CN104932863B - 一种高维指数信号数据补全方法 - Google Patents
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Abstract
一种高维指数信号数据补全方法，涉及高维数据的预测和补全方法。根据张量平行因子分解对高维指数信号建模；建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型；求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型；数据后处理，对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换，即得到补全后的高维指数信号频谱。精度高，可以从少量的数据中补全出完整的信号。在实际应用中，若目标函数可以建模成指数函数的高维信号，则可以通过采用高维指数信号补全方法，实现利用少量的数据补全获得完整的信号，从而达到克服采样设备限制，降低采样时间，提高频谱分辨率的目的。
Description
技术领域
本发明涉及高维数据的预测与补全，尤其是涉及具有指数函数的高维信号的数据补全问题。
背景技术
在许多实际应用中，如核磁共振波谱、雷达目标定位等，我们感兴趣的目标信号可以建模成在频域(相对时域)上若干谱峰的线性叠加，而采集的数据是时域(相对频域)信号，并且符合指数函数。而在实际的采样中，通常由于受到硬件、物理条件的限制，为了加快采样的速度等原因，实际采样得到的数据并不完整或达不到预期的分辨率，甚至只能得到极少部分的数据，需要补全采集到数据中的丢失部分。特别是在高维应用领域，通常由于数据量非常大，造成采样时间非常冗长，往往在测量时采用欠采样的方式缩短采样时间，通过数据补全的方法得到完整的数据和预期的分辨率。
比如核磁共振波谱，它在化学结构分析领域有着重要的应用。但数据采集时间随着维数的增加而指数级增长。2维谱到4维谱的采集时间从分钟不断上升到几十天(M.Mobliand J.C.Hoch,"Nonuniform sampling and non-Fourier signal processing methodsin multidimensional NMR,"Progress in Nuclear Magnetic Resonance Spectroscopy,vol.83,pp.21-41,2014.)。冗长的高维核磁共振实验时间，不但使得实验必须耗费大量的谱仪机时，而且加大了不稳定蛋白质样品的实验难度，从而限制了高维核磁共振技术在蛋白质研究中的应用。为了缩短高维核磁共振实验时间，一个常见的做法是采用非均匀采样的方式来减少时间域的采样点数(Xiaobo Qu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov.Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,Angewandte Chemie International Edition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)(XiaoboQu,Di Guo,Xue Cao,Shuhui Cai and Zhong Chen.Reconstruction of self-sparse 2DNMR spectra from undersampled data in indirect dimension,Sensors,vol.11,no.9,pp.8888-8909,2011.)，但这样做造成信号的丢失，需要对信号进行补全。
发明内容
本发明的目的在于提供一种高维指数信号数据补全方法。
本发明包括以下步骤：
1)根据张量平行因子分解对高维指数信号建模，具体方法如下：
N维指数信号根据张量平行因子分解(张贤达，矩阵分析与应用[M].第二版，北京：清华大学出版社，2013.)表示成其中“ο”表示向量外积，列向量称为模式向量，并且符合指数函数，R取正整数，简洁的算子形式可以表示为：
其中符号“T”表示求矩阵的转置；符号“[[]]”表示tucker算子(张贤达，矩阵分析与应用[M].第二版，北京：清华大学出版社，2013.)；
2)建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型，具体方法如下：
测量得到的含有数据丢失的N维指数信号Y＝Q[[(1)UT,(2)UT,…,(N)UT]]，Q表示带有数据丢失的采样算子，确定数据丢失的位置，建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型为：
其中Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量，RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵，||RPr(k)U||*表示求矩阵RPr(k)U的核范数，即对矩阵RPr(k)U的奇异值求和；表示对张量求弗罗贝尼乌斯范数，即求张量Y-Q[[(1)UT,(2)UT,…,(N)UT]]各元素的平方和；λ是正则化参数(λ>0)，用于权衡和两项的重要性；参数R为正整数，通常可取信号在频域上预期谱峰个数的2～5倍；
3)求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型，具体方法如下：
求解公式(2)中的最优化问题，可以采用交替方向乘子法，引入中间变量(k)Zr＝RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr，(k＝1,…,N；r＝1,…,R)，可以根据下式迭代更新变量：
其中(k)U(t+1)，和分别表示变量(k)U，(k)Zr和(k)Dr在第t+1次迭代时的值；符号“*”表示求矩阵的共轭转置；符号“-1”表示求矩阵的逆；(k)G＝(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT，“·”表示Khatri-Rao积(张贤达，矩阵分析与应用[M].第二版，北京：清华大学出版社，2013.)；矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化(张贤达，矩阵分析与应用[M].第二版，北京：清华大学出版社，2013.)；(k)Q表示带有数据丢失的采样算子，并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同；表示奇异值收缩算子(J.F.Cai,E.J.Candes,and Z.W.Shen,"A singular value thresholding algorithmfor matrix completion,"SIAM Journal on Optimization,vol.20,pp.1956-1982,2010.)(Xiaobo Qu,Maxim Mayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,VladislavOrekhov.Accelerated NMR spectroscopy with low-rank reconstruction,AngewandteChemie International Edition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)；参数β和τ是正数，通常可取1；当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或(k)U(k＝1,…,N)在相邻两次迭代中的误差||(k)U(t+1)-(k)U(t)||F小于设置的阈值η(取值大于0)；当迭代停止时，可根据公式(1)得到完整的高维指数信号；
4)数据后处理，具体方法是对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换，即得到补全后的高维指数信号频谱。
本发明首先利用张量平行因子分解来表示高维指数信号，并建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型，然后通过迭代算法补全信号。本发明的有益效果是：精度高，可以从少量的数据中补全出完整的信号。在实际应用中，若目标函数可以建模成指数函数的高维信号，则可以通过采用本发明提出的一种高维指数信号补全方法，实现利用少量的数据补全获得完整的信号，从而达到克服采样设备限制，降低采样时间，提高频谱分辨率的目的。
附图说明
图1为数据补全后所得的投影谱。
图2为数据未丢失的投影谱(作为参考)。
具体实施方式
下面通过具体实施例对本发明作进一步的说明，并给出补全的结果。本实施例是一个补全三维指数信号数据的模拟实验。
第一步：确定一个三维指数信号的数据丢失位置
本实施例中，三维指数信号X大小为32×32×32，包含了3个谱峰。在模拟数据采集时，三维信号X沿着第三维(沿着竖直方向上的维度)丢失了后面3/4的数据，即整个三维信号X只采集到1/4的数据。
第二步：根据张量平行因子分解为高维指数信号建模
根据公式(1)，三维指数信号X可以建模成：
X＝[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]] (6)
其中(i)U(i＝1,2,3)的行向量符合指数函数；符号“[[]]”表示tucker算子。
第三步：建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型：测量得到的含有数据丢失的3维指数信号Y＝Q[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]]，Q表示含有数据丢失的采样算子。构建如下3维指数信号补全模型：
其中Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量，RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵，||RPr(k)U||*表示求矩阵Pr(k)U的核范数，即对矩阵的奇异值求和；表示求张量Y-Q[[(1)UT,(2)UT,(3)UT]]各元素的平方和；λ是正则化参数(λ>0)，用于权衡和两项的重要性；本实施例中参数R设为6。
第四步：求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型：
求解公式(7)中的最优化问题，采用交替方向乘子法。引入中间变量(k)Zr＝RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr，(k＝1,2,3；r＝1,…,6)。可以根据下式迭代更新变量：
其中(k)U(t+1)，和分别表示变量(k)U，(k)Zr和(k)Dr在第t+1次迭代时的值；符号“*”表示求矩阵的共轭转置；符号“-1”表示求矩阵的逆；(k)G＝(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT，“·”表示Khari-Tao积；矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化(张贤达，矩阵分析与应用[M].第二版，北京：清华大学出版社，2013.)；(k)Q表示带有数据丢失的采样算子，并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同；表示奇异值收缩算子；本实施例中参数β和τ取1。迭代停止准则为达到最大迭代次数100或(k)U(k＝1,2,3)在相邻两次迭代中的误差||(k)U(t+1)-(k)U(t)||F小于设置的阈值η＝10-6。当迭代停止时，可根据公式(6)得到完整的高维指数信号。
第五步：数据后处理
对补全的高维时间信号进行傅立叶变换即可得到三维谱图。为了方便展示三维谱，沿第三维做投影得到二维投影谱(对三维矩阵中沿第三维上的数据求和得到二维矩阵)，如图1所示。作为参考，对原始未丢失数据的信号做傅立叶变换得到三维谱，并同样沿第三维做投影得到二维投影谱，如图2所示。
Claims (1)
1.一种高维指数信号数据补全方法，其特征在于包括以下步骤：
1)根据张量平行因子分解对高维指数信号建模，其具体方法如下：
N维指数信号根据张量平行因子分解表示成其中表示向量外积，列向量称为模式向量，r＝1,2,…,R；i＝1,2,…,N，并且符合指数函数，R取正整数，简洁的算子形式表示为：
其中i＝1,2,…,N；符号“T”表示求矩阵的转置；符号表示tucker算子；
2)建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型，其具体方法如下：
测量得到的含有数据丢失的N维指数信号Y，建立一种基于张量平行因子分解的高维数据补全模型为：
其中，Q表示带有数据丢失的采样算子，确定数据丢失的位置，Pr(k)U表示取出矩阵(k)U的第r行向量，RPr(k)U表示把向量Pr(k)U排列成汉克尔矩阵，||RPr(k)U||*表示求矩阵RPr(k)U的核范数，即对矩阵RPr(k)U的奇异值求和；表示对张量求弗罗贝尼乌斯范数，即求张量各元素的平方和；λ是正则化参数，λ>0，用于权衡和两项的重要性；参数R为正整数，取信号在频域上预期谱峰个数的2～5倍；
3)求解基于张量平行因子分解的高维数据补全模型，其具体方法如下：
求解公式(2)中的最优化问题，采用交替方向乘子法，引入中间变量(k)Zr＝RPr(k)UT和拉格朗日乘子(k)Dr，k＝1,…,N；r＝1,…,R，根据下式迭代更新变量：
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其中(k)U(t+1)，和分别表示变量(k)U，(k)Zr和(k)Dr在第t+1次迭代时的值；符号“*”表示求矩阵的共轭转置；符号“-1”表示求矩阵的逆；(k)G＝(N)UT·…·(k+1)UT·(k-1)UT·…·(1)UT，“·”表示Khatri-Rao积；矩阵X(k)和Y(k)分别表示张量X和Y的纵向展开的Kolda矩阵化；(k)Q表示带有数据丢失的采样算子，并且采样得到的数据(k)QX(k)与QX相同；表示奇异值收缩算子；参数β和τ是正数并取1；当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或(k)U，k＝1,…,N，在相邻两次迭代中的误差||(k)U(t+1)-(k)U(t)||F小于设置的阈值η，η取值大于0；当迭代停止时，根据公式(1)得到完整的高维指数信号；
4)数据后处理，具体方法是对求解获得的高维指数信号进行傅立叶变换，即得到补全后的高维指数信号频谱。
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