CN103324786A - 基于遗传算法的二维固相声子晶体xy模带隙优化方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于声带隙材料设计领域，公开了一种基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法，用于解决根据二维固相声子晶体XY模带隙要求主动设计声子晶体结构的技术问题。包括步骤一，随机生成二进制数表示的染色体构成初始种群；步骤二，基于有限元法计算个体适应度；步骤三，依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化不断更新种群；步骤四，检验种群是否满足停止条件；如果满足输出最优结果，退出；否则返回步骤二。本发明摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强；同时减少了计算时间，提高了计算效率，使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

Description

基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法

技术领域

本发明属于声带隙材料设计领域，涉及一种声带隙材料拓扑优化设计方法，特别涉及一种基于遗传算法和有限元法，对二维固相声子晶体原胞材料拓扑分布进行优化设计，以获得所需要的XY模带隙特征。

背景技术

声子晶体是指具有弹性波带隙特性的周期复合材料。对于二维声子晶体，当弹性波在二维平面（x,y）内传播时，若介质位移也在二维平面（x,y）内，则称为面内耦合波模（XY模）。通过适当的设计，声子晶体XY模可以产生弹性波带隙，即一定频率范围的弹性波的传播被抑制或禁止。声子晶体所具有的这种弹性波带隙特性在无源隔音、精密机械平台减振、声滤波器等新型声学功能材料方面具有广泛的应用前景。在上述应用中，声子晶体带隙的存在与否及带隙大小都非常重要；而且，带隙越大，其应用范围就越广、应用价值也越高。所以，寻求最大禁带声子晶体结构，是声子晶体理论研究的重点。

传统的声子晶体设计思路一般是：在特定的晶格类型(正方晶格、三角晶格等)条件下，采用有限的几种对称图形(如二维问题中，采用圆柱、正方柱等)作为原胞的散射体，通过调整这些散射体的几何参数以及散射体和基体材料参数来打开声子晶体带隙或改善带隙的特性，进而经验性地提炼可能的设计规律，然后指导性地寻找更好的声子晶体新结构。

然而，对何种形式的声子晶体原胞结构具有所期望的最优带隙，仅根据经验性的总结和直觉性的预测，则是一个难以实现的问题，这在很大程度上束缚了人们对声子晶体的应用。

发明内容

为了克服现有的声子晶体设计分析方法的不足，本发明提出一种基于遗传算法和有限元法的固相声子晶体拓扑优化方法，根据对二维固相声子晶体XY模带隙的要求，自动寻找对应的声子晶体材料最优布局，得到具有最优带隙特性的新颖的声子晶体结构，使其达到最好的技术经济性能。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：用有限元法计算二维固相声子晶体XY模的能带，获取相应的带隙值；然后应用遗传优化算法，根据带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局。其特点是包括以下步骤：

步骤一，产生初始种群：随机生成N_pop个二进制数表示的染色体(个体)构成初始种群。

初始种群的随机生成是为了保证种群的多样性，从而避免影响搜索效果。N_pop为种群规模，其值过大会增加计算量，过小会使种群不具有代表性。所以，N_pop的值一般根据具体问题通过测试获得。

步骤二，计算个体适应度。

遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格。将声子晶体原胞离散为2M×2M正方形单元结构，将每个单元随机配置所选定的弹性材料，本发明仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示。声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称模型，即仅需单元结构的1/4即可描述整个原胞。此时，声子晶体的结构设计问题等价于单元中弹性材料的选择问题。显然，当M足够大时原则上可以表达任意形状的结构，材料边界也更光滑，但此时搜索规模往往呈指数形式增长，而且单元尺寸过小也给工艺制备带来了难度，因此，M的选取应折中考虑。本发明综合考虑运算能力、收敛速度、材料边界光滑情况和制备工艺的限制，对二维固相声子晶体结构进行拓扑优化设计。具体方法如下：

（1）求二维固相声子晶体XY模能带。

二维固相声子晶体XY模所满足的波动方程为：

$\begin{array}{c}p\frac{{\∂}^{2}u}{{\∂t}^2}=\frac{\∂}{\∂x}((2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\frac{\∂u}{\∂x}+\mathrm{\λ}\frac{\∂v}{\∂y})+\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\μ}(\frac{\∂u}{\∂y}+\frac{\∂v}{\∂x})\right)\\ p\frac{{\∂}^{2}v}{{\∂t}^2}=\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\μ}(\frac{\∂v}{\∂x}+\frac{\∂u}{\∂y})\right)+\frac{\∂}{\∂y}((2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\frac{\∂v}{\∂y}+\mathrm{\λ}\frac{\∂u}{\∂x})\end{array}---\left(1\right)$

式中，ρ为材料密度；λ和μ为材料弹性常数（拉梅常数）；u、v分别为x、y方向的位移。

应用有限元法解方程组（1）：借助多物理场耦合软件COMSOL Multiphysics3.5a中的力学模块，根据问题的要求，对其脚本语言进行二次开发，得到matlab环境下的程序代码，启动COMSOL with MATLAB，从而可以求解方程组(1)，得到二维固相声子晶体XY模能带。

（2）用声子晶体带隙构造目标函数，然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

本拓扑优化的目标为第一能级到第七能级间带隙相对值最大，即：

$f=\max \left(\frac{\min \left({\mathrm{\ω}}_{i+1}\left(k\right)\right)-\max \left({\mathrm{\ω}}_i\left(k\right)\right)}{\max \left({\mathrm{\ω}}_i\left(k\right)\right)}\right),i=\mathrm{1,2},...6---\left(2\right)$

式中，f为目标函数，k为波矢，min(ω_i+1(k))和max(ω_i(k))分别为第i+1能级本征频率的最小值和第i能级本征频率的最大值。

步骤三，依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。其中，选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用精英选择与轮盘赌相结合机制；交叉操作采用均匀交叉方式，随机选择染色体实施行交叉或列交叉，以增强算法的全局搜索能力；个体变异采用位变异机制。由于“优胜劣汰，适者生存”自然选择和遗传进化机理，随着优化迭代的进行，最优秀个体的拓扑结构就越来越逼近目标要求的声子晶体原胞最优拓扑布局。

步骤四，检验种群是否满足停止条件(例如固定的进化代数或种群是否稳定)。如果满足，输出最优结果，退出；否则，返回步骤二。

本发明的有益效果是：可以根据对二维固相声子晶体XY模带隙的要求，自动快速寻找具有全局最优的声子晶体拓扑形状，得到新颖的声子晶体结构；摆脱了传统的经验设计思路，实现了根据带隙需要主动设计声子晶体结构的目标，使声子晶体的可设计性变强；同时减少了计算时间，提高了计算效率，并使所设计的声子晶体达到最好的技术经济性能。

附图说明

图1是本发明所涉及的方法流程图；

图2是本发明中声子晶体原胞10×10单元结构示意图和基因表达图；

图3是本发明实例最优声子晶体3×3原胞图；

图4是本发明实例最优声子晶体能带图；

图5是本发明实例遗传算法进化过程中种群平均适应度及最优个体适应度变化图；

图6是本发明实例遗传算法进化过程中的最优个体XY模带隙上下限及带隙宽度变化图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

本实施例研究由两种材料构成的二维正方晶格固相声子晶体。材料A为钢，其密度ρ_A=7780kg/m³，材料拉梅常数分别为λ_A=122GPa，μ_A=81GPa；材料B为环氧树脂，其密度ρ_B=1180kg/m³，材料拉梅常数分别为λ_B=4.43GPa，μ_B=1.59GPa。

本实施例的方法流程图如图1所示，包括以下步骤：

步骤一，产生初始种群：随机生成二进制数表示的染色体(个体)构成初始种群,初始种群规模N_pop=60。

步骤二，计算个体适应度：本发明综合考虑运算能力、收敛速度、材料边界光滑情况和制备工艺的限制，将声子晶体原胞离散为20×20正方形单元结构。每个单元随机配置所选定的材料(钢或环氧树脂)，采用二进制字符串形式表示，1和0分别表示材料钢和材料环氧树脂。如图2所示，声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称模型，此时仅需原胞的1/4即可描述整个原胞，遗传个体二进制字符串长度为100。

启动COMSOL with MATLAB，采用有限元法解方程组（1），计算每个遗传个体对应的二维钢-环氧树脂声子晶体原胞XY模的能带，得到对应的带隙数值，拓扑优化的目标设为第一能级到第七能级间带隙相对值最大，其表达式如（2）式所示。然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度。

步骤三，依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群。交叉率为0.5、变异率根据收敛情况取值为0.05～0.4。

步骤四，检验种群是否稳定。如果满足则输出最优结果，退出；否则，返回步骤二。

经过80次循环迭代，得到二维钢-环氧树脂声子晶体XY模对应的原胞最优拓扑结构，其3×3原胞见图3；该最优声子晶体结构为简单格子的正方晶格结构，钢(刚性材料)周期排列但并不相连，即为散射体(图3中黑色部分)，而基体材料为环氧树脂(图3中白色部分)；散射体为具有倒角的正方形图案，填充率为63%；虽然声子晶体原胞设为关于x和y轴对称模型，但优化后的原胞呈现更高的对称性。最优声子晶体的能带图见图4，图中横轴坐标为波矢，纵轴坐标为频率，其中c_s为环氧树脂剪切波波速，c_s=1160.8m/s；由于采用1/4模型，用有限元法求二维固相声子晶体频散关系时，波矢沿不可约布里渊区ΓXMYM所有边(即Γ→X→M→Γ→Y→M方向)扫描；由图4可见，第三能级和第四能级间带隙（简称第三带隙）完全打开，其带隙相对宽度为最大，带隙的上边缘最小值为2.0355，带隙的下边缘最大值为0.6968，带隙宽度为1.3387，而其它相邻能级间未形成带隙。种群的平均适应度和最优个体的适应度随优化过程而变化，如图5所示，图中横轴坐标为遗传优化进化次数，纵轴坐标为第三带隙相对值表示的适应度值；种群的平均适应度为种群每个个体适应度的平均值，其中适应度最大的个体为该种群的最优个体；由图5可以发现，遗传算法优化进化前期，进化速度很快，而在后期，特别是接近最优解时，速度很慢，最优解所对应的个体适应度为1.9212；进化过程中声子晶体第三带隙上下限（分别指带隙上边缘最小值和带隙下边缘最大值）及带隙宽度（带隙上限与带隙下限的差值）变化见图6；由图6可以发现，随着优化进化的进行，第三完全带隙的上边缘值在变大，下边缘值在变小，带隙的宽度在变大。

由以上结果表明：随着迭代的进行，种群向前进化，最后得到了最优的二维钢-环氧树脂声子晶体结构，其第三带隙完全打开，且相对带隙值达到最大，实现了优化的目标；这种全局拓扑优化方法超越了经验设计的局限，实现了声子晶体的主动设计。

最后说明的是：以上实施例仅用以说明本发明而并非限制本发明所描述的技术方案；因此，尽管本说明书参照上述的各个实施例对本发明已进行了详细的说明，但是，本领域的普通技术人员应当理解，仍然可以对本发明进行修改或等同替换；而一切不脱离发明的精神和范围的技术方案及其改进，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法，用有限元法计算二维固相声子晶体XY模的能带，获取相应的带隙值；然后应用遗传优化算法，根据带隙所要达到目标，搜索声子晶体最优材料拓扑布局；其特征在于包括以下步骤：

步骤一，随机生成二进制数表示的染色体构成初始种群；

步骤二，计算个体适应度，方法如下：

（1）求二维固相声子晶体XY模能带；

二维固相声子晶体XY模所满足的波动方程为：

$\begin{array}{c}p\frac{{\∂}^{2}u}{{\∂t}^2}=\frac{\∂}{\∂x}((2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\frac{\∂u}{\∂x}+\mathrm{\λ}\frac{\∂v}{\∂y})+\frac{\∂}{\∂y}\left(\mathrm{\μ}(\frac{\∂u}{\∂y}+\frac{\∂v}{\∂x})\right)\\ p\frac{{\∂}^{2}v}{{\∂t}^2}=\frac{\∂}{\∂x}\left(\mathrm{\μ}(\frac{\∂v}{\∂x}+\frac{\∂u}{\∂y})\right)+\frac{\∂}{\∂y}((2\mathrm{\μ}+\mathrm{\λ})\frac{\∂v}{\∂y}+\mathrm{\λ}\frac{\∂u}{\∂x})\end{array}---\left(1\right)$

式中，ρ为材料密度；λ和μ为材料弹性常数（拉梅常数）；u、v分别为x、y方向的位移；

应用有限元法解方程组（1），得到二维固相声子晶体XY模能带；

（2）用声子晶体带隙构造目标函数，然后以此目标函数值来度量遗传个体的适应度；

本拓扑优化的目标为第一能级到第七能级间带隙相对值最大，即：

$f=\max \left(\frac{\min \left({\mathrm{\ω}}_{i+1}\left(k\right)\right)-\max \left({\mathrm{\ω}}_i\left(k\right)\right)}{\max \left({\mathrm{\ω}}_i\left(k\right)\right)}\right),i=\mathrm{1,2},...6---\left(2\right)$

式中，f为目标函数，k为波矢，min(ω_i+1(k))和max(ω_i(k))分别为第i+1能级本征频率的最小值和第i能级本征频率的最大值；

步骤三，依次执行选择、交叉和变异遗传操作生成下一代种群，使种群向前进化，不断更新种群；其中，选择是根据遗传个体适应度值的大小，采用精英选择与轮盘赌相结合机制；交叉操作采用均匀交叉方式，随机选择染色体实施行交叉或列交叉；个体变异采用位变异机制；

步骤四，检验种群是否满足停止条件；如果满足，输出最优结果，退出；否则，返回步骤二。

2.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法，其特征在于，遗传个体对应的声子晶体原胞为正方晶格；声子晶体原胞被离散为2M×2M正方形单元结构，将每个单元随机配置所选定的弹性材料，此处仅考虑两种材料，故采用二进制字符串形式表示；当M足够大时原则上可以表达任意形状的结构，材料边界也更光滑，但此时搜索规模往往呈指数形式增长，而且单元尺寸过小也给工艺制备带来了难度，因此，选取M时根据上述因素折中考虑。

3.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法，其特征在于，声子晶体原胞设定为关于x、y轴对称模型。

4.根据权利要求1所述的一种基于遗传算法的二维固相声子晶体XY模带隙优化方法，其特征在于，应用有限元法求解二维固相声子晶体XY模所满足的波动方程组(1)时，借助多物理场耦合软件COMSOL Multiphysics3.5a中的力学模块，根据问题的要求对其脚本语言进行二次开发，得到matlab环境下的程序代码，启动COMSOL with MATLAB，求解方程组(1)，得到二维固相声子晶体XY模能带。

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