CN108319144A - 一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种机器人轨迹跟踪控制方法和系统，所述方法包括以下步骤：步骤S100：建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；步骤S200：根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；步骤S300：将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和参考输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减小。能够对不确定性建模和随机扰动的机器人进行跟踪控制，并提高了跟踪控制的收敛速度和控制精度，以满足对机器人的工作速度和精度的要求。

Description

一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统

技术领域

本发明涉及机器人控制技术领域，尤其涉及一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统。

背景技术

随着现代工业的发展，工业机器人的自动化生产是未来自动化装备领域的主流发展方向。工业机器人是一个多自由度的定位装置，作为被控对象，是一个高度耦合、多输入、多输出的强非线性机械装置。同大多数机械系统一样，机器人系统的动态特性可由其机械参数表示的数学模型表达出来。前提是机器人系统的结构已知，以及系统参数精确已知。

实际上，受机器人自身参数变化影响或外界环境的干扰，我们很难得到精确的机器人数学模型，通常在建模时受到一些不确定因素的影响，主要包括：

(1)参数不确定性：主要由运动学和动力学方程中物理参数的测量误差引起的，如负载质量未知、连杆长度测量不精确以及连杆质心等物理量未知或部分未知。

(2)非参数不确定性：主要指机器人系统未建模动态，包括关节连杆的柔性、机械机构的动/静摩擦力、传感器噪声、执行机构的动态特性等。

(3)未知环境的随机干扰、驱动器饱和、舍入误差、采样时延等因素。

在实际环境中，由于受到这些不确定因素的影响，我们很难得到精确地机器人数学模型，然而忽略这些不确定性因素，则将大大降低系统的跟踪精度和控制律的学习速度。为了实现高速，高精度的控制要求，我们需要提出具有抑制各种不确定性，并能快速收敛的控制方法。因而目前常用的控制方法有迭代学习控制方法、自适应控制方法和鲁棒控制方法。但是它们也具有各自的缺点：

1)迭代学习控制方法：传统迭代控制的初始控制值通常是任意选择一个控制量，然后控制律根据误差变化来修正控制量，这导致先前的误差过大，增加了方法的工作量，严重影响了实时性；

2)自适应控制方法：自适应控制可以在理想情况下处理定常参数的不确定性，但不能处理系统的非线性不确定性，如未建模的非线性摩擦和随机的外部干扰，从而可能使控制系统出现不稳定的情况以至于不能达到机器人精确跟踪的目的；

3)鲁棒控制方法：由于外部环境的随机性和不可避免的建模误差,将面临更多的不确定性,机器人鲁棒控制应该多考虑这些方面的问题。另外对通常建模中忽略的动力学模型的考虑,特别是对执行器动力学模型(如电机动力学等)的考虑,将有助于提高控制精度；

对于实际的机器人系统，由动力学，结构或非结构参数以及外部干扰引起的许多不确定性大大降低了控制律的学习速度以及系统的跟踪精度。如何在参数和非参数不确定性下处理系统，特别是有效处理具有时变效应的非线性不确定状态。这个事实使得控制器依赖于系统结构，因此当系统具有未知或不确定的结构时，目前的控制方案使用起来非常不方便。

发明内容

本发明的目的是提供一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统，能够对不确定性建模和随机扰动的机器人进行轨迹跟踪控制，并提高了跟踪控制的收敛速度和控制精度，以满足对机器人的工作速度和精度的要求。

为解决上述技术问题，本发明提供一种机器人轨迹跟踪控制方法，所述方法包括以下步骤：

步骤S100：建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

步骤S200：根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

步骤S300：将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减小。

优选地，所述步骤S100中的动力学模型可以表示为：

其中，t表示时间，k表示迭代次数，q^k(t)、和分别为机器人系统实际的关节角度、角速度和角加速度，D_k(q^k(t))-D(q^k(t))+ΔD(q^k(t))为机器人系统实际的惯性矩阵，为机器人系统实际的离心力和哥氏力矩阵，为机器人系统实际的重力摩擦力项，T_a ^k(t)为机器人系统的重复和非重复的扰动，T^k(t)为机器人系统的控制输入，D(q^k(t))为惯性矩阵，为离心力和哥氏力矩阵，为重力加摩擦力项，ΔD(q^k(t))、和为模型误差。

优选地，步骤S200中根据机器人系统的动力学特性将机器人系统的动力学模型沿指令轨迹q^k(t)线性化表示为：

其中，q_d(t)，和分别机器人系统期望的关节角度、角速度和角加速度记为q_d，和

e^k(t)＝q_d(t)-q^k(t)为关节角度跟踪误差记为e^k，

为关节角速度跟踪误差记为

为关节角加速度跟踪误差记为

D(t)＝D(q_d)，

为展开式的残差项。

优选地，所述步骤S300中鲁棒自适应迭代学习控制器包括PD控制器、前馈控制器和鲁棒控制器。

优选地，所述步骤S300中鲁棒自适应迭代学习控制器具体为：

并且具有以下增益切换规则：

其中，Δy^k(t)＝y^k+1(t)-^yk(t)，

ψ为训练因子，β(k)>1为增益切换因子，和为初始PD控制器增益矩阵，和为第k次迭代的PD控制器增益矩阵，为反馈控制输入，为前馈控制器输入，为鲁棒控制器项，E和λ为常数因子。

优选地，所述步骤S300具体为：

步骤S301：PD控制器根据切换增益规则确定调节第k次迭代的PD控制器增益矩阵和

步骤S302：前馈控制器根据反馈中每一次迭代通过学习规则计算出期望的控制力矩

步骤S303：针对外部的随机扰动引入鲁棒控制项

步骤S304：将总的控制力矩T^k(t)作为机器人系统的控制输入，从而得到机器人系统实际的关节角度q^k(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的实际输入；

步骤S305：将机器人系统期望的关节角度q_d(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入；

步骤S306：实际输入值和期望输入值产生跟踪误差e^k(t)和

步骤S307：通过一次次迭代计算不断减少误差e^k(t)和

本发明还提供一种机器人轨迹跟踪控制系统，所述系统包括建模单元、线性化单元、控制器单元，其中：

建模单元，用于建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

线性化单元，用于根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

控制器单元，用于将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减小。

本发明提供的一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统，前馈控制器补偿模型不确定性和重复扰动，并且能根据学习规则计算出期望的前馈控制力矩。反馈PD控制器，根据当前迭代误差，加快收敛速度。鲁棒控制器由于迭代学习控制方法不能处理具有非重复性干扰，所以为了弥补随机干扰，设计鲁棒控制器确保鲁棒性。因此，三种类型的控制器配合，反馈可变增益PD控制器保障系统稳定性，前馈控制器通过一系列迭代更新产生补偿力矩，具有抑制未知的确定性干扰的能力，同时加上鲁棒控制能有效处理随机干扰的作用；共同确保变化和嘈杂的环境下机器人系统的稳定性，灵活性和鲁棒性。能够对不确定性建模和随机扰动的机器人进行轨迹跟踪控制，并提高了跟踪控制的收敛速度和控制精度，以满足对机器人的工作速度和精度的要求。

附图说明

图1为本发明提供的第一种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的流程图；

图2为本发明提供的鲁棒自适应迭代学习控制器应用于机器人系统的控制原理框图；

图3为本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的流程图；

图4为二自由度机械臂示意图的结构示意图；

图5为机器人系统两个关节处于不同的迭代次数下期望的位置跟踪和实际轨迹图；

图6为机器人系统两个关节处于不同的迭代次数下期望的速度跟踪和实际轨迹图；

图7为机器人系统关节1和2在不同控制方法下位置跟踪误差的最大绝对值示意图；

图8为机器人系统关节1在不同控制方法下的速度跟踪误差的最大绝对值示意图；

图9为本发明提供的一种机器人轨迹跟踪控制系统结构框图。

具体实施方式

为了使本技术领域的人员更好地理解本发明的技术方案，下面结合附图对本发明作进一步的详细说明。

参见图1和图2，图1为本发明提供的第一种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的流程图，图2为本发明提供的鲁棒自适应迭代学习控制器应用于机器人系统的控制原理框图。

一种机器人轨迹跟踪控制方法，所述方法包括以下步骤：

步骤S100：建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

根据拉格朗日公式，N自由度刚性机器人系统的动力学模型可以表示为：

其中，t∈[0，tf],表示时间，k∈N，表示迭代次数。q^k(t)∈Rⁿ、和分别为机器人系统实际的关节角度、角速度和角加速度。D(q^k(t))∈R^n×n为惯性矩阵，为离心力和哥氏力矩阵，为重力加摩擦力项，T_a(t)∈Rⁿ为机器人系统重复和非重复的扰动，T^k(t)∈Rⁿ为控制输入。

由于动态建模不确定性和随机干扰的影响，式(1)可以重写为

其中，D_k(q^k(t))＝D(q^k(t))|ΔD(q^k(t))为机器人系统实际的惯性矩阵，为机器人系统实际的离心力和哥氏力矩阵，为机器人系统实际的重力摩擦力项，ΔD(q^k(t))、和为模型误差。其中，D(q^k(t))，和称为系统的标称部分，ΔD(q^k(t))、和为系统的不确定部分。

步骤S200：根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

根据机器人系统的动力学特性：

特性1(P1)：对于D_k(q^k(t))∈R^n×n,D_k(q^k(t))是对称，正定矩阵；

特性2(P2)：为斜对称矩阵并且满足

假设1(A1)：对于任意的t∈[0，tf]，位置和速度的期望轨迹q_d(t)和是有界的，并且在任何迭代处是二次可微分的；

假设2(A2)：迭代过程满足初始条件满足

令

则式(2)可表达为

将式(4)采用泰勒公式，沿着指令轨迹q^k(t)，线性化为线性时变系统，所述指令轨迹即为给定机器人系统的期望轨迹：

这里将H0₍t)定义为

其中

为展开式的残差项

将式(2)代入式(4)，令其中记

对k次迭代，式(4)可以写为

其中，q_d(t)，分别为机器人系统期望的关节角度、角速度和角加速度记为q_d，和

e^k(t)＝q_d(t)-q^k(t)为关节角度跟踪误差记为e^k，

为关节角速度度跟踪误差

为关节角加速度跟踪误差

D(t)＝D(q_d),

为展开式的残差项。

步骤S300：将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减小。

如图2所示，所述鲁棒自适应迭代学习控制器包括PD控制器、前馈控制器和鲁棒控制器。反馈部分为可变增益PD控制器，可以根据当前迭代误差，加快收敛速度。前馈控制器可以通过学习规则，在每个迭代步骤中计算出期望的前馈转矩，用来补偿模型不确定性和重复扰动。为了弥补随机和不重复的干扰，设计鲁棒控制器确保鲁棒性。

针对式(2)描述的机器人系统存在建模误差，负载和外部干扰各种不确定性条件下时，鲁棒自适应迭代学习控制器具体可表示为：

并且具有以下增益切换规则：

其中，ψ为训练因子，是正常数。β(k)＞1为增益切换因子，和为初始PD控制器增益矩阵，和为第k次迭代的PD控制器增益矩阵，增益自适应律是通过每一次迭代来调整PD控制增益的大小。为反馈控制输入，为前馈控制器输入，它可以通过学习规则计算出来。为鲁棒控制器项。

是鲁棒控制部分，其中||d^k+1-d^k||＝Δd^k≤E，E为常数因子；sgn为符号函数。

定义：Δy^k(t)＝y^k+1(t)-y^k(t)，λ为常数因子，λ∈[0,1]。

在学习的初始阶段，这里设置为零；但是，来源于PD控制器的力矩的值是很大的，因为有明显的位置和速度误差。因此，在学习的早期阶段，反馈控制输入力矩要优先于前馈力矩然而随着迭代次数的增加，前馈力矩比反馈力矩占优势。针对随机扰动，用鲁棒项保持系统鲁棒性。

将鲁棒自适应迭代学习控制器应用于机器人系统对机器人进行轨迹跟踪控制。前馈控制器补偿模型不确定性和重复扰动，并且能根据学习规则计算出期望的前馈控制力矩。反馈PD控制器，根据当前迭代误差，加快收敛速度。鲁棒控制器由于迭代学习控制方法不能处理具有非重复性干扰，所以为了弥补随机干扰，设计鲁棒控制器确保鲁棒性。因此，三种类型的控制器配合，反馈可变增益PD控制器保障系统稳定性，前馈控制器通过一系列迭代更新产生补偿力矩，具有抑制未知的确定性干扰的能力，同时加上鲁棒控制能有效处理随机干扰的作用；共同确保变化和嘈杂的环境下机器人系统的稳定性，灵活性和鲁棒性。能够对不确定性建模和随机扰动的机器人进行轨迹跟踪控制，并提高了跟踪控制的收敛速度和控制精度，以满足对机器人的工作速度和精度的要求。

所述前馈控制其的学习规则为：

具体为：

在学习的初始阶段，被设置为零。因此，对于第k次迭代，将输入(6)应用于等式(5)，我们得到一个误差方程

令H₁(t)＝H(t)-Esgn((Δy^k-1)^T)+d^k(t) (9)

那么可以直接获得误差方程的第k次迭代

只要驱动的误差动力学是有界的，随着反馈增益的增加，误差有界且可以任意小。因为执行器转矩有限使反馈增益不能无限大。一般来说，线性反馈控制并不能很好的胜任轨迹追踪，特别是在非线性和有模型误差的系统下时。为了使用前馈控制沿着反馈PD控制达到当k→∞的时候消除误差伴随着合理的前馈增益，追踪误差在迭代过程中可以收敛到零。首先,我们选择适当大小的正定矩阵和使误差动力学等式(10)沿着期望轨迹是稳定的。其次，我们更新学习规则，使趋近于H₁(t)当t∈[0.tf]。

为了推导出一个学习规则使其更新并且使收敛于未知的量H₁(t)，并且证明它的收敛性。在推导学习规则中，我们考虑t∈[0.tf]的以下指数：

通过利用梯度下降规则，我们获得以下等式

将式(12)的两边减去H₁(t)，我们得到

因此，为了保证偏置输入误差相对于迭代次数收敛，ψ应该在0＜ψ＜2的范围内。相反，可用替换未知项即可得到学习规则：

注意到等式(10),如果和有足够大的值，则与大小基本上一样。大致来说，学习规则可以被认为是用于未知期望输入转矩H₁(t)的搜索方法，其中来自PD控制器的用于更新前馈控制器的在学习的初始阶段，这里设置为零。但是，来源于PD控制器的力矩的值是很大的，因为此时有明显的位置和速度误差。因此，在学习的早期阶段，反馈转矩要优先于前馈力矩然而随着迭代次数的增加，前馈力矩处于主导位置。所述自适应迭代学习控制器的收敛性可基于李亚普诺夫稳定性定理证得。

对随机外部扰动和建模不确定性条件下的机器人系统为被控对象的非线性系统进行轨迹跟踪控制，通过融合PD控制器、前馈控制器和鲁棒控制器的优点设计了鲁棒自适应迭代学习控制器。基于Lyapunov稳定性定理证明了该控制器的稳定性和收敛性。

参见图3至图7，图3为本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的流程图，图4为二自由度机械臂示意图的结构示意图，图5为机器人系统两个关节处于不同的迭代次数下期望的位置跟踪和实际轨迹图，图6为机器人系统两个关节处于不同的迭代次数下期望的速度跟踪和实际轨迹图，图7为机器人系统关节1和2在不同控制方法下位置跟踪误差的最大绝对值示意图，图8为机器人系统关节1在不同控制方法下的速度跟踪误差的最大绝对值示意图。

一种机器人轨迹跟踪控制方法，所述方法包括以下步骤：

步骤S100：建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

步骤S200：根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

步骤S301：PD控制器根据切换增益规则确定调节第k次迭代的PD控制器增益矩阵和根据切换增益规则按每一次迭代来调整PD控制器增益的大小，确定第k次迭代的控制增益矩阵和

步骤S302：前馈控制器根据反馈中每一次迭代通过学习规则计算出期望的控制力矩

步骤S303：针对外部的随机扰动引入鲁棒控制项

步骤S304：将总的控制力矩T^k(t)作为机器人系统的控制输入，从而得到机器人系统实际的关节角度q^k(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的实际输入；

步骤S305：将机器人系统期望的关节角度q_d(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入；

步骤S306：实际输入值和期望输入值产生跟踪误差e^k(t)和

步骤S307：通过一次次迭代计算不断减小误差e^k(t)和

建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型，根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化，产生期望轨迹，然后基于逆动力学将机器人系统期望的关节角度q_d(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入。机器人系统实际的关节角度q^k(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差e^k(t)和然后控制器不断地减少误差从而提高系统精度。同时，PD控制器通过PD学习规则调节控制增益和并且使整个系统在跟踪误差界限内稳定。前馈控制器根据PD控制器反馈的每一次迭代误差通过学习规则计算出期望的控制力矩引入鲁棒控制项针对外部的随机扰动，从而保证不确定控制系统的鲁棒性。将总的控制力矩T^k(t)作为机器人系统的控制输入，从而得到机器人系统实际的关节角度q^k(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的实际输入，与期望值q_d(t)和一起产生跟踪误差e^k(t)和不断进行迭代，以到达提高控制精度的目的。

本实施例提供的机器人轨迹跟踪控制方法在于结合了易于设计的PD控制器，用于保证系统状态的稳定性。其学习前馈部分，可以通过学习规则，在每个迭代步骤中计算出期望的前馈转矩，具有有效处理模型不确定性和重复性干扰的自适应迭代控制的优势，也结合了鲁棒控制，可以确保系统在外部随机干扰下的鲁棒性。鲁棒自适应迭代学习控制器的反馈部分可以很灵活的调节控制增益，同时前馈控制通过每一步的迭代反馈误差计算驱动力矩，通过一个序列的迭代更新产生补偿力矩，适应于可变参数未知系统以及可有效补偿未知随机干扰。

机器人轨迹跟踪控制方法在减少跟踪误差和加速收敛速度方面具有明显优点。一方面，对于所提出的控制方法，在初始迭代的时候，关节的最大位置误差还是比较明显的，但是在第三次迭代时，关节1的位置误差减小了99.28％，在第九次迭代的时候，误差减小了99.77％。相似的，关节2在第三次迭代时，误差减小了96.36％，在第九次迭代的时候，误差最终减小了99.95％，所提出的控制方法在机器人控制精度方面得到了很大提高。并且提出的控制方法在第2次迭代的时候追踪轨迹就可以很好的接近于期望轨迹了收敛速度得到了提高.追踪误差随着迭代次数的增加单调减小，而且与其他迭代次数相比，误差在第一次迭代的时候减小的很急剧，稳定性和追踪效果有了很大提高。综上，所提出的控制方法的追踪精度的提高是相当可观的。

另一方面，在跟踪速度方面具有相似的变化趋势，在初始迭代的时候，具有最大追踪速度误差还是明显较大的，但在三次迭代后，速度误差明显减少；在九次迭代之后，速度跟踪误差进一步趋近于零。速度跟踪效果随着迭代次数的增加逐渐提高。所提出鲁棒自适应迭代学习控制方法不仅满足系统的鲁棒性，而且在未知环境下对稳定跟踪具有优异的性能。其独特的特点是结构简单，易于实现，快速收敛。

为了说明本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的有效性，结合仿真图加以验证。本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法针对式(2)描述的二自由度工业机械臂，系统参数设定如下，

取惯性矩阵给定

d₁₁＝i₁+i₂+2m₂r₂l₁cosq₂，d₁₂＝i₂+m₂r₂l₁cosq₂，d₂₁＝i₂+m₂r₂l₁cosq₂和d₂₂＝i₂。

离心力和哥氏力给定

和c₂₂＝0

重力加摩檫力项给定

g₁₁＝(m₁r₁+m₂l₁)gcosq₁+m₂r₂gcos(q₁+q₂)，g₂₂＝m₂r₂gcos(q₁+q₂)。

如图4所示，机械臂参数为：m₁为连杆1的质量，m₂为连杆2的质量，l₁，l₂分别为两连杆的长度，r₁，r₂分别代表两个连杆的重心位置距各个连接轴的距离；i₁，i₂是连杆惯量，q1、q2表示关节1和关节2的角度；表示关节1和关节2的角速度。

m₁＝10kg,m₂＝5kg，l₁＝1m，l₂＝0.5m，

r₁＝0.5m，r₂＝0.5m，i₁＝0.83+m₂r₁ ²+m₂l₁ ²，i₂＝0.3+m₂r₂ ².。

期望轨迹给定为：

对于t∈(0，3)

模型误差如下：

随即外部扰动为：

其中，

其中rands(1)表取随机数在范围[-1,1]中。

此外，在该模型中还考虑摩擦力，并给出：

sign为符号函数。

给定机械臂初始位置：

控制增益取值：

控制增益根据以下切换规则进行迭代：

图5(a)为机器人系统两个关节在初始迭代下期望的位置跟踪和实际轨迹图，图5(b)为机器人系统两个关节在第三次迭代时期望的位置跟踪和实际轨迹图，图5(c)为机器人系统两个关节在第九次迭代时期望的位置跟踪和实际轨迹图。图6(a)为机器人系统两个关节在初始迭代下期望的速度跟踪和实际轨迹图，图6(b)为机器人系统两个关节在第三次迭代时期望的速度跟踪和实际轨迹图，图6(c)为机器人系统两个关节在第九次迭代时期望的速度跟踪和实际轨迹图。

如图5(a)和图6(a)，当初始迭代时，鲁棒自适应迭代学习控制方法只是作为具有微小增益的PD控制实现,因为其有用的前馈信息还没有进入学习迭代状态中。以至于跟踪性能是不理想的,对于两个关节的追踪误差非常的大。然而，如图5(b)和图6(b)，在第三次迭代，学习前馈控制器已经发挥作用,从而大大提高了跟踪性能，可以观察到实际轨迹已经符合期望轨迹。如图5(c)和图6(c)，在第九次迭代,性能毋庸置疑已经达到非常好。图5和图6可以看出,随着迭代数量的增加跟踪性能逐步提高。

为了提供本方法的充分性能评估，将现有控制方法与本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法进行比较，图7为机器人系统关节1和2在不同控制方法下位置跟踪误差的最大绝对值示意图。其中图(a)表示传统的PD控制器；图(b)表示Tae-yongKuc,Kwanghee Nam，Jin S.Lee提出的一种迭代学习方案(简称ILC)；图(c)表示P.R.Ouyang，W.J.Zhang，Madan M.Gupta提出的自适应切换学习PD控制(AdaptiveSwitching Learning PD Control,简称ASL-PD)。可观察到所提出的方法的最大位置追踪误差是最小的，以及它的跟踪轨迹在一次次的迭代进行中效果逐渐得以提高。从图7(d)中可以得出结论：本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法在第2次迭代的时候追踪轨迹就可以很好的接近于期望轨迹了.追踪误差随着迭代次数的增加单调减小。而且与其他迭代次数相比,误差在第一次迭代的时候减小得很急剧。稳定性和追踪效果有了很大改善。详细的结果见表1所示。

表1随迭代次数变化的位置跟踪误差表

表1表示本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法和其他三种方法从初始迭代到第九次迭代的轨迹追踪误差变化情况。通过比较，本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法作用时，误差表现出更进一步的减小。并且第九次迭代时减小到0.0005rad，此时也就是说它大约是传统PD控制最大误差的1/13和ILC的最大误差的1/20。综上，所提出控制方法的追踪精度的提高是相当可观的。

如图8所示，本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法与不同控制方法在迭代过程中速度跟踪误差的最大绝对值的比较结果。从实验中可以清楚地看出，与其他方法相比，本发明提供的第二种实施例所述机器人轨迹跟踪控制方法的最大速度跟踪误差是最小的。

仿真结果证明了所提出的方法可以在建模误差和随机外部干扰的影响下改善跟踪性能。一方面，可以看出，所提出的控制方法明显减小了位置跟踪误差以及速度跟踪误差。另一方面，结果表明，与其他三个控制器相比，所提出的方法可以在存在模型不确定性和非重复性外部干扰的情况下提供更好的性能，验证了所提出的方法的有效性和鲁棒性，仿真结果进一步验证了理论结果。

参见图2和图9，图2为本发明提供的一种机器人轨迹跟踪控制系统结构框图，图9为本发明提供的鲁棒自适应迭代学习控制器应用于机器人系统的控制原理框图。

一种机器人轨迹跟踪控制系统，所述系统包括建模单元1、线性化单元2、控制器单元3，其中：

建模单元1，用于建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型。

根据拉格朗日公式，N自由度刚性机器人系统的动力学模型可以表示为：

其中，t∈[0，tf],表示时间，k∈N，表示迭代次数。q^k(t)∈Rⁿ、和分别为机器人系统实际的关节角度、角速度和角加速度。D(q^k(t))∈R^n×n为惯性矩阵，为离心力和哥氏力矩阵，为重力加摩擦力项，T_a(t)∈Rⁿ为表示机器人系统重复和非重复的扰动，T^k(t)∈Rⁿ为控制输入。

由于动态建模不确定性和随机干扰的影响，式(1)可以重写为

其中，D_k(q^k(t))＝D(q^k(t))+ΔD(q^k(t))为机器人系统实际的惯性矩阵，为机器人系统实际的离心力和哥氏力矩阵，为机器人系统实际的重力摩擦力项，ΔD(q^k(t))、和为机器人系统模型误差。其中，D(q^k(t))，和称为系统的标称部分，ΔD(qk(t))、和为系统的不确定部分。

线性化单元2，用于根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

根据机器人系统的动力学特性：

特性1(P1)：对于D_k(q^k(t))∈R^n×n,D_k(q^k(t))是对称，正定矩阵；

特性2(P2)：q^k(t)∈Rⁿ，X^T(D_k(q^k(t))-2C_k(q^k(t)，为斜对称矩阵并且满足

假设1(A1)：对于任意的t∈[0，tf]，位置和速度的期望轨迹q_d(t)和是有界的，并且在任何迭代处是二次可微分的；

假设2(A2)：迭代过程满足初始条件满足

令

则式(2)可表达为

将式(4)采用泰勒公式，沿着指令轨迹q^k(t)，线性化为线性时变系统，所述指令轨迹即为给定机器人系统的期望轨迹：

这里将H₀(t)定义为

其中

为展开式的残差项

将式(2)代入式(4)，令记

对k次迭代，式(4)可以写为

其中，q_d(T)，和分别为机器人系统期望的关节角度、角速度和角加速度记为q_d，和

e^k(t)＝q_d(T)-q^k(t)为关节角度跟踪误差记为e^k，

为关节角速度跟踪误差记为

为关节角加速度跟踪误差记为

D(t)＝D(q_d)，

为展开式的残差项。

控制器单元3，用于将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减少。

如图2所示，所述鲁棒自适应迭代学习控制器包括PD控制器、前馈控制器和鲁棒控制器。反馈部分为可变增益PD控制器，可以根据当前迭代误差，加快收敛速度。前馈控制器可以通过学习规则，在每个迭代步骤中计算出期望的前馈转矩，用来补偿模型不确定性和重复扰动。为了弥补随机和不重复的干扰，设计鲁棒控制器确保鲁棒性。

针对式(2)描述的机器人系统存在建模误差，负载和外部干扰各种不确定性条件下时，鲁棒自适应迭代学习控制器具体可表示为：

并且具有以下增益切换规则：

其中，ψ为训练因子，是正常数。β(k)＞1为增益切换因子，和为初始PD控制器增益矩阵，和为第k次迭代的PD控制器增益矩阵，增益自适应律是通过每一次迭代来调整PD控制增益的大小。为反馈控制输入，为前馈控制器输入，它可以通过学习规则计算出来。为鲁棒控制器项。

是鲁棒控制部分，其中||d^k+1-d^k||＝Δd^k≤E，E为常数；sgn为符号函数。

定义Δy^k(t)＝y^k+1(t)-y^k(t)，λ为常数因子，λ∈[0,1]。

在学习的初始阶段，这里设置为零；但是，来源于PD控制器的力矩的值是很大的，因为有明显的位置和速度误差。因此，在学习的早期阶段，反馈控制输入力矩要优先于前馈力矩然而随着迭代次数的增加，前馈力矩比反馈力矩占优势。针对随机扰动，用鲁棒项保持系统鲁棒性。

将鲁棒自适应迭代学习控制器应用于机器人系统对机器人进行轨迹跟踪控制。前馈控制器补偿模型不确定性和重复扰动，并且能根据学习规则计算出期望的前馈控制力矩。反馈PD控制器，根据当前迭代误差，加快收敛速度。鲁棒控制器由于迭代学习控制方法不能处理具有非重复性干扰，所以为了弥补随机干扰，设计鲁棒控制器确保鲁棒性。因此，三种类型的控制器配合，反馈可变增益PD控制器保障系统稳定性，前馈控制器通过一系列迭代更新产生补偿力矩，具有抑制未知的确定性干扰的能力，同时加上鲁棒控制能有效处理随机干扰的作用；共同确保变化和嘈杂的环境下机器人系统的稳定性，灵活性和鲁棒性。能够对不确定性建模和随机扰动的机器人进行轨迹跟踪控制，并提高了跟踪控制的收敛速度和控制精度，以满足对机器人的工作速度和精度的要求。

所述前馈控制其的学习规则为：

具体为：

在学习的初始阶段，被设置为零。因此，对于第k次迭代，将输入(6)应用于等式(5)，我们得到一个误差方程

令H₁(t)＝H(t)-Esgn((Δy^k-1)^T)+d^k(t) (9)

那么可以直接获得误差方程的第k次迭代

只要驱动的误差动力学是有界的，随着反馈增益的增加，误差有界且可以任意小。因为执行器转矩有限使反馈增益不能无限大。一般来说，线性反馈控制并不能很好的胜任轨迹追踪，特别是在非线性和有模型误差的系统下时。为了使用前馈控制沿着反馈PD控制达到当k→∞的时候消除误差伴随着合理的前馈增益，追踪误差在迭代过程中可以收敛到零。首先,我们选择适当大小的正定矩阵和使误差动力学等式(10)沿着期望轨迹是稳定的。其次，我们更新学习规则，使趋近于H₁(t)当t∈[0.tf]。

为了推导出一个学习规则使其更新并且使收敛于未知的量H₁(t)，并且证明它的收敛性。在推导学习规则中，我们考虑t∈[0.tf]的以下指数：

通过利用梯度下降规则，我们获得以下等式

将式(12)的两边减去H₁(t)，我们得到

因此，为了保证偏置输入误差相对于迭代次数收敛，ψ应该在0＜ψ＜2的范围内。相反，可用替换未知项即可得到学习规则：

注意到等式(10),如果和有足够大的值，则与大小基本上一样。大致来说，学习规则可以被认为是用于未知期望输入转矩H₁(t)的搜索方法，其中来自PD控制器的用于更新前馈控制器的在学习的初始阶段，这里设置为零。但是，来源于PD控制器的力矩的值是很大的，因为此时有明显的位置和速度误差。因此，在学习的早期阶段，反馈转矩要优先于前馈力矩然而随着迭代次数的增加，前馈力矩处于主导位置。所述鲁棒自适应迭代学习控制器的收敛性可基于李亚普诺夫稳定性定理证得。

以上对本发明所提供的一种机器人轨迹跟踪控制方法及系统进行了详细介绍。本文中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的核心思想。应当指出，对于本技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明原理的前提下，还可以对本发明进行若干改进和修饰，这些改进和修饰也落入本发明权利要求的保护范围内。

Claims (7)

1.一种机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述方法包括以下步骤：

步骤S100：建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

步骤S200：根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

步骤S300：将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和参考输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减小。

2.根据权利要求1所述的机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S100中的动力学模型可以表示为：

其中，t表示时间，k表示迭代次数，q^k(t)、和分别为机器人系统实际的关节角度、角速度和角加速度，D_k(q^k(t))＝D(q^k(t))+ΔD(q^k(t))为机器人系统实际的惯性矩阵，为机器人系统实际的离心力和哥氏力矩阵，为机器人系统实际的重力摩擦力项，T_a ^k(t)为机器人系统的重复和非重复的扰动，T^k(t)为机器人系统的控制输入，D(q^k(t))为惯性矩阵，为离心力和哥氏力矩阵，为重力加摩擦力项，ΔD(q^k(t))、和为模型误差。

3.根据权利要求2所述的机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，步骤S200中根据机器人系统的动力学特性将机器人系统的动力学模型沿指令轨迹线性化表示为：

其中，q_d(t)，和分别为机器人系统期望的关节角度、角速度和角加速度记为q_d，和

e^k(t)＝q_d(t)-q^k(t)为关节角度跟踪误差记为e^k，

为关节角速度跟踪误差记为

为关节角加速度跟踪误差记为

D(t)＝D(q_d)，

为展开式的残差项。

4.根据权利要求3所述的机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S300中鲁棒自适应迭代学习控制器包括PD控制器、前馈控制器和鲁棒控制器。

5.根据权利要求4所述的机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S300中鲁棒自适应迭代学习控制器具体为：

并且具有以下增益切换规则：

其中，Δy^k(t)＝y^k+1(t)-y^k(t)，

ψ为训练因子，β(k)>1为增益切换因子，和为初始PD控制器增益矩阵，和为第k次迭代的PD控制器增益矩阵，为反馈控制输入，为前馈控制器输入，为鲁棒控制器项，E和λ为常数因子。

6.根据权利要求5所述的机器人轨迹跟踪控制方法，其特征在于，所述步骤S300具体为：

步骤S301：PD控制器根据切换增益规则确定调节第k次迭代的PD控制器增益矩阵和

步骤S302：前馈控制器根据反馈中每一次迭代通过学习规则计算出期望的控制力矩

步骤S303：针对外部的随机扰动引入鲁棒控制项

步骤S304：将总的控制力矩T^k(t)作为机器人系统的控制输入，从而得到机器人系统实际的关节角度q^k(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的实际输入；

步骤S305：将机器人系统期望的关节角度q_d(t)和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入；

步骤S306：实际输入值和期望输入值产生跟踪误差e^k(t)和

步骤S307：通过一次次迭代计算不断减少误差e^k(t)和

7.一种机器人轨迹跟踪控制系统，其特征在于，所述系统包括建模单元、线性化单元、控制器单元，其中：

建模单元，用于建立N自由度刚性机器人系统的动力学模型；

线性化单元，用于根据机器人系统的动力学特性，将机器人系统的动力学模型沿期望轨迹线性化；

控制器单元，用于将机器人系统期望的关节角度和关节角速度作为鲁棒自适应迭代学习控制器的参考输入，机器人系统实际的关节角度和关节角速度作为控制器的实际输入，实际输入值和期望输入值产生跟踪误差，其通过控制器的迭代计算不断减少。