CN113708771A - 一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，包括：获取多组用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，分别计算它们的信号稀疏度；根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录；采用测量矩阵对稀疏化表示的信号进行线性投影，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y；利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x。本发明能够减少在进行半张量积压缩感知的过程中，由于矩阵维数过大，运算速率较慢，所导致的整个压缩感知过程的速率较慢的技术问题。从而通过斯特拉森算法降低时间复杂度，减少压缩感知的时间成本。

Description

一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法

技术领域

本发明涉及半张量积压缩感知技术领域，具体而言涉及一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法。

背景技术

在绝大多数基于物联网的监测应用中，无线传感器网络(Wireless SensorNetworks，WSNs)是IoT感知层中用以获取外部信息的重要组成部分,它的终端由大量体积微小、携带电量有限并具有计算、感知和通信等能力的传感器节点组成,这些传感器以无线通信方式形成多点传输的自治网络，并对行为的模式、周围环境的状态及对象的性质等信息(如区域内的湿度温度、人体的血压心率、动物行踪等等)进行随时随地、大范围和长时间的采集、存储、传输等处理，从而获取大量有价值和精确可靠的信息来支持智能决策或服务用户。

传统的信息获取和处理过程由采样、压缩、传输和解压缩四个部分组成。在传感器节点处，需要完成以下工作：根据传统采样方法(基于奈奎斯特频率的采样)，在节点处进行数据采样，将所得数据与在节点上事先存储的观测矩阵进行矩阵乘法运算，即进行数据压缩。压缩过后，通过网络传输将数据传入上层设备。最后在应用层进行数据解压，利用相同的观测数据对数据进行重构。

2006年，Candes、Donoho等人提出了压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论，这是一种信号采样重构理论，它突破了传统的采样方法中，重构信号采样率必须大于两倍带宽的说法，而是选择在对信号数据进行采样时，直接在节点上对信号进行随机非均匀的抽取压缩，即将信号的采样与压缩过程揉合进行。

压缩感知(Compressed Sensing，CS)是一种新颖的信号采样方法，通过同时实现信号的采样和压缩,降低了信号采样频率、传感器采样成本及损耗，因此特别适合用于无线传感器网络(WSNs)中，在无线数据通信中具有良好的应用前景。

迄今，相关研究人员通过提出多种方法来降低压缩感知过程中观测矩阵所占的存储空间。针对多维度信号处理问题，结合德国数学家利奥波德·克罗内克所提出的Kronecker Product及其相关原理，研究人员提出了张量积(Kronecker)压缩感知，即采用张量积运算，得到所需大小的随机观测矩阵进行采样和重构。

显然，线性运算和数据重构均涉及矩阵运算，当矩阵维数较大时，计算量也随之增大。近二十年，针对该问题，中国学者提出和发展了矩阵半张量积理论，这一理论打破了维数限制，成为处理多线性数组的有力工具。结合这一理论，学者们进一步提出了基于矩阵的半张量积压缩感知模型。该模型不仅保持了传统矩阵乘法的优良特性，而且突破了传统矩阵乘法中两个因子矩阵必须满足维数匹配条件的限制，大大减小了存储空间。

1969年，德国的一位数学家Strassen证明了算法复杂度为O(N3)的解法并不是矩阵乘法的最优算法，他所做的一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n2.80)。研究表明矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上，而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。因此，Strassen提出可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少，从而达到降低矩阵乘法的复杂度。

半张量积理论虽然在一定程度上减小了存储空间，给压缩感知模型带来了便利，但矩阵的计算量相对而言依旧很大。因此，设计一种基于Strassen算法的压缩感知方法，降低矩阵计算时间复杂度、提高压缩感知速率是有必要的。

发明内容

本发明针对现有技术中的不足，提供一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，能够减少在进行半张量积压缩感知的过程中，由于矩阵维数过大，运算速率较慢，所导致的整个压缩感知过程的速率较慢的技术问题。从而通过斯特拉森算法降低时间复杂度，减少压缩感知的时间成本。

为实现上述目的，本发明采用以下技术方案：

本发明实施例提出了一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，所述压缩感知方法包括以下步骤：

S1，获取多组用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，分别计算它们的信号稀疏度；

S2，根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录；M*N维的测量矩阵与变换矩阵不相关，且M远小于N；

S3，采用测量矩阵对稀疏化表示的信号进行线性投影，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y；

S4，利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x。

可选地，步骤S2中，根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录的过程包括以下步骤：

令一个M*N维矩阵Φ中的每个元素Φij满足均值为0、差为1/√M的独立正态分布，即Φ～N(0,1/M)，构建高斯随机矩阵；

建立一个N*N维的哈达玛矩阵矩阵，它是以阶数为2的整数倍的正交方阵，仅由+1和-1构成，从N*N维的哈达玛矩阵矩阵中任意抽出M行构成一个新的矩阵，定义为部分哈达玛矩阵矩阵；

将高斯随机矩阵和部分哈达玛矩阵矩阵作为测量矩阵的两种类型代入进行统一计算，但不进行不同类型测量矩阵间的对比。

可选地，步骤S3中，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y的过程包括以下步骤：

根据信号长度，利用三角函数生成频域或DCT域离散信号，获得离散余弦变换正交基、傅里叶正变换频域稀疏正交基这两种正交基；

将两种正交基与哈达玛矩阵和高斯随机矩阵这两种测量矩阵分别相乘获得线性测量值；

其中，两种矩阵的乘法运用斯特拉森矩阵算法。

可选地，所述将两种正交基与哈达玛矩阵和高斯随机矩阵这两种测量矩阵分别相乘获得线性测量值的过程包括以下步骤：

S311，判断测量矩阵的维数是否小于等于2，若是，则进行正常的矩阵乘法运算；否则，进入步骤S312；

S312将测量矩阵和正交基矩阵都当成2*2矩阵来看，每个元素就是一个(n/2)*(n/2)的矩阵，测量矩阵和正交基矩阵的乘积写成：

S313，利用斯特拉森方法得到7个小矩阵，分别为：

M₁＝(A₁₂-A₂₂)*(B₂₁+B₂₂)

M₂＝(A₁₁-A₂₂)*(B₁₁+B₂₂)

M₃＝(A₂₁-A₁₁)*(B₁₁+B₁₂)

M₄＝(A₁₁-A₁₂)*B₂₂

M₅＝A₁₁*(B₁₂-B₂₂)

M₆＝A₂₂*(B₂₁-B₁₁)

M₇＝(A₂₁+A₂₂)*B₁₁

其中，如果运算过程中涉及到乘法，则对划分得到的小矩阵再次进行斯特拉森矩阵乘法递归处理；

S314，根据下述公式计算得出恢复矩阵的四个矩阵元素：

C₁₁＝M₁+M₂+M₆-M₄

C₁₂＝M₄+M₅

C₂₁＝M₆+M₇

C₂₂＝M₂+M₃+M₅-M₇；

S315，将上述四个矩阵元素计算结果合并得出最终线性测量值矩阵。

可选地，由T(n)所得的递归公式是：

式中，T(n)表示斯特拉森分治运算法所需时间，因为大的矩阵会被递归分成小矩阵直到每个矩阵的大小小于或等于k，T(n)的递归表达式为：

式中，b和d为两个常数，n为矩阵维度，dn²表示完成18次(n/2)(n/2)接矩阵的加减法，以及把大小为N的矩阵分割成小矩阵所需的时间。

可选地，步骤S4中，利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x的过程包括以下步骤：

S41，将信号x稀疏表示为：x＝Ψs，y＝Φx＝ΦΨs＝Θs；求解稀疏系数s；其中，Ψ为稀疏矩阵，Φ是测量矩阵，s为稀疏系数，Θ为Φ与Ψ的乘积；

S42，利用所求的稀疏度，确定重构算法的迭代次数；确定待重构的谱域向量；

S43，初始化增量矩阵，设初值为空矩阵；初始化残差值，设初值为s＝Phi*x.'获得的线性测量矩阵；其中，Phi为测量矩阵，x为原始信号，s为稀疏系数；

S44，基于迭代次数，获取恢复矩阵的各个列向量与残差的投影系数的乘积，即内积值；

S45，获得最大投影系数对应的位置，找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的原子；

S46，扩充增量矩阵，并将选中的列置为0，在数据中去除这个标记的所有印迹；

S47，对增量矩阵进行最小二乘算法，使得残差最小，将所得结果与增量矩阵相乘得到残差，再记录最大投影系数的位置；

S48，获得重构的谱域向量，进行傅里叶变换重构得到时域信号；

S49，将恢复所得信号与原始信号进行对比，获取重构误差。

本发明的有益效果是：

本发明公开了一种数据压缩感知重塑过程中用以降低时间复杂度的方法，该方法以斯特拉森算法为基础，在半张量积乘法理论的基础上，研究物联网数据传输过程中压缩感知中大型矩阵相乘时带来的效率问题，简化稀疏基与测量矩阵之间的乘法运算，在不影响重塑精度的情况下，以压缩感知的时间效率来比较普通矩阵乘法与斯特拉森矩阵算法，最终提出了基于斯特拉森矩阵算法的半张量积压缩感知方法，能够减少在进行半张量积压缩感知的过程中，由于矩阵维数过大，运算速率较慢，所导致的整个压缩感知过程的速率较慢的技术问题。从而通过斯特拉森算法降低时间复杂度，减少压缩感知的时间成本。

附图说明

图1是本发明实施例的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法流程图。

图2为本发明实施例的斯特拉森算法流程图。

图3为本发明实施例的压缩感知算法流程图。

具体实施方式

现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。

需要注意的是，发明中所引用的如“上”、“下”、“左”、“右”、“前”、“后”等的用语，亦仅为便于叙述的明了，而非用以限定本发明可实施的范围，其相对关系的改变或调整，在无实质变更技术内容下，当亦视为本发明可实施的范畴。

图1是本发明实施例的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法流程图。该压缩感知方法包括以下步骤：

S1，获取多组用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，分别计算它们的信号稀疏度。

S2，根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录；M*N维的测量矩阵与变换矩阵不相关，且M远小于N。

S3，采用测量矩阵对稀疏化表示的信号进行线性投影，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y。

S4，利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x。

1、信号采样与压缩

参见图3，信号采样与压缩的过程具体包括以下步骤：1)获取多组用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，分别计算它们的信号稀疏度。2)根据测量数和信号长度等值获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录。3)根据测量矩阵以及原信号进行相乘获得测量值。4)根据信号长度，利用三角函数生成频域或DCT域离散信号，获得离散余弦变换正交基、傅里叶正变换频域稀疏正交基这两种正交基。5)将两种正交基与上述两种测量矩阵分别相乘获得恢复矩阵。

下面结合具体例子进行阐述。信号采样和压缩包括：

首先，获取信号长度和采样拼接率：

步骤一、输入一个可以用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，信号可为f＝cos(2*pi/256*t)+sin(2*pi/128*t)。

步骤二、计算得出该信号的信号长度length(f)。

步骤三、输入对于这个信号的采样频率。

接着，需要对原信号进行降采样率的工作：

步骤四、根据信号长度和采样频率计算可得测量率，double(int32(a*n))即两数据相乘后进行数据转换。

再者，获取信号的稀疏度：

步骤五、选择正交基，对原信号进行变换。长度为n的信号f可以用一组基ΨT＝[Ψ1,…,ΨM]的线性组合来表示：f＝Ψs，Ψ为稀疏基N*N矩阵，s为稀疏系数(n维向量)，当信号f在某个基Ψ上仅有稀疏度K<<n个非零系数或远大于零的系数s时，称Ψ为信号X的稀疏基。选择稀疏基必须合理，才可使得信号的稀疏系数个数尽可能少。但在本实施例中不需要考虑对于稀疏基选择，故将离散余弦变换正交基与傅里叶变化频域正交基都进行代入计算。

利用dct(f)或fft(f)，获得离散余弦变换正交基、傅里叶正变换频域稀疏正交基这两种正交基变换的结果。

步骤六、计算获得经过正交基变换后的信号的稀疏度。

一个K稀疏的信号f只有K个自由度，重建f信号只需要K个左右的测量值。这体现出了压缩感知的哲学思想：测量值个数应与压缩大小同数量级，而不等同于未压缩时的大小。

最后，获取测量值：

步骤七、利用测量率m和信号长度n计算并构建感知矩阵(测量矩阵)。常见的测量矩阵有：高斯(Gaussian)、部分哈达玛(Hadamard)等矩阵，由于本篇中不研究基于不同测量矩阵的因素所导致的重构误差，故将以上两种测量矩阵都代入进行统一计算，但并不进行不同测量矩阵间的对比。

构建一个高斯矩阵：令一个M*N维矩阵Φ中的每个元素Φij满足均值为0，方差为1/√M的独立正态分布，即Φ～N(0,1/M)。同时，这一需要以很高的概率满足RIP条件。

构建一个部分哈达玛矩阵：建立一个N*N维的Hadamard矩阵，它是以阶数为2的整数倍的正交方阵，仅由+1和-1构成，之后从N*N维Hadamard矩阵中任意抽出M行构成一个新的矩阵，即为部分Hadamard矩阵。

通过感知矩阵计算获得测量值，即为f2＝(Phi*f')'。

2、斯特拉森(strassen)矩阵处理

对于上述矩阵的乘法运算，利用斯特拉森矩阵乘法；

步骤一、判断维数是否小于等于2。若是，则进行正常的矩阵乘法运算；

步骤二、分别分解两个矩阵，将其各自等分为四个小矩阵；

步骤三、将这四个矩阵分别进行七个运算赋值工作；

若运算过程中涉及到乘法，仍需要将所划分的小矩阵再次进行Strassen矩阵乘法递归处理；

步骤四、将运算赋值所得的结果进行四次赋值相加处理，得到的四个结果拼接成最后应得的矩阵，此结果即为两矩阵乘法相乘的结果。

参见图2，两种矩阵的乘法运用斯特拉森矩阵算法的具体步骤如下：

21)将测量矩阵与正交基这两个需要相乘的矩阵分别等分为四个小矩阵，此时如果把测量矩阵和正交基矩阵都当成2*2矩阵来看，每个元素就是一个(n/2)*(n/2)的矩阵，而测量矩阵和正交基矩阵的乘积就可以写成：

22)其中，利用斯特拉森方法得到7个小矩阵，分别定义为：

M₁＝(A₁₂-A₂₂)*(B₂₁+B₂₂)

M₂＝(A₁₁-A₂₂)*(B₁₁+B₂₂)

M₃＝(A₂₁-A₁₁)*(B₁₁+B₁₂)

M₄＝(A₁₁-A₁₂)*B₂₂

M₅＝A₁₁*(B₁₂-B₂₂)

M₆＝A₂₂*(B₂₁-B₁₁)

M₇＝(A₂₁+A₂₂)*B₁₁。

23)矩阵可以通过7次矩阵乘法、6次矩阵加法和4次矩阵减法计算得出，前述4个小矩阵可以由矩阵通过6次矩阵加法和2次矩阵减法得出，方法如下：

C₁₁＝M₁+M₂+M₆-M₄

C₁₂＝M₄+M₅

C₂₁＝M₆+M₇

C₂₂＝M₂+M₃+M₅-M₇。

24)以上共使用7次乘法与18次加法，则由T(n)所得的递归公式是：

斯特拉森矩阵分割方案仅用于n>＝8的矩阵乘法，而对于小于8的矩阵直接利用正常运算方法进行计算；n的值越大，普通算法与斯拉特森方法差距越明显。设T(n)表示斯特拉森分治运算法所需时间，因为大的矩阵会被递归分成小矩阵直到每个矩阵的大小小于或等于k，所以T(n)的递归表达式为：

其中dn²表示完成18次(n/2)(n/2)接矩阵的加减法，以及把大小为N的矩阵分割成小矩阵所需的时间。

3、信号重构

信号x是可稀疏表示的：x＝Ψs，即可以表示为：y＝Φx＝ΦΨs＝Θs。

关于重构算法，即为通过对上式的逆问题先求解稀疏系数s，然后将稀疏度为K的信号f从m维的测量投影值y中正确地恢复出来。通过f-Ψθ重构信号。信号重构算法的设计是希望利用较少的压缩采样信息，较少的迭代次数或较快的收敛速度，高概率的重建原始信号。目前重构算法多种多样，大致可以分为两类：基于数学上将非凸问题转化为凸优化利用线性规划求解l1范数的凸优化类算法；基于MP贪婪算法求解的衍生算法，具有代表性的有：正交匹配追踪(OMP)法和同步正交匹配追踪(SOMP)法。本实施例中，由于不涉及由于不同重构算法导致的时间复杂度的比较，故将正交匹配追踪(OMP)算法和凸优化类算法均纳入计算测量范围。

在凸优化类算法中，为利用线性规划求解L1范数，采用了CVX工具求解L1范数最小值。

在正交匹配追踪(OMP)算法中，找到一个与信号y(标签)最匹配的原子(也就是某些列)；在数据集中去除这个原子所属标记的所有印迹；不断重复直到能用标记“解释”收集到的原始数据集中所有数据。具体步骤如下：

步骤一、利用上述所求的稀疏度，确定算法的迭代次数；

步骤二、确定待重构的谱域(变换域)向量；

步骤三、初始化增量矩阵，设初值为空矩阵；

步骤四、初始化残差值，设初值为上述s＝Phi*x.'获得的线性测量矩阵；

步骤五、在迭代次数下，获取恢复矩阵的各个列向量与残差的投影系数的乘积，即内积值；

步骤六、获得最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的原子；

步骤七、扩充增量矩阵，并将选中的列置为0，即在数据中去除这个标记的所有印迹；

步骤八、对增量矩阵进行最小二乘算法，使得残差最小，将所得结果与增量矩阵相乘得到残差，再记录最大投影系数的位置；

步骤九、获得重构的谱域向量，进行傅里叶变换重构得到时域信号；

将恢复所得信号与原始信号进行对比，获取重构误差。

可选的，对于正交匹配追踪算法(OMP)，过程如下：

输入：

M*N的传感矩阵A＝ΦΨ；

N*1维观测向量y；

信号的稀疏度k；

输出：

信号稀疏表示系数估计

N*1维残差

具体执行步骤如下：

以下流程中，r_t表示残差，t表示迭代次数，

表示空集，^_t表示t次迭代的索引(列序号)集合，λ_t表示第t次迭代找到的索引(列序号)，a_j表示矩阵A的第j列，A_t表示按索引∧_t选出的矩阵A的列集合(大小为M*t的矩阵)，θ_t为t*1的列向量，符号∪表示集合并运算。

601)初始化r₀＝y,

t＝1；

602)找到索引λ_t，使得

603)令∧_t＝∧_t-`∪{λ_t},

604)求y＝A_tθ_t的最小二乘解：

605)更新残差

606)t＝t+1，如果t≤K则返回第602)步，否则停止迭代进入第607)步；

607)重构所得

在∧_t处有非零项，其值分别为最后一次迭代所得

由此可得重构信号。将其与原始信号做比对，计算可得重构误差。

以上仅是本发明的优选实施方式，本发明的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于本发明思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和润饰，应视为本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，所述压缩感知方法包括以下步骤：

S1，获取多组用于产生频域稀疏的完整信号以及信号长度、采样频率，分别计算它们的信号稀疏度；

S2，根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录；M*N维的测量矩阵与变换矩阵不相关，且M远小于N；

S3，采用测量矩阵对稀疏化表示的信号进行线性投影，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y；

S4，利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x。

2.根据权利要求1所述的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，步骤S2中，根据测量率和信号长度获取各组信号所对应的哈达玛矩阵和高斯随机矩阵，作为各组信号的测量矩阵分别进行记录的过程包括以下步骤：

令一个M*N维矩阵Φ中的每个元素Φij满足均值为0、差为1/√M的独立正态分布，即Φ～N(0,1/M)，构建高斯随机矩阵；

建立一个N*N维的哈达玛矩阵矩阵，它是以阶数为2的整数倍的正交方阵，仅由+1和-1构成，从N*N维的哈达玛矩阵矩阵中任意抽出M行构成一个新的矩阵，定义为部分哈达玛矩阵矩阵；

将高斯随机矩阵和部分哈达玛矩阵矩阵作为测量矩阵的两种类型代入进行统一计算，但不进行不同类型测量矩阵间的对比。

3.根据权利要求1或者2所述的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，步骤S3中，利用斯特拉森算法，得到线性测量值y的过程包括以下步骤：

根据信号长度，利用三角函数生成频域或DCT域离散信号，获得离散余弦变换正交基、傅里叶正变换频域稀疏正交基这两种正交基；

将两种正交基与哈达玛矩阵和高斯随机矩阵这两种测量矩阵分别相乘获得线性测量值；

其中，两种矩阵的乘法运用斯特拉森矩阵算法。

4.根据权利要求3所述的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，所述将两种正交基与哈达玛矩阵和高斯随机矩阵这两种测量矩阵分别相乘获得线性测量值的过程包括以下步骤：

S311，判断测量矩阵的维数是否小于等于2，若是，则进行正常的矩阵乘法运算；否则，进入步骤S312；

S312将测量矩阵和正交基矩阵都当成2*2矩阵来看，每个元素就是一个(n/2)*(n/2)的矩阵，测量矩阵和正交基矩阵的乘积写成：

S313，利用斯特拉森方法得到7个小矩阵，分别为：

M₁＝(A₁₂-A₂₂)*(B₂₁+B₂₂)

M₂＝(A₁₁-A₂₂)*(B₁₁+B₂₂)

M₃＝(A₂₁-A₁₁)*(B₁₁+B₁₂)

M₄＝(A₁₁-A₁₂)*B₂₂

M₅＝A₁₁*(B₁₂-B₂₂)

M₆＝A₂₂*(B₂₁-B₁₁)

M₇＝(A₂₁+A₂₂)*B₁₁

其中，如果运算过程中涉及到乘法，则对划分得到的小矩阵再次进行斯特拉森矩阵乘法递归处理；

S314，根据下述公式计算得出恢复矩阵的四个矩阵元素：

C₁₁＝M₁+M₂+M₆-M₄

C₁₂＝M₄+M₅

C₂₁＝M₆+M₇

C₂₂＝M₂+M₃+M₅-M₇；

S315，将上述四个矩阵元素计算结果合并得出最终线性测量值矩阵。

5.根据权利要求4所述的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，由T(n)所得的递归公式是：

式中，T(n)表示斯特拉森分治运算法所需时间，因为大的矩阵会被递归分成小矩阵直到每个矩阵的大小小于或等于k，T(n)的递归表达式为：

式中，b和d为两个常数，n为矩阵维度；dn²表示完成18次(n/2)(n/2)接矩阵的加减法，以及把大小为N的矩阵分割成小矩阵所需的时间。

6.根据权利要求1所述的基于斯特拉森算法的半张量积压缩感知方法，其特征在于，步骤S4中，利用重构算法对线性测量值y进行处理以重构出原自然信号x的过程包括以下步骤：

S41，将信号x稀疏表示为：x＝Ψs，y＝Φx＝ΦΨs＝Θs；求解稀疏系数s；其中，Ψ为稀疏矩阵，Φ是测量矩阵，s为稀疏系数，Θ为Φ与Ψ的乘积；

S42，利用所求的稀疏度，确定重构算法的迭代次数；确定待重构的谱域向量；

S43，初始化增量矩阵，设初值为空矩阵；初始化残差值，设初值为s＝Phi*x.'获得的线性测量矩阵；其中，Phi为测量矩阵，x为原始信号，s为稀疏系数；

S44，基于迭代次数，获取恢复矩阵的各个列向量与残差的投影系数的乘积，即内积值；

S45，获得最大投影系数对应的位置，找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的原子；

S46，扩充增量矩阵，并将选中的列置为0，在数据中去除这个标记的所有印迹；

S47，对增量矩阵进行最小二乘算法，使得残差最小，将所得结果与增量矩阵相乘得到残差，再记录最大投影系数的位置；

S48，获得重构的谱域向量，进行傅里叶变换重构得到时域信号；

S49，将恢复所得信号与原始信号进行对比，获取重构误差。

Images