CN103218488A - 一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法，将声子晶体原胞分割成N×N正方形像素型结构；然后，根据二维液-液声子晶体色散关系所满足的声波波动方程，开发出任意材料布局的二维液-液像素型声子晶体能带快速计算的平面波展开法程序，计算其带隙；最后利用遗传优化算法，根据对带隙的要求，搜寻二维液-液声子晶体原胞最优的材料布局。过程包括：输入待求解的参数；初始化；计算个体适应度；依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化；检验种群是否满足停止条件。这种拓扑优化方法使声子晶体的可设计性变强，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构；同时减少计算时间，提高计算效率，使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

Description

一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法

技术领域

本发明属声带隙材料设计领域，涉及一种声带隙材料拓扑优化设计方法，特别涉及一种基于遗传算法和快速平面波展开法（PWE）,对二维液-液声子晶体原胞材料分布进行拓扑优化设计，以获得所需要的声带隙特征。

背景技术

声子晶体是指具有不同声学特性的材料按周期性复合在一起、具有声波带隙的周期复合材料。当声波在受到材料常数的周期性调制时，可能会产生声带隙，即一定频率范围的声波的传播被抑制或禁止。声子晶体的这种特性具有极大的理论价值，在无源隔音、声滤波器等新型声学功能材料等方面具有广泛的应用前景。目前，声子晶体带隙特性的研究已经成为一个新的热点。

传统的声子晶体设计思路一般是：在特定的晶格类型条件下，采用有限的几种对称形状(如二维问题中，采用圆柱、正方柱、椭圆柱等)作为原胞的散射体,通过调整这些散射体的几何参数来打开声子晶体带隙或改善带隙的特性,进而经验性地提炼可能的设计规律,然后指导性地寻找更好的声子晶体新结构。

然而，在计算声子晶体能带特性之前,必须事先设定声子晶体的原胞结构。但对何种形式的声子晶体原胞结构具有所期望的最优带隙，则是一个难以预测的问题，这在很大程度上束缚了人们对声子晶体的应用。

发明内容

本发明的目的在于，为了克服现有的声子晶体设计分析方法的不足，采用拓扑优化技术，根据对二维液-液声子晶体带隙的要求，自动寻找对应的声子晶体材料最优布局，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构，使其达到最好的技术经济性能。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：用改进的快速平面波展开法计算二维液-液声子晶体的色散关系，获取相应的带隙值；然后应用遗传优化算法，根据带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局。其特点是包括以下步骤：

1)输入待求解的问题参数：如材料常数、平面波个数、像素尺度N、种群大小、交叉率及变异率等。

2)初始化：随机生成初始种群,用N×N矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体(个体)。

3)计算个体适应度：采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞的色散关系,得到对应的禁带数值。根据优化的目标，用声子晶体禁带构造目标函数，然以目标函数值来度量遗传个体的适应度。

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。其中,选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用保留精英的轮盘赌机制；交叉操作采用平均交叉方式,随机选择染色体实施行交叉或列交叉，以增强算法的全局搜索能力；个体变异采用位变异机制。由于“优胜劣汰,适者生存”自然选择和遗传进化机理,最优秀个体的拓扑结构就越来越逼近目标要求的声子晶体原胞最优拓扑布局。

5)检验种群是否满足停止条件(例如固定的进化代数或种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。

6）所述步骤3）中遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格,晶格常数为a。声子晶体原胞被分割为N×N（N为偶数）正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的液体声学材料(仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示)。声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型(如图2所示)。此时,声子晶体的结构设计问题等价于像素中声学材料的选择问题。显然,当N足够大时原则上可以表达任意形状的结构,材料边界也更光滑，但此时搜索规模往往呈指数形式增长，而且像素粒度过小也给工艺制备带来了难度。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究像素粒度适中的声子晶体结构拓扑优化设计问题。

7）所述步骤3）中二维液-液像素型声子晶体色散关系所应满足的本构方程为：

${\left(C_{11}\right)}^{-1}\frac{{\∂}^2\mathrm{\Φ}}{{\∂t}^2}=\▿\·({\mathrm{\ρ}}^{-1}\▿\mathrm{\Φ})---\left(1\right)$

其中，ρ为材料密度；C₁₁＝ρc_l ²是液体中声波弹性常数,c_l是液体中声波声速。求解该方程组，即可得到二维液-液像素型声子晶体带隙特性。

8）所述步骤3）中用改进的快速平面波展开法求解方程组(1)时，组元材料常数g（ρ^-1、C₁₁ ^-1）的傅里叶变换g(G)至关重要。而对于像素型声子晶体而言，可以根据位移特性来计算任意分布的组元材料常数的傅里叶变换g(G)。

设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合。首先计算中心点像素P₀∈P_a（图3）材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)为：

$g_0\left(G\right)=\left\{\begin{array}{cc}{g}_B+f(g_A-g_B),& G=0\\ f(g_A-g_B)\sin c\left(\frac{G_{x}a}{2N}\right)\sin c\left(\frac{G_{y}a}{2N}\right),& G\≠0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：a为声子晶体原胞晶格常数；G为倒格矢，G_x和G_y分别为G的x和y方向分量；

为中心点像素P₀对应的散射体占整个原胞的填充比。

根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的傅里叶变换为：

g_r(G)=g₀(G)e^iG·r       (3)

由(3)式可以计算像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\·r}\mathrm{\δ}\left(r\right)---\left(4\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},e^{\mathrm{iG}\·r_2},\·\·\·e^{\mathrm{iG}\·r_k},\·\·\·e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)=[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]，r_k表示原胞中第k个像素的中心点位置，L表示声子晶体原胞分割后总的像素数。则（4）式等价于

g(G)=g₀(G)e(G)·δ(r)        (5)

由于e(G)可以离线计算，(5)式表明，给定任意原胞结构的δ(r)后，既可以采用加法计算g(G)。将g(G)离线计算并存储，供每次带隙计算调用，从而大大降低运算量，提高运算速度。

本发明的有益效果是：可以根据对二维液-液声子晶体带隙的要求，自动快速寻找具有全局最优的液-液声子晶体拓扑形状，得到新颖的声子晶体结构；摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强；同时减少了计算时间，提高了计算效率，并使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

附图说明

图1是本发明基于遗传算法和快速平面波展开法对二维液-液声子晶体结构拓扑优化设计流程框图；

图2是本发明中关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称的声子晶体原胞10×10像素结构示意图和基因表达图；

图3是本发明任一填充g_a材料像素单元的傅里叶变换计算时的位移变换图；

图4是本发明实例最优声子晶体3×3原胞图；

图5是本发明实例最优声子晶体能带图；

图6是本发明实例遗传算法进化过程中的种群平均适应度及最优个体适应度变化图；

图7是本发明实例遗传算法进化过程中的最优个体第三能级和第二能级间的带隙上下限及带隙宽度变化图。

具体实施方式

以下结合说明书附图对本发明的具体实施例加以说明：

本实施例研究由两种液体材料构成的二维正方晶格液-液声子晶体，晶格常数a=1m。材料A为水，其密度ρ_A=1025kg/m³、声波波速c_lA=1531m/s；材料B为水银，其密度ρ_B=13500kg/m³、声波波速为c_lB=1450m/s。

本实施例包括以下步骤：

1)输入待求解的问题参数：平面波个数为221个平面波、像素尺度N=20、种群规模为60、交叉率为0.5、变异率为0.1～0.8。

2)初始化：随机生成初始种群,用20×20矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体(个体)。

3)计算个体适应度：声子晶体原胞被分割为20×20正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的材料(水或水银)，采用二进制字符串形式表示,1和0分别表示材料水和材料水银。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究声子晶体原胞关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称条件下，声子晶体结构拓扑优化设计问题，遗传个体二进制字符串长度为

采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞的色散关系,得到对应的禁带数值。拓扑优化的目标设为第三能级和第二能级间的带隙相对值最大，即：

$\max :\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_2}{{\mathrm{\ω}}_{20}}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)-\max {\mathrm{\ω}}_2\left(k\right)}{\frac{\min {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)+\max {\mathrm{\ω}}_2\left(k\right)}{2}}$

minω₃(k)为第三能级本征频率的最小值、maxω₂(k)为第二能级本征频率的最大值。然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。

5)检验种群是否满足停止条件(种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。优化流程见图1。

经过100次循环迭代，得到二维水-水银声子晶体最优拓扑结构，其3×3原胞见图4。该最优声子晶体结构为复式格子的正方晶格结构，散射体材料为水（图4中的黑色部分）,基体材料为水银（图4中的白色部分），散射体为两种不同尺寸的具有倒角的正方形，散射体填充率为34%；最优声子晶体的能带图见图5，图中横轴坐标为波矢，纵轴坐标为频率（单位：kHz）,ΓXM三角形为不可约布里渊区，求色散曲线时，波矢沿Γ→X→M→Γ方向扫描。由图5可见，第三能级和第二能级间的完全带隙相对宽度为最大，此带隙的上边缘最小值为1589.3Hz，带隙的下边缘最大值为594.2Hz，带隙宽度为995.1Hz；种群的平均适应度和最优个体的适应度随优化过程而变化（图6），图中横轴坐标为遗传优化进化次数（单位：次），纵轴坐标为第三和第二能级间带隙相对值表示的适应度值。种群的平均适应度为种群每个个体适应度的平均值，适应度最大的个体为该种群的最优个体。由图6可以发现，遗传算法优化进化前期，进化速度很快，而在后期，特别是接近最优解时，速度很慢，最优解所对应的个体适应度为0.9115；进化过程中声子晶体第三能级和第二能级间的完全带隙上下限（分别指带隙上边缘最小值和带隙下边缘最大值）及带隙宽度（带隙上限与带隙下限的差值）变化见图7，图中横轴坐标为遗传优化进化次数（单位：次），纵轴坐标为频率（单位：kHz）。由图7可以发现，随着优化进化的进行，第三能级和第二能级间的完全带隙的上边缘最小值在变大，下边缘最大值在变小，带隙的宽度在变大。

由结果表明：随着迭代的进行，种群向前进化，最后得到了新颖的最优二维水-水银声子晶体，其第三能级和第二能级间带隙完全打开,相对带隙值达到最大,实现了优化的目标；这种全局拓扑优化方法超越了经验设计的局限，实现了液-液声子晶体的主动设计。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明而并非限制本发明所描述的技术方案；因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换；而一切不脱离发明的精神和范围的技术方案及其改进，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (3)

1.一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法，用改进的快速平面波展开法(PWE)计算二维液-液声子晶体的色散关系，获取相应的带隙值；然后应用遗传优化算法，根据带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局；其特征在于：包括以下步骤：

1)输入待求解的参数：包括，材料常数、平面波个数、像素尺度N、种群大小、交叉率及变异率；

2)初始化：随机生成初始种群,用N×N矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体(个体)；

3)计算个体适应度：二维液-液像素型声子晶体的色散关系所满足的本构方程为：

${\left(C_{11}\right)}^{-1}\frac{{\∂}^2\mathrm{\Φ}}{\∂t^2}=\▿\·({\mathrm{\ρ}}^{-1}\▿\mathrm{\Φ})---\left(1\right)$

其中，ρ为材料密度,C₁₁＝ρc_l ²是液体中声波弹性常数,c_l是液体中声波声速；采用改进的快速平面波展开法求解方程组(1)时，任意分布的组元材料常数的傅里叶变换g(G)可以根据位移特性来计算；设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合,首先计算中心点像素P₀∈P_a材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)为：

$g_0\left(G\right)=\left\{\begin{array}{cc}{g}_B+f(g_A-g_B),& G=0\\ f(g_A-g_B)\sin c\left(\frac{G_{x}a}{2N}\right)\sin c\left(\frac{G_{y}a}{2N}\right),& G\≠0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：a为声子晶体原胞晶格常数；G为倒格矢，G_x和G_y分别为G的x和y方向分量；

为中心点像素P₀对应的散射体占整个原胞的填充比；根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的傅里叶变换为：

g_r(G)=g₀(G)e^iG·r       (3)

由(3)式可以计算像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\·r}\mathrm{\δ}\left(r\right)---\left(4\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},\·\·\·e^{\mathrm{iG}\·r_2},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_k},\·\·\·,e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)=[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]，r_k表示原胞中第k个像素的中心点位置，L表示声子晶体原胞分割后总的像素数；则(4)式等价于

g(G)=g₀(G)e(G)·δ(r)         (5)；

将g(G)离线存储，供每次带隙计算调用；采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞的色散关系,得到对应的禁带数值；根据优化的目标，用二维液-液像素型声子晶体禁带构造目标函数，然以目标函数值来度量遗传个体的适应度；

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化；

5)检验种群是否满足停止条件，满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。

2.根据权利要求1所述的一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法，其特征在于：所述的遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格；声子晶体原胞被分割为偶数的N×N正方形像素型结构；将每个像素随机配置所选定的声学材料；声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型。

3.根据权利要求1所述的一种二维液-液声子晶体拓扑优化方法，其特征在于：拓扑优化的目标为带隙相对值最大，即：

$\max :\frac{{\mathrm{\Δ\ω}}_n}{{\mathrm{\ω}}_{n0}}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(k\right)-\max {\mathrm{\ω}}_n\left(k\right)}{\frac{\min {\mathrm{\ω}}_{n+1}\left(k\right)+\max {\mathrm{\ω}}_n\left(k\right)}{2}}$

minω_n+1(k)为第n+1能级本征频率的最小值，maxω_n(k)为第n能级本征频率的最大值，然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

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