CN107423543A - 一种超复数磁共振波谱的快速重建方法 - Google Patents

Abstract

一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，涉及磁共振波谱。提供一种可以从欠采样的超复数磁共振波谱中重建出完整的磁共振波谱的方法。首先将获得的欠采样超复数磁共振波谱填充到分块汉克尔矩阵中；接着将超复数分块汉克尔矩阵转换成超复数伴随矩阵；然后构建以对应超复数伴随矩阵的核范数最小化的重建模型；最后采用快速算法求解重建模型，从而得到完整的磁共振波谱。

Description

一种超复数磁共振波谱的快速重建方法

技术领域

本发明涉及磁共振波谱，尤其是涉及一种超复数磁共振波谱的快速重建方法。

背景技术

在生物医学工程中，磁共振波谱作为一种广泛采用的测定分子结构检测手段，通过采集的频谱来分析人体组织的代谢产物、化合物的分子基团和蛋白质空间结构等，在医学、化学和生物学等领域有着极其广泛的应用。其中，一维磁共振的实验通常采用正交检测，其每个维度由实部和虚部两个部分组成，通过调相使其实部为纯吸收线型，虚部为纯色散线型，这时显示实部的纯吸收线型就是对应的相敏谱。对于一个二维磁共振波谱中经过相位调制获得的相敏谱，其时域信号每个时间点可表达成两个复数相乘，获得超复数的数据。但是获取完整的高质量的二维磁共振波谱数据的过程通常耗时长，不利于磁共振波谱的应用和推广，所以对磁共振波谱数据进行欠采样以达到加快采样时间显得尤为重要。得到磁共振波谱欠采数据后需要对欠采样的数据进行重建，重建方法各有不同。可以通过谱的自稀疏性从欠采样数据来重建这些谱(Xiaobo Qu,Xue Cao,Di Guo,Zhong Chen,"Compressed sensing for sparse magnetic resonance spectroscopy,"InternationalSociety for Magnetic Resonance in Medicine 18th Scientific Meeting.Stockholm,Sweden,pp.3371,2010.)；也可以采用低秩汉克尔矩阵来实现重建(Xiaobo Qu,MaximMayzel,Jian-Feng Cai,Zhong Chen,Vladislav Orekhov."Accelerated NMRspectroscopy with low-rank reconstruction,"Angewandte Chemie InternationalEdition,vol.54,no.3,pp.852-854,2015.)。

发明内容

本发明的目的在于提供效果优良、易于操作、重建时间短的一种超复数磁共振波谱的快速重建方法。

本发明包括以下步骤：

1)用超复数表示磁共振波谱；

2)获取欠采样的超复数磁共振波谱；

3)构造超复数分块汉克尔矩阵；

4)生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵；

5)构建矩阵核范数最小化的磁共振波谱重建模型；

6)转化重建模型；

7)磁共振波谱重建；

8)数据后处理：对补全的时间信号进行傅立叶变换即可得到谱。

在步骤1)中，所述用超复数表示磁共振波谱的具体方法可为：二维磁共振波谱中的相敏谱，或者三维磁共振波谱的直接维去除相位后两个间接维构成的一个平面，其时域信号每个时间点的数据可以表示为：

其中，表示磁共振时间信号的第m行第n列数据，W是磁共振波谱的谱峰个数，w表示第w个谱峰的索引，α_w表示磁共振波谱第w个谱峰的幅度，Δt₁和Δt₂分别表示间接维和直接维上的采样时间的间隔，τ_1w和τ_2w分别表示第w个谱峰的间接维和直接维上的衰减常数，f_1w和f_2w分别表示第w个谱峰在间接维和直接维上的频率，和分别表示第w个谱峰在间接维和直接维上的相位，i和j是两个虚部单位，满足i²＝-1，j²＝-1和ij＝ji＝k，k是第三个虚部单位且满足k²＝1。

公式(1)也可以写成：

其中，都是实数，满足：

公式(2)表明可以写成超复数的形式。可以用超复数表示的磁共振波谱均称为超复数磁共振波谱。

在步骤2)中，所述获取欠采样的超复数磁共振波谱的具体方法可为：对超复数磁共振波谱进行欠采样，对于有采集到的信号，保留对应信号的值，没有采集到的信号，将对应信号的值置为零，用表示这种欠采样操作算子。标记获得的欠采样的超复数磁共振波谱为这个欠采样的超复数磁共振波谱可以表示成四个实数矩阵的组合，即：

其中，表示超复数构成的集合，M和N表示超复数磁共振波谱的两个维度的大小，分别为超复数在实部1、虚部i、虚部j和虚部k各个分量的实矩阵，表示实数集。这四个实矩阵可以按照不同的欠采样方式进行获取。

在步骤3)中，所述构造超复数分块汉克尔矩阵的具体方法可为：对于待重建的超复数磁共振波谱的时间信号用表示将转成超复数分块汉克尔矩阵的操作算子，获得的超复数分块汉克尔矩阵表示为超复数分块汉克尔矩阵的构造过程如下：

a)构造M个超复数汉克尔矩阵：对超复数磁共振波谱的时间信号中的M个行向量分别构造M个同等维度的超复数汉克尔矩阵。以第m个行向量为例(1≤m≤M)，由第m个行向量构造得到的超复数汉克尔矩阵为

其中，k₂表示超复数汉克尔矩阵的行数且1≤k₂≤N，表示超复数磁共振波谱中第m行第n列的超复数。

b)构造超复数分块汉克尔矩阵：将构造出的M个超复数汉克尔矩阵按照公式(5)构造超复数分块汉克尔矩阵

其中，超复数分块汉克尔矩阵每行有M-k₁+1个超复数汉克尔矩阵，每列有k₁个超复数汉克尔矩阵。

在步骤4)中，所述生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵的具体方法可为：将超复数分块汉克尔矩阵表示成两个复数矩阵X_Ba和X_Bb的组合，即其中，X_Ba＝X_B1+X_Bii，X_Bb＝X_Bj+X_Bki，X_B1,X_Bi,X_Bj,X_Bk分别为在实部1、虚部i、虚部j和虚部k各个分量的实矩阵。用表示生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵的操作算子，对应的超复数伴随矩阵为：

在步骤5)中，所述构建矩阵核范数最小化的磁共振波谱重建模型的具体方法可为：构建如下基于超复数分块汉克尔矩阵核范数最小化的重建模型：

其中，||.||_*表示对应矩阵的核范数，表示矩阵每个元素模值的平方和，ε²表示误差的平方。欠采样算子可分别用不同的采样方式对超复数磁共振波谱四个部分做欠采样，从而得到Y₁,Y_i,Y_j和Y_k。公式(7)是也可用于超复数磁共振波谱去噪，即当欠采样操作算子没有对超复数磁共振波谱的时间信号进行欠采样，也就是

在步骤6)中，所述转化重建模型的具体方法可为：将公式(7)表示的矩阵核范数重建模型转化成基于超复数分块汉克尔矩阵的磁共振波谱的时间信号的矩阵分解重建模型：

其中，A和B是满足约束条件的两个复数矩阵，λ是用于权衡和两项重要性的正则化参数，符号“H”表示复共轭转置。

在步骤7)中，所述磁共振波谱重建的具体方法可为：公式(8)的增广拉格朗日形式可以写作下式：

其中，D是复数拉格朗日乘子，trace表示取矩阵对角线元素之和，表示取实部，β为大于零的参数。

然后通过如下式子进行迭代求解：

下标k表示第k次迭代更新的值，符号“-1”表示求超复数矩阵的逆，τ是一个大于0的参数。初值化算法(也就是k＝1时)中，A₁和B₁为随机复数矩阵，D₁是一个全为0的复数矩阵。当达到迭代停止准则时，迭代停止。迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或在相邻两次迭代中的误差小于设定的阈值η。

本发明针对超复数磁共振波谱，提出一种基于超复数分块汉克尔矩阵的快速重建方法。本发明首先将获得的欠采样超复数磁共振波谱填充到分块汉克尔矩阵中；接着将超复数分块汉克尔矩阵转换成超复数伴随矩阵；然后构建以对应超复数伴随矩阵的核范数最小化的重建模型；最后采用快速算法求解重建模型，从而得到完整的磁共振波谱。本发明通过对超复数磁共振波谱的时间信号进行分块汉克尔矩阵的低秩重建，利用超复数矩阵的因子分解来消除迭代过程中计算复杂度高的超复数矩阵奇异值分解，从而实现超复数磁共振波谱的欠采样信号的快速重建，并得到完整的磁共振谱。

附图说明

图1是实施例中的采样模板超复数的实部l。

图2是实施例中的采样模板超复数的虚部i。

图3是实施例中的采样模板超复数的虚部j。

图4是实施例中的采样模板超复数的虚部k。

图5是全采样的磁共振波谱。

图6是采用本发明方法重建的磁共振波谱。

具体实施方式

本实施例将重建二维超复数磁共振波谱，直接维与间接维大小分别为N＝110和M＝100。根据欠采样模板对超复数磁共振波谱时间域信号进行欠采样，采集25％的数据，则本实施例中总的磁共振波谱数据点数为11000点，欠采样率为25％时得到的总采样数据点数为2750点。正则化参数λ＝10⁶，β＝1。具体步骤如下：

1)用超复数表示磁共振波谱：采用超复数来表示磁共振波谱中的相敏谱，待重建的超复数磁共振波谱的时域信号表示为：

其中，表示超复数集，分别为超复数在实部1、虚部i、虚部j和虚部k(参见图1～4)各个分量的实矩阵，表示实数集。

2)获取欠采样的超复数磁共振波谱：对超复数磁共振波谱进行欠采样，对于有采集到的信号，保留对应信号的值，没有采集到的信号，将对应信号的值置为零。如图5所示，对超复数磁共振波谱的四个实矩阵按照不同的欠采样方式进行信号采集，白色像素所在位置处保留对应信号的值，黑色像素所在位置处对应信号的值为零。用表示这种欠采样操作算子，标记获得的欠采样的超复数磁共振波谱为这个欠采样的超复数磁共振波谱可以表示成实数四个矩阵的组合，即：

其中，表示超复数集，分别为超复数在实部1、虚部i、虚部j和虚部k各个分量的实矩阵，表示实数集。这四个实矩阵按照不同的欠采样方式进行获取。

3)构造超复数分块汉克尔矩阵：对于待重建的超复数磁共振波谱用表示将超复数磁共振波谱转成超复数分块汉克尔矩阵的操作算子，即是超复数分块汉克尔矩阵。超复数分块汉克尔矩阵的构造过程如下：

a)构造100个超复数汉克矩阵：对超复数磁共振波谱中的100个行向量分别构造100个同等维度的超复数汉克尔矩阵。以第m个行向量为例(1≤m≤M)，由第m个行向量构造得到的超复数汉克尔矩阵为

其中，k₂表示超复数汉克尔矩阵的行数且1≤k₂≤N，表示超复数磁共振波谱中第m行第n列的超复数。这里取k₂＝55，超复数汉克尔矩阵每行有56个超复数，每列有55个超复数。

b)构造超复数分块汉克尔矩阵：将构造出的100个超复数汉克尔矩阵按照公式(13)构造超复数分块汉克尔矩阵

这里取k₁＝50，超复数分块汉克尔矩阵每行有51个超复数汉克尔矩阵，每列有50个超复数汉克尔矩阵。

4)生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵：将超复数分块汉克尔矩阵表示成两个复数矩阵X_Ba和X_Bb的组合，即其中，X_Ba＝X_B1+X_Bii，X_Bb＝X_Bj+X_Bki，X_B1,X_Bi,X_Bj,X_Bk分别为的实部分量实矩阵、虚部i分量实矩阵、虚部j分量实矩阵和虚部k分量实矩阵。用表示生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵的操作算子，对应的超复数伴随矩阵为：

5)构建矩阵核范数最小化的磁共振波谱重建模型：构建如下基于超复数分块汉克尔矩阵

核范数最小化的重建模型：

其中，||.||_*表示对应矩阵的核范数，表示矩阵每个元素模值的平方和，ε²表示误差的平方。欠采样算子分别用不同的采样方式对超复数磁共振波谱四个部分做欠采样，如图5所示，从而得到

6)转化重建模型：将公式(16)表示的矩阵核范数重建模型转化成基于超复数分块汉克尔矩阵的磁共振波谱的时间信号的矩阵分解重建模型：

其中，A和B是满足约束条件的两个复数矩阵，λ是用于权衡和两项重要性的正则化参数，这里取λ＝10⁶，符号“H”表示复共轭转置。

7)磁共振波谱重建：公式(17)的增广拉格朗日形式可以写作下式：

其中，D是复数拉格朗日乘子，trace表示取矩阵对角线元素之和，表示取实部，β为大于零的参数，这里取β＝1。

然后通过如下式子进行迭代求解：

下标k表示第k次的解，符号“-1”表示求超复数矩阵的逆，τ是一个大于0的参数。初值化算法(也就是k＝1时)中，A₁和B₁为随机复数矩阵，D₁是一个全为0的复数矩阵。当达到迭代停止准则时，迭代停止。迭代停止准则设定为达到最大迭代次数500次或在相邻两次迭代中的误差小于设定的阈值η，η设为10^-5。

8)数据后处理：对补全的时间信号进行傅立叶变换即可得到完整的磁共振波谱(如图6所示)。作为参考，将原始的全采样时间信号做傅立叶变换得到磁共振波谱(如图5所示)。可以看出，利用采集到的部分数据和本发明的数据补全方法，可以重建得到高质量的完整的磁共振波谱。

Claims (8)

1.一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于包括以下步骤：

1)用超复数表示磁共振波谱；

2)获取欠采样的超复数磁共振波谱；

3)构造超复数分块汉克尔矩阵；

4)生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵；

5)构建矩阵核范数最小化的磁共振波谱重建模型；

6)转化重建模型；

7)磁共振波谱重建；

8)数据后处理：对补全的时间信号进行傅立叶变换即得到谱。

2.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤1)中，所述用超复数表示磁共振波谱的具体方法为：二维磁共振波谱中的相敏谱，或者三维磁共振波谱的直接维去除相位后两个间接维构成的一个平面，其时域信号每个时间点的数据表示为：

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其中，表示磁共振时间信号的第m行第n列数据，W是磁共振波谱的谱峰个数，w表示第w个谱峰的索引，α_w表示磁共振波谱第w个谱峰的幅度，Δt₁和Δt₂分别表示间接维和直接维上的采样时间的间隔，τ_1w和τ_2w分别表示第w个谱峰的间接维和直接维上的衰减常数，f_1w和f_2w分别表示第w个谱峰在间接维和直接维上的频率，和分别表示第w个谱峰在间接维和直接维上的相位，i和j是两个虚部单位，满足i²＝-1，j²＝-1和ij＝ji＝k，k是第三个虚部单位且满足k²＝1；

公式(1)写成：

其中，c_w(m,n),R_1w(m),I_1w(m),R_2w(n),I_2w(n),X₁(m,n),X_i(m,n),X_j(m,n),都是实数，满足：

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公式(2)表明写成超复数的形式，用超复数表示的磁共振波谱均称为超复数磁共振波谱。

3.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤2)中，所述获取欠采样的超复数磁共振波谱的具体方法为：对超复数磁共振波谱进行欠采样，对于有采集到的信号，保留对应信号的值，没有采集到的信号，将对应信号的值置为零，用表示这种欠采样操作算子；标记获得的欠采样的超复数磁共振波谱为这个欠采样的超复数磁共振波谱表示成四个实数矩阵的组合，即：

<mrow> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mn>1</mn> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>i</mi> </msub> <mi>i</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>j</mi> </msub> <mi>j</mi> <mo>+</mo> <msub> <mi>Y</mi> <mi>k</mi> </msub> <mi>k</mi> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>3</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，表示超复数构成的集合，M和N表示超复数磁共振波谱的两个维度的大小，Y₁,Y_i,Y_j,分别为超复数在实部1、虚部i、虚部j和虚部k各个分量的实矩阵，表示实数集；这四个实矩阵按照不同的欠采样方式进行获取。

4.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤3)中，所述构造超复数分块汉克尔矩阵的具体方法为：对于待重建的超复数磁共振波谱的时间信号用表示将转成超复数分块汉克尔矩阵的操作算子，获得的超复数分块汉克尔矩阵表示为超复数分块汉克尔矩阵的构造过程如下：

a)构造M个超复数汉克尔矩阵：对超复数磁共振波谱的时间信号中的M个行向量分别构造M个同等维度的超复数汉克尔矩阵；以第m个行向量为例，1≤m≤M，由第m个行向量构造得到的超复数汉克尔矩阵为

其中，k₂表示超复数汉克尔矩阵的行数且1≤k₂≤N，表示超复数磁共振波谱中第m行第n列的超复数；

b)构造超复数分块汉克尔矩阵：将构造出的M个超复数汉克尔矩阵按照公式(5)构造超复数分块汉克尔矩阵

其中，超复数分块汉克尔矩阵每行有M-k₁+1个超复数汉克尔矩阵，每列有k₁个超复数汉克尔矩阵。

5.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤4)中，所述生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵的具体方法为：将超复数分块汉克尔矩阵表示成两个复数矩阵X_Ba和X_Bb的组合，即其中，X_Ba＝X_B1+X_Bii，X_Bb＝X_Bj+X_Bki，X_B1,X_Bi,X_Bj,X_Bk分别为在实部1、虚部i、虚部j和虚部k各个分量的实矩阵；用表示生成超复数分块汉克尔矩阵的伴随矩阵的操作算子，对应的超复数伴随矩阵为：

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6.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤5)中，所述构建矩阵核范数最小化的磁共振波谱重建模型的具体方法为：构建如下基于超复数分块汉克尔矩阵核范数最小化的重建模型：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> </munder> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <msub> <mo>|</mo> <mo>*</mo> </msub> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>&amp;le;</mo> <msup> <mi>&amp;epsiv;</mi> <mn>2</mn> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>7</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，||·||_*表示对应矩阵的核范数，表示矩阵每个元素模值的平方和，ε²表示误差的平方；欠采样算子分别用不同的采样方式对超复数磁共振波谱四个部分做欠采样，从而得到Y₁,Y_i,Y_j和Y_k；公式(7)是用于超复数磁共振波谱去噪，即当欠采样操作算子没有对超复数磁共振波谱的时间信号进行欠采样，也就是

7.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤6)中，所述转化重建模型的具体方法为：将公式(7)表示的矩阵核范数重建模型转化成基于超复数分块汉克尔矩阵的磁共振波谱的时间信号的矩阵分解重建模型：

<mrow> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> </mrow> </munder> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>A</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>,</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mi>s</mi> <mo>.</mo> <mi>t</mi> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> <mtd> <mrow> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>=</mo> <msup> <mi>AB</mi> <mi>H</mi> </msup> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>8</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，A和B是满足约束条件的两个复数矩阵，λ是用于权衡和两项重要性的正则化参数，符号“H”表示复共轭转置。

8.如权利要求1所述一种超复数磁共振波谱的快速重建方法，其特征在于在步骤7)中，所述磁共振波谱重建的具体方法为：公式(8)的增广拉格朗日形式写作下式：

<mrow> <munder> <mrow> <mi>m</mi> <mi>i</mi> <mi>n</mi> </mrow> <mrow> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>,</mo> <mi>A</mi> <mo>,</mo> <mi>B</mi> <mo>,</mo> <mi>D</mi> </mrow> </munder> <mfrac> <mn>1</mn> <mn>2</mn> </mfrac> <mrow> <mo>(</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>A</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mi>B</mi> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;lambda;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>|</mo> <msubsup> <mo>|</mo> <mi>F</mi> <mn>2</mn> </msubsup> <mo>+</mo> <mfrac> <mi>&amp;beta;</mi> <mn>2</mn> </mfrac> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>AB</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>|</mo> <mo>|</mo> <mo>+</mo> <mo>&lt;</mo> <mi>D</mi> <mo>,</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>B</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>-</mo> <msup> <mi>AB</mi> <mi>H</mi> </msup> <mo>&gt;</mo> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>9</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

其中，D是复数拉格朗日乘子，trace表示取矩阵对角线元素之和，表示取实部，β为大于零的参数；

然后通过如下式子进行迭代求解：

<mrow> <mfenced open = "{" close = ""> <mtable> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <msup> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>+</mo> <mn>2</mn> <mi>&amp;beta;</mi> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mo>)</mo> </mrow> <mrow> <mo>-</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msup> <mo>&amp;lsqb;</mo> <mi>&amp;lambda;</mi> <msup> <mover> <mi>U</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mover> <mi>Y</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mo>+</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <msup> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <msup> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mi>H</mi> </msup> <mrow> <mo>(</mo> <msub> <mi>A</mi> <mi>k</mi> </msub> <msubsup> <mi>B</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>-</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mo>&amp;rsqb;</mo> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;B</mi> <mi>k</mi> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>B</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <msub> <mi>B</mi> <mi>k</mi> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>B</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <msubsup> <mi>&amp;beta;A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <mi>I</mi> <mo>)</mo> </mrow> <mo>=</mo> <mi>&amp;beta;</mi> <msup> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>)</mo> </mrow> <mi>H</mi> </msup> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> </mrow> </mtd> </mtr> <mtr> <mtd> <mrow> <msub> <mi>D</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>=</mo> <msub> <mi>D</mi> <mi>k</mi> </msub> <mo>+</mo> <msub> <mi>&amp;tau;</mi> <mi>k</mi> </msub> <mrow> <mo>(</mo> <mover> <mi>P</mi> <mo>^</mo> </mover> <mover> <mi>R</mi> <mo>^</mo> </mover> <msub> <mover> <mi>X</mi> <mo>&amp;CenterDot;</mo> </mover> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <mo>-</mo> <msub> <mi>A</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> </msub> <msubsup> <mi>B</mi> <mrow> <mi>k</mi> <mo>+</mo> <mn>1</mn> </mrow> <mi>H</mi> </msubsup> <mo>)</mo> </mrow> <mo>.</mo> </mrow> </mtd> </mtr> </mtable> </mfenced> <mo>,</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mo>-</mo> <mrow> <mo>(</mo> <mn>10</mn> <mo>)</mo> </mrow> </mrow>

下标k表示第k次迭代更新的值，符号“-1”表示求超复数矩阵的逆，τ是一个大于0的参数；初值化算法中，即k＝1时，A₁和B₁为随机复数矩阵，D₁是一个全为0的复数矩阵；当达到迭代停止准则时，迭代停止；迭代停止准则设定为达到最大迭代次数或在相邻两次迭代中的误差小于设定的阈值η。