CN105490682B

CN105490682B - 基于svd和omp的压缩传感信号恢复算法

Info

Publication number: CN105490682B
Application number: CN201510852601.XA
Authority: CN
Inventors: 张翠娟; 黄师化; 施赵媛; 蒋玉娥
Original assignee: Anqing Normal University
Current assignee: Anqing Normal University
Priority date: 2015-11-27
Filing date: 2015-11-27
Publication date: 2019-03-12
Anticipated expiration: 2035-11-27
Also published as: CN105490682A

Abstract

本发明提供了一种基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法，包括以下步骤：获取测量矩阵、测量值和信号的稀疏度，对测量矩阵进行SVD分解，更新测量矩阵和测量值，并初始化残差和索引集合，找到索引，计算信号的新近似，再进行更新残差，不断迭代，最后输出信号的估计值和索引集合。本发明模拟了基于奇异值分解的正交匹配追踪算法，实验结果验证了新算法相比经典的正交匹配追踪算法，可以有效地消除测量值之间的相关性，可以有效地提高重建的平均信噪比以及对噪音更高的鲁棒性更精确地恢复原始信号。

Description

基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法

技术领域

本发明涉及信号与信息系统技术领域，具体涉及一种压缩传感信号恢复算法。

背景技术

压缩传感是近年来极为热门的研究前沿，在若干应用领域中都引起瞩目。从字面上看，压缩传感好像是一般的数据压缩，实际上并不是这样，我们知道，经典的数据压缩，无论是数据压缩还是音频、视频压缩都是从数据本身出发，找出数据中隐含的冗余度进行压缩。而新近引入的可压缩传感理论(Compressive Sensing, CS)提出了一个新的同步采样与压缩信号的采集框架，可以用一个远低于 Nyquist （奈奎斯特）的采样率实现信号的采样与重建，并同时降低前端信号编码的复杂度。在满足某些条件的情况下，原始信号可以从少量的线性测量集合中精确重构。在很多应用场合下可以通过低于Nyquist的采样，尤其当我们数据捕获的数量受到限制时，此时测量是非常昂贵的或捕捉速度非常缓慢的，在这种情况下，CS可以提供一种非常有前途的解决方案。在本质上，CS结合采样和压缩成一个步骤，通过测量最少数目的样本包含有关信号的最大信息：这样就无需去获取和存储大量的采样，且只是去丢弃其中的大多数相对较小的值。压缩传感已经开始应用在诸多不同的领域，包括从图像处理到的地球物理数据采集等。这是因为大多数真实世界的信号固有的稀疏性，如声音，图像，视频等。

对于一维的信号，大部分情况下是冗余的。传统的思路是运用正交变换的方法进行压缩，去除中的相关性，只保留K 个较大的分量。通过反变换，可以重建原始信号。缺点是：1、为了获得更好的分辨率，采用间隔会很小，这样会导致原始信号长度变长，变换过程耗时比较长。2、K个需要保留的分量的位置因信号的不同而不同，需要分配多余的空间存储这些位置。3、K个分量，一旦丢失几个，原始信号将会造成较大的损失。

随着社会的发展，新方向压缩传感诞生了，成为信号处理领域的“A big idea”。对于信号，我们可以找到它的M个线性测量，。这里的每一行可以看作是一个传感器，它与信号相乘，拾取信号的部分信息。通过数学优化可以找出需要保留的K个重要的分量，由这K个分量可以完美的重构。压缩传感相比较于传统正交变换，优点有：1、非自适应性，一开始就可以传输长度较短的信号；2、抗干扰，测量值中丢失几项，仍然可以很好的恢复原始信号。缺点：1、实际中，的长度一般是重要分量的4倍，在数学理论上更加严格；2、恢复原始信号的算法是一个NP问题。针对这个NP问题，我们一般采取的办法是采用正交匹配算法，但是其缺点是信号不太稀疏时，信噪比和鲁棒性都比较低。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于克服现有技术存在的上述缺陷，提供一种基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法，其可以实现信号重建，且信噪比和鲁棒性明显提高。

本发明的基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法，包括以下步骤：

1）获得测量矩阵，测量值，和信号稀疏度；

2）对测量矩阵F 执行SVD分解；

步骤2）中对测量矩阵F执行SVD分解，指的是奇异值分解：即，要求U和V均为正交矩阵。

3）更新测量矩阵和测量值；

在现有技术中，所述的步骤2）的通常算法包括：

设是一维信号，是一个正交稀疏变换矩阵，且：

(1)

如果向量中只有个非零元素，则通过测量矩阵采样：

(2)

然而在上述步骤中，表示感知矩阵，，因此(2)式中的线性方程组是高度欠定的，通常情况下存在无穷多个解，因此还原的准确率比较低。

而在本发明中，通过步骤2），(2)式中的测量系统可以修改如下：

其中，是的对角方阵。

通过矩阵操作的处理可以得到新的测量系统如下：

其中

。

因此，在步骤2）进行了SVD分解后，有利于通过步骤3）更准确的找到采样信号。

4）初始化残差，索引集合；

步骤4）中，残差的初始化，索引集合，。

5）找到索引；

步骤5）中，找寻索引时，需要使得：。

6）计算信号的新近似；

步骤6）计算信号的新近似；

令，计算张成空间的正交投影，从而计算信号的新近似

，其中，。

7）更新残差；

步骤7）中，更新残差。

8）如果，那么返回步骤5），否则输出信号的估计和索引集合；完成信号的重建。

本发明是一种基于奇异值分解(Singular Value Decomposition, SVD)的正交匹配追踪(Singular Value Decomposition-Based Orthogonal Matching Pursuit, SVD-OMP)算法，将SVD和OMP算法相结合，使得在重建过程中对测量值与测量矩阵的要求更加符合重建算法的要求，提高其重建性能。其基本的思想是先对获得的测量矩阵F执行SVD分解从而更新测量矩阵，使得其在重建过程中的测量矩阵的行之间是两两正交的，即消除了测量值之间的相关性。这样在测量数目没有达到信号稀疏度K 理论倍数的情况下也能保证信号的重建。

本发明的技术优点体现在：

A、使用本发明提供的算法对采集到的原始数据进行分析、计算后，可以完成信号的重建。

B、原始信号可以从少量的线性测量集合中精确重构。

C、相比于传统的正交匹配算法(OMP)，本发明的算法在平均重建信噪比以及鲁棒性方面都具有明显的优势。

D、可以有效地消除测量值之间的相关性。

附图说明

图1是本发明的基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法的流程图；

图2是使用本发明算法和经典的OMP算法进行单次重建实验的比较图；

图3是用于测试在测量值不变的条件下，随着信号稀疏度的逐渐增加，OMP算法和本发明算法的性能对比图；

图4示出了在稀疏度不变的条件下，OMP算法和本发明算法的平均重建信噪比与测量数目之间的关系。

图5示出了本发明算法与传统的正交匹配算法在鲁棒性方面的比较。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

如图1可见，本发明的基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法包括以下步骤：

1）对原始数据进行采集，获得测量矩阵F、测量值和信号稀疏度；

2）对测量矩阵F 执行SVD分解；

所述的SVD分解指的是奇异值分解，即：，要求U和V均为正交矩阵；

3）更新测量矩阵和测量值；

4）初始化残差和索引集合；

本步骤中，残差的初始化，索引集合，；

5）找到索引；

本步骤中，找寻索引时，需要使得：；

6）计算信号的新近似；

令，计算张成空间的正交投影，

从而计算信号的新近似

，其中，。

7）更新残差；

图2是单次重建实验，用于比较SVD-OMP算法和经典的OMP算法之间的优劣。待测试信号的长度是256，信号稀疏度为60，测量数目等于128。这对OMP来说是一个相对比较苛刻的条件，因为贪婪算法(也包括经典OMP算法)为保证精确重建，通常需要3~5倍于稀疏度的测量数目。设置这样的较难的测试条件是为了表明在同样的条件下，本文提出SVD-OMP算法可以得到更优的重建结果。稀疏基为标准正交基，也就是说信号是自稀疏的。两种算法的单次重建对比结果如图2所示，从中可以看到，在此条件下，经典OMP算法只有一部分系数被正确重建，还有一部分的重建结果出现了较大的误差，采用信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)度量时为10.0154dB。但是对于同一组的稀疏信号与测量矩阵，采用本文提出的SVD-OMP算法重建得到的SNR值为47.9505dB，其SNR值出现了显著的提高。

图3用于测试在测量值不变的条件下，随着信号稀疏度的逐渐增加，OMP算法和SVD-OMP算法的性能对比。和图2中参数的设置类似，唯一不同的参数是稀疏度Ｋ不再是一个定值，而是从35逐渐增加至85，步长为5。计算估计的信号与真实信号之间的SNR。在每一组参数下独立重复1000次实验，统计1000次实验的重建信噪比均值(Average of Signal-to-Noise Ratio, ASNR)，并绘制曲线图如图3所示。从图3中可以看出，同样的一组测量矩阵和测量值，采用SVD-OMP算法重建效果获得了显著的改善。

图4为了测试在稀疏度不变的条件下，OMP算法和SVD-OMP算法的平均重建信噪比与测量数目之间的关系。和实验Ａ参数的设置类似，唯一不同的参数是测量数目M是一个变化的值，而是从60逐渐增长为140，步长为5。计算信号估计与真实信号之间的SNR值。在每一组参数下独立重复1000次实验，统计1000次实验的重建均值信噪比——ASNR，并绘制曲线图如图4所示。从图4中可以看出，同样的一组测量矩阵和测量值，采用SVD-OMP算法重建效果获得了显著的改善。

图5为比较本文算法的鲁棒性，信号长度= 256，测量数目= 120，稀疏度=30。稀疏基选择标准正交基。输入测量值噪声dB从20:1:40，计算估计的信号与真实信号之间的重建SNR。统计1000次重建结果的ASNR值如图5所示。

从图3，图4和图5的重建ASNR曲线来看，SVD-OMP算法要显著优于OMP算法。分析其原因，主要是因为SVD-OMP算法在重建过程中的测量矩阵是行之间是两两正交的，也就是说消除了测量值之间的相关性，在重建过程中优化了真实支撑的选择，从而实现了重建性能的提升。

Claims

1.一种基于SVD和OMP的压缩传感信号恢复算法，包括以下步骤：

1)对原始数据进行采集，获得测量矩阵F、测量值y和信号稀疏度K；

2)对测量矩阵F执行SVD分解；

所述的SVD分解指的是奇异值分解，即：F＝UDV^T，要求U和V均为正交矩阵；

3)更新测量矩阵和测量值；

设x∈i^N是一维信号，Y∈i^N×N是一个正交稀疏变换矩阵，且：

如果向量J中只有K<<N个非零元素，则通过测量矩阵F∈i^M×N采样x：

y＝Fx＝UDV^Tx＝U(D₁O)(V₁V₂)^Tx＝UDV^Tx

其中，D₁是M×M的对角方阵；

通过矩阵操作的处理可以得到新的测量系统如下：

y_SVD＝F_SVDx

其中y_SVD＝D₁ ^-1U^Ty

F_SVD＝V₁ ^T；

4)初始化残差和索引集合；

本步骤中，残差的初始化r₀＝y^SVD，索引集合k＝1；

5)找到索引；

本步骤中，找寻索引l_k时，需要使得：

6)计算信号的新近似；

令L_k＝L_k-1U{l_k}，计算张成空间的正交投影从而计算信号的新近似x_k＝P_ky，其中，

7)更新残差r_k:a_k＝P_kx_k,r_k＝y-a_k；

8)如果k＜K，那么返回步骤5)，否则输出信号的估计x_k和索引集合L_K；完成信号的重建。