JP5227436B2

JP5227436B2 - フィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法

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Publication number: JP5227436B2
Application number: JP2011061265A
Authority: JP
Inventors: 正登内藤
Original assignee: Sumitomo Rubber Industries Ltd
Current assignee: Sumitomo Rubber Industries Ltd
Priority date: 2011-03-18
Filing date: 2011-03-18
Publication date: 2013-07-03
Anticipated expiration: 2031-03-18
Also published as: US9117307B2; EP2500868B1; EP2500868A3; JP2012198654A; EP2500868A2; US20120239351A1

Description

本発明は、処理時間を短縮しつつ、シミュレーション精度を向上しうるフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法に関する。

近年、有限要素法を用いたコンピュータシミュレーションが種々行われている。このようなシミュレーションでは、解析対象物をコンピュータで取り扱い可能な有限個の要素に分割（離散化）して有限要素モデルを作成し、この有限要素モデルに各種の特性を加えて各要素の節点の変位などを計算する変形計算が行われる。

また、有限要素モデルは、種々の方法で作成される。例えば、図１４に示されるように、マトリックスゴムｄの中にフィラーｃを分散配置されたフィラー配合ゴムｂが解析対象物である場合、図１５（ａ）に示されるように、予め決定された二次元空間ｉに、マトリックスゴムｄ及び前記フィラーｃが占めるゴム領域ｇ及びフィラー領域ｈをそれぞれ割り当てるとともに、それらを三角形要素ｅに分割した有限要素モデルａが一般的に作成されている。

このような有限要素モデルａは、例えば、フィラー領域ｈが複雑な形状であっても、その表面形状に沿って、三角形要素ｅが、該フィラー領域ｈ及びゴム領域ｇを分割することができるので、比較的容易かつ短時間で分割することができる。なお、関連する先行技術としては、次のものがある。

特開２００６−１３８８１０号公報

ところで、ゴムには体積が変化しない特性（非圧縮性）があるため、ゴム領域ｇの各三角形要素ｅにも非圧縮性が定義されて変形計算が行なわれる。

このため、ゴム領域ｇの三角形要素ｅの一辺が、非常に硬い特性が定義されたフィラー領域ｈに接続されると、その変形の自由度が大幅に拘束される。これにより、ゴム領域ｇの三角形要素ｅは、実際よりも過度に硬い特性を示し、シミュレーション精度が低下するという問題があった。

一方、図１５（ｂ）に示される四辺形要素ｆに分割した有限要素モデルａでは、ゴム領域ｇの四辺形要素ｆの一辺がフィラー領域ｈに接続されても、図１５（ａ）に示される三角形要素ｅのものに比べて、その変形の自由度が許容されるので、上述の不具合はない。従って、このような有限要素モデルａは、シミュレーション精度を向上しうる。

しかしながら、このような四辺形要素ｆは、三角形要素ｅに比べると、分割が難しく、とりわけフィラー領域ｈが球状等の複雑な形状からなる場合には、オペレータの手作業による分割作業が発生し、膨大な処理時間を要するという問題があった。

本発明は、以上のような実状に鑑み案出されたもので、ゴム領域及びフィラー領域をそれぞれ三角形要素を用いて分割するステップと、ゴム領域及びフィラー領域の各三角形要素を３つの四辺形要素に細分割するステップとを含むことを基本として、処理時間を短縮しつつ、シミュレーション精度を向上しうるフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法を提供することを主たる目的としている。

本発明のうち請求項１記載の発明は、コンピュータが、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの二次元の有限要素モデルを作成するための方法であって、前記コンピュータに、予め決定された二次元空間に前記マトリックスゴム及び前記フィラーが占めるゴム領域及びフィラー領域をそれぞれ割り当てて記憶させる割り当てステップ、前記コンピュータが、前記ゴム領域及び前記フィラー領域をそれぞれ三角形要素を用いて分割する第１の分割ステップ、及び前記コンピュータが、ゴム領域及びフィラー領域の各三角形要素を３つの四辺形要素に細分割する第２の分割ステップを含み、前記第１の分割ステップは、全ての三角形要素の９５％以上について、前記三角形要素の長辺の長さＬ４ａと短辺の長さＬ４ｂとの比であるアスペクト比Ｌ４ａ／Ｌ４ｂが２以下となるように分割することを特徴とする。

また、請求項２記載の発明は、前記第２の分割ステップは、各三角形要素の面積重心及び各辺の中点を計算して新たな節点を作成するステップと、前記新たな節点間に新たな辺を定義することにより一つの三角形要素を３つの四辺形要素に分割するステップとを有することを特徴とする請求項１記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法である。

また、請求項３記載の発明は、前記第１の分割ステップは、前記三角形要素、及び該三角形要素よりも少ない四辺形要素とを用いて分割し、前記第２の分割ステップは、前記四辺形要素を４つの四辺形要素に細分割するステップを含む請求項１又は２に記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法である。

請求項１に記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法では、コンピュータが、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの二次元の有限要素モデルを作成する。

この作成方法では、コンピュータに、予め決定された二次元空間にマトリックスゴム及びフィラーが占めるゴム領域及びフィラー領域をそれぞれ割り当てて記憶させる割り当てステップ、コンピュータが、ゴム領域及びフィラー領域をそれぞれ三角形要素を用いて分割する第１の分割ステップ、及びコンピュータが、ゴム領域及びフィラー領域の各三角形要素を３つの四辺形要素に細分割する第２の分割ステップを含む。

このように、本発明の作成方法では、ゴム領域、及びフィラー領域が四辺形要素に分割されるため、ゴム領域の四辺形要素がフィラー領域に接続されても、三角形要素からなるものに比べて、その変形の自由度が許容されるので、シミュレーション精度を向上しうる。

しかも、本発明の作成方法では、ゴム領域、及びフィラー領域を、分割が比較的容易な三角形要素を用いて分割した後に、各三角形要素を３つの四辺形要素に細分割する。このため、四辺形要素に容易かつ確実に分割でき、処理時間を短縮しうる。

本実施形態の処理を行なうコンピュータ装置の斜視図である。本実施形態の作成方法のフローチャートである。二次元空間を示す平面図である。（ａ）は第１の分割ステップを経たゴム領域及びフィラー領域を示す平面図、（ｂ）は三角形要素の拡大図である。（ａ）は第２の分割ステップを経たゴム領域及びフィラー領域を示す平面図、（ｂ）は四辺形要素の拡大図である。シミュレーション結果を示す応力−伸びの関係を示すグラフである。（ａ）は三角形要素、及び四辺形要素を示す平面図、（ｂ）は（ａ）の四辺形要素の拡大図である。三次元空間を示す斜視図である。四面体要素の拡大図である六面体要素の拡大図である。三次元の有限要素モデルを示す部分斜視図である。シミュレーション結果を示す応力−伸びの関係を示すグラフである。（ａ）は六面体要素の斜視図、（ｂ）は（ａ）を再分割した斜視図である。フィラー配合ゴムの断面図である。（ａ）は三角形要素からなる有限要素モデルを示す平面図、（ｂ）は四辺形要素からなる有限要素モデルを示す平面図である。

以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本実施形態のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法（以下、単に「作成方法」ということがある）では、図１４に示されるフィラー配合ゴムｂの変形をシミュレーションするために、コンピュータ１が、前記フィラー配合ゴムｂの二次元の有限要素モデル２（図５（ａ）に示す）を作成する方法である。また、フィラー配合ゴムｂは、マトリックスゴムｄ中に、例えばシリカやカーボンブラック等のフィラーｃが分散配置される。

図１に示されるように、コンピュータ１は、本体１ａ、キーボード１ｂ、マウス１ｃ及びディスプレイ装置１ｄを含む。前記本体１ａには、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリー、磁気ディスクなどの記憶装置及びディスクドライブ装置１ａ１、１ａ２などが設けられる。なお、記憶装置には、本実施形態の作成方法を実行するための処理手順（例えば、汎用のメッシュ化ソフトウェア等）が予め記憶される。

図２には、本実施形態の作成方法のフローチャートが示される。
この作成方法では、図３に示されるように、予め決定された二次元空間３にゴム領域４及びフィラー領域５をそれぞれ割り当てる割り当てステップＳ１、図４に示されるように、ゴム領域４、及びフィラー領域５を三角形要素６を用いて分割する第１の分割ステップＳ２、及び図５に示されるように、各三角形要素６を３つの四辺形要素７に細分割する第２の分割ステップＳ３を含む。

図３に示されるように、本実施形態の割り当てステップＳ１では、コンピュータ１に、例えば、予め決定された二次元空間３にマトリックスゴムｄ及び一対のフィラーｃが占めるゴム領域４及びフィラー領域５をそれぞれ割り当てて記憶させる。この例では、理解しやすいように、フィラー領域５が着色されて表示される。

前記二次元空間３は、例えば正方形に形成され、その一辺の長さＬ１が５０〜１５０nm程度に設定される。また、このフィラー領域５は、例えば、直径Ｌ２が５〜５０nm程度の略円形状に設定され、互いに離間して配されている。これらの領域は、夫々座標によって特定される。

次に、前記第１の分割ステップＳ２（ａ）では、図４（ａ）に拡大して示されるように、コンピュータ１が、ゴム領域４及びフィラー領域５をそれぞれ三角形要素６を用いて分割する。この三角形要素６は、図４（ｂ）に示されるように、３つの節点１１と、各節点１１、１１間を繋ぐ３本の直線からなる辺１２とで形成され、種々の大きさ及び形状のものが含まれる。

本実施形態では、コンピュータ１が、図４（ａ）に示されるように、フィラー領域５の輪郭（換言すれば、フィラー領域５とゴム領域４との境界）５ｓに、三角形要素６の節点１１を適当な間隔で配置し、これらの節点１１を基準にフィラー領域５が複数の三角形要素６に分割される。そして、各節点１１の座標は、コンピュータ１に記憶される。

一方、ゴム領域４も、フィラー領域５の輪郭５ｓに配される節点１１を基準に、複数の三角形要素６に分割される。このように、三角形要素６は、フィラー領域５が複雑な形状であっても、その輪郭５ｓに沿って、ゴム領域４及びフィラー領域５を比較的容易にかつ短時間で分割しうる。

次に、前記第２の分割ステップＳ３では、図５（ａ）、（ｂ）に示されるように、コンピュータが、ゴム領域４及びフィラー領域５の各三角形要素６を３つの四辺形要素７に細分割する。本実施形態では、各三角形要素６に新たな節点１３を作成するステップと、新たな節点１３、１３間に新たな辺１４を定義するステップとを含む。

本実施形態において、コンピュータ１は、各三角形要素６の節点座標に基づいて、該三角形要素６の面積重心６ｇ、及び各辺１２の中点１２ｃを計算し、それらの面積重心６ｇ、及び中点１２ｃに該新たな節点１３を新設する。また、コンピュータ１は、面積重心６ｇからなる節点１３と、各中点１２ｃからなる節点１３との間を直線状に繋ぎ、新たな辺１４を新設する。

これにより、各三角形要素６は、節点１１、１３、１３、１３と、これらの間を繋ぐ４本の辺１２、１２、１４、１４とからなる３つの四辺形要素７に分割され、本実施形態の有限要素モデル２が形成される。

また、ゴム領域４及びフィラー領域５の各四辺形要素７には、シミュレーションによる数値解析に必要な情報が定義される。この数値解析とは、例えば有限要素法等の数値解析法を意味する。また、解析に必要な情報としては、各三角形要素６を構成する節点１１、１３の番号や該節点１１、１３の座標値が少なくとも含まれる。

さらに、各四辺形要素７には、各々が代表する部分の材料特性（物性値）などが定義される。即ち、ゴム領域４及びフィラー領域５の各四辺形要素７には、それぞれ図１４に示されるマトリックスゴムｄ及びフィラーｃの物性に応じた材料定数が定義される。そして、これらの情報は、いずれも前記コンピュータ１に記憶される。

図６には、図１４に示されるフィラー配合ゴムｂを０〜５０％伸長させたときの応力と伸びとの測定結果が破線で示される。また、本実施形態の有限要素モデル２（要素数：２９８２個）を０〜５０％伸長させたときの応力と伸びとのシミュレーション結果（実施例１）、図１５（ａ）に示される三角形要素ｅのみで分割された有限要素モデルａ（要素数：３２５２個）のシミュレーション結果（比較例１）、及び図１５（ｂ）に示される四辺形要素ｆのみで分割された有限要素モデルａ（要素数：４５５２個）のシミュレーション結果（比較例２）が示される。

また、表１には、本実施例の有限要素モデル２（実施例１）、三角形要素ｅのみで分割された有限要素モデルａ（比較例１）、及び四辺形要素ｆのみで分割された有限要素モデルａ（比較例２）の要素分割に要した処理時間を、比較例１を１００とする指数で表示し、数値小さいほど処理時間が短く良好であることを示している。

これら結果より、本実施形態の有限要素モデル２（実施例１）は、三角形要素ｅのみで分割された有限要素モデルａ（比較例１）に比べてシミュレーション精度を向上しうることが確認できる。これは、本実施形態のゴム領域４の四辺形要素７の一辺が、フィラー領域５に接続されても、三角形要素６に比べてその変形の自由度が許容されるので、ゴム領域４が過度に硬い特性をもつことが抑制されるからと推察される。

しかも、本実施形態の有限要素モデル２（実施例１）は、四辺形要素ｆのみで分割された有限要素モデルａ（比較例２）に比べて、処理時間を大幅に短縮しうることが確認できる。これは、第１の分割ステップＳ２及び第２の分割ステップＳ３を経ることにより、ゴム領域４及びフィラー領域５を、四辺形要素７に容易かつ確実に細分化できるからである。

なお、図４（ａ）に示されるように、三角形要素６は、長辺の長さＬ４ａと短辺の長さＬ４ｂとの比であるアスペクト比（Ｌ４ａ／Ｌ４ｂ）が小さいのが好ましい。これにより、三角形要素６から分割される四辺形要素７もアスペクト比が小さくなるため、フィラー領域５に拘束されてもその変形が十分に許容され、シミュレーション精度を向上しうる。なお、このアスペクト比（Ｌ４ａ／Ｌ４ｂ）は、全ての三角形要素６の９５％以上が充足すればよいものとする。

前記アスペクト比（Ｌ４ａ／Ｌ４ｂ）が大きいと、上記のようにシミュレーション精度を向上できないおそれがある。このような観点より、前記アスペクト比（Ｌ４ａ／Ｌ４ｂ）は、２以下とされる。

本実施形態では、第１の分割ステップＳ２において、コンピュータ１が、ゴム領域４及びフィラー領域５を三角形要素６のみを用いて分割するものが説明されたが、図７（ａ）に示されるように、三角形要素６とともに、三角形要素６よりも少ない数の四辺形要素３３を用いて分割してもよい。

この四辺形要素３３は、４つの節点１１と、各節点１１、１１間を繋ぐ４本の直線からなる辺１２とで形成される。このような四辺形要素３３は、第２の分割ステップＳ３において、図７（ｂ）に示されるように、４つの四辺形要素３６に細分割される。

具体的には、コンピュータ１は、各四辺形要素３３の節点座標に基づいて、該四辺形要素３３の辺１２の各中点１２ｃに新たな節点３７を新設するとともに、各節点３７間を直線状に繋いで、新たな辺３８を新設する。さらに、辺３８、３８の交点に、新たな節点３９を新設する。これにより、各四辺形要素３３は、節点１１、３７、３９と、これらの間を継ぐ辺１２、３８とからなる４つの四辺形要素３６に細分割される。

このように、第１の分割ステップＳ１において、三角形要素６と四辺形要素３３とを用いて分割することにより、ゴム領域４及びフィラー領域５をより柔軟に分割でき、シミュレーション精度を向上しうるとともに、該四辺形要素３３を、四辺形要素３６に容易に細分割でき、処理時間を十分に短縮しうる。

次に、他の実施形態の作成方法が示される。
本実施形態の有限要素モデル２の作成方法では、コンピュータ１が、フィラー配合ゴムｂ（図１４に示す）の三次元の有限要素モデル２０（図１１に示す）を作成する方法である。このような有限要素モデル２０は、マトリックスゴムｄにフィラーｃが分散した三次元構造のモデルを作成できるので、二次元の有限要素モデル２に比べてシミュレーション精度を向上しうる。

この作成方法では、三次元空間１８（図８に示す）にゴム領域２６及びフィラー領域２７をそれぞれ割り当てて記憶させる割り当てステップＳ１、ゴム領域２６及びフィラー領域２７を四面体要素１６（図９に示す）を用いて分割する第１の分割ステップＳ２、及び四面体要素１６を４つの六面体要素１７（図１０に示す）に細分割する第２の分割ステップＳ３を含む。

本実施形態の割り当てステップＳ１では、コンピュータ１に、図８に示されるように、例えば、予め決定された三次元空間１８に、図１４に示されるマトリックスゴムｄ及びフィラーｃが占めるゴム領域２６及びフィラー領域２７をそれぞれ割り当てて記憶させる。この三次元空間１８は、その一辺の長さＬ６が、例えば５０〜１５０nm程度に設定される。

前記四面体要素１６は、図９に示されるように、４つの節点２１と、各節点２１、２１間を繋ぐ６本の直線からなる辺２２と、該辺２２で囲まれる４つの面２３とで形成される。また、四面体要素１６は、種々の大きさ及び形状のものが含まれる。

本実施形態では、コンピュータ１が、フィラー領域２７の輪郭２７ｓ（図８に示す）に、四面体要素１６の面２３を配置し、これらの面２３を基準にフィラー領域２７及びゴム領域２６を複数の四面体要素１６に分割する。そして、各節点２１の座標は、コンピュータに記憶される。

次に、第２の分割ステップＳ３では、図１０に示されるように、コンピュータ１が、ゴム領域２６及びフィラー領域２７の各四面体要素１６を、４つの六面体要素１７に細分割する。本実施形態では、各四面体要素１６に新たな節点３１を作成するステップと、新たな節点３１、３１間に、新たな辺３２を定義するステップとを含む。

本実施形態において、コンピュータ１は、各四面体要素１６の節点２１の座標に基づいて、該四面体要素１６の体積重心１６ｇ、各面２３の面積重心２３ｇ、及び各辺２２の中点２２ｃを計算して、これらの体積重心１６ｇ、面積重心２３ｇ、及び中点２２ｃに、該新たな節点３１を新設する。

また、コンピュータ１は、面積重心２３ｇからなる節点３１と中点２２ｃからなる節点３１との間、及び体積重心１６ｇからなる節点３１と面積重心２３ｇからなる節点３１との間を直線状に繋ぎ、新たな辺３２を新設する。

これにより、各四面体要素１６は、８つの節点２１、３１と、これらの間を継ぐ１２本の辺２２、３２と、６つの面２３とからなる４つの六面体要素１７に分割された三次元の有限要素モデル２０（図１１に示す）が形成される。この例では、理解しやすいように、１つの六面体要素１７が着色されて表示される。

また、各六面体要素１７には、該六面体要素１７を構成する節点２１、３１の番号や、節点２１、３１の座標値等、シミュレーションによる数値解析に必要な情報や、図１４に示されるマトリックスゴムｄ及びフィラーｃの物性に応じた材料定数等が定義され、コンピュータ１に記憶される。

図１２には、図１４に示されるフィラー配合ゴムｂを０〜５０％伸長させたときの応力と伸びとの測定結果が破線で示される。また、本実施形態の有限要素モデル２０（要素数：５１９２０個）を０〜５０％伸長させたときの応力と伸びとのシミュレーション結果（実施例２）、図１５（ａ）に示される四面体要素のみで分割された有限要素モデル（要素数：１９３３３０個）のシミュレーション結果（比較例３）、及び六面体要素のみで分割された有限要素モデル（要素数：１７５６１６個）のシミュレーション結果（比較例４）が示される。

また、表２には、本実施例の有限要素モデル２０（実施例２）、四面体要素のみで分割された有限要素モデル（比較例３）、及び六面体要素のみで分割された有限要素モデル（比較例４）の要素分割に要した処理時間を、比較例３を１００とする指数で表示し、数値小さいほど処理時間が短く良好であることを示している。

これら結果より、本実施形態の有限要素モデル２０（実施例１）は、四面体要素のみで分割された有限要素モデル（比較例３）に比べてシミュレーション精度を向上しうることが確認できる。これは、本実施形態のゴム領域４の六面体要素１７が、その一面がフィラー領域５に接続されても、四面体要素に比べてその変形の自由度が許容されるからと推察される。

しかも、本実施形態の有限要素モデル２０（実施例１）は、六面体要素のみで分割された有限要素モデル（比較例４）に比べて、処理時間を大幅に短縮しうることが確認できる。これは、第１の分割ステップＳ２及び第２の分割ステップＳ３を経ることにより、ゴム領域４及びフィラー領域５を、六面体要素１７に容易かつ確実に細分化できるからである。

この実施形態では、第１の分割ステップＳ２において、コンピュータ１が、ゴム領域４及びフィラー領域５を四面体要素１６のみを用いて分割するものが説明されたが、四面体要素１６とともに、図１３（ａ）に示される該四面体要素１６よりも少ない数の六面体要素４１を用いて分割してもよい。

この六面体要素４１は、８つの節点２１と、これらの間を継ぐ１２本の辺２２と、６つの面２３とからなる。このような六面体要素４１は、第２の分割ステップＳ３において、図１３（ｂ）に示される８つの六面体要素４５に細分割される。

具体的には、コンピュータ１は、六面体要素４１の各辺２２の中点２２ｃを計算して、これらの中点２２ｃに新たな節点４６を新設するとともに、各節点４６間を直線状に繋いで、新たな辺４７を新設する。さらに、新たな辺４７、４７が交わる交点４８間を直線状に繋いで新たな辺５０を新設する。これにより、各六面体要素４１は、節点２１、４６とこれらの間を継ぐ辺２２、４７、５０とからなる８つの六面体要素４５に細分割される。

このように、第１の分割ステップＳ１において、四面体要素１６と六面体要素４１とを用いて分割することにより、ゴム領域４及びフィラー領域５をより柔軟に分割でき、シミュレーション精度を向上しうるとともに、該六面体要素４１を、六面体要素４５に容易に細分割でき、処理時間を十分に短縮しうる。

以上、本発明の特に好ましい実施形態について詳述したが、本発明は図示の実施形態に限定されることなく、種々の態様に変形して実施しうる。

２二次元の有限要素モデル
３二次元空間
４ゴム領域
５フィラー領域
６三角形要素
７四辺形要素

Claims

コンピュータが、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの二次元の有限要素モデルを作成するための方法であって、
前記コンピュータに、予め決定された二次元空間に前記マトリックスゴム及び前記フィラーが占めるゴム領域及びフィラー領域をそれぞれ割り当てて記憶させる割り当てステップ、
前記コンピュータが、前記ゴム領域及び前記フィラー領域をそれぞれ三角形要素を用いて分割する第１の分割ステップ、及び
前記コンピュータが、ゴム領域及びフィラー領域の各三角形要素を３つの四辺形要素に細分割する第２の分割ステップを含み、
前記第１の分割ステップは、全ての三角形要素の９５％以上について、前記三角形要素の長辺の長さＬ４ａと短辺の長さＬ４ｂとの比であるアスペクト比Ｌ４ａ／Ｌ４ｂが２以下となるように分割することを特徴とするフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
前記第２の分割ステップは、各三角形要素の面積重心及び各辺の中点を計算して新たな節点を作成するステップと、前記新たな節点間に新たな辺を定義することにより一つの三角形要素を３つの四辺形要素に分割するステップとを有することを特徴とする請求項１記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
前記第１の分割ステップは、前記三角形要素、及び該三角形要素よりも少ない四辺形要素とを用いて分割し、
前記第２の分割ステップは、前記四辺形要素を４つの四辺形要素に細分割するステップを含む請求項１又は２に記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。