CN105976329B - 一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法 - Google Patents
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Abstract
一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法，涉及磁共振成像。包括以下步骤：1)对频谱的初步处理；2)建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型；3)提出基于时域信号低秩的频谱恢复模型的求解算法；4)由步骤3)得到恢复的频谱，画出频谱图。利用指数信号汉克尔矩阵的低秩特性来约束信号的恢复过程，实现从有数据点丢失的频谱中恢复出完整频谱，达到了高质量恢复缺失数据的目的。
Description
技术领域
本发明涉及磁共振成像，尤其是涉及一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法。
背景技术
仪器仪表在采集或传输信号时，由于仪器仪表性能、传输系统性能或采样条件的限制，频谱中的部分数据点可能丢失，使得采集到的频谱信号不完整。为了进行后续的信号处理和分析，需要从不完整的频谱信号中恢复出完整的频谱信号。
磁共振具有无辐射和多参数获得波谱和成像的优点。磁共振获得的波谱能分析化学分子和蛋白质等分子结构。但是，在以单扫描为代表的磁共振波谱采集方法中，非均匀采样会造成频率丢失(Y.Shrot and L.Frydman,Compressed sensing and thereconstruction of ultrafast 2D NMR data:Principles and biomolecularapplications.Journal of Magnetic Resonance,209(2):352-358,2011.)，恢复频谱中丢失对后继数据处理有着重要意义。磁共振成像能够显示人体组织的结构信息和生理生化信息，已经成为临床检查的重要手段之一。但磁共振的成像速度较慢，容易引起磁共振图像模糊和对比度失真等问题，因此加速磁共振成像是一个重要和基础的问题。加速磁共振成像的一个方法是减少采集的图像的频谱信号，通过减少采集时间来提高成像速度(M.Lustig,D.L.Donoho,J.M.Santos,and J.M.Pauly,Compressed Sensing MRI.IEEE SignalProcessing Magazine,25(2):72-82,2008.)(X.Qu,D.Guo,B.Ning,Y.Hou,Y.Lin,S.Cai,and Z.Chen,Undersampled MRI reconstruction with patch-based directionalwavelets.Magnetic Resonance Imaging,30(7):964-977,2012.)(X.Qu,Y.Hou,F.Lam,D.Guo,J.Zhong,and Z.Chen,Magnetic resonance image reconstruction fromundersampled measurements using a patch-based nonlocal operator.Medical ImageAnalysis,18(6):843-856,2014.)。但此类方法获得图像的傅里叶频谱数据是缺失的，需要用信号处理的方法恢复缺失的傅里叶频谱数据进而得到完整的磁共振图像。由此可见，恢复频谱中的缺失数据具有重要意义。
发明内容
本发明的目的在于提供利用指数信号汉克尔矩阵的低秩特性来约束信号的恢复过程，从而达到高质量恢复缺失数据目的的一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法。
本发明包括以下步骤：
1)对频谱的初步处理，具体方法如下：
给定有部分数据点丢失的一维频谱符号代表复数集合，待恢复的完整频谱为N和M分别是完整频谱和具有丢失的频谱的数据点数，其中M＜N。将频谱中丢失的N-M个数据点的值设置为零，作为完整频谱x在这些丢失位置的初始值；
2)建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型，所述基于时域信号低秩的频谱恢复模型如下：
其中，F-1表示一维傅里叶逆变换，R表示将一个一维向量转成汉克尔矩阵的算子，||·||*表示矩阵的核范数，U表示带有数据丢失的信号采集算子，表示向量的二范数的平方，正则化参数λ(λ＞0)用于权衡||RF-1x||*和两项的重要性；
在步骤2)中，所述算子R构建向量的汉克尔矩阵的具体方法可为：
设有向量那么Ra表示向量a对应的汉克尔矩阵，可以通过以下方式构造向量a对应的汉克尔矩阵：
其中，an表示向量a中的第n个元素，汉克尔矩阵Ra的行数为K(1≤K≤N)，列数为N-K+1。
3)提出基于时域信号低秩的频谱恢复模型的求解算法，具体方法如下：
借鉴求解汉克尔矩阵低秩的交替方向乘子法(X.Qu.,M.Mayzel.,J.-F.Cai.,Z.Chen.,and V.Orekhov.,Accelerated NMR spectroscopy with low-rankreconstruction.Angewandte Chemie International Edition,54(3):852-854,2015.)求解公式(1)中的最优化问题，为此引入变量Z和拉格朗日乘子D，根据以下公式迭代更新变量：
Dn+1←Dn+τ(RF-1xn+1-Zn+1), (5)
当达到最大迭代次数或x在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(η＞0)时，迭代结束。其中，xn+1,Zn+1和Dn+1分别表示变量x,Z和D在第n+1次迭代时的值，公式(3)中的H表示矩阵的复共轭转置；公式(4)中的表示奇异值收缩算子(J.-F.Cai.,E.J.Candès.,and Z.Shen.,A singular value thresholding algorithm for matrixcompletion.SIAM Journal on Optimization,20(4):1956-1982,2010.)，阈值是参数β，τ和λ都是正数。
4)由步骤3)得到恢复的频谱，画出频谱图。
本发明利用指数信号汉克尔矩阵的低秩特性来约束信号的恢复过程，实现从有数据点丢失的频谱中恢复出完整频谱，达到了高质量恢复缺失数据的目的。
附图说明
图1是实施例中长度为512个数据点的完整频谱图。
图2是实施例中有部分数据点丢失且已在数据丢失位置填零的频谱图。
图3是实施例中利用本发明恢复的长度为512个数据点的频谱图。
具体实施方式
本发明实施例是一个利用本发明提出的方法对有数据点丢失的频谱进行恢复的具体过程，是对本发明所提出方法的详细描述。通过参照附图和以下的说明可以更好地理解本发明的各种特征和它的实施方案。
具体实施过程如下：
第一步：对频谱的初步处理
本实施例中，一维完整频谱信号长度为512个数据点(如图1所示)。将频谱中75％的数据点丢弃来模拟频谱中的数据丢失过程，并将数据丢失点位置进行填零，画出频谱图如图2所示。
第二步：建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型
建立的基于时域信号低秩的频谱恢复模型如下：
其中，F-1表示一维傅里叶逆变换，R表示将一个一维向量转成汉克尔矩阵的算子，||·||*表示矩阵的核范数，U表示带有数据丢失的信号采集算子，表示向量的二范数的平方，正则化参数λ(λ＞0)用于权衡||RF-1x||*和两项的重要性。下面对算子R如何构建向量的汉克尔矩阵的过程进行说明：
设有向量那么Ra表示向量a对应的汉克尔矩阵。可以通过以下方式构造向量a对应的汉克尔矩阵：
其中，an表示向量a中的第n个元素。汉克尔矩阵Ra的行数为K(1≤K≤N)，列数为N-K+1。
第三步：提出基于信号时域低秩的频谱恢复方法
借鉴求解汉克尔矩阵低秩的交替方向乘子法求解公式(1)中的最优化问题。引入变量Z和拉格朗日乘子D，根据以下公式迭代更新变量：
Dn+1←Dn+τ(RF-1xn+1-Zn+1), (5)
当达到最大迭代次数或x在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η(η＞0)时，迭代结束，本实施例中η取10-6。其中，xn+1,Zn+1和Dn+1分别表示变量x,Z和D在第n+1次迭代时的值，公式(3)中的H表示矩阵的复共轭转置；公式(4)中的表示奇异值收缩算子，阈值是参数β，τ和λ都是正数。
第四步：恢复的频谱表示
由第三步得到恢复的一维频谱x，画出频谱图如图3所示。
Claims (2)
1.一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法，其特征在于包括以下步骤：
1)对频谱的初步处理，具体方法如下：
给定有部分数据点丢失的一维频谱符号代表复数集合，待恢复的完整频谱为N和M分别是完整频谱和具有丢失的频谱的数据点数，其中M＜N；将频谱中丢失的N-M个数据点的值设置为零，作为完整频谱x在这些丢失位置的初始值；
2)建立基于时域信号低秩的频谱恢复模型，所述基于时域信号低秩的频谱恢复模型如下：
其中，F-1表示一维傅里叶逆变换，R表示将一个一维向量转成汉克尔矩阵的算子，||·||*表示矩阵的核范数，U表示带有数据丢失的信号采集算子，表示向量的二范数的平方，正则化参数λ(λ＞0)用于权衡||RF-1x||*和两项的重要性；
3)提出基于时域信号低秩的频谱恢复模型的求解算法，具体方法如下：
借鉴求解汉克尔矩阵低秩的交替方向乘子法求解公式(1)中的最优化问题，为此引入变量Z和拉格朗日乘子D，根据以下公式迭代更新变量：
Dn+1←Dn+τ(RF-1xn+1-Zn+1), (5)
当达到最大迭代次数或x在相邻两次迭代中的误差小于设置的阈值η时，迭代结束，其中η＞0；其中，xn+1,Zn+1和Dn+1分别表示变量x,Z和D在第n+1次迭代时的值，公式(3)中的H表示矩阵的复共轭转置；公式(4)中的表示奇异值收缩算子，阈值是参数β，τ和λ都是正数；
4)由步骤3)得到恢复的频谱，画出频谱图。
2.如权利要求1所述一种基于时域信号低秩的频谱恢复方法，其特征在于在步骤2)中，所述算子R构建向量的汉克尔矩阵的具体方法为：
设有向量那么Ra表示向量a对应的汉克尔矩阵，通过以下方式构造向量a对应的汉克尔矩阵：
其中，an表示向量a中的第n个元素，汉克尔矩阵Ra的行数为K，列数为N-K+1，其中1≤K≤N。
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