KR20050037342A

KR20050037342A - 점탄성재료의 시뮬레이션 방법

Info

Publication number: KR20050037342A
Application number: KR1020040070751A
Authority: KR
Inventors: 나이토마사토; 시라이시마사키
Original assignee: 스미토모 고무 고교 가부시키가이샤
Priority date: 2003-10-17
Filing date: 2004-09-06
Publication date: 2005-04-21
Also published as: EP1526468A3; TW200515251A; US7415398B2; KR101083654B1; TWI339263B; CN1609884B; DE602004023360D1; CN1609884A; EP1526468A2; US20050086034A1; EP1526468B1

Abstract

본 발명은 고무나 수지로 만들어진 매트릭스에 필러가 배합된 점탄성재료의 변형시뮬레이션 방법에 관한 것으로, 본 방법은 점탄성재료 모델을 만들기 위해 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계, 미리 설정된 조건에 기초하여 점탄성재료의 변형계산을 수행하는 단계, 및 변형계산으로부터 필요한 물리량을 얻는 단계를 포함한다. 여기서, 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는 필러모델을 만들기 위해 적어도 하나의 필러를 유한개의 요소로 분할하는 단계와 매트릭스 모델을 만들기 위해 매트릭스를 유한개의 요소로 분할하는 단계를 포함한다.

Description

점탄성재료의 시뮬레이션 방법{Method of simulating viscoelastic material}

본 발명은 점탄성재료의 변형등을 정확하게 해석하는데 유용한 점탄성재료의 시뮬레이션 방법에 관한 것이다.

고무로 대표되는 점탄성재료는, 예를 들면 타이어나 스포츠용품과 같은 공업제품에 광범위하게 사용된다. 점탄성재료는 부하를 받으면 크게 변형되고 부하를 완전히 제거하면 원래상태로 복원된다. 한편 점탄성재료는 정적부하를 받으면 비선형탄성거동을, 주기적 부하를 받으면 히스테리시스가 발생하는 속도의존 점탄성거동을 나타낸다. 시험제작에 드는 수고와 비용을 감소시키기 위하여 컴퓨터를 이용하여, 점탄성재료의 변형과정 등에 대한 시뮬레이션이 행해진다. 종래의 점탄성재료 시뮬레이션 방법은 일본특허공개공보 2002-365205호에 개시되어있다.

상기문헌은 점탄성재료가 변형속도에 따라 서로 다른 종탄성계수를 나타낸다는 사실에 초점을 맞추고 있다. 보다 구체적으로는, 미리 점탄성재료의 실제사용상태를 가정한 측정조건에서, 당해 점탄성재료에 발생한 변형, 변형 속도 및 응력이 측정된다. 따라서, 종탄성계수와 변형속도 사이의 대응 관계가 얻어진다. 해석대상인 점탄성재료모델에 대하여, 소정의 변형속도가 주어지면 상기 대응관계로부터 종탄성계수를 적절히 계산하여 변형계산이 수행된다.

점탄성재료의 시뮬레이션 방법은 예를 들어, 아래의 문헌에 기술되어 있다.

"A THREE-DIMENSIONAL CONSTITUTIVE MODEL FOR THE LARGE STRETCH BEHAVIOR OF RUBBER ELASTIC MATERIALS" by Ellen M. Arruda and Murray C. Boyce, Journal of the Mechanics and Physics of Solids Volume 41, Issue 2, Pages 389-412 (February 1993)

이하에서, 그 내용이 간단히 기술될 것이다.

상기에 언급된 문헌은 점탄성재료가 미세구조로서 네트웍구조(network structure)를 가진다는 분자사슬네트웍모델이론을 전제로 하고 있다. 도 35에 보여지듯이, 점탄성재료 "a"의 네트웍구조는 접합점 b에서 연결된 복수의 분자사슬 c를 포함하고 있다. 접합점 b에는 예를 들어 화학적 가교점 같은, 분자들 사이의 화학적 결합점이 포함되어 있다.

하나의 분자사슬 c는 복수의 세그멘트 e로 구성된다. 하나의 세그멘트 e는 반복을 위한 최소의 구성단위이다. 또한, 하나의 세그멘트 e는, 탄소분자들이 공유결합으로 연결되어 있는 모노머 f를 여러개 연결함으로서 이루어진다. 각각의 탄소 원자들은 탄소들 사이의 결합축 주위로 서로 자유롭게 회전한다. 따라서, 세그멘트 e는 전체적으로 여러가지 형상으로 구부러질 수 있다.

상기에 언급된 문헌에서, 접합점 b는 원자의 진동주기(fluctuation cycle)에 비해 장시간을 기준으로 보면 그 평균위치가 변하지 않는다. 그러므로, 접합점 b 주위에서의 섭동(perturbation)은 무시된다. 또한, 두개의 접합점 b, b를 양단에 가지는 분자사슬 c의 엔드-투-엔드 벡터는 분자사슬이 들어있는 점탄성재료 "a"의 연속체와 함께 변형되는 것으로 가정된다.

Aruuda 등은, 또한 8사슬 고무탄성모델을 제시한다. 도 6에 보여지듯이, 이 모델은 점탄성재료의 거시적 구조를, 미시적인 8사슬 고무탄성모델 g가 집합된 입방체네트웍구조체 h로 정의한다. 하나의 8사슬 고무탄성모델 g에서 분자사슬 c가, 도 6의 오른쪽에 확대되어 보여지는 바와 같이, 입방체의 중심에 위치하는 하나의 접합점 b1로부터 입방체의 각 꼭지점에 있는 8개의 각 접합점 b2로 연장된다.

시뮬레이션에서 점탄성재료는 체적변화가 거의 일어나지 않으며 또한 부하가 제거되면 원래형상으로 복원되는 초탄성체로 취급된다. 초탄성체는 아래의 식 (1)에 나타나듯이, Green 변형 성분 E_ij를 미분함으로써 공역 Kirichhoff 응력 S_ij를 생성하는 변형에너지함수(strain energy function) W를 가지는 물질로 정의된다. 달리 말하면, 변형에너지 함수는 점탄성재료가 변형될 때 저장되는 포텐셜에너지의 존재를 나타낸다. 그러므로, 초탄성체의 응력과 변형사이의 관계는 변형에너지함수 W의 미분 기울기로부터 얻어진다.

Aruuda등은 비가우시안(non-Gaussian) 통계론에 기초하여 점탄성재료의 변형이 증가함에 따라 엔트로피 변화가 급격히 증가하는(분자사슬이 길이가 늘어나면서 배향되는)것을 고려하여 아래의 식(2)에 표시되는 고무 탄성체의 변형에너지함수 W를 보여주었다. 또한, 이 변형에너지함수 W를 상기에 언급된 식(1)에 대입함으로써, 점탄성재료의 응력과 변형사이의 관계가 얻어진다.

(n : 단위체적당 분자사슬수; k_B : 볼쯔만 상수; T : 절대온도 )

I₁ : 변형 일차불변량, I₁ = λ₁ ²+λ₂ ²+λ₃ ²

(λ₁, λ₂, λ₃ 는 인장비(elongation ratio)들이다)

N : 하나의 분자사슬당 평균 세그멘트수

(r_chain : 하나의 분자사슬의 끝단(end) 사이의 거리), ; α: 한 세그멘트의 거리; L : 랑게방 함수, )

Aruuda등에 의하여 정의된 응력과 변형사이의 관계를 사용하여 점탄성재료의 1축인장변형 시뮬레이션을 수행함으로써, 예를 들어 도 36에 보여지는 것처럼 응력과 변형사이에 비선형관계를 얻었다. 이 결과는 부하의 부하변형 동안의 실제측정치와 우수한 상관관계를 보여준다.

공업제품으로 사용되는 점탄성재료에는, 통상적으로 카본블랙과 실리카같은 필러(충전제)가 배합된다. 필러가 배합된 점탄성재료의 변형 시뮬레이션을 정확하게 수행하기 위해서는 필러의 존재를 무시하는 것이 적절하지 않다. 그렇지만 종래의 시뮬레이션에서는 그러한 필러를 고려하지 않는다.

다양한 실험의 결과, 필러와 매트릭스고무 사이의 계면에서 매트릭스와 고무의 미끄러짐이나 마찰같은 여러가지 특이한 현상이 발생하고, 그러한 부분에서 비교적 큰 에너지 손실이 발생하는 것이 알려져 왔다. 그러므로 정확하게 점탄성재료의 시뮬레이션을 수행하기 위해서는 그러한 계면현상들도 계산에 고려하는 것이 중요하다.

이상에서 언급된 문제점들을 고려하여, 본 발명은 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계, 그리고 필러모델을 만들기 위해 적어도 하나의 필러를 유한개의 요소로 분할하는 단계를 포함하는 것을 기본으로 하여, 모델링된 점탄성재료의 변형상태를 정확하게 시뮬레이션하는데 유용한 점탄성재료의 시뮬레이션 방법을 제시하는 것을 목적으로 한다.

본 발명은, 고무나 수지로 이루어진 매트릭스에 필러가 배합된 점탄성재료의 변형을 시뮬레이션하는 방법으로서, 상기 방법은 점탄성재료 모델을 만들기 위해 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계, 미리 정해진 조건에 기초하여 점탄성재료 모델의 변형 계산을 수행하는 단계, 및 상기 변형계산으로부터 필요한 물리량을 얻는 단계를 포함하며 상기 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는 필러 모델을 만들기 위해 적어도 하나의 상기 필러를 유한개의 요소로 분할하는 단계, 및 매트릭스 모델을 만들기 위해 상기 매트릭스를 유한개의 요소로 분할하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 한다.

본 발명은 필러모델을 만들기 위해 필러를 분할하는 단계를 포함한다. 그러므로, 점탄성재료모델의 변형계산(deformation calculation) 결과에 필러의 영향을 고려해 넣는 것이 가능하다.

점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는, 상기 매트릭스모델과는 다른 점탄성특성을 가지는 계면모델을, 상기 매트릭스 모델과 상기 필러모델 사이에 배치되도록 하는 단계를 더 포함하는 것이 바람직하다. 상기 계면 모델은 매트릭스 모델보다 부드러운 점탄성특성, 매트릭스 모델보다 단단한 점탄성특성, 그리고 매트릭스모델보다 히스테리시스 손실이 더 큰 점탄성특성 등을 각각 가질 수 있다. 상기 매트릭스 모델에서 매트릭스 고무의 에너지 손실을 시뮬레이션하기 위하여 응력과 변형 사이의 관계를 정의하는 것이 바람직하다.

상기 필러모델은 서로 거리를 두고 배열된 제1 필러모델과 제2 필러모델의 적어도 두개의 필러모델을 포함하는 것이 바람직하다. 제1 필러모델과 제2 필러모델 사이에는 거리에 따라 변하는 필러간 인력(inter-filler attractive force)을 가지는 필러간 모델을 배열하는 것이 바람직하다. 이것은 점탄성재료의 변형계산에서 필러사이의 상호작용을 고려하는데 유용하다.

상기의 필러사이의 인력은 제1 필러모델과 제2 필러모델 사이의 거리가 증가함에 따라 완만하게 증가하여 정점에 도달하는 점증(gradually increasing)영역과 상기거리가 더욱 증가함에 따라 완만하게 감소하여 미리 설정된 특징길이 (characteristic length)에서 0에 도달하는 점감(gradually decreasing)영역을 가지는 포물선곡선을 표현하는 함수에 기초를 하여 결정하는 것이 바람직하다. 또한, 제1 필러모델과 제2필러모델 사이에서 발생하는 히스테리시스 손실을 시뮬레이션에서 고려하기 위하여, 점감영역에서의 부하제거변형에 있어서 상기 필러간 인력을 부하를 제거하기 시작하는 시점의 값으로부터 0까지 선형적으로 감소시키는 단계를 더 포함하는 것이 바람직하다.

바람직한 구현예의 상세한 설명

본 발명은, 그 목적과 장점들과 함께, 다음에 기술되는 바람직한 구현 예를 첨부 도면들과 함께 참조함으로써 가장 잘 이해될 수 있다:

첨부된 도면을 참고하여 본 발명에 따른 바람직한 구현 예에 대하여 아래에서 상세히 설명한다. 도 1은 본 발명에 따른 시뮬레이션을 수행하기 위한 컴퓨터장치를 보여준다. 컴퓨터장치(1)는 본체(1a), 키보드(1b), 입력장치로서 마우스(1c), 출력장치로서 모니터(1d)를 포함한다. 도시되지는 않았지만, 본체(1a)는 중앙처리장치(CPU로 축약한다), ROM, 작업 메모리, 자기 디스크와 같은 대용량 저장 장치, 그리고 CD-ROM이나 플로피 디스크를 위한 드라이브(1a1 및 1a2)를 적절히 갖추었다. 대용량 저장장치는 뒤에 설명되는 시뮬레이션 방법을 실행하기 위한 연산절차(예, 프로그램)를 거기에 저장한다. 공학용 워크스테이션 등을 컴퓨터 장치(1)로 사용하는 것이 바람직하다.

도 2는 본 발명에 따른 시뮬레이션 방법의 처리 절차의 일 예를 보여준다. 본 구현 예에서 먼저 점탄성재료모델이 설정되었다(단계 S1). 도 3에서, 미소구조로서 역할을 하는 점탄성재료 모델 2의 일 예가 시각적으로 보여진다.

점탄성재료 모델 2를 만들기 위해, 해석할 점탄성재료(실제로 존재하는지 여부를 불문한다)의 미소영역이 유한개의 작은 요소 2a, 2b, 2c ....로 분할된다. 수치해석법을 사용하여 변형계산을 하는데 필요한 파라미터가 각각의 요소 2a, 2b, 2c .....에 주어진다. 수치해석법은 예를 들어 유한요소법, 유한체적법, 유한차분법 또는 경계요소법등을 포함한다. 파라미터는 예를 들어 각각의 요소 2a, 2b, 2c ....의 결절점좌표값, 요소형상 및/또는 재료특성 등을 포함한다. 또한 각각의 요소 2a, 2b, 2c ...에는 예를 들어 이차원 평면으로서의 역할을 하는 삼각형, 사각형요소 그리고 삼차원 요소의 역할을 하는 사면체 또는 육면체요소가 사용된다. 따라서, 점탄성재료 모델 2는 컴퓨터 장치(1)에서 이용할 수 있는 수치 데이타이다. 이 예에서 이차원 점탄성재료모델이 보여진다.

도 4는 점탄성재료모델을 설정하기 위한 단계를 상세히 보여준다. 본 구현 예에서 점탄성재료모델 2는, 매트릭스를 유한개의 요소로 분할하여 매트릭스 모델 3을 만드는 단계인 S11, 적어도 하나의 필러를 유한개의 요소로 분할하여 필러모델 4를 만드는 단계인 S12, 매트릭스 모델 3과는 다른 점탄성특성을 가지는 계면 모델 5를 만드는 단계인 S13에 의하여 설정된다.

따라서 도시된 점탄성재료모델 2는, 고무나 수지로 이루어진 매트릭스가 모델화된 매트릭스모델 3, 매트릭스 모델 3안에 분산되고 배합되어 있는 필러가 모델화된 필러모델 4(흰부분), 그리고 매트릭스 모델 3과 필러 모델 4 사이에 두 모델들 사이의 계면을 형성하기 위하여 삽입된 계면모델 5(약간검정색부분)로 구성되어 있다.

그림에서, 상기 매트릭스 모델 3은 가장 검은 부분이다. 상기 매트릭스 모델 3은 점탄성재료모델 2의 주요부를 구성하고, 이 예에서 삼각형 또는 사각형요소로 분할되어있다. 매트릭스 모델 3의 각 요소에는, 재료특성으로서 예를 들어 하기 식 (3)의 응력과 변형사이의 관계가 주어진다.

(n : 단위체적당 분자사슬수; k_B : 볼쯔만 상수; T : 절대온도)

N : 하나의 분자사슬당 평균 세그멘트수

I₁ = λ₁ ²+λ₂ ²+λ₃ ² , I ₁ : 변형 일차불변량

B_ij : 좌 Cauchy-Green 변형 텐서

지금부터, 식(3)의 유도과정이 간략히 설명될 것이다. 고무와 같은 점탄성재료는 변형과정에서 체적 변화가 매우 작고 따라서 계산에서 무시될 수 있다. 그러므로, 점탄성재료의 밀도는 상수로 보고 계산을 수행할 수 있다. 따라서, Kirchhoff 응력 S_ij는 식(4)로 표현될 수 있다. 식(4)에서 E_ij는 Green 변형(Green strain)의 요소, p는 정수압(hydrostatic pressure), Xi는 응력과 변형이 0인 상태 C0에서 임의의 물체점 P의 위치, 그리고 x_j는 변형된 상태 C에서 물체점 P의 위치이다.

Cauchy 응력 성분 σ_ij와 Kirchhoff 응력성분 S_mn 사이에는 아래의 식 (5)로 표현되는 관계가 존재한다. 그러므로 식(4)로부터 식(6)이 얻어질 수 있다.

식(5)에서, 만일 체적이 일정하다면, 물체의 체적변화율을 보여주는 "J"는 "1"이라고 간주할 수 있다. 또한, 식(2)의 변형에너지함수는 단지 좌Cauchy-Green 변형텐서(left Cauchy-Green deformation tensor) A_ij의 변형 1차 불변량(primary invariant quantity of strain)인 I₁ 만의 함수이다. 그러므로, 식(6)으로부터 다시 식(7)이 얻어진다.

또한, 하기의 관계식 (8),(9), 및 (10)을 이용하여, 식(7)의 속도형식표시는 식(11)이 된다.

일정체적 조건하에서, 식(11)에 보여지는 Cauchy 응력의 Jaumann속도는 kirchhoff 응력의 Jaumann 속도로 대체될 수 있다. 또한, 변형속도(deformation velocity)텐서 D를 변형속도(strain velocity)텐서로 치환함으로써, 비압축성 점탄성재료의 속도형식표시의 구성방정식인 식(3)이 얻어진다.

그렇지만, 단지 식(3)만이 사용된다면, Aruuda 등의 문헌에서와 유사하게, 점탄성재료의 특징중의 하나인 에너지 손실이 시뮬레이션에 고려될 수 없게 된다. 즉, 도 36의 위치 Q로부터 하중을 제거하는 시뮬레이션이 수행되었을 때, 하중이 가해졌을 때의 곡선과 실질적으로 같은 경로를 통해 변형이 복원된다. 따라서, 히스테리시스 루프가 나타나지 않는 단점이 있다.

발명자 등은, Aruuda등의 모델을 전제로 여러가지 개선을 시도하였다. 상기에 언급한 바와 같이, 점탄성재료는 서로 복잡하게 얽혀있는 분자 사슬 c가 늘어남으로써, 수백%에 해당하는 커다란 변형을 견딜 수 있다. 발명자 등은, 부하변형(loaded deformation process)동안 점탄성재료의 분자사슬 c의 서로 얽혀 있는 부분이 풀어져서 사라지거나 (접합점 b의 수가 감소) 또는 하중을 제거함으로써 얽힘이 다시 생성(접합점 b의 수가 증가)되는 것으로 가정하였다.

도 5에 보여지듯이, 하나의 접합점 b에서 연결된 분자 사슬 c1, c2, c3 및 c4에 인장응력 Y가 가해졌을 때, 각각의 분자사슬 c1 내지 c4는 늘어나고 접합점 b는 커다란 변형을 받아 파손되는(소멸되는) 경향이 있다. 도 5의 오른쪽에서 보여지듯이 두개의 분자 사슬 c1과 c2는 하나의 긴 분자사슬 c5로 작용한다. 분자 사슬 c3와 c4도 같은 방식으로 작용한다. 이러한 현상은 고무 재료의 부하변형이 진행됨에 따라 순차적으로 일어난다. 그리고, 큰 양의 에너지 손실이 발생하는 경향이 있다.

매트릭스 고무의 에너지 손실을 시뮬레이션하기 위하여, 상기 현상을 식(2)에 적용하는 것이 바람직하다. 이러한 목적을 위하여, 하나의 분자사슬 c당 평균 세그멘트 수 N이 부하변형 동안과 부하제거변형(unloaded deformation) 동안에서 서로 다른 값을 가지는 가변 파라미터(variable parameter)로 정의된다. 여기서, 부하변형은 미소시간동안 매트릭스 모델 3의 변형이 증가하는 것을 말하고, 부하제거변형은 변형이 감소하는 것을 말한다.

상기의 점들과 관련하여 다시 도 6의 거시적인 삼차원 네트웍구조체 h를 참조한다. 네트웍구조체 h는 8사슬 고무탄성모델들이 축 방향, 높이 방향 및 깊이 방향으로 각각 k개씩 결합되어 있다. k는 충분히 큰 수라는 것에 유의하여야 한다. 네트웍구조체 h안에 포함된 접합점 b의 총수는 "결합수(binding number)"로 불려진다. 만일, 결합수가 "m"이고 네트웍구조체 h에 존재하는 분자사슬 c의 수(즉, 매트릭스 모델 3의 단위체적당 분자 사슬의 수)가 "n"이라고 가정하면, m과 n은 각기 다음과 같이 표현된다:

m = (k + 1)³ + k³ ... (12)

n = 8k³ ... (13)

"k"는 충분히 큰 수이기 때문에, k의 세제곱항을 제외한 다른 항들을 제외했을때, 상기의 식들은 각각 다음과 같은 식(14)와 (15)로 각각 표현된다:

m = 2k³ ... (14)

n = 8k³ ... (15)

식(14)와 (15)의 관계로부터, 식(16)에서와 같이 결합수 m은 n으로 표현될 수 있다.

m = n/4 ... (16)

또한, 매트릭스 모델 3에 존재하는 분자사슬의 세그멘트의 총수 N_A는 매트릭스 모델 3이 변형되는 경우에도 변하지 않기 때문에, 식 (17)과 (18)이 성립한다.

N_A = nㆍN ... (17)

N = N_A/n = N_A/4m ... (18)

식(18)에서 명백하듯이, 부하변형과 여기에 이어지는 부하제거변형(변형 복원 과정)에서, 평균세그멘트수 N이 가변파라미터가 되도록 고무 분자사슬의 결합수 m을 변화시킬 필요가 있다. 이러한 방식으로, 평균세그멘트수 N을 부하변형 동안과 부하제거변형 동안에서 각기 다른 값을 갖는 가변파라미터로 함으로써, 매트릭스 모델 3의 에너지 손실이 시뮬레이션될 수 있다.

평균세그멘트수 N은 여러가지 방법으로 결정된다. 예를 들어, 평균세그멘트수 N은 부하변형 동안 변형에 관련된 파라미터에 기초하여 증가될 수 있다. 변형에 관련된 파라미터는 특별히 제한되지 않고 예를 들면, 변형, 변형속도, 혹은 변형 1차 불변량도 될 수 있다. 본 구현 예에서, 평균 세그멘트수 N은 아래의 식(19)로 정의된다. 이식은 평균 세그멘트수 N이, 매트릭스 모델 3의 각 요소에서, 변형 일차불변량 I₁(보다 정확하게는, 그것의 제곱근인 파라미터 λ_c)의 함수임을 보여준다.

식 (19)는 많은 실험에 의하여 확립된 하나의 예이다. 그리고, 상수 A 내지 E의 값은 예를 들면, 점탄성재료의 1축 인장실험결과를 기초로 쉽게 정해질 수 있다. 예를 들어, 먼저 해석대상이 되는 점탄성재료의 응력-변형 곡선을 얻는다. 다음으로, 하중이 제거될 때의 곡선을 따라가도록 n과 N을 정한다. 따라서, 분자사슬세그멘트의 총수 N_A(= n·N)가 얻어진다. 여기서, 분자사슬c의 총 세그멘트수 N_A는 부하변형과 부하제거변형 동안 같기 때문에, 하중이 가해지는 동안의 곡선과 일치하도록 각각의 변형에서 평균세그멘트수 N을 구한다. 식 (19)의 파라미터 A 내지 E는 결정된 부하시의 평균세그멘트수 N과 일치하도록 결정된다. 본 구현 예에서, N = 6.6이 사용되었고, 상기의 상수들은 다음과 같이 정해졌다:

A = +2.9493

B = -5.8029

C = +5.5220

D = -1.3582

E = +0.1325

도 7에는, 매트릭스 모델 3의 각 요소의 부하변형 동안 평균세그멘트수 N과 파라미터 λ_c사이의 관계가 도시되어 있다. 변형에 관한 파라미터 λ_c가 증가할 때 평균세그멘트수 N도 점차 증가한다. 이 예에서, 파라미터 λ_c의 상한치는 2.5 이다. 이하에서 기술되는 점탄성재료모델 2의 변형 시뮬레이션에서, 부하변형 동안 매트릭스 모델 3의 각 요소의 파라미터 λ_c는 상시계산(常時計算)된다. 계산된 λ_c는 식 (19)에 대입되고, 당해 요소의 당해 변형상태동안의 평균세그멘트수 N이 계산된다. 여기서, 매트릭스모델3의 부하제거변형 동안의 평균세그멘트수 N의 값은 일정하다.

본 구현 예에서, 카본블랙이 모델링된 필러모델 4를 보여준다. 필러는 카본블랙에 한하지 않고 예를 들면 실리카 등도 될 수 있음을 유의하여야 한다. 본 예에서 필러모델 4의 물리적 형상은 전자현미경으로 영상화된 실제 고무에 충전된 카본블랙의 형상을 기초로 정해진다. 도 8은 카본블랙(6)의 이차입자를 보여준다. 보다 구체적으로, 이차 입자는 각각이 탄소원자로 이루어지고 약 10nm의 직경을 갖는 복수의 구상 일차입자(7)들이 불규칙하게 삼차원적으로 결합된 구조를 가진다.

카본 블랙(6)은 매트릭스 고무보다 수백배 더 단단한 경도 (종탄성계수(modulus of longitudinal elasticity))를 가진다. 따라서, 필러모델 4는 본 구현 예에서 점탄성체가 아니라 탄성체로 정의된다. 그러므로, 필러모델 4는 재료특성으로 종탄성계수를 가지며, 변형계산에서 응력과 변형이 비례한다. 필러모델 4의 갯수는 해석대상인 점탄성재료의 필러 배합량을 기초로 적절히 정해진다..

계면모델 5는 매트릭스 모델 3과 필러모델 4 사이에 제공된다. 계면모델 5는 반드시 연속하여 필러모델 4를 둘러싸는 형태로 제한되는 것은 아니지만, 전 범위를 통해 필러모델 4를 둘러싼 것이 바람직하다. 이 예에서, 계면모델 5는 두께가 얇다. 계면모델 5의 두께 t는, 예를 들면 1 내지 20nm 이고, 보다 바람직하게는 5 내지 10nm 이다.

필러와 고무매트릭스사이의 계면에서 이와 같은 물리적 두께의 계면층을 가지는 물리적 구조는 실제로 확인되지 않았다. 그렇지만, 필러와 매트릭스 고무사이의 계면에서 미끄러짐이나 마찰 같은 에너지 손실을 일으키는 다양한 현상이 확인되었다. 따라서 그러한 현상을 시뮬레이션에 고려하기 위하여, 계면 모델은 시뮬레이션 계산에서 점탄성재료로 정의된다. 그러므로, 매트릭스 모델 3과 유사하게, 식(3)에 표현된 응력과 변형사이의 관계가 계면모델 5에서 정의된다.

계면모델 5는 매트릭스 모델 3과 다른 점탄성특성을 가짐을 유의해야한다. 본 구현 예의 계면모델 5는 매트릭스모델 3 보다 부드러운 점탄성특성을 가진다. 그러므로, 동일한 응력이 계면모델 5와 매트릭스 모델 3에 작용하는 경우 계면모델 5의 변형이 매트릭스 모델 3의 변형보다 더 크게된다. 또한, 계면모델 5는 히스테리시스 손실(변형 1사이클당 발생하는 에너지 손실)이 매트릭스 모델 3보다 더 큰 점탄성특성을 가진다. 이것은 예를 들면, 식 (3)에 적용되는 평균세그멘트수 N을 계산하는 식 (19)의 파라미터를 조절함으로써 행해진다.

다음으로, 점탄성재료모델 2의 변형조건을 설정한다(단계 S3).

본 구현 예에서 점탄성재료 모델 2는 1축 인장(평면변형상태)조건하에서 변형된다. 그러므로 점탄성재료 모델 2는 도 3의 Z축 방향으로 변형을 가지지 않는다. 변형 조건은 점탄성재료모델 2가 변형될 때의 변형 속도와 최대 변형을 포함한다. 또한, 변형계산은 도 2에 도시된 점탄성재료모델 2의 하나의 미소조각에 대하여 수행될 수도 있으나, 도 9에 도시되어 있는 것과 같이 점탄성재료모델 2의 미시구조(도 3에 도시된 점탄성재료 모델 2)가 수직과 수평방향으로 주기적으로 반복되는 점탄성재료 전체 모델 M을 사용하여 수행하는 것이 바람직하다.

상기의 점탄성재료 전체 모델 M의 변형 계산을 수행할 경우, 균질화법(homogenizing method)을 사용하는 것이 바람직하다. 점탄성재료 전체 모델 M에서, 미시구조의 반복의 정도가 매우 조밀하다. 따라서, 유한요소법(finite element method) 만을 사용하여 전체 모델 M을 직접 분할하는 것은 어렵다. 도 9에 보여지듯이, 균질화법에서는 점탄성재료 전체 모델 M을 표현하는 거시적 스케일의 두개 독립변수 x₁, x₂ 와 상기에 언급된 미시구조를 표현하는 미시적 스케일의 독립변수 y₁, y₂가 사용된다. 균질화법에서는, 서로 다른 스케일의 독립변수인 미시적 스케일의 y₁, y₂와 거시적 스케일의 x₁, x₂가 점근적으로(asymptotically) 전개된다. 따라서, 도 3에 보여지는 미시구조의 모델 구조를 주기적으로 포함하는 특정한 크기의 점탄성재료 전체 모델 M의 평균적 동력학적 응답을 얻을 수 있다.

점근적으로 전개하는 균질화법은 수치계산법에서 이미 정립된 방법이다. 그 방법은 예를 들어 아래의 문헌에 상세히 기술되어 있다.

Higa, Y, and Tomita, Y., Computational Prediction of Mechanical properties of Nickel-based superalloy with gamma Prime Phase Precipitates, Proceedings of ICM8 (Victoria, B.C., Canada), Advance Materials and Modeling of Mechanical Behavior, (Edited by Ellyin, F., and Prove, J.W.), III (1999), 1061-1066, Fleming Printing Ltd..

점탄성재료모델2의 한 변의 길이는 종, 횡 각각 300nm×300nm 이고, 도 9에 보여지는 점탄성재료 전체모델 M은 2mm×2mm의 직사각형 형상를 갖는다. 균일한 1축 인장변형 (uniaxial tensile strain) E₂(그 변형 속도를 1.0×10^-5/s로 한다)를 일으키기 위해 도 3의 미시구조에 일정한 변형 속도가 가해진다. 도 9의 x₂ 방향의 변형 E₂가 0.65에 이르면, 동일한 변형속도에서 변형이 점차 감소하여 0에 이르는 조건이 설정된다.

설정된 모델과 조건을 사용하여 변형계산(시뮬레이션)이 실행된다(단계 S3). 도 10에는 변형계산의 구체적인 절차의 일 예가 도시된다. 변형계산에서 우선 컴퓨터장치에 데이타가 입력된다(단계 S31). 입력 데이타는, 예를 들면 점탄성재료모델 2를 구성하는 수치데이타와 미리 설정된 각종 경계조건(boundary condition)을 포함한다.

다음으로 각 요소의 강성(rigid)매트릭스가 형성되고(단계 S32), 그 이후에, 전체 구조의 강성매트릭스가 조립된다(단계 S33). 전체구조의 강성매트릭스에 이미 알고있는 결절점의 변위(node displacement)와 결절점력(node force)이 도입된다(단계 S34). 그리고 강성방정식의 해석이 실행된다. 알려지지 않은 결절점 변위가 결정되고(단계 S35) 각 요소의 변형, 응력, 주응력과 같은 물리량이 계산되고 출력된다(단계 S36, S37). 단계 S38에서 계산을 마칠 것인지의 여부가 결정되고, 만일 계산이 끝나지 않으면, 단계 S32이후의 단계가 반복된다. 가상일의 원리(principle of virtual work)에 기초한 요소방정식에는 예를 들면 식 (20)이 사용된다.

여기서 는 Kirchhoff 응력속도, σ_mj는 Cauchy 응력, v_i,m은 변위속도기울기,는 표면력속도(velocity of surface force), Φ는 단위표면적당 비가역일이다.

균질화법의 계산에 있어서, 아래의 식 (21)의 거시적 평형방정식과 식(22)의 특성변위함수(Y-periodic)가 사용된다.

변형계산은 예를 들면 유한요소법을 사용하는 엔지니어링 시스템 해석용 응용소프트웨어(예를 들면, 미국의 리버모어 소프트웨어 테크놀로지 코포레이션에서 개발되고 개선된 LS-DYN등)을 이용하여 실행될 수 있다.

본 구현 예에서 식(3)의 상수 등은 아래와 같이 설정된다:

C_R = 0.268

N = 6.6

T = 296

k_B = 1.38066×10^-29

n = 6.558×10²⁵

N_A = 4.328×10²⁶

필러모델의 체적함유율 : 30％

필러모델의 종탄성계수 E : 100MPa

필러모델의 Poisson 비 v : 0.3

변형계산에서, 상기에 언급한 바와 같이, 각 변형상태에 대해 평균세그멘트수 N이 계산되고, 이 값이 식(3)에 대입되어 계산이 순차적으로 실행된다. Aruuda 등의 삼차원 8사슬 고무탄성모델은, 두께방향(도 3에서 Z축 방향)의 변화없이, 점탄성재료모델 2와 점탄성재료전체모델 M에 사용된다. 또한, 매트릭스모델 3과 계면모델 5의 평균세그멘트수 N은 다음과 같이 설정된다.

<매트릭스모델>

부하변형 동안의 평균세그멘트수 N

N = -3.2368+20.6175λ_c-21.8168λ_c ²+10.8227λ_c ³-1.9003λ_c ⁴

부하제거변형 동안의 평균세그멘트수 N(일정)

N = 6.6

분자사슬의 세그멘트의 총수 N_A(일정)

N_A= 4.3281×10²⁶

<계면모델>

부하변형 동안의 평균세그멘트수 N

N = -5.9286+20.6175λ_c-21.8168λ_c ²+10.8227λ_c ³-1.9003λ_c ⁴

부하제거변형 동안의 평균세그멘트수 N(일정)

N = 3.91

분자사슬의 세그멘트의 총수 N_A(일정)

N_A = 3.203×10²⁵

변형계산에서, 일정 시간 증가분마다 요소들의 변형, 응력 등이 계산되고, 이러한 값들은 순차적으로 기록된다(단계 S37). 필요한 물리량은 이 값들로부터 산출되고 해석을 위해 사용된다(도 2의 단계 S4).

도 11에서, 매트릭스모델 3, 필러모델 4 그리고 계면모델 5에 대하여 각각 독립적으로 수행된 변형계산의 결과가 보여진다. 필러모델 4는 가장 높은 탄성을 보여주고 에너지 손실도 발생하지 않는다. 계면모델 5는 매트릭스 모델 3보다 더 부드러운 점탄성특성과 더 큰 에너지 손실(곡선에 의하여 정의된 루프면적)을 나타낸다.

도 12에서, 점탄성재료 전체모델 M의 진 응력과 변형사이의 관계가 보여진다. 곡선 La는 계면모델 5가 매트릭스 모델 3 보다 더 부드러울(연질일) 때의 결과를 보여준다. 곡선 La에서, 부하변형 동안 비선형 제1 곡선 La1이 얻어진다. 부하제거변형 동안 제1 곡선 La1과 다른 제2 곡선 La2가 얻어진다. 제2 곡선 La2는 제1 곡선 La1 보다 부드럽기(더 낮은 탄성) 때문에 히스테리시스 루프가 얻어진다. 이 루프에 포함된 면적을 계산함으로써 인장변형의 1 사이클 동안의 에너지 손실이 얻어진다. 반면에, 하나의 분자 사슬당 평균세그멘트수 N을 일정하게 하여 Aruuda등의 변형계산과 유사한 계산을 수행한 경우에는, 도 36에서와 같이, 응력-변형 곡선이 부하변형과정과 부하제거변형과정에서 모두 동일한 경로를 지나기 때문에 히스테리시스 루프가 얻어지지 않는다.

제1 및 제2 곡선 La1, La2의 형상은 식(19)에서 A 내지 E의 계수를 적절히 변화시킴으로써 다양한 형상으로 설정될 수 있다. 그러므로, 해석될 점탄성재료에 따라 A 내지 E의 계수를 설정함으로써, 각각의 재료마다 예를 들면 에너지 손실 등이 정확하게 검토될 수 있다. 이것은 타이어나 골프공 같이 점탄성재료를 주요부로 사용하는 공업제품의 성능을 향상시키는데 매우 유용하다.

또한, 도 12에서, 계면모델 5에 매트릭스모델 3과 동일한 재료특성이 주어진 모델, 즉 계면을 고려하지 않은 모델의 계산 결과가 일점쇄선 곡선 Lb로 보여진다. 이 모델에서는, 변형이 크게 발생하는 부드러운 계면 영역이 없기 때문에, 응력-변형 곡선의 기울기가 곡선 La에 비해 높아진다. 또한, 계면모델 5에서와 같이 큰 에너지 손실이 발생하지 않을 것이므로, 전체 모델의 에너지 손실은 작다.

또한, 도 12에서, 곡선 La와 반대되는 점탄성 특성을 가진 모델의 계산 결과가 쇄선곡선 Lc로 보여진다. 이 모델에서, 도 13에 나타나듯이 계면모델 5는 매트릭스 모델 3보다 경질의 점탄성 특성을 가진다. 곡선 Lc는 예상대로 높은 탄성을 가지는 것으로 확인되었다. 본 구현 예에서, 각 모델의 평균 세그멘트수 N은 아래와 같이 설정된다:

<매트릭스모델>

부하변형 동안의 평균세그멘트수 N

N = -3.2368+20.6175λ_c-21.8168λ_c ²+10.8227λ_c ³-1.9003λ_c ⁴

부하제거변형 동안의 평균세그멘트수 N(일정)

N = 6.6

분자사슬세그멘트의 총수 NA(일정)

N_A= 4.3281×10²⁶

<계면모델>

부하변형 동안의 평균세그멘트수 N

N = -5.4800+20.6175λ_c-21.8168λ_c ²+10.8227λ_c ³-1.9003λ_c ⁴

부하제거변형 동안의 평균세그멘트수 N(일정)

N = 4.36

분자사슬의 세그멘트의 총수 N_A(일정)

N_A = 8.569×10²⁶

도 14에서는, 점탄성재료모델 2(곡선 La)의 인장변형 시뮬레이션에서 하나의 미시구조(유닛셀)가 변형된 상태로부터 복원된 상태로 진행하는 과정이 시각적으로 보여진다. 각 과정들은 변형계산에서 연속적인 것이 아니며 적절한 시간간격이 주어진 것임을 유의하여야한다. 도 14a~e는 부하변형을, 도 14f~j는 부하제거변형을 보여준다. 도 14에서, 응력의 레벨은 색깔의 변화로 표시된다. 색깔이 흰색으로 변하는 영역은 변형이 큰 영역임을 나타낸다. 이 결과는 커다란 변형이 필러모델 4의 계면들 사이 혹은 필러모델들 4, 4 사이에 집중되어 있음을 정확히 보여준다. 특히, 필러모델들 4, 4 사이의 거리가 좁은 영역에서 커다란 변형이 일어남을 볼 수 있다.

도 15에서는, 최대 변형시 각 요소의 인장방향의 변형분포를 시각적으로 보여준다. 여기서 도 15a는 계면을 고려하지 않은 도 12의 곡선 Lb에 해당하고, 도 15b는 계면을 고려한 곡선 La에 해당한다. 이 도면은 색깔이 엷은 영역에서 더 큰 변형이 발생함을 보여준다. 계면이 고려되지 않은 도 15a에서 변형은 전체적으로 광범위하고 부드럽게 발생하는 반면 계면이 고려된 도 15b에서는 필러모델 4의 주변(혹은 계면 근처)에 커다란 변형이 집중된다.

도 16에서는, 각 요소의 변형 1 사이클당 에너지 손실과 그것의 크기를 색깔로 보여준다. 이 도는 색깔이 엷은 영역에서 1 사이클당 커다란 에너지 손실이 더 많이 발생함을 보여준다. 모델의 형상은 도 15의 최대 변형형상으로 표시된다. 도 16a는 도 12의 곡선 Lb에 해당하고, 도 16b는 도 12의 곡선 La에 해당한다. 계면이 고려된 도 16b에서, 필러모델 4의 계면에 커다란 에너지 손실이 집중됨을 볼 수 있다.

지금부터는, 본 발명의 다른 구현 예가 설명될 것이다. 이 구현 예에서도, 카본블랙이 배합된 고무가 해석 대상인 점탄성재료로서의 역할을 한다. 도 17에서는, 카본블랙 배합량(CB)이 각기 다른 고무재료의 응력-변형 곡선을 보여준다. 카본블랙 배합량(CB)이 큰 고무재료는 히스테리시스 루프의 면적이 커지게 된다. 따라서, 필러의 배합량이 큰 고무재료는 에너지 손실이 커지는 경향을 가진다. 이러한 현상의 한 원인은, 필러 입자를 사이에 작용하는 상호작용 때문으로 생각된다. 즉, 고무 매트릭스에서 수 나노미터 수준으로 접근하는 두개의 필러입자 사이에 반데르발스힘과 유사한 필러간 인력이 작용하는 것으로 생각된다. 현재 이러한 이론은 유력하다. 본 구현 예에서는, 상기에 언급된 구현 예를 전제로, 변형계산에서 필러간 인력을 고려하기 위한 시도를 하였다.

도 18에서는, 미시구조로서의 점탄성재료모델 2의 일 예를 시각적으로 보여준다. 이 예에서 점탄성재료모델 2는, 매트릭스고무가 분할된 매트릭스 모델 3 사이에 거리를 두고 배치된, 적어도 두개의 필러 입자가 분할된 필러모델 4A, 4B(총칭하여, 간단히 "필러모델 4"로 부른다), 그리고 두 필러모델 4A, 4B 사이에 배치되어 있으며 필러모델 4A, 4B사이의 거리에 따라 변하는 필러간 인력을 가지는 필러간 모델 10을 포함한다. 이 점탄성재료 모델은 계면모델을 포함하지 않는다. 계산효율을 높이기 위해, 점탄성재료모델 2의 미시구조(유닛셀)는 x축, y축의 각 중심선에 대해 대칭이 되도록 형성되어 있다.

변형계산에서, 매트릭스모델 3과 필러모델 4는 상기에 언급된 구현 예에서와 동일한 방식으로 정의된다. 본 예에서, 두 개의 필러모델 4는 각각 타원형상이고 크기도 같다. 필러모델 4A, 4B는 최소거리 d(d≠0)만큼 떨어져있고, 서로 접촉하지 않는다. 필러모델 4A와 필러모델 4B 사이의 초기 최소거리 d는 예를 들면 약 1내지 3나노미터이내의 범위에서 선택하는 것이 바람직하다. 이 값은 필러모델 4의 위치, 시뮬레이션조건 등에 따라 변화될 수 있음을 유의하여야 한다.

도 18과 확대된 도 19에 보여지듯이, 필러간 모델 10은 필러모델 4A와 필러모델 4B 사이에 배치된다. 따라서, 필러모델 10은 z축 방향으로 필러모델 3과 겹쳐진다. 이 예에서, 각각의 필러간 모델 10은 사각형 요소다. 하나의 필러간 모델 10에서, 두개의 결절점은 한쪽 필러모델 4A의 외부표면에 있는 결절점들과 공유되며, 다른 두개의 결절점은 다른쪽 필러모델 4B의 외부표면에 있는 결절점들과 공유된다. 그러므로, 변형계산에서, 두 필러모델 4A, 4B 사이의 거리 d가 변함에 따라, 필러간 모델 10의 각 결절점의 좌표가 변하고, 따라서 그것의 형상(표면적)이 변한다.

필러간 인력은 필러간 모델 5에 의하여 정의된다. 예를 들어, 필러간 인력은 금속매트릭스층으로부터 제 2상(second phase)에 존재하는 입자가 박리될 때 계면에 작용하는 점착력(adhesive force)이 수식화 되어 있는 아래의 문헌을 참고하여 정의할 수 있다.

A Continuum Model for Void Nucleation by Inclusion Debonding / A. Needleman (Journal of Applied Mechanics SEP. 1987 Vol. 54 P.525-531)

도 20a는 Needleman 등에 의해 제시된 박리가 시작되는 계면 A, B의 모식도를 보여준다. 본 구현 예에서, 계면 A, B는 각각 필러모델 4A, 4B의 외부표면에 해당한다. 도 20b에는, 계면 A, B 사이에서 발생한 인력 Tn과 거리 d 사이의 관계가 나타나 있다. 도 20b의 수평축에 있는 δ는 계면 A, B 사이의 거리가 증가하여 인력 Tn이 0이 될 때의 한계길이이다. 이 길이는 이하에서 특징길이(characteristic length)로 불려진다. 계면 A, B 사이의 인력 Tn은, 거리 d가 증가함에 따라 인력이 완만하게 증가하여 최고점(σ_max)에 도달하는 점증영역과 거리 d가 더욱 증가함에 따라 인력이 완만하게 감소하여 미리 설정된 특징길이에서 0에 도달하는 점감영역을 포함하는 포물선곡선을 표현하는 함수에 의해 결정된다. 이 함수는 이차원적으로 식(23)과 같이 정의된다.

여기에서, u_n, u_s는 각각 계면 A, B에서 법선방향(normal line)과 접선방향 (tangent line)의 상대변위이고, δ_n, δ_s는 법선방향과 접선방향의 특징길이이다. 법선 n과 접선 s는 도 21에 보여진다.

본 구현 예에서, 필러간 인력은 상기 식(23)에 의해 결정된다. 점탄성재료 모델 2의 경우에, 필러모델 4A, 4B 사이에는, 초기상태 거리 d는 0이 아닌 것으로 가정하였으나 초기상태 필러간 인력은 0인 것으로 가정하였다. 따라서, 식(23)에 다음과 같은 수정이 가해졌다.

우선, 필러모델 4A, 4B 사이의 초기거리 d를 도입하기 위해 도 20b의 그래프를 수평축을 따라 -d(필러모델들 사이의 초기거리)만큼, 수직축을 따라 -Td(인력)만큼 이동시켰다. 이 그래프는 식(24)로 표현된다. 그러므로 본 구현 예의 시뮬레이션에서, 필러모델 4A, 4B사이의 거리 d에 해당하는 필러간 인력은 식(24)로부터 유도된다.

도 22에는, 필러모델 4A, 4B 사이의 초기거리 d₀가 다양한 값으로 변화될 때 인력 Tn을 결정하기 위한 함수의 일 예가 도시된다. 특징길이δ는 예를 들면 초기거리 d₀= 0일때 약 11nm이고, 초기거리 d₀= 2.0nm일때 약 4.8nm이다. 따라서, 초기거리 d₀와 특징길이 δ는 조건에 따라 적절히 설정된다.

도 23에서, 초기거리 d₀= 1.0nm인 경우가 필러간 인력Tn의 예로서 주어진다. 필러모델 4A, 4B의 부하변형에서, 필러간 인력 Tn을 나타내는 식(24)는, 거리 d가 증가함에 따라 인력이 d₀= 1.0nm인 점 P1으로부터 점차 증가하여 최고점σ_max에 도달하는 점증영역 YLa와 거리 d가 더욱 증가함에 따라 인력이 점차 감소하여 미리 설정된 특징길이 δ에 해당하는 점 P2에서 0에 도달하는 점감영역 YLb를 포함하는 포물선 곡선을 표현하는 함수이다. 거리 d가 특징길이 δ보다 더 커지면, 필러모델 4A, 4B사이의 필러간 인력은 작용하지 않는다.

점감영역 YLb로부터의 부하제거변형에 있어서, 필러간 인력 Tn은 부하제거의 개시시점의 값으로부터 0으로 선형적으로 감소하도록 설정된다. 예를 들어, 만일 부하의 제거가 쇄선 화살표로 보여주듯이 점감영역 YLb 상의 임의의 점 P3로부터 시작되었다면, 필러간 인력 Tn는 거리 d에 따라 점 P3와 점 P1을 연결하는 직선상의 값을 따라 선형적으로 감소한다. 이러한 부하제거 동안의 인력 Tn는 아래의 식 (25)로부터 유도된다.

그러므로, 필러간 인력 Tn이 최고점σ_max를 초과할 때, 부하와 부하제거의 1 사이클에서 폐루프가 형성된다. 이러한 폐루프를 표현하는 함수에 의하여 정해지는 필러간 인력은 상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이에 발생한 히스테리시스 손실을 나타낸다. 만일 인력 Tn이 최고점 σ_max를 초과하지 않거나 점증영역으로부터의 부하제거변형인 경우에는, 인력은 부하변형과 동일한 경로를 통해서 결정된다.

필러간 모델 10은 매트릭스 모델 3과 같이 자체적인 강성을 가지지 않는다. 달리 말하면, 필러간 모델 10은 식 (24)와 (25)를 이용하여 필러간 인력을 계산하기 위하여 제시된 것이다. 각각의 필러간 모델 10은 필러모델 4A와 필러모델 4B 사이를 가로지르는 방향으로 분할되어있지 않다. 그러므로, 필러필러간 모델의 형상은 상기에 언급하였듯이 각각의 변형에서 단순히 필러모델 4A, 4B의 상대위치에 의해 결정된다.

식 (24)와 식 (25)로부터, 필러모델 4A, 4B 사이의 단위표면적당 필러간 인력(상호작용력)이 계산된다. 도 21에 보여지듯이, 이러한 필필러간 인력은1 내지 4의 네개의 결절점에 작용하는 힘으로 대체된다. 따라서, 필러간 인력은 필러모델 4A, 4B 사이에 끼인 매트릭스 모델 3에 작용하여 매트릭스 모델 3을 압축한다.

상기의 점탄성재료모델 2를 사용하여 상기에 언급된 조건과 동일한 조건에서 변형계산을 실행한다. 도 24에는, 도 18의 미시구조를 주기적으로 포함하는 전체 점탄성모델에서 진응력과 변형사이의 관계가 나타나있다. 도 24에서, 실선은 필러간 인력이 필러모델 4A, 4B 사이에서 정의된 경우의 점탄성재료 모델 2에 대한 결과이고, 점선은 이러한 인력이 정의되지 않은 경우의 점탄성재료 모델 2에 대한 결과이다. 필러간 인력이 고려된 본 구현 예의 시뮬레이션은, 필러간 인력이 무시된 경우에 비하여, 다소 단단하게 나타난다. 필러간 인력이 고려되었을 경우에는 에너지 손실을 보여주는 폐루프의 표면적이 필러간 인력이 무시되었을 경우에 비하여 0.292% 증가하였다. 이것은 필러간 인력에 수반되는 에너지 손실량에 해당한다. 이 값은 파라미터를 설정함으로써 바꿀 수 있다. 또한 본 구현 예에서 미시구조(유닛셀)안에 두 필러 모델 4A, 4B가 배열되나, 예를 들면 해석될 고무재료에서 필러의 배합비에 따라 필러모델 4의 밀도를 변화시킴으로써, 더욱 정확한 에너지 손실의 평가나 비교가 가능해진다.

도 25에서, 각 필러간 모델에서 발생한 인력과 거리 d 사이의 관계가 보여진다. 도에서 부호 r1, r2, r3, r4 및 r5는 도 19의 부호 r1, r2, r3, r4 및 r5에 의하여 표시되는 필러간 모델의 각각의 요소에 해당한다. 거리 d의 변화가 작기 때문에 요소 r1, r2 및 r3 는 최고점 σ_max를 초과하지 않는다. 따라서, 인력 Tn은 부하변형 그리고 부하제거변형에서 동일하다고 생각된다. 요소 r5의 경우에는, 초기거리 d가 처음부터 크기 때문에 필러간 인력이 발생하지 않았다. 그러나, 요소 r4의 경우에는 인력 Tn이 최고점을 초과한 뒤에 부하가 제거되므로, 부하변형과 부하제거변형이 서로 다른 경로를 지나는 것으로 생각되고 따라서 히스테리시스 루프가 형성된다.

지금부터는, 필러간의 상호작용을 정량적으로 파악하기 위한 시뮬레이션방법이 설명될 것이다. 이 구현 예에서도, 점탄성재료로서 예를 들면 카본 블랙과 배합된 고무가 해석의 대상이기도하다. 본 구현 예에서, 필러들 사이의 상호작용을 나타내는 변수로서 포텐셜 에너지가 계산된다. 본 시뮬레이션에서, 도 1에 도시된 컴퓨터장치(1)가 사용되는 것이 바람직하다.

도 26에는, 본 구현 예의 시뮬레이션방법의 절차의 일 예가 보여진다. 본 구현 예에서 제1 필러모델과 제2 필러모델을 설정하기 위한 모델설정단계가 먼저 수행된다(단계 S100).

도 27에는, 전자 현미경으로 이미지화된 고무 고분자에 존재하는 복수개의 카본블랙(6) 이차 입자가 도시되어 있다. 상기에 언급한 바와 같이, 카본블랙(6) 이차 입자는 여러개의 구형 일차 입자(7)이 삼차원적으로 불규칙하게 결합됨으로써 이루어진다. 본 구현 예의 시뮬레이션은 서로 떨어져 위치해 있는 2 개의 이차입자 6A, 6B에 초점이 맞추어져 있다. 도 27의 예에서 이차입자 6A, 6B의 가장 근접한 부분, 즉 이차입자 6A의 일차입자 7a 하나와 이차입자 6B의 일차입자 7b 하나가 그러한 근접한 부분 사이의 상호작용을 해석하기 위하여 모델화된다. 보다 구체적으로 도 28에서 시각적으로 보여지듯이 일차입자 7a는 제1 필러모델 Fm1으로, 일차입자 7b는 제2 필러모델 Fm2로 각각 모델화된다.

카본 블랙의 일차입자(7)는 탄소원자의 집합체이다. 그러므로, 일차입자(7)가 모델화된 필러모델 Fm(제1 필러모델과 제2 필러모델을 총칭하여 부를 때에는 단순히 필러모델 Fm이라고 한다)은 복수개의 탄소원자를 계산상 표현살 수 있는 것이 바람직하다. 본 구현 예의 필러모델 Fm은 도 29에서 시각적으로 보여주듯이 실질적으로 육각형의 기본구조체(11)의 조합으로 표현된다.

도 30a는 시각화된 기본구조체(11)의 사시도를 보여준다. 기본구조체(11)는 복수층의 네트웍배열(13)이 중첩하여 이루어진다. 이 예에서, 예를 들면 3 내지 5 층의 네트웍배열(13)이 쌓여있다. 네트웍배열(13)은 복수개의 탄소원자모델(필러-원자 모델)(12)과 탄소원자모델(12)을 동일 평면내에서 육각형으로 결합시키는 다수의 팔(arm)모델(14)을 포함한다. 네트웍배열(13)은 도 30b에 보여지는 바와 같이 약 90개의 탄소원자모델(12)을 팔모델(14)을 매개로 정육각형의 각 꼭지점에 배열하고 결합시킴으로써 이루어진다. 팔모델(14) 때문에, 탄소원자모델(12) 각각의 상대위치는 변하지 않는다.

필러모델 12는 중공(中空)일 수도 있으나, 탄소원자모델(12)이 내부에 배열되어 있는 것이 바람직하다. 이것은 현재 탄소입자에 대한 일반적인 지식에 기초한 것이다. 도 31은, 필러모델 Fm을 설정하는 방법에 대한 일 예를 보여준다. 먼저, 도 31a에 보여지는 바와 같이, 삼차원좌표상에 필러모델 Fm의 중심을 구성하는 하나의 탄소원자모델(12)이 제공된다. 다음으로, 기본구조체(11)가 상기 탄소원자모델(12)을 둘러싸도록 그 탄소원자모델(12) 주위에 배열된다. 여기서, 기본구조체(11)는 완전한 정다면체의 표면을 구성할 필요는 없으며, 빈자리(open location 15)가 적절히 제공될 수 있다. 이러한 작업을 순차적으로 반복함으로써, 도 31c의 단면도에서 보여지듯이, 다수의 탄소원자 모델(12)을 내부에 가지는 필러모델 Fm이 얻어진다. 필러모델 Fm의 최대 지름은 실제형상을 참고하여 예를 들어, 10 내지 200nm가 바람직하며, 하나의 필러 모델은 약 1만개에서 10억개 정도의 탄소원자모델(12)을 포함하는 것이 바람직하다.

설정된 필러모델 Fm을 임의의 XYZ좌표계에 고정시킴으로써, 그 필러모델 Fm에 포함된 모든 탄소원자 모델(12)의 무게중심좌표(center of gravity coordinate)가 결정된다. 각각의 필러모델 Fm1, Fm2에서, 1부터 시작하는 고유번호가 개개의 탄소원자모델(12)에 순서대로 할당된다. 이 번호는 당해 탄소원자모델(12)의 좌표 등과 관련되어 컴퓨터장치(1)에 저장된다.

도 28에 보여지듯이, 제1 필러모델 Fm1과 제2 필러모델 Fm2는 거리 r만큼 떨어져 있다. 거리 r은 예를 들면 약 0.1 내지 0.5nm의 범위에서 결정되는 것이 바람직하다. 그리고, 본 구현 예에서는, 초기값으로 0.3nm가 설정되었다.

본 구현 예에서, 제1 필러모델 Fm1과 제2 필러모델 Fm2 사이에 작용하는 필러 입자들간의 상호작용을 계산하는 계산단계가 상기 컴퓨터 장치를 이용하여 수행된다(단계 S200). 도 32에서, 이 계산단계의 구체적인 절차의 일 예가 보여진다.

본 예에서, 제1 필러모델 Fm1과 제2 필러모델 Fm2 사이의 거리 r은 먼저, 미리 정해둔 초기값(본 구현 예에서는 0.3nm)으로 설정되고(단계 S201), 다음에 변수 i, j가 1로 초기화된다(단계 S202, S203). 변수 i, j는 모두 탄소원자모델(12)에 할당된 고유번호에 해당한다. 이 변수들은 각 탄소원자모델(12)의 상기번호의 최대값에 해당하는 i_max, j_max를 포함한다.

i번째 탄소원자모델은 제1 필러모델 Fm1에서 선택되고, j번째 탄소원자모델은 제2 필러모델 Fm2에서 선택된다(단계 S204, S205) 그리고 두 모델들 사이의 포텐셜 에너지가 계산된다(단계 S206). 서로 공간적으로 떨어져 위치하는 원자들 사이에 작용하는 포텐셜 에너지는 다양한 이론식으로부터 얻어질 수 있다. 이 예에서는, 식 (26)에 나타난 Leonard-Jones 포텐셜 에너지 계산공식이 사용되었다.

Leonard-Jones 포텐셜 에너지 계산공식은, 반데르발스힘에 의한 인력에 근접반발력을 더한 포텐셜 에너지를 표현한 식으로서, 비교적 정확하며 일반적으로 널리 사용된다. 그렇지만, 다른 계산공식도 사용될 수 있다. 식 (26)에서, 포텐셜 에너지 φ는 탄소 원자 모델들(12, 12) 사이의 떨어진 거리 R의 함수로서 구해진다. 그러므로, 포텐셜 에너지를 계산하기 전에, 제1 필러모델 Fm1의 i번째 탄소원자모델(12)과 제2 필러모델 Fm2의 j번째 탄소원자모델(12) 사이의 거리가 계산된다.

거리 R은 i번째 탄소원자모델(12)의 좌표와 j번째 탄소원자모델(12)의 좌표를 사용하여 쉽게 계산할 수 있다. 탄소 원자 모델들 사이의 거리를 계산한 뒤, 식 (26)으로부터 제1 필러모델 Fm1의 i번째 탄소원자모델과 제2 필러모델 Fm2의 j번째 탄소원자모델 사이에서 발생한 포텐셜 에너지를 계산할 수 있다.

다음으로, 계산된 포텐셜 에너지 값을 포텐셜 에너지 합산메모리에 가산하는 과정이 실행된다(단계 S207). 포텐셜 에너지 합산 메모리는 예를 들면, 작업 메모리의 한 부분에 할당되며, 계산된 포텐셜 에너지 값이 순차적으로 거기에 가산된다. 이 값을 참조함으로써, 그때까지 개별적으로 계산된 포텐셜 에너지의 누적치가 얻어진다.

컴퓨터 장치(1)는 현재 변수 j가 최대값 j_max인지를 판단하고(단계 S208), 만일 결과가 거짓(false)이면, 변수 j에 1이 더해지고(단계 S209) 단계 S204 내지 S207 가 다시 반복된다. 보다 구체적으로, 제1 필러모델 Fm1의 i번째 탄소원자모델과 제2 필러 모델 Fm2의 두번째 이후의 탄소원자모델들 사이의 포텐셜 에너지가 순차적으로 계산되고, 이 값이 포텐셜 에너지 합산 메모리에 순차적으로 더해진다.

만일 단계 S208의 판단 결과가 참(true)이라면, 제1 필러모델 Fm1의 제1 탄수원자모델과 제2 필러모델 Fm2의 모든 탄소원자모델들의 조합에서 포텐셜에너지가 계산된다. 이 경우에, 변수 i가 최대치 i_max 인지를 판단하고(단계 S210), 만일 결과가 거짓(false)이면, 변수 i에 1이 더해진다(단계 S211). 그리고 나서, 변수 j가 1로 초기화되고(단계 S203) 단계 S204 내지 S209가 다시 반복된다.

만일, 단계 S210의 판단결과가 참이라면, 제1 필러모델 Fm1의 모든 탄소원자모델들과 제2 필러모델 Fm2의 모든 탄소원자모델들의 조합에서 포텐셜 에너지가 계산되고, 그것의 합이 얻어진다.

제1 필러모델 Fm1과 제2 필러모델 Fm2 사이의 거리 r을 서로 다른 값으로 변화시키면서, 각 상태에서의 상호작용을 수집하고 비교하는 것은, 상호작용의 평가에 매우 효과적이다. 따라서, 본 구현 예에서, 거리 r의 초기값을 0.3nm로 설정하고, 0.001nm 씩의 증가분α로, 1.2nm의 최대값 r_max까지 변화시킨다. 보다 구체적으로, 제1 및 제2 필러모델 Fm1, Fm2 사이의 거리가 최대치 r_max인지를 판단하고(단계 S212), 만일 결과가 거짓이면, 거리 r에 거리의 증가분α(본 구현 예에서는 0.001nm)가 더해진다(단계 S213).

현재거리 r에서의 포텐셜 에너지를 합산한 값인, 상기 포텐셜에너지 합산메모리의 값을 자기디스크 등에 쓰고 저장한 다음에, 상기 포텐셜에너지의 합산메모리의 값들은 지워진다(단계 S214, S215). 그 이후에, 증가분α가 더해진 거리 r에서 포텐셜 에너지의 합산이 다시 계산된다. 반면에, 만일 단계 S212에서 현재거리 r이 최대거리 r_max로 판단되면, 그 절차는 끝난다. 절차는 그리고 나서 도 26의 단계 S300으로 되돌아간다.

상기 절차로부터, 제1 필러 모델 Fm1의 탄소원자모델(12)과 제2 필러 모델 Fm2의 탄소원자모델(12)의 모든 조합으로부터 얻어진 개별적인 포텐셜에너지의 합산이 각각 다른 거리에 대해 얻어진다. 따라서, 최소 포텐셜 에너지를 가지는 필러 모델들 사이의 안정한 거리를 조사할 수 있다.

도 33에서, 제1 및 제2 필러모델 Fm1, Fm2 사이의 거리 r이 수평축에 표시되고 포텐셜 에너지의 합산이 수직축에 표시되는 그래프가 계산 단계의 결과로서 보여진다. 도 34에서, 제1 및 제2 필러모델 Fm1, Fm2 사이의 거리 r이 수평축에 표시되고 필러모델들 사이에 작용하는 힘이 수직축에 표시되는 그래프가 보여진다. 도 34의 그래프는 도 33의 곡선을 미분함으로써 구할 수 있다. 도에서 명백하게 보여지듯이, 제1 및 제2 필러모델 Fm1, Fm2 사이에서 작용하는 힘은, 제1 및 제2 필러모델 Fm1, Fm2 사이의 거리 r이 대략 0.39nm 일때, 실질적으로 0이 된다.

본 구현 예는 예를 들면 필러가 충전된 고무 조성물의 당해 필러들의 상호작용을 명확히 이해하는데 유용하다. 필러와 고무사이의 결합을 제어함으로써, 필러들 사이의 거리(분산성)를 조절할 수 있다. 그러므로, 필러들 사이의 상호작용의 계산결과에 기초하여, 필러와 고무의 분산성을 조절할 수 있고, 에너지적으로 안정적인 필러충전고무를 제공하는데 유용하다. 또한, 필러 입자가 필러 원자를 고려하기 때문에, 보다 적절한 계산결과를 얻을 수 있다.

본 발명이, 그 발명의 사상이나 범위를 벗어남이 없이, 다른 많은 특정 형태로 구체화될 수 있음은 본 발명이 속하는 기술분야의 당업자들에게는 자명할 것이다. 그러므로, 본 발명은 여기에 제시된 상세한 설명에 의해 제한되지 않으며, 첨부된 청구범위의 범위와 그 동등범위 내에서 변형될 수 있다.

상기한 바와 같이, 본 발명은 예를 들면 필러로 채워진 고무 조성물의 당해 필러들의 상호작용을 명확히 이해하는데 유용하다. 필러와 고무사이의 결합을 제어함으로써, 필러들 사이의 거리(분산성)를 조절할 수 있다. 그러므로, 필러들 사이의 상호작용의 계산결과를 기초로, 필러와 고무의 분산성을 조절할 수 있고, 에너지적으로 안정적인 필러충전고무를 제공하는데 유용하다. 또한, 필러 입자가 필러 원자를 고려하기 때문에, 보다 적절한 계산결과를 얻을 수 있다.

도 1은 본 발명에 사용되는 컴퓨터장치의 일 예를 보여주는 사시도이다.

도 2는 본 발명의 하나의 바람직한 구현 예에 따른 절차를 보여주는 플로우차트이다.

도 3은 점탄성재료모델(미시구조)의 하나의 바람직한 구현 예를 보여주는 다이아그램이다.

도 4는 점탄성재료모델(미시구조)을 만들기 위한 단계들을 보여주는 플로우차트이다.

도 5는 분자사슬의 접합점의 파단을 설명하는 다이아그램이다.

도 6은 점탄성재료의 네트웍구조체 및 그것의 8사슬 고무탄성모델의 일 예를 보여주는 사시도이다.

도 7은 파라미터 λ_c와 한분자사슬당 평균세그멘트수 N의 관계를 보여주는 그래프이다.

도 8은 카본블랙의 형상을 보여주는 다이아그램이다.

도 9는 균질화법을 설명하는, 미시구조와 전체구조의 관계를 보여주는 도면이다.

도 10은 변형 시뮬레이션의 절차를 보여주는 플로우차트이다.

도 11은 매트릭스 모델, 필러모델, 계면모델 각각의 응력-변형 곡선을 보여주는 도면이다.

도 12는 점탄성재료모델(전체구조)의 시뮬레이션 결과로서 진응력-변형사이의 관계를 보여주는 그래프다.

도 13은 매트릭스 모델과 계면 모델의 다른 예의 응력-변형 곡선을 보여주는 도면이다.

도 14a 내지 도 14j는 점탄성재료모델의 변형과정을 시각적으로 보여주는 다이아그램이다.

도 15a는 계면층을 고려하지 않은 모델의 인장변형분포 다이아그램이다.

도 15b는 계면층을 고려한 모델의 인장변형분포 다이아그램이다.

도 16a는 계면층을 고려하지 않은 모델의 에너지손실 분포 다이아그램이다.

도 16b는 계면층을 고려한 모델의 에너지 손실 분포다이아그램이다.

도 17은 각기 다른 카본블랙배합량을 가진 고무재료의 인장시험결과를 보여주는 그래프다.

도 18은 점탄성재료모델(미시구조)의 다른 구현 예를 보여주는 다이아그램이다.

도 19는 도18의 요부확대도이다.

도 20a는 계면의 단면도이다.

도 20b는 인력 Tn과 계면간 거리 d 사이의 관계를 보여주는 그래프다.

도 21은 계면사이의 확대된 모습을 보여주는 다이아그램이다.

도 22는 인력 Tn과 필러모델간 거리 d 사이의 관계를 보여주는 그래프다.

도 23은 필러모델사이의 부하변형과 부하제거변형을 설명하는 그래프이다.

도 24는 전체 점탄성재료모델의 시뮬레이션 결과로서 진응력과 변형사이의 관계를 보여주는 그래프이다.

도 25는 각 필러간 모델에 생성된 인력과 거리 d 사이의 관계를 보여주는 그래프이다.

도 26은 시뮬레이션의 다른 구현 예를 보여주는 플로우차트이다.

도 27은 카본블랙 이차입자의 복수개의 확대된 모습을 보여주는 개략도이다.

도 28은 카본블랙 일차입자의 모델링을 설명하는 개략도이다.

도 29는 필러모델의 확대된 개략도이다.

도 30a는 필러모델의 기본구조체의 사시도이다.

도 30b는 기본구조를 구성하는 네트웍 배열체의 평면도이다.

도 31a 및 31b는 필러모델의 설정 예를 설명하는 다이아그램이다.

도 31c는 필러모델의 개략적인 단면도이다.

도 32는 계산단계의 처리의 일 예를 보여주는 플로우 차트이다.

도 33은 필러모델사이의 거리와 포텐셜 에너지의 합산 사이의 관계를 보여주는 그래프다.

도 34는 필러모델들간의 거리와 필러모델들에 작용하는 힘 사이의 관계를 보여주는 그래프이다.

도 35는 점탄성재료, 그 분자사슬의 한가지 구조, 확대된 분자 사슬 및 확대된 세그멘트의 확대도이다.

도 36은 종래의 시뮬레이션 결과로서 응력-변형 곡선을 보여주는 도면이다.

Claims

수지 또는 고무로 이루어진 매트릭스에 필러가 배합된 점탄성재료의 변형시뮬레이션 방법으로서,

점탄성재료모델을 만들기 위해 상기 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계;

미리 설정된 조건에 기초하여 상기 점탄성재료모델의 변형계산을 수행하는 단계; 및

상기 변형 계산으로부터 필요한 물리량을 얻는 단계를 포함하며,

상기 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는,

매트릭스모델을 만들기 위하여 상기 매트릭스를 유한개의 요소로 분할하는 단계; 및 필러모델을 만들기 위하여 적어도 하나의 상기 필러를 유한개의 요소로 분할하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 시뮬레이션 방법.
제 1항에 있어서, 상기 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는,

상기 매트릭스 모델과 상기 필러모델 사이에 상기 매트릭스 모델과 다른 점탄성 특성을 가지는 계면모델을 배열하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 2항에 있어서, 상기 계면모델이 상기 매트릭스 모델 보다 부드러운 점탄성 특성을 가지는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 2항에 있어서, 상기 계면모델이 상기 매트릭스 모델 보다 단단한 점탄성 특성을 가지는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 2항에 있어서, 상기 계면모델이 상기 매트릭스 모델 보다 히스테리시스 손실이 큰 점탄성 특성을 가지는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 1항에 있어서, 상기 매트릭스 모델이 하기 식으로 표현되는 응력-변형 관계로 정의되는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.

(n : 단위체적당 분자사슬수; k_B : 볼쯔만 상수; T : 절대온도)

N : 한 분자사슬당 평균 세그멘트 수

I₁ = λ₁ ²+λ₂ ²+λ₃ ² , I ₁ : 변형 일차불변량

B_ij : 좌 Cauchy-Green 변형 텐서
제 6항에 있어서, 하나의 분자사슬당 평균세그멘트수 N이 상기 매트릭스 고무의 에너지 손실을 시뮬레이션하기 위하여 상기 점탄성재료모델의 부하변형 동안과 부하제거변형 동안에 다른 값을 가지는 파라미터로서 정의되는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 7항에 있어서, 상기 평균세그멘트수 N이 상기 부하변형 동안에는 변형과 관련된 파라미터에 따라 증가하고, 또한 상기 부하제거변형 동안에는 일정한 값을 가지는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 8항에 있어서, 변형에 관련된 상기 파라미터가 변형 일차불변량 I₁, 변형 혹은 변형속도 중에서 어느 하나인 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 1항에 있어서, 상기 필러모델은 거리를 두고 배치된 제1 필러 모델과 제2 필러 모델의 적어도 두개의 필러모델을 포함하며,

상기 점탄성재료를 유한개의 요소로 분할하는 단계는, 상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이에, 상기 거리에 따라 변하는 필러간 인력을 가지는 필러간 모델을 배열하는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 10항에 있어서, 상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이의 상기 거리가 증가함에 따라 완만하게 증가하여 최고점에 도달하는 점증영역과 거리가 더욱 증가함에 따라 완만하게 감소하여 미리 설정된 특정 거리에서 0에 도달하는 점감영역을 포함하는 포물선곡선을 표현하는 함수에 기초를 하여 필러간 인력을 결정하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션방법.
제 11항에 있어서, 상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이의 상기 히스테리시스 손실을 표현하기 위하여, 상기 점감영역에서의 상기 부하제거변형에서 상기 필러간 인력을 부하제거 개시시점의 값으로부터 0까지 선형적으로 감소시키는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션 방법.
수지 또는 고무로 이루어진 매트릭스에 필러가 배합된 점탄성재료의 필러들 사이에 작용하는 상호작용을 시뮬레이션하기 위한 점탄성재료의 시뮬레이션방법으로서:

거리를 두고 배치된 제1 필러 모델과 제2 필러 모델을 설정하는 모델설정단계; 및,

상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이에서 작용하는 상호작용을 계산하는 계산단계를 포함하며,

상기 모델설정 단계에서, 상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델이 각각 복수개의 필러원자모델의 집합체로 설정되고,

상기 계산단계는 상기 제1 필러모델의 필러원자모델과 상기 제2 필러모델의 필러원자모델의 모든 조합에 대해서 상기 필러원자모델들 사이의 거리에 기초한 각각의 상호작용 변수를 계산하는 단계; 및 상기 개개의 상호작용 변수들의 합산을 얻는 단계를 포함하는 것을 특징으로 하는 시뮬레이션 방법.
제 13항에 있어서, 상기 계산단계는

상기 제1 필러모델과 상기 제2 필러모델 사이에서 상기 거리를 변화시키는 단계;

각각의 거리마다 상기 상호작용 변수들의 합산을 계산하는 단계; 및

상기 상호작용변수의 합산이 최소가 되는 두 필러모델 사이의 상기 거리를 구하는 단계를 더 포함하는 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션 방법.
제 14항에 있어서, 상기 상호작용 변수가 포텐셜 에너지인 것을 특징으로 하는 점탄성재료의 시뮬레이션 방법.