数据后处理,具体方法是对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换,即得到补全后的高维指数信号频谱。
本发明首先利用张量平行因子分解来表示高维指数信号,并建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型,然后通过迭代算法补全信号。本发明的有益效果是:精度高,可以从少量的数据中补全出完整的信号。在实际应用中,若目标函数可以建模成指数函数的高维信号,则可以通过采用本发明提出的一种高维指数信号补全方法,实现利用少量的数据补全获得完整的信号,从而达到克服采样设备限制,降低采样时间,提高频谱分辨率的目的。
附图说明
图1为数据补全后所得的投影谱。
图2为数据未丢失的投影谱(作为参考)。
具体实施方式
下面通过具体实施例对本发明作进一步的说明,并给出补全的结果。本实施例是一个补全三维指数信号数据的模拟实验。
第一步:确定一个三维指数信号的数据丢失位置
本实施例中,三维指数信号X大小为32×32×32,包含了3个谱峰。在模拟数据采集时,三维信号X沿着第三维(沿着竖直方向上的维度)丢失了后面3/4的数据,即整个三维信号X只采集到1/4的数据。
第二步:根据张量平行因子分解为高维指数信号建模
根据公式(1),三维指数信号X可以建模成:
X=[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]]      (6)
其中(i)U(i=1,2,3)的行向量符合指数函数;符号“[[]]”表示tucker算子。
第三步:建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型:测量得到的含有数据丢失的3维指数信号Y=Q[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]],Q表示含有数据丢失的采样算子。构建如下3维指数信号补全模型:
m i n { ( k ) U ( k = 1 , 2 , 3 ) } Σ r = 1 R Σ k = 1 3 | | RP r ( k ) U | | * + λ 2 | | Y - Q [ [ U ( 1 ) T , U ( 2 ) T , U ( 3 ) T ] ] | | F 2 - - - ( 7 )
其中Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量,RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵,||RPr(k)U||*表示求矩阵Pr(k)U的核范数,即对矩阵的奇异值求和;表示求张量Y-Q[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]]各元素的平方和;λ是正则化参数(λ>0),用于权衡两项的重要性;本实施例中参数R设为6。
第四步:求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型:
求解公式(7)中的最优化问题,采用交替方向乘子法。引入中间变量(k)Zr=RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr,(k=1,2,3;r=1,…,6)。可以根据下式迭代更新变量:
U ( k ) ( t + 1 ) = ( Σ r = 1 R βP r * R * RP r + λ ( k ) G * ( k ) Q * ( k ) Q ( k ) G ) - 1 ( Σ r = 1 R βP r * R * ( k ) Z r - P r * R * ( k ) D r + λ ( k ) G * ( k ) Q * Y ( k ) ) - - - ( 3 )
( k ) Z r ( t + 1 ) S 1 / β ( RP r ( k ) U + ( k ) D r β ) - - - ( 4 )
( k ) D r ( t + 1 ) = ( k ) D r ( t ) + τ ( RP r ( k ) U ( t ) - ( k ) Z r ( t ) ) - - - ( 5 )
其中(k)U(t+1)分别表示变量(k)U,(k)Zr(k)Dr在第t+1次迭代时的值;符号“*”表示求矩阵的共轭转置;符号“-1”表示求矩阵的逆;(k)G=(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT,“·”表示Khari-Tao积;矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化(张贤达,矩阵分析与应用[M].第二版,北京:清华大学出版社,2013.);(k)Q表示带有数据丢失的采样算子,并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同;表示奇异值收缩算子;本实施例中参数β和τ取1。迭代停止准则为达到最大迭代次数100或(k)U(k=1,2,3)在相邻两次迭代中的误差||(k)U(t+1)-(k)U(t)||F小于设置的阈值η=10-6。当迭代停止时,可根据公式(6)得到完整的高维指数信号。
第五步:数据后处理
对补全的高维时间信号进行傅立叶变换即可得到三维谱图。为了方便展示三维谱,沿第三维做投影得到二维投影谱(对三维矩阵中沿第三维上的数据求和得到二维矩阵),如图1所示。作为参考,对原始未丢失数据的信号做傅立叶变换得到三维谱,并同样沿第三维做投影得到二维投影谱,如图2所示。

Claims (4)

1.一种高维指数信号数据补全方法,其特征在于包括以下步骤:
1)根据张量平行因子分解对高维指数信号建模;
2)建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型;
3)求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型;
4)数据后处理,具体方法是对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换,即得到补全后的高维指数信号频谱。
2.如权利要求1所述一种高维指数信号数据补全方法,其特征在于在步骤1)中,所述根据张量平行因子分解对高维指数信号建模的具体方法如下:
N维指数信号根据张量平行因子分解表示成其中“ο”表示向量外积,列向量称为模式向量,并且符合指数函数,R取正整数,简洁的算子形式表示为:
其中 ( i ) U T = a 1 ( i ) a 2 ( i ) ... a R ( i ) , ( i = 1 , 2 , ... , N ) ; 符号“T”表示求矩阵的转置;符号表示tucker算子。
3.如权利要求1所述一种高维指数信号数据补全方法,其特征在于在步骤2)中,所述建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型的具体方法如下:
测量得到的含有数据丢失的N维指数信号Q表示带有数据丢失的采样算子,确定数据丢失的位置,建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型为:
其中Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量,RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵,||RPr(k)U||*表示求矩阵RPr(k)U的核范数,即对矩阵RPr(k)U的奇异值求和;表示对张量求弗罗贝尼乌斯范数,即求张量各元素的平方和;λ是正则化参数(λ>0),用于权衡两项的重要性;参数R为正整数,通常取信号在频域上预期谱峰个数的2~5倍。
4.如权利要求1所述一种高维指数信号数据补全方法,其特征在于在步骤3)中,所述求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型的具体方法如下:
求解公式(2)中的最优化问题,采用交替方向乘子法,引入中间变量(k)Zr=RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr,(k=1,…,N;r=1,…,R),根据下式迭代更新变量:
( k ) U ( t + 1 ) = ( Σ r = 1 R βP r * R * RP r + λ ( k ) G * ( k ) Q * ( k ) Q ( k ) G ) - 1 ( Σ r = 1 R βP r * R * ( k ) Z r - P r * R * ( k ) D r + λ ( k ) G * ( k ) Q * Y ( k ) ) - - - ( 3 )
( k ) Z r ( t + 1 ) = S 1 / β ( RP r ( k ) U + ( k ) D r β ) - - - ( 4 )
( k ) D r ( t + 1 ) = ( k ) D r ( t ) + τ ( RP r ( k ) U ( t ) - ( k ) Z r ( t ) ) - - - ( 5 )
其中(k)U(t+1)分别表示变量(k)U,(k)Zr(k)Dr在第t+1次迭代时的值;符号“*”表示求矩阵的共轭转置;符号“-1”表示求矩阵的逆;(k)G=(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT,“·”表示Khatri-Rao积;矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化;(k)Q表示带有数据丢失的采样算子,并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同;表示奇异值收缩算子;参数β和τ是正数,通常取1;当达到迭代停止准则时,迭代停止;迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或(k)U(k=1,…,N)在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(取值大于0);当迭代停止时,根据公式(1)得到完整的高维指数信号。
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