KR101524260B1 - 금형 충전 공정의 시뮬레이션에서 입자들의 통계적인 배향 분포를 나타내기 위한 방법 및 장치 - Google Patents

Abstract

많은 수의 비구형 입자들을 담고 있는 현탁액으로 주형 공동부가 채워지는 공정의 시뮬레이션에서 비구형 입자들의 통계적인 배향 분포를 나타내기 위한 방법과 장치. 상기 방법과 장치는 섬유 강화 금속 제품을 제조하기 위한 금속 주조 공정의, 또는 섬유 강화 성형 폴리머 부품을 제조하기 위한 사출 성형 공정의 해석에 적용될 수 있다. 이러한 해석들의 결과는 부품의 인장력 및 휨을 결정하는데, 그리고 제조 공정에서 사용된 공정 조건들을 최적화하는데 사용될 수 있다.

Description

금형 충전 공정의 시뮬레이션에서 입자들의 통계적인 배향 분포를 나타내기 위한 방법 및 장치 {Method and apparatus for describing the statistical orientation distribution of particles in a simulation of a mould filling process}

본 발명은 주형 공동부(mould cavity) 내로의 입자 함유 현탁액(suspension)의 유동을 3차원 모델링하는 분야에 관한 것으로, 더욱 상세하게는 많은 수의 비구형 입자(non-spherical particle)들을 담고 있는 현탁액으로 주형 공동부가 채워지는 공정의 시뮬레이션에서 비구형 입자들의 통계적인 배향 분포를 나타내기 위한 방법 및 장치에 관한 것이다.

사출 성형 공정(injection moulding process) 또는 금속 주조 공정(metal casting process)의 실제 3-D 시뮬레이션은 수십만 개까지의 방정식들의 결합을 수반한다. 과거에는 이러한 복잡한 계산들을 처리하기 위한 시뮬레이션 방법들의 효율성을 향상시키기 위한 진전이 이루어져 왔다. 현대적인 워크스테이션의 처리 능력과 최적화된 소프트웨어로, 그러한 시뮬레이션들은 작업장 내에서 수행될 수 있다. 즉, 그 결과들은 순수 과학 연구 구역 밖에서 적절할 정도로 충분히 빠르게 얻어지며 사출 성형 제품들의 연구개발부서, 주조 및 제조업자의 엔지니어들에 의해 적용될 수 있다.

섬유와 같은 입자들이 폴리머 합성물에 첨가되고 상기 섬유들의 배향 분포가 표시될 필요가 있을 때, 시뮬레이션 및 그에 속하는 방정식 세트는 훨씬 더 복잡하게 된다. 시뮬레이션의 복잡성은 현재의 워크스테이션 상에서 수용 가능한 결과들을 가능하지 못하게 하였으며, 소요 시간이 너무 길었거나 또는 시뮬레이션의 정확성이 부적합하였기 때문에, 그러한 공정의 실제 3-D 시뮬레이션은 지금까지 작업장에서 성공적으로 도입되지 않았었다.

섬유 강화 부품(fibre reinforced part)들에서, 소자의 인장력(tension) 및 휨(warping) 양태를 예측 가능하게 하는 섬유 배향 분포의 상세한 표시를 개발 엔지니어들이 갖는 것이 종종 중요하다. 통상적으로 섬유는 플라스틱 부품들이 기계적인 특성을 향상시키는데 사용된다. 그러나 한편으로는 (열팽창, 강도(strength) 및 경도(stiffness)와 같은) (열적-) 기계적인 특성들은 섬유들의 배향에 의존한다.

사출 성형 플라스틱 소자들의 사용은 최근 많은 산업들에서 꾸준하게 증가하여 왔다. 전자 장비, 소비자 제품, 의료 장비 및 자동차 부품들의 제조업자들은 플라스틱으로 된 제품들 및 그 제품들에 사용된 소자들을 전에 비해 점점 더 많이 제조하고 있다.

사출 성형 섬유 강화 부품(injection moulded fibre reinforced part)들은 향상된 강도/중량비, 내구성, 구성요소의 융화 및 저비용을 제공하기 때문에 구조적인 금속 성분들을 대체하고 있다.

그와 동시에, 경쟁 압력은 플라스틱 사출 성형 산업의 제조업자들이 설계들을 제조 공정에 더욱 잘 맞추기 위하여 설계들을 최적화하는 새로운 방법을 찾도록 하게 하고 있다. 설계 개발 과정에서 소자 또는 주형 구성의 변형에 대한 필요가 늦게 발견될 때, 필요한 변화를 구현하기 위한 지연 및 그와 연관된 비용은 설계 개발 단계의 보다 이른 단계에서 발견되었을 때보다 크게 높다.

자신의 소자들이 제조 가능하며 최적으로 수행할 것을 보장하기 원하는 회사들은, 제조 공정을 더욱 잘 이해하고 그 지식을 설계 단계에서 일찍 소자 설계에 결합시키기 위하여, 사출 금형(injection mould)에서의 복잡한 유동 및 결과적인 섬유 배향을 시뮬레이션 하거나 모델링 하기 위한 컴퓨터 지원 공학 기술(computer aided engineering technique)을 이용하기 원한다.

섬유 강화 소자를 위한 사출 금형 및 거기서 제조될 섬유 강화 소자를 설계할 때 고려되어야 할 요소들이 많이 있다. 전체적인 소자의 기하학적 형상, 최소 및 최대 벽 두께, 액체 폴리머와 섬유 현탁액이 주입되는 금형 내의 입구들의 개수와 위치, 캐비티(cavity) 내의 가스가 나오기 위한 금형 내의 통기공(vent)들의 개수와 위치, 폴리머의 조성과 특성, 섬유의 특성과 양, 수축, 공차(allowance) 및 섬유 배향 분포와 같은 파라미터들이 다수 있다. 밀접하게 상관된 관계로 인하여, 소자 및 금형 설계는 순수하게 최종 소자의 형태와 기능만을 기초로는 신뢰성 있게 할 수 없으며, 제조 공정의 영향도 또한 고려해야 한다.

제조에 대한 전통적인, 비용이 많이 드는 시행착오 접근법이 실질적으로 제거될 수 있도록, 사출 성형 공정 동안 금형 캐비티 내에서 발생하기 쉬운 것에 대 한 가상의 그리고 수치적인 피드백을 설계 및 제조 엔지니어들에게 제공하여, 심사숙고된 소자 설계의 작용을 그들이 더 잘 이해하고 예측하도록 하는데 컴퓨터 지원 공학 시뮬레이션이 유리하게 사용될 수 있다. 컴퓨터 지원 공학 시뮬레이션의 사용은 설계 단계 동안 소자 설계, 금형 설계 및 제조 공정 파라미터들을 최적화하는 것을 용이하게 하며, 여기서 필요한 변화들은 최소의 비용으로 일정에 대한 영향을 주면서 쉽게 구현될 수 있다.

섬유 강화 소자를 위한 공학적 공정에서 컴퓨터 지원 공학(CAE) 시뮬레이션 기술의 응용은, (i) 유체 유동 및 열 전달의 계산을 포함하는 "사출 성형" 제조 공정의 시뮬레이션 및 (ii) 외부 부하 하에서 소자의 기능적 기계적 특성들을 결정하기 위한 이들 소자들에 대하여, 거시적인 레벨에서 모두 수행되는 변형력 & 강도(및 가능한 내구성)의 계산을 포괄한다. 두 타입의 시뮬레이션은 모두, 액체 내에 뿐만 아니라 고체 상태에 있는 침지된 섬유들을 함유하는 폴리머 재료의 특성을 나타내는 적절한 재료 모델을 요구한다.

거시적인 레벨에 대한 거리 척도는 수 mm에서 cm의 범위 내에서 통상적으로 변화하는 소자의 기하학적 형태의 선형적인 치수(전체적인 크기, 벽 두께 등)에 의해 결정된다. 계산 셀들의 치수들은 충분한 정확도로 거시적인 길이 척도를 분해하여야 하며, 따라서 상기 치수들은 가장 작은 거시적 치수보다 통상적으로 한 단계 정도 작다. 단섬유(short-fibre) 강화 부품들에서 침지된 섬유들의 통상적인 치수들이 거시적인 계산 셀들의 통상적인 치수들보다 한두 단계 정도 아래에 있기 때문에, 거시적인 재료의 반응을 모델링 하는 것에 관련된 섬유 특성들은 통계적인 접 근에 의해 기술된다. 단섬유 강화 재료들에 대해 관련된 거시적인 특성들은: (a) 전체 부품에 걸쳐 통상적으로 (대략) 일정한 체적 농도, 및 (b) 통상적으로 부품의 기하학적 형상을 가로질러 크게 변화하는, 각각의 계산 셀 내에서의 섬유 배향(FO; fibre orientation)의 국소적인 분포이다. (이러한 화제에 대한 추가적인 상세한 내용은 상세한 설명의 단원 1.1 및 1.2에서 논의된다.)

국소적인 FO의 통계적 분포에 대한 간략화된 그리고 실용적인 목적 상 적절한 기술이, 낮은 차수(즉, 2차 및 4차) 모멘트(moment)들의 대응하는 분포 함수로 제공된다. 그들의 수학적인 구조 때문에, 이들 모멘트들은 (각각 2차 및 4차의) 방향 텐서(tensor)들로서 표시된다. 섬유 강화 소자들에 대한 CAE 시뮬레이션의 골격 내에서, 4차 텐서들은 거시적 레벨에서의 섬유 강화 재료의 유동학적(rheological) 특성뿐만 아니라 기계적인 특성들을 예측할 것이 요구되는데, 왜냐하면 이들이 4차 텐서 특성들이기 때문이다. 2차 FO 텐서는 단위 트레이스(unit trace)를 갖는 실수치 대칭 3×3 행렬(real-valued symmetric 3×3 matrix)이며, 따라서 그의 9개의 성분들 중에 단지 5개만이 독립적이다. 4차 FO 텐서의 독립적인 성분들의 개수는 (전체) 대칭에 의해 3⁴ = 81개에서 15로 감소한다.

그의 모멘트들에 관한 FO 분포를 나타내는 수학적 모델은 닫힘 관계(closure relation)에 있어서 2차 텐서에 관한 4차 배향 텐서의 대략적인 계산에 의해 크게 단순화된다. 닫힘 관계는 함수에 관하여 그러한 계산적인 방식의 수학적인 기술을 제공하며, 닫힘 관계가 특정한 가정 하에서만 대략적으로 유효하다면 관련된 계산 과정은 "닫힘 근사법(closure approximation)"으로 표시된다. 몇몇의 닫힘 근사법 과 함께 단지 2차 FO 텐서만을 사용하는 접근법은, 금형 충전 공정(mould filling process) 동안 시간과 공간에 있어서의 2차 FO 텐서의 전개를 시뮬레이션 하기 위한 "폴거-터커(Folgar-Tucker)" 타입의 모델을 이끌어 낸다(상세한 내용을 위해서는 상세한 설명의 단원 2.2 내지 2.5를 참조한다).

문헌 "Glass fibre orientation within injection moulded automotive pedal - Simulation and experimental studies, B.R. Whiteside et Al, Plastics, Rubber and Composites, 2000, Volume 29, No. 1"은 비대칭적인 열가소성 유동 상에서 사용하는 강화 열가소성 제품 내에서의 섬유 배향 분포를 모델링 하기 위한 방법 및 섬유 배향 예측 알고리즘을 포함하는 해석을 개시한다. 소프트웨어는 선형 삼각형 요소들로 구성된 2차원 유한요소망(finite element mesh)을 사용하여 3차원 모델을 근사하였다. 유동장(flow field)은, 섬유 배향을 계산하기 위한 폴거-터커 방정식의 변수 및 일반화된 헬레-쇼 근사법(generaliged Hele-Shaw approximation)을 사용하여 계산되었다. 섬유 배향, 온도 및 점도의 계산은, 3차원 해를 만들기 위하여 19개의 박편들에 대해 각각의 요소의 "두께"를 관통하여 유한 차분 기술(finite difference technique)을 사용하여 수행되었다. 그러나, 이러한 시스템은 실제로 3차원으로서 기술되지 않을 수 있다는 점을 유의하는 것이 중요한데, 왜냐하면 상기 모델은 평면 방향의 밖에 있는 점도 성분들을 시뮬레이션 할 수 없기 때문이다(헬레-쇼 근사법의 한계). 상기 문헌에서 기술된 방법은, 실제 3차원 시뮬레이션에 적용될 때, 예컨대 개발 엔지니어의 작업장에서는 사용될 수 없는, 부적당하고 너무 많은 처리 전력(processing power)을 소비하는 시뮬레이션으로 귀결될 것이다.

이러한 배경에서, 본 발명의 목적은, 보다 안정적이고 종래의 방법들보다 계산 강도가 적은 많은 수의 비구형(nonspherical) 입자들을 함유하는 현탁액으로 금형 캐비티가 충전되는, 공정의 시뮬레이션에서 비구형 입자들의 배향 분포를 결정하는 방법을 제공하는 것이다.

이러한 목적은, 시뮬레이션 도메인(simulation domain)의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 많은 수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 컴퓨터 구현 방법을 제공함으로써 청구항 제1항에 따라 달성되는데, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 다수의 계산 셀(computational cell)들을 갖는 망은 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화(discretizing)함으로써 형성되며, 상기 방법은: a) 경계 조건들을 특정하는 단계; b) 초기 조건들을 설정하는 단계; c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동(heat flow) 및 물질 전달(mass transfer)을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식(balance equation)들의 해를 구하는 단계; 및 d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식(dynamic equation)들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함한다. 여기서, 단계 d)의 경우에, 단지 현탁액을 담고 있는 계산 셀들에 대해서만 상기 입자 배향 방정식들의 해를 구할 수도 있다.

상기 단계 c)는, cc) 유체 또는 현탁액의 갱신된 자유 표면(free surface) 또는 유동 선단(flow front)을 결정하는 단계를 더 포함하는 것이 바람직하며, 여기서 자유 표면은, 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여, 상기 캐비티의 빈 셀들과 현탁액으로 충전된 셀들을 분리한다. 바람직하게는, 상기 단계 cc)는 상기 갱신된 유동 선단에 따라 경계 조건들을 갱신하는 것을 더 포함한다. 본 발명의 방법은, e) 금형 캐비티가 현탁액의 시뮬레이션 된 주입에 의해 충전되었는 지를 결정함으로써 시뮬레이션된 사출 성형 공정이 완료되었는 지를 결정하는 단계; 및 f) 시뮬레이션 된 사출 성형 공정이 완료될 때까지 단계 c), cc) 및 d)를 반복하는 단계를 더 포함하는 것이 또한 바람직하다.

본 발명의 이러한 목적은 또한, 많은 수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 금형 캐비티가 충전되는 공정의 시뮬레이션에서 비구형 입자들의 통계적인 분포 배향을 나타내기 위한 방법을 제공함으로써 청구항 제6항에 따라 달성되는데, 상기 방법은 (1) 상기 캐비티의 기하학적 형상을 정의하는 3차원 컴퓨터 모델을 제공하는 단계; (2) 경계 조건들을 특정하는 단계; (3) 다수의 셀들을 갖는 망(mesh)을 형성하기 위하여 상기 모델을 기초로 해 도메인(solution domain)을 이산화하는 단계; (4) 상기 해 도메인의 적어도 일부에 대한 에너지 및 유동 방정식들의 해를 구하는 단계; (5) 각각의 셀들에서의 유동 및 온도 조건들을 시간의 함수로서 계산하는 단계; (6) 비구형 입자 배향에 있어서의 변화를 계산하는 단계; 및 (7) 각각의 셀들 내의 비구형 입자들의 배향의 통계적인 분포를 시간의 함수로서 기술하는 단계를 포함한다.

본 발명의 방법은, 실질적으로 감소된 계산 노력으로 부품 전체에 대해 섬유 배향 분포 및 열-기계적 특성들을 예측하기 위하여 현탁액 유동을 활용한다. 시뮬레이션의 결과들은 섬유 배향과 관련된 제품들을 최적화할 수 있는 개발 엔지니어에 의해 사용될 수 있으며, 따라서 물품의 강도 및 형상 안정성을 향상시킬 수 있다.

많은 수의 비구형 입자들을 함유하는 현탁액으로 금형 캐비티가 충전되는 공정의 시뮬레이션에서 비구형 입자들의 배향 분포를 결정하기 위한 본 발명에 따른 방법 및 장치의 추가적인 목적, 특징, 이점 및 특성들은 이하의 상세한 설명으로부터 명백하게 될 것이다.

도 1은 금형을 포함하는 사출 성형 장치의 개략적인 표현에 대한 단면도이며,

도 2는 본 발명의 일 실시예에 따른 사출 성형 공정의 기본적인 공정 단계들을 요약한 상부 레벨의 흐름도이고,

도 3은 도 2의 흐름도의 단계(5)를 추가적으로 상세하게 나타내는 흐름도이고;

도 4는 섬유 강화 플라스틱 물품의 현미경 사진이며;

도 5는 본 발명의 일 실시예에서 사용된 섬유의 모델을 나타내고;

도 6은 특성 다항식(characteristic polynomial)의 2차 & 3차항과 선형 & 상수항을 나타내는 그래프이며;

도 7은 행렬의 삼원소(triple)의 고유값들을 나타내는 그래프이며;

도 8은 "최대 대칭(maximally symmetric)"의 경우에 대응하는 특정한 예를 도시하며;

도 9는 사면체-형상의 체적의 왜곡된 버전을 도시하고;

도 10은 본 발명의 일 실시예에 따른 FO 행렬(즉, 2차 FO 텐서)들의 위상 공간 집합 M_FT의 전체적인 구조의 그림을 도시하며;

도 11은 연산자 분리(operator-splitting) 공정을 간략화된 형태로 나타내는 본 발명의 일 실시예에 따른 흐름도이고;

도 12는 시간 스테핑(time stepping) 방법의 상세한 내용을 나타내는 흐름도이며; 및

도 13은 트레이스 크기 조정(trace rescaling)을 사용하여 위상 공간 투영 공정(phase space projection process)을 나타내는 본 발명의 일 실시예에 따른 흐름도이다.

도 1은 사출 성형 장치(1)를 개략적으로 도시하고 있다. 상기 사출 성형 장치에는 호퍼(hopper)(3)에 배치된 폴리머 펠릿(polymer pellet)들을 공급받는 스크류(2)가 제공된다. 폴리머 펠릿들은 스크류(2)와 가열 소자(4)들의 작용에 의해, 높은 압력 하에서 금형(6) 내의 금형 캐비티(5) 내로 가압되는 점성 물질로 변환된 다. 또한 사출 성형 장치 및 사출 성형 제조 싸이클은 본 기술분야에서 잘 알려져 있으며 여기에서 상세하게 설명하지는 않는다. 상기 사출 성형 장치(1)로, 비-섬유 강화 플라스틱 부품 및 섬유 강화 플라스틱 부품(fibre reinforced plastic part)들이 모두 제조될 수 있다.

컴퓨터 상에서의 사출 성형 공정의 수치적인 시뮬레이션은 도 2에 도시된 공정에 따라 수행될 수 있다.

확인된 시뮬레이션의 주요한 단계들은 일반적으로 다음과 같다:

- 단계 1, 시뮬레이션 도메인(simulation domain)의 기하학적 형상에 대한 디지털 표현을 제공한다;

- 단계 2, 계산 도멘인(calculation domain)을 많은 작은 요소들로 분할하는 것으로, (상이한 해법 알고리즘을 사용하여) 미분 방정식을 이산화(discretizing)하고 이러한 방식으로 시뮬레이션 될 물리적 현상에 대한 해법들을 찾기 위한 기초인 망화(enmeshment);

- 단계 3, 상이한 재료 도메인들에 대해 필요한 물리적 데이터를 시뮬레이션 모델에 부여한다(데이터베이스 또는 데이터 은행);

- 단계 4, 시뮬레이션 프로젝트에 대한 경계 조건들을 특정한다;

- 단계 5, 사출 성형 공정을 시뮬레이션 한다(이 단계는 아래에서 더욱 상세하게 청구될 것이다); 및

- 단계 6, 워크스테이션과 같은 컴퓨터의 디스플레이 상에 그래픽 또는 수치적 표현으로서 결과들을 디스플레이 한다.

섬유 강화 물품의 사출 성형 공정을 시뮬레이션 할 때 단계 5의 상세한 사항들이 도 3의 흐름도에 설명되어 있다. 이 공정 부분에서, 열 유동(heat flow), 유체 유동(fluid flow) 및 변형력(stress)과 응력(strain)들에 대한 미분 방정식들은 수치적인 알고리즘을 사용하여 해결된다:

- 단계 1, 열물리적(thermophysical) 재료 특성들 및 유동 선단(flow front)에 대한 초기 조건들이 설정된다;

- 단계 2, 질량, 에너지 및 운동량 방정식들의 보존을 이용하여 모든 도메인에 대한 열 방정식(thermal equation)들 및 모든 유체 셀(fluid cell)들에 대한 유동 방정식(flow equation)들의 해를 구한다;

- 단계 3, 이 단계에서 유동 선단이 이동하고 새로운 유동 선단에 따라 경계 조건들이 채택된다;

- 단계 4에서, 이전의 단계들에서 얻은 유동 속도(flow velocity)로부터 섬유 배향 및 전달(transport)이 계산된다. 이 단계는 아래에서 더욱 상세하게 설명될 것이다. 새로이 충전된 셀들에 초기 조건들이 적용된다. 유체 재료를 담고 있는 셀들만이 고려된다;

- 단계 5에서, 화학적 반응들과 같은 추가적인 양이 계산되며, 셀이 고화되었는 지 여부가 확인된다;

- 단계 6에서, 금형 내에서 사출 성형 공정이 완료되었는 지를 확인하며; 시뮬레이션이 다음 시간 스텝으로 계속하지 않는다면 공정은 단계 2로 되돌아간다;

- 단계 7에서, 금형으로부터 배출된 후의 물품의 특성들이 계산된다.

사출 성형 공정으로부터 얻은 정보를 이용하여 금형 바깥의 열-물리적인 재료 온도들, 즉 온도, 수축(shrinkage), 휨(warpage) 등이 계산된다.

도 4는 사출 성형 공정이 종료된 후의 섬유들의 배향을 알 수 있는 섬유 강화 플라스틱 물품의 현미경 사진이다. 최종 제품에서 섬유들의 배향은 사출 성형 공정 동안의 열가소성 물질의 유동 패턴에 크게 의존한다. 섬유 배향은 각각의 단일 섬유에 대해 정확하게 결정되지는 않으며, 그 대신에 분포 함수에 의해 기술된다.

섬유 배향의 계산에 관한 상세한 내용으로 들어가기 전에, 단섬유 열가소성 용융(short-fibre thermoplastic melt)의 기본적인 유체역학적 양태에 대한 개관이 제공된다.

1. 단섬유 열가소성 용융의 기본적인 유체역학적 양태

폴리머 물질은, 제조된 소자가 단섬유 강화 열가소성으로 이루어지도록, 그 내에 분산된 많은 수의 단섬유들을 포함한다. 용융된 상태에서, 즉 열가소성 매트릭스(thermoplast matrix)가 액체일 정도로 온도가 충분히 높을 때, 플라스틱 용융체와 분산된 섬유들의 혼합물은 유체 동역학 및 물리학의 용어로 입자 현탁액이라고 통상 표기되는 복잡한 유체를 구성한다. 일반적으로 그러한 현탁액(suspension)은 두 개의 상이한 상(phase)들: 즉 (i) 이 경우에 있어서 분산된 섬유들이 없는 용융된 플라스틱 재료에 대응하는 용매, 및 (ii) 상기 용매 내에 침지된 모든 섬유들로 구성되는 입자상(particle phase)로 만들어진다.

1.1 섬유의 기하학적 형상 및 재료 특성

(도 5에 도시된 바와 같이) 회전 대칭축을 소유하는 구형 입자들은 이하에서 섬유들로 표기되며, 입자 및 섬유라는 용어는 명시적으로 다르게 표시한 경우을 제외하고는 동일한 뜻으로 사용된다. 섬유의 기하학적 형상은, 그의 길이 l과 직경 d 및 두 양으로부터의 결과인 종횡비(aspect ratio) r_a = l/d에 의해 특징지어진다. 단섬유 강화 열가소성 재료 내에 분산된 (예컨대, 카본 또는 유리 형태의) 섬유들에 대한 상기 양들의 통상적인 값은, 예를 들어 l ~ 0.5mm, d ~ 5㎛ 및 r_a ~ 100이다. 통상적으로 이들 값들은 l = 0.1 내지 1mm, d = 1 내지 10㎛의 범위 내에서 변화하며 그에 대응하여 큰 종횡비 값들을 갖는다.

섬유 강화 플라스틱 내에 침지된 가장 많은 타입의 섬유들의 경우에, 섬유 재료의 질량 밀도는 현탁액 플라스틱 용융체의 밀도와 유사하다. 플라스틱 용융체 그 자체는 금형 충전 단계 동안 발생하는 통상적인 온도에서 상당히 높은 점도를 갖는다. 이들 두 양태를 결합함으로써, 바람직한 실시예에 따른 방법에서 플라스틱 용융체 내의 섬유들의 운동을 기술할 때 부력 효과(buoyancy effect)뿐만 아니라 관성 효과(inertial effect)도 무시된다.

섬유 농도에 관하여 말하자면, 현탁액 전체에 걸쳐 섬유들의 공간적으로 균질한 분포가 가정되며 따라서 농도는 일정한 것으로 취급된다. 변경할 수 있는 효과는 (i) 균질하지 않은 분포의 순수 대류 전달(convective transport)이 유입구에 서 이미 존재하는 것이거나 (ii) 금형 충전 단계의 과정에서 전단 응력에 의해 유발된 입자 이동 효과(shear induced particle migration effect)의 발생일 수 있다.

만약 (i) 또는 (ii) 중 어느 하나가 심각한 효과를 구성한다면, 열가소성 용융체 내에 침지된 단섬유의 현탁액 유동을 기술하기 위해 사용된 모델은 불가피하게, 입자와 용매 모두의 유동을 상호 결합시키고 균질하지 않은 입자 농도를 허용하는 "2상 유동(two phase flow)" 모델이어야만 한다. 그러나, 이것은 그러한 경우가 아니다. 현상 (ii)는 일종의 확산 과정으로서 이해될 수 있는데, 여기서 확산 상수 크기는 유동 캐비티의 통상적인 치수(예컨대, 벽 두께)에 대한 현탁 입자들의 실제 크기(즉, 섬유 길이 또는 구형 입자의 경우에 반경)의 비로서 정의되는 상대적 입자 크기의 제곱과 같다. 섬유 강화 플라스틱 중에서 사출 성형에 의해 제조되는 얇은 벽의 부품들의 경우에 상대적 입자 크기가 통상적으로 심지어 0.1 내지 0.01 정도이기 때문에, (ii)는 이 경우에 완전히 무시할 수 있다는 것이 완벽히 가능하다. (i)을 고려하면, 스크류 내에서의 융용체의 준비 과정으로 인하여 유입구에서 균질하지 않은 농도 프로파일이 가능할 수도 있을 것이라고 상상할 수 있다. 그러나, 통상적인 단섬유 강화 플라스틱 부품들에 대해 실제로 실험적으로 관찰된 섬유 농도는 부품들 내의 거의 모든 곳에서 일정 값으로부터 단지 매우 작은 편차만을 보이는데, 이는 균질한 섬유 분포의 가정에 대한 우수한 매개 변수(argument)가 될 수 있다[20].

1.2 유동학적(rheological) 특성들에 대한 섬유들의 영향

열가소성 재료들은 비-뉴턴 유동 거동(non-Newtonian flow behaviour)을 보인다. 섬유가 없는 순수 플라스틱 용융체의 경우에, 재료의 유동학적 특성들은 온도에 대해 뿐만 아니라 유동(일반화된 뉴턴 유체)의 상태 변수에 대해서도 의존하는 스칼라 점도 함수(scalar viscosity function)에 의해 모델링 될 수 있다. 비-뉴턴 유동 특성(예컨대, 전단 박화(shear thinning)와 같은)의 제한된 범위만을 상기 모델이 커버한다는 것이 알려져 있지만, 그럼에도 상기 모델은 사출 성형 시뮬레이션의 목적에 유용하며 만족스럽게 정확하다는 것이 밝혀졌다. 이러한 타입의 모델은 또한 본 발명의 바람직한 일 실시예에 따른 방법에서도 사용된다.

열가소성 매트릭스 재료에 대한 섬유들의 첨가는, 고체 상태에서 매우 이방성(anisotropic)이며 매립된 섬유들이 가리키고 있는 방향들의 국소적인 분포에 크게 의존하는 기계적인 특성들을 낳는다. 원리적으로, 이방성 재료 거동은 상기 재료가 액체 상태(즉, 용융된 상태)에 있는 경우에도 역시 존재한다. 이러한 이방성을 설명하기 위하여, 위에서 언급된 스칼라 점도를 점도 텐서(viscosity tensor)로 대체하여야 하였다. 섬유 현탁액의 재료 거동을 모델링하는 두 방식을 비교하는 많은 조사들이 있었다. 금형 충전에서 만나는 것들과 같은 대부분의 유동 상황에 대하여, 두 타입의 모델들(즉, 스칼라 모델 및 텐서 모델)에 의해 예측된 충전 패턴이 거의 차이를 보이지 않음이 발견되었다(예컨대, [21], [22] 참조). 따라서 이방성 점도 효과는 무시되며, 열가소성 용융체가 섬유를 포함하고 있을 때도 역시 간단한 일반화된 뉴턴 모델이 여기서 사용된다. 이는, 용융체의 유동학적 특성들에 대한 분산된 섬유들의 배향의 영향을 무시하는 것과 동등하다. 점도는 섬유 배향에 의존하지만, 이것이 일정한 것으로 가정되기 때문에(위의 설명 참조), 이러한 점은 열가소성 용융체의 유효 재료 특성들에 기여하는 기존의 공지된 재료 파라미터로서만 들어간다.

이러한 접근법으로 인하여, 바람직한 일 실시예에 따른 방법은 유동의 계산과 섬유 배향의 계산의 부분적인 분리(decoupling)를 이용한다: 즉, 유동 속도는 분산된 섬유들의 배향에 국소적으로 영향을 주지만, 유동에 대한 섬유 배향으로부터의 영향은 무시할 만하다. 따라서 유동의 계산은 섬유 배향의 계산과 독립적으로 수행된다. 이러한 경우에, 용융체의 국소적인 유동 속도는 섬유 배향의 계산을 위해 사용되는 모델에 외부 계수들의 집합으로서 들어간다.

2. 폴거-터커 모델(Folgar-Tucker model)

2.1 제프리 방정식(Jeffery's equation)

폴리머 용융체 내에 현탁된(suspended) 섬유들이 그의 종횡비 r_a = l/d가 크다는 점에서 가느다란(slender) 입자들이지만, 용매의 국소적인 유동장(flow field) 내에서 그들에 작용하는 기계적인 힘이 실질적으로 어떠한 변형도 초래하지 않을 정도로 상기 섬유들은 충분히 짧다. 따라서 개별적인 섬유들은 여기서, 회전 대칭축을 따라 향하고 있는 단위 벡터 p에 의해 주어진 배향을 갖는, 가느다랗고 회전 대칭적인 강체로서 모델링된다.

도 5는 입자의 근처에 속도 벡터장(velocity vector field) U에 의해 영향을 받는 운동을 갖는 회전 타원형의 강체 입자를 도시하고 있다. 입자의 기하학적 형사을 특징짓는 양(길이 l 및 직경 d)에 추가하여, 배향 벡터 p가 도시되어 있다. 유동 속도 U의 방향과 크기는 대응하는 화살표의 방향과 길이에 의해 표시된다. 비록 속도 벡터들의 방향이 모두 동일하지만, 그 길이는 그렇지 않으며, 입자 근방에 있는 유동 속도가 일정하지 않다는 것을 나타낸다. 그러나, 하부에서 상부까지 벡터들의 길이에 있어서의 일정한 증가가 있기 때문에, 유동 속도의 국소적인 변화량, 즉 속도 그래디언트(gradient)는 동일한 것으로 보인다. 입자 표면의 모든 점에서, 입자는 국소적인 유동 속도에 따라 정확하게 이동하도록 강제된다("미끄럼 없는(no slip)" 경계 조건). 만약 유동 속도가 입자 주위에서 일정하다면, 이는 간단한 통상적인 운동, 즉 순수 대류 전달을 초래할 것이다. 그렇지 않다면, 속도 그래디언트의 존재시, 입자는 점선 화살표로 표시된 바와 같이, 회전 운동을 또한 수행한다. 전체적으로, 강체 입자에 의해 수행되는 운동의 가장 일반적인 유형은, 입자 근방에서의 평균값으로부터 유동 속도의 국소적인 편차를 나타내는 속도 그래디언트에 의해 유발되는 입자의 질량 중심 근방에서의 회전과 결합된, 입자 근방에서의 "평균 속도"를 갖는 병진 운동(translation)이다.

위에서 주어진 양적 설명은, 점성력(viscous force)이 지배적인 관성력이며 따라서 무시 가능하며 또한 운동하는 동안 단일 섬유가 지나가는 영역에 걸쳐 국소적인 유동의 변동이 작다고 가정하면서, 제프리[2]에 의한 수학적 모델로 적용되었다. 위에서 설명한 바와 같이, 이들 모든 가정들은 열가소성 용융체 내에 분산된 단섬유들의 경우에 만족된다. 섬유 주위에서의 유동 속도에 대한 상기 가정된 작은 변동은 국소적인 속도 그래디언트 텐서

가 이러한 변동을 정확하게 기술하기에 충분하다는 것을 암시한다. 이러한 텐서는, 공간 내의 점

의 직교 좌표(cartesian coordinate) x_i에 대한 유동 속도 벡터의 성분 U_j의 편도함수(partial derivative)들, 즉:

로부터 요소들이 계산되는 3×3 행렬이다. 따라서 만약 r ₀가 입자의 질량 중심의 공간 좌표라면, 입자에 가까운 점 r 및 시간 t에서의 유동 속도 U의 값들은 1차(first order) 테일러 전개

에 의해 무시할 만한 오차로 잘 근사되며, 속도 그래디언트는 국소적인 상수 양으로서 간주될 수 있다. 즉 r ₀에 가까운 모든 점들 r에 대해

가 유지된다고 가정할 수 있다.

이 경우에, 배향 벡터 p(r,t)에 의해 공간과 시간 좌표의 함수로서 주어지는 섬유의 순시 배향 상태(transient orientation state)는, 여기서 간결한 오일러 형태(compact Eulerian form)로 쓰여진 다음의 제프리 방정식을 사용하여 계산된다.

수학식(1)의 좌측편(l.h.s)에 있는 대류 도함수(convective derivative)(또는 재료 도함수)

가 유동의 국소적인 속도장 U(r,t)에서의 순수 섬유 배향(FO) 전달(transport)을 기술하고 있는 반면, 우측편(r.h.s)은 유효 국소적 속 도 그래디언트 텐서

에 의해 유도된 입자의 회전 운동을 모델링한다. 무한하게 가느다란 섬유(즉, 종횡비 r_a → ∞)들인 이상적인 특수한 경우에 있어서, 텐서

은 속도 그래디언트 텐서

와 동일하며, 유한한 종횡비( 0 < r_a < ∞)를 갖는 섬유들인 일반적인 경우에 있어서, 상기 텐서는 섬유의 기하학적 형상 파라미터인

을 포함하는 다음의 항에 의해 정의된다.

이러한 파라미터는 회전 대칭적인 타원체 입자들의 경우에 입자의 기하학적 형상이 섬유들의 회전 운동에 어떻게 영향을 주는 지를 부호화한다.

제프리 방정식을 기재하는 대안적인 방식들은 속도 그래디언트 텐서의 고유하게 정의된 분해, 즉 다음의 수학식(1b)에 의해 주어진 전단속도율(shear rate)과 와도 텐서(vorticity tensor)들로 주어진 대칭적인 부분과 비대칭적인 부분으로의 분해를 사용하게 한다.

("전단속도율")

("와도")

전단속도율과 와도 텐서들은 다음의 항등식들을 통해 유효 속도 그래디언트 텐서와 관련된다.

이들 항등식들을 수학식(1)에 대입하고

를 고려하면, 다음의 대안적인 형태의 제프리 방정식을 낳는다.

제프리 방정식의 또 다른 형태는, 와도 텐서(vorticity tensor)를 유동 속도 벡터장의 회전 rot U에 관련짓게 하는 항등식

(예컨대, [3] 참조)을 사용하여 수학식(1d)의 우측편 상의 첫 번째 항을 다시 기재함으로써 얻어질 수 있다.

회전 대칭적이지만 타원체가 아닌 기하학적 형상을 갖는 입자들의 경우에 있어서, 수학식(1)의 형태뿐만 아니라 유효 속도 그래디언트의 정의도 동일하게 유지되지만, 기하학적 형상 파라미터 λ의 공식은 바뀌어야 한다. 즉, 위에서 정의된 것과 같은 "기하학적" 종횡비 r_a = l/d는 유효 종횡비 r_a ^*~r_a로 대체되는데, 그의 적절한 값은 실험으로부터 결정되어야 한다. 이러한 점에서, 기하학적 형상 파라미터 λ는 재료 파라미터로서 간주될 수 있다. 비대칭적인 비구면 입자들의 경우에, 수 학식(1)은 세 개의 기하학적 형상 파라미터들을 포함하는 세 개의 제프리 타입 방정식들의 결합 시스템으로 대체되어야 한다[3].

2.2 섬유 배향의 거시적인 분포

거시적인 레벨에서 수행되는 단섬유 강화 플라스틱에 대한 사출 성형 시뮬레이션의 경우에, 단일 계산 셀(single computational cell)(즉, 계산 도메인의 체적 요소)에 담겨 있는 섬유들의 개수는, 개별적인 섬유들의 작은 치수로 인하여 매우 많다. 단섬유 강화 플라스틱으로 이루어진 부품들로부터 취한 통상적인 샘플을 표시하고 있는 도 4에 도시된 현미경 사진에 의해 이 점이 도해되어 있다. 따라서 한 계산 셀 내에 담겨 있는 재료의 국소적인 FO 상태는 거시적인 모델, 즉 FO 벡터 p의 분포 함수 Ψ(p,r,t)에 의해 기술된다([5] 참조). 비록 섬유 농도가 균질한 것으로 가정되었지만, 상기 분포 함수 Ψ는 여전히 국소적인 유동 속도장 U(r,t) 및 그의 그래디언트

를 통해 (r,t) 좌표들에 파라미터에 따라 의존한다는 것을 유의한다. 추가적인 점으로서, 섬유의 배향에 영향을 주는 섬유들의 상호 작용을 설명하는 항목이 거시적인 레벨 상의 모델 내에 포함되어야 한다.

개별적인, 상호작용하지 않는 섬유들의 미시적인 모델(micro model)로서의 제프리 방정식으로부터 상호작용하는 많은 섬유들의 FO 통계를 낳는 거시적인 모델로의 전이는, FO 분포 함수 Ψ를 종속 변수로서 갖는 다음의 대응하는 포커-플랑크 방정식(Fokker-Planck equation)을 통해 성취된다.

여기서,

는 제프리 방정식(1)의 우측편에 대한 약술로서 역할을 하며, ∇_p... 및 ∇_pㆍ...는 삼차원 유클리드 공간(euclidian space)

의 단위 구(unit sphere) S ² 상에서 정의된 그래디언트 및 다이버전스 연산자를 상징한다. 폴거 및 터커의 접근법에 따르면[4], 국소적인 속도 그래디언트의 유효 전단속도율

에 비례하는 확산 계수 D_r = C_lγ_eff의 도입은 농축된 현탁액 내에서의 섬유-섬유 상호작용의 단순한 모델을 낳는다. 여기서, G_ij는 수학식(1b)에서 정의된 것과 같은 전단속도율 텐서

의 성분이고, 아인슈타인 합 규약(Einstein summation convention)을 사용한 제곱근 하의 항은 자기-축약(self-contraction)

에 대한 약술이다. 차원이 없는, 음이 아닌 상호작용 계수 C_l은 현탁액의 재료 파라미터이다. 통상적으로, 상기 계수는 단섬유 강화 플라스틱에 대하여 10^-3 내지 10^-2 범위 내의 작은 (양의) 값을 갖는다. 압축되지 않는(뿐만 아니라 거의 압축되지 않는) 유동에서, - "결정론적" 제프리 동역학("deterministic" Jeffery dynamics)을 나타내는 항에 비교되는 - "확률론적(stochastic)" 확산 항의 상대적인 약함은 안 정성 문제의 원인이 될 수 있다는 점을 유의한다.

2.3 섬유 배향 텐서 및 폴거-터커 방정식

포커-플랑크 방정식(2)으로 국소적인 FO 분포를 계산하는 것은 유동 시뮬레이션 도메인의 각각의 계산 셀에 대한 단위 구 S ² 상에서 정의된 PDE의 수치적인 해를 요구하는데, 이는 "산업적인 크기"의 3D 문제에 대해 과중하게 값비싼 작업이다. 따라서, 아드바니(Advani)와 터커[6]는 분포 함수의 모멘트(moment)로서 정의된 섬유 배향 텐서의 활용, 및 따라서 포커-플랑크 방정식을 FO 텐서들에 대한 일 계층(hierarchy)의 모멘트 방정식들로 대체할 것을 제안하였다. 방향 ±p들이 동일한 배향 상태에 대응한다는 사실을 반영하는, 변수 p에 대한 FO 분포의 반전 대칭성(inverse symmetry) Ψ(-p,...) = Ψ(p,...) 때문에, Ψ의 모멘트 전개가 단지 짝수차의 요소들만을 포함하도록 모든 홀수차의 모멘트들은 동일하게 사라진다. 따라서 이러한 전개의 무시할 수 없는 첫 번째 모멘트는 다음의 수학식(3)으로 주어지는 두 번째 모멘트이다.

(지수 기호(index notation)에서:

). 기호

은 구 S ²의 표면에 걸쳐 적분이 수행된다는 것을 의미하는데, 여기서 dS(p)는 적분 수단이다. 상기 두번 째 모멘트

는 2차 FO 텐서(또는 FO 행렬)라고 부르며, 그 정의에 의해, 실대칭(real symmetric)인 3×3 행렬이다. (역시 정의에 의한) FO 분포가

에 따라 정규화되어 있기 때문에, FO 행렬

은 그의 트레이스

가 1과 같다(

을 유지하므로)는 자명한 성절을 갖는다. 상기 전개 계층에서 그 다음의 무시할 수 없는 모멘트는 다음의 수학식(4)로서 정의되는 4차 FO 텐서

이다.

(지수 기호에서:

). 텐서

은 전체적으로 대칭적이며, 추가적으로 다양한 정규화 특성들을 갖는다. 즉, p ² = 1로 인해, 동일한 지수들의 임의의 쌍에 대한 합은 항상

의 대응하는 요소를 낳으며(예컨대,

), 두 개의 동일한 지수 쌍들에 대한 합은 항상 1과 같고(예컨대,

), 따라서

은

에 관한 완전한 정보를 담고 있다.

위에서 언급된 모멘트 방정식들의 계층은 각각의 차수의 모멘트들에 대해 도함수와 적분 연산자들을 교환함으로써, 즉

를 포커-플랑크 방정식(2)의 우측편 에 있는 항들로 교체하고 대응하는 적분들을 분석적으로 계산함으로써, 다음과 같이 얻어진다.

만약 이 과정이 FO 행렬

에 적용된다면, 계층적으로 편성된 일련의 모멘트 방정식들에서 첫 번째 무시할 수 없는 것으로서 다음의 수학식(5)와 같은 소위 폴거-터커 방정식(Folgar-Tucker equation; FTE)이 얻어진다:

제프리 방정식에서와 같이, 오일러 참조 프레임(eulerian reference frame)에서의 섬유들의 병진 운동으로 인하여 수학식(5)의 좌측편 상의 대류 도함수는 국소적인 FO 상태(모멘트 전개의 본 차수에서 FO 행렬

로 표시된다)의 순수 전달을 나타내는 반면, 수학식(5)의 우측편 상의 첫 번째 두 항들은 국소적인 유효 속도 그래디언트

에 의해 유도된 회전 운동을 모델링한다. 수학식(5)의 우측편 상의 세 번째 항은 포커-플랑크 방정식(2) 내의 확산 항의 존재로부터 기인한다. FTE의 레벨에서, 상기 항은 FO 행렬을 등방적인(isotropic) 상태

를 향해 끄는 감쇠 효과(damping effect)를 낳는다.

오일러 형태(5)에서, FTE는 대류 반응(convection reaction) 타입의 1차 PDE들의 결합 시스템이다. 라그랑지안(lagrangean)으로부터, 관점(5)는

의 성분들 에 대한 ODE들의 결합 시스템이다.

2.4 FO 행렬의 기본적인 특성들

실대칭 3×3 행렬로서 FO 행렬

는,

의 정규 직교 기저(orthonormal basis)를 형성하는, 즉 E _kㆍE _l = δ_kl에 대해

(여기서, δ_kl는 k=l인 경우에 1과 같고 그렇지 않은 경우에 0인 크로네커 기호(Kronecker's symbol)이다)인, 대응하는 고유벡터 E _k들을 갖는 3개의 실수 고유값 μ_k들을 소유한다. 구조상, FO 행렬

의 고유값 μ_k들이 음이 아니며 - p ² = 1을 유지하므로 -

의 트레이스(상술한 내용 참조)와 동일한 그들의 합은 언제나 1과 같다(즉,

)는 것을 직접적으로 보여준다.

어떠한 단위 벡터 p ₀에 대해서도, 특정한 FO 행렬

은, 섬유들의 100%가 ±p ₀로 주어진 방향으로 배향되어 있는 소위 단일 방향 배향 상태를 나타낸다. 따라서, p ₀의 부호는 이러한 특정한 FO 행렬을 정의하는 2항 곱(dyadic product)으로부터 나온다. 벡터 p ₀는 고유값 1을 갖는

의 고유벡터이며, 나머지 두 개의 고유값들은 p ₀에 직교하는 평면에 놓여 있거나 다른 임의의 고유벡터들에 대응하면서 0이다.

FO 행렬은 그의 스펙트럼 표현

의 항들로 기재될 수도 있는데, 상기 표현은 고유값들에 의해 주어진 가중치를 갖는, FO 행렬의 고유 벡터들에 의해 형성된 단일 축 배향 상태들

의 가중된 합 형태를 갖는다. 이는, 대응하는 고유벡터 E _k의 방향을 따라 배향된 섬유들의 국소적인 부분으로서 고유값 μ_k을 해석하는 것을 허용한다. 이러한 점에서 FO 행렬의 스펙트럼 데이터 {μ_k,E _k}_k=1,2,3은 현탁액의 작은 체적 내에 있는 섬유들의 국소적인 거시적 배향 상태를 나타낸다.

이는, FTE의 위상 공간(phase space) 및 FO 행렬의 다음과 같은 (수학적인 형식의) 정의에 대한 동기(motivation)로서 역할을 한다.

정의: 실대칭 3×3 행렬

은 만약 그리고 오직 그것이 양의 준정부호(positive semidefinite)이고 그의 트레이스가 1이라면 FO 행렬이다. FTE의 위상 공간 M_FT는 모든 FO 행렬들의 집합이다.

집합 M_FT는, 적절하게 정규화되었지만 그 외는 임의적인 분포 함수들을 사용하는 타입(3)의 모멘트 적분들로부터 기인하는 모든 실대칭 3×3 행렬들의 집합과 등가라는 것을 보일 수 있다. 그의 위상 기하학 및 기하학적 특성들에 의한 위상 공간 M_FT의 수학적인 특징은 본 저자들 중 한 명에 의해 최근에 주어졌다([12] 참 조). 한 행렬이 집합 M_FT에 속하는 지 여부를 정확하게 아는 것은 매우 실용적인 중요성을 갖는데, 왜냐하면 FTE의 수치적인 적분의 결과들의 해석 가능성은, FO 계산의 모든 단계들(즉, 중간 단계들을 포함하여) 동안 위에서 기술된 것과 같은 특수한 스펙트럼 특성들을 종속 변수

가 가질 것을 요구하기 때문이다.

2.5 폐포 문제(closure problem)

소위 폐포 문제는, 모멘트 전개의 각각의 차수에서 모멘트

에 대한 DE가 그 다음 고차의 모멘트

를 변수로서 포함한다는 사실로부터 기인한다.

가 단순한 대수적 항등식(즉, 두 개의 동일한 지수들의 쌍에 대한 합, 위의 설명 참조)에 의해

의 항으로 표현될 수 있는 반면, 그 역은 불가능하며, 따라서

은 미지의 것으로서 취급되어야 한다. FTE에서, 이러한 폐포 문제는 수학식(5)의 우측편에 있는

의 출현에 의해 그 자신을 명백하게 하는데, 이는 폐포 근사법(closure approximation)에 의해

의 함수로서

를 표현함으로써 닫히지 않는 한 시스템이 풀이 가능하지 않게 방해한다. FTE에 폐포 근사법을 적용하는 것은 수학식(5)의 우측편에 있는 정확한 - 그러나 미지의 - 4차 FO 텐서

를 FO 행렬의 어떤 적절한 (일반적으로 비선형인) 텐서 함수

로 대체하는 것을 의미한다[8].

알려진 예는 다음의 공식

에 의해 정의된 하이브리드 폐포[7]인데, 상기 공식은 잘 알려진 몇몇 단점들에도 불구하고 그의 대수적 간명함과 수치적 강점 때문에 수용된 선택이다. 상기 폐포

는 더 간단한 타입의 두 개의 폐포(즉, 2차 폐포(quadratic closure)와 선형 폐포(linear closure))들 사이의 (볼록한) 보간(interpolation)으로서 정의된다. 2차 폐포는 단일 축 배향 분포의 특수한 경우에 정확한 결과를 낳는 다음의 수학식

(즉, 지수 기호에서 )

로서 정의되며, 선형 폐포는 등방적인 경우에 정확한 다음의 수학식

로 주어진다. 이들 극단적인 경우들 사이의 보간 가중치(interpolation weight)는 다음의 스칼라 지향 인자(scalar orientation factor)에 의해 제공된다.

행렬식(determinant)

는 FO 행렬의 불변량이므로, 상기 스칼라 지향 인자에 대해서도 마찬가지이다.

상기 하이브리드 폐포 근사법(6)과 결합된 FTE(5)의 특수한 변형을 두문자 FTE-hyb로 나타낸다. 이러한 변형은 매우 실용적으로 관심이 있다. 본 발명의 바람직한 일 실시예도 역시 폴거-터커 모델의 FTE-hyb 변형을 기초로 한다.

2.6 미분 대수 시스템으로서의 FTE

수학식(5)의 우측편은 임의의 실대칭 행렬들에 대해 공식적으로 잘 정의되어 있다. 상기 수학식(5)의 우측편의 특성들이 도메인 M_FT에 대한 해 자취(solution trajectory)들을 자동적으로 한정하는 지의 질문에는 정확한 형태(즉, 폐포 근사가 없는)의 FTE에 대해 적어도 긍정적으로 답할 수 있다: 만약 정확한 4차 FO 텐서

가 수학식(5)의 우측편에 대입되고

이 수학식(5)의 해로서 계산된다면, 그 결과는 동일한 파라미터

와 D_r을 갖는 포커-플랑크 방정식(2)의 해 Ψ를 사용하여 모멘트 적분(3)을 계산함으로써 얻어지는 FO 분포의 정확한 두 번째 모멘트와 동일하다. 이러한 매개 변수에 의해, 정확한 4차 FO 텐서

를 사용하는 수학식(5)의 해는 모멘트 적분(3)으로서 기재될 수 있으며 따라서 그의 자취는 도메인 M_FT에 대해 필연적으로 한정된다고 결론지을 수 있다.

그러나, 어떠한 기지의 전체 분포 함수 없이 FTE를 수치적으로 풀어야만 한다면 언제나 필요한 폐포 근사법이 적용되면 이러한 변수는 더 이상 합당하지 않 다. 이러한 방식에서, 위상 공간 M_FT에 대한 FTE의 해들의 한정의 문제는 실용적으로 관심 있는 모든 문제들에서 항상 발생한다.

도메인 M_FT에 대한 FTE의 해 자취들을 한정하기 위한 필요성은, 그의 불변량들의 대수적 부등식들의 항으로 공식화될 수 있는 종속 변수

에 대해 추가적인 제약들을 부과한다([12] 참조). 종속 변수에 대한 이러한 제약들은 FTE를 미분 대수 시스템(differential algebraic system; DAS)으로 바꾸며 수치적 적분에 대해 사용되는 과정에서 처리되어야 한다.

3. FTE의 위상 공간의 수학적인 특징 부여

위상 공간 M_FT의 기본적인 위상 기하학적 특성들은 다음의 정리로 요약되는 것과 같은 FO 행렬들의 특수한 특성들로부터 직접적으로 연역될 수 있다.

정리(theorem) 1: 위상 공간 M_FT는 트레이스 조건

에 의해 정의된 5차원 초평면(hyperplane)에 대해 한정된 실대칭 3×3 행렬들의 벡터 공간의 유계 볼록 부분집합(bounded convex subset)이다.

M_FT의 볼록함은 FTE에 대한 적절한 적분 방법을 구성하는데 적당한 어떠한 ODE 적분자와도 결합될 수 있는, M_FT 위로의 투영 매핑(projection mapping)의 정의 를 고려한다([9]의 IV.4 장 참조). FO 행렬들의 불변의 대수적 특징 부여는 실대칭 3×3 행렬의 다음의 특성 다항식(characteristic polynomial)

에 대한 해석에 의해 얻어질 수 있다.

계수

,

및

는 행렬의 불변량들이다. (문헌에서 이들 불변량들은 때때로 I₁ = S_a, I₂ = K_a 및 I₃ = D_a로 표시된다.) FO 행렬들의 대수적 특징 부여는 다음의 다음의 정리에 따라 상기 불변량들의 항들에서 공식화될 수 있다.

정리 2: 실대칭 3×3 행렬

은 만약 그리고 오직 그의 트레이스 S_a가 1과 같고 그의 불변량들 K_a 및 D_a가 음이 아니라면 FO 행렬이다.

도 6은, 양의 트레이스 S_a가 명백하게 양의 고유값 μ_k의 존재를 제공하고, 그와 동시에 두 개의 불변량들 K_a 및 D_a의 음이 아닌 값들이 음인 값들의 존재를 막고 있는 특성 다항식 P_a(μ)의 2차 및 3차 항들과 선형 상수항들의 분리된 해석에 의해 이러한 설명을 나타내고 있다. 또한, 행렬

이 세 개의 실수 고유값들을 항상 갖기 때문에, 음이 아닌

의 모든 고유값들에 대해 조건들 S_a > 0, K_a ≥ 0, D_a ≥ 0 은 필수적일 뿐만 아니라 충분하다. 트레이스 조건 S_a = 1과 결합되어, 이는 위의 정리에 대한 증명을 완료한다.

정리 1에 따른 5D 객체인 위상 공간 M_FT의 기하학적 형상의 표시는 FO 행렬들의 대각선 및 비대각 성분들을 관찰함으로써 얻어질 수 있다. 먼저,

에 의해 주어진 대각선 성분들이 항상 음이 아니며 트레이스 조건

를 만족시킨다는 점에 주목한다. 따라서, 좌표 시스템의 선택과 무관하게, 상기 성분들은 다음의 삼각형 집합에 한정된다(도 7 참조).

이는 상기 대각선 성분들에 대해 FO 행렬을 특징짓는 필요 조건을 제공하며 위상 공간 집합 M_FT의 "대각선 부분"의 불변량 표현을 낳는다.

도메인 M_FT의 "비대각" 부분의 공식적인 표사는, 실대칭 3×3 행렬의 대각선 및 비대각 성분들의 삼원소들에 대해 표기 (x,y,z) 및 (u,v,w)를 도입하고, 임의의 (그러나 고정되지 않은) 대각선 삼원소 (x,y,z) ∈ Δ_a를 취하고 고정된 대각선 삼원소에 속하는 모든 "허용 가능한(admissible)" 비대각 삼원소들의 집합을 다음과 같이 공식적으로 정의함으로써 얻어질 수 있다.

대수적으로, 집합 N_(x,y,z)는, 위의 정리 2에 대해 설명한 바와 같이, 다음의 부등식들의 쌍

,

을 동시에 만족시키는 모든 비대각 삼원소들 (u,v,w)의 집합으로서 특징지어질 수 있다. "최대 대칭인" 경우인 x = y = z = 1/3에 대응하는 특수한 예가 도 8에 도시되어 있으며, 다른 경우(도 9 참조)는 사면체 형태의 체적을 갖는 왜곡된 형태에 대응한다.

불변량 K_a 및 D_a의, 음이 아닌 값들로의 제한(9) 및 (10)들을 보완하기 위하여, FO 행렬(S_a = 1)들에 대해 상기 값들이 0 ≤ K_a ≤ 1/3 및 0 ≤ D_a ≤ 1/27으로 항상 한정되도록, 양의 트레이스 S_a > 0를 갖는 어떠한 실대칭 3×3 행렬에 대해서도, 이들 불변량들이 위로부터 K_a ≤ (1/3)S_a ² 및 D_a ≤ (1/27)S_a ²로 역시 제한된다는 점을 주목한다.

집합 Δ_a 및 N_(x,y,z)를 도입함으로써 얻는 (공식적) 파이버공간(fibration)

는 M_FT의 전체적인 구조의 그림을 얻도록 돕는다(도 10 참조). 개별적인 "섬유들"은 허용 가능한 비대각 삼원소들의 집합 N_(x,y,z)를 그의 "기저점(base point)" (x,y,z) ∈ Δ_a에 국소적으로 붙이는 과정에 의해 시각화될 수 있으며 전체 삼각형 집합 Δ_a에 걸친 상기 기저점의 후속하는 변수는 전체 위상 공간을 커버한다.

이 단원에서 요약된 결과들은 위상 공간 M_FT가 복잡한 수학적 객체라는 점을 명백하게 보이고 있다. 정리 2에서 언급된 엄격한 수학적 결과에 따르면, 대칭적인 3×3 행렬의 실수 벡터 공간에서의 진행 방정식(evolution equation)으로서 자연적으로 정의되는 FTE의 어떠한 해 자취

의, 위상 공간 도메인으로의 한정은 필연적으로 단위 트레이스 조건과 결합된 불변량 부등식(9) 및 (10)의 충족을 의미한다. 이러한 사실은 불가피하게 FTE를 DAS로 바꾼다. 충족시에 4차 FO 텐서에 대한 어떠한 폐포 근사법도 없는 정확한 FTE를 "만들게" 하며 또한 큰 등급의 폐포 근사법에 대한 상당히 일반적인 전제 조건들 하에서도 여전히 유효한 단위 트레이스 조건과 달리(단원 4 참조), 불변량 부등식(9) 및 (10)의 유효성은 기지의 폐포 근사법의 어떠한 존재에서도 일반적으로 보존되지 않는다. (또한, "정확한" FTE의 경우에 부등식(9) 및 (10)의 유효성은 FTE 자체의 대수적인 구조에 의해서보다는 단원 2.6에서 주어진 것과 같은 간접적인 추론에 의해 연역될 수 있다.) 이러한 수학적인 사실들은 학술적인 작업에서 보통 보여지는 간단한 예들에서 공통적으로 간과된다.

그러나, 폐포 근사법은 FTE를 수치적으로 풀이하는 어떠한 과정에서도 필수적인 요소로서 반드시 포함된다. 따라서 산업적인 응용에서 통상적으로 발생하는 것과 같은 보다 복잡한 상황들을 다루는데 적절한 어떠한 시뮬레이션 과정도, 이론적으로 허용 가능한 도메인으로 해 자취를 한정하는 적절한 제어 과정에 의해 이를 책임져야 한다. 따라서 미분 대수 시스템으로서 FTE의 적절한 처리는 일련의 산업적인 응용을 위해 의무적이다.

단원 7.7에서는, 적절한 종류의 불변량 제어를 제공하는 과정이 제출된다. 이 과정은 바람직한 일 실시예에서 구현되었다.

4. 트레이스 보존 및 안정성의 문제

FTE에 대해 폐포 근사법을 적용한다는 것은, 수학식(5)의 우측편 상의 정확한(그러나 미지의) 4차 FO 텐서

를 FO 행렬의 몇몇 (일반적으로 비선형적인) 텐서 함수

로 교체한다는 것을 의미한다(즉, 수학적인 표시로는

, 더욱 상세한 내용을 위해서는 폐포 문제에 관한 위의 단원을 참조). 폐포의 선택에 따라서, 상기 4차 텐서

는 더 적은 또는 더 많은 양의 상기 정확한 텐서

의 특성들을 소유한다.

모든 합당한 폐포 근사법에 의해 충족되는

의 대칭적인 특성들을 고려하는 한 특수한 요구는 다음의 항등식들의 집합에 의해 주어지는 것과 같은 소위 직교 대칭(orthotropic symmetry)이다.

즉, 4차 텐서

은 제 1 및 제 2 지수 쌍들 (ij) 및 (kl)에 대해서 뿐만 아니라 상기 두 쌍들의 교환 (ij)↔(kl)에 대해서도 대칭적일 것이 요구된다. 만약

가 직교 대칭 특성(11)들을 갖는 폐포 근사법

에 의해 증대된 수학식(5)의 해라고 가정하면, 그의 트레이스에 대하여 다음의 미분 방정식(약자: DE):

을 공식적으로 유도할 수 있다([17] 참조).

트레이스 조건

은 수학식(12)의 유도에서 아직 사용되지 않았는데, 왜냐하면 FTE의 해에 대한 트레이스의 안정성 및 보존이 이 방정식의 해석에 의해 조사될 것이기 때문이다. 만약 폐포 근사법이 FTE에 적용된다면, FTE는 다음의 정규화 조건:

을 추가적으로 만족시키며 또한 트레이스에 대한 DE(12)를 다음의 수학식:

으로 간략화한다.

확산 파라미터 D_r이 정의에 의해 음이 아니기 때문에, (D_r > 0의 경우에) 트레이스 조건에 의해 정의된 초평면은 안정적인 적분 다양체(integral manifold)이거나 또는 (D_r = 0의 경우에) 폐포 근사법

가 두 조건(11) 및 (13)들을 만족시킨다면 트레이스는 FTE의 제 1 적분이라고 결론지을 수 있다. (정확한 4차 FO 텐서

는 정의에 의해 완전히 대칭적이고

을 만족시키며 정확한 FO 행렬

은 정의에 의해 대칭적이며 트레이스 조건을 만족시킨다는 점을 유의하여야 한다.)

위의 고려는, 근사적인 텐서 함수

와 정확한 텐서

이 공통적으로 갖는 특성들의 양에 따라, FO 행렬의 불변량들에 대해 부과된 조건들의 가장 단순한 형태인 트레이스 조건의 유효성에 FTE에 대한 폐포 근사법의 적용이 어떻게 영향을 줄 수 있는 지를 보인다.

단지 대칭적인 특성(11)들만을 갖지만 정규화 조건(13)들을 만족시키지 못하는 하이브리드 폐포(6)의 특수한 경우에 트레이스 안정성은 세심하게 고려되어야 한다. 이러한 폐포 근사법의 경우에, 트레이스에 대한 DE는 다음의 형태를 취하며(역시 [17] 참조):

여기서 전인자(prefactor)는 다음과 같다.

이러한 전인자는 수학식(13)을 만족시키는 모든 폐포들에 대해 유효한 더욱 간단한 표현 6D_r로부터 벗어나며, 이는 하이브리드 폐포가 정규화 조건들을 만족시키지 못한다는 사실을 반영한다. 이하에서는, 특정한 조건들 하에서 상기 전인자 φ_a에서 나타나는 추가적인 항들이 상기 항을 음이 되도록 할 수 있다는 점을 보인다. 이는, 초평면

이 여전히 하이브리드 폐포를 갖는 FTE의 적분 다양체이지만, 국소적으로 불안정하게 될 수도 있다는 것을 의미한다.

전인자 φ_a가 음이 될 가능성은 매개 변수들에 대한 다음의 네 단계 과정들에 의해 연역될 수 있다.

(i) 압축할 수 없는 유동장의 특수한 경우에(즉,

), 전인자는 간략화된 형태

를 취한다.

(ii) 가느다란 섬유들의 경우에, λ=1인 것으로 항상 가정할 수 있으며, 만약

에 의해 기술된 국소적인 배향 상태가 대략적으로 단일 축 방향이라면(즉, 그의 고유값 μ_k들 중 하나가 1에 가까우면),

의 행렬식이 0에 가깝기 때문에 스칼라 배향 인자(scalar orientation factor)

의 값도 역시 대략적으로 1이다. 이러한 방식으로, 상기 특정된 가정 하에서 φ_a의 정확한 값을 근사하는 간략화된 표현

가 얻어진다.

(iii) D_r = C_lγ_eff의 대체 및 축약

내로의 스펙트럼 표현

의 대입에 의해 전인자에 대한 근사적인 표현의 변형된 형태가 다음과 같이 얻어진다:

(iv) 마지막 단계에서, 유효 전단속도율

에 대해 전단속도율 텐서

의 성분들이 정규화된다. 정규화된 전단속도율 텐서

는 영 트레이스(zero trace)인

과 동일한 고유 벡터들을 가지며, 따라서 -

과 동일하게 - 음인 고유값들을 갖는다.

의 성분들이 구조상 1 정도이기 때문에, 텐서

는 1 정도의 절대값을 갖는 적어도 하나의 음의 고유값을 필연적으로 갖는다.

이러한 사실은 전인자 φ_a에 대한 근사적인 표현의 유도에서 지금까지 가정한 여러 가지 상황 하에서 φ_a의 바람직한 추정을 위한 핵심이다. 정규화된 전단속도율 텐서

을 사용하면, 이러한 근사적인 표현은 다음과 같은 형태로 기재될 수 있다.

실제의 시뮬레이션에서, 상호 작용 계수(interaction coefficient) C_l이 작은 양(+)의 수(통상적으로 0 < C_l < 10^-2, 단원 1.2 참조)라는 점을 고려할 때, 전단속도율 텐서의 가장 큰 음의 고유값의 고유 방향을 따라 가리키는 대응하는 고유 벡터 E_k에 대해 지배적인 고유값 μ_j ~ 1을 갖는 FO 행렬로 계산된다면, 이 경우에

로 추정될 수 있고 따라서

을 얻을 수 있기 때문에, φ_a는 음이 될 것이라는 점을 알 수 있다.

위의 변수들은 엄격한 방식으로 공식화될 수 있다. 이러한 방식으로, 상호 작용 계수의 어떠한 압축 불가능한 유동 및 값 0 ≤ C_l < λ의 경우에서, 하이브리 드 폐포를 갖는 FTE의 해의 트레이스가 위상 공간 M_FT의 어떤 영역들에서 국소적으로 불안정하게 되는데, 이는 전인자 φ_a에 대한 상기 표현(15b)이 이들 영역들에서 불가피하게 음이 되기 때문이다라는 수학적인 증명을 주는 것이 가능하다. 따라서, FTE의 수치적인 적분을 하는 동안 트레이스 안정성 문제를 조심할 필요가 명백히 있다.

5. FTE의 수치적 적분: 일반적인 면들

(어떠한 종류의 폐포 근사법도 포함하여) FTE의 수치적 적분을 위한 적절한 방법의 선택은 방정식 유형의 수학적인 분류뿐만 아니라 FTE의 특수한 대수적 형태와 관련된 면들에도 의존한다. 폐 FTE(closed FTE)의 일반적인 구조는, 다음의 문단에서 상세하게 설명하는 바와 같이, FO 행렬의 성분들

에 대한 대류-반응 타입의 쌍곡형 편미분 방정식들(hyperbolic partial differential equations; PDEs)의 결합 시스템을 종속 변수들로서 구성한다는 것을 보여준다.

방정식(5)에서 주어진 FTE의 형태로부터 출발하면, 이러한 방정식은 방정식(5)의 우측편 상에서 폐포 근사법을 상징하는 수학적인 기호

및 좌측편 상의 재료 도함수

를 명시적으로 대입함으로써 다시 쓰여질 수 있는데, 이는 다음과 같은 폐 FTE의 동등한 공식을 낳는다.

FTE의 이러한 형태는 그의 수학적 구조의 대부분을 이미 드러내는데, 즉 좌측편은 방정식(16)의 종속 변수들인 FO 행렬의 성분

의 분리된, 순수 대류 전달을 지배하는 국소적인 유동 속도 U(r,t)를 갖는 전달 또는 대류 타입의 간단한 1차 편미분 연산자를 구성한다. 또한 방정식(16)의 우측편 상의 다양한 항들의 대수적 구조는, - 단지 FO 행렬 그 자체와 같이, 그리고 수학적인 일관성에 의해 요구되는 바와 같이 - 우측편이 2차의 대칭 텐서 함수를 구성한다는 것을 보여주며, 상기 2차 대칭 텐서 함수는 방정식(16)의 다음과 같은 요약(그러나 동등한) 형태에서

로 표기된다.

비록 FO 행렬

에 대한 우측편의 명시적인 의존은 선형적이지만, 폐포 근사법의 함수적인 형태

에 의해 결정되는 그의 내재적인 의존의 성질은 일반적으로 비선형적이다. 따라서 함수

은, 선형적인 폐포 근사법이 선택되지 않는 한, 종속 변수

의 비선형적인 함수로서 고려되어야 한다. 또한, 유효 속도 그래디언트

이 대각선 행렬이 아니고 폐포 함수

이 매우 특수한 대수적 구조를 갖지 않는 한, 우측편 함수

는 FO 성분들

에 대한 개별적인 방정식들의 상호 결합을 불가피하게 가져온다는 것을 인식할 수 있다.

실제 속도 그래디언트 텐서

및 섬유의 기하학적 형상 파라미터 λ에 대한

의 의존을 방정식(1a)로 분해하고 유효 전단속도율의 항들에서 회전 확산 파라미터에 대한 정의 표현 D_r = C_lγ_eff를 다시 대입한 후에, 방정식(17a)는 다음과 같은 형태로 다시 쓰여질 수 있다.

폐 FTE의 이러한 형태는 일정한 모델 파라미터 λ와 C_l에 대한 우측편의 의존을 명시적으로 드러내지만, FO 행렬에 대한 명시적 의존과 내재적 의존 사이뿐만 아니라 속도 그래디언트 텐서

에 대한 명시적인 의존과 유효 전단속도율 공식

(상세한 내용에 대해서는 포커-플랑크 방정식에 대한 단원 참조)에 의해 유도된

에 대한 내재적 의존 사이를 여전히 구분짓는다. 본 문헌에서, 방정식(17b)는 때때로 지수 기호를 사용하는 성분 형태로 다음과 같이 쓰여질 수 있다.

사람들은 종종, 모든 파라미터 의존성들을 숨기는 응축된 표시를 사용하여, 상기 방정식의 훨씬 간략화된 표현인

을 찾으며 또한 FO 행렬 또는 속도 그래디언트에 대한 성분 함수

의 명시적 의존성과 내재적 의존성 사이를 구별하지 않는다. 지수 기호로부터 방정식(17a,17b)에서 사용된 전체 텐서 기호로 되돌아가면, 이들 방정식들의 다음과 같은 간략화된 표현을 얻는다.

6. FTE의 수치적 적분: "연산자 분리(Operator Splitting)"

대류-반응 타입의 결합 PDE 시스템

의 수치적 적분을 위한 다양한 접근법들이 존재한다. 비선형적인 우측편 함수 F(...)의 경우에 특히 강력하고 유연한 것으로 증명된 한 접근법은

와 같은 PDE의 동등한 재공식화(reformulation)로부터 출발하여 함수 F(...)에 의해 결정된 "연산자"와 선형 미분 연산자 -Uㆍ▽...에 의해 주어진 우측편 상의 두 항들의 분리된 취급에 의해 진행된다. 수학 문헌에서, 이러한 접근법은 "분할단계법(method of fractional step)", "분리법(splitting method)" 또는 간단히 "연산자 분리(operator splitting)"으로 알려져 있다[23-37](대안적인 접근법에 대해서는 [28-31] 참조). "연산자 분리"에 의한 형태

를 갖는 방정식의 수치적 적분은, 우측편 상의 두 연산자들 중 하나를 0으로 설정함으로써 전체 방정식으로부터 얻은 두 개의 별개의 방정식

와

의 수치적(또는 어떤 경우에는 해석적) 해들을 사용하게 한다. 첫 번째 방정식은 균질한 대류 방정식

과 동등하며, 두 번째 방정식은 일반적으로 결합되어 있고 비선형적인 상미분방정식(ordinary differential equation; ODE)들의 시스템을 구성한다. 이러한 타입의 접근은 바람직한 일 실시예에서 사용된다. 방정식(17a,17b)의 기호를 사용하면, 폐 FTE에 대한 분리 접근법의 적용은 다음의 부분 방정식들을 가져온다.

(→ 우측편 상에서 영행렬 를 갖는 "대류 단계")

및

(→ "회전 단계")

상기 부분 방정식들은 "연산자 분리" 방법의 틀 구조 내에서 개별적인 하위 문제(subproblem)로서 취급된다. 방정식(18a)에 의해 모델링된 물리적인 효과는 유동 속도에 따른 유동 물질의 순수 대류 전달로 인한 금형 캐비티의 충전 도메인 내의 (FO 행렬의 성분들에 의해 부호화된) FO 통계의 공간적인 재분포이며, 방정식(18b)는 대류 전달의 효과를 완전히 무시하고 국소적인 속도 그래디언트에 의해 유도된 섬유들의 회전 운동뿐만 아니라 섬유들 사이의 상호 작용으로 인한 FO 분포의 국소적인 변화 속도만을 설명한다. 이하에서는 전체 방정식(6)(또는 요약 기호로 있는 그의 동등식(17a,17b))의 근사적인 해를 낳기 위하여 두 하위 문제들의 (수치적인) 해들이 어떻게 결합될 수 있는 지를 보이는 여러 가지 변형들이 기술된다.

6.1 "단순 연산자 분리"

상기 두 개의 부분 방정식들로부터 실제로 구해지는 방정식의 근사 해를 얻기 위한 가장 단순한 방식(통상 "단순 연산자 분리"라고 부른다)을 사용하면, 후자의 방정식은 두 번째를 위한 입력(즉, 초기값)으로서 첫 번째로부터 기인하는 중간 해(intermediate solution)을 취하여, 연속적인 순서로 풀이된다. 이를 더욱 상세하게 설명하기 위하여,

및

라고 놓은 모델 방정식

을 사용함으로써 기호를 단순화한다.

유동 해석기(flow solver)(즉, 현탁액의 유동을 모델링 하는 소프트웨어)는, 금형 캐비디, 탕구계(gating system), 주입구를 커버하는 전체적인 계산 도메인의 충전 부분 Ω⁽ⁿ⁾ 내에 있는 공간 내의 이산된 점들 r _m 주위에 위치한 모든 계산 셀들에서, 이산된 시간 순간 t_n에, 질량, 운동량 및 에너지에 관한 이산화된 전달 방정 식의 해에 의해, 유동의 상태 변수들, 그 중에서 유동 속도 U(r,t) 및 그의 그래디언트 텐서

를 낳는다. 유동 해석기는 시간 t₀ = 0에서 시작하며 스텝 크기 Δt_n+1 := t_n+1 - t_n을 사용하여 시간 t_n으로부터 t_n+1로 진행한다. 유동 계산은 그의 이전 상태 Ω⁽ⁿ⁾와 새로운 속도장 U ⁽ⁿ⁺¹⁾에 의존하여 시간 t_n+1에서의 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 계산을 포함한다. 이는 유체 체적(volume of fluid; VOF) 방법을 사용함으로써 이루어질 수 있다. 새로운 유동 선단(flow front)과 새로운 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾을 계산하는 것은 시간 t_n+1의 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 셀들 내에서의 모든 상태 변수들의 새로운 값들을 낳는다. 대응하는 단계에서, 새로 충전된 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 점들 r _m 주위에 위치한 모든 계산 셀들에서 시간 t_n+1의 새로운 값 y _m ⁽ⁿ⁺¹⁾ = y(r _m,t_n+1)은, 이전의 계산 단계로부터 이미 알고 있는 "이전의" 도메인 Ω⁽ⁿ⁾에서 정의된 값 y _m ⁽ⁿ⁾ = y(r _m,t_n)으로부터 시작하여, PDE

의 수치적인 해에 의해 계산될 것이다.

이는, "단순 연산자 분리"의 한 가지 가능한 변형을 구성하는 다음의 세 단계 과정에 의해 성취된다:

1. 확장(Extension) 단계: 도메인 Ω⁽ⁿ⁾의 셀들 내의 y _m ⁽ⁿ⁾ = y(r _m,t_n)으로부터 시작하며, 새로운 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 모든 셀들에서 초기화

를 계산한다.

2. 대류(Convection) 단계: 확장 단계에 의해 제공된 초기값

으로부터 출발하며, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내에서 유동 해석기에 의해 계산된 유동 속도 U(r _m,t_n+1)를 사용하여, 스텝 크기 Δt_n+1를 갖는 대류 방정식

의 수치적인 해에 의해 중간 값

를 계산한다.

3. 회전(Rotation) 단계: 이전의 대류 단계에 의해 제공된 초기 값

으로부터 시작하며, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내에서 유동 해석기에 의해 제공된 속도 그래디언트

를 사용하여, 스텝 크기 Δt_n+1를 갖는 ODE 시스템

의 수치적인 해에 의해 최종적인 값 y _m ⁽ⁿ⁺¹⁾ = y(r _m,t_n+1)를 계산한다.

도 11은 이러한 연산자 분리 변형을 도시하고 있다.

위에서 기술된 것과 같은 "단순한 분리" 변형은, 스텝 크기에 있어서 1차의 시간 이산화 오차(time discretization error) - 즉, O(Δt_n+1) - 로 전체 방정식

의 근사적인 해를 낳으며, 바람직한 일 실시예에 따른 방법에서 사용된다. 이 과정의 세 단계들에 대한 상세한 내용이 후속하는 단원에서 설명될 것이다.

"단순 연산자 분리"의 대안적인 변형은

(i) 시간 t_n에서 "이전의" 속도 그래디언트

을 사용하여 Ω⁽ⁿ⁾상의 회전 단계에 의해 출발한 다음,

(ii) Ω⁽ⁿ⁾로부터 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾로의 결과들을 확장하기 위하여 "중간" 단계로 진행하고

(iii) 시간 t_n+1에서의 유동 속도 U를 사용하여 대류 단계로 종료한다.

이러한 변형에서, 대류 및 회전 단계들이 반대 순서로 실행된다. 비록 이론적인 시간 이산화 오차는 위에서 기술된 제 1 변형의 경우에서와 동일한 정도이지만, 이러한 대안적인 변형은 덜 일관되기 쉬운데, 왜냐하면 상이한 시간 순간으로부터의 유동 속도 및 유동 그래디언트가 사용되기 때문이다.

이는 다음과 같은 또 다른 변형에 의해 회피될 수 있다.

(i) 위에서 기술한 바와 같이, Ω⁽ⁿ⁾로부터 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾로의 기지의 값 y_m ⁽ⁿ⁾의 확장 단계로 출발한 다음,

(ii) 회전 단계를 수행하고, 그런 후에

(iii) 대류 단계를 수행하는데,

여기서 두 단계 (ii)와 (iii)에 대해 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾내에서의 시간 t_n+1에서 유동 해석기에 의해 제공된 U 및

의 "새로운" 값들을 사용한다.

6.2 "대칭적 연산자 분리(Symmetric Operator Splitting)"

이론적으로, 시간 이산화 오차에 대한 더욱 고차의 정확성은 "대칭적 연산자 분리" 접근법에 의해 얻을 수 있다. 이러한 접근법의 기본적인 아이디어는, 전체 스텝 크기를 갖는 부분 방정식들 중 하나의 중간 단계를, 절반의 스텝 크기를 갖는 다른 방정식들의 단계들 사이에 묶는(bracket) 것이다. 이러한 접근법의 한 가지 가능한 변형은 다음의 네-단계 과정으로 귀결된다:

1. 확장 단계: 도메인 Ω⁽ⁿ⁾의 셀에서 y _m ⁽ⁿ⁾ = y(r _m,t_n)으로부터 출발하며, 새로운 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 모든 셀들에서 초기화

를 계산한다.

2. 전-회전(Pre-Rotation) 단계: 확장 단계에 의해 제공된 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾에 대한 기지의 값들의 확장

로부터 출발하며, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내에서 유동 해석기에 의해 제공된 속도 그래디언트

를 사용하여, 절반 스텝 크기 Δt_n+1/2를 갖는 ODE 시스템

의 수치적 해에 의해 전-회전된 값

을 계산한다.

3. 대류 단계: 전-회전 단계에 의해 제공된 초기값들로서

으로부터 출발하며, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내에서 유동 해석기에 의해 계산된 유동 속도 U(r _m,t_n+1)를 사용하여, 전체 스텝 크기 Δt_n+1를 갖는 대류 방정식

의 수치적 해에 의해 중간 값

을 계산한다.

4. 후-회전(Post-Rotation) 단계: 이전의 대류 단계에 의해 제공된 초기 값

로부터 시작하며, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내에서 유동 해석기에 의해 제공된 속도 그래디언트

을 사용하여, 스텝 크기 Δt_n+1를 갖는 ODE 시스템

의 수치적 해에 의해 최종적인 값 y _m ⁽ⁿ⁺¹⁾ = y(r _m,t_n+1)를 계산한다.

위에서 기술된 것과 같은 "대칭적인 분리"는 스텝 크기에 있어서 2차의 시간 이산화 오차 - 즉, O(Δt² _n+1) - 로 전체 방정식

의 근사적인 해를 낳는다.

이론적으로 가능한 또 다른 "대칭적인 분리" 변형은 절반의 스텝 크기를 갖는 두 개의 대류 단계들 사이에 회전 단계를 묶는 것이다. 상기 변형은,

(i) 새로운 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾으로의 기지의 값 y _m ⁽ⁿ⁾의 확장으로 시작하며,

(ii) 유동 속도 U(r _m,t_n+1)를 사용하여 새로운 도메인에서 절반 스텝 크기의 "전-대류(pre-convection)" 단계로 진행한 후,

(iii) 속도 그래디언트

을 사용하여 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾에서 전체 회전 단계를 수행하고

(iv) 유동 속도 U(r _m,t_n+1)를 사용하여 또 다른 절반 스텝 크기의 "후-대류" 단계로 종료하며,

이는 최종적으로 역시 2차의 정확도를 갖는 y _m ⁽ⁿ⁺¹⁾ = y(r _m,t_n+1)의 근사로 귀결된다. "단순한 분리"의 경우에서와 같이, 전-회전 단계로 시작하여 Ω⁽ⁿ⁾ 상에서의 속도 그래디언트

의 "이전의" 값들을 사용하는, 초기 확장 단계와 전-회전 단계를 뒤바꾼 세 번째 변형이 존재한다.

금형 충전(mould filling)에서 직면하는 통상적인 유동 상황은 섬유들의 큰 회전을 유발하는 전단 유동(shear flow)을 종종 포함하기 때문에, "회전 연산자" 부분은 순수 대류 전달의 영향에 비하여 항상 중요한 - 그리고 가장 상황 지배적인 - 역할을 한다. 따라서 대칭적인 분리 변형들 중 첫 번째에 대해 상세하게 기술한 바와 같이 전-회전 및 후-회전 단계들에 의한 대류 단계의 대칭적 묶음은 "대칭적 분리" 접근법의 양호한 변형예를 구성한다[19]. 그러나, 가장 실용적인 경우에 있어서, 유체 유동 계산에 의해 제공된 시간 스텝의 크기는 충분히 작으며, 단원 6.1에서 제출된 것과 같은 "단순한 분리" 변형은 그러한 경우들에서 충분한 정확도로 작용한다.

6.3 대안적인 분리 변형들

우측편 함수 F(...)의 대수적인 구조에 따라서, 다양한 대안적인 분리 접근법들이 가능하다. 만약 상기 함수가 항들의 합

으로 구성된다면, 부분 함수들 F_k(...)에 의해 결정되는 추가적인 하위 방정식(subequation)들

의 집합으로 상기 우측편을 분리하는 것이 가능하다. 가능한 몇몇의 부분 함수들은 선형적인 연산자들, 즉

을 포함한다. 이 경우에, 부분 대류 방정식의 우측편 상의 이들 선형적인 항들, 즉 선형성을 유지하는

, 중 몇몇(또는 전부)을 고려할 수 있으며, 위에서 설명된 바와 같은 별개의 ODE들 중 단일 ODE

또는 목록

내에서의 처리를 위한 진정으로 비선형적인 함수들 F_j(...)의 몇몇(또는 전부)을 남겨둘 수 있다.

방정식(16)의 우측편을 보면, 선형적인 첫 번째와 세 번째 항들 및 FO 행렬에 대한 비선형적인 의존을 어쩌면 가질 수도 있는 폐포 근사법을 포함하는 중간 항인 세 개의 항들의 합을 인지한다. (폐포의 선택에 따라서, 상기 중간 항은 하위 항(subterm)들의 또 다른 합으로 분리될 수도 있다.) 위의 언급에 따르면, 방정식(16)의 우측편 함수의 항 구조는 다양한 추가적인 분리 방식들을 구성할 가능성을 연다. 방정식(18a,18b)들로의 분리를 기초로 한 변형들과 대조적으로, 이들 추가적인 대안들은 ("대류 전달"과 국소적인 "회전 역학"의 경우에서와 같이) 상호 분리 가능한 물리적 효과들의 명백한 구별에 대응하지 않는다. 따라서, 이들은 물리적인 FO 현상의 적절한 시뮬레이션에는 거의 유용하지 않은 "인공적인 수학적 분리(artificial mathematical splitting)"로서 단순히 간주될 수도 있다. 이들 "인공적인" 분리 변형들의 가능성은 여기서는 단지 완결성을 위해 언급될 뿐이고 여기 서 추가적으로 논의되지는 않을 것이다.

6.4 "대류 단계"에 대한 수치적인 접근법

본 단원은 폐 FTE에 대한 "연산자 분리" 접근법 내의 하위 문제로서 해결되어야 할 대류 방정식(18a)을 적분하는데 사용되는 수치적 방법을 설명한다. 새로운 시간 스텝에 대해 계산된 속도 U ⁽ⁿ⁺¹⁾을 기초로, 전달 방정식 시스템 행렬이 1차 풍상 방식(first order upwind scheme)을 사용하여 만들어지며[32], 그리고 방정식들의 결과적인 시스템이 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾에 대한 FO 행렬의 각각의 성분에 대해 풀린다.

6.5 "확장 단계"에 대한 수치적인 접근법

"이전" 도메인 Ω⁽ⁿ⁾의 계산 셀들 내의 FO 행렬의 기지 값들을 "새로운" 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 셀들로 확장하기 위하여 수치적인 방법이 사용된다. "새로운" 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 계산은, 유동 방정식(즉, 질량, 운동량 및 에너지의 보존 방정식)들의 수치적인 해에 대한 바람직한 일 실시예에 따른 방법에서 적용된 알고리즘의 일부분으로서 변형된 VOF 방법에 의해 수행된다. FO 행렬의 값들은 두 도메인들에 공통인 셀들에서는 확장 단계 동안 변하지 않고 유지된다. 일반적으로, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾은, FO 행렬의 성분들에 대한 합당한 값들의 초기 할당이 요구되는 많은 수의 "새 로 충전되는 셀들"을 포함한다. 바람직한 일 실시예에 따르면 이는, 이전에 계산된 물질 유동에 따라 이웃하는 셀들로부터의 또는 이웃하는 셀들 내로의 계산 셀 내의 물질 전달에 대응하는 가중 평균에 의해 달성된다.

입자 농도가 균질한 것으로 가정되고 FO 행렬이 거시적인 레벨 상에서의 체적 평균적인 과정으로부터 기인하기 때문에, 셀은 그에 전달된 유체 물질의 총량에 비례하여 그의 이웃하는 셀들로부터 FO 기여를 얻을 것이라고 가정한다. FTE의 위상 공간 - 즉, 모든 가능한 FO 행렬들의 집합 - 의 이전에 요약된 수학적 특징에 따르면, 위상 공간은 (5차원) Tr[a_ij ⁽²⁾] = 1 초평면에 한정된 실대칭 3×3 행렬들의 6차원 벡터 공간의 유계 볼록 부분집합이다. 물질 전달에 따라 가중된 평균이 FO 행렬의 볼록한 조합 내에서 구성되고 따라서 항상 유효한 FO 행렬을 가져오기 때문에, 초기화 과정은 이 과정의 중요한 특성인 FT 모델의 위상 공간의 (이론적으로 요구된) 위상 기하학적 구조와 양립 가능하다.

6.6 "분수 유동(Fountain Flow)" 효과의 취급

"분수 유동"이라는 용어는 다양한 분류의 점성 비-뉴턴 유체(Non-Newtonian fluid)의 경우에서 선단의 자유 표면(free surface) 근방에서의 전체적인 거시적 유동 패턴을 특징짓는다. "분수 유동"에서, 유동 선단 근방의 상류측 입자들은 코어 영역으로부터 벽 경계로 전달된다. 이러한 효과는, 유체의 재료 특성 때문에 실제로 "자동적으로" 발생하며, 적절한 비-뉴턴 구성 법칙을 갖는 나비어-스토크 방 정식(Navier-Stokes equation)들을 기초로한 적어도 3D 유동 계산에서는 추가적인 모델링을 요구하지 않는다: 즉, "분수 유동"은 창발적 현상(emergent phenomenon)이다. 그러나 유동 계산이 단순화된 모델(예컨대, [1]에 있는 Crochet의 논문의 단원 11.3에서 논의된 것과 같은 헬레-쇼(Hele-Shaw) 타입의 모델)들을 기초로 하는 경우에는 그렇지 않다. 바람직한 일 실시예에 따른 방법으로 채널 유동의 시뮬레이션시, "분수 유동" 패턴은 입자 추적(particle trace)들에서 명백하게 인지될 수 있는데, 이는 이 현상이 유동 해석기에 의해 설명된다는 것을 보여준다.

새로 충전된 셀들에 대한 섬유 배향의 초기화 과정에 대해 (섬유 배향에 대한 "분수 유동"의 관찰된 효과와의 일치가 요구되므로) 자유 표면에 수직한 FO 성분이 0(zero)이라는 것을 보장하기 위하여 몇몇 특수한 작용이 취해질 것이 요구된다. 수직한 FO 성분의 "요구된" 사라짐(vanishing)은 다음과 같은 이유로, 위에서 기술된 "확장 단계" 과정에 의해 (의도적으로) 강제되지 않는다: 수학적인 관점으로부터, FTE 모델은, 그 우측편의 항들과 결합된 쌍곡형 전달 방정식들의 시스템이다(즉, 비선형적인 반응 항을 갖는 대류-반응 타입의 시스템, 전술한 부분 참조). 따라서, 자유 표면 셀들에서의 FO 행렬에 대한 경계 조건으로서 자유 표면 법선 방향으로의 FO 행렬의 성분의 사라짐을 규정하는 것은 적절하지 않다 - 즉, 수학적으로 말해서, 불가능하다. 이러한 FO 성분의 사라짐은 사실, 유동의 계산된 "분수 유동" 거동으로부터 자동적으로 나타나야 한다.

그러나, 시간적인 및/또는 공간적인 이산화 오차들에 의해 도입된 수치적인 부정확성뿐만 아니라 금형 충전 동안 자유 표면의 운동을 계산하는데 사용되는 과 정으로 인하여, 새로이 충전된 셀들에 대한 초기화 과정이 "분수 유동" 현상에 의해 요구되는 것과 같은 자유 표면에서의 FO 거동과 일치한다는 것을 보장하기 위한 몇몇의 "보정들"을 추가하여야 할 수도 있다. 새로 충전된 모든 셀들에 대해, 섬유 배향 텐서의 트레이스가 이론적인 값인 1과 1% 이내로 차이가 있는 지 검사된다. 만약 차이가 너무 크다면, 섬유 배향 텐서는 그의 고유 공간(eigenspace) 내에 있는 고유 벡터들의 허용 가능한 삼각형에 대한 정사영(orthogonal projection)에 의해 보정된다.

6.7 시뮬레이션의 시작시에 FO 행렬의 초기화

(폐) FTE의 쌍곡형 구조는 경계 조건으로서 금형 충전 시뮬레이션의 모든 시간 스텝에서 유입구(뿐만 아니라 그 근처) 내의 계산 셀들의 FO 행렬의 초기화를 요구한다. 따라서 이러한 초기 FO 상태의 적절한 선택이 이루어져야 한다. 바람직한 일 실시예에 따른 방법에서, 이하에서 설명하는 바와 같은 목적을 위하여 (무작위적인 FO 분포에 대응하는) 등방적인 FO 상태

가 선택된다.

높은 점성의 전단 유동(shear flow)에서, FO 상태는 높은 전단속도율에 의해 강하게 영향을 받는데, 왜냐하면 상기 상태는 국소적인 준-평형의 "최종적인" 상태로 빠르게 유도되기 때문이다. 따라서 탕구(ingate)(이는 용융체가 실제로 들어가는 부분이다)에서 관찰된 FO 상태는 러너 시스템(runner system) 전체의 유동 히스토리에 의해 완전하게 결정되며 유입구에서 가정된 초기 상태와는 크게 무관하다. 한편 FTE의 해석적 구조뿐만 아니라 그의 운동학(즉, 위상 공간 내에서 가능한 상 태들)에 대한 분석은, 유입구 근처의 러너 시스템 내의 유동장(flow field)에 의한 후속하는 적합화의 관점에서 유입구에서의 무작위적인 배향의 가정이 최적의 선택이라는 점을 보여주는데, 왜냐하면 무작위적인 배향 상태는 속도 그래디언트의 모든 성분들의 완전한 결합을 낳기 때문이다.

위에서 설명한 연산자 분리 공정이 도 11을 참조하여 단순화된 형태로 기술된다.

단계 1: 새로 충전된 셀들에 대한 초기 조건들 및 경계 조건들을 설정하고,

단계 2: 유동장에 따라 섬유 배향을 이동시키고,

단계 3: 속도 그래디언트에 따라 섬유 회전을 계산한다.

7. "회전 단계" ODE에 대한 수치적인 접근법

폐 FTE에 대한 "연산자 분리" 접근법의 일부로서 풀이되어야 할 ODE의 결합 시스템(18b)을 적분하는데 수치적인 방법이 사용된다. 이 방법은 바람직한 일 실시예에 따른 방법인 FO 모듈의 구현을 위해 특별하게 개발되었다. 이는, 단섬유 강화 열가소성 재료들에 대한 3D 사출 성형 시뮬레이션의 통상적인 산업적 응용이라는 맥락 내에서 관련된, 다음과 같은 다양한 양상들을 포함한다.

ㆍ FO 행렬의 6개의 독립적인 성분들의 전체 집합을 사용하여 FTE를 공식화(대각선 성분들 중 하나를 제거하여 FTE의 종속 변수들의 개수를 하나 줄이기 위하여 트레이스 조건(trace condition)을 사용하는 "표준 과정"에 반대된다);

ㆍ 트레이스 조건에 의해 정의된 초평면을 FTE의 안정적인 적분 다양체로 변 환하는 "벌칙(penalty)" 제어 항을 FTE의 우측편에 추가;

ㆍ 국소적인 전단속도율(속도 그래디언트의 최대 성분)의 크기에 따라 시간 적분 방식을 선택하는 적분 방법을 구성하기 위하여 속도 그래디언트의 성분들에 대한 FTE의 우측편 함수의 특수한 축척 거동(scaling behavior)의 개발;

ㆍ 간격 [0,1]로 한정된 스칼라 배향 인자를 갖는 "안정화된 하이브리드 폐포(stabilized bybrid closure)"의 구현;

ㆍ 최소 개수의 연산자를 갖는 하이브리드 폐포로 FTE의 특수한 우측편 함수의 값을 구하기 위한 효율적인 과정을 구현

이들 양상들은 아래에서 상세하게 설명한다.

7.1 하이브리드 폐포의 안정화

방정식(6) 및 (6a,6b)에 의해 정의된 것과 같은 하이브리드 폐포 근사법들은, 속도 그래디언트가 복잡화된 구조를 가지며 - 즉, 단순한 전단(shearing)/늘림(stretching) 유형이 아니라 복잡한 3D 유동 패턴을 반영하는 - (유동 해석기에 의해 결정된 바와 같은) 시간 스텝의 크기가 상당한 크게 되는 경우에 특히 안정성 문제를 경험한다. 스칼라 배향 인자

가 음의 값으로 벗어나는 것은 이러한 불안정성의 주요한 원인인데, 이 인자가 일단 음으로 되면, 수치적인 해는 빠르게 불안정해지고 FO 행렬들에 대해 허용 가능한 위상 공간 집합으로부터 먼 값으로 지수적으로 발산한다.

따라서

의 값들의 제어는 FO 계산 과정의 수치적인 안정성을 향상시킨다.

FO 행렬의 행렬식(determinant)이 항상 간격 [0,1/27]로 한정되어 있기 때문에, 방정식(6c)에 의해 정의된 바와 같은 배향 인자의 이론적으로 허용 가능한 값들도 역시

로 제한된다. 따라서, 하이브리드 폐포의 표준 정의(6)는 다음과 같은 방식으로 변형된다.

방정식(6a,6b)에 의해 주어진 바와 같은 선형적인 2차 폐포 항들의 정의는 바뀌지 않고 유지되며, 방정식(6c)에 의해 정의된 바와 같은 배향 인자

는 위의 방정식(19)에서 정의된 바와 같이 한정된 배향 인자

로 대체된다. 이러한

의 정의는, 만약 항

이 간격 [0,1] 내의 값으로 계산된다면

이고 그렇지 않다면 최소 또는 최대로서 0 또는 1을 취한다는 것을 의미한다.

정의(19)는 안정화된 하이브리드 폐포 근사법으로서 표시된다. 수치적인 실험은, 간격 [0,1]로

의 값들을 한정하는 것이 고려된 시험 예들에서 심각한 불안정성들로의 발전을 방지한다는 것을 보여주었다. 상기 안정화된 하이브리드 폐포는 다양한 3D 사출 성형 시뮬레이션에서 성공적으로 시험되었다.

7.2 트레이스 조건을 통한 변수들의 개수의 감소

방정식(16)에서 제공된 것과 같은 폐 FTE의 종속 변수인 2차 FO 텐서

는 대칭 3×3 행렬이다. 그의 성분들 a_ij ⁽²⁾ = a_ji ⁽²⁾이 선험적으로 6개의 상호 독립적인 변수들의 집합을 구성하기 때문에, FTE는 여섯개의 PDE들의 결합 시스템이다. 비록 FTE의 대수적인 구조가 공식적으로 임의의 대칭 3×3 행렬들을 허용하지만, 행렬들은 FO 행렬들로서 자격을 갖게 하는 그들의 불변량들에 대한 제한으로서 공식화된 많은 수의 추가적인 조건들을 총족하여야 한다.

상기 불변량 조건들의 가장 단순한 형태인 트레이스 조건

은 FO 행렬의 대각선 성분들

중 하나를 제거하여 변수들의 개수를 하나 줄일 명백한 가능성을 연다. 보다 학술적인 유동 상황들(예를 들어, 단순한 전단 또는 늘림 유동과 같은) 하에서 섬유 현탁액 유동을 조사하는 대부분(그렇지 않다면 전부)의 공개된 연구 논문은 제거될 특정한 대각선 성분에 대한 고정된 선택을 함으로써 이러한 접근법을 사용한다. 그러면 상기 제거는 이러한 방식에서

에 독립적으로 되는 방정식(16)의 우측편으로 예컨대

를 대입함으로써 달성된다. FTE가 방정식(14) 또는 (15a)에 의하여 모든 합당한 폐포 근사법들에 대한 트레이스 조건들과 공식적으로 양립 가능하기 때문에, 트레이스 조건과 대각선 성분

에 대한 PDE는 모두 동일하게(즉, 공식적인 대수적 항등식으로서) 충족되며, FO 행렬의 다섯 개의 성분들의 남아있는 집합과 그들의 PDE들의 추가적으로 결합된 시스템만을 고려하는 것으로 충분하다.

이러한 과정은 순수하게 공식적이다. 이 방식으로 제거될 대각선 성분의 선택이 우수한 것인 지 여부는 유동의 국소적인 속도장(velocity field) U 및 그의 그래디언트

의 공간적인 특성들에 의존한다. 유동 속도의 평면 변수들(예컨대, x₁-x₂ 평면에 있는)을 단순히 보이는 단순한 타입의 유동들의 경우에, 위에서 설명된 것과 같은

의 제거는 합당한 선택인데, 왜냐하면 속도 그래디언트의 특수한 형태는 이 경우에 직교하는 x₃ 방향에 단지 "약한 결합"만을 유발하기 때문에, 이 경우에 섬유들의 지배적인 회전 운동은 유동 평면으로 제한되기 때문이다. 이러한 변수에 의하여,

또는

중 하나를 제거를 위해 선택하는 것은 (예컨대, 해의 안정성에 관하여) 수치적인 문제들을 유발하고 따라서 덜 만족적인 결과를 낳을 가능성이 높다라고 말할 수 있다. 그러나, 유동 속도 U 및 그의 그래디언트

가 모두 공간뿐만 아니라 시간에 따라서 복잡한 방식으로 변할 수 있으며 따라서 어떤 특정하게 단순한 형태를 갖는 것으로 가정할 수 없기 때문에, 복잡한 기하학적 형상의 금형 내의 3D 사출 성형 시뮬레이션에서의 상황은 크게 다르며, 따라서 고정된 하나의 선택(위의 하나와 같이)은 최적이 아닐 가능성이 매우 크다. 따라서 트레이스 조건에 의한 FO 행렬의 대각선 성분들의 하나를 제거하는 것은 산업적인 현탁액 유동의 시뮬레이션에는 부적절한 것으로 여겨진다.

단위 트레이스 조건에 의해 대각선 성분들 중 하나를 제거하는 것에 대조되는 - 수치적 안정석과 관련된 - 또 다른 변수는 Shampine의 일련의 논문들에서 제출된 것으로, 상기 논문들에서 특수한 대수적 제약("보존 법칙")들을 갖는 ODE 시스템들이 조사되어 있다. [34-36]에서, ODE들의 결합 시스템

이 고려되는데, 여기서 "종 농도(species concentration)"의 n-차원 벡터 c=(c₁,...,c_n)^T가 질량 보존의 조건

에 의하여 (n-1) 차원의 초평면으로 제한된다. 이러한 조건이 예를 들어 관계

를 우측편 함수 F(...)에 대입함으로써 공식적으로 농도들 중 하나를 제거할 가능성을 낳으며 따라서 동시에 보존 법칙을 정확하게 충족시키지만, Shampine은 수치적인 적분 과정 내에서 이러한 "트릭"을 사용하는 것은 보존 법칙을 통해 대수적으로 얻은 남아 있는 농도 c_n 내에서 (감소된) ODE 시스템의 수치적 적분에 의해 계산되는 농도 c₁,...,c_n-1의 수치적 오차의 누적을 유발할 뿐이라고 주장한다. 비록 구성에 의한 보존 법칙은 항상 정확하게 만족되지만, 이러한 방식으로 계산된 수치적인 해가 결코 정확하다는 것을 보장하지는 않는다. 사실, 특히 스티프한(stiff) ODE 시스템의 경우에, 이러한 "직접적인 제거 접근법"이 신중하지 않게 사용된다면, 수치적 해는 진정한 해로부터 멀리 임의로 벗어날 수 있다는 것이 알려져 있다. [34-36]에 따르면, 이러한 변수는 가중치 인 자(weight factor)의 벡터 w=(w₁,...,w_n)^T를 포함하는 일반적인 선형 보존 법칙

의 경우에도 역시 유효한 것으로 남아 있으며, g(c)=const.인 형태의 더욱 일반적인 비선형 제약이 고려되는 경우에도 역시 동일한 결론을 짓는다.

선형적인 "보존 법칙"인 "단위 트레이스(unit trace)" 제약에 의해 주장된 폴거-터커 방정식이 [34-36]에서 제출된 수학적인 방정식들의 특수한 예이기 때문에, Shampine의 수학적인 분석은 단위 트레이스 조건에 의한 대각선 성분들 중 하나를 제거하는 것이 수치적인 불안정성을 유발할 가능성이 매우 높으며 FO 행렬의 대각선 성분들에 있어서 제어할 수 없는 부정확성을 도입할 것이라는 점을 보인다.

위에서 주어진 변수 때문에, 바람직한 일 실시예에 다른 방법은 - 단위 트레이스 조건을 통해 대각선 성분들 중 하나를 제거하는 "표준 접근법"으로부터 벗어나서 - FO 행렬의 여섯 개의 성분들과 FO 계산을 위한 FTE 시스템의 방정식들을 모두 사용한다.

7.3 벌칙 항에 의한 동적인 트레이스 안정화

폐 FTE 시스템 및 그의 "회전 단계" 부분이 방정식(16) 및 (18b)에 의해 주어진 바와 같이 고려되고 종속 변수들의 집합으로부터 FO 행렬의 대각선 성분들 중 하나를 제거하기 위한 트레이스 조건이 사용되지 않는다면, 수치적으로 계사된 FO 행렬의 트레이스를 소망하는 값 1에 가능한 가깝게 유지하기 위하여 몇몇 추가적인 방법이 요구된다.

논문 [34-36]에서, (전의 단원 7.2에서 논의된 바와 같이) 어떠한 종류의 제거 접근법도 회피하면서 통상적인 ODE 적분 방법들과 상기 요구된 보존 법칙 또는 대수적 제약들의 (정확한 또는 근사적인) 충족을 책임지는 몇몇 투영 과정과의 결합에 의해 전체 시스템을 다룰 것이 권장된다. 각각의 시간 스텝에 대하여, 수치적 해는 먼저 대수적인 제약들의 고려 없이 계산되고, 다음으로 제약 방정식에 의해 정의된 대수적 다양체(예컨대, 선형 제약의 경우에 초평면)의 가장 근접한 점 위로의 투영 매핑에 의해 보정된다.

이러한 접근법에 대한 대안적인 원리는, 수치적으로 계산된 FO 행렬의 트레이스가 그의 소망하는 값 1에 가능한 가깝게 유지될 수 있도록, 모델 방정식들의 우측편에 적절한 제어 항들을 더함으로써 상기 제약들을 다루도록 시도한다. 제어 항들의 존재는 어떠한 추가적인 수단들 없이 제약 또는 보존 법칙들의 대략적인 충족을 낳는다. 많은 경우에 있어서, "굳은(hard)" 제어는 일종의 투영의 결과를 효과적으로 가져오는 반면, "무른(soft)" 제어는 상기 요구된 제약들로부터의 작은 벗어남을 허용한다.

바람직한 일 실시예에 따른 방법에서, 제어 접근법(control approach)은 수치적으로 계산된 FO 행렬의 트레이스를 그의 요구된 단위 값에 근사적으로 유지시키는데 특히 사용된다. 안정화는 방정식(16) 또는 (18b)의 우측편 함수에 적절한 제어 항(control term)을 각각 추가함으로써 트레이스 조건

로 정의된 5D 초평면을 폐 FTE 시스템의 안정적인 적분 다양체로 변환하는 개념을 기초로 한다. 상이한 관점으로부터, 이는

이 트레이스의 미분 방정식(12)의 안정적인 고정 점으로 되는 상황과 동일하다.

어떠한 합당한 제어 항에 의해서도 만족될 일반적인 요구사항들은 다음과 같이 결정되었다:

ㆍ 트레이스 조건이 이미 충족되어 있다면 제어 항은 동일하게 사라져야 한다.

ㆍ 수치적인 해가 트레이스 조건을 충족하지 못한다면, 제어 항은 수치적인 해를

초평면으로 되돌려야만 한다.

이들 두 주요한 요구사항을 제외하면, 합당한 제어 항은 속도 그래디언트의 재축척(rescaling)에 관하여 FTE의 우측편 함수의 축척 거동과 양립 가능하여야 하며(이 점에 대한 더 상세한 내용에 대해서는 유동 제어 시간 적분(flow controlled time integration)에 관한 단원 7.4 참조), "무른" 또는 "굳은" 제어의 조정을 가능하게 하는 조정 파라미터를 포함하여야 하는데, 여기서 굳은 제어는 "무한히 굳은(infinitely hard)" 제어의 한도 내에서 투영과 효과적으로 유사하다.

적절한 제어 항의 특정한 선택은 특정한 폐포 근사법, 이 경우에는 하이브리드 폐포 근사법(표면 및 안정화된 변형)의 선택에 적합화되어야 한다. FTE

로부터 출발하면, 트레이스에 대한 DE는 다음의 항등식들로부터 얻는다.

(표준) 하이브리드 폐포의 특수한 경우에 있어서, 우측편 함수의 트레이스는

로 계산될 수 있으며, 이는 수학식(15b)로 주어진 바와 같이 변수 전인자 φ_a를 갖는 트레이스의 DE의 간단한 형태(15a)를 낳는다. 안정화된 하이브리드 폐포의 경우에, 스칼라 배향 인자

은 방정식(19)에서 정의된 그의 제한된 (안정화된) 변형으로 대체되며, 따라서

대신에

를 포함하는 전인자

를 갖는 트레이스에 대하여 공식적으로 정확하게 동일한 DE가 얻어진다.

상기 (안정화된) 하이브리드 폐포의 특수한 경우에 우측편 함수

에 추가될 벌칙 항의 특수한 선택은 다음과 같다.

파라미터 α는 양(+)일 것이 요구되지만, 시간에 대하여 반드시 상수일 필요는 없다. 3×3 행렬

는 단위 트레이스에 대하여 대칭일 것이 요구되지만, 그렇지 않으면 임의적이다. 행렬

는 제어 항(20)의 "방향"을 정의한다. 이는 시간에 대해 상수일 수도 있고 변수일 수도 있다. 변수는

의 함수로서

를 정의할 가능성을 포함한다.

에 대한 상이한 선택들은 제어 항의 상이한 변형들에 대응한다. 바람직한 일 실시예에 따른 방법에서 사용된 변형는

(즉, b_ij=⅓δ_ij)를 사용하는 데, 이는

초평면에 직교하는 방향으로의 제어 항에 대응한다. 대안적인 변형은 선택

으로 주어진다([18] 참조). 제어 항(20)을 추가한 후에, 안정화된 하이브리드 폐포를 갖는 폐 FTE의 다음과 같은 일반화된 변형도 역시 반드시 고려되어야 한다.

마찬가지로, 제어 항은 ODE(18b)의 우측편에 들어가며, 그럼으로써 상기 ODE(18b)의 우측편은 편도함수

에 의해 대체된 재료 도함수

를 갖는 방정식(21)의 형태가 된다. 제어 항(20)의 트레이스가

에 대해 계산하기 때문에, 제어 항의 특수한 형태는 다음의 수학식에 따라 (15a,15b)를 변형하도록 재단된다.

α > 0이기 때문에, 값

은 DE(22)의 안정한 고정된 점에 대응하며, 따라서 그에 대응하는 초평면은 하이브리드 폐포를 갖는 FTE의 변형된("제어된") 형태(21)의 안정한 적분 다양체가 된다. 결론적으로, 수학식(21)의 어떠한 수치적 해의 트레이스도 제어 항(20)에 의해 상기 요구된 값 1에 가깝게 유지되는데, 왜냐하면 이 항은

의 방향에서

을 갖는 모든 해들을 더 낮은 트레이스 값들을 향해 강제하고,

를 갖는 해들은 그에 대응하여 더 큰 트레이스 값들을 향해(역시

의 방향에서) 강제되기 때문이다

제어 항(20)의 "세기(strength)"는 파라미터 α를 적절히 조정함으로써 조절 가능하다. 즉, 상기 파라미터 α의 작은 값들은 1을 향한 트레이스 값들의 상대적으로 "무른" 보정을 이끄는 반면, α의 큰 값들은

초평면을 향해 (순간적인 투영의 효과에 가까운) 강력한 미는 힘을 가져온다. 실제에서, α의 큰 값들은 명시적인 ODE 적분 방법으로 사용될 때 문제를 초래할 수 있는데, 왜냐하면 이 경우에 큰 트레이스 보정은 수치적인 해를 다른 방식으로 초평면의 양쪽으로 밀며 그럼으로써 불요 진동(spurious oscillation)을 유발한다. 중간 값들의 상대적으로 넓은 범위 내에서의 α의 선택은 제어 항에 의해 유발된 원하지 않는 인공잡상(artefact)들 없이 적절한 수치적 결과들을 이끈다는 것을 보여주었다[18].

폐 FTE의 대응하는 우측편 함수

을 가져오는 폐포 근사법의 어떤 특정한 선택에 대해, 제어 항의 다음과 같은 포괄적 정의는

동일하게 트레이스 DE(22)를 가져오며 따라서 (안정화된) 하이브리드 폐포의 특수한 경우에 대해 위에서 기술된 바와 같이

의 안정화를 가져온다. 만약 대칭적인 단위 트레이스 3×3 행렬

이

의 임의의 함수가 되는 것을 허용한다면, 방정식(20a)는 제어 항의 가장 일반적인 형태를 구성한다.

7.4 유동 제어 시간 적분(Flow controlled time integration)

"연산자 분리" 접근법을 사용하면, "회전 단계" ODE 시스템(18b)의 수치적 해는, 충전된 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 (공간 벡터 r _m으로 표시된) 모든 계산 셀들 내에서 유동 해석기에 의해 제공된 전역(global) 스텝 크기 Δt_n+1 = t_n+1 - t_n를 갖는 시간 간격 [t_n,t_n+1]에서 계산되어야 한다. 각각의 셀에서, 국소적 속도 그래디언트

의 성분들은 수학식(18b)의 우측편에 외부 계수들의 집합으로서 들어간다. 만약 이들이 크다면, FO 행렬 성분들의 값들이 상기 시간 간격 동안 크게 변화하는 반면, 매우 작은 속도 그래디언트는 이전의 계산 단계에 의해 제공된 것과 같은 그들의 초기 값들로부터 FO 행렬 성분들의 무시할 만한 변화를 낳는다.

사출 성형 시뮬레이션의 모든 실용적인 경우들에 있어서, 속도 그래디언트는 충전 단계 동안 금형 캐비티 내의 충된 도메인에 걸쳐 크게 변화한다. 전단속도율의 값들이 통상적으로 캐비티 벽 근처에서 높은 반면, 벽들 사이의 간격의 중앙 공간에서는 상당히 낮은 값들이 관찰되었다. 이는, 섬유들의 빠른 배향이 벽 근처에서 유동 속도의 방향으로 강한 전단 유동을 겪는 반면, 중앙 영역에 있는 섬유들은 그들의 배향 상태에 있어서의 변화에 대해 현저하게 더 긴 시간이 걸린다는 결과를 낳으며, 이는 단섬유 강화 열가소성으로 만들어진 사출 성형 부품들에서 통상적으로 관찰되는 잘 알려진 "샌드위치 구조"(벽 근처의 고도로 배향된 영역들 사이에 있는 상대적으로 낮은 섬유 배향 정도를 갖는 "코어" 중심 영역으로 이루어지는)를 가져온다.

ODE 시스템의 적분에 대한 수치적인 방식은 스텝 크기의 적절한(바람직하게는 적응적(adaptive)) 선택에 의해 우측편 함수의 "세기"를 결정한다. 이러한 방식으로, 우측편 함수의 (절대) 값들이 상대적으로 작은 영역들을 횡단하는 너무 작은 작은 스텝들을 취하는 것뿐만 아니라, 큰 값들의 간격들 사이를 횡단하는 거친 스테핑(coarse stepping) 또는 우측편 함수의 강한 변화로 인해 발생하는 부정확성을 회피하도록 시도된다. 적분 방식뿐만 아니라 스텝 크기의 적절한 선택에 의하여, 소망하는 한도까지 ODE 적분의 수치 오차를 제어하는 것이 가능하다.

"회전 단계" ODE 시스템의 특수한 경우에 있어서, 전역 스텝 크기 Δt_n+1뿐만 아니라 전역 수치 오차 ε_FO를 갖는 시간 간격 [t_n,t_n+1]에 걸친 수치적 적분은, 속도 그래디언트의 변화에 의한 우측편 함수의 변화에도 불구하고, 계산 도메인의 모든 셀들에 걸쳐 일정해야 하도록 제공되어야 한다. 이러한 목적을 위하여, 특수한 수치적 방식이 고안되었는데, 상기 방식은 다음과 같은 선택에 의하여 우측편 함수에 대한 최소 개수의 계산으로 목표를 달성한다: 즉,

국소적인 속도 그래디언트의 값들에 의해 결정된 것과 같은 국소적인 우측편 함수의 "세기"에 적합화된,

ㆍ "적분 규칙(integration rule)"(오일러, 중점 또는 4차 룽게-쿠타(Runge-Kutta)) 및

ㆍ (차원이 없는) 국소적인 스텝 크기뿐만 아니라

ㆍ 선택된 규칙을 갖는 상기 크기의 스텝들의 국소적인 개수.

상기 방식은 수치적 ODE 적분에 대한 "적응성 스텝 크기 제어"의 알려진 접근법과는 다른데, 왜냐하면 이는 속도 그래디언트의 성분들에 관한 방정식들(16) 또는 (18b)의 우측편 함수의 축척 거동을 이용하며 FTE 시스템에 특별하게 적합화되어 있기 때문이다. 상기 방식에 고유한 국소적인 시간 스텝들의 개수와 크기 및 적분 규칙에 대한 선택 과정은 사용된 적분 규칙의 이론적인 이산화 오차를 기초로 한 학습적 접근법(heuristic approach)이다. 상기 방식의 두 양상들이 이하에서 상세하게 설명된다.

방정식(17b) 또는 (18b)의 우측편 함수

의 특수한 형태는 방정식(16)으로부터 다음과 같이 얻을 수 있다.

속도 그래디언트

에 대한 모든 의존성들을 해결하기 위하여, 명백하게도 유효 전단속도율과 회전 확산 파라미터를 정의하는 공식 D_r = C_lγ_eff,

와 항등식

뿐만 아니라 유효 속도 그래디언트와 전단속도율의 정의(1a/1b), 즉

를 대입하여야 한다. 이하의 고려의 경우에, FO 행렬에 대한 함수

의 간접적인 의존성을 폐포 함수

을 통해 억제하고 속도 그래디언트에 대한 상기 함수의 간접적인 의존성을 유효 전단속도율을 통해 억제할 뿐만 아니라 상수 모델 파라미터들 C_l 및 λ에 대한 의존성을 억제하는 것이 유용할 것이며, 따라서

의 변수 목록에서 FO 행렬

과 속도 그래디언트

에 대한 의존성만을 남겨두면서 (방정식(17c)의 우측편에 대해 이미 수행된 바와 같이) 우측편 함수의 대수적 표현을 다음과 같이 단순화된 형태로 다시 쓰는 것이 유용할 것이다.

함수(23)의 우측편을 사용하여 (수학식(17c)에 대응하는) ODE 시스템(18b)의 동등한 재공식화가 다음과 같은 형태로 다시 쓰여질 수 있다.

몇몇 인자 σ > 0에 의한

의 성분들의 곱

은 그에 대응하는 곱들

,

,

을 유도하는데, 상기 곱들은 수학식(23)의 우측편의 특수한 대수적 구조로 인하여 두 번째 매개 변수에 관한 함 수

의 축척 거동을 표현하는 다음과 같은 대수적 항등식을 가져온다.

전술한 바와 같이, 일반적인 작업은, 충전된 셀들의 도메인의 모든 셀들에 걸쳐 일정한 전역 수치 오차 ε_FO를 갖는 시간 간격 [t_n,t_n+1]으로 ODE들의 결합 시스템(18c)에 대한 수치적 적분이다. 이는, 속도 그래디언트의 축척에 대한 우측편 함수

, 상기 우측편 함수 및 ODE 시스템(18c)의 특수한 성질(24)을 다음과 같은 방식으로 이용함으로써 달성될 수 있다.

ㆍ 가장 큰 절대값, 즉

를 갖는 속도 그래디언트의 성분의 값을 결정한다. (

과 함께 파라미터 γ_m도, 속도 그래디언트가 우측편 함수에 들어가는 시간 좌표 t_n 또는 t_n+1에 대해서 뿐만 아니라 국소적인 계산 셀을 표시하는 공간 벡터 r _m에 대해 의존한다는 것을 유의한다.)

ㆍ 축척된 속도 그래디언트

및 축척된 시간 좌표 τ:=γ_maxt - 상기 둘은 모두 차원이 없는 양이며, 이러한 축척은 셀 r _m에서 및 시간 간격 [t_n,t_n+1]에서 국소적으로만 적용된다는 점을 유의한다 - 를 도입하고, 상기 축척된 양 및 방정식(24)를 이용하여 ODE(18c)를 다음과 같은 축척된 형태로 변환한다.

원래의 ODE(18c)는, 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 모든 계산 셀들에 대해 동일한 "물리적인" 스텝 크기 Δt_n+1 = t_n+1 - t_n(예컨대 [s]로 측정된)을 갖는 "전역" 시간 간격 [t_n,t_n+1]에 걸쳐 그리고, 도메인 내의 상이한 셀들에 대해 상이한 값들의 파라미터 γ_max로 표시된 바와 같은, 속도 그래디언트

의 변화에 따라서 변화하는 "세기"를 갖는 우측편 함수들에 걸쳐 적분되어야 한다. 차이점은, 변형된 ODE(25)는 다음과 같은 차원이 없는 크기

의 "국소적으로" 축척된 시간 간격 [τ_n,τ_n+1]에 걸쳐 우측편 함수들로 적분되어야 한다는 것이다. 상기 우측편 함수는, 축척된 속도 그래디언트

가 수학식(25)의 우측편으로 들어갈 때 다음과 같은 사실들로 인하여 대략적으로 일정한 "단위 세기"를 갖는다:

ⅰ. 축척된 속도 그래디언트

는 구조상 1과 같거나 그보다 작은 그의 성분의 절대값들을 갖는 차원이 없는 양이다.

ⅱ. 폐포 함수

에 의해 제공된 FO 행렬 성분들의 값뿐만 아니라 4 차 텐서 성분들의 값들도 역시 1로 제한된다.

ⅲ. 따라서 우측편 함수

의 모든 성분들은

로 계산될 때 O(1) 정도인 반면,

의 가장 큰 성분들은

로 대신에 계산될 때 γ_max와 비교될 만한 절대값들을 갖는다.

의 "세기(strength)"를 측정하기 위하여 임의의 행렬 크기(matrix norm) ∥...∥를 사용하면, 상기 언급들은 다음과 같은 정확한 수학적 형태로 넣어질 수 있다:

수학식(27)에 따른 변형된 ODE(25)의 축척된 우측편 함수

이 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾ 내의 모든 셀들에 대해 균일한 "단위 세기"를 갖기 때문에, 다음의 선택:

ⅰ. 충분히 작은 이산화 오차를 갖는 "적분 규칙"뿐만 아니라

ⅱ. 축척된 시간 간격을 커버하기 위한 적절한 개수의 서브스텝들

에 의해 국소적으로 변화하는 크기

의 간격들에 걸쳐 균일한 전역 오차 ε_FO를 갖는 수치 적분이 성취될 수 있다.

바람직한 일 실시예에 따른 방법에서 사용되는 적분 방식은, 여기서 참조에 의해 포함되는 원-스텝 방법(one step methods)([38]의 단원 16.1 및 [39]의 단원 7.2.1-7.2.3 참조)의 분류에 속하는 단순한 적분 규칙들의 집합을 사용한다. 바람직한 일 실시예에 따른 방법의 FO 모듈 내에서 사용되는 특수한 적분 규칙은 다음과 같다:

ㆍ 1차 정확성(first order accuracy)의 방법이며 스텝 당 우측편 함수의 1회 계산을 요구하는 단순한 순방향 오일러 규칙(forward Euler rule),

ㆍ 2차 정확성의 방법이며 스텝 당 우측편 함수의 2회 계산을 요구하는 "중점" 또는 2차 룽게-쿠타(RK2) 규칙, 및

ㆍ 4차 정확성의 방법이며 스텝 당 우측편 함수의 4회 계산을 요구하는 4차 룽게-쿠타(RK4) 규칙.

본 발명의 일 실시예에서 사용되는 특수한 방식의 구성에 있어서 차수 p에 의존하는 이들 적분 규칙들의 다음과 같은 특성들이 이용된다:

a) 차수 p의 방법은 서브스텝(substep) 당 우측편 함수의 p회의 계산을 요구한다.

b) ODE(시스템)이 크기 h = Δτ/N인 N 개의 등거리 서브스텝들로 전체 크기 Δτ의 간격에 대해 수치적으로 적분된다면, 상기 간격의 최종 서브스텝에서 누적된 총 오차 ε_tot는 ε_tot ~ Δτㆍh^p로서 어림될 것이다.

c) 이러한 총 오차가 미리 선택된 문턱치 ε_max보다 작을 것이 요구된다면, 상기 서브스텝들의 크기는 h < (ε_max/Δτ)^1/p로 한정된다. 마찬가지로 서브스텝들의 개수는 N > Δτㆍ(Δτ/ε_max)^1/p보다 커야 한다.

d) 간격 크기가 Δτ < (ε_maxㆍN^p)^1/(p+1)로 한정된다면, ε_max보다 작은 총 오차로 전체 간격에 대해 적분하는 것은 차수 p의 방법으로 N개의 서브스텝들을 취하여 수행될 수 있다. 이는, 만약

가 유지된다면, h = Δτ의 크기인 단일한 서브스텝(즉, N = 1)으로 충분하다는 것을 의미한다.

이를 고려하면, 다음의 방식을 선택함으로써, 즉

(i) 세 개의 적분 규칙들 중 하나로의 단일한 스텝 또는

(ii) RK4 규칙을 사용하는 적절한 크기의 다수의 서브스텝들

을 선택함으로써 ε_max = ε_FO보다 작은 전역 오차로 수학식(26)에서 정의된 크기

의 축척 시간 간격에 걸친 방정식(25)의 수치적인 적분을 낳는 "하이브리드" 적분 방식을 구성할 수 있다. 여기서 선택은 요구된 오차 문턱치 ε_FO와 비교된

의 상대적인 크기에 의존한다(이하 참조). 이러한 오차 한도가 도메인 Ω⁽ⁿ⁺¹⁾의 모든 계산 셀들에 대해 동일하기 때문에,

(또는 마찬가지로

)의 국소적인 값들에 무관하게 균일한 오차 ε_FO로 적분이 수행된다.

상기 제안된 방법은, 위의 a) 내지 d) 관점에서 제출된 관계들에 따라 계산되는 바과 같이, 최소 개수의 우측편 함수 계산으로 상기 요구된 오차 한도를 달성하는 적분 규칙을 특별히 선택한다. 비록 유동에 의해 결정되는 것과 같은 시간 스텝 Δt_n+1의 크기가 전체 금형 충전 시간에 비하여 통상적으로 꽤 작지만(Δt_n+1 ~ 10^-2...10^-4s), 폴리머 용융체의 큰 점성도와 작은 간격 크기로 인해 γ_max의 값들이 더 커질 수 있기 때문에(10...10s^-1 정도), 차원이 없는 양

은 O(1) 정도일 수 있다. FO 행렬의 갱신된 값들도 역시 O(1) 정도이기 때문에, 요구된 오차 한도에 대한 합당한 선택은 ε_FO ~ 10^-2...10^-4의 범위 내에서 변할 수 있으며, 그 결과 통상적인 적용에서 h ≤ 0.1의 서브스텝 크기를 가정할 수 있다. h < 1/2인 스텝 크기들의 경우에, 비록 수치적인 노력(우측편 함수의 4회의 계산)이 모든 변형들에 대해 동일하지만, RK4 규칙으로의 크기 h의 단일 스텝은 "중점" (RK2) 규칙을 사용하는 절반 크기 h/2의 두 스텝들 또는 사분의 일 크기 h/4의 네 개의 오일러 스텝들보다 더 정확하다는 것을 보일 수 있다.

적분 규칙의 선택뿐만 아니라 (서브)스텝들의 개수의 선택은, 다양한 적분 규칙들의 정확도의 차수를 정의하는 값들 p∈{1,2,4}에 대해 계산된 일련의 오차 한도

에 관한

의 크기를 기초로 한다. 0 < ε_FO < 1(사실 ε_FO ≪ 1을 통상적으로 유지한다)이기 때문에, 오차 한도의 크기는 차수 파라미터 p(0 <ε_p < ε_p+1 < 1을 항상 갖는다)의 증가하는 값에 따라 단조롭게 커지며, 따라서 아래에서 주어지는 알고리즘의 공식화에 관련된 오차 한도는 항상 0 < ε_FO < ε₁ < ε₂ < ε₄ < 1을 따른 순서를 유지한다. (예를 들어 ε_FO = 0.001의 통상적인 선택을 하는 경우에, ε₁ ~ 0.032, ε₂ = 0.1 및 ε₄ ~ 0.25의 수치적인 값들이 얻어진다.) 마찬가지로, 차원이 없는 축척 시간 간격(scaled time span)

의 크기에 대한 최소의 문턱치 ε_min가 존재하는데, 그 아래에서 크기

의 단일한 오일러 스텝은 단지 무시할 수 있을 정도로 작은 이전의 값에 대한 FO 행렬 성분들의 갱신을 준다. 이는, 예컨대, 두 개의 인접한 벽들 사이의 상대적으로 큰 간격 크기의 경우에 중심의 코어 영역에서 속도 그래디언트가 매우 작은 도메인의 모든 셀들에서 통상적으로 발생한다. 예컨대 ε_min = 10^-6인 최소 문턱치는 통상적인 금형 충전 적용예에 대해 합당한 선택이다.

위에서 논의된 것과 같은 모든 면들을 고려하면, 도 12의 흐름도에 도시되어 있으며 도메인의 각각의 셀 내에서 수행하기 위한 알고리즘이 다름과 같은 방식으로 공식화될 수 있다:

1. 먼저

를 계산하고 축척 속도 그래디언트

및 축척 간격 크기

를 계산한다.

2. 단계(12.1)에서 만약

인지 검사하여,

a. 만약 그렇다면, ODE 적분을 건너뛰고(즉, 아무 것도 하지 않고), 셀 내의 FO 행렬의 이전의 값을 새로운(갱신된) 값으로서 유지하고 과정을 종료한다.

b. 그렇지 않다면, 단계(12.2)로 간다.

3. 만약

인지 검사하여,

a. 만약 그렇다면, 우측편 함수의 계산을 위해

을 사용하여 크기

의 단일한 오일러 스텝으로 셀 내의 FO 행렬의 이전의 값을 갱신하고 과정을 종료한다.

b. 그렇지 않다면, 단계(12.3)로 간다.

4. 만약

인지 검사하여,

a. 만약 그렇다면,

을 사용하여 크기

의 단일한 "중점"(RK2) 스텝으로 셀 내의 FO 행렬의 이전의 값을 갱신하고 과정을 종료한다.

b. 그렇지 않다면, 단계(12.4)로 간다.

5. 만약

인지 검사하여,

a. 만약 그렇다면,

를 사용하여 크기

의 단일한 "4차 룽게-쿠타"(RK4) 스텝으로 셀 내의 FO 행렬의 이전의 값을 갱신하고 과정을 종료한다.

b. 그렇지 않다면 단계(12.5)로 간다.

6. 일반적인 경우

에서, FO 행렬의 갱신은 적당한 스텝 크기를 갖는 다수의 RK4 스텝들을 수행함으로써 계산된다.

a. 요구된 ε_FO 정확도를 달성하기 위한 스텝들의 최소 개수는 부등식 N > Δτㆍ(Δτ/ε_FO)^1/p을 만족시키는 가장 작은 정수 N이다. int(...) 함수들을 사용하여 부동 소수점 수(floating point number)의 정수 부분을 반환하고, 함수 max(...,...)를 사용하여 두 수 중에서 큰 것을 반환하면, 정수 N ≥ 1은 다음의 공식에 의해 계산될 수 있다:

b. 요구된 스텝 크기는 그러면

에 의해 계산된다.

c. 일단 N과 h가 계산되면, (우측편 상의

을 사용하여) 스텝 크기 h를 갖는 RK4 규칙의 N개의 스텝들로 셀 내의 FO 행렬의 이전의 값을 갱신하고 과정을 종료한다.

위에서 기술된 알고리즘은 바람직한 일 실시예에서 사용된다. 이는, ε_FO보다 작은 균일한 전역 오차를 갖는 시간 간격 [t_n,t_n+1]에 걸친 도메인 Ω_n+1의 모든 셀들 내에서의 "회전 단계" ODE 시스템(18b)에 대한 "하이브리드" 적분 규칙 및 수학식(18b)의 우측편 함수의 계산들의 최소 개수를 정의한다. 수학식(18b)의 축척된 변형(25)에 상기 적분 규칙들을 적용하는 것은, 상기 우측편 함수의 계산에서 그리 고 축척된 간격 길이

의 크기를 기초로한 스텝 크기 h의 계산에서 축척된 속도 그래디언트를 사용함으로써 "적절하게" 수행된다.

(ε_FO = 0.001 및 ε_min = 10^-6인 오차 한도 파라미터들을 갖는) 이러한 알고리즘의 통상적인 적용에 있어서, 도메인 Ω_n+1 내의 대부분의 셀들에서(즉, 약 80%) FO 행렬의 "회전 단계" 갱신이 단일한 오일러 스텝에 의해 수행되고,

(즉, γ_max의 작은 값)이기 때문에 적은 수의 셀들만이 단지 "스텝 오버(step over)"하며, 금형 캐비티의 벽들 근방에 위치하는 것으로 추측되고 따라서 높은 전단속도율 값을 갖는 셀들의 합당한 개수는 하나 또는 다수의(통상적으로 20개를 넘지 않는다) "4차 룽게-쿠타" 스텝들로 갱신된다는 것을 관찰한다.

7.5 동적 트레이스 안정화를 갖는 "회전 단계" ODE 적분

동적인 트레이스 안정화(dynamical trace stabilization)를 성취하기 위하여 우측편 함수가 - 하이브리드 폐포의 경우에서의 특수한 타입(20)의 또는 수학식(20a)에 의해 주어진 것과 같은 일반적인 타입의 - 제어 항을 갖는 경우에, 상기 우측편 함수의 축척 거동은, 만약 방정식(20) 또는 (20a)의 제어 파라미터가 통상적인 크기 α₀ ~ O(1)의 차원이 없는 제어 파라미터를 갖는 α=α₀ㆍγ_max로서 정의된다면, 이 단원에서 기술되는 "하이브리드" 적분 알고리즘과 여전히 양립 가능하다.

일반적인 형태(20a)의 제어 항을 참조하여 이를 설명한다. 어떠한 폐포 근사법도 포함하는 우측편 함수

의 축척 특성(24)을 사용하여, 다음과 같은 일련의 항등식들에 따라 그의 트레이스를 다시 쓸 수 있으며,

그리고 제어 인자 α=α₀ㆍγ_max를 사용하여, 제어 항(20a)에 대한 다음과 같은 동등한 표현을 얻는다.

우측편 상의 표현은 이제

의 대신에 축척 속도 그래디언트

로 계산되는

에 의존하는 항 및 분리 인자(separate factor)로서 γ_max를 포함하며, 그렇지 않으면 수학식(20a)와 공식적으로 동일하다. 이는 다음의 항등식으로 표현될 수 있으며,

여기서 상기 항등식은, 제어 파라미터가 α=α₀ㆍγ_max로 선택된다면, γ_max에 의한 속도 그래디언트의 축척에 관하여 "제어되지 않은" 우측편 함수

과 정확히 동일한 축척 거동을 일반적인 형태(20a)의 제어 항이 갖는다는 것을 역시 보여준다.

(안정화된) 하이브리드 폐포의 특수한 경우에 있어서, 상기 항(20)을 다음과 같이

다시 씀으로써 동일한 방식으로 전인자

로부터 γ_max를 추출할 수 있으며, 여기서 "재축척된(rescaled)" 전인자

은

대신에

를 사용하는

과 동일한 공식에 의해 계산된다. 이는 하이브리드 폐포의 경우에서 가정된 제어 항의 특수한 형태에 대해서도 역시 수학식(28)이 유효하다는 것을 명시적으로 보여준다.

위와 같은 고려는, α₀가 제어 파라미터로서 사용되고 우측편 함수에 의존하는 항들이 축척된 속도 그래디언트로 계산된다면, "회전 단계" ODE 시스템에 대한 "하이브리드" 적분 알고리즘이 제어 항의 존재시에도 변화 없이 적용될 수 있다는 것을 보여준다. 수학식(21)에 대응하는 ODE의 축척된 변형은 방정식(25)의 우측편에 상기 축척된 제어 항을 더함으로써 간단하게 얻어진다. 즉, ODE

가 적분 알고리즘의 이산된 시간 스텝들에 대한 기초로서 수학식(25)의 대신에 고려되어야 한다.

바람직한 실시예에 따른 방법의 FO 모듈에서 구현되는 시간 적분 방식은, 제 어 항(20)에 의한 동적 트레이스 안정화를 포함하는 ODE 시스템(29)에 본 단원에서 정의된 것과 같은 "하이브리드" 적분 알고리즘을 적용함으로써 "회전 단계" ODE 시스템의 수치적 적분을 수행한다.

7.6 안정화된 하이브리드 폐포를 갖는 FTE의 효율적인 계산

우측편 함수의 계산은 FO 계산 과정 내에서 가장 비용이 많이 드는 부분이며, 따라서 본 방법은 가장 효율적인 방식으로 계산한다.

효율성의 면은 단원 7.4에서 제안된 것과 같은 "유동 제어 시간 적분(FCTI)의 알고리즘적 접근법에 의해 부분적으로 언급되었다. 이러한 접근법을 사용하여, (제어 항을 포함할 수도 있는) FTE의 우측편 함수에 대한 최소의 계산으로 균일한 정확도가 달성될 수 있다.

FO 계산의 계산 비용에 직접적으로 영향을 주는 가장 중요한 인자는 폐포 근사법의 선택이다. 안정화된 하이브리드 폐포는 낮은 계산 비용으로 합리적인 정확도를 주며 본 방법에서 사용되다.

하이브리드 폐포로 FTE의 대수적인 재공식화

효율성을 향상시키는 첫 번째 단계는 하이브리드 폐포의 대수적 정의(6)를 FTE의 우측편 함수(23)에 대입하는 것이며, 이는 (두 개의 대수적 변환들 후에) 다음과 같은 특수한 대수적인 형태의 우측편 함수를 낳는다:

수학식(30)의 우측편의 첫 두 개의 항들의 합은 표현

과 공식적으로 동일하지만, 수학식(1a)에 의해 주어진 유효 속도 그래디언트 행렬

대신에 다음과 같은 행렬:

을 포함한다. 우측편 상의 나머지 세 개의 항들은 모두 행렬 양(matrix quantity)

을 곱한 스칼라 전인자 φ_x의 곱인

형태를 갖는다. 상기 전인자들은 다음의 공식들의 집합으로 주어진다.

전인자 φ_a에 대해 위에서 주어진 공식은,

이고

(여기서

)이기 때문에, 수학식(15b)에서 주어진 것과 동일하다.

상기 공식(32)은 압축 가능한 또는 압축 불가능한 유동 속도장(flow velocity field)의 경우에 모두 유효하다. 여기서, 비록 이론적으로는 유동이 압축 불가능한 것으로 가정될 때 div U = 0이 유지되어야 하지만, 이는 명시적으로 이용되지 않으며, 그 대신에

를 포함하는 모든 항들이 공식(32)에서 유지된다는 점이 강조된다. 만약 (유동을 계산하는 동안 불가피하게 발생하는) 수치 오차로 인하여

이면, 수학식(32)는 여전히 안정적인 거동을 가져오는 반면,

에 비례하는 항들이 전인자 공식(32)에서 0인 것으로 선험적으로 가정되는 경우에는 불안정성이 발생한다는 것이 발견된다.

양(31) 및 (32)를 갖는 형태(30)의 우측편 함수이 사용은 효율적인 계산을 향한 기초적인 단계이다. 왜냐하면 (전인자들을 계산할 때) 다양한 계산들이 단지 한번 수행되어야 하도록 하는 방식으로 우측편 함수(30)의 대수적인 구조가 편성되며, 이는 많은 연산들을 절약하기 때문이다. 다수의 대수적인 연산들이 종종 나타나는 공통의 하위 표현식(subexpression)(예컨대, 수학식(31) 및 (32)에서 항 2D_r 또는 (1-f_s)/7) 내에서 일어나며, 그들을 단지 한번 계산하고 이후의 사용을 위해 그 값들을 보조 변수들에 저장하는 것은 계산 작업을 크게 감소시킨다. 다음의 수학식:

에 따라 행렬

을 재정의하는 다음의 단계에 의해 연산들이 몇 개 더 절약되며 우측편 함수의 계산을 위해

대신에 행렬

을 사용한다. 다음의 대수적인 항등식을 사용하게 하면,

항

의 명시적 계산이 생략되고, 다음의 수학식에 따라 우측편 함수가 재정의된다.

방정식(31a)에 의해

를 계산하기 위한 추가적인 연산은, (i) ½φ_a를 얻기 위한 1개의 곱셈 및 (ii) 행렬

의 대각선 성분들로부터 ½φ_a를 빼기 위한 3개의 "덧셈"이다. 절약된 연산들의 개수는, 전인자 φ_a에 의한 FO 행렬의 모든 성분들의 곱셈과

에 대한 뺄셈 연산들이 된다. 따라서 연산들의 총 개수는, 만약 방정식(30a)와 (31a)가 수학식(30) 및 (31) 대신에 우측편 함수의 계산에 사용된다면 더 적다.

안정화된 하이브리드 폐포의 경우에 있어서, 제한된 스칼라 배향 인자

가 수학식(19)에 따라 계산된다. 그러면 수학식(32)에서 f_s를

로 대체하는 것은 계산 비용에 영향을 주지 않는 "안정화된 전인자들"

,

및

로 귀결된다.

다음과 같은 제어 항(방정식(20) 참조)

의 추가는 우측편의 계산을 위한 추가적인 연산의 필요를 가져온다. 이러한 제어 항의 일반적인 구조는 전인자

를 갖는

에 의해 주어지며 따라서 위에서 논의된 것과 동일한 형태

이다. 만약 투영 행렬(projection matrix)에 대해

또는

이 선택된다면, 전인자

은 전인자

또는

중 하나로 흡수된다. 첫 번째의 경우에, 전인자

에 다음의 항

이 추가되는데, 이는 다음과 같이 변형된 우측편 함수를 가져온다.

두 번째 선택은 전인자

에 더해져야 하는 추가적인 항

를 가져온다.

우측편 계산을 위한 효과적인 알고리즘

상기 단계를 사용하기 위해, 다음 순서의 계산들에 따라 최소 개수의 대수적 연산으로 수학식30(b)을 계산하는 방식이 제공된다:

1. 입력: (

,

) & 파라미터들: λ, C₁, α

보조 변수들:

2. 수학식1(a)에 의해 계산된 유효 속도 그래디언트 행렬로

를 초기화한다:

3. 대칭 행렬

및 그의 트레이스

를 계산한다.

4.

에 의한 축약

으로부터 ξ₂ = 2D_r를 계산한다.

5. 스칼라 배향 인자

, 그의 묶인 버전(bracketed version)

및

항을 계산한다.

6. 축약

을 계산한다.

7. 다음 공식에 의해 보조 변수 ξ_k에 저장되어 있는 값들을 사용하여 수학식(32)에 따른 전인자들을 계산한다:

8.

항을 계산한 뒤,

을 계산한다.

9. 보조 변수들

및

를 사용하여 행렬

를 계산한다. 상기 계산은 다음 순서의 연산들에 의해서 행해지도록 되어 있다:

10.

를 계산함으로써 우측편 결과 행렬을 초기화한다. 그런후 연속하여 우측편 함수 30(b)의 계산를 완료한다:

11. 결과:

"축약 표기(contracted notation, CN)"를 사용하여 벡터 형태에 있어서 FTE의 재공식화

우측편 함수에 대한 효율적인 계산 과정의 구성에 있어서 또 다른 성분은, 우측편 함수

뿐만 아니라 FO 행렬

도 역시 모두 대칭 행렬이며 단지 6개의 독립 행렬 성분들을 갖는다는 사실에 기초한다. 그러므로 그들을 일반적인 3×3 행렬로서 저장하는 것은 비실용적이며,

을 계산하기 위해 행렬에 대한 연산으로서 수행되어야 하는 연산들을 구현하는 것은 비효율적이다. 본 발명에 따 르면, 대칭 3×3 행렬은, "축약 표기"(CN, 예를 들어 [22]를 참조)(구조 역학에서, 이는 또한 "보이그트 표기(Voigt notation)"라고 알려져 있다)라고 알려져 있는 대칭 행렬들의 벡터 지수 μ∈{1,...,6} 및 지수 쌍 (ij)=(ji)에 대한 다음의 식별 방식 μ↔(ij)을 사용하는 실수인(real) 6개의 성분 벡터들로서 취급된다:

μ↔(ij) 방식의 이 특별한 선택은 물론 6!=720개의 동등한 방식들 중 단지 하나일 뿐이다. 위의 표는 바람직한 실시예의 FO 모듈에 또한 적용되는 통상의 선택을 보여준다. (선택적인 변형들은 대개 벡터 지수 μ∈{4,5,6}에 대한 비대각선 행렬 성분들의 상이한 할당을 선택한다.)

CN 방식을 사용하는 것은, 다음에 도시된 바와 같이, 대칭 3×3 행렬의 성분들을 그에 대응하는 6-벡터(즉,

의 벡터)의 성분들 위로 전단사 매핑(bijective mapping)

하는 것을 도출한다.

이러한 방식으로, 우측편 함수

의 계산의 결과를 저장하고 있는 FO-행렬, 행렬

및 행렬

는 대응하는 벡터 양에 할당된다. 같은 방법으 로, 4차 텐서

의 성분들은, 만약 텐서가 첫 번째 및 두 번째 지수 쌍들에 대해 대칭이라면(즉, 만약

,

이 유지된다면) 6×6 행렬의 성분들

에 할당된다. 게다가 만약 상기 텐서가 또한 두 지수 쌍들의 상호교환 (ij)↔(kl)에 대해 대칭이고 따라서 직교 대칭(방정식(11)을 참조)을 갖는다면,

이 유지된다. 즉, 행렬

는 그 자체로 대칭이고

개의 독립 성분들을 갖는다. 독립 성분들의 개수는 텐서 성분들 사이의 추가적인 대칭과 대수 관계의 존재에 의해서 감소할 수 있다. 완전 대칭인 4차 텐서의 경우에,

의 독립적인 성분들의 개수를 15개까지 감소시키는 다음과 같은 6개의 추가적인 항등식들이 존재한다.

정규화 조건

및 트레이스 조건

은 독립적인 행렬 성분들의 개수를 훨씬 작은 값으로 감소시키는 대수 관계를 도출한다(상세한 내용은 [22]를 참조).

CN 접근법의 도입은 다음에 주어진 "벡터 형태"에서 FTE를 유도한다.

임의의 행렬인 3×3 행렬

에 대하여, 매핑

은, 0(영)이 거나 또는

의 성분들의 단순한 대수 항들에 의해 주어지는 성분들을 갖는 실 6×6 행렬

에 의해 기술되는

에서 행렬-벡터 곱

으로서 공식적으로 쓰일 수 있는 실대칭 3×3 행렬의 6차원 백터 공간에서의 선형 매핑을 정의한다.

이런 점에서, CN 방식은 다음의 수학식으로 식별

를 도출한다.

마찬가지로, 축약 연산

은 CN 방식에 의해 주어진 바와 같이 지수 할당 μ↔(ij), ν↔(kl)을 사용하는 다음 공식에 의해서 성분대 성분으로 정의된다.

이러한 연산은 또한 행렬-벡터 곱

로서 쓰여질 수도 있는데, 여기서

의 행렬 성분들은 다음의 수학식을 통해

의 성분들에 관련된다.

이는 행렬

이(

와 달리) 대칭이 아니라는 것을 보여준다! 행렬

는, CN 방식에 따라(즉,

) 폐포 근사법에 의해서 FO 행렬로부터 그 자체가 계산되는 텐서

의 성분들을 할당하는 것으로부터 기인하며, 따라서 항

은 CN에서 폐포 근사법을 나타낸다.

제안된 알고리즘의 계산 비용

우측편 함수의 효율적인 계산를 위해 제안된 절차의 단계 2. 내지 10.에서 수행되는 계산 연산들의 가장 효율적인 구현은 이 절차에 CN 방식을 적용하는 것으로부터 기인한다. 다음의 표는 CN 접근법을 사용하는 절차의 개별 단계들을 수행하는데 필요한 연산의 개수(

: 곱셈 및 나눗셈의 개수,

: 덧셈과 뺄셈의 개수) 및 함수 호출에 관한 개요를 제공한다.

다음 점들은 위에서 제공된 알고리즘의 다양한 단계들에 대해 상기 표에서 주어진 연산의 개수를 세는 것뿐만 아니라 구현의 양상에 관해 설명한다:

ㆍ 행렬

가 대칭이 아니기 때문에, 3×3 행렬로서 저장된다. 만약

가

의 계산으로 초기화된다면

의 여분 저장은 필요하지 않다.

ㆍ 대칭 행렬

은

의 계산(→단계 9.)을 위한 행렬 형태에서 필요하지 만, 또한 마지막 단계 10에서 6-벡터로서도 나타난다.

ㆍ 저장 및 할당 연산은 총 계산 비용에 대한 기여가 무시할 수 있는 정도이므로 세지 않는다.

ㆍ 보조 변수들 개수는 일단 그들의 값이 더 이상 필요하지 않으면 이미 존재하던 변수들을 재사용함으로써 감소된다. 이는 알고리즘의 표현의 명확성을 감소시키므로, 위에서 제안된 알고리즘 버전에서는 행해지지 않았다.

ㆍ (단계 4. 및 6.에 나타나는) 한 쌍의 대칭 행렬들의 축약 연산은 CN을 사용하는 7개의

및 5 개의

연산으로 구현된다. (행렬 표기에서, 이는

에 의해 정의된다.)

ㆍ 실대칭 3×3 행렬의 행렬식(→단계 5.)은 CN을 사용하는 11개의

및 5개의

연산으로 계산된다.

ㆍ 만약

을 대칭 3×3 행렬로서 저장하는 보조 변수들이 사용된다면, 단계 9.에서 수행되는 행렬

의 조립(assembly)은 6개의

및 12개의

연산을 필요로 하며, 변수 ξ₅ 및 ξ₆을 계산하기 위해 2개의 곱셈을 더한다.

ㆍ 행렬 연산

은 CN을 사용하는 27개의

및 21개의

연산을 필요로 한다.

ㆍ 단위 행렬의 곱을 더하는(또는 빼는)

타입의 어떠한 연산도 대각선 성분들에 단지 세 번의 β의 합을 요구한다.

표의 마지막 줄은, 우측편 함수의 단일한 계산이 (두 배로 정확한) 부동 소수점(floating point) 수의 제곱근뿐만 아니라 한 쌍의 그런 수들의 최소값 및 최대값을 계산하기 위해서 96개의

-연산, 84개의

-연산 및 3개의 함수 호출의 계산 비용으로 얻어진다는 것을 보여준다. 현대 컴퓨터 하드웨어에서, 덧셈 및 곱셈 연산의 계산 비용은 거의 같고, 최소 또는 최대 함수의 호출은 약 1.5-2개의 연산 비용이 들며, 제곱근 계산의 비용은 대략 6-10개의 연산에 해당한다(즉, 필요한 정확성에 따라 평균 8개의 연산).

수학식(30b)의 단일한 계산은 다 합하여 위에서 제안된 알고리즘에 의해 약 190개의 연산의 계산 비용으로 달성된다. 이는 동적 트레이스 안정화를 포함하는 (안정화된) 하이브리드 폐포로 FTE의 우측편를 계산하는데 가장 효율적인 접근법이다.

계산 효율성의 평가

제안된 절차의 계산 효율성의 평가는, 방정식(35)에 의한 벡터 형태로 주어진 바와 같은 우측편 함수를 계산하는 "표준" 접근법과의 비교로부터 기인한다. 예를 들어, 만약 코드가 (i) 폐포 근사법에 독립적인 모든 연산들이 실 6×6 행렬

을 입력으로서 취하는 "일반적인" 루틴에서 수행되고, (ii)

의 행렬 성분들이 위에서 설명된 CN 방식 및 수학식(35b)를 사용하는 폐포 함수

의 특수한 선택에 따라 별개의 루틴에서 계산되도록 어떤 모듈 구조를 갖게 된다면, 그러한 접 근법이 적용되어야 할 것이다. 그러한 "표준" 접근법의 계산 비용은 다음의 고려 사항에 의해서 계산될 수 있다:

ㆍ "표준" 절차는 행렬

, 6-벡터

및 스칼라 파라미터 2D_r(단계 2. 내지 4. 참조)의 계산과 함께 시작하는데, 상기 계산은 제곱근 계산을 더하여 결국 46개의 연산을 필요로 한다.

ㆍ

에 대응하는 연산

은, 만약 행렬-벡터 곱이 사전에 분석적으로 수행되고 6개의 성분들에 대한 결과 공식만이 수치적으로 계산된다면, 48개의 연산을 필요로 한다.

ㆍ 행렬-벡터 곱

및 우측편으로부터의 그의 뺄셈의 계산은 66 + 6 = 72개의 연산을 필요로 한다.

ㆍ 2D_rㆍ1의 덧셈 및 6D_rㆍa의 뺄셈(6D_r = 3/2ㆍ2D_r을 사용)은 또 다른 3 + 12+ 1 = 16개의 연산을 필요로 한다.

제곱근 계산을 위한 8개의 연산을 포함하면, 수학식(35)의 우측편을 계산하기 위한 이러한 접근법에 대한 계산 비용은 여기까지 190개의 연산까지 더해진다. 트레이스 안정화를 위한 제어 항의 포함은 몇 개의 추가적인 연산을 더하지만(단계 8. 참조), 우측편으로부터의 6D_rㆍa의 명시적인 뺄셈을

의 대각선으로부터의 3D_r = 3/2ㆍ2D_r 항의 뺄셈으로 대체함으로써 대략 같은 양의 연산이 절약될 수 있다.

이러한 "고정 비용"은, 별개의 절차에서 행해져야 하는, 행렬

의 성분들을 계산하는데 요구되는 폐포 근사법에 독립적이다.

하이브리드 페포의 경우, 수학식(6) 및 수학식(6a,6b,6c)에 의해 정의된 텐서 함수

가 직교 대칭을 갖기 때문에, 행렬

은 21개의 독립 성분들을 갖지만, 2차 항(6a) 때문에 전체적으로 대칭이 아니다.

의 정의를 CN으로 변환하는 것은 행렬 성분들

을 계산하는데 사용되어야 하는 다음의 표현식 집합을 도출한다.

대칭 행렬

및

는 모두 사전에 분석적으로 계산되어야 하는 전적으로 대칭인 4차원 텐서 표현식의 성분들을 포함한다.

행렬 성분

이 상수인 반면, 행렬 성분

은 벡터 성분 α_μ에서 선형적인 표현식이다. 행렬 성분

및

의 분석적인 계산은 다음 쌍의 실대칭 6×6 행렬들을 도출한다:

이러한 행렬들을 사용하여, 행렬

를 조립하기 위한 계산 비용은 다음 절차에 따라 결정된다:

ㆍ 제한된 스칼라 배향 인자

및 보조 변수 ξ₂의 계산은 유효 알고리즘의 단계 5.에 의해 행해지고, 23개의 연산을 필요로 한다(중첩된(nested) 함수 min(0,max(...,1))의 호출 위한 3개의 연산을 포함하여). 보조 변수 ξ₁=ξ₂/5는 하나의 추가적인 나눗셈에 의해 계산되며, 따라서

및 ξ_1/2 을 계산하는데 요구되는 연산의 개수는 24이다.

ㆍ 행렬

은

에 의해 초기화되며, 이는 위쪽 삼각형의 21개의 독립적인 행렬 성분들 각각에 대해 2개의 곱셈 또는, 총 42개의 연산이 필요하다.(남아있는 행렬 성분들은 대칭에 의해 할당된다.)

ㆍ

의 행렬 성분들은, 단일 연산(즉, 3ξ₁의 계산) 및 ξ₁ 또는 3ξ₁의 대응하는 영이 아닌(nonzero) 행렬 성분으로의 다수의 할당에 의해 계산된다. 마찬가지로 전체적인 갱신 연산

은

의 대응하는 목록으로부터의 ξ₁ 또 는 3ξ₁의 뺄셈만을 필요로 한다.

의 위쪽 삼각형 성분들에서 이러한 뺄셈을 수행하는 것이 오직 필요하기 때문에, 갱신 연산을 위한 총 연산 개수는 10까지 감소한다(즉, 3ξ₁를 계산하기 위해서 9개의 뺄셈에 한 개의 연산을 더한다).

ㆍ 행렬

는 12개의 상이한 표현식들을 포함하며, 이 중 9개만이 단일 덧셈이나 곱셈에 의해 계산되어야 한다.(나머지는 할당에 의해 얻어진다.) 12개의 표현식들 중 어떤 것도 선험적으로 영이라고 가정할 수 없기 때문에,

의 계산은 12개의 곱셈이 필요하며, 따라서

을 계산하기 위한 총 연산의 개수는 이 행렬의 독립 성분들에 대해 21개이다. 나머지 행렬 성분들은 그 결과로서 할당에 의해 얻어진다.

ㆍ

을 위한 조립 절차에서의 마지막 단계는 갱신 연산

으로 구성되는데, 이는 행렬

및

의 위쪽 삼각형과 아래쪽 삼각형의 나머지 행렬 성분을 얻기 위한 할당을 더한 21개의 연산이 필요하다.

수학식(36)에 따른 행렬

을 조립시키는 완성된 절차는 위에서 기술된 단계들을 순차적으로 수행하며, 이는 24 + 42 + 10 + 21 + 21 = 118개의 연산이 필요하다. (이 절차는 또한 매우 효율적인 방식으로 설정되었다는 것을 주목해야 한다!) 비-대칭 행렬

이 수학식(35b)에 따라 18개의 곱셈에 의해서 대칭 행렬

으로부터 계산되므로, 행렬

를 계산하기 위한 상기 절차에 대한 총 연산의 개수는 118 + 18 = 136이다.

위에서 약술된 "표준 절차"는 하이브리드 폐포에 적용될 때 전체적으로 약 326개의 연산이 필요하다. 이는 제안된 효율적인 절차의 계산 비용을 대략 1.72배(즉, 약 70%)만큼 초과한다. 효율적인 절차를 사용하는 것은, 안정화된 하이브리드 폐포(동적 트레이스 안정화를 포함하는)로의 FTE의 우측편 함수의 단일 계산 결과를 "표준" 접근법의 계산 비용의 대략 60%로 도출한다.

계산 효율성에 있어서의 이러한 개선은,

의 이전의 분석적인 계산을 기초로 한 우측편 함수의 특수한 대수적 구조에 대한 영리한 재편성에 의해 주로 달성되는데, 여기서 최적 효율성 수준은 CN 방식을 통한 방정식의 감소에 의해 최종적으로 달성된다.

7.7 트레이스 재축척, 불변량 모니터링 및 위상 공간 투영(Trace rescaling, invariant monitoring and phase space projection)

어떤 FO 행렬도 음이 아닌 고유값들과 단위 트레이스를 가질 것이 요구된다(→ 단원 2.4). 이는 FTE의 해에 대한 대수적 제약들의 집합을 의미하고, 그러므로 DAS가 된다(→ 단원 2.6). 트레이스에 관한 등식

은 별문제로 하고, 고유값들에 관한 비음성 제약(nonegativity constrain)들은, 행렬의

및 2차 및 3차 불변량

에 대한 한 쌍의 부등식 K_a ≥ 0 및 D_a ≥ 0(→ 방정식(9), (10))의 항들로 동등하게 공식화될 수 있다.

트레이스 조건은, 요구된 값 S_a=1에 가깝게 수치적인 해의 트레이스를 자동으로 유지시키는 FTE의 우측편에 더해진 적절한 벌칙 항에 의한 동적 트레이스 안정화(DTS)를 통해 "능동적"이며 그리고 계산적으로 비싸지 않은 방법으로 설명된다. 이 기술을 사용하여, 트레이스 조건을 단지 대략적으로 만족시키는(즉, S_a ~ 1) FTE의 수치적인 해를 얻는다. 이는, 실용적인 관점에서, 인자 1/S_a로의 곱셈에 의해 행렬 성분들을 재축척하는 것이 항상 가능하기 때문에, 해의 정확성(correctness)에 거의 영향을 주지 않는다. 이러한 트레이스 재축척 연산은 수학적으로 다음의 수학식에 의해 기술되며,

다음과 같은 몇몇의 유리한 특성을 갖는다:

ㆍ 만약 μ_k가 행렬

의 고유값들이라면, 재축척된(rescaled) 행렬

의 고유값들은 μ'_k = μ_k/S_a에 의해 주어지며, 따라서 (i) 고유값들은 만약 S_a > 0면 그들의 부호를 바꾸지 않고, (ii) 그들의 수치적인 값들이 만약 S_a ~ 1이면 (DTS에 의해서 보장되는 바와 같이) 단지 약간만 재축척된다.

ㆍ 대응하는 고유 벡터들은 재축척 연산에 의해서 영향을 받지 않는다.

그러므로 트레이스 재축척의 연산은 계산된 수치적인 해에 질적인 변화를 야기시키지 않지만, 행렬의 모든 핵심적인 특성은 보존하면서 해를 약간 정정한다. 이러한 관점에서, 음이 아닌 고유값 μ_k (또는 동등하게: 음이 아닌 2차 및 3차 불변량 K_a 및 D_a) 및 S_a ~ 1을 갖는 FTE의 어떠한 수치적인 해도 실제에서 FO 행렬로서 해석될 수 있다.

FTE에 대한 불변량 제어의 일반적 측면

[12]의 결과에 따르면(→ 단원 3.), 실대칭 3×3 행렬의 고유값들의 비음성(nonnegativity)은, 그의 트레이스가 양이고 2차 및 3차 불변량 K_a 및 D_a가 음이 아니라면 보증된다.

행렬의 트레이스가 행렬 성분들의 단순한 선형 함수이고 재료 도함수 연산자

가 트레이스 연산과 치환되기 때문에, 직접적인 방식으로 트레이스에 대한 진행 방정식을 유도하는 것이 가능하다(→ 단원 4.). FTE의 우측편의 특별한 대수적 구조로 인하여, 이러한 진행 방정식은 하이브리드 또는 일반적인 직교 폐포 근사법의 경우에서 뿐만 아니라 "정확한" 경우에서도, 폐형식(closed form)을 취한다(방정식(14) 및 (15a,15b)를 참조). FTE의 이러한 특별한 대수적 특성들로 인하여, 특별한(의도된) 방식으로 트레이스에 대한 진행 방정식에 영향을 주는 FTE 그 자체의 우측편에 벌칙 항을 더하는 것이 가능하다(→DTS).

그러나, 트레이스와는 달리, 2차 및 3차 불변량 K_a 및 D_a는 행렬 성분들의 비선형 함수이다. 그러므로, 이 불변량들에 대한 폐형식의 진행 방정식을 얻기 위해서는 동일한(또는 유사한) 절차를 적용하는 것이 불가능하다(일반적으로 불변량들의 진행 방정식의 우측편은 그들의 불변 조합만이 아니며, 모든 행렬 성분들의 함수이고, 고유벡터에서 부호화되는 행렬의 방향 특성에 독립적이지 않다). 마찬가지로, 미리 정해진 방법으로 비선형 불변량들의 진행에 영향을 주는 FTE의 우측편에 어떤 특수한 항을 더하는 것은 오히려 어렵다(불가능하지 않다면). 그러므로 음이 아닌 도메인 내에서 불변량들을 유지하기 위해 FTE의 우측편에 적절한 벌칙 항에 의한 2차 및 3차 불변량의 "능동적인" 제어는 이용할 수 없다.

대안적인 절차는 수치적인 해를 그의 허용 가능한 도메인에 다시 매핑하는 투영 연산과 "제어되지 않은"(또는 부분적으로 제어된) 적분 절차와의 조합으로 구성된다. 그러한 "수동적인" 절차는, 만약 수치적인 적분 및 후속하는 투영의 연산들이 매 시간 스텝마다 적용된다면, "제어되지 않은" 방식의 정확성을 보존하는 유효한 적분 방식의 결과를 가져온다(상세한 논의에 대해서는 투영 방법에 관한 [9]의 Ⅳ.4장을 참조).

FTE에 적용된다면, 이러한 조합된 절차는 다음으로 구성된다.

1. 단원 5., 6. 및 7.(앞선 부단원 7.6까지)에서 기술된 방법을 사용하는 적분 단계, 그에 이어서

2. 이전의 적분 단계에서 계산된 행렬이 여전히 FO 행렬인지를 결정하는 불변량 모니터링 단계, 및

3. 만약 모니터링 단계의 결과가 부정적이라면(즉, 불변량 조건이 위반되었 다면), 행렬을 위상 공간 집합 M_FT에 다시 매핑하는 위상 공간 투영 단계.

위상 공간 M_FT가 볼록 집합이기 때문에(→단원 3의 정리 1), 각각의 실대칭 3×3 행렬에 대해서, "최소 거리"(적절한 계량으로 측정된, 아래 참조)의 M_FT에서 고유한 행렬이 존재한다. 이는 위의 절차 중 세 번째 단계에 요구되는 투영 매핑을 정의한다. 위상 공간 투영에 대한 추가적인 상세한 내용은 아래에서 논의된다.

효율적인 불변량 모니터링 및 고유값 계산

위에서 기술된 절차에 따르면, 불변량들의 모니터링은 각각의 시간 스텝 및 계산 도메인의 각각의 (충전된) 셀마다 수행되어야 한다. 그러므로 불변량들 - 2차 및 3차 불변량 또는 그 자체로 또한 불변의 양인 고유값들 중 하나 - 의 계산은 어떠한 불필요한 계산 총비용도 피하기 위해 가장 효율적인 방식으로 수행되어야 한다.

단원 3에서 소개된 바와 같은 행렬

의 대각선 및 비대각선 성분들에 대한 표기 (x,y,z) 및 (u,v,w)를 사용하여, 불변량들은 다음의 공식에 의해 행렬 성분들의 다항식 표현으로서 주어지며,

상기 공식은 다 합하여 11개의 덧셈 및 13개의 곱셈으로 계산될 수 있다. 트레이스 S_a가 FTE의 수치적인 적분 동안 매 시간 스텝에서 계산되기 때문에, 부등식 K_a ≥ 0 및 D_a ≥ 0를 점검함으로써 불변량의 모니터링이 각 셀에 대한 시간 스텝 당 추가적인 22개의 연산 비용으로 수행된다.

불변량 K_a 및 D_a의 점검은, 고유값들에 대한 조건 μ_k≥ 0를 점검하는 것이 고유값의 명시적인 계산을 요구하기 때문에, 실대칭 3×3 행렬이 FO 행렬들의 집합 M_FT에 속하는 지를 결정하는 가장 효율적인 방법이다.

세부적인 분석은 행렬

의 고유값들의 수치적인 계산이 그의 특성 다항식 P_a(μ)의 근을 계산함으로써 가장 효율적으로 수행될 수 있다는 것을 보여주는데, 상기 다항식은 P_a(μ)의 계수로서 불변량들을 계산하는데 필요한 24개의 연산 위에 약 100개의 연산을 요하므로, 약 5배 더 값비싸다. 이는 FO 행렬 특성들을 모니터링하기 위해 불변량 대신에 고유값을 사용하는 계산의 총비용을 적당하게 하며 불변량(38)을 사용하는 것이

의 스펙트럼 특성의 효율적인 모니터링을 위한 선택 방법이라는 것을 강조한다. 행렬의 수치적인 대각화(numerical diagonalization)는 고유값을 계산하는 가장 값비싼 방법이다. 그러므로, 그러한 절차는 고유벡터도 역시 (예를 들어, 아래에서 논의되는 위상 공간 투영 절차의 일부로서) 관심이 있는 것이 아니라면 추천되지 않는다.

위상 공간 투영

만약 불변량 모니터링이 FTE의 수치적인 해가 현재의 시간 스텝에서 위상 공간 집합 M_FT 밖에서 움직인다는 것을 나타내면(즉, 부등식 K_a ≥ 0 및 D_a ≥ 0 중 하나 또는 모두가 위반되었다면), 해는 위상 공간 M_FT 위로의 투영에 의해 정정되어야 한다.

어떤 실 3×3 행렬

의 경우에, 이러한 투영 매핑은 정의상 "가장 가까운" 행렬

을 도출하며, 여기서 두 개의 실 3×3 행렬들의 거리

는 상기 실 3×3 행렬들의 벡터 공간에서의 스칼라 곱

에 의해 유도된 그 자체인 프로베니우스 놈(Frobenius norm)

으로 측정된다. 대칭 행렬들의 6-차원 부공간(subspace)에 대한 이러한 양들의 제한은 직접적이다. 어떠한 실 3×3 행렬

의 경우에도,

과 M_FT의 성분들

사이의 거리

가

에 의해 정확히 최소화되도록 하는 고유한 행렬

이 존재한다는 것이 [18]에서 보여질 수 있다.

이러한 최소 거리 해는 다음의 성질들에 의해 고유하게 정의되는 행렬

에 의해서 주어진다(공식적인 증명에 대해서는 [18] 참조):

ㆍ

의 고유 벡터들은 행렬

의 고유 벡터들과 동일하다.

ㆍ

의 고유값 (μ₁ ^*,μ₂ ^*,μ₃ ^*)의 삼원소(triple)는 행렬

의 고유값의 삼원소에 의해 주어진 점 (μ₁,μ₂,μ₃)에 대해

에서 가장 작은 유클리드 거리(Euclidian distance)를 갖는 삼각형 집합

의 고유한 점이다(단원 3의 방정식(7) 및 도 7을 참조).

대칭 3×3 행렬들의 6-차원 실 벡터 공간

에서 정의되고 M_FT에서 값들을 갖는 투영 매핑

는 다음의 공식에 의해서 간결한(compact) 수학적 표기로서 주어지며,

투영 매핑의 값을 실제로 계산하는 알고리즘은 다음 단계들로 구성된다:

1. 입력으로서 실대칭 3×3 행렬

이 주어지면, 그의 불변량 S_a, K_a 및 D_a를 계산한다.

2. 조건 S_a = 1, K_a ≥ 0 및 D_a ≥ 0을 점검한다. 만약 모든 조건들이 충족되면, 이미

가 되고, 투영 매핑은 단지 다음의 항등식이 된다:

이 경우에, 입력 행렬

을 출력 및 출구에 할당한다. 만약 그렇지 않으면(즉, K_a < 0 또는 D_a < 0이면) 다음의 단계들을 실행한다:

3. 행렬의 고유값 μ_k 및 그에 대응하는 고유벡터 E_k를 계산한다(즉,

). 이러한 단계는 다음과 같이 공식적으로 표현될 수 있다:

4. 다음으로,

에서 μ=(μ₁,μ₂,μ₃)에 대한 최소의 유클리드 거리를 갖는 고유한 점 μ ^* =(μ₁ ^*,μ₂ ^*,μ₃ ^*)∈△_a을 찾는다. 즉:

5. 마지막으로 다음에 의해 투영 매핑의 값

을 구성한다.

수학식(39c)는 만약

이면 μ^*=μ를 도출하고, 따라서 수학식(39d)가 이 경우에 수학식(39a)와 일치하게 된다는 점을 주목한다. 이러한 의미에서, 상기 수학식(39b,39c,39d)는 이미 투영 매핑의 일반적인 정의를 부호화한다. 상기 수학식(39b,39c,39d)의 결과를 계산하는 개별적인 단계들은 오직

에 대해서만 수행되어야 하는 반면, 수학식(39a)는

의 경우에 그 정의를 공식적으로 완성시킨다.

위에서 주어진

을 계산하는 알고리즘의 설명이 수학적으로 정확한 반면에, (DTS로의 FTE 시간 적분 방식에 의해 제공되는 바와 같은) 트레이스 S_a ~ 1를 갖는 입력 행렬들을 취하는 이 알고리즘의 실제 구현은 절차의 단계 1.에서 트레이스의 추가적인 계산를 건너뛸 수 있다. 더욱이, 실제 구현은 다양한 알고리즘 단계들의 다음의 세부 사항 및/또는 변형들을 통합한다(도 13 참조):

ㆍ 단계 1.에서, 입력 행렬의 불변량 K_a 및 D_a는 수학식(38)에 의해서 계산된다.

ㆍ 단계 2.에서, 조건 K_a ≥ 0 및 D_a ≥ 0만이 점검되고, 만약 두 조건이 충족된다면 입력 행렬은 바뀌지 않고 남아서 출력에 할당된다.

ㆍ 단계 3.의 결과는, 예를 들어, 반복 순환 야코비 회전(iterative cyclic Jacobi rotations)([38]의 11.1장 또는 [39]의 6.5.2장 참조) 또는 단일 기븐스/하우스홀더 환산 단계(single Givens/Householder reduction step) 및 후속하는 QR 반복(QR iterations)([42] 또는 [39]의 11.2장 참조)과 같은 수치적인 행렬 대각화에 의해서 얻어진다.

ㆍ 실제로 단계 4.는 입력 고유값 μ_k 중 적어도 하나가 음인 경우에만 실행되며, 따라서 해 점(solution point) μ ^* =(μ₁ ^*,μ₂ ^*,μ₃ ^*)∈△_a는 항상 삼각형 집합 △_a의 변(edge)(꼭지점을 포함하여)에 위치한다.

"트레이스 재축척된" 고유값

를 사용하는 것(방정식(37) 및 이 주제에 대한 후속하는 언급을 참조)은, 삼각형 △_a의 세 꼭지점 (1,0,0), (0,1,0) 및 (0,0,1)에 의해 결정된 평면 S_a=1에 대해 수학식(39c)에 따라 μ^*를 결정하기 위해 풀이되어야 하는 최소화 문제를 한정한다. 이러한 "평면" 최소화 문제는, 쌍 (

,

)에 대한 최소의 유클리드 거리를 갖는 다음의 투영된 삼각형(즉, (μ₁,μ₂)-평면에 대한 △_a의 직교 투영):

의 변들에 위치한 고유한 쌍 (μ₁ ^*,μ₂ ^*)를 찾음으로써, 예를 들어 (μ₁,μ₂)-평면과 같은

에서 동등하게 풀이될 수 있다. 그러면 μ^*의 세번째 좌표는 μ₃ ^* = 1 - (μ₁ ^* + μ₂ ^*)에 의해 주어진다.

DTS에 의해 S_a ~ 1이므로, "평면" 최소화 문제를 푸는 알고리즘은 수학식(39c)의 정확한 해에 대한 매우 우수한 근사를 낳으며, 동시에 상기 알고리즘은

에서 수학식(39c)로부터 직접적으로 μ^*를 계산하는 알고리즘보다 훨씬 간단하고 더 효율적으로 구현될 수 있다.

ㆍ 단계 5.에서, 행렬

의 개별 성분들을 계산하는 공식은 단계 3.에서 앞서 계산된 회전 행렬

의 행렬 성분들 R_ij의 항에서

에 의해 주어진다.

8. 구현(Implementation)

물품의 주어진 영역에서 섬유들의 배향의 가능성을 기술하는 분포 함수인 공정의 결과는, (도시되지 않은) 컴퓨터 워크스테이션의 디스플레이에 그래픽 또는 수치적인 형태로 표시된다. 이는 계산이 수행되는 컴퓨터나 워크스테이션의 디스플레이일 수 있으며, 또는 이는 시뮬레이션이 수행되는 컴퓨터에 네트워크로 연결된 컴퓨터의 디스플레이일 수 있다.

금형이나 제품 설계자는 사출 성형 공정으로부터 기인하는 물품의 질을 향상시키기 위해 시뮬레이션의 결과를 사용할 것이다. 시뮬레이션의 결과는 관심 있는 물품을 제조하기 위한 비용을 줄이기 위해서도 엔지니어에 의해 또한 사용될 수 있다. 섬유 정보에 대한 신뢰할 만한 정보의 장점은 엔지니어가 물품의 강도, 강성(rigidity) 및 안정성(ability) 특성을 결정하기 전에 더 나은 이해 및 정보를 갖도록 한다. 왜냐하면 폴리머 재료보다 훨씬 더 높은 강도 특성을 통상적으로 갖는 섬유들의 배향은 물품의 강도, 강성 및 안정도 특성에 결정적인 영향을 미치기 때문이다. 더욱이, 섬유 배향은 현탁된 섬유와 함께 폴리머 덩어리를 사출 성형할 때 일어날 수 있는 휨 효과에 영향을 준다. 섬유 배향을 앎으로써, 효과에 대한 원인이 되는 휨 및 다른 변형력(stress)이 더 잘 예상되거나 변화를 설계하기 위해서 회피될 수 있다.

시뮬레이션의 결과는 CAD 소프트웨어 같은 다른 응용에 또한 전달될 수 있다. 따라서, 시뮬레이션의 결과는 설계 소프트웨어와 시뮬레이션 소프트웨어 사이의 대화형(interactive) 프로세스에서 사용될 수 있다.

본 발명은 많은 장점을 가지고 있다. 다른 실시예 또는 구현이 다음의 장점들 중 하나 이상을 도출할 수 있다. 이는 철저한 목록이 아니며 여기에 기술되지 않은 다른 장점들이 있을 수 있다는 점을 주의해야 한다. 본 발명의 장점들 중 하나는 섬유 강화된 제조 물품에서 섬유 배향의 분포가 상당히 감소된 계산 노력으로 결정될 수 있다는 점이다. 본 발명의 장점은 섬유 강화된 제조 물품에서 섬유 배향 의 분포가 증진된 정확성으로 결정될 수 있다는 점이다. 본 발명의 또 다른 장점은 섬유 강화된 제조 물품에서 섬유 배향의 분포가 더 빨리 결정될 수 있다는 점이다.

본 발명이 설명의 목적으로 세부적으로 기술되어 있으나, 그런 세부사항은 단지 그런 목적으로만 이해되며, 변형들이 본 발명의 범위에서 벗어나지 않고 당해 기술 분야에서 통상의 지식을 가진자에 의해 만들어질 수 있다. 청구항에서 사용되는 용어 "포함하는"은 다른 요소나 단계들을 배제하지 않는다. 청구항에서 사용되는 용어 "하나의"는 복수를 배제하지 않는다.

참고문헌

[1] S.G. Advani (Ed.): Flow and Rheology in Polymer Composites Manufacturing, Elsevier, Amsterdam (1994)

[2] G.B. Jeffery: The motion of ellipsoidal particles immersed in a viscous fluid, Proc. R. Soc. A 102, 161-179 (1922)

[3] M. Junk and R. Illner: A new derivation of Jeffery's equation, J. Math. Fluid Mech. 8, 1-34 (2006)

[4] F. Folgar and C.L. Tucker Ⅲ: Orientation behaviour of fibers in concentrated suspensions, J. Reinf. Plast. Compos. 3, 98-119 (1984)

[5] C.L. Tucker and S.G. Advani: Processing of short-fiber systems, ch.6, pp.147 in S.G. Advani (Ed.): Flow and Rheology in Polymer Composites Manufacturing (see ref.[1] above)

[6] S.G. Advani and C.L. Tucker Ⅲ: The use of tensors to describe and predict fiber orientation in short fiber composites, J. Rheol., 751-784(1987)

[7] S.G. Advani and C.L. Tucker Ⅲ: Closure approximations for three-dimensional structure tensors, J. Rheol., 367-386 (1990)

[8] J.S. Cintra and C.L. Tucker Ⅲ: Orthotropic closure approximations for flow-induced fiber orientation, J. Rheol. 39, 1095-1122 (1995)

[9] E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner: Geometric numerical integration, Springer, Berlin (2002)

[10] J. Linn, J. Steinbach, A. Reinhardt: Calculation of the 3D fiber orientation in the simulation of the injection molding process for short-fiber reinforced thermoplasts, ECMI 2000 Conference, Palermo (2000)

[11] J. Linn: Exploring the phase space of the Folger-Tucker equations, SIAM-EMS Conference, Berlin (2001)

[12] J. Linn: On the frame-invariant description of the phase space of the Folgar-Tucker equation, p.327-332 in A. Buikis, R. Ciegis, A.D. Fitt (Eds.): Progress in Industrial Mathematics at ECMI 2002, Springer (2004)

[13] S. Hess: Fokker-Planck equation approach to flow alignment in liquid crystals, Z.Naturforsch, 31A, 1034 ff. (1976)

[14] M. Doi: Molecular dynamics and rheological properties of concentrated solutions of rodlike polymers in isotropic and liquid cristalline phases, J.Polym.Sci, Polym.Phys.Ed. 19, 229-243 (1981)

[15] M. Crosso, P.L. Maffetone, F. Dupret: A closure approximation for nematic liquid crystals based on the canonical distribution subspace theory, Rheol.Acta39, 301-310 (2000)

[16] M. Kroger: Simple models for complex nonequilibrium fluids, Phys. Rep.390, 453-551 (2004)

[17] J. Linn: The Folgar-Tucker Model as a Differential Algebraic System for Fiber Orientation Calculation, pp.215-224 in Y.Wang, K.Hutter: Trends in Applications of Mathematics to Mechanics, proceedings of the STAMM 2005 conference in Seeheim (Germany), Shaker (2005)

[18] U. Strautins: Investigation of fiber orientation dynamics within the Folgar-Tucker model with hybrid closure, master thesis, Dept. of Mathematics, University of Kaiserslautern (2004)

[19] J. Linn: Dreidimensionale Vorausberechnung der anisotropen Materialeigenschaften in thermoplastischen Spritzgusserzeugnissen (AnIso-3D), Projektbericht fur die MAGMA GmbH, Teil IIa (2002)

[20] J. Linn: Dreidimensionale Vorausberechnung der anisotropen Materialeigenschaften in thermoplastischen Spritzgusserzeugnissen (AnIso-3D), Projektbericht fur die MAGMA GmbH, Teil IIb (2002)

[21] B.E. VerWeyst, C.L. Tucker, P.H. Foss, J.F. O'Gara: Fiber orientation in 3D injection moulded features: prediction and experiment, Internat. Polymer Processing 14, 409-420 (1999)

[22] B.E. VerWeyst: Numerical predictions of flow-induced fiber orientation in three-dimensional geometries, Ph.D thesis, Univ. of Illinois at Urbana Champaign (1998)

[23] G.I. Marchuk: Splitting and Alternating Direction Methods, pp.197-462 in P.G. Ciaret & J.L. Lions (Eds.): Handbook of Numerical Analysis, Volume 1, North-Holland, Elsevier (1990)

[24] K.W. Morton: Numerical solution of convection-diffusion problems, Chapman & Hall, London (1996)

[25] R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Law, Birkhauser (1992)

[26] G. Strang: "On the construction and comparison of difference schemes", SIAM Journ. Num. Anal. 5, 506-517 (1968)

[27] M.G. Crandall and A. Majda: "The method of fractional steps for conservation laws", Math. Comp. 34, 285-314 (1980)

[28] H.V. Kojouharov, B.M. Chen: "Nonstandard methods for the convective transport equation with nonlinear reactions", Numer.Meth.Partial Diff. Eq.14, 467-485 (1998); "Nonstandard methods for the convective-dispersive transport equation with nonlinear reactions" in R.E. Mickens (ed.): Applications of non-standard finite difference shcemes, minisymposium on non-standard finite difference shcemes: theory and applications, SIAM annual meeting, Atlanta GA, USA 1999, publ. by Singapore: World Scientific (2000)

[29] H. Wang, X. Shi and R.E. Ewing; "An ELLEM scheme for multidimensional advection-reaction equations and its optimal-order error estimate", SIAM J. Numer.Anal. 38, 1846-1885 (2001)

[30] P.J. van der Houwen: "Note on the time integration of 3D advection -reaction equations", J. Comput. Appl. Math. 116, 275-278 (2000)

[31] W. Hunsdorfer, J.G. Verwer: "A note on splitting errors for advection-reaction equations", Appl. Numer. Math. 18, 191-199 (1995)

[32] S.V. Patankar: Numerical heat transfer and fluid flow, Hemisphere Publ. Corp. (1980)

[33] C.A.J. Fletcher: Computaional techniques for Fluid Dynamics, Volume I: Fundamental and General Techniques (2nd edition), Springer (1991)

[34] L.F. Shampine: "Conservation laws and the numerical solution of ODEs", Comp. Math. Applic. 12B, 1287-1296 (1986)

[35] L.F. Shampine: "Linear conservation laws for ODEs", Comp. Math. Applic. 35, 35-53 (1998)

[36] L.F. Shampine: "Conservation laws and the numerical solution of ODEs, partII", Comp. Math. Applic. 38, 61-72 (1999)

[37] J. Linn: "Entwicklung eines Software-Moduls zur Berechnung der Faserorientierung in der Spritzgieβsimulation mit SIGMASOFT", technical Report for the MAGMA GmbH (2001)

[38] W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery: Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (2nd Edition), Cambridge University Press (1992)

[39] J. Stoer, R. Bulirsch: Introduction to Numerical Analysis (3rd Edition), Springer (2002)

[40] D.H. Chung, T.H. Kwon: "An invariant-based optimal fitting closure approximation for the numerical prediction of flow-induced fibre orientation", J. Rheol. 46, 169-194 (2002)

[41] F. Dupret, V. Verleye, B. Languilier: "Numerical prediction of moulding of short-fibre composite parts", Proc. 1st ESAFORM Conf., 291-294 (1998)

[42] G.H. Golub, H.A. van der Vorst: "Eigenvalue Computation in the 20th Century", J. Comp. Appl. Math. 123, 35-65 (2000)

Claims (72)

1. 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 복수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 방법으로서, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화함으로써 다수의 계산 셀들을 갖는 망(mesh)이 형성되는 상기 방법은:

   a) 경계 조건들을 특정하는 단계;

   b) 초기 조건들을 설정하는 단계;

   c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동 및 물질 전달을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식들의 해를 구하는 단계; 및

   d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함하며,

   상기 비구형 입자 배향은 분포 함수에 의해 통계적으로 기술되며, 상기 분포 함수는 증가하는 차수의 비구형 입자 배향 텐서들에 의해 근사화되고 4차 배향 텐서는 안정화된 하이브리드 폐포 근사법을 사용하여 2차 텐서의 함수로서 계산되는 방법.
2. 제 1 항에 있어서,

   상기 분포 함수는 축약 표기(CN)를 사용하여 벡터 형태에 있어서 재공식화된 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식(16)들의 비선형 결합 시스템인 방법.
3. 제 2 항에 있어서,

   상기 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식(16)들의 시스템의 우측편의 대수적인 구조는 다수의 대수적인 연산자들로 안정화된 하이브리드 폐포를 달성하는데 이용되는 방법.
4. 제 3 항에 있어서,

   상기 비구형 입자 배향을 결정하는데 요구되는 대수적인 연산자들의 개수는 쌍곡형 편미분 방정식(16)들의 시스템의 우측편에 있는 공통의 하위 표현식들을 식별함으로써 최소화되는 방법.
5. 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 복수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 방법으로서, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화함으로써 다수의 계산 셀들을 갖는 망(mesh)이 형성되는 상기 방법은:

   a) 경계 조건들을 특정하는 단계;

   b) 초기 조건들을 설정하는 단계;

   c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동 및 물질 전달을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식들의 해를 구하는 단계; 및

   d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함하며,

   상기 비구형 입자 배향은 분포 함수에 의해 통계적으로 기술되며, 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템인 상기 분포 함수는 증가하는 차수의 비구형 입자 배향 텐서들에 의해 근사화되고, 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템은 순수 배향 전달 성분과 회전 배향 역학 성분으로 분리되는 방법.
6. 제 5 항에 있어서,

   연산자 분리의 절차에 따라 교호하는 방식으로 두 방정식들을 사용함으로써 수치적인 적분이 수행되는 방법.
7. 제 6 항에 있어서,

   상기 연산자 분리는 대칭적 연산자 분리법에 의해 또는 단순 연산자 분리법에 의해 수행되는 방법.
8. 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 복수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 방법으로서, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화함으로써 다수의 계산 셀들을 갖는 망(mesh)이 형성되는 상기 방법은:

   a) 경계 조건들을 특정하는 단계;

   b) 초기 조건들을 설정하는 단계;

   c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동 및 물질 전달을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식들의 해를 구하는 단계; 및

   d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함하며,

   상기 비구형 입자 배향은 분포 함수에 의해 통계적으로 기술되며, 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템인 상기 분포 함수는 증가하는 차수의 비구형 입자 배향 텐서들에 의해 근사화되고, 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 결합 시스템의 해를 구하는 것은 제어 항에 의해 동적인 트레이스 안정화와 결합된 유동 제어 시간 적분의 사용을 포함하는 방법.
9. 제 8 항에 있어서,

   제어 항은 동적인 트레이스 안정화를 위한 쌍곡형 편미분 방정식들의 결합 시스템 내에 포함되어 있는 방법.
10. 제 8 항에 있어서,

    2차 텐서의 트레이스는 벌칙 항의 추가를 통한 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 결합 시스템의 변형에 의해 동적으로 안정화되는 방법.
11. 제 10 항에 있어서,

    상기 벌칙 항의 함수 형태는, 상기 2차 배향 텐서의 트레이스가 요구된 값 1에서 유지되도록 특정하여 선택되는 방법.
12. 제 11 항에 있어서,

    상기 2차 배향 텐서는, 단위 트레이스를 갖는 모든 대칭적인 행렬들의 집합이 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 결합 시스템의 안정적인 적분 다양체가 되도록 상기 벌칙 항을 선택함으로써, 요구된 값 1에서 유지되는 방법.
13. 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 복수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 방법으로서, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화함으로써 다수의 계산 셀들을 갖는 망(mesh)이 형성되는 상기 방법은:

    a) 경계 조건들을 특정하는 단계;

    b) 초기 조건들을 설정하는 단계;

    c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동 및 물질 전달을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식들의 해를 구하는 단계; 및

    d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함하며,

    상기 비구형 입자 배향은 분포 함수에 의해 통계적으로 기술되며, 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템인 상기 분포 함수는 증가하는 차수의 비구형 입자 배향 텐서들에 의해 근사화되고, 국소적인 전단속도율의 크기에 따라 시간 적분 방식을 선택하는 적분 방법을 구성하기 위하여 속도 그래디언트의 성분들에 대한 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 결합 시스템의 우측편 함수의 특수한 축척 거동을 이용하는 것을 더 포함하는 방법.
14. 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 적어도 일부를 형성하는 금형 캐비티가 복수의 비구형 입자들을 함유하는 용매에 의해 형성되는 현탁액으로 충전되는 또는 부분적으로 충전되는 사출 성형 공정을 시뮬레이션 하기 위한 시뮬레이션 모델의 사용에 의해 거시적인 레벨에서 비구형 입자들의 배향 통계를 계산하기 위한 방법으로서, 여기서 시뮬레이션 도메인의 기하학적 형상의 디지털 표현 또는 컴퓨터 모델이 제공되고, 시뮬레이션 도메인의 적어도 일부를 분할하거나 또는 이산화함으로써 다수의 계산 셀들을 갖는 망(mesh)이 형성되는 상기 방법은:

    a) 경계 조건들을 특정하는 단계;

    b) 초기 조건들을 설정하는 단계;

    c) 거시적인 레벨에서 유체 유동, 열 유동 및 물질 전달을 얻기 위하여 시뮬레이션 도메인의 셀들의 적어도 일부에 대한 질량, 운동량 및 에너지에 관한 평형 방정식들의 해를 구하는 단계; 및

    d) 해를 구한 평형 방정식들의 결과들을 적어도 부분적으로 기초로 하여 비구형 입자 배향 동역학 방정식들의 해를 구함으로써 거시적인 레벨에서 비구형 입자 배향에 있어서의 변화들을 공간 및 시간의 함수로서 결정하는 단계를 포함하며,

    상기 비구형 입자 배향은 분포 함수에 의해 통계적으로 기술되며, 반응 대류의 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템인 상기 분포 함수는 증가하는 차수의 비구형 입자 배향 텐서들에 의해 근사화되고, 상기 쌍곡형 편미분 방정식들의 비선형 결합 시스템의 해를 구하는 것은 FO 텐서 또는 행렬의 제안된 해가 상기 텐서 또는 행렬이 양의 준정부호이거나 또는 단위 트레이스를 갖는다는 점에서 허용된 해인지를 결정하기 위한 모니터링 단계를 포함하며, 만약 그렇지 않다면 허용 가능한 위상 공간으로 상기 제안된 해가 투영되는 위상 공간 투영 단계 또는 트레이스 재축척 단계를 수행하는 것을 포함하는 방법.
15. 제 1 항 내지 제 14 항 중 어느 한 항에 따른 방법을 수행하기 위한 소프트웨어 코드를 포함하는 컴퓨터 판독 가능 매체 상의 컴퓨터 소프트웨어 제품.
16. 제품 주조 기계, 및 상기 기계와 연결되며 제 15 항에 따른 컴퓨터 제품을 포함하는 컴퓨터-구현 시스템을 포함하는 주조 생산을 위한 시스템.
17. 삭제
18. 삭제
19. 삭제
20. 삭제
21. 삭제
22. 삭제
23. 삭제
24. 삭제
25. 삭제
26. 삭제
27. 삭제
28. 삭제
29. 삭제
30. 삭제
31. 삭제
32. 삭제
33. 삭제
34. 삭제
35. 삭제
36. 삭제
37. 삭제
38. 삭제
39. 삭제
40. 삭제
41. 삭제
42. 삭제
43. 삭제
44. 삭제
45. 삭제
46. 삭제
47. 삭제
48. 삭제
49. 삭제
50. 삭제
51. 삭제
52. 삭제
53. 삭제
54. 삭제
55. 삭제
56. 삭제
57. 삭제
58. 삭제
59. 삭제
60. 삭제
61. 삭제
62. 삭제
63. 삭제
64. 삭제
65. 삭제
66. 삭제
67. 삭제
68. 삭제
69. 삭제
70. 삭제
71. 삭제
72. 삭제

Images