CN103218529A - 一种二维固-固声子晶体xy模态拓扑优化方法 - Google Patents

Abstract

一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，包括：输入待求解的问题参数,初始化；采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞XY模态的色散关系,得到对应的禁带数值；根据优化的目标，用声子晶体禁带构造目标函数，然以目标函数值来度量遗传个体的适应度；依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化；检验种群是否满足停止条件；摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构；同时减少计算时间，提高计算效率，使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

Description

一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法

技术领域

本发明属声带隙材料设计领域，涉及一种声带隙材料拓扑优化设计方法，特别涉及一种基于遗传算法和快速平面波展开法（PWE）,对二维固-固声子晶体原胞材料分布进行拓扑优化设计,以获得所需要的XY模态带隙特征。

背景技术

声子晶体是指具有不同密度和弹性常数的材料按周期性复合在一起、具有弹性波带隙的周期复合材料。当弹性波在受到材料常数的周期性调制时，可能会产生声带隙，即一定频率范围的弹性波的传播被抑制或禁止。声子晶体的这种特性具有极大的理论意义，在无源隔音、精密机械平台减振、声滤波器等新型声学功能材料等方面具有广泛的应用前景。目前，声子晶体带隙特性的研究已经成为一个新的热点。

传统的声子晶体设计思路一般是：在特定的晶格类型条件下，采用有限的几种对称形状(如二维问题中，采用圆柱、正方柱、椭圆柱等)作为原胞的散射体,通过调整这些散射体的几何参数来打开声子晶体带隙或改善带隙的特性,进而经验性地提炼可能的设计规律,然后指导性地寻找更好的声子晶体新结构。

然而，在计算声子晶体能带特性之前,必须事先设定声子晶体的原胞结构。但对何种形式的声子晶体原胞结构具有所期望的最优带隙，则是一个难以预测的问题，这在很大程度上束缚了人们对声子晶体的应用。

发明内容

本发明的目的在于，克服现有的声子晶体设计分析方法的不足，提出一种基于遗传算法和快速平面波展开法的声子晶体材料拓扑优化设计方法，根据对二维固-固声子晶体XY模态带隙的要求，自动寻找对应的声子晶体材料最优布局，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构，使其达到最好的技术经济性能。

本发明是采用以下技术方案解决的：

用改进的快速平面波展开法计算二维固-固声子晶体XY模态的色散关系，获取相应的带隙值；然后应用遗传优化算法，根据带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局。其特点是包括以下步骤：

1)输入待求解的问题参数：如材料常数、平面波个数、像素尺度N、种群大小、交叉率及变异率等。

2)初始化：随机生成初始种群,用N×N矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体(个体)。

3)计算个体适应度：采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞XY模态的色散关系,得到对应的禁带数值。根据优化的目标，用声子晶体禁带构造目标函数，然以目标函数值来度量遗传个体的适应度。

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。其中,选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用精英选择与轮盘赌相结合机制；交叉操作采用平均交叉方式,随机选择染色体实施行交叉或列交叉，以增强算法的全局搜索能力；个体变异采用位变异机制。由于“优胜劣汰,适者生存”自然选择和遗传进化机理,最优秀个体的拓扑结构就越来越逼近目标要求的声子晶体原胞最优拓扑布局。

5)检验种群是否满足停止条件(例如固定的进化代数或种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。

6）所述步骤3）中遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格,晶格常数为a。声子晶体原胞被分割为N×N（N为偶数）正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的弹性材料(仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示)。声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型(如图2所示)。此时,声子晶体的结构设计问题等价于像素中弹性材料的选择问题。显然,当N足够大时原则上可以表达任意形状的结构,材料边界也更光滑，但此时搜索规模往往呈指数形式增长，而且像素粒度过小也给工艺制备带来了难度。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究像素粒度适中的声子晶体结构拓扑优化设计问题。为了加快收敛速度，先将声子晶体原胞分割为N×N正方形像素单元，当达到收敛条件，得到最优结果后，再以此最优结果对应的种群为初始种群，将每个声子晶体原胞扩展分割为2N×2N正方形像素型结构，重新进行寻优计算迭代，直到再次找到最优结果。

7）所述步骤3）中二维固-固像素型声子晶体XY模态色散关系所应满足的波动方程为：

$\frac{{\∂}^2{u}^i}{{\∂t}^2}=\frac{1}{\mathrm{\ρ}}\{\frac{\∂}{{\∂x}_i}\left(\mathrm{\λ}\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_l}\right)+\frac{\∂}{{\∂x}_l}[\mathrm{\μ}(\frac{{\∂u}^i}{{\∂x}_l}+\frac{{\∂u}^l}{{\∂x}_i})\left]\right\}---\left(1\right)$

其中，i，l代表坐标x，y；uⁱ为位移矢量u的i分量；ρ为材料密度；λ和μ为材料弹性常数（拉梅常数）。求解该方程组，即可得到XY模态的色散关系。

8）所述步骤3）中用改进的快速平面波展开法求解方程组(1)时，组元材料常数g（ρ、λ和μ）的傅里叶变换g(G-G')至关重要。而对于像素型声子晶体而言，可以根据位移特性来计算任意分布的组元材料常数的傅里叶变换g(G)。

设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合。首先计算中心点像素P₀∈P_a（图3）材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)为：

$g_0\left(G\right)=\left\{\begin{array}{cc}{g}_B+f(g_A-g_B)& ,G=0\\ f(g_A-g_B)\sin c\left(\frac{G_{x}a}{2N}\right)\sin c\left(\frac{G_{y}a}{2N}\right)& ,G\≠0\end{array}\right.---\left(2\right)$

其中：a为声子晶体原胞晶格常数；G为倒格矢，G_x和G_y分别为G的x和y方向分量；为散射体占整个原胞的填充比。

根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的傅里叶变换为：

g_r(G)＝g₀(G)e^iG·r   (3)

由(3)式可以计算像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\·r}\mathrm{\δ}\left(r\right)---\left(4\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},e^{\mathrm{iG}\·r_2},...,e^{\mathrm{iG}\·r_k},...,e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)=[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]，r_k表示原胞中第k个像素的中心点位置，L表示声子晶体原胞分割后总的像素数。则（4）式等价于

g(G)=g₀(G)e(G)·δ(r)   (5)

由于e(G)可以离线计算，(5)式表明，给定任意原胞结构的δ(r)后，既可以采用加法计算g(G)。将g(G)离线计算并存储，供每次带隙计算调用，从而大大降低运算量，提高运算速度。

本发明与现有技术相比，具有以下明显的优势和有益效果：可以根据对二维固-固声子晶体XY模态带隙的要求，自动快速寻找具有全局最优的声子晶体拓扑形状，得到新颖的声子晶体结构；摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强；同时减少了计算时间，提高了计算效率，并使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

附图说明

图1是本发明基于遗传算法和快速平面波展开法对二维固-固声子晶体结构XY模态拓扑优化设计流程框图；

图2是本发明中关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称的声子晶体原胞10×10像素结构示意图和基因表达图；

图3是本发明任一填充g_a材料像素单元的傅里叶变换计算时的位移变换图；

图4是本发明实例最优声子晶体3×3原胞图；

图5是本发明实例最优声子晶体能带图；

图6是本发明实例遗传算法进化过程中的种群平均适应度及最优个体适应度变化图；

图7是本发明实例遗传算法进化过程中的最优个体第四能级和第三能级间的带隙上下限及带隙宽度变化图。

具体实施方式

以下结合说明书附图对本发明的具体实施例加以说明：

本实施例研究由两种材料构成的二维正方晶格固-固声子晶体，晶格常数a=1m。材料A为钢，其密度ρ_A=7780kg/m³、材料拉梅常数分别为λ_A=1.22×10¹¹Pa、μ_A=8.10×10¹⁰Pa；材料B为环氧树脂，其密度ρ_B=1180kg/m³、材料拉梅常数分别为λ_B=4.43×10⁹Pa、μ_B=1.59×10⁹Pa。

本实施例包括以下步骤：

1)输入待求解的问题参数：平面波个数为221个平面波、像素尺度N=20、种群规模为60、交叉率为0.5、变异率为0.1～0.8。

2)初始化：随机生成初始种群,用N×N矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体(个体)。

3)计算个体适应度：声子晶体原胞被分割为正方形像素型结构。将每个像素随机配置所选定的材料(钢或环氧树脂)，采用二进制字符串形式表示,1和0分别表示材料钢和材料环氧树脂。本发明综合考虑运算能力和制备工艺的限制,研究声子晶体原胞关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称条件下，声子晶体结构拓扑优化设计问题。

采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞XY模态的色散关系,得到对应的禁带数值。拓扑优化的目标设为第四能级和第三能级间的带隙相对值最大，即：

max: $\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_3}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_4\left(k\right)-\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}$

minω₄(k)为第四能级本征频率的最小值、maxω₃(k)为第三能级本征频率的最大值。然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

为了加快收敛速度，先将声子晶体单胞被分割为20×20正方形像素型结构，遗传个体二进制字符串长度为

当达到收敛条件，得到对应最优结果后，再以此最优结果对应的种群为初始种群，将每个声子晶体单胞扩展分割为40×40正方形像素型结构，遗传个体二进制字符串长度为

重新进行寻优计算迭代。

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。

5)检验种群是否满足停止条件(种群是否稳定)。如果满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。优化流程见图1。

经过200次循环迭代，得到二维钢-环氧树脂XY模态对应的最优拓扑结构，其3×3原胞见图4。该最优声子晶体结构近似为简单格子的正方晶格结构，散射体材料为钢,基体材料为环氧树脂，散射体为具有倒角的正方形，正方形边长为0.75m，填充率为54%；最优声子晶体的能带图见图5，第四能级和第三能级间的完全带隙相对宽度为最大，此带隙的上边缘最小值为2494.4Hz，带隙的下边缘最大值为859.5Hz，带隙宽度为1634.9Hz；种群的平均适应度和最优个体的适应度随优化过程而变化（图6），由图6可以发现，遗传算法优化进化前期，进化速度很快，而在后期，特别是接近最优解时，速度很慢，最优解所对应的个体适应度为1.9024；进化过程中声子晶体第四能级和第三能级间的完全带隙上下限及带隙宽度变化见图7，由图7可以发现，随着优化进化的进行，带隙的上边缘值在变大，下边缘值在变小，带隙的宽度在变大。

由结果表明：随着迭代的进行，种群向前进化，最后得到了最优的二维钢-环氧树脂声子晶体，其第四能级和第三能级间带隙完全打开,相对带隙值达到最大,实现了优化的目标；这种全局拓扑优化方法超越了经验设计的局限，实现了声子晶体的主动设计。

最后应说明的是：以上实施例仅用以说明本发明而并非限制本发明所描述的技术方案；因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换；而一切不脱离发明的精神和范围的技术方案及其改进，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (5)

1.一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，根据对二维固-固声子晶体XY模态带隙的要求，自动寻找对应的声子晶体材料最优布局，得到具有最优带隙特性的声子晶体结构，其特征在于包括以下步骤：

1)输入待求解的问题参数：所述的参数包括，材料常数、平面波个数、像素尺度N、种群大小、交叉率及变异率；

2)初始化：随机生成初始种群,用N×N矩阵二进制数对原胞进行编码,构成染色体；

3)计算个体适应度：采用改进的快速平面波展开法，计算每个遗传个体对应的声子晶体原胞XY模态的色散关系所满足的波动方程时,任意分布的组元材料常数g（ρ、λ和μ）的傅里叶变换g(G)，可以根据位移特性来计算；设P_a为原胞中填充介质g_a的像素集合，首先计算中心点像素P₀∈P_a材料常数g₀的傅里叶变换g₀(G)；根据位移特性，任一填充g_a介质的像素P_r∈P_a的傅里叶变换为：

g_r(G)=g₀(G)e^iG·r

则像素型声子晶体材料常数分布的傅里叶变换g(G)为：

$g\left(G\right)=\underset{P_r\∈P_a}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)=\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{g}_r\left(G\right)\mathrm{\δ}\left(r\right)=g_0\left(G\right)\underset{r}{\mathrm{\Σ}}{e}^{\mathrm{iG}\·r}\mathrm{\δ}\left(r\right)$

其中：

设 $e\left(G\right)=[e^{\mathrm{iG}\·r_1},e^{\mathrm{iG}\·r_2},...,e^{\mathrm{iG}\·r_k},...,e^{\mathrm{iG}\·r_L}],$ 原胞结构的像素材料常数分布可表示为δ(r)=[δ(r₁),δ(r₂),…δ(r_k),…,δ(r_L)]；则：

g(G)=g₀(G)e(G)·δ(r)

将g(G)离线存储，供每次带隙计算调用；通过计算,得到每个个体对应的禁带数值；根据优化的目标，用声子晶体禁带构造目标函数，然以目标函数值来度量遗传个体的适应度；

4)依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化；

5)检验种群是否满足停止条件；满足则输出最优结果,退出；否则返回步骤3)。

2.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，其特征在于：所述的遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格；声子晶体原胞被分割为N×N正方形像素型结构；将每个像素随机配置所选定的弹性材料；声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称和关于z轴90°旋转对称模型；先将声子晶体原胞分割为N×N正方形像素型结构，当达到收敛条件，得到对应最优结果后，再以此最优结果对应的种群为初始种群，将每个声子晶体原胞扩展分割为2N×2N正方形像素型结构，重新进行寻优计算迭代，直到再次找到最优结果。

3.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，其特征在于：所述的N为偶数。

4.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，其特征在于：所述的材料有两种，具有不同弹性性质，采用二进制字符串形式表示。

5.根据权利要求1所述的一种二维固-固声子晶体XY模态拓扑优化方法，其特征在于：所述的计算个体适应度步骤中的优化的目标，设为第四能级和第三能级间的带隙相对值最大，即：

max: $\frac{\mathrm{\Δ}{\mathrm{\ω}}_3}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}=\frac{\min {\mathrm{\ω}}_4\left(k\right)-\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}{\max {\mathrm{\ω}}_3\left(k\right)}$

minω₄(k)为第四能级本征频率的最小值、maxω₃(k)为第三能级本征频率的最大值，然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

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