CN108322409A - 基于广义正交匹配追踪算法的稀疏ofdm信道估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其按以下步骤：步骤一，将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题；步骤二，设计观测矩阵；步骤三，采用广义正交匹配追踪法重构原信号，完成信道估计。本发明基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计方法，其包括了将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题、观测矩阵的设计和广义正交匹配追踪算法重构原信号。大大减小运算复杂度即运行时间，精确估计出信道的冲激响应,提高OFDM稀疏信道估计的系统性能，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

Description

基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法

技术领域

本发明属于信息与通信工程技术领域，涉及一种稀疏OFDM信道估计和信号处理中的采用广义正交匹配追踪算法实现稀疏信道估计的方法。

背景技术

在无线通信系统中，信道估计是极为重要的研究方向。其信号估计质量好坏将影响相干解调性能。与传统奈奎斯特采样相比，压缩感知理论摒弃复杂的编码算法，同时进行数据的采集与压缩，其采样速率更低，重构信号更加精确。因无线多径信道多数都具有稀疏特性，且信道估计在很大程度上也属于信号重构问题，故可自然地应用压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论，将信道估计问题转化为压缩感知广义正交匹配追踪算法中的信号重构问题。

压缩感知理论指出，可以用一个与变换基不相关的观测矩阵来观测信号，将信号映射到一个低维空间上，这样重构问题就会转化为一个最优化问题，最后通过求解此优化方程就可将信号较为精确地重构出来。当然，如果想要进行以上的过程，信号需要满足一个前提条件，即信号在此变换域内可稀疏表示或者具有压缩性。压缩感知主要包括3个步骤：信号稀疏变换，观测矩阵设计及信号重构，且最后的信号重构步骤最为关键。

常用的信号重构算法主要有三种，一种是凸优化方法，凸优化是在凸函数限制的情况下，通过求解最小l₁范数的凸优化问题恢复原始信号。凸优化方法主要包括基追踪(Basis Pursuit,BP)算法(算法见“焦李成,杨淑媛,刘芳,等.压缩感知回顾与展望[J].电子学报,2011,39(7):1651-1662.”)、迭代收缩阈值(Iterative Shrinkage Thresholding,IST)算法(算法见“Wright S J,Nowak R D,Figueiredo M AT.Sparse reconstruction byseparable approximation.[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2009,57(7):3373-3376.”)、梯度投影稀疏重构(Gradient Projection for SparseReconstruction,GPSR)算法(算法见“Figueiredo M AT,Nowak R D,Wright S J.Gradientprojection for sparse reconstruction:Application to compressed sensing andother inverse problems[J].IEEE Journal of Selected Topics in SignalProcessing,2007,1(4):586-597.”)以及同伦(Homotopy)法等。一种是贝叶斯法(算法见“何岩,王东辉,朱淼良.贝叶斯压缩感知稀疏信号重构方法研究[C]//中国智能机器人学术研讨会.2011.”)，利用贝叶斯理论中参数的先验分布和后验分布去研究信号恢复问题。利用贪婪追踪算法重建信号虽然速度很快，但是恢复精度却很低。而凸优化算法虽然重建信号的计算负担重，易受收敛停止准则影响，但是观测点数少，在局部求得的最优解就是整个区域上的最优值，同时当目标函数是严格的凸函数时，全局上只有一个最优值点。另一种是贪婪追踪算法，它在搜索支撑集的过程中，利用了非零元素幅值的高低并求出它的具体值，之后再通过压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差来不断地更新支撑集。其中包括匹配追踪(Matching Pursuits,MP)算法、正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法(算法见“Tropp J,Gilbert A C.Signal Recovery From Random Measurements ViaOrthogonal Matching Pursuit[J].Information Theory,IEEE Transactions on,2007,53(12):4655-4666.”)和广义正交匹配追踪(Generalized OMP,GOMP)算法。

因此，可将压缩感知中的广义正交匹配追踪算法应用于OFDM信道估计中。与传统最小二乘法(LS)信道估计方法相比，采用该方法不仅可以使得频谱利用率有效提高，同时还可以使得导频开销极大降低，此外，估计性能也得到了改善。基于此，本发明提出一种基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法。

发明内容

本发明公开了一种在OFDM系统中，基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计方法。本发明利用无线信道多数具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的广义正交匹配追踪算法应用于稀疏OFDM信道的估计中。广义正交匹配追踪算法可以看作为OMP算法的一种推广。其核心思想是在第k次迭代中，通过计算测量矩阵中每列原子与当前残差的内积，选出前s个最大内积对应的原子索引，并以此构建本次迭代确定的索引集。由于在每次迭代中选择了多个原子索引，这就使得该次迭代有可能会选择到多个正确的原子索引，因此，相比于正交匹配追踪算法，广义正交匹配追踪算法具有计算复杂度较低及运算时间较短的优点。

本发明采取以下技术方案：

一种基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其按如下步骤进行：

步骤一，将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题；

步骤二，设计观测矩阵，即压缩感知中观测矩阵的设计方法；

步骤三，采用广义正交匹配追踪法重构原信号，完成信道估计，即利用广义正交匹配追踪算法重构原信号(即估计稀疏信道的冲激响应)，及广义正交匹配追踪算法精确重建原信号的条件。

步骤一具体采用以下步骤完成：

步骤1.1多径信道可以等效成一个时变有限冲激响应滤波器，对多径信道的估计就是对滤波器系数进行估计。假设OFDM系统具有N个子载波，但实际上只采用其中的P个用作导频符号间的传输，则长度为N的接收信号Y可以表示为：Y＝XH+n＝XWh+n。其中，发送端的发送信号X＝diag[X(1)X(2)K X(N)],H表示的是信道频域响应采样值，长度为N，n是长度为N的信道加性高斯白噪声，W是N×N的离散傅里叶变换矩阵的前L列组成的N×L矩阵。设S为P×N的导频选择矩阵，则接收端导频信号可表示为：y_P＝X_PW_Ph+n_P。式中，y_P＝Sy，h表示的是信道冲激响应的时域采样值，n_p表示信道的噪声值,发射端的导频信号X_P＝SXS',选择傅里叶变换矩阵W_P＝SW。噪声向量n_P＝Sn。其中y_P，X_P，W_P均已知，且无线多径信道多数都具有稀疏特性。

步骤1.2在压缩感知理论中，设信号为x，x∈R^N，长度为N。在一般情况下，信号并非稀疏，但又具备可压缩性质。故为使信号可以被稀疏表示，可搜索一稀疏基Ψ，即有：其中，Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,K,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)，是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量。则有观测向量y：y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ。其中，传感矩阵A＝ΦΨ，Ф是观测矩阵。

步骤1.3压缩感知理论应用在OFDM信道估计时的模型为：令观测向量y＝y_P，传感矩阵A＝X_PW_P，原k-稀疏系数θ＝h，有y＝X_PW_Ph+n_P＝Aθ。则估计时域冲激响应h问题可以转化为稀疏信号重构问题。

步骤二具体采用以下步骤完成：

观测数据y可写成：

y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ (1)

其中，Φ是M×N(M需远小于N)维测量矩阵或观测矩阵；为原始信号；Ψ是稀疏基；A是压缩感知矩阵；是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量。观测矩阵Φ需符合约束等距特性(Restricted Isometry Property,RIP)条件，即k-稀疏矢量v和Φ满足δ_k是约束等距实常数，且0＜δ_k＜1。有限等距性质是压缩感知理论能求解出确定解的充要条件。

随机高斯矩阵中元素服从期望为0，方差为1/M的独立同分布高斯分布。考虑到随机高斯矩阵与大多数正交基都不相干，并且以很高概率满足RIP性质，故选取随机高斯矩阵作为观测矩阵。

步骤三具体采用以下步骤完成：

步骤3.1初始化：初始残差r₀＝y，初始的正确信号索引集按照初始索引选出矩阵A的初始列集合迭代次数t＝1

步骤3.2计算矩阵A与残差的内积u

u＝abs[A^Tr_t-1] (2)

即计算<r_t-1,α_j>，1≤j≤N，选择u中最大的s个值，将这些值对应A的列序号j构成集合J₀即列序号集合；α_j表示A的第j列；r_t-1表示的是第t-1次迭代时的残差。

步骤3.3令

Λ_t＝Λ_t-1UJ₀ (3)

A_t＝A_t-1Uα_j(for all j∈J₀) (4)

Λ_t与Λ_t分别表示的是第t次与第t-1次迭代时，正确的信号索引集；A_t与A_t-1分别表示的是第t次与第t-1次迭代时，按照对应索引选出矩阵A的列集合。

步骤3.4求y＝A_tθ_t的最小二乘解：

其中，表示的是第t次迭代时重构的稀疏系数。

步骤3.5更新残差:

步骤3.6t＝t+1，如果t≤k则返回步骤3.2，否则停止迭代进入步骤3.7；

步骤3.7重构所得在Λ_t处有非零项，其值分别为最后一次迭代所得

步骤3.8得到后，利用稀疏矩阵可得重构信号

对GOMP算法对k-稀疏信号的精确重建条件进行分析。当某次迭代选择出的s个索引中至少有一个正确原子的索引时，可以认为本次迭代是成功的。

步骤4.1分析GOMP算法在首次迭代中获得成功的条件；是一个k-稀疏信号，k≥s，观测矩阵Φ∈R^m×n，观测信号y∈R^m，Λ为正确的信号索引集；

记Λ¹为首次迭代时选择的s个原子的索引集；中的元素是Φ^Ty中最大的s个元素，和Φ^T分别表示的是矩阵和Φ的转置；有：

此处，表示Φ的第i列，I为列数i所构成的集合；可得：

由于y＝Φ_Λx_Λ，有：

其中，约束等距常数(Restricted Isometry Constant)δ_k表示的是满足约束等距特性(Restricted Isometry Property,RIP)条件的所有常数δ中最小的一个。

若在首次迭代中没有选择到正确的原子索引，即有：

其中，δ_k+s表示的是观测矩阵对稀疏度k+s满足RIP条件时所对应的约束等距常数。

若是则可以保证在首次迭代中能够选择到至少一个正确的原子索引；又因限制等容常数具有单调递增的特性(即若观测矩阵对稀疏度k₁和k₂都满足RIP条件，若k₁≤k₂，则有)，有δ_k＜δ_k+s，于是有：

化简可得：

当时，GOMP算法在首次迭代中取得的索引集Λ¹内至少包含一个正确信号索引集Λ中的元素，即此时迭代是成功的；

步骤4.2考虑GOMP算法在非首次迭代过程中获得成功的条件；有如下结论：

记若GOMP算法成功迭代了前p次，1≤p≤k，则当：

时，GOMP算法在p+1次迭代过程中能选择到正确原子索引；其中，δ_sp表示的是观测矩阵对稀疏度sp满足RIP条件时所对应的约束等距常数。

由于在第p次迭代中新选择到的s个索引与之前迭代所选择出的原子索引没有重复，因此，有集合Λ^p中的元素有ps个，即|Λ^p|＝ps；且，当GOMP算法经过p次成功迭代后，Λ^p至少包含了p个正确的原子索引；即，Λ^p中正确的原子索引数目l存在关系式：

l＝|ΛI Λ^p|≥p (14)

只考虑Λ^p中尚未包含全部正确的原子索引，即l<k，否则意味着重建任务已经完成了；因此，安全的假设剩下的正确原子索引集是非空的，即定义两个参数：①记其中，α_i是个递减序列(α₁≥α₂≥L)，在GOMP算法的第p+1次迭代中，α_s为r^p与由索引集F＝Ω\(Λ^pUΛ)确定的原子第s大的相关系数，F为剩余的不正确原子索引集；②记其中，β_i也是个递减序列(β₁≥β₂≥L)，在GOMP算法的第p+1次迭代中，β₁为r^p与由索引集Λ-Λ^p确定的原子最大的相关系数，Λ-Λ^p为尚未选择到的正确原子索引集；当β₁大于α_s时，β₁将会被包含在的前s个最大值中，此时，在第p+1次迭代过程中将至少会选择到一个正确的原子索引；

可以证明在第p+1次迭代中，α_s和β₁存在如下关系：

其中，δ_s+k-l、δ_s+sp、δ_sp+k-l和δ_k-l分别表示的是观测矩阵对稀疏度s+k-l、s+sp、sp+k-l和k-l满足RIP条件时所对应的约束等距常数。

GOMP算法在第p+1次迭代中至少选择到一个正确原子索引的条件可以描述为：α_s＜β₁；

又因为δ_k-l＜δ_sk，δ_sp+k-l＜δ_sk，δ_sp＜δ_sk，δ_s+sp＜δ_sk，则有：

可以得到：

化简后得：

由于放缩可得：

步骤4.3得出如下结论：

若GOMP算法最多通过k次迭代从y＝Φx中精确重建出k-稀疏信号x的条件为：

由于OFDM信道具有稀疏的特性，将信道估计问题转化为信号重构问题，应用压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论来重构原始信号，本发明提出了一种基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计方法。利用无线信道多数都具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的广义正交匹配追踪算法应用于稀疏OFDM信道的估计中。广义正交匹配追踪算法的核心是在第k次迭代中，通过计算测量矩阵中每列原子与当前残差的内积，选出前s个最大内积对应的原子索引，并以此构建本次迭代确定的索引集。

(一)压缩感知理论

压缩感知理论指出，假设信号可以在某个变换域内稀疏表示或者可压缩，那么则可以用一个与其变换基不相关的观测矩阵对稀疏信号进行观测，将高维信号投影到一个低维空间上，然后可以把信号恢复的问题转变为一个最优化问题，最后通过求解此问题就可将信号较为精确地重构出来。

压缩感知理论主要有三步：第一步要考虑如何将信号进行稀疏表达，第二步就是要设计一个观测矩阵，最后一步是信号的恢复。

(1)信号的稀疏表达。对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量。y为N×1维的向量，且元素为实数。另外，向量或矩阵的稀疏性表示向量或矩阵中非零系数个数与总向量元素个数的比值很低(如小于10％以下等)。如果向量θ中的非零系数有k个，那么称x具有k-稀疏(k-Sparsity)性。且信道都具备稀疏性，故输入信号通常都具有稀疏特性。

(2)观测矩阵的设计。在压缩感知理论中，要求观测矩阵必须确定能够从M个观测值中准确的重建出原始信号x，或者重建出稀疏系数，y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ。

其中，y表示观测到的数据，Φ是一个M×N(M远小于N)的测量矩阵或观测矩阵，x＝Ψθ表示原始信号，Ψ是稀疏基；A是压缩感知矩阵；θ是稀疏系数。

可以看出，M的长度要比x小的多，因此要重建出原始信号，就必须要解一个病态方程，但是这个方程又不能求出来。但可利用θ的k稀疏性，采用现有的重构算法，便可很轻松的重构信号x。

如果能从M个观测值中准确的恢复出k个稀疏系数，且保证算法收敛，观测矩阵必需符合约束等距特性(Restricted Isometry Property,RIP)的条件，就是说若矢量v是k稀疏的，它和Φ就必须满足

式中，δ_k是约束等距(RIP)常数，且0＜δ_k＜1。在CS进行k稀疏信号恢复时，观测矩阵Φ满足l₁最小化框架下进行信号稀疏重构时，约束等距性质(RIP)的约束等距常数新上界。如果Φ中的约束等距常数δ_k满足δ_k＜0.307，则当没有噪声时，k稀疏信号可以通过l₁最小化进行准确重构，k稀疏信号可以在含噪情况下进行稳定估计。在条件下不能恢复确定的k维稀疏信号。有限等距性质(RIP)是压缩感知理论能够求解出确定解的充要条件。

(3)恢复算法的设计。常用的信号重构算法主要有三种，一种是凸优化方法，凸优化是在凸函数限制的情况下，通过求解最小l₁范数的凸优化问题恢复原始信号。凸优化方法主要包括基追踪算法、迭代收缩阈值算法、梯度投影稀疏重构算法以及同伦法等。常见的凸优化算法Barzilai-Borwein稀疏梯度投影法(GPSR-BB)以梯度下降法为基础，把一个隐变量代入目标函数中，将信号恢复问题转化为带有边界约束的二次方程优化问题，接着把算出的新目标方程的梯度值作为寻找最优值的方向。另一种是贪婪追踪算法，它在搜索支撑集的过程中，利用了非零元素幅值的高低并求出它的具体值，之后再通过压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差来不断地更新支撑集。其中研究最多的两种方法是匹配追踪算法以及正交匹配追踪算法。OMP算法是匹配追踪算法的一种改进。在每一次进行稀疏分解的同时，对选出的原子进行正则化处理，再更新原子集。广义正交匹配追踪算法可以看作为OMP算法的一种推广。其核心思想是在第k次迭代中，通过计算测量矩阵中每列原子与当前残差的内积，选出前s个最大内积对应的原子索引，并以此构建本次迭代确定的索引集。另一种是贝叶斯法，利用贝叶斯理论中参数的先验分布和后验分布去研究信号恢复问题。由于在每次迭代中选择了多个原子索引，这就使得该次迭代有可能会选择到多个正确的原子索引，因此，相比于正交匹配追踪算法，广义正交匹配追踪算法具有计算复杂度较低及运算时间较短的优点。

(二)广义正交匹配追踪算法原理

正交匹配追踪算法(OMP)在每一次进行稀疏分解的同时，对选出的原子进行正则化处理，再更新原子集。但是由于OMP算法通过单路径的迭代，每次选择一个原子索引，最终得到唯一的信号索引集，尽管OMP算法原理简单并且重建效果较好，但其效率较低，经过k次迭代后完成对k-稀疏信号的重建，但由于在迭代过程中可能会选择到错误的原子，因而OMP算法实际迭代的次数会超过k次，并且OMP算法的每次迭代只能选择一个原子，重建过程比较缓慢。

广义正交匹配追踪(Generalized OMP,GOMP)算法可以看作为OMP算法的一种推广。其核心思想是在第k次迭代中，通过计算测量矩阵中每列原子与当前残差的内积，选出前s个最大内积对应的原子索引，并以此构建本次迭代确定的索引集。由于在每次迭代中选择了多个原子索引，这就使得该次迭代有可能会选择到多个正确的原子索引，因此，相比于正交匹配追踪算法，广义正交匹配追踪算法具有计算复杂度较低及运算时间较短的优点。

本发明采用广义正交匹配追踪法的正交频分复用(OFDM)稀疏信道估计方法，其特征在于采用以下步骤完成：步骤一，将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题；步骤二，设计观测矩阵；步骤三，采用广义正交匹配追踪法重构原信号，完成信道估计。本发明方法可大大减小运算复杂度即运行时间，精确估计出信道的冲激响应,提高OFDM稀疏信道估计的系统性能，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

本发明基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计，其利用无线信道多数都具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的广义正交匹配追踪算法应用于稀疏OFDM信道的估计中，充分利用信道的系数特性，提高了信道估计精度。

附图说明

图1为压缩感知重构信号模型。

图2为广义正交匹配追踪算法实例的流程结构图。

图3为广义正交匹配追踪算法单次重构信号与原始信号间关系仿真图。

图4为GOMP和OMP算法信道估计性能比较仿真分析图。

图5为信号稀疏度k与重构成功概率关系仿真分析图。

图6为GOMP算法中所选原子数目s对信道估计性能影响仿真图。

图7为GOMP算法中所选原子数目s不同时，观测值M与重构成功概率关系仿真图。

图8为GOMP算法中所选原子数目s与重构均方误差之间关系仿真图。

图9为本发明中稀疏向量与信号向量乘法计算过程示意图。

图10是本发明一种优先实施例的流程图。

具体实施方式

下面结合具体实施例和附图对本发明做详细说明。

本发明所提供的基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计方法可用于信息与通信工程技术领域，并不局限于下面所详细说明的通信领域。下面选取典型领域说明本发明具体实施方式。

本实施例压缩感知中的广义正交匹配追踪算法依次经过以下主要步骤得以实现：

1)将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题。多径信道等效成一个时变有限冲激响应滤波器，对多径信道的估计就是对滤波器系数进行估计；假设OFDM系统具有N个子载波，但实际只采用其中的P个用作导频符号间的传输，则长度为N的接收信号Y可以表示为：Y＝XH+n＝XWh+n；其中，发送端的发送信号X＝diag[X(1)X(2)K X(N)],H表示的是信道频域响应采样值，长度为N，n是长度为N的信道加性高斯白噪声，W是N×N的离散傅里叶变换矩阵的前L列组成的N×L矩阵；设S为P×N的导频选择矩阵，则接收端导频信号可表示为：y_P＝X_PW_Ph+n_P；式中，y_P＝Sy，h表示的是信道冲激响应的时域采样值，n_p表示信道的噪声值；发射端的导频信号X_P＝SXS',选择傅里叶变换矩阵W_P＝SW；噪声向量n_P＝Sn；其中y_P、X_P、W_P均已知，且无线多径信道具有稀疏特性；在压缩感知理论中，设信号为x，x∈R^N，长度为N；为使信号可被稀疏表示，可搜索一稀疏基Ψ，即有：其中，Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,K,Ψ_N]是N×N维的正交基，是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量；则有观测向量y：y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ；其中，传感矩阵A＝ΦΨ，Ф是观测矩阵。压缩感知理论应用在OFDM信道估计时的模型为：令观测向量y＝y_P，传感矩阵A＝X_PW_P，原k-稀疏系数θ＝h，有y＝X_PW_Ph+n_P＝Aθ；则估计时域冲激响应h问题可转化为稀疏信号重构问题。

2)观测矩阵的设计。在压缩感知理论中，要求观测矩阵必须确定能够从M个观测值中准确的重建出原始信号x，或者重建出稀疏系数。y＝Φx＝ΦΨα＝Θα其中，y表示观测到的数据，Φ是一个M×N(M远小于N)的测量矩阵或观测矩阵，x＝Ψα表示原始信号，Ψ是稀疏基；Θ是压缩感知矩阵；α是稀疏系数。观测矩阵必需符合约束等距特性的条件。本发明选择随机高斯矩阵作为观测矩阵。

3)采用广义正交匹配追踪法重构原信号，完成信道估计。本发明是基于贪婪追踪算法来重构信号的，在搜索支撑集的过程中，利用了非零元素幅值的高低并求出它的具体值，之后再通过压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差来不断地更新支撑集。广义正交匹配追踪算法是在第k次迭代中，通过计算测量矩阵中每列原子与当前残差的内积，选出前s个最大内积对应的原子索引，并以此构建本次迭代确定的索引集。广义正交匹配追踪算法具有计算复杂度较低及运算时间较短的优点。

本发明充分利用信道的稀疏特性，实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

作为本发明的具体实施方式，可通过以下图例来详细说明。

附图1为基于压缩感知重构信号模型。

在压缩感知过程中，主要包括三个步骤，首先对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：x＝Ψα。其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；Ψ_i为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。然后，设计观测矩阵，观测向量y可以表示为y＝Φx＝ΦΨα＝Θα，其中Φ是M×N(M<<N)维测量矩阵或观测矩阵；Θ是压缩感知矩阵。观测矩阵Φ需符合约束等距特性的条件。有限等距性质是压缩感知理论能求解出确定解的充要条件。随机高斯矩阵与大多数正交基都不相干，并且以很高概率满足RIP性质，故本发明中，选取随机高斯矩阵作为观测矩阵。最后，重构信号。因本发明是基于贪婪追踪算法的，所以通过选择使得压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差最小的原子，来不断地更新支撑集，经过k次迭代，最终得到最佳原子索引集。

附图2为广义正交匹配追踪算法实例的流程结构图。

首先进行初始化设置：初始残差r₀＝y，初始索引按照初始索引选出矩阵A的初始列集合迭代次数t＝1。计算u＝abs]A^Tr_t-1]，选择u中最大的s个值，将这些值对应A的列序号j构成集合J₀。更新此次迭代的索引集Λ_t和其对应的从传感矩阵A中选择出的列集合A_t。然后求解y＝A_tθ_t的最小二乘解，再更新残差，进行下一次迭代。直到共迭代k次后(k为信号的稀疏度)，最终重构所得在Λ_t处有非零项，其值分别为最后一次迭代所得得到后，利用稀疏矩阵可得重构信号

附图3为在观测值个数M＝128，导频长度N＝256，稀疏度k＝30的条件下，GOMP算法的重构原始信号的准确性能。可以看出，GOMP算法可以较准确的恢复出原始信号，重构得出的信号与原始信号基本重合，同时还可得到重构信号的计算时间为0.154565秒。恢复残差为2.4771×10^-14。因GOMP算法每次迭代选择多次原子，较OMP算法可减少迭代次数，减少计算复杂度。

附图4为采用QPSK调制；信号长度N＝256；观测值个数M＝128；非零抽头数K＝6；信噪比的变化范围为0～30dB；导频数目为32。分别采用OMP信道估计算法和GOMP信道估计算法进行仿真。在同一信噪比SNR情况下，OMP信道估计均方误差MSE低于GOMP信道估计算法的均方误差；同时，两种算法的MSE随着SNR的不断变大而减少，具有反比关系。在相同均方误差情况下，GOMP算法的SNR比OMP算法多近10dB。这正是因为在GOMP算法的迭代过程中，会发生选择出错误的原子，导致其重构MSE要高于OMP算法10dB。但GOMP算法在计算复杂度与运算时间上方面，具有良好的优势。

附图5为当信号长度N＝256时，各个算法的信号稀疏度k与重构成功概率之间的关系。可得出所有重构算法的重构成功概率都会随着稀疏度k的增加而逐渐降低，这是由于稀疏度越大，导致信号中的非零个数越多，需采用更多的导频序列才可获得更精确地信道估计值。当稀疏度k相同时，正则化正交匹配追踪算法(ROMP算法)的重构成功概率最差，GOMP算法的重构成功概率最好，同时当选择的原子数目s，从s＝3到s＝6再到s＝9时，重构成功概率发生的相应变化，当s不断增大时，重构成功概率将逐渐降低。这是因为在稀疏度不变的情况下，由于所选原子数目的增加，选择到错误原子的概率也会逐渐的增大，导致重构的成功概率减小。

附图6给出了所选原子数目s对信道估计性能的影响。仿真参数为：导频长度为256，抽头数即稀疏度k为32。当s由s＝7增加到s＝8时，重构均方误差MSE减少了5dB，当s由s＝8增加到s＝9时，重构均方误差MSE增加了0.35dB；当s由s＝9增加到s＝10时，重构均方误差MSE增加了0.35dB。可以看出，当s＝k/4时，信道的重构MSE性能更好。同时当s不断增加时，信道的重构MSE随之不断降低，估计性能得到改善。

附图7给出了在信号长度为256，信号稀疏度为30，所选原子分别为s＝4,s＝8,s＝12,s＝16,s＝20,s＝24时观测数值M和重构成功概率之间的关系，从仿真图中可以看出随着观测数值M的增加，重构成功概率也不断的增加；当所选原子s＝4时，当观测数值个数大于100时，重构成功概率大于95％，可认为当观测值个数大于100，则重构成功。当观测值数小于71时，重构成功概率小于5％，可判断当观测值个数小于71时，无法重构出原始信号。同理，当s＝8时，若要成功重构出原始信号，观测数应大于等于102；当s＝12时，若要成功重构出原始信号，观测数应大于等于108；当s＝16时，观测数大于115时，可成功重构出原始信号；当s＝20时，若要成功重构出原始信号，观测数应大于等于124；当s＝24时，若要成功重构出原始信号，观测数应大于等于143。这是因为观测值较少时，观测到的信号中不具备成功重构原始信号所必需携带的信号量，导致观测数值越大，成功重构原始信号的概率也就越大；同时，在GOMP算法中所选原子数目增加时，若要以较高概率重构出原始信号，所需要的观测值的数目也要相应增加，这是由于所选原子数目的增加，选择到错误原子的概率也会逐渐的增大，导致重构的成功概率减小。由此，在重构原始信号时，观测数值M的确定也尤为关键。

附图8给出了在信号长度为256，观测数值M为128，信号稀疏度为32时，所选原子s和重构均方误差之间的关系，从仿真图中可以看出，随着GOMP算法中所选原子数目的增加，重构均方误差也不断地增加，这是因所选原子数目的增加，选择到错误原子的概率也会逐渐的增大，导致重构MSE也随之变大。当所选原子数小于等于10时，所获得的重构均方误差要小于3*10^-16，而当所选原子数大于10时，MSE较大。故在每次迭代过程中，应该选择合适的原子数目，确保重构的精确性。同时，如果选择的原子数目较少，则计算的复杂度较高且运算时间较长，故一般所选原子数s＝k/4较优。

附图9为本发明中稀疏向量与信号向量乘法计算过程示意图。

观测矩阵是通过matlab程序中randn()函数生成的随机矩阵。随机矩阵与信道向量的乘法计算，表现为M×N阶矩阵每行与列向量分别相乘，得到一个数值的过程。最后，得到M个向量元素，即得到观测列向量：y。

本发明基于压缩感知中的广义正交匹配追踪算法的稀疏信道估计方法，其包括了信号的稀疏表示、观测矩阵的设计和广义正交匹配追踪算法重构原信号。充分利用了信道的稀疏特性，实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

尽管已清晰描述了本发明的实施例，但对本领域的技术人员而言，可在不脱离本发明方法原理和精神情况下，对这些实施例多种变化、修改、替换和变型，则本发明的范围由所附权利要求及其等同限定。即通过改变本发明方法所述方法中信号的稀疏表示方式，观测矩阵的生成方式，广义正交匹配追踪算法信号重构中每次迭代所选原子个数等参数，仍属于本发明所述方法的范畴，仍受本专利保护。

Claims (5)

1.基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于按以下步骤：

步骤一，将信道估计问题转化为基于压缩感知理论重构原信号问题；

步骤二，设计观测矩阵；

步骤三，采用广义正交匹配追踪法重构原信号，完成信道估计。

2.权利要求1所述的基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于:

步骤一具体采用以下步骤完成：

步骤1.1多径信道等效成一个时变有限冲激响应滤波器，对多径信道的估计就是对滤波器系数进行估计；假设OFDM系统具有N个子载波，但实际只采用其中的P个用作导频符号间的传输，则长度为N的接收信号Y可表示为：Y＝XH+n＝XWh+n；其中，发送端的发送信号X＝diag[X(1)X(2)K X(N)],H表示的是信道频域响应采样值，长度为N，n是长度为N的信道加性高斯白噪声，W是N×N的离散傅里叶变换矩阵的前L列组成的N×L矩阵；设S为P×N的导频选择矩阵，则接收端导频信号可表示为：y_P＝X_PW_Ph+n_P；式中，y_P＝Sy，h表示的是信道冲激响应的时域采样值，np表示信道的噪声值；发射端的导频信号X_P＝SXS',选择傅里叶变换矩阵W_P＝SW；噪声向量n_P＝Sn；其中y_P、X_P、W_P均已知，且无线多径信道具有稀疏特性；

步骤1.2在压缩感知理论中，设信号为x，x∈R^N，长度为N；为使信号可被稀疏表示，可搜索一稀疏基Ψ，即有：其中，Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,K,Ψ_N]是N×N维的正交基，是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量；则有观测向量y：y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ；其中，传感矩阵A＝ΦΨ，Ф是观测矩阵；

步骤1.3压缩感知理论应用在OFDM信道估计时的模型为：令观测向量y＝y_P，传感矩阵A＝X_PW_P，原k-稀疏系数θ＝h，有y＝X_PW_Ph+n_P＝Aθ；则估计时域冲激响应h问题可转化为稀疏信号重构问题。

3.权利要求2所述的基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：

步骤二具体采用以下步骤完成：

观测数据y可写成：

y＝Φx＝ΦΨθ＝Aθ (1)

其中，Φ是M×N，M小于N，维测量矩阵或观测矩阵；为原始信号；Ψ是稀疏基；A是压缩感知矩阵；是x在正交基Ψ上被分解后的稀疏向量；观测矩阵Φ需符合约束等距特性条件，即k-稀疏矢量v和Φ满足δ_k是约束等距实常数，且0＜δ_k＜1；有限等距性质是压缩感知理论能求解出确定解的充要条件；

随机高斯矩阵中元素服从期望为0，方差为1/M的独立同分布高斯分布；考虑到随机高斯矩阵与大多数正交基都不相干，并且以很高概率满足RIP性质，故选取随机高斯矩阵作为观测矩阵。

4.权利要求3所述的基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：

步骤三中，利用广义正交匹配追踪法重构原信号具体采用以下步骤完成：

步骤3.1初始化：初始残差r₀＝y，初始的正确信号索引集按照初始索引选出矩阵A的初始列集合迭代次数t＝1

步骤3.2计算矩阵A与残差的内积u

u＝abs[A^Tr_t-1] (2)

即计算<r_t-1,α_j>，1≤j≤N，选择u中最大的s个值，将这些值对应A的列序号j构成集合J₀即列序号集合；α_j表示A的第j列；r_t-1表示的是第t-1次迭代时的残差；

步骤3.3令

Λ_t＝Λ_t-1UJ₀ (3)

A_t＝A_t-1Uα_j(for all j∈J₀) (4)

Λ_t与Λ_t分别表示的是第t次与第t-1次迭代时，正确的信号索引集；A_t与A_t-1分别表示的是第t次与第t-1次迭代时，按照对应索引选出矩阵A的列集合；

步骤3.4求y＝A_tθ_t的最小二乘解：

其中，表示的是第t次迭代时重构的稀疏系数；

步骤3.5更新残差:

步骤3.6t＝t+1，如果t≤k则返回步骤4.2，否则停止迭代进入步骤3.7；

步骤3.7重构所得在Λ_t处有非零项，其值分别为最后一次迭代所得

步骤3.8得到后，利用稀疏矩阵可得重构信号

5.权利要求4所述的基于广义正交匹配追踪算法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：

步骤三中，所述广义正交匹配追踪法重建原信号的条件：

对GOMP算法对k-稀疏信号的精确重建条件进行分析；当某次迭代选择出的s个索引中至少有一个正确原子的索引时，可认为本次迭代是成功的；

步骤4.1分析GOMP算法在首次迭代中获得成功的条件；是一个k-稀疏信号，k≥s，观测矩阵Φ∈R^m×n，观测信号y∈R^m，Λ为正确的信号索引集；

记Λ¹为首次迭代时选择的s个原子的索引集；中的元素是Φ^Ty中最大的s个元素，和Φ^T分别表示的是矩阵和Φ的转置；有：

此处，表示Φ的第i列，I为列数i所构成的集合；可得：

由于y＝Φ_Λx_Λ，有：

其中，约束等距常数δ_k表示的是满足约束等距特性条件的所有常数δ中最小的一个；

若在首次迭代中没有选择到正确的原子索引，即有：

其中，δ_k+s表示的是观测矩阵对稀疏度k+s满足RIP条件时所对应的约束等距常数；

若是则可以保证在首次迭代中能够选择到至少一个正确的原子索引；又因限制等容常数具有单调递增的特性，即若观测矩阵对稀疏度k₁和k₂都满足RIP条件，若k₁≤k₂，则有有δ_k＜δ_k+s，于是有：

化简可得：

当时，GOMP算法在首次迭代中取得的索引集Λ¹内至少包含一个正确信号索引集Λ中的元素，即此时迭代是成功的；

步骤4.2考虑GOMP算法在非首次迭代过程中获得成功的条件；有如下结论：

记若GOMP算法成功迭代了前p次，1≤p≤k，则当：

时，GOMP算法在p+1次迭代过程中能选择到正确原子索引；其中，δ_sp表示的是观测矩阵对稀疏度sp满足RIP条件时所对应的约束等距常数；

由于在第p次迭代中新选择到的s个索引与之前迭代所选择出的原子索引没有重复，因此，有集合Λ^p中的元素有ps个，即|Λ^p|＝ps；且，当GOMP算法经过p次成功迭代后，Λ^p至少包含了p个正确的原子索引；即，Λ^p中正确的原子索引数目l存在关系式：

l＝|ΛI Λ^p|≥p (14)

只考虑Λ^p中尚未包含全部正确的原子索引，即l<k，否则意味着重建任务已经完成了；因此，安全的假设剩下的正确原子索引集是非空的，即定义两个参数：①记其中，α_i是个递减序列(α₁≥α₂≥L)，在GOMP算法的第p+1次迭代中，α_s为r^p与由索引集F＝Ω\(Λ^pUΛ)确定的原子第s大的相关系数，F为剩余的不正确原子索引集；②记其中，βi也是个递减序列(β₁≥β₂≥L)，在GOMP算法的第p+1次迭代中，β₁为r^p与由索引集Λ-Λ^p确定的原子最大的相关系数，Λ-Λ^p为尚未选择到的正确原子索引集；当β₁大于α_s时，β₁将会被包含在的前s个最大值中，此时，在第p+1次迭代过程中将至少会选择到一个正确的原子索引；

可以证明在第p+1次迭代中，α_s和β₁存在如下关系：

其中，δ_s+k-l、δ_s+sp、δ_sp+k-l和δ_k-l分别表示的是观测矩阵对稀疏度s+k-l、s+sp、sp+k-l和k-l满足RIP条件时所对应的约束等距常数；

GOMP算法在第p+1次迭代中至少选择到一个正确原子索引的条件可以描述为：α_s＜β₁；

又因为δ_k-l＜δ_sk，δ_sp+k-l＜δ_sk，δ_sp＜δ_sk，δ_s+sp＜δ_sk，则有：

可以得到：

化简后得：

由于放缩可得：

步骤4.3得出如下结论：

若GOMP算法最多通过k次迭代从y＝Φx中精确重建出k-稀疏信号x的条件为：