CN106789766A - 基于同伦法的稀疏ofdm信道估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于同伦法的稀疏正交频分复用(OFDM)信道估计方法，其按如下步骤：步骤一，对信号稀疏变换；步骤二，设计观测矩阵；步骤三，采用同伦法重构原信号，完成信道估计。本发明方法可实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，因而具有较高应用价值。

Description

基于同伦法的稀疏OFDM信道估计方法

技术领域

本发明属于信息与通信工程技术领域，具体涉及一种稀疏OFDM信道估计和信号处理中的采用同伦法实现稀疏信道估计的方法。

背景技术

在无线通信系统中，信道估计是极为重要的研究方向。其信号估计质量优劣将影响相干解调性能。与传统奈奎斯特采样相比，压缩感知理论摒弃复杂的编码算法，同时进行数据的采集与压缩，其采样速率更低，重构信号更加精确。因无线多径信道多数都具有稀疏特性，且信道估计在很大程度上也属于信号重构问题，故可自然地应用压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论，将信道估计问题转化为压缩感知Homotopy算法中的信号重构问题。

压缩感知理论指出，可以用一个与变换基不相关的观测矩阵来观测信号，将信号映射到一个低维空间上，这样重构问题就会转化为一个最优化问题，最后通过求解此优化方程就可将信号较为精确地重构出来。当然，如果想要进行以上的过程，信号需要满足一个前提条件，即信号在此变换域内可稀疏表示或者具有压缩性。压缩感知主要包括3个步骤：信号稀疏变换，观测矩阵设计及信号重构，且最后的信号重构步骤最为关键。

常用的信号重构算法主要有三种，一种是凸优化方法，凸优化是在凸函数限制的情况下，通过求解最小l₁范数的凸优化问题恢复原始信号。凸优化方法主要包括基追踪(Basis Pursuit,BP)算法(算法见“焦李成,杨淑媛,刘芳,等.压缩感知回顾与展望[J].电子学报,2011,39(7):1651-1662.”)、迭代收缩阈值(Iterative Shrinkage Thresholding,IST)算法(算法见“Wright S J,Nowak R D,Figueiredo M A T.Sparse reconstructionby separable approximation.[J].Signal Processing,IEEE Transactions on,2009,57(7):3373-3376.”)、梯度投影稀疏重构(Gradient Projection for SparseReconstruction,GPSR)算法(算法见“Figueiredo M A T,Nowak R D,Wright SJ.Gradient projection for sparse reconstruction:Application to compressedsensing and other inverse problems[J].IEEE Journal of Selected Topics inSignal Processing,2007,1(4):586-597.”)以及同伦(Homotopy)法等。另一种是贪婪追踪算法，它在搜索支撑集的过程中，利用了非零元素幅值的高低并求出它的具体值，之后再通过压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差来不断地更新支撑集。其中，研究最多的两种方法是匹配追踪(Matching Pursuits,MP)算法以及正交匹配追踪(Orthogonal MatchingPursuit,OMP)算法(算法见“Tropp J,Gilbert A C.Signal Recovery From RandomMeasurements Via Orthogonal Matching Pursuit[J].Information Theory,IEEETransactions on,2007,53(12):4655-4666.”)。再一种是贝叶斯法(算法见“何岩,王东辉,朱淼良.贝叶斯压缩感知稀疏信号重构方法研究[C]//中国智能机器人学术研讨会.2011.”)，利用贝叶斯理论中参数的先验分布和后验分布去研究信号恢复问题。利用贪婪追踪算法重建信号虽然速度很快，但是恢复精度却很低。而凸优化算法虽然重建信号的计算负担重，易受收敛停止准则影响，但是观测点数少，在局部求得的最优解就是整个区域上的最优值，同时当目标函数是严格的凸函数时，全局上只有一个最优值点。

因此，可将压缩感知中的Homotopy算法应用于OFDM信道估计中。与传统最小二乘法(LS)信道估计方法相比，采用该方法不仅可以使得频谱利用率有效提高，同时还可以使得导频开销极大降低；此外，估计性能也得到了改善。

发明内容

针对现有技术的上述现状，本发明公开了一种基于同伦法的稀疏OFDM信道估计方法。

本发明在OFDM系统中，基于压缩感知中的同伦法的稀疏信道估计。利用无线信道多数都具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的同伦法应用于稀疏OFDM信道的估计中。同伦法以同伦思想为基础，根据前一次的估计值来估计信号的路径变化方向和步进估计本次估计值。其主要针对小规模平稳信号，即幅值变化较小的目标信号。将同伦机制引入恢复算法中，可得动态更新最小化l₁范数的恢复算法(Dynamic X)。该算法利用前一次所估计出的数值来估计本次解的方向，同时也要制定相应的准则来不断的改变激活基的个数，符合停止准则的条件时即可结束。而Dynamic X算法所选的同伦路径是正则因子的变化方向，正则因子的选取需要符合最优解的条件，即观测矩阵与残差相关度需不大于正则因子。由此可得：该算法不断变化同伦因子，跟踪正则因子，进而得到解的方向和迭代步进。

本发明采取以下技术方案：由于OFDM信道具有稀疏的特性，将信道估计问题转化为信号重构问题，应用压缩感知(Compressive Sensing,CS)理论来重构原始信号，提出了一种基于压缩感知中的同伦法的稀疏信道估计方法。利用无线信道多数都具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的同伦法应用于稀疏OFDM信道的估计中。同伦法以同伦思想为基础，根据前一次的估计值来估计信号的路径变化方向和步进估计本次估计值。本发明具体方案如下所述：

一种基于同伦法的稀疏正交频分复用(OFDM)信道估计方法，其按如下步骤：

步骤一，对信号稀疏变换；

步骤二，设计观测矩阵；

步骤三，采用同伦法重构原信号，完成信道估计。

本发明方法可实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，因而具有较高应用价值。

优选的，步骤一具体如下：

步骤1.1，对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；Ψ_i为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。另外，向量或矩阵的稀疏性表示向量或矩阵中非零系数个数与总向量元素个数的比值很低(如小于10％以下等)。如果向量α中的非零系数有K个，那么称x具有K-稀疏(K-Sparsity)性。且信道都具备稀疏性，故输入信号通常都具有稀疏特性。

优选的，步骤二具体如下：步骤2.1观测数据y可写成：

y＝Φx＝ΦΨα＝Θα (1)

其中，Φ是M×N(M需远小于N)维测量矩阵或观测矩阵；x＝Ψα为原始信号；Ψ是稀疏基；Θ是压缩感知矩阵；α是稀疏系数。观测矩阵Φ需符合约束等距特性(RestrictedIsometry Property,RIP)条件，即K-稀疏矢量v和Φ满足δ_k是约束等距实常数，且0＜δ_k＜1。有限等距性质是压缩感知理论能求解出确定解的充要条件。

随机高斯矩阵中元素服从期望为0，方差为1/M的独立同分布高斯分布。考虑到随机高斯矩阵与大多数正交基都不相干，并且以很高概率满足RIP性质，故选取随机高斯矩阵作为观测矩阵。

优选的，步骤三具体如下：步骤3.1信号x缓慢变成x′，则y′＝Φx′+n′，其中，n′是M×1维的随机高斯噪声矩阵。通过求解可得x′。其中，符号||||是范数符号，即若x＝[x₁,x₂,…,x_n]^T，有||x||_p＝(|x₁|^p+|x₂|^p。+…+|x_n|^p)^1/p，p属于正整数。同伦法其特征在于引入同伦因子τ，以更准确估计原信号，有：

其中，ε是正则因子。

定义集合Γ，对任意τ，满足以下条件：

其中，是最优解；Φ_Γ由集合Γ索引观测矩阵Φ列向量组成的M×|Γ|维矩阵；|Γ|是集合Γ中元素的个数；z是集合Γ上的符号组成的|Γ|维向量。正则因子ε逐渐由0增加到1，从集合Γ和符号向量z可直接计算出当循环执行步骤3.1至步骤3.7k次时，ε＝ε_k，迭代估计值为x_k。有Δε是一个极小的正数(如10^-6等)，即Δε→0⁺。在点处，满足

将式(5)减去式(3)，有：

其中，符号表示微分；随着ε向ε_k逐渐增加，可得解的移动方向：

步骤3.2为紧接着临界的同伦因子引入迭代步进θ，则有：其中x_k(j)是信号x第k次迭代时的第j列元素，是的第j列元素，j∈Γ，j是属于步骤3.1集合Γ中的元素；符号min表示取最小值。为寻找步骤3.2中的Δε的最小值,引入两个N×1维向量p_k和d_k，使p_k(j)+Δε·d_k(j)＝±τ，有：

p_k＝Φ^T(Φx_k-y_k+ε_k(y_k-y_k′)) (8)

则

步骤3.3可求得步进θ为θ＝min(θ⁺,θ^-)。

步骤3.4当求得路径的方向和步进θ后，同伦因子的更新方程和解的更新方程分别为：

ε_k+1＝ε_k+θ (10)

步骤3.5若ε>1直接输出x_k+1，并跳转到步骤3.7；否则跳转到步骤3.6。

步骤3.6γ^-是步骤3.2中θ^-的解的索引；γ⁺是步骤3.2中p_k的解的索引。若θ^-＜θ⁺,则将γ^-从步骤3.1集合Γ及其符号z中移除，其中，θ⁺是步骤3.2中所提的变量；反之，既需将γ⁺添加到步骤3.1集合Γ，还需将其符号添加到步骤3.1符号集z中。

步骤3.7k＝k+1。如满足停止准则，则输出x_k+1，作为本方法的最终计算结果；否则，跳转到步骤3.1，依次重复步骤3.1-3.6，直至计算出最终所需的结果。其中，停止准则指步骤3.1中的同伦因子ε大于或等于1，且此次信号估计值与前一次信号估计值的差值小于10^-3。

以下是本发明涉及理论简介。

(一)压缩感知理论

压缩感知理论指出，假设信号可以在某个变换域内稀疏表示或者可压缩，那么则可以用一个与其变换基不相关的观测矩阵对稀疏信号进行观测，将高维信号投影到一个低维空间上，然后可以把信号恢复的问题转变为一个最优化问题，最后通过求解此问题就可将信号较为精确地重构出来。

压缩感知理论主要有三步：第一步要考虑如何将信号进行稀疏表达,第二步就是要设计一个观测矩阵，最后一步是信号的恢复。

(1)信号的稀疏表达。对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；y为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。另外，向量或矩阵的稀疏性表示向量或矩阵中非零系数个数与总向量元素个数的比值很低(如小于10％以下等)。如果向量α中的非零系数有K个，那么称x具有K-稀疏(K-Sparsity)性。且信道都具备稀疏性，故输入信号通常都具有稀疏特性。

(2)观测矩阵的设计。在压缩感知理论中，要求观测矩阵必须确定能够从M个观测值中准确的重建出原始信号x，或者重建出稀疏系数。y＝Φx＝ΦΨα＝Θα其中，y表示观测到的数据，Φ是一个M×N(M远小于N)的测量矩阵或观测矩阵，x＝Ψα表示原始信号，Ψ是稀疏基；Θ是压缩感知矩阵；α是稀疏系数。

可以看出，M的长度要比x小的多，因此要想重建出原始信号，就必须要解一个病态方程，但是这个方程又不能求出来。但是，可利用α的K稀疏性，采用现有的重构算法，便可很轻松的重构信号x。

如果能从M个观测值中准确的恢复出K个稀疏系数，且保证算法收敛，观测矩阵必需符合约束等距特性(Restricted Isometry Property,RIP)的条件，就是说若矢量v是K稀疏的，它和Φ就必须满足式中，δ_k是约束等距(RIP)常数，且0＜δ_k＜1。在CS进行K稀疏信号恢复时，观测矩阵Φ满足l₁最小化框架下进行信号稀疏重构时，约束等距性质(RIP)的约束等距常数新上界。如果Φ中的约束等距常数δ_k满足δ_k＜0.307，则当没有噪声时，K稀疏信号可以通过l₁最小化进行准确重构，K稀疏信号可以在含噪情况下进行稳定估计。在条件下不能恢复确定的K维稀疏信号。有限等距性质(RIP)是压缩感知理论能够求解出确定解的充要条件。

(3)恢复算法的设计。常用的信号重构算法主要有三种，一种是凸优化方法，凸优化是在凸函数限制的情况下，通过求解最小l₁范数的凸优化问题恢复原始信号。凸优化方法主要包括基追踪算法、迭代收缩阈值算法、梯度投影稀疏重构算法以及同伦法等。常见的凸优化算法Barzilai-Borwein稀疏梯度投影法(GPSR-BB)以梯度下降法为基础，把一个隐变量代入目标函数中，将信号恢复问题转化为带有边界约束的二次方程优化问题，接着把算出的新目标方程的梯度值作为寻找最优值的方向。一种是贪婪追踪算法，它在搜索支撑集的过程中，利用了非零元素幅值的高低并求出它的具体值，之后再通过压缩测量值与估计出的稀疏解之间的残差来不断地更新支撑集。其中研究最多的两种方法是匹配追踪算法以及正交匹配追踪算法。OMP算法是匹配追踪算法的一种改进。在每一次进行稀疏分解的同时，对选出的原子进行正则化处理，再更新原子集。另一种是贝叶斯法，利用贝叶斯理论中参数的先验分布和后验分布去研究信号恢复问题。贪婪追踪算法重建信号虽然速度很快，但是恢复精度却很低。而凸优化算法虽然重建信号的计算负担重，易受收敛停止准则影响，但是观测点数少，在局部求得的最优解就是整个区域上的最优值，同时当目标函数是严格的凸函数时，全局上只有一个最优值点。

(二)同伦法原理

同伦法(Homotopy)是针对小规模的平稳信号提出的，即所针对的对象的信号幅值变化较小。同伦思想是根据上一次的估算值然后建立本信号改变的方向与步长，从而可获得本次的估算值。Salman和Romberg将同伦算思想引进恢复算法中，得到了一种动态更新的最小化l₁范数恢复算法(Dynamic X)。该算法通过利用前一估计值，制定准则来增加或者减少激活基中基的个数，然后采用同伦思想估计出最优的解的路径方向，直到满足迭代停止准则。同伦法具有一定的去噪声能力，恢复信号的噪点较少等优点。同伦法是由基追踪去噪算法衍生出来的。该算法是同伦函数与传统迭代法的结合，对大量工程中的问题的求解，证明了该算法的有效性和高计算效率。

Dynamic X算法利用正则因子的变化作为同伦路径，要跟踪的正则因子变化路径必须满足获取最优解的条件，即观测矩阵与残差的相关度必须不大于正则因子。

Dynamic X算法通过采用基追踪去噪同伦路径的方法来进行CS信号恢复。DynamicX算法选择跟踪变化的正则因子来作为同伦路径，连续变化正则因子更新同伦因子，进而求得解的方向与迭代步进，直至符合停止准则的条件。要跟踪的正则因子变化路径必须满足获得最优解的条件，即残差与观测矩阵的相关度必须小于正则因子，即||Φ^T(Φx^*-y)||_∞≤τ。只要前后输入信号间差异不大，Dynamic X算法便可以快速找到同伦路径，从而高效地估计出出新的解。

本发明提出了一种基于压缩感知中的同伦法的稀疏信道估计。利用无线信道多数都具有系数特性，即信道估计问题很大程度上属于信号重构问题，所以将压缩感知理论中的同伦法应用于稀疏OFDM信道的估计中，充分利用信道的系数特性，提高了信道估计精度。

附图说明

图1为基于凸优化法压缩感知重构信号模型。

图2为Homotopy算法实例的流程结构图。

图3为传统最小二乘法信道估计方法与以OMP为代表的CS信道估计仿真图。

图4为OMP、BCS、GPSR-BB和Homotopy算法的重构均方误差性能仿真分析图。

图5为Homotopy算法中正则因子与迭代次数的关系仿真图。

图6为本发明中稀疏向量与信号向量乘法计算过程示意图。

具体实施方式

下面结合具体实施例，并结合附图对本发明实施例做详细说明。

本发明所提供的基于压缩感知中的同伦法的稀疏信道估计方法可用于信息与通信工程技术领域，并不局限于下面的事是理所详细说明的通信领域。下面选取典型领域说明本发明具体实施方式。

本实施例压缩感知中的同伦法的算法依次经过以下主要步骤得以实现：

1)信号的稀疏表达。对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；y为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。另外，向量或矩阵的稀疏性表示向量或矩阵中非零系数个数与总向量元素个数的比值很低(如小于10％以下等)。如果向量α中的非零系数有K个，那么称x具有K-稀疏(K-Sparsity)性。且信道都具备稀疏性，故输入信号通常都具有稀疏特性。

2)观测矩阵的设计。在压缩感知理论中，要求观测矩阵必须确定能够从M个观测值中准确的重建出原始信号x，或者重建出稀疏系数。y＝Φx＝ΦΨα＝Θα其中，y表示观测到的数据，Φ是一个M×N(M远小于N)的测量矩阵或观测矩阵，x＝Ψα表示原始信号，Ψ是稀疏基；Θ是压缩感知矩阵；α是稀疏系数。观测矩阵必需符合约束等距特性的条件。本发明选择随机高斯矩阵作为观测矩阵。

3)恢复算法的设计。因本发明是基于凸优化方法来重构信号的，故重构问题可转化为求解l₀范数问题。但此问题中需要穷举搜索α中非零系数的全部种情况，才可能得到此问题的最优解，是一NP难问题。并且，就算是很小的噪声对l₀范数来说都会产生很大的影响，因此利用l₀范数求解信号重构问题是不可取的。所以考虑到l₀范数与l₁范数等价，故可将信号重构问题转化为求解l₁范数问题。在有噪条件下，信号重构问题又可通过求解带有边界约束的二次方程规划问题，再通过拉格朗日公式，可将问题转化为无约束问题.本发明中采用同伦法重构原始信号，选择跟踪变化的正则因子来作为同伦路径，连续变化正则因子更新同伦因子，进而求得解的方向与迭代步进，直至得到最优解。

本发明充分利用信道的稀疏特性，实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

本发明的具体实施方式，可通过以下图例来详细说明。

附图1为基于凸优化法压缩感知重构信号模型。

在压缩感知过程中，主要包括三个步骤，首先对具有稀疏性的信号作稀疏变换，即将N×1维的实信号列向量x表示为：x＝Ψα。其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基(稀疏基)；Ψ_i为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。然后，设计观测矩阵，观测向量y可以表示为y＝Φx＝ΦΨα＝Θα，其中Φ是M×N(M<<N)维测量矩阵或观测矩阵；Θ是压缩感知矩阵。观测矩阵Φ需符合约束等距特性的条件。有限等距性质是压缩感知理论能求解出确定解的充要条件。随机高斯矩阵与大多数正交基都不相干，并且以很高概率满足RIP性质，故本发明中，选取随机高斯矩阵作为观测矩阵。最后，重构信号。因本发明是基于凸优化方法来重构信号的，故重构问题可转化为求解l₀范数问题。但此问题中需要穷举搜索α中非零系数的全部种情况，才可能得到此问题的最优解，是一NP难问题。并且，就算是很小的噪声对l₀范数来说都会产生很大的影响，因此利用l₀范数求解信号重构问题是不可取的。所以考虑到l₀范数与l₁范数等价，故可将信号重构问题转化为求解l₁范数问题。在有噪条件下，信号重构问题又可通过求解带有边界约束的二次方程规划问题，再通过拉格朗日公式，可将问题转化为无约束问题，即可求出原信号。

附图2为Homotopy算法实例的流程结构图。

第k次迭代时，信号由x_k缓慢变为x_k′则y_k′＝Φx_k′+n′；通过求解可得x_k′。目标函数包括最小l₁范数和最小l₂范数，最小l₂范数表示的是估计值与原始信号在能量上的差别，增加了算法对噪声的抑制能力；最小l₁范数则是增强算法的稀疏能力。正则因子可以有效地平衡估计数据的保真度和算法仿真的复杂度。同伦法其特征在于引入同伦因子τ，有：其中ε是正则因子。本发明中要跟踪的正则因子变化路径必须满足获得最优解的条件，即残差与观测矩阵的相关度必须小于正则因子，即||Φ^T(Φx^*-y)||_∞≤τ。则可得解的移动方向：引入迭代步进θ来逼近同伦因子，则有：其中，x_k(j)是信号x第k次迭代时的第j列元素，是的第j列元素，j∈Γ，j是属于集合Γ中的元素；为寻找Δε的最小值,引入两个N×1维向量p_k和d_k，使p_k(j)+Δε·d_k(j)＝±τ，有p_k＝Φ^T(Φx_k-y_k+ε_k(y_k-y_k′))，则可求得步进θ为θ＝min(θ⁺,θ^-)。当求得路径的方向和步进θ后，同伦因子的更新方程和解的更新方程分别为：ε_k+1＝ε_k+θ。若ε>1直接输出x_k+1，否则继续。γ^-是θ^-的解的索引，γ⁺是p_k的解的索引。若θ^-＜θ⁺,则将γ^-从集合Γ和其符号z中移除；反之既要将γ⁺添加到集合Γ，还要将其符号添加到符号集z中。k＝k+1,如果满足停止准则，则输出x_k+1，否则重新计算解的方向。其中，停止准则是指ε大于或等于1且此次估计值与前一次估计值差值要小于10^-3。Dynamic X算法通过采用基追踪去噪同伦路径的方法来进行CS信号恢复。Dynamic X算法选择跟踪变化的正则因子来作为同伦路径，连续变化正则因子更新同伦因子，进而求得解的方向与迭代步进，直至符合停止准则的条件。要跟踪的正则因子变化路径必须满足获得最优解的条件，即残差与观测矩阵的相关度必须小于正则因子，即||Φ^T(Φx^*-y)||_∞≤τ。只要前后输入信号间差异不大，Dynamic X算法便可以快速找到同伦路径，从而高效地估计出出新的解。

附图3为采用QPSK调制；信号长度N＝32；非零抽头数K＝6；信噪比的变化范围为0～30dB；导频数目为62。分别采用传统LS信道估计和CS信道估计进行仿真。在同一信噪比SNR情况下，以OMP为代表的CS信道估计均方误差MSE低于传统最小二乘法LS信道估计均方误差，如当信噪比为5dB时，LS的重构MSE为1.0177，CS的MSE为0.0128；同时，两种算法的MSE随着SNR的不断变大而减少，具有反比关系。在相同均方误差情况下，LS算法的SNR比CS算法多近20dB。这正是因为采用压缩感知方法能更充分利用信道稀疏特性，利用较少的导频能有效恢复稀疏信道脉冲响应，极大提高信道估计性能。

附图4为在信噪比为20dB时，分别对基于CS的Homotopy、OMP、BCS和GPSR-BB算法的重构MSE性能进行的仿真图。当OMP算法收敛时，MSE在0dB处波动；BCS的波动趋向比同伦法的波动趋向要衰减的更快，但其稳定度极差；GPSR-BB算法收敛MSE大于0dB。基于GPSR-BB重构算法的重构均方误差能够快速收敛，但是重构均方误差的值却较高。因在同伦法中，拉格朗日因子τ用于残差和稀疏能力间的折衷，可以控制信号重建误差和稀疏能力间的平衡。因此可得以下结论：BCS算法优于同伦法，但却不稳定。GPSR-BB算法虽能快速收敛，但MSE较大。同伦法虽重构复杂度高于OMP算法，但重构性能优于OMP。同伦法获得了重构均方误差MSE与收敛速度的有效折衷。

附图5为Homotopy算法中正则因子与迭代次数的关系仿真图。对长度为256的OFDM信号采用不同迭代次数，当迭代1次，τ＝2.557 5，重构MSE为0.109 9；当迭代20次，τ＝1.161 6，重构MSE为0.049 9；迭代60次，τ＝0.4315，重构MSE为0.019 6；当迭代次数为72次时，ε大于或等于1且此次估计值与前一次估计值差值要小于10^-3，满足停止准则。所以当迭代次数为72时，重构MSE收敛，正则因子变为τ＝5.4209×10^-13。因此，随着迭代次数不断增加，正则因子将不断减小并逐渐收敛，信号重构MSE下降，最终趋于收敛。在收敛时，正则因子为τ＝5.4209×10^-13。

附图6为本发明中稀疏向量与信号向量乘法计算过程示意图。

观测矩阵是通过matlab程序中randn()函数生成的随机矩阵。随机矩阵与信道向量的乘法计算，表现为M×N阶矩阵每行与列向量分别相乘，得到一个数值的过程。最后，得到M个向量元素，即得到观测列向量：y。

本发明提出一种基于压缩感知中的同伦法的稀疏信道估计方法，其包括了信号的稀疏表示、观测矩阵的设计和同伦法重构原信号。充分利用了信道的稀疏特性，实现重构均方误差与收敛速度的有效折衷，能完成OFDM稀疏信道估计，以提高信号解调质量，而具有较高应用价值。

尽管已清晰描述了本发明的实施例，但对本领域的技术人员而言，可在不脱离本发明方法原理和精神情况下，对这些实施例多种变化、修改、替换和变型，则本发明的范围由所附权利要求及其等同限定。即通过改变本发明方法所述方法中信号的稀疏表示方式，观测矩阵的生成方式，同伦法信号重构中同伦因子、正则因子、迭代次数等参数，仍属于本发明所述方法的范畴，仍受本专利保护。

Claims (4)

1.一种基于同伦法的稀疏OFDM信道估计方法，其特征是按如下步骤：

步骤一，对信号稀疏变换；

步骤二，设计观测矩阵；

步骤三，采用同伦法重构原信号，完成信道估计。

2.如权利要求1所述的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：步骤一具体如下：

步骤1.1，将N×1维的实信号列向量x表示为：其中，x中的元素属于实数，N为自然数；Ψ＝[Ψ₁,Ψ₂,...,Ψ_N]是N×N维的正交基；Ψ_i为N×1维的向量，且元素为实数；是N×1维的稀疏向量，且有以下关系：α＝Ψ^Tx。

3.如权利要求2所述的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：步骤二具体如下：

步骤2.1,观测数据y写成：

y＝Φx＝ΦΨα＝Θα (1)

其中，Φ是M×N(M需远小于N)维测量矩阵或观测矩阵；x＝Ψα为原始信号；Ψ是稀疏基；Θ是压缩感知矩阵；α是稀疏系数；观测矩阵Φ需符合约束等距特性条件，即K-稀疏矢量v和Φ满足δ_k是约束等距实常数，且0＜δ_k＜1。

4.如权利要求3所述的稀疏OFDM信道估计方法，其特征在于：步骤三具体如下：

步骤3.1,信号x缓慢变成x′，则y′＝Φx′+n′，其中，n′是M×1维的随机高斯噪声矩阵；通过求解得x′,其中，符号||||是范数符号，即若x＝[x₁,x2,…,x_n]^T，有||x||_p＝(|x₁|^p+|x₂|^p。+…+|x_n|^p)^1/p，p属于正整数；同伦法其特征在于引入同伦因子τ，以估计原信号，有：

${\min }_x\mathrm{\&tau;}\left|\right|x^{\&prime;}|{|}_1+\frac{1-\mathrm{\&epsiv;}}{2}||y^{\&prime;}-{\mathrm{\&Phi;x}}^{\&prime;}|{|}_2^2+\frac{\mathrm{\&epsiv;}}{2}\left|\right|y-{\mathrm{\&Phi;x}}^{\&prime;}|{|}_2^2---\left(2\right)$

其中，ε是正则因子；

定义集合Γ，对任意τ，满足以下条件：

${\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^T({\mathrm{\&Phi;x}}_k^{*}-(1-\mathrm{\&epsiv;})y_k-{{\mathrm{\&epsiv;y}}_k}^{\&prime;})=-\mathrm{\&tau;}z---\left(3\right)$

$\left|\right|{\mathrm{\&Phi;}}_{{\mathrm{\&Gamma;}}^c}^T({\mathrm{\&Phi;x}}_k^{*}-(1-\mathrm{\&epsiv;})y_k-{{\mathrm{\&epsiv;y}}_k}^{\&prime;})|{|}_{\mathrm{\&infin;}}<\mathrm{\&tau;}---\left(4\right)$

其中，是最优解；Φ_Γ由集合Γ索引观测矩阵Φ列向量组成的M×|Γ|维矩阵；|Γ|是集合Γ中元素的个数；z是集合Γ上的符号组成的|Γ|维向量；正则因子ε逐渐由0增加到1，从集合Γ和符号向量z可直接计算出当循环执行步骤3.1至步骤3.7k次时，ε＝ε_k，迭代估计值为x_k；有Δε是正数，Δε→0+；在点处，满足

${\mathrm{\&Phi;}}_{\mathrm{\&Gamma;}}^T({\mathrm{\&Phi;x}}_k^{+}-(1-{\mathrm{\&epsiv;}}_k^{+})y_k-{\mathrm{\&epsiv;}}_k^{+}{y_k}^{\&prime;})=-\mathrm{\&tau;}z---\left(5\right)$

将式(5)减去式(3)，有：

其中，符号表示微分；随着ε向ε_k逐渐增加，得解的移动方向：

步骤3.2，为紧接着临界的同伦因子引入迭代步进θ，则有：其中，x_k(j)是信号x第k次迭代时的第j列元素，是的第j列元素，j∈Γ，j是属于步骤3.1集合Γ中的元素；符号min表示取最小值；为寻找步骤3.2中Δε的最小值,引入两个N×1维向量p_k和d_k，使p_k(j)+Δε·d_k(j)＝±τ，有：

p_k＝Φ^T(Φx_k-y_k+ε_k(y_k-y_k′)) (8)

$d_k={\mathrm{\&Phi;}}^T(\mathrm{\&Phi;}\&part;x_k+y_k--{y_k}^{\&prime;})---\left(9\right)$

则

步骤3.3，求得步进θ为θ＝min(θ⁺,θ^-)；

步骤3.4，当求得路径的方向和步进θ后，同伦因子的更新方程和解的更新方程分别为：

ε_k+1＝ε_k+θ (10)

$x_{k+1}=x_k+\mathrm{\&theta;}\&CenterDot;\&part;x_k---\left(11\right)$

步骤3.5，若ε>1直接输出x_k+1，并跳转到步骤3.7；否则跳转到步骤3.6；

步骤3.6，γ^-是步骤3.2中θ^-的解的索引；γ⁺是步骤3.2中p_k的解的索引；若θ^-＜θ⁺,则将γ^-从步骤3.1集合Γ及其符号z中移除，其中，θ⁺是步骤3.2中所提的变量；反之，既需将γ⁺添加到步骤3.1集合Γ，还需将符号添加到步骤3.1符号集z中；

步骤3.7，k＝k+1；如满足停止准则，则输出x_k+1，作为所述稀疏OFDM信道估计方法的最终计算结果；否则，跳转到步骤3.1，依次重复步骤3.1-3.6，直至计算出最终所需的结果。