CN104469374A - 图像压缩方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种图像压缩方法，包括如下步骤：生成待压缩图像的数据矩阵，并对所述数据矩阵进行中心化或标准化；计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵；将所述方差矩阵的特征多项式转换为高次特征多项式，判断所述高次特征多项式的根的个数；根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量；根据所述特征向量获得变换矩阵，将所述变换矩阵乘以所述数据矩阵得到压缩后的图像。本发明的图像压缩方法，该方法在图像压缩时运算量较少，压缩速度较快。

Description

图像压缩方法

技术领域

本发明涉及图像处理技术领域，特别是涉及一种图像压缩方法。

背景技术

随着数字图像的数据量呈爆炸型增长，如果不进行图像压缩，将会占用大量的存储和传输等资源。PCA(主成分分析)作为维数规约的一种有效手段，能有效地减少数据的维数，并能使提取成分与原始数据的误差达到均方最小，可用于用于数据的压缩和模式识别的特征提取。基于PCA的图像压缩与重建，经理论和实践表明，实现方法简单，能有效地实现图像的压缩。同时可以根据主成分多少恢复不同的数据图像，满足不同层次对图像压缩与重建的需要。

主成分分析法通过把数据空间转变成特征空间，使得特征空间中各分量互不相关，同时提取特征空间中对方差贡献最大的主要特征，从而降低数据集的维数，可在信息损失少且误差小的情况下达到较高压缩比。整个压缩过程中，主要涉及特征多项式特征值和相应的特征向量计算。这个对于图像压缩的高维度应用是一个困难，因为这样就产生了一个高次多项式。高次多项式没有精确的数学解析公式给出，不得不借助数值方法，但仅靠传统的数值方法，很难快速、准确求解特征方程所有的特征值，无法满足图像大数据领域的数据规约应用需求。

因此，现有的图像压缩技术，基于传统PCA的图像压缩算法，虽然可取得较理想的压缩比，但面临普遍高维度的图像，即变量个数很多，传统的主成分分析方法具有极大局限性，其压缩过程非常缓慢。

发明内容

基于此，本发明提供一种图像压缩方法，该方法在图像压缩时运算量较少，压缩速度较快。

一种图像压缩方法，包括如下步骤：

生成待压缩图像的数据矩阵，并对所述数据矩阵进行中心化或标准化；

计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵；

将所述方差矩阵的特征多项式转换为高次特征多项式，判断所述高次特征多项式的根的个数；

根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量；

根据所述特征向量获得变换矩阵，将所述变换矩阵乘以所述数据矩阵得到压缩后的图像。

上述图像压缩方法，对待压缩的图像生成数据矩阵，对数据矩阵计算方差矩阵，由于涉及矩阵是实数对称矩阵，从而方差矩阵中的特征多项式仅有实根，因此，根据特征多项式预测其根的个数，借助逐次迭代降幂的方式，在近似求解特征多项式的过程中，利用上次获取的近似解，降低本次求解多项式次数，从而逐次减少计算困难，大大减少特征值及特征向量的计算量；当多项式次数降到四次，则利用多项式的数学表达式求解出剩余的四个根，实现特征值的精确求解；根据特征值获得特征向量，根据特征向量获得变换矩阵，从而得到压缩后的图像；本发明能快速的获得图像数据矩阵的特征值，很好的满足了图像压缩的需求。

附图说明

图1为本发明图像压缩方法在一实施例中的流程示意图。

图2为本发明图像压缩方法在一实施例中对特征多项式求解特征向量的流程示意图。

具体实施方式

下面结合实施例及附图对本发明作进一步详细说明，但本发明的实施方式不限于此。

如图1所示，是本发明一种图像压缩方法在一实施例中的流程示意图，包括如下步骤：

S11、生成待压缩图像的数据矩阵，并对所述数据矩阵进行中心化或标准化；

具体的，根据实际工程需要压缩的是否单一图像，生成相应的数据矩阵,并对数据矩阵中的图像进行了中心化或者标准化；计算数据矩阵的协方差矩阵，该矩阵包含了各个线性独立的模式间的信息；采用改进的算法，精确、快速求解高次特征方程，获取相应的特征值并按大小排序，获取特征向量矩阵；输出、保留主成分，实现图像压缩。

在一较佳实施例中，所述生成待压缩图像的数据矩阵的步骤包括：

若所述待压缩图像包含多张图像，则将每张所述图像中的像素点转换为一维的行向量；

将各张所述图像转换得到的行向量，构成所述数据矩阵。

若所述待压缩图像包含一张图像，则将所述图像划分为多个大小相同的图像块；

将每个图像块中包含的像素点作为所述数据矩阵的行元素，构成所述数据矩阵。

如果需要压缩的图像是单一图像，需要将图像划分成若干块，每块作为一个样本，每块的行列数相同，如可分割为16×16的块状，将每个划分的块转为数据矩阵的行，从而形成数据矩阵。否则，即所要压缩的图像包含若干幅图像，可将每个图像转为一维的行向量，从而可形成相应的数据矩阵。

生成数据矩阵后，需要对图像数据矩阵进行中心化或者进行标准化，在一较佳实施例中，根据下式对所述数据矩阵进行标准化：

$A_{\mathrm{ij}}=\frac{X_{\mathrm{ij}}-{\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}}}{S_j}$

其中， $\begin{array}{cc}{\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{\mathrm{ij}}& S_j=\sqrt{\frac{1}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(X_{\mathrm{ij}}-{\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}})}^2},\end{array}$ 得到A＝(A_ij)_m×n；m为数据矩阵的行数，n为数据矩阵的列数，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n；X_ij为数据矩阵中第i行第j列的数据；从而获得图像数据矩阵A。

S12、计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵；

在一较佳实施例中，所述计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵的步骤包括：

根据下式计算所述方差矩阵，该矩阵包含了各个线性独立的模式间的信息：

${\mathrm{\Σ}}_A=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_i{A}_i^T$

其中，∑_A为所述方差矩阵。

S13、将所述方差矩阵的特征多项式转换为高次特征多项式，判断所述高次特征多项式的根的个数；

在一较佳实施例中，所述判断所述高次特征多项式的根的个数的步骤包括：

计算f(λ)中系数序列符号更替编号的次数，获得所述高次特征多项式的正数根个数；

计算f(-λ)中系数序列符号更替编号的次数，获得所述高次特征多项式的负数根个数；

将所述正数根个数加上负数根个数，获得所述高次特征多项式的根的个数。

S14、根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量；

在一较佳实施例中，所述根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量的步骤包括：

根据所述特征多项式的根的个数，根据预设的初始迭代数值l＝0，λ_t＝1，对所述f(λ)＝a_n+a_n-1λ+a_n-2λ²+a_n-3λ³+…+a₀λⁿ＝0,a₀≠0,n＞＞5进行初始迭代；其中，初始迭代数值满足如下条件：B为|a₀|,|a₁|,...,|a_n|中的最大值；

根据初始迭代获得的近似实根λ_t，将所述特征多项式降低次数，得到 $g\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{f\left(\mathrm{\λ}\right)}{\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}_t},{\mathrm{\λ}}_t\≠0;$

利用牛顿法迭代求解所述获得特征值λ；

若当前求解的特征值λ的绝对值小于预设精度ε时，则将当前的特征值置为0，否则将当前的特征值加入到特征值集合中，同时将求解的个数设置为l＝l+1；

当当前求解产生的根的数目l等于N-4，则停止所述牛顿法迭代求解，利用当前的特征多项式的数学表达式计算出剩余的四个特征值，输出求解到的所有特征值；

根据所述所有特征值，计算非零特征值对应的特征向量：

(λI-∑_A)z＝0,λ≠0

其中，z为所述特征向量。

贯穿整个主成分分析过程，特征值的计算是算法的一个核心问题，其大小决定了与之相关的特征是否保留。面对大数据等高维度计算时，其特征值方程次数很高。但是高次多项式的精确、快速求解是一个难题。对于一般的高次方程，如果它的次数高于五次，由于著名的阿贝尔定理，除了特殊情况之外这个方程的解的情况是不能轻易判断的，因为其解根本就不能用基本的数学符号表示出来。传统的数值算法在计算高次多项式的全部根时，无论在精度还是速度方面，都存在着很大局限性。因此，本实施例采用一种改进的多项式近似求根方法，可快速给出高次特征方程的根，同时满足工程应用的精度需求。

首先，对于图像数据矩阵的方差矩阵，具有如下的特征多项式：

det(λI-∑_A)＝0

其中，λ为特征矩阵的特征值，I为单位矩阵，

该特征多项式可进行转换，等价化为如下的高次特征多项式的形式：

f(λ)＝a_n+a_n-1λ+a_n-2λ²+a_n-3λ³+…+a₀λⁿ＝0,a₀≠0,n＞＞5

根据方差矩阵式的对称特性可知，f(λ)的根是实数。根据笛卡尔定理的推广，f(λ)的正根个数等于它自己系数序列符号更替变换的次数。它的负根个数等于多项式f(-λ)的系数序列符号更替交换的次数，从而可以预测f(λ)的根的数目N，用于指导求解数值近似解得迭代次数。同时，为了在应用传统数值算法快速、精确求解方程的根，可根据实系数代数方程根的范围给定初始解的取值范围，进而加快方程根的收敛速度，如牛顿法。

由于特征多项式所有的实根的绝对值不会超过一个上界M：

$M=1+\frac{B}{\left|a_0\right|}$

其中，B为|a₀|,|a₁|,...,|a_n|中的最大值；所以，在使用传统数值算法时，可用来参考初始解的选取范围。图2是对特征多项式求解特征向量的流程示意图，整个特征值和相应特征向量求解过程如下：

根据笛卡尔定理的推广，可根据特征多项式方程的系数，预测其所有根的数目为N个；给出初始迭代数值l＝0，λ_t＝1；

给出初始迭代数值需满足的条件：

|λ|＜M

利用上次迭代给出特征方程的一个近似实根λ_t将原多项式降低次数，即

$g\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{f\left(\mathrm{\λ}\right)}{\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}_t},{\mathrm{\λ}}_t\≠0$

采用传统的数值方法如牛顿法，从而更容易对降低次数的多项式进行求根。

若计算得到的特征值的绝对值需小于预设精度ε，则设置为0，否则并入特征值集合，同时将求解的个数设置为l＝l+1；

如果求解过程产生的根的数目l等于N-4，停止数值计算，利用低次多项式(小于等于4次)根的数学表达式计算出剩余的4个根，输出所有的特征根。

计算非零特征值对应的特征向量，即

(λI-∑_A)z＝0,λ≠0

可用传统数值算法计算特征向量z，如雅可比、高斯赛德尔迭代法等。

S15、根据所述特征向量获得变换矩阵，将所述变换矩阵乘以所述数据矩阵得到压缩后的图像；

保留图像的主成分，即按照非零特征值大小排列相应的特征向量，可获得变换矩阵Q，其中其列向量正交。从而压缩图像如下：

$\tilde{A}=Q^{T}A.$

数字图像存储需要大量空间，图像数据相邻像素相关性高，基于PCA的图像压缩算法可取得较理想的压缩比，降低冗余，方便保存和传输等。面临普遍高维度的图像，即变量个数很多，从而在主成分分析过程中产生高次特征多项式，很难求解，导致传统PCA算法无法满足应用需求。为解决这个困难，本实施例发展了一种改进的主成分分析方法，其核心是快速、精确的求解图像压缩(主成分分析)中的高次特征多项式。不同于现有技术，本实施例在求解过程中，充分利用图像主成分分析的特性，即涉及矩阵是实数对称矩阵，从而高次特征多项式仅有实根，从而引入笛卡尔定理、聚类等思想加快计算过程，可很好满足实际需求。

本实施例的图像压缩方法，对于特征多项式，采用将方程的解析求解方法与传统数值算法如牛顿法，借助逐次迭代降幂和聚类的思想，将大大减少特征值及特征向量的计算量，可很好的处理图像大数据的压缩问题。本实施例基于改进主成分分析的图像压缩中，利用笛卡尔定理，对特征多项式解的数目进行合理预测；在近似求解特征多项式的过程中，利用上次获取的近似解，降低本次求解多项式次数，从而逐次减少计算困难。当次数降到四次，则利用代数多项式的解析求解公式快速、精确求解。在传统经典算法求解具体数值近似解时，引入实系数代数方程根的范围的思想，给定一个合理的初始解，加快求解的速度。

本发明图像压缩方法，对待压缩的图像生成数据矩阵，对数据矩阵计算方差矩阵，由于涉及矩阵是实数对称矩阵，从而方差矩阵中的特征多项式仅有实根，因此，根据特征多项式预测其根的个数，借助逐次迭代降幂的方式，在近似求解特征多项式的过程中，利用上次获取的近似解，降低本次求解多项式次数，从而逐次减少计算困难，大大减少特征值及特征向量的计算量；当多项式次数降到四次，则利用多项式的数学表达式求解出剩余的四个根，实现特征值的精确求解；根据特征值获得特征向量，根据特征向量获得变换矩阵，从而得到压缩后的图像；本发明能快速的获得图像数据矩阵的特征值，很好的满足了图像压缩的需求。

以上所述实施例仅表达了本发明的几种实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。因此，本发明专利的保护范围应以所附权利要求为准。

Claims (10)

1.一种图像压缩方法，其特征在于，包括如下步骤：

生成待压缩图像的数据矩阵，并对所述数据矩阵进行中心化或标准化；

计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵；

将所述方差矩阵的特征多项式转换为高次特征多项式，判断所述高次特征多项式的根的个数；

根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量；

根据所述特征向量获得变换矩阵，将所述变换矩阵乘以所述数据矩阵得到压缩后的图像。

2.根据权利要求1所述的图像压缩方法，其特征在于，所述生成待压缩图像的数据矩阵的步骤包括：

若所述待压缩图像包含一张图像，则将所述图像划分为多个大小相同的图像块；

将每个图像块中包含的像素点作为所述数据矩阵的行元素，构成所述数据矩阵。

3.根据权利要求1或2所述的图像压缩方法，其特征在于，所述生成待压缩图像的数据矩阵的步骤包括：

若所述待压缩图像包含多张图像，则将每张所述图像中的像素点转换为一维的行向量；

将各张所述图像转换得到的行向量，构成所述数据矩阵。

4.根据权利要求1所述的图像压缩方法，其特征在于，对所述数据矩阵进行中心化或标准化的步骤包括：

根据下式对所述数据矩阵进行标准化：

$A_{\mathrm{ij}}=\frac{X_{\mathrm{ij}}-{\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}}}{S_j}$

其中， ${\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}}=\frac{1}{m}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{X}_{\mathrm{ij}}$ $S_j=\sqrt{\frac{1}{m-1}\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{(X_{\mathrm{ij}}-{\stackrel{\‾}{X}}_{\mathrm{ij}})}^2},$ 得到A＝(A_ij)_m×n；m为数据矩阵的行数，n为数据矩阵的列数，i＝1,2,…,m，j＝1,2,…,n；X_ij为数据矩阵中第i行第j列的数据。

5.根据权利要求4所述的图像压缩方法，其特征在于，所述计算中心化或标准化后的所述数据矩阵的方差矩阵的步骤包括：

根据下式计算所述方差矩阵：

${\mathrm{\Σ}}_A=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{A}_i{A}_i^T$

其中，Σ_A为所述方差矩阵。

6.根据权利要求5所述的图像压缩方法，其特征在于，所述方差矩阵的特征多项式为：det(λI-Σ_A)＝0；其中，λ为所述方差矩阵的特征值，I为单位矩阵。

7.根据权利要求6所述的图像压缩方法，其特征在于，所述特征多项式转换后的高次特征多项公式为f(λ)＝a_n+a_n-1λ+a_n-2λ²+a_n-3λ³+…+a₀λⁿ＝0,a₀≠0,n＞＞5。

8.根据权利要求7所述的图像压缩方法，其特征在于，所述判断所述高次特征多项式的根的个数的步骤包括：

计算f(λ)中系数序列符号更替编号的次数，获得所述高次特征多项式的正数根个数；

计算f(-λ)中系数序列符号更替编号的次数，获得所述高次特征多项式的负数根个数；

将所述正数根个数加上负数根个数，获得所述高次特征多项式的根的个数。

9.根据权利要求8所述的图像压缩方法，其特征在于，所述根据所述根的个数及预设的初始解，对所述高次特征多项式进行迭代求解，当迭代求解获得的根的个数剩余四个时，根据当前迭代求解获得的特征多项式的数学表达式计算所述剩余的四个根，输出所有特征根，根据所述特征根计算特征向量的步骤包括：

根据所述特征多项式的根的个数，根据预设的初始迭代数值l＝0，λ_t＝1，对所述f(λ)＝a_n+a_n-1λ+a_n-2λ²+a_n-3λ³+…+a₀λⁿ＝0,a₀≠0,n＞＞5进行初始迭代；其中，初始迭代数值满足如下条件：|λ|＜M，B为|a₀|,|a₁|,...,|a_n|中的最大值；

根据初始迭代获得的近似实根λ_t，将所述特征多项式降低次数，得到 $g\left(\mathrm{\λ}\right)=\frac{f\left(\mathrm{\λ}\right)}{\mathrm{\λ}-{\mathrm{\λ}}_t},{\mathrm{\λ}}_t\≠0;$

利用牛顿法迭代求解所述获得特征值λ；

若当前求解的特征值λ的绝对值小于预设精度ε时，则将当前的特征值置为0，否则将当前的特征值加入到特征值集合中，同时将求解的个数设置为l＝l+1；

当当前求解产生的根的数目l等于N-4，则停止所述牛顿法迭代求解，利用当前的特征多项式的数学表达式计算出剩余的四个特征值，输出求解到的所有特征值；

根据所述所有特征值，计算非零特征值对应的特征向量：

(λI-Σ_A)z＝0,λ≠0

其中，z为所述特征向量。

10.根据权利要求9所述的图像压缩方法，其特征在于，所述根据所述特征向量获得变换矩阵，将所述变换矩阵乘以所述数据矩阵得到压缩后的图像的步骤包括：按照所述特征值的大小排列对应的特征向量，获得所述变换矩阵。