JP2015118475A - フィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法 - Google Patents

Abstract

【課題】作成時間及び計算コストを低減しつつ、計算精度を維持しうる。【解決手段】マトリックスゴム３中にフィラー４が分散配置されたフィラー配合ゴム２の有限要素モデルを作成するための方法である。この作成方法では、フィラー４の表面４ｓのみを有限個の要素６を用いて離散化したフィラーモデル４Ｍを定義する工程Ｓ１と、少なくともマトリックスゴム３が占めている空間を有限個の要素９を用いて離散化したマトリックスゴムモデル３Ｍをフィラーモデル４Ｍとは独立して定義する工程Ｓ２と、マトリックスゴムモデル３Ｍに、フィラーモデル４Ｍを、埋め込むモデル埋込工程Ｓ３とを含む。モデル埋込工程Ｓ３では、マトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍとが、互いの要素６、９の節点７、１０の共有を考慮することなく重ねられるとともに、フィラーモデル４Ｍとマトリックスゴムモデル３Ｍとの境界部に、拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデル２Ｍが定義される。【選択図】図３

Description

本発明は、作成時間及び計算コストを低減しつつ、計算精度を維持しうるフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法に関する。

近年、有限要素法を用いたコンピュータシミュレーションが種々行われている。これらのシミュレーションでは、解析対象物がコンピュータで取り扱い可能な有限個の要素に離散化され、有限要素モデルが作成される。有限要素モデルには、その剛性や粘性を示す特性が入力される。コンピュータシミュレーションでは、予め定めた変形条件等に基づいて、各要素の節点の変位が計算される。

近年、機械的な構造物のみならず、ゴム材料等の開発にもシミュレーションが用いられている。例えば、ゴムを強化するためのフィラー（充填剤）の開発を効率化するために、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデルを、コンピュータを用いて作成するための方法が、下記特許文献１及び２で提案されている。

特許文献１及び２では、例えば、フィラー配合ゴムの顕微鏡断面写真等に基づいて、マトリックスゴム及びフィラーが占めているそれぞれの部分が特定される。各部分は、例えば、有限個の要素を用いて離散化され、マトリックスゴムモデル及びフィラーモデルにそれぞれモデル化される。

特開２０１２−１８５７３３号公報 特開２０１２−１９８６５４号公報

ところで、フィラーの表面形状が複雑な場合、それを正確にモデル化するためには、小さな要素で離散化する必要がある。一方、計算コストを低減するには、要素数を減らす必要がある。この場合、マトリックスゴムモデルが、大きな要素で離散化されるのが望ましい。

しかしながら、上記従来の方法では、マトリックスゴムモデルと、フィラーモデルとの境界部において、各々の要素の節点が共有されていた。このため、一方のモデルの解像度が、他方のモデルの解像度の制約を受けるという問題があった。

例えば、計算精度を高めるために、フィラーの解像度に合わせてマトリックスゴムモデルが離散化された場合、計算コストが増大する傾向があった。逆に、計算コストを低減するために、大きな要素で離散化されたマトリックスゴムモデルの解像度に合わせてフィラーモデルが離散化された場合、計算精度が低下する傾向があった。

また、上記従来の方法では、フィラーモデルが、フィラーの表面から内部まで、前記要素を用いてモデル化されていた。このため、上記従来の方法では、例えば、フィラーの表面形状が複雑である場合、その表面形状に沿って容易に離散化することできず、フィラーモデルの作成に、多くの時間を要するという問題があった。

本発明は、以上のような実状に鑑み案出されたもので、作成時間及び計算コストを低減しつつ、計算精度を維持しうるフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法を提供することを主たる目的としている。

本発明のうち第１の発明は、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデルを、コンピュータを用いて作成するための方法であって、前記フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、少なくとも前記マトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、前記マトリックスゴムモデルに、前記フィラーモデルを、埋め込むモデル埋込工程とを含み、前記モデル埋込工程では、前記マトリックスゴムモデルと前記フィラーモデルとが、互いの前記要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、前記フィラーモデルと前記マトリックスゴムモデルとの境界部に、拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義されることを特徴とする。

前記第１の発明において、前記マトリックスゴムモデルは、前記マトリックスゴムが占めている第１空間と、前記フィラーが占めている第２空間とを合わせた合計空間を有しているのが望ましい。

前記第１の発明において、前記フィラー配合ゴムモデルは、三次元モデルからなり、前記フィラーの表面は、二次元要素で離散化され、前記空間は、三次元要素で離散化されるのが望ましい。

本発明のうち第２の発明は、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデルを、コンピュータを用いて作成するための方法であって、前記フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、少なくとも前記マトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、前記フィラーの回りを取り囲む少なくとも１層の界面層を有限個の要素で離散化した界面層モデルを前記フィラーモデル及び前記マトリックスゴムモデルとは独立して定義する工程と、前記マトリックスゴムモデルに、前記フィラーモデルと前記界面層モデルとを、埋め込むモデル埋込工程とを含み、前記モデル埋込工程では、前記マトリックスゴムモデル、前記フィラーモデル及び前記界面層モデルが、互いの前記要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、前記フィラーモデルと前記界面層モデルとの間の境界部、及び、前記界面層モデルと前記マトリックスゴムモデルとの間の境界部に、それぞれ拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義されることを特徴とする。

前記第２の発明において、前記マトリックスゴムモデルは、前記マトリックスゴムが占めている第１空間と、前記フィラーが占めている第２空間と、前記界面層が占めている第３空間とを合わせた合計空間を有しているのが望ましい。

前記第２の発明において、前記フィラー配合ゴムモデルは、三次元モデルからなり、前記フィラーの表面は、二次元要素で離散化され、前記空間は、三次元要素で離散化され、前記界面層は、三次元要素で離散化されるのが望ましい。

本発明の第１の発明では、フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、少なくともマトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、マトリックスゴムモデルに、前記フィラーモデルを、埋め込むモデル埋込工程とを含む。

このような第１の発明では、フィラーの表面のみが離散化されるため、例えば、フィラーの表面形状が複雑であっても、フィラーの表面から内部まで離散化していた従来の方法に比べて、容易に離散化することができる。従って、第１の発明では、フィラーモデルの作成時間を大幅に短縮することができる。また、フィラーモデルの要素数を減らすことができるため、フィラー配合ゴムモデルを用いたシミュレーションにおいて、計算コストを低減しうる。

モデル埋込工程では、マトリックスゴムモデルとフィラーモデルとが、互いの要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、フィラーモデルとマトリックスゴムモデルとの境界部に、拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義される。

このため、第１の発明では、フィラーモデル及びマトリックスゴムモデルを、それぞれの形状や精度要求に適したサイズ及び形状の要素を用いて離散化することができる。従って、ある実施形態では、フィラーモデルにはより小さな要素が、マトリックスゴムモデルにはより大きくかつ単純な形状の要素が、それぞれ採用され得る。このような実施形態では、より単純な形状のマトリックスゴムモデルによる計算コストの抑制、及び、より詳細な形状のフィラーモデルによる計算精度の維持が両立され得る。

本発明の第２の発明では、フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、少なくともマトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、フィラーの回りを取り囲む少なくとも１層の界面層を有限個の要素で離散化した界面層モデルをフィラーモデル及びマトリックスゴムモデルとは独立して定義する工程と、マトリックスゴムモデルに、フィラーモデルと界面層モデルとを、埋め込むモデル埋込工程とを含む。

このような第２の発明では、フィラーの表面のみが離散化されるため、例えば、フィラーの表面形状が複雑であっても、フィラーの表面から内部まで離散化していた従来の方法に比べて、容易に離散化することができる。従って、第２の発明では、フィラーモデルの作成時間を大幅に短縮することができる。また、フィラーモデルの要素数を減らすことができるため、フィラー配合ゴムモデルを用いたシミュレーションにおいて、計算コストを低減しうる。

モデル埋込工程では、マトリックスゴムモデル、フィラーモデル及び界面層モデルが、互いの要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、フィラーモデルと界面層モデルとの間の境界部、及び、界面層モデルとマトリックスゴムモデルとの間の境界部に、それぞれ拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義される。

このため、第２の発明では、フィラーモデル、マトリックスゴムモデル及び界面層モデルは、それぞれの形状や精度要求に適したサイズ及び形状の要素で離散化が可能になる。従って、ある実施形態では、フィラーモデルにはより小さな要素が、界面層モデルにはより小さな要素が、マトリックスゴムモデルにはより大きくかつ単純な形状の要素がそれぞれ採用され得る。このような実施形態では、より単純な形状のマトリックスゴムモデルによる計算コストの抑制、及び、より詳細な形状のフィラーモデル及び界面層モデルによる計算精度の維持が両立され得る。

本発明の有限要素モデルの作成方法を実行するコンピュータ装置の斜視図である。 （ａ）は、本発明の第１の発明が対象とするフィラー配合ゴムの一例の部分斜視図、（ｂ）は、図２（ａ）のＡ−Ａ断面図である。 第１の発明の有限要素モデルの作成方法の処理手順を示すフローチャートである。 （ａ）は、一つのフィラーモデルを視覚化して示す斜視図、（ｂ）は、図４（ａ）のＢ部拡大図である。 マトリックスゴムモデルを視覚化して示す斜視図である。 第１の発明のフィラー配合ゴムモデルを視覚化して示す斜視図である。 フィラー配合ゴムモデルの部分拡大図である。 第２の発明が対象とするフィラー配合ゴムの一例の部分拡大断面図である。 第２の発明の有限要素モデルの作成方法の処理手順を示すフローチャートである。 （ａ）は、界面層モデルを視覚化して示す斜視図、（ｂ）は、図１０（ａ）のＣ部拡大図である。 第２の発明で視覚化されたフィラー配合ゴムモデルの斜視図である。 実施例のフィラー配合ゴムモデルの変形後の歪分布を示す図である。 比較例のフィラー配合ゴムモデルの変形後の歪分布を示す図である。

以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本発明のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法（以下、単に「作成方法」ということがある）は、マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデル（フィラー配合ゴムモデル）を、コンピュータを用いて作成するための方法である。

図１は、本発明の作成方法を実行するコンピュータ装置の斜視図である。コンピュータ１は、本体１ａ、キーボード１ｂ、マウス１ｃ及びディスプレイ装置１ｄを含んでいる。この本体１ａには、例えば、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリ、磁気ディスクなどの記憶装置、及び、ディスクドライブ装置１ａ１、１ａ２が設けられる。また、記憶装置には、本実施形態の作成方法を実行するためのソフトウェア（汎用のメッシュ化ソフトウェア（例えば、ＡＮＳＹＳ社の「ＩＣＥＭ ＣＦＤ」））等が予め記憶されている。

図２（ａ）は、本発明の第１の発明が対象とするフィラー配合ゴム２の一例の部分斜視図である。図２（ｂ）は、図２（ａ）のＡ−Ａ断面図である。フィラー配合ゴム２は、ゴムの主要部分を構成しているマトリックスゴム３と、その中に配されたほぼ円形の粒子であるフィラー４とを含んでいる。フィラー４としては、カーボンブラックが用いられているが、シリカやその他の充填剤が単独で又は組み合わされて用いられても良い。

第１の発明では、上記フィラー配合ゴム２から有限要素モデル（フィラー配合ゴムモデル）が作成される。この有限要素モデルは、メッシュモデル等とも呼ばれている。このような有限要素モデルは、コンピュータ１を用いて作成され、かつ、記憶される。コンピュータ１は、この有限要素モデルを使用して数値シミュレーションを実行する。数値シミュレーションでは、有限要素モデルに各種の条件が与えられ、そのときの有限要素モデルの変位や応力といった物理量が、コンピュータ１により計算される。

有限要素モデル（フィラー配合ゴムモデル）は、三次元又は二次元の座標系に従って作成される。以下の実施形態では、フィラー配合ゴムモデルが三次元モデルとして、ｘ−ｙ−ｚの三次元座標系に定義される。

図３は、第１の発明の有限要素モデルの作成方法の処理手順を示すフローチャートである。図４（ａ）は、一つのフィラーモデルを視覚化して示す斜視図である。図４（ｂ）は、図４（ａ）のＢ部拡大図である。図４（ａ）では、フィラーモデル４Ｍの表面を着色して表示している。

第１の発明の作成方法では、先ず、コンピュータ１に、フィラー４をモデル化したフィラーモデルが定義される（工程Ｓ１）。フィラーモデル４Ｍは、図２に示したフィラー配合ゴム２の中に配置されているフィラー４の表面４ｓのみが、有限個の要素６で分割（離散化）されたものである。このため、フィラーモデル４Ｍは、内部に空間４Ｍｉを有する中空状に定義される。

要素６としては、本実施形態の三次元構造の場合、二次元要素（面要素）が用いられる。二次元要素としては、例えば、四辺形要素又は三角形要素が好適に用いられる。工程Ｓ１では、フィラー４の表面４ｓ（図２に示す）に沿って、複数の要素６で離散化される。

このように、工程Ｓ１では、図２に示したフィラー４の表面４ｓのみが、二次元の要素６を用いて離散化される。このため、第１の発明の作成方法では、フィラー４の表面４ｓから内部まで離散化していた従来の方法に比べて、フィラーモデル４Ｍの作成時間を短縮することができる。また、工程Ｓ１では、二次元の要素６を用いて離散化されるため、例えば、フィラー４の表面４ｓに、フィラー４の半径方向に突出する凸部（図示省略）や半径方向に凹む凹部（図示省略）が形成されている場合でも、凸部及び凹部に沿って容易に離散化することができる。従って、工程Ｓ１では、フィラーモデル４Ｍの作成時間を大幅に短縮することができる。

また、フィラーモデル４Ｍは、フィラー４の内部が複数の要素でモデル化される従来の中実状のフィラーモデル（図示省略）に比べて、要素数を減らすことができる。このため、第１の発明の実施形態では、フィラー配合ゴムモデル（図６に示す）を用いたシミュレーションにおいて、計算コストを低減しうる。さらに、フィラーモデル４Ｍは、フィラー４の表面４ｓの形状を忠実に再現できるため、計算精度（シミュレーション精度）を維持しうる。なお、表面４ｓの凹凸を高い精度で定義するために、凹凸が大きいほど、小さな要素６で離散化されるのが望ましい。

フィラーモデル４Ｍの各要素６の番号や節点７の位置座標などは、コンピュータ１に記憶される。さらに、各要素６には、フィラー４（図２に示す）の物性値に基づいた弾性率や減衰係数などの物理量が入力される。これらの物理量は、各要素６の変形計算（フィラー配合ゴムモデルを用いたシミュレーション）に利用される。

フィラーモデル４Ｍは、フィラー４の表面４ｓ（図２に示す）のみがモデル化された中空状に定義されるため、フィラー４の内部まで複数の要素でモデル化される従来の中実状のフィラーモデル（図示省略）に比べて、その剛性が小さく定義される傾向がある。このため、各要素６に入力される物理量には、従来のフィラーモデルの各要素に設定される物理量よりも大きい値が設定されるのが望ましい。これにより、中空状のフィラーモデル４Ｍの剛性を、従来の中実状のフィラーモデルの剛性に近づけることができ、計算精度を向上しうる。例えば、フィラーモデル４Ｍの要素６の弾性率は、中実状のフィラーモデルの要素に設定される弾性率の２倍〜１００倍に設定されるのが望ましい。

次に、コンピュータ１に、図２に示したマトリックスゴム３をモデル化したマトリックスゴムモデルが定義される（工程Ｓ２）。図５は、マトリックスゴムモデル３Ｍを視覚化して示す斜視図である。マトリックスゴムモデル３Ｍは、フィラー配合ゴム２中の少なくともマトリックスゴム３が占めている空間を、有限個の要素９を用いて離散化することで定義されている。好ましい態様では、フィラー配合ゴム２のうち、マトリックスゴム３が占めている第１空間と、フィラー４が占めている第２空間とを合わせた合計空間が、マトリックスゴムモデル３Ｍとして、要素９で離散化される。即ち、この実施形態によれば、フィラー配合ゴム２の解析対象部分の輪郭内の全範囲が、要素９で離散化されている。これにより、マトリックスゴムモデル３Ｍを容易にモデル化することができるため、作成時間を短縮することができる。

要素９としては、本実施形態の三次元構造の場合、三次元要素が用いられる。三次元要素としては、例えば、六面体要素又は四面体要素が好適に用いられる。本実施形態のマトリックスゴムモデル３Ｍは、矩形の輪郭形状を有しているため、単純な六面体要素９ａだけが使用されている。好ましい態様では、マトリックスゴムモデル３Ｍの各要素９は、全て同じ大きさとされている。また、マトリックスゴムモデル３Ｍの各要素９は、フィラーモデル４Ｍの要素６（図４に示す）と同じかそれよりも大きいのが望ましい。これにより、マトリックスゴムモデル３Ｍが、少ない要素数で容易に作成され得る。

必要に応じて、マトリックスゴムモデル３Ｍは、要素９のｘ軸方向、ｙ軸方向、又は、ｚ軸方向の長さを変えることができる。例えば、解析対象領域がｘ軸方向に大きな変形をなすことが経験則から判明している場合、要素９のｘ軸方向の長さを、ｙ軸方向の長さよりも小さくするのが望ましい。これにより、ｘ軸方向の要素９の個数を相対的に増やすことができるため、ｘ軸方向の変形を精度よく計算することができる。

マトリックスゴムモデル３Ｍの各要素９の番号や節点１０の位置座標などは、コンピュータ１に記憶される。さらに、各要素９には、マトリックスゴム３の物性値に基づいた弾性率や減衰係数などの物理量が入力される。これらの物理量は、各要素９の変形計算（フィラー配合ゴムモデルを用いたシミュレーション）に利用される。

工程Ｓ２において、マトリックスゴムモデル３Ｍは、フィラーモデル４Ｍとは独立して定義される。ここで、「独立して定義される」とは、マトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍとが、互いに関連付けられることなく、それぞれ、独自に定義されることを意味している。例えば、マトリックスゴムモデル３Ｍの節点１０は、フィラーモデル４Ｍの節点７と共有される必要がなく、形状を精度よく表現するために任意の位置に定義され得る。

従って、第１の発明では、マトリックスゴムモデル３Ｍ及びフィラーモデル４Ｍが、それぞれに適したサイズ又は形状の要素で離散化され得る。好ましい実施形態では、計算精度を維持するために、フィラーモデル４Ｍは、より小さな要素６で離散化され、フィラー４の表面４ｓの形状が精度よく再現され得る。他の好ましい実施形態では、計算コストを抑制するために、マトリックスゴムモデル３Ｍは、より大きくかつ単純な形状の要素９で離散化され得る。

この実施形態では、工程Ｓ１の後に、工程Ｓ２が実施されるものが例示されたが、これに限定されるわけではない。例えば、工程Ｓ２は、工程Ｓ１よりも先に行われても良く、工程Ｓ１と並列して行われても良い。

次に、マトリックスゴムモデル３Ｍに、フィラーモデル４Ｍが埋め込まれる（モデル埋込工程Ｓ３）。図６は、第１の発明で視覚化されたフィラー配合ゴムモデルの斜視図である。図７は、フィラー配合ゴムモデルの部分拡大図である。

モデル埋込工程Ｓ３では、マトリックスゴムモデル３Ｍ及びフィラーモデル４Ｍの互いの節点７、１０の共有を考慮することなく、マトリックスゴムモデル３Ｍと、フィラーモデル４Ｍとが重ねられる。即ち、モデル埋込工程Ｓ３では、２以上のモデルの相互の重なりが許容されている。マトリックスゴムモデル３Ｍに対するフィラーモデル４Ｍの位置は、解析対象物の配合ゴム等に基づいて定められる。

モデル埋込工程Ｓ３では、さらに、フィラーモデル４Ｍとマトリックスゴムモデル３Ｍとの境界部１１に、相対変形を禁止する拘束条件が与えられる。これにより、コンピュータに、フィラー配合ゴムモデル２Ｍが定義される。

拘束条件は、各モデル３Ｍ、４Ｍの節点７、１０の並進自由度を拘束する条件であり、コンピュータ１によって計算される。このような拘束条件は、コンピュータ１に記憶される。

図７では、マトリックスゴムモデル３Ｍとして二つの要素９が示されている。各要素９の節点１０としては、節点１０ａ、１０ｂ、１０ｃ、１０ｄ、１０ｅ、１０ｆ、１０ｇ及び１０ｈが含まれている。また、フィラーモデル４Ｍの要素６は、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９に埋め込まれる（重ねられる）。この要素６の節点７としては、節点７ａ、７ｂ、７ｃ及び７ｄが含まれている。これらの節点７ａ〜７ｄは、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の内部に位置している。

このように、フィラーモデル４Ｍがマトリックスゴムモデル３Ｍに埋め込まれるので、コンピュータ１は、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の領域内に、フィラーモデル４Ｍの要素６の各節点７ａ〜７ｄが存在しているか否かの判定を行う。この判定が、マトリックスゴムモデル３Ｍの全ての要素９について行われる。

コンピュータ１は、フィラーモデル４Ｍの要素６の各節点７ａ〜７ｄが、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の中に存在していると判断した場合、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９に対するフィラーモデル４Ｍの要素６の各節点７ａ〜７ｄの幾何学的な位置に基づいて、各節点７ａ〜７ｄの重み係数を決定する。重み係数は、フィラーモデル４Ｍの要素６の各節点７ａ〜７ｄから、その周囲のマトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の各節点１０ａ〜１０ｆまでの距離と反比例の関係がある。フィラーモデル４Ｍの要素６の節点７ａ〜７ｄは、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の各節点１０ａ〜１０ｆに近いほど強く拘束される。例えば、フィラーモデル４Ｍの要素６の節点７ｂは、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の節点１０ｄに最も強く拘束される。このように、重み係数を用いることにより、フィラーモデル４Ｍの各要素６において、全ての節点７ａ〜７ｄの自由度（並進自由度）を拘束することができる。

重み係数は、フィラーモデル４Ｍの各要素６の全ての節点７ａ〜７ｄについて、計算される。これにより、マトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍとの間の境界部１１において、両モデル間の相対的な動きが拘束され得る。

以上説明したように、第１の発明では、マトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍとが互いに独立して定義されるため、要素のサイズや節点の共有等を考慮する必要がない。従って、モデル作成の手間が低減する。第１の発明では、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素数の増加を防ぎながら、フィラーモデル４Ｍの表面形状等を精度よくシミュレーションに再現できる。独立してそれぞれ定義されたマトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍとの境界部１１には、拘束条件が与えられているため、節点が共有されていなくても、境界部１１で力や変位が正確に伝達され、計算精度が低下することもない。

図２及び図５に示されるように、この実施形態では、マトリックスゴム３が占めている第１空間と、フィラー４が占めている第２空間とを合わせた合計空間が、マトリックスゴムモデル３Ｍとして離散化されるものが例示されたが、このような態様に限定されるわけではない。例えば、フィラー４が占めている第２空間のうち、フィラー４の表面４ｓが重なる領域と、第１空間とを合わせた合計空間が、マトリックスゴムモデル３Ｍとして、要素９で離散化されてもよい。このようなマトリックスルゴムモデルは、要素９の個数をより少なくすることができるため、計算コストを低減することができる。

次に、本発明の第２の発明の実施形態が説明される。
図８は、第２の発明が対象とするフィラー配合ゴム１５の一例の部分拡大断面図である。この実施形態のフィラー配合ゴム１５は、図２のフィラー配合ゴム２よりもさらに、詳細な構成で表現されている。フィラー配合ゴム１５は、マトリックスゴム３と、フィラー４と、フィラー４とマトリックスゴム３との間の界面層５とを含んでいる。

種々の実験の結果、フィラー４の周囲には、マトリックスゴム３のバルク部分とは異なる力学的性質を示す薄い界面層（ガラス層と呼ばれることもある）５が形成されていることが知られている。第２の発明では、このような界面層５を含む有限要素モデル（フィラー配合ゴムモデル）が作成されるのに適している。

図９は、第２の発明の実施形態に係る有限要素モデルの作成方法の処理手順を示すフローチャートである。この処理手順は、図８のフィラー配合ゴム１５の有限要素モデル（フィラー配合ゴムモデル）を、コンピュータ１を用いて作成するための手順である。

第２の発明の実施形態においても、第１の発明の実施形態の工程Ｓ１及び工程Ｓ２を含んでいる。工程Ｓ１及び工程Ｓ２の内容は、第１の発明の実施形態で説明された通りである。従って、図４に示されるように、第２の発明の実施形態でも、工程Ｓ１において、フィラー配合ゴム１５の中に配置されているフィラー４の表面４ｓのみが、複数の二次元の要素６で分割（離散化）される。これにより、第２の発明の実施形態では、第１の発明の実施形態と同様に、フィラー４の表面４ｓから内部まで離散化していた従来の方法に比べて、容易に離散化することができるため、計算精度を維持しつつ、フィラーモデル４Ｍの作成時間を大幅に短縮することができる。また、フィラーモデル４Ｍは、フィラー４の内部が複数の要素でモデル化される従来の中実状のフィラーモデル（図示省略）に比べて、要素数を減らすことができるため、フィラー配合ゴムモデル（図６に示す）を用いたシミュレーションにおいて、計算コストを低減しうる。

また、第２の発明の実施形態において、工程Ｓ２では、マトリックスゴム３が占めている第１空間と、フィラー４が占めている第２空間と、界面層５が占めている第３空間とを合わせた合計空間が、マトリックスゴムモデル３Ｍとして、要素９で離散化されるのが望ましい。即ち、この実施形態においても、図５に示されるように、フィラー配合ゴム１５の解析対象部分の輪郭内の全範囲が要素６で離散化されている。

次に、第２の発明の実施形態では、コンピュータ１に、フィラー４の回りを取り囲む少なくとも１層の界面層５を有限個の要素で離散化した界面層モデルが定義される（工程Ｓ４）。

図１０（ａ）は、界面層モデル５Ｍを視覚化して示す斜視図である。図１０（ｂ）は、図１０（ａ）のＣ部拡大図である。界面層モデル５Ｍは、図８に示したフィラー配合ゴム１５の中で界面層５が占めている三次元空間（第３空間）にほぼ等しい空間が、複数の要素１６で分割（離散化）されたものである。本実施形態の界面層モデル５Ｍは、球状の外形を有している。また、界面層モデル５Ｍは、図８に示したフィラー４が占めている第２空間にほぼ等しい空間に、空間を有する中空状に定義される。

要素１６としては、本実施形態の三次元構造の場合、例えば、三次元要素が用いられる。三次元要素としては、例えば、六面体要素１６ａ又は四面体要素１６ｂが好適に用いられる。この実施形態では、六面体要素１６ａ及び四面体要素１６ｂが使用されているため、滑らかな球状の外形を有した界面層モデル５Ｍを定義することができる。

界面層モデル５Ｍの各要素１６の番号や節点１７の位置座標などは、コンピュータ１に記憶される。さらに、各要素１６には、界面層５（図８に示す）の物性値（例えば、マトリックスゴムよりも硬い物性値等）に基づいた弾性率や減衰係数などの物理量が入力される。これらの物理量は、各要素１６の変形計算（フィラー配合ゴムモデルを用いたシミュレーション）に利用される。

なお、界面層モデル５Ｍは、後述するモデル埋込工程Ｓ５において、マトリックスゴムモデル３Ｍに埋め込まれる。このため、界面層モデル５Ｍの物性値は、フィラー配合ゴムモデルにおいて、本工程Ｓ４で設定された物性値と、マトリックスゴムモデル３Ｍの物性値との和で定義される。従って、工程Ｓ４において、界面層モデル５Ｍに設定される物性値は、界面層５（図８に示す）の物性値から、マトリックスゴムモデル３Ｍに設定された物性値を減じた値が設定されるのが望ましい。これにより、フィラー配合ゴムモデルでの界面層モデル５Ｍの物性値を、実際の界面層５に近似させることができる。

工程Ｓ４において、界面層モデル５Ｍは、図４に示すフィラーモデル４Ｍ、及び、図５に示すマトリックスゴムモデル３Ｍとは独立して定義される。工程Ｓ４において、「独立して定義される」とは、界面層モデル５Ｍは、マトリックスゴムモデル３Ｍ及びフィラーモデル４Ｍと、互いに関連付けられることなく、独自に定義されることを意味している。従って、界面層モデル５Ｍの各節点１７は、マトリックスゴムモデル３Ｍの節点７及びフィラーモデル４Ｍの節点１０のいずれとも共有される必要がなく、任意の位置に定義され得る。従って、モデルの作成自由度が向上する。

次に、第２の発明の実施形態では、マトリックスゴムモデル３Ｍに、フィラーモデル４Ｍと界面層モデル５Ｍとが埋め込まれる（モデル埋込工程Ｓ５）。図１１は、第２の発明で視覚化されたフィラー配合ゴムモデルの斜視図である。この図では、界面層モデル５Ｍを着色して表示している。

モデル埋込工程Ｓ５では、マトリックスゴムモデル３Ｍとフィラーモデル４Ｍと界面層モデル５Ｍが、図８に示したフィラー配合ゴム１５に基づいた位置でそれぞれ重ねられる。

モデル埋込工程Ｓ５では、さらに、フィラーモデル４Ｍと界面層モデル５Ｍとの間の第１境界部１９の拘束条件と、界面層モデル５Ｍとマトリックスゴムモデル３Ｍとの間の第２境界部２０の拘束条件とがそれぞれ与えられる。これにより、フィラー配合ゴムモデル１５Ｍが定義される。第１境界部１９の拘束条件を定義する方法については、第１の発明の実施形態と同一である。

第２境界部２０の拘束条件を定義する方法についても、第１の発明の実施形態と同様に、コンピュータ１によって、界面層モデル５Ｍの各節点１７が、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９の中に存在していると判断された場合、マトリックスゴムモデル３Ｍの要素９に対する界面層モデル５Ｍの要素１６の各節点１７の幾何学的な位置に基づいて、各節点１７の重み係数が決定される。このように、重み係数を用いることにより、界面層モデル５Ｍの各要素１６において、全ての節点１７の自由度（並進自由度）を拘束することができる。重み係数は、界面層モデル５Ｍの各要素１６の全ての節点１７について計算される。これにより、マトリックスゴムモデル３Ｍと界面層モデル５Ｍとの間の境界部２０において、両モデル間の相対的な動きが拘束され得る。

本実施形態では、界面層モデル５Ｍの物性値が、フィラーモデル４Ｍの物性値よりも小に設定されている。このため、界面層モデル５Ｍの各節点１７の重み係数と、フィラーモデル４Ｍの各節点７の重み係数とを同一にしても、界面層モデル５Ｍのマトリックスゴムモデル３Ｍに対する相対的な動きを一部許容でき、界面層５の挙動を効果的に再現することができる。

また、界面層モデル５Ｍの各節点１７の重み係数は、フィラーモデル４Ｍの各節点７（図４に示す）の重み係数よりも小さく設定してもよい。これにより、界面層モデル５Ｍのマトリックスゴムモデル３Ｍに対する相対的な動きをさらに許容することができる。なお、界面層モデル５Ｍの各節点１７の重み係数が小さすぎると、マトリックスゴムモデル３Ｍと界面層モデル５Ｍとを十分に拘束できなくなり、フィラー配合ゴムモデル１５Ｍの大変形時に、マトリックスゴムモデル３Ｍと界面層モデル５Ｍとの重複部分が、界面層モデル５Ｍからはみ出る（マトリックスゴムモデル３Ｍが増加する）おそれがある。

第２の発明でも、マトリックスゴムモデル３Ｍ、フィラーモデル４Ｍ及び界面層モデル５Ｍが互いに独立して定義されているため、節点を共有させる等の手間が削減される。第２の発明では、要素数の増加を防ぎながら、フィラーモデル４Ｍや界面層モデル５Ｍの表面形状等を精度よくシミュレーションに再現できる。さらに、独立してそれぞれ定義されたマトリックスゴムモデル３Ｍ、フィラーモデル４Ｍ及び界面層モデル５Ｍの各境界部１９、２０には、拘束条件が与えられているため、節点が共有されていなくても、各境界部１９、２０で力や変位の伝達が確実に行われ、計算精度を損ねることもない。

上述した第１の発明及び第２の発明の各実施形態では、各フィラー配合ゴムモデル２Ｍ、１５Ｍが、三次元モデルである場合が例示されたが、２次元モデルとして定義されてもよい。この場合、フィラーモデル４Ｍは、一次元の線要素（図示省略）を用いて、フィラー４の表面４ｓのみが離散化されるのが望ましい。また、マトリックスゴムモデル３Ｍ及び界面層モデル５Ｍは、四辺形要素又は三角形要素（図示省略）を用いて離散化されるのが望ましい。

以上、本発明の特に好ましい実施形態について詳述したが、本発明は図示の実施形態に限定されることなく、種々の態様に変形して実施しうる。

図３に示した手順に従って、フィラー配合ゴム（図２に示す）をモデル化したフィラー配合ゴムモデル（図５に示す）が定義された（実施例）。そして、シミュレーションソフトＬＳ−ＤＹＮＡを用いて、実施例のフィラー配合ゴムモデルの変形計算（ｙ軸方向に３５％伸張）が実施された。実施例のフィラー配合ゴムモデルの歪分布を、図１２に示す。

また、比較のために、従来の方法に基づいて、フィラーの表面から内部にかけて複数の要素でモデル化される中実のフィラーモデルがモデル化され、該フィラーモデルを含むフィラー配合ゴムモデル（図示省略）が定義された（比較例）。そして、上記シミュレーションソフトを用いて、実施例のフィラー配合ゴムモデルと同様に、比較例のフィラー配合ゴムモデルの変形計算が実施された。比較例のフィラー配合ゴムモデルの歪分布を、図１３に示す。

テストの結果、実施例のフィラー配合ゴムモデルをモデル化するのに要した時間は、比較例のフィラー配合ゴムモデルをモデル化するのに要した時間の５０％であった。従って、実施例の作成方法では、比較例の作成方法に比べて、フィラー配合ゴムモデルを短時間で作成できることが確認できた。

また、実施例のフィラー配合ゴムモデルを変形させるのに要した計算時間は、比較例のフィラー配合ゴムモデルを変形させるのに要した計算時間の９０％であった。従って、実施例のフィラー配合ゴムモデルは、比較例のフィラー配合ゴムモデルに比べて、計算コストを低減しうることが確認できた。

図１２及び図１３に示されるように、実施例のフィラー配合ゴムモデルの歪分布は、比較例のフィラー配合ゴムモデルの歪分布と、ほぼ同一であることが確認できた。従って、実施例のフィラー配合ゴムモデルは、計算精度を維持しうることが確認できた。

２ フィラー配合ゴム
２Ｍ フィラー配合ゴムモデル
３ マトリックスゴム
３Ｍ マトリックスゴムモデル
４ フィラー
４Ｍ フィラーモデル
６、９ 要素
７、１０ 節点

Claims (6)

1. マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデルを、コンピュータを用いて作成するための方法であって、
   前記フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、
   少なくとも前記マトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、
   前記マトリックスゴムモデルに、前記フィラーモデルを、埋め込むモデル埋込工程とを含み、
   前記モデル埋込工程では、前記マトリックスゴムモデルと前記フィラーモデルとが、互いの前記要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、
   前記フィラーモデルと前記マトリックスゴムモデルとの境界部に、拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義されることを特徴とするフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
2. 前記マトリックスゴムモデルは、前記マトリックスゴムが占めている第１空間と、前記フィラーが占めている第２空間とを合わせた合計空間を有している請求項１記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
3. 前記フィラー配合ゴムモデルは、三次元モデルからなり、
   前記フィラーの表面は、二次元要素で離散化され、
   前記空間は、三次元要素で離散化される請求項１又は２記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
4. マトリックスゴム中にフィラーが分散配置されたフィラー配合ゴムの有限要素モデルを、コンピュータを用いて作成するための方法であって、
   前記フィラーの表面のみを有限個の要素を用いて離散化したフィラーモデルを定義する工程と、
   少なくとも前記マトリックスゴムが占めている空間を有限個の要素を用いて離散化したマトリックスゴムモデルを前記フィラーモデルとは独立して定義する工程と、
   前記フィラーの回りを取り囲む少なくとも１層の界面層を有限個の要素で離散化した界面層モデルを前記フィラーモデル及び前記マトリックスゴムモデルとは独立して定義する工程と、
   前記マトリックスゴムモデルに、前記フィラーモデルと前記界面層モデルとを、埋め込むモデル埋込工程とを含み、
   前記モデル埋込工程では、前記マトリックスゴムモデル、前記フィラーモデル及び前記界面層モデルが、互いの前記要素の節点の共有を考慮することなく重ねられるとともに、
   前記フィラーモデルと前記界面層モデルとの間の境界部、及び、前記界面層モデルと前記マトリックスゴムモデルとの間の境界部に、それぞれ拘束条件を与えてフィラー配合ゴムモデルが定義されることを特徴とするフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
5. 前記マトリックスゴムモデルは、前記マトリックスゴムが占めている第１空間と、前記フィラーが占めている第２空間と、前記界面層が占めている第３空間とを合わせた合計空間を有している請求項４記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。
6. 前記フィラー配合ゴムモデルは、三次元モデルからなり、
   前記フィラーの表面は、二次元要素で離散化され、
   前記空間は、三次元要素で離散化され、
   前記界面層は、三次元要素で離散化される請求項４又は５記載のフィラー配合ゴムの有限要素モデルの作成方法。