JP5503618B2 - ゴム材料のシミュレーション方法 - Google Patents

Description

本発明は、ゴム材料のシミュレーション方法に関し、詳しくは、ゴム材料モデルの作成時間の短縮化を図りつつ、大変形の計算が可能なシミュレーション方法に関する。

試作の手間とコストとを減じるために、ゴム材料の変形過程などを予めコンピュータを用いてシミュレーションすることが行われている。とりわけ、ゴム材料には、補強材として、カーボンやシリカといったフィラーが配合されており、近年では、このようなフィラーを含んだゴム材料のシミュレートする方法が種々提案されている（下記の特許文献１乃至９参照）。

また、ゴム材料のシミュレーション方法には、大きく分けて二次元のシミュレーションと三次元のシミュレーションとがある。

二次元のシミュレーションについては、例えば、顕微鏡で撮影されたゴム材料の断面画像に基づいて、例えば図８（ａ）に示されるような２次元のゴム材料モデル（有限要素モデル）ａ１が使用される。

該ゴム材料モデルａ１には、ゴムマトリックスを模しているマトリックスモデルｂ１と、前記マトリックスゴムｂ１中に分散配置されたフィラーを模しているフィラーモデルｃ１とが小さい二次元の要素ｅ１を用いて定義される。そして、各マトリックスモデルｂ１及びフィラーモデルｃ１には、それぞれに物性値等が定義され、予め定められた条件に従い変形計算（シミュレーション）が行われる。このような二次元のゴム材料モデルａ１は、三次元のモデルに比して、作成が比較的容易であるが、各要素ｅ１の節点は、ｘ及びｙ方向、即ち二次元平面内のみ移動でき、該二次元平面と直交するゴム材料モデルａ１の厚さ方向（ｚ方向）の自由度はない。

一方、三次元のシミュレーションでは、例えば、ＣＴ画像測定により厚さ方向に連続する複数の三次元面画像からゴム材料の内部立体構造が構築され、このような三次元構造に基づいて、例えば、図８（ｂ）に示されるような３次元のゴム材料モデルａ２が作成される。

該ゴム材料モデルａ２では、マトリックスモデルｂ２とフィラーモデルｃ２とが小さい三次元の要素ｅ２を用いて離散化される。このような三次元のゴム材料モデルａ２は、二次元モデルに比べると、作成時間がかかる反面、各要素ｅ２の節点は、ｘ、ｙ及びｚの三次元の自由度を持つため、比較的大きな変形のシミュレーションが可能である。

特開２００５−１２１５３５号公報 特開２００５−１４６１４６号公報 特開２００６−１９３５６０号公報 特開２００８−１２２１５４号公報 特開２００９−２１６６１２号公報 特開２００９−２７６１４７号公報 特開２００９−２８２５６９号公報 特開２０１０−２０５１６５号公報 特開２０１０−４９４１４号公報

ところで、上述のようなゴム材料モデルａ１又はａ２を用いた変形シミュレーションにおいて、例えば、フィラーの充填率の増加やフィラーの分散状態の関係で、ゴム材料モデルの一部に局所的に大きな変形が生じると、計算が途中で中断されることがある。特に変形の自由度が小さい二次元のゴム材料モデルａ１を使用した場合、変形の進行に伴い、要素ｅ１の歪が大きくなって変形計算の続行が不可能になることがしばしばある。

このように、二次元シミュレーションは、三次元シミュレーションに比べると、モデル作成時間は短縮できるが、変形に対して計算が脆弱である。したがって、ゴム材料モデルａ１、ａ２において、フィラーの体積率が同一の場合、明らかに三次元モデルの方が大きな変形をシミュレートすることが可能である。この原因について、詳細には分かっていないが、二次元平面歪の場合、要素の節点の移動が平面内に限られることに関連していると考えられる。

本発明は、以上のような問題点に鑑み案出なされたもので、ゴム材料モデルの作成時間の短縮化を図りつつ、大変形のシミュレーション計算が可能なゴム材料のシミュレーション方法を提供することを課題としている。

本発明のうち請求項１記載の発明は、コンピュータ装置を用いてフィラーが配合されたゴム材料の変形をシミュレートするゴム材料のシミュレーション方法であって、
前記コンピュータ装置が、前記ゴム材料を数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデルを設定するステップと、
前記コンピュータ装置が、設定された条件に基づいて、前記ゴム材料モデルの変形計算を行うステップと、
前記コンピュータ装置が、前記変形計算から必要な物理量を取得するステップとを含み、
前記ゴム材料モデルは、厚さを有した三次元のモデルからなり、かつ、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラーをモデル化したフィラーモデルとを少なくとも含み、
しかも前記ゴム材料モデルは、前記厚さ方向に同一断面形状が連続しており、
前記ゴム材料モデルを設定するステップは、
ｘ−ｙ二次元座標上に、前記マトリックスモデル及び前記フィラーモデルを設定した二次元モデルを設定するステップと、
前記二次元モデルの各節点を厚さ方向であるｚ方向に少なくとも１つ複写するステップと、
前記複写された節点と前記二次元モデルの節点とを繋いで前記三次元のゴム材料モデルを設定するステップとを含み、
前記複写するステップは、前記二次元モデルの各節点をｚ方向に少なくとも２つ複写するステップを有することにより、前記三次元のゴム材料モデルは、前記厚さ方向の一方の面及び他方の面に表れる表面節点と、これらの表面節点に挟まれる内部節点とを有し、
前記表面節点に、厚さ方向に移動不能な条件を定義し、かつ、前記内部節点に、厚さ方向に移動可能な条件を定義するステップをさらに含むことを特徴とする。

本発明のシミュレーション方法で用いられるゴム材料モデルは、厚さを有した三次元のモデルからなり、かつ、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラーをモデル化したフィラーモデルとを少なくとも含んでいる。このような三次元のゴム材料モデルは、要素の節点の変形自由度が二次元のそれに比べて大きいため、大きな変形計算が可能になる。また、本発明で用いられるゴム材料モデルは、厚さ方向に同一断面形状が連続している。このようなゴム材料モデルは、二次元座標上に、前記マトリックスモデル及び前記フィラーモデルを設定した二次元モデルを設定し、これを厚さ方向に複写して容易に作成しうるため、三次元モデルでありながらもモデルの作成時間を短縮できる。従って、本発明のシミュレーション方法によれば、ゴム材料モデルの作成時間の短縮化を図りつつ、大変形のシミュレーション計算が可能になる。

本実施形態で用いたコンピュータ装置の一例を示す斜視図である。 本実施形態の処理手順を示すフローチャートである。 ゴム材料モデルの設定ステップの手順を示すフローチャートである。 ゴム材料モデル（微視構造）の一実施形態を示す線図である。 ゴム材料モデルの設定ステップを概念的に示すブロック図である。 三次元のゴム材料モデルの斜視図である。 ゴム材料モデルのシミュレーション結果として、応力−ひずみとの関係を示すグラフである。 （ａ）は二次元のゴム材料モデル、（ｂ）は三次元のゴム材料モデルをそれぞれ示す線図である。

以下、本発明の実施の一形態が図面に基づき説明される。
本発明は、フィラーが配合されたゴム材料の変形をシミュレートするゴム材料のシミュレーション方法である。

前記フィラーとしては、例えば、例えば、カーボンブラック、シリカ、クレー、タルク、炭酸マグネシウム又は水酸化マグネシウム等が挙げられる。

前記ゴム材料としては、例えば、天然ゴム（ＮＲ）、イソプレンゴム（ＩＲ）、ブチルゴム（ＩＩＲ）、ブタジエンゴム（ＢＲ）、スチレンブタジエンゴム（ＳＢＲ）、スチレンイソプレンブタジエンゴム（ＳＩＢＲ）、エチレンプロピレンジエンゴム（ＥＰＤＭ）、クロロプレンゴム（ＣＲ）又はアクリロニトリルブタジエンゴム（ＮＢＲ）などが挙げられる。

図１には、本発明のシミュレーション方法を実施するためのコンピュータ装置１が示されている。このコンピュータ装置１は、本体１ａと、入力手段としてのキーボード１ｂ、マウス１ｃと、出力手段としてのディスプレイ装置１ｄとから構成されている。本体１ａには、図示していないが、演算処理装置（ＣＰＵ）、ＲＯＭ、作業用メモリー、磁気ディスクなどの大容量記憶装置、ＣＤ−ＲＯＭやフレキシブルディスクのドライブ１ａ１、１ａ２が設けられている。そして、前記大容量記憶装置には後述する本発明のシミュレーション方法を実行するための処理手順（プログラム）が記憶されている。

図２には、上記コンピュータ装置１を用いたシミュレーション方法の処理手順の一例が示される。本実施形態では、先ずゴム材料モデルが設定され、コンピュータ装置１に入力される（ステップＳ１）。

図３には、このようなゴム材料モデルを設定する手順がさらに詳しく示される。本実施形態のゴム材料モデルの設定方法は、ｘ−ｙ二次元座標上に、マトリックスモデル及びフィラーモデルを設定した二次元モデルが設定される（ステップＳ１１）。

図４には、このような二次元モデルＭ２の一例が示されている。該二次元モデルＭ２は、解析しようとするゴム材料（実在するか否かを問わない）の微小領域が、有限個の小さな要素２ａ、２ｂ、２ｃ…を用いて離散化されたものである。各要素２ａ、２ｂ、２ｃ…には、例えば、２次元平面としての三角形ないし四辺形の要素が好ましく用いられる。各要素は、いずれも節点と、該節点間を繋ぐ辺とから構成される。また、この二次元モデルＭ２は、ゴムの任意の領域の微視構造を表しており、その一辺の長さは、例えば縦横それぞれ３００nm×３００nmとされている。

また、二次元モデルＭ２には、ゴムマトリックス部分がモデル化されたマトリックスモデル３（グレーの部分）と、このマトリックスモデル３の中に分散して配されかつフィラー（充填材）がモデル化されたフィラーモデル４（白い部分）とを少なくとも含んでいる。

前記マトリックスモデル３は、二次元モデルＭ２の主要部を構成している。また、フィラーモデル４は、マトリックスモデル３中に、予め定められた充填率に従い、分散して配置されている。本実施形態のフィラーモデル４は、球形の粒子が複数個連結したような形状で定義されているが、このような形状に限定されるものではない。また、必要に応じて、前記マトリックスモデル３と前記フィラーモデル４との間に介在しかつ両者の間の界面を形成する厚さが小さい界面モデル（図示省略）などを設けることもできる。

次に、本実施形態では、前記二次元モデルＭ２の各節点を、厚さ方向であるｚ方向に少なくとも１つ複写するステップが行われる（ステップＳ１２）。このようなステップは、図５（ａ）乃至（ｃ）に時系列的に示されている。先ず、図５（ａ）には、前記二次元モデルＭ２が簡略化して示される。該二次元モデルＭ２には複数個の節点ｅ１が含まれている。次に、図５（ｂ）には、前記二次元モデルＭ２の各節点ｅ１が、厚さ方向であるｚ方向に少なくとも１つ、この例では、それぞれ距離を異ならせて２つ複写された状態が示される。これにより、二次元モデルＭ２からｚ方向にそれぞれ異なる距離を隔てて新たな節点ｅ２及びｅ３が形成される。なお、節点ｅ２同士、及び、節点ｅ３同士は、それぞれ二次元モデルＭ２と同様に辺にて連結されている（つまり、新たな２つの二次元モデルが、元の二次元モデルＭ２からｚ方向にオフセットされて形成される。）。

次に、図５（ｃ）に示されるように、次に、前記複写された節点ｅ２、ｅ３と、これに対応する各々の前記二次元モデルＭ２の節点とを繋いで前記三次元のゴム材料モデルＭ３を設定するステップが行われる（ステップＳ１３）。即ち、ｚ方向で隣り合う節点ｅ１、ｅ１及びｅ３をそれぞれ繋ぐことにより、多数の三次元の要素で構成された三次元のゴム材料モデルＭ３が形成される。このような三次元のゴム材料モデルＭ３は、前記厚さ方向（ｚ方向）に同一断面形状が連続するものとして構成される。

これにより、本実施形態の前記三次元のゴム材料モデルＭ３は、前記厚さ方向（ｚ方向）の一方の面Ｐ１及び他方の面Ｐ２に表れる表面節点ｅ１、ｅ３と、これらの表面節点ｅ１、ｅ３に挟まれる内部節点ｅ２とを有する。

さらに、本実施形態では、前記表面節点ｅ１、ｅ３に、厚さ方向（ｚ方向）に移動不能な条件を定義する（ただし、ｘ及びｙ方向は移動可能とする）一方、前記内部節点ｅ２に、厚さ方向に移動可能（即ち、三次元に移動可能）な条件を定義する処理が含まれる（ステップＳ１４、Ｓ１５）。従って、このような三次元のゴム材料モデルＭ３は、厚さ方向の要素数が増えることになるため、三次元に動くことが可能な節点が増えることにより、収束解が得られやすくなり、ひいては大きな変形まで計算することができる。

なお、図４の二次元モデルＭ２を用いて上記手順によって得られた詳細な三次元のゴム材料モデルＭ３は、図６に示される。

次に、新たに生成された三次元の各要素には、物性値等が入力される（ステップＳ１６）。即ち、マトリックスモデル３を構成する要素についてはマトリックスゴムの物性値が、またフィラーモデル４を構成する要素についてはフィラーの物性値がそれぞれ入力される（ステップＳ１６）。

次に、変形シミュレーションを実行するために必要な各種の条件等が設定される（ステップＳ２）。設定される条件としては、上記三次元のゴム材料モデルＭ３を変形させるための変形条件が挙げられる。本実施形態では、図６のｙ方向に任意の平均ひずみ速度を加えてゴム材料モデルＭ３に引張変形を与える条件が定義される。ただし、変形条件は種々定めうるのは言うまでもない。

次に本実施形態のシミュレーション方法では、上述のように設定された三次元のゴム材料モデルＭ３と、設定された条件に基づいて、変形シミュレーションが行われる（ステップＳ３）。変形シミュレーション（変形計算）は、例えば有限要素法を用いたエンジニアリング系の解析アプリケーションソフトウエア（例えば米国リバモア・ソフトウェア・テクノロジー社で開発・改良されたＬＳ−ＤＹＮＡ等）を用いて行うことができる。

また、本シミュレーションは、均質化法（漸近展開均質化法）に基づいて行われる。均質化法は、図６に示した微視構造であるゴム材料モデルＭ３（均質化法では「ユニットセル」とも呼ばれる）を周期的に持っているゴム材料全体を表現する変数ｘi と、前記微視構造を表現するｙi との独立した２変数が用いられ、微視的スケールと巨視的スケールという異なる尺度の場におけるそれぞれ独立した変数を漸近展開することにより、図６に示した微視構造のモデル構造を反映させたゴム材料全体の平均的な力学応答を近似的に求めることができる。

前記変形計算が行われると、その結果から必要な物理量を取得することができる（ステップＳ４）。本実施形態では、物理量として、応力と歪の関係が出力される。また、前記ゴム材料モデルＭ３の各要素の時系列的な変形状態や物理量の分布を視覚化して表示することもできる。

図７には、このような三次元のゴム材料モデルＭ３を用いて引っ張り試験を行った結果が示される。実施例には、図６に示した三次元のゴム材料モデルＭ３が用いられ、比較例には、図４に示した二次元のゴム材料モデルＭ２が用いられた。いずれも、均質化法を用い、同一の歪速度１００mm／minでｙ軸方向の引張変形を与えた。なお、均質化法では、特開２０１０−２０５１６５号と同様、巨視領域２０mm×２０mmとし、最大変形量を２mm（最大ひずみ１０％）とした。

図７から明らかなように、比較例では、約２％の歪で計算がストップしたが、実施例では約１０％の歪までストップすることなく変形計算が可能であった。この理由としては、三次元のゴム材料モデルＭ３では、内部節点がｚ方向に移動しうる自由度を有するため。計算の安定性が増しているためと推察される。なお、実施例のモデルの作成時間については、比較例のモデルの作成時間と同様であった。

１ コンピュータ装置
２ ゴム材料モデル
３ マトリックスモデル
４ フィラーモデル
５ 界面モデル

Claims (1)

1. コンピュータ装置を用いてフィラーが配合されたゴム材料の変形をシミュレートするゴム材料のシミュレーション方法であって、
   前記コンピュータ装置が、前記ゴム材料を数値解析が可能な要素でモデル化したゴム材料モデルを設定するステップと、
   前記コンピュータ装置が、設定された条件に基づいて、前記ゴム材料モデルの変形計算を行うステップと、
   前記コンピュータ装置が、前記変形計算から必要な物理量を取得するステップとを含み、
   前記ゴム材料モデルは、厚さを有した三次元のモデルからなり、かつ、ゴムマトリックスをモデル化したマトリックスモデルと、フィラーをモデル化したフィラーモデルとを少なくとも含み、
   しかも前記ゴム材料モデルは、前記厚さ方向に同一断面形状が連続しており、
   前記ゴム材料モデルを設定するステップは、
   ｘ−ｙ二次元座標上に、前記マトリックスモデル及び前記フィラーモデルを設定した二次元モデルを設定するステップと、
   前記二次元モデルの各節点を厚さ方向であるｚ方向に少なくとも１つ複写するステップと、
   前記複写された節点と前記二次元モデルの節点とを繋いで前記三次元のゴム材料モデルを設定するステップとを含み、
   前記複写するステップは、前記二次元モデルの各節点をｚ方向に少なくとも２つ複写するステップを有することにより、前記三次元のゴム材料モデルは、前記厚さ方向の一方の面及び他方の面に表れる表面節点と、これらの表面節点に挟まれる内部節点とを有し、
   前記表面節点に、厚さ方向に移動不能な条件を定義し、かつ、前記内部節点に、厚さ方向に移動可能な条件を定義するステップをさらに含むことを特徴とするゴム材料のシミュレーション方法。

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