JP5324820B2 - 解析モデルの作成方法 - Google Patents

Description

本発明は、例えば有限要素法を用いたコンピュータシミュレーションに好適に用いられる解析モデルの作成方法に関し、詳しくは要素数の増加を抑えつつ計算精度を向上させ得る解析モデルの作成方法に関する。

近年、有限要素法を用いたコンピュータシミュレーションが種々行われている。該シミュレーションでは、解析対象物をコンピュータで取り扱い可能な有限個の要素に分割（離散化）して解析モデルを作成し、この解析モデルに各種の境界条件を与えて各要素の節点の変位などを計算する変形計算が行われる。

また、解析モデルは、種々の方法で作成される。例えば、図１１に示されるように、ゴムａと、その中に充填された球状の２つのフィラーｂ、ｂとを含むフィラー充填ゴムｃが解析対象物である場合、その２次元の解析モデルとしては、図１２（ａ）に示されるような不規則形状の要素ｅ１を用いた解析モデルＭ１や、同図（ｂ）に示されるような規則格子で区分された要素ｅ２を用いた解析モデルＭ２が挙げられる。

計算精度を高めるためには、解析対象物、とりわけフィラーｂの形状をより正確に再現することが望ましい。そのためには、図１２（ａ）に示したように、フィラーｂの輪郭形状により近づけて要素ｅ１の各節点が配置された解析モデルＭ１が好ましい。しかし、このような解析モデルＭ１は、大きさや形状が異なる不規則形状の要素ｅ１を解析対象物に合わせて設定しなければならない。従って、解析モデルＭ１の作成には、多くの手間と時間を要するという欠点がある。

他方、図１２（ｂ）に示した解析モデルＭ２は、規則格子で均等に区分された同一形状の正方形の要素ｅ２だけで構成される。従って、各要素ｅ２に、ゴムａ又はフィラーｂのいずれかの物性を割り当てることにより容易に作成できる。従って、このような解析モデルＭ２は、比較的短時間で作成することができるメリットがある。

関連する先行技術としては、次のものがある。

特開２００６−１３８８１０号公報

ところで、計算精度を高めるためには、より小さな要素で解析対象物を分割することが望ましい。このためには、前記規則格子を用いた解析モデルの場合、図１３に示されるように、規則格子のピッチを一律に小さくして解析モデルＭ３を作る必要がある。しかしながら、このような解析モデルＭ３は、要素数が著しく増加するため、その変形計算に多くの時間を要するという問題がある。即ち、シミュレーションにおいて、計算精度と計算時間（計算負荷）とは二律背反の関係にある。

本発明は、以上のような実情に鑑み案出なされたもので、解析対象物を、規則格子で区分される同一形状の基本要素で分割して初期の解析モデルを設定し、その初期の解析モデルの一部分だけをさらに小さく分割することを基本として、要素数の増加を抑えて計算時間の増加を防ぎつつ計算精度を向上させ得る解析モデルの作成方法を提供することを主たる目的とする。

本発明のうち請求項１記載の発明は、解析対象物をコンピュータで取り扱い可能な有限個の要素に分割して解析モデルを作成する方法であって、前記解析対象物を、規則格子で区分される同一形状の基本要素で分割して初期の解析モデルを設定するステップ、前記初期の解析モデルの一部分に、前記基本要素をさらに分割する細分化領域を設定するステップ、及び前記細分化領域の各要素のみを２以上に分割するステップを含み、前記細分化するステップは、前記細分化領域の各基本要素の内部に、該基本要素と相似形をなしかつ前記基本要素よりも小さい小型要素を設定するステップと、前記小型要素の各節点を、対応する前記基本要素の節点とそれぞれつなぐステップとを含むことを特徴とする。

また請求項２記載の発明は、前記細分化領域を設定するステップは、前記初期の解析モデルに予め定めた変形条件を与えて変形シミュレーションを行うステップと、前記変形シミュレーションの結果から、前記初期の解析モデルの応力又は歪が大きい大変形領域を特定するステップと、前記大変形領域の少なくとも一部を含む領域を細分化領域として設定するステップとを含む請求項１記載の解析モデルの作成方法である。

また請求項３記載の発明は、前記解析対象物が、ゴムとフィラーとを含むフィラー充填ゴムである請求項１又は２記載の解析モデルの作成方法である。

また請求項４記載の発明は、前記フィラーを有限個の要素で分割した少なくとも２つのフィラーモデルと、このフィラーモデルを囲むとともに前記ゴムを有限個の要素で分割したゴムモデルとを含み、前記細分化領域が前記２つのフィラーモデルの間に設定される請求項３記載の解析モデルの作成方法である。

また請求項５記載の発明は、前記小型要素は、その外側の基本要素と重心を揃えかつ対応する辺を互いに平行として設定される請求項１記載の解析モデルの作成方法である。

本発明では、解析対象物を、規則格子で区分される同一形状の基本要素で分割して初期の解析モデルが設定される。このように、規則格子を用いて要素分割することにより、初期の解析モデルを短時間で作成できる。

また、本発明では、初期の解析モデルの一部分に細分化領域を設定し、その細分化領域の各要素のみが２以上に分割される。細分化領域は、初期の解析モデルの一部分に限定されるので、要素数の著しい増加を防ぐとともに、要素を細分化する時間も短縮できる。とりわけ、変形状態をより詳細に調べたい部分を細分化領域として設定することにより、要素数の増加を抑えつつ計算精度を向上させる解析モデルを能率良く作成できる。

以下、本発明の実施の一形態を図面に基づき説明する。
本実施形態では、解析対象物が、図１１に示したように、ゴムａと、例えばカーボンやシリカなどの硬質のフィラーｂとを含むフィラー充填ゴムｃであり、その変形をコンピュータによりシミュレーションするために用いられる解析モデルが作成される。

本実施形態の解析モデルの作成方法は、図１に示されるようなコンピュータ装置１を用いて行われる。該コンピュータ装置１は、本体１ａ、キーボード１ｂ、マウス１ｃ及びディスプレイ装置１ｄを含む。前記本体１ａには、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリー、磁気ディスクなどの記憶装置及びディスクドライブ装置１ａ１、１ａ２などが設けられる。なお、記憶装置には、本実施形態の作成方法を実行するための処理手順（プログラム）が予め記憶される。

図２には、解析モデル４を作成するためのフローチャートが示される。
先ず、本実施形態では、前記フィラー充填ゴムｃを、規則格子で区分される同一形状の基本要素ｅbで分割することにより初期の解析モデル４ａが設定される（ステップＳ１）。

図３（ａ）には、本実施形態の初期の解析モデル４ａとしての一例を視覚化して示す。また、図３（ｂ）には、その部分拡大図を示す。前記規則格子は、図３（ｂ）に拡大して示されるように、ｘ軸及びｙ軸に同一のピッチＰで配された縦線Ｌ１及び横線Ｌ２の格子ＧＤからなる。そして、該縦線Ｌ１及び横線Ｌ２で区分される正方形が、それぞれ一つの基本要素ｅbを構成する。より具体的には、基本要素ｅbは、縦線Ｌ１及び横線Ｌ２の各交点に配置される節点ｎを４隅に有する正方形要素（四辺形要素）である。

本実施形態の初期の解析モデル４ａは、解析対象物に従い、ゴムモデル２と、離間して配された一対のフィラーモデル３とを含んで構成される。

前記フィラーモデル３は、理解しやすいように、図３（ａ）において着色されて表示される。該フィラーモデル３は、フィラー充填ゴムｃに充填されたフィラーｂを有限個の基本要素ｅb…を用いて離散化することにより設定される。フィラーモデル３は、球状のフィラーｂの輪郭にできるだけ近づくようにモデル化されている。

また、前記ゴムモデル２は、フィラー充填ゴムｃのゴム部分ａを有限個の基本要素ｅbで離散化することにより設定される。

このような要素分割は、例えば、コンピュータ装置１を用いて、図１１に示した解析対象物のフィラー充填ゴムｃの解析対象領域上に規則格子を設定し、基本要素ｅb毎に、ゴムａ又はフィラーｂのいずれがより多くの面積を占めているかが計算される。そして、その計算結果に基づいて、各基本要素ｅbが、ゴムモデル３又はフィラーモデル４のいずれに属するか決定される。このように、初期の解析モデルは、規則格子で区分される基本要素ｅbのみを用いることにより、短時間で作成することができる。また、可能な範囲で解析対象物に近い輪郭形状でフィラーモデル３を設定することもできる。

前記基本要素ｅbは、シミュレーションによる数値解析に必要な情報が定義される。数値解析とは、例えば有限要素法等の数値解析法を意味する。また、解析に必要な情報としては、各基本要素ｅbを構成する節点ｎの番号や該節点ｎの座標値が少なくとも含まれる。さらに、各基本要素ｅbには、各々が代表する部分の材料特性（物性値）などが定義される。即ち、ゴムモデル３及びフィラーモデル２の各基本要素ｅbには、それぞれフィラー及びゴムの物性に応じた材料定数が定義される。そして、これらの情報は、いずれも前記コンピュータ装置１に記憶される。

次に、本実施形態では、前記初期の解析モデル４ａの一部分に、前記基本要素ｅbをさらに分割する細分化領域が設定される（ステップＳ２）。

前記細分化領域は、より小さい要素で構成される部分となる。従って、細分化領域は、その変形挙動をより詳細に調べることが可能になる他、高い計算精度が得られる。従って、細分化領域は、このような要求に合致した部分に設定されることが望ましい。

例えば、本実施形態のフィラー充填ゴムｃの場合、図１１に示されるように、隣り合う硬質のフィラーｂ、ｂ間のゴム部ａ１に大きな歪及び応力が生じる。従って、本実施形態では、前記ゴム部ａ１２を少なくとも一部に含むように、フィラーモデル３、３で挟まれているゴム部が細分化領域５として設定される。このようにして設定された細分化領域５は、例えばマウス等でその範囲が指定され、そこに含まれる基本要素ｅbに、細分化領域５に含まれる要素であることを示す所定の情報が付加されて前記コンピュータ装置に入力される。

また、細分化領域５は、他の方法で決定されても良い。例えば、先ず、初期の解析モデル４ａを使用し、かつ、予め定められた変形条件に基づいて変形シミュレーションを行う。そして、この変形シミュレーションの結果から、初期の解析モデル４ａの応力又は歪の最も大きい部分を含む大変形領域を特定し、該大変形領域を少なくとも一部に含む領域を細分化領域として決定しても良い。

次に、本実施形態では、細分化領域５の各基本要素を２以上に分割する細分化が行われる（ステップＳ３）。

細分化のステップＳ３は、例えば、細分化領域５を通る規則格子の縦線Ｌ１及び／又は横線Ｌ２のピッチＰを小さくして前記基本要素ｅbを小さくすることにより行い得る。本実施形態では、図４（ａ）及びその部分拡大図である図４（ｂ）に示されるように、細分化領域５を通る規則格子の横線Ｌ２のピッチのみが、初期の解析モデル４ａのときに定められたピッチＰの例えば１／２に減じられる。これにより、フィラーモデル３、３で挟まれているゴム部分の基本要素ｅbはｙ方向に２等分される。即ち、細分化領域５の各基本要素ｅbは、元の基本要素ｅbとｘ寸法が同一かつｙ寸法が１／２をなす長方形の小型要素ｅsに分割される。

従って、細分化のステップＳ３を経た解析モデル４ｂを用いて変形シミュレーションを行うことにより、フィラーモデル３、３間のゴム部分（細分化領域５）の計算精度の向上を高めることができる。また、前記ゴム部分の変形挙動をより詳細に調べることができる。なお、細分化する際のピッチの変更は、上記１／２に限定されるものではなく、種々の値に設定することができる。また、細分化のステップＳ３は、必要な要素解像度が得られるまで、複数回繰り返されても良い。

ところで、図５に示されるように、ｘ軸方向の一部の範囲のみについて横線Ｌ２のｙ方向のピッチを１／２とした場合、図において黒丸で示されるような好ましくない節点ｎiが新たに生成される。このような節点ｎiが設けられると、例えば図５（ｂ）に示されるように、小型要素ｅsが基本要素ｅbに貫入し要素の重なりが生じたり、逆に動ず（ｃ）に示されるように、要素間に隙間が生じる不具合がある。このような節点ｎiの発生を防止するために、図４の細分化のステップＳ３で得られた解析モデル４ｂは、フィラーモデル３で挟まれるゴム部分のみならず、そのｘ方向で隣り合う両外側のゴム部分６、６の要素も細分化されている。しかし、このようなステップでは、図４（ａ）に示されるように、本来、細分化する重要性の低い両外側のゴム部分６、６も細分化される。従って、解析モデル４ｂの要素数の不用意な増加を防止するためには、必要な箇所だけを細分化できることが特に望ましい。

図６には、他の実施形態の細分化で得られた解析モデル４ｂを示す（この解析モデル４ｂの初期の解析モデルは、図３（ａ）に示したものと同一である。）。この実施形態の細分化のステップは、図６（ａ）のＡ部拡大図である図６（ｂ）に示されるように、フィラーモデル３、３で挟まれるゴム部分のうちｘ方向及びｙ方向の一部だけを細分化することができる。

即ち、この細分化のステップでは、図７の上図に示されるように、先ず、細分化領域５に含まれる各基本要素ｅbの内部に、該基本要素ｅbと相似形をなしかつ基本要素ｅbよりも小さい小型要素ｅsが設定される。本実施形態の小型要素ｅsは、その基本要素ｅbと重心ｇを揃えかつ対応する辺（節点間を結ぶ直線である）を互いに平行として配置される。

次に、図７の下図に示されるように、小型要素ｅsの各節点ｎsを、対応する前記基本要素ｅbの節点ｎbに辺ｓでそれぞれつなぐことが行われる。これにより、一つの正方形の基本要素ｅbは、細分化のステップにより、一つの正方形の小型要素ｅsと、その周囲を囲むように配された四つの台形の要素ｅaとに分割される。なお、台形の要素ｅaのアスペクト比などを考慮に入れて、小型要素ｅsの相似比を定めることが望ましい。

この細分化のステップによれば、ｘ方向又はｙ方向に連続することなく、本来細分化が必要な範囲のみ細分化できる。従って、要素数の過度に増加をより確実に防止できる。また、この実施形態のステップでは、図５で黒丸で示したような不安定な節点ｅiが生じないので、他の要素との繋がりを悪化させることもない。従って、計算精度の悪化や計算エラーなどを防止するのに役立つ。また、この細分化ステップでは、一つの四辺形要素を、三角形要素を含めることなく複数の四辺形要素に分割できる。その利点としては、次のものが挙げられる。先ず、第一に、四辺形要素は三角形要素よりも計算精度の面に置いて優れる。第二に、フィラー充填ゴム等においては、通常、ゴムモデル３の各要素は、変形しても体積変化が生じない非圧縮特性が定義される。しかし、三角形要素は、一辺が例えばフィラーモデルに固着されて拘束される（変形できない）場合、引っ張られても伸びることができない。また、少しでも変形しようとすると、過大な力が発生してしまうという問題がある。

なお、上記の実施形態では、二次元の解析モデルを例に挙げて説明したが、本発明は、図８に示されるように、三次元の解析モデル４であっても同様の手順で行うことができるのは言うまでもない。三次元の解析モデル４の場合、規則格子で区分される基本要素ｅbは、直方体の要素からなる。

また、三次元の解析モデル４を細分化するステップＳ３も、例えば図９の上図に示されるように、立方体からなる基本要素ｅbの内部に、該基本要素ｅbと相似形をなしかつ基本要素ｅbよりも小さい１つの立方体の小型要素ｅsが互いの重心を揃えて設定され、次に図９の下図に示されるように、小型要素ｅbの各節点ｎsを、対応する前記基本要素ｅbの節点ｎbにそれぞれ辺ｓでつなぐことが行われる。これにより、基本要素ｅbは、一つの立方体の小型要素ｅsと、それを囲む６つの六面体の要素ｅａとに分割することができる。

以上、本発明の解析モデルの作成方法について詳述したが、本発明は上記の実施形態に限定されることなく種々の態様に変形して実施しうるのは言うまでもない。

表１の仕様に基づいて、解析モデルを作成し、同一の条件で引張の変形シミュレーションが行われた。解析モデルは、要素の分割方法のみが異なっており、フィラーモデル及びゴムモデルに定義された物性値などはいずれも同一とした。そして、このシミュレーションに要した計算時間（比較例１の計算時間を１００とする指数表示）及び計算結果（応力−ひずみ曲線）について評価が行われた。

テストの結果を表１及び図１０に示す。

比較例１の解析モデルは、要素数が最も少ないため、計算時間が最も短い。しかし、図１０から明らかなように、要素数が最も多い比較例２と比べると、計算結果に大きな差が生じていることが確認できる。これは、粗い分割（メッシュ）のため、比較例１の計算結果に多くの誤差が含まれた結果と考えられる。

これに対して、実施例２のモデルでは、比較例２よりも少ない計算時間で比較例２とほぼ同等の計算結果が得られている。また、実施例１は、少ない計算時間の増加で、比較例１よりも高い計算精度が得られている。従って、本実施形態で得られた解析モデルは、要素数の増加を抑えつつ計算精度を向上させていることが確認できた。

本実施形態の処理を行うコンピュータ装置の斜視図である。 本実施形態の処理手順を説明するフローチャートである。 （ａ）は初期の解析モデルを視覚化して示す平面図、（ｂ）はその部分拡大図である。 （ａ）は細分化のステップを経た解析モデルを視覚化して示す平面図、（ｂ）はその要部拡大図である。 （ａ）〜（ｃ）は細分化ステップの他の例を示す解析モデルの部分拡大図である。 （ａ）は他の実施形態の細分化のステップを経た解析モデルを視覚化して示す平面図、（ｂ）はその要部拡大図である。 正方形の要素の細分化を説明する要素の拡大図である。 三次元の解析モデルの一例を示す斜視図である。 立方体の要素の細分化を説明する要素の拡大図である。 シミュレーションの結果を示す応力−ひずみの関係を示すグラフである。 フィラー充填ゴムの断面図である。 （ａ）、（ｂ）はその解析モデルの実施形態を示す平面図である。 他の実施形態の解析モデルの平面図である。

符号の説明

１ コンピュータ装置
２ ゴムモデル
３ フィラーモデル
４ 解析モデル
４ａ 初期の解析モデル
４ｂ 細分化のステップを経た解析モデル
ｅb 基本要素
ｅs 小型要素

Claims (5)

1. 解析対象物をコンピュータで取り扱い可能な有限個の要素に分割して解析モデルを作成する方法であって、
   前記解析対象物を、規則格子で区分される同一形状の基本要素で分割して初期の解析モデルを設定するステップ、
   前記初期の解析モデルの一部分に、前記基本要素をさらに分割する細分化領域を設定するステップ、及び
   前記細分化領域の各要素のみを２以上に分割するステップを含み、
   前記細分化するステップは、前記細分化領域の各基本要素の内部に、該基本要素と相似形をなしかつ前記基本要素よりも小さい小型要素を設定するステップと、
   前記小型要素の各節点を、対応する前記基本要素の節点とそれぞれつなぐステップとを含むことを特徴とする解析モデルの作成方法。
2. 前記細分化領域を設定するステップは、前記初期の解析モデルに予め定めた変形条件を与えて変形シミュレーションを行うステップと、
   前記変形シミュレーションの結果から、前記初期の解析モデルの応力又は歪が大きい大変形領域を特定するステップと、
   前記大変形領域の少なくとも一部を含む領域を細分化領域として設定するステップとを含む請求項１記載の解析モデルの作成方法。
3. 前記解析対象物が、ゴムとフィラーとを含むフィラー充填ゴムである請求項１又は２記載の解析モデルの作成方法。
4. 前記解析モデルは、前記フィラーを有限個の要素で分割した少なくとも２つのフィラーモデルと、このフィラーモデルを囲むとともに前記ゴムを有限個の要素で分割したゴムモデルとを含み、
   前記細分化領域が前記２つのフィラーモデルの間に設定される請求項３記載の解析モデルの作成方法。
5. 前記小型要素は、その外側の基本要素と重心を揃えかつ対応する辺を互いに平行として設定される請求項１記載の解析モデルの作成方法。