CN115157238B - 一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，包括推导逆动力学方程和设计基于计算力矩法的模糊自适应补偿控制器的过程。本发明结合了旋量理论和李群李代数的数学工具对牛顿欧拉的递推方程进行简化，降低了算法复杂度，获得更加简洁清晰的动力学表达式，极大的提高了动力学建模计算的效率；本发明再对机器人轨迹跟踪控制时，设计模糊自适应补偿控制器，将力矩分为具有精确动力学标称的系统和具有未知参数的不确定系统，计算力矩控制器控制采用上述建立的动力学方程来对具有精确动力学标称的系统进行力矩的求解，模糊自适应补偿控制器则对具有未知参数的不确定系统进行补偿，以保证机器人系统的轨迹跟踪精度。

Description

一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法

技术领域

本发明属于机器人动力学建模和轨迹跟踪技术领域，具体涉及一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法。

背景技术

动力学研究是机器人动态控制、运动仿真和轨迹跟踪的基础。动力学的两个问题分别为：运用于仿真的动力学正问题，即通过关节驱动力矩或力计算机器人各个关节的关节位移、速度和加速度；运用于控制的动力学逆问题，即通过机器人各个关节对应的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节力矩或者力。

目前，针对动力学研究的建模方法主要以牛顿欧拉法、拉格朗日法和凯恩法为主。牛顿欧拉法采用矢量力学，通过运动和力的递推来建立动力学方程；拉格朗日方程采用分析力学，通过计算系统的动能和势能构建拉格朗日函数。凯恩动力学方法综合了矢量力学与分析力学各自的特点，其主要方法是利用伪坐标来描述系统的运动，从运动本质出发去研究动力学特性。这些方法的共同特点就是算法比较复杂，随着机器人自由度的增加，传统的动力学建模方法在推导过程中要通过大量的微分和偏微分计算，其推导过程只会更加繁琐，为了满足更高精度的实时控制要求，在不牺牲计算效率的情况下显著降低算法复杂度，结合旋量理论和李群李代数的动力学建模可以有效地解决上述问题。

机器人作为复杂的、动态耦合的、高度非线性的系统，机器人控制器受到结构化不确定性或非结构化不确定性的影响。结构不确定性的特征是正确的动力学模型，其中包含由于机械臂连杆特性的不精确性、未知载荷等引起的动态参数不确定性。非结构不确定性的特征是未建模的动力学，由机械手的高频状态、非线性摩擦等引起。在机器人的操作场景中最为重要的就是各个关节从一个地方移动到另一个地方，或尽可能接近某个给定的轨迹，因此轨迹跟踪问题是机器人控制中最重要和最基本的任务，目前已经有许多种轨迹跟踪的控制方法如PD控制、PID控制，滑模控制，自适应控制，鲁棒控制，模糊控制，计算力矩法控制等。

现有技术中，发明专利CN112784428A(公开号，下述同为公开号)提出一种基于DH参数的混凝土泵车拉格朗日动力学建模方法，首先采用DH法建立DH坐标系，求得混凝土泵车臂架系统的DH参数，引入拉格朗日函数，建立每个连杆的拉格朗日方程组，利用矩阵的形式表达得到整个系统的动力学方程，(采用拉格朗日动力学方程建模，复杂度为，算法复杂度高，随着自由度数的增加，求解效率低)；

发明专利CN106951658A提出一种串联机器人逆动力学快速计算方法，使用牛顿欧拉方程建立串联机器人逆动力学模型，解耦得到标准动力学参数和回归矩阵，使用给予树脂的简化方法对解耦后模型进行简化。(牛顿欧拉方程算法复杂度同上述)；

发明专利CN102207988A提出一种多自由度机械臂高效动力学建模方法，利用旋量理论来描述机械臂各关节的速度、加速度、力和力矩，在建立逆动力学模型时采用空间算子代数理论，运用卡曼滤波平滑方法得到机械臂广义惯性质量矩阵以及逆矩阵的因式分解形式，从而得到高效的动力学模型。(采用旋量理论和空间算子代数理论，本发明采用旋量理论和李群李代数的数学工具来推导逆动力学)；

发明专利CN110450156A提出多自由度机械臂系统自适应模糊控制器的优化设计方法，将人工神经网络技术和进化多目标优化算法相结合，针对具有非线性和不确定性模型的多自由度机械臂轨迹跟踪控制系统，来确定多变量PID控制器的最优参数；

发明专利CN111694273A提出一种双关节机械手模糊自适应控制的设计，建立双关节机械手的空间动力学模型；二、建立双关节机械手数学模型；三、建立双关节机械手模糊自适应控制器。本发明相比于现有技术相比较：跟踪期望轨迹误差小，收敛速度快；当系统突遭干扰时，能够在较短的时间内重新稳定下来，这体现了模糊控制器稳定性和鲁棒性；

发明专利CN113433827A提出一种质心变化喷砂除锈并联机器人移动平台轨迹跟踪控制方法，首先建立考虑质心变化的移动平台动力学模型，然后，基于该模型，提出一种质心变化喷砂除锈并联机器人移动平台自适应模糊全局鲁棒超螺旋滑模控制方法；

发明专利CN111618858A提出一种基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒踪控制算法，基于自适应模糊滑模的机械手鲁棒跟踪控制算法，采用滑模控制实现机械手轨迹跟踪，并通过自适应模糊逻辑系统调节滑模控制算法的切换增益，减小滑模控制抖振；再针对未建模动态以及外部扰动的影响，采用鲁棒控制器进行补偿；

机器人高阶运动学与动力学方程以经典D-H参数法推导与表征，由于线速度与角速度量是以分开的形式进行表征，因而推导其对应的高阶量时，其对应的运动学与动力学方程数急剧增加。此外，运用D-H参数表达高阶运动学量不直观，且计算推导过程复杂，需要进行反复的坐标变换与微分和偏微分运算。因此，以D-H参数法为基础建立的牛顿欧拉法、拉格朗日法和凯恩法动力学方程算法复杂度高，难以满足机器人实时控制的需要。

综合目前机器人动力学建模的研究，针对工业机械臂，基于李群李代数的Newton-Euler递推动力学模型具有如下优势：(1)基于李代数的动力学模型运用旋量表征速度与力，因而在描叙机器人的运动学与动力学方程时，相比于传统的D-H参数法具有描叙简洁的优势；(2)基于李代数思想描叙机器人的运动学只需要两个坐标系，避免了D-H参数法中严格的局部坐标系建立与参数确定规则；(3)李群李代数是运用指数积运算来表征机器人运动学与动力学，便于实现相关量的高阶求导运算，可以消除运用D-H参数法高阶求导的弊端，进而可以得到更加简洁与高效的动力学方程。

应用李群李代数的伴随矩阵与伴随算子结合牛顿欧拉法递推机器人的动力学方程，将角速度和线速度映射为六维速度矢量，更进一步换算为44的矩阵，同样将力矩和力矢量映射为六维力矢量，进而转换为44矩阵，该方法得出计算机器人动力学通用公式，形式统一，可直接编程计算，使得计算量大大减小。在计算机器人动力学时，要将机器人每个连杆的速度、力在不同坐标系下表示，即坐标变换下的速度或力变换，而这种变换就是李群的伴随表示；与此同时，还要用到速度和力的叉乘计算，而速度有可以看作李代数的元素，因此速度的叉乘又等同于李代数的叉乘，即李代数的伴随表示。此外，速度空间伴随表示的对偶空间就是力空间的伴随表示。当这些计算有统一的形式之后，就会使得整个动力学过程分析更加的容易。

在动力学的研究基础之上，轨迹跟踪作为机器人控制中最重要最基本的技术，目前已经有许多种轨迹跟踪的控制方法如PD控制、PID控制，滑模控制，自适应控制，鲁棒控制，模糊控制，计算力矩法控制等。但这些控制在面对复杂的机器人系统中，针对不同应用场景有着不同的局限性。PD、PID控制虽然结构简单，但只能满足机器人在低速状态下的运动精度，随着运行速度的增加，控制性能迅速下降。滑模控制在状态轨迹到达切换面后，惯性使运动点穿越切换面，从而形成抖动。自适应控制方法具有很强的在线自适应能力，在处理结构不确定性方面非常有效，然而它不能有效消除非结构化不确定性对控制性能的影响。鲁棒控制能够对非结构不确定性实现快速响应和实时控制，但对结构不确定性缺乏模型参数的自动调整。模糊控制在复杂的非线性系统中，可以将非线性函数逼近到理想的精度，但模糊逻辑规则需要大量实验数据或者有经验的设计人员进行设计。计算力矩控制器通过使用机器人系统的理想动力学模型来线性化、解耦机器人动力学，使用线性控制策略来单独控制每个关节的运动，这种控制方法容易受到建模误差、对象参数变化和未知干扰等多种不确定性的影响，这些不确定性可能会降低控制性能。

为此我们提出一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法来解决现有技术中存在的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，以解决上述背景技术中提出现有技术中的问题。

为实现上述目的，本发明采用了如下技术方案：

一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，包括如下步骤：

步骤一、推导逆动力学方程：

机器人操作臂的每个连杆的位姿都可用欧氏变换来表示，连杆i相对于连杆i-1的位姿可表示为则机器人操作臂末端相对于基坐标系的位姿用指数积公式表示为：/>

由旋量理论定义连杆i在体坐标系下{i}的广义速度：

符号Ad表示李群的子集在李代数上的线性映射，由李群李代数的定义再结合伴随变换，连杆i在体坐标系下的广义速度为：

由上述广义速度可得广义加速度的李代数表达：

在体坐标{i}下，作用在连杆i上的合力为：

其中，Ad对偶的伴随算子用Ad^*表示，定义为对偶空间的线性映射，定义李代数的对偶相邻表达式为ad^*，结合李代数的伴随变换性质，可以化简得到：/>根据力的相互作用原理和李代数伴随变换的性质，连杆i+1作用在连杆i上的反作用力为：/>因此连杆i承受的力矩和力为：/>

整理可得：

总结上述推导的公式，机器人逆动力学方程的矩阵形式表示为：

步骤二、设计基于计算力矩法的模糊自适应补偿控制器：

首先假设机器人不受结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学表示为：

对这部分进行计算力矩法控制的设计，令e＝q_d-q，q_d为期望的角度，K_d和K_p为正定矩阵，因此该控制的闭环方程表示为：

此时，计算力矩法控制律为：

考虑到机器人系统中的结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学方程表达式为：

定义M(q)＝M_o(q)-ΔM(q)，G(q)＝G_o(q)-ΔG(q)，其中结构不确定项为ΔM(q)，/>ΔG(q)，/>为未建模动态项包括摩擦项和外部扰动，则该控制的闭环方程为：

定义τ＝τ_o+τ_c，τ_c为计算力矩的补偿，接下来开始对结构不确性和非结构不确定性进行自适应模糊补偿控制的设计；

控制系统中补偿力矩为表示为ρ的模糊逼近估计值，/>为一个权值矩阵，/>为模糊基函数矢量，模糊隶属度函数/>采用高斯型隶属度函数；

ρ用模糊逻辑系统进行表示：

ρ＝W^*ζ+ε

其中，W^*为W的最优值，并满足：

将系统的总控制律τ＝τ_o+τ_c带入系统动力学方程中，可得系统闭环方程：

其中，表示为模糊系统的权值矩阵；

为了便于分析将系统的闭环方程转化为系统的状态空间方程形式，定义系统误差状态矢量定义系统的状态空间方程为：/> 模糊系统参数的自适应调节规律为：

为了证明该控制器能保证闭环系统的稳定性和满意的跟踪性能，引入李雅普诺夫方程：

对上式进行积分可得进一步化简可得/>其中/>因此x∈L₂，由x的有界性可知x∈L_∞，根据Barble引理可得根据上述定义/>可得/>因此整个闭环系统是渐近稳定的，即轨迹跟踪误差随着时间的推移收敛到零。

优选的，式中，M_i表示机器人连杆i的坐标位置，表示连杆i在自身体坐标系{i}下的关节旋量，q_i表示关节旋转的角度，T_i表示连杆i相对于基坐标系{s}的位姿关系，T_i-1,i表示连杆i相对于连杆i-1的位姿关系。

优选的，步骤二中，首先设计计算力矩法控制，再对计算力矩法进行模糊自适应补偿。

优选的，机器人系统作为强耦合和非线性动力学系统控制器会受到机器人操作载荷的质量分布、尺寸等引起的结构不确定性和外部扰动，非线性摩擦，机器人的高频模态的非结构不确定性的影响。

优选的，步骤二的中：

表示含义包括关节变量函数、物理参数、参数变化与未建模动态；同时ρ也表示为结构不确定性和非结构不确定性的总和，因此ρ被称为机器人动力学的集中不确定函数。

优选的，步骤二的中，Γ为常值增益矩阵，P为Riccati方程A^TP+PA+P^TBB^TP+Q＝0的对称正定解。

本发明的技术效果和优点：本发明提出的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，与现有技术相比，具有以下优点：

1、本发明中结合了旋量理论和李群李代数的数学工具对牛顿欧拉的递推方程进行简化，降低了算法复杂度，获得更加简洁清晰的动力学表达式，极大的提高了动力学建模计算的效率；

2、本发明再对机器人轨迹跟踪控制时，在基于计算力矩法的基础上设计模糊自适应补偿控制器，将力矩分为具有精确动力学标称的系统和具有未知参数的不确定系统，计算力矩控制器控制采用上述建立的动力学方程来对具有精确动力学标称的系统进行力矩的求解，模糊自适应补偿控制器则对具有未知参数的不确定系统进行补偿，以保证机器人系统的轨迹跟踪精度。

本发明的其它特征和优点将在随后的说明书中阐述，并且，部分地从说明书中变得显而易见，或者通过实施本发明而了解。本发明的目的和其他优点可通过在说明书以及附图中所指出的结构来实现和获得。

附图说明

图1为本发明实施例中的闭环系统图；

图2为本发明实施例中Adams和matlab的联合仿真的仿真结果示意图。

具体实施方式

下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。此处所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

本发明提供了如图1与图2所示的实施例：

高速、高精度的轨迹跟踪是机械手广泛应用的必要条件，即使在独立使用的结构良好的环境中，针对上述问题目前已经提出了许多解决方法，计算力矩控制是一种有效的机器人运动控制策略，能够保证系统的全局渐近稳定性。然而，该方案需要高效简洁精确的机器人动力学模型。为了解决这一问题，本发明结合旋量理论和李群李代数的递推算法来建立动力学方程，并设计一种基于计算力矩法的模糊自适应补偿控制器来对机器人各个关节进行轨迹跟踪，基于Lyapunov稳定性定理，证明了所提出的控制器能够保证闭环系统的稳定性和满意的跟踪性能。

本发明的闭环系统图如图1所示，本发明中多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法包括：

1、首先推导逆动力学方程：

机器人操作臂的每个连杆的位姿都可用欧氏变换来表示，连杆i相对于连杆i-1的位姿可表示为则机器人操作臂末端相对于基坐标系的位姿用指数积公式表示为：/>式中，M_i表示机器人连杆i的坐标位置，/>表示连杆i在自身体坐标系{i}下的关节旋量，q_i表示关节旋转的角度，T_i表示连杆i相对于基坐标系{s}的位姿关系，T_i-1,i表示连杆i相对于连杆i-1的位姿关系。

由旋量理论定义连杆i在体坐标系下{i}的广义速度：

符号Ad表示李群的子集在李代数上的线性映射，由李群李代数的定义再结合伴随变换，连杆i在体坐标系下的广义速度为：

由上述广义速度可得广义加速度的李代数表达：

在体坐标{i}下，作用在连杆i上的合力为：

其中，Ad对偶的伴随算子用Ad^*表示，定义为对偶空间的线性映射，定义李代数的对偶相邻表达式为ad^*，结合李代数的伴随变换性质，可以化简得到：/>根据力的相互作用原理和李代数伴随变换的性质，连杆i+1作用在连杆i上的反作用力为：/>因此连杆i承受的力矩和力为:/>

整理可得：

总结上述推导的公式，机器人逆动力学方程的矩阵形式表示为：

2、设计基于计算力矩法的模糊自适应补偿控制器

设计计算力矩法控制，再对计算力矩法进行模糊自适应补偿。机器人系统作为强耦合和非线性动力学系统控制器会受到机器人操作载荷的质量分布、尺寸等引起的结构不确定性和外部扰动，非线性摩擦，机器人的高频模态的非结构不确定性的影响。

首先假设机器人不受结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学表示为：

对这部分进行计算力矩法控制的设计，令e＝q_d-q，q_d为期望的角度，K_d和K_p为正定矩阵，因此该控制的闭环方程表示为：

此时，计算力矩法控制律为：

考虑到机器人系统中的结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学方程表达式为：

定义M(q)＝M_o(q)-ΔM(q)，G(q)＝G_o(q)-ΔG(q)，其中结构不确定项为ΔM(q)，/>ΔG(q)，/>为未建模动态项包括摩擦项和外部扰动等，则该控制的闭环方程为：

其中，表示关节变量函数、物理参数、参数变化、未建模动态等。同时，ρ也表示为结构不确定性和非结构不确定性的总和。因此，ρ被称为机器人动力学的集中不确定函数。

定义τ＝τ_o+τ_c，τ_c为计算力矩的补偿。接下来开始对结构不确性和非结构不确定性进行自适应模糊补偿控制的设计。控制系统中补偿力矩为表示为ρ的模糊逼近估计值，/>为一个权值矩阵，/>为模糊基函数矢量，模糊隶属度函数/>采用高斯型隶属度函数，

ρ用模糊逻辑系统进行表示：

ρ＝W^*ζ+ε

其中，W^*为W的最优值，并满足：

将系统的总控制律τ＝τ_o+τ_c带入系统动力学方程中，可得系统闭环方程：

其中，表示为模糊系统的权值矩阵。

为了便于分析将系统的闭环方程转化为系统的状态空间方程形式，定义系统误差状态矢量定义系统的状态空间方程为：/> 模糊系统参数的自适应调节规律为：

其中，Γ为常值增益矩阵，P为Riccati方程A^TP+PA+P^TBB^TP+Q＝0的对称正定解。

为了证明该控制器能保证闭环系统的稳定性和满意的跟踪性能，引入李雅普诺夫方程。

对上式进行积分可得进一步化简可得/>其中/>因此x∈L₂，由x的有界性可知x∈L_∞，根据Barble引理可得根据上述定义/>可得/>因此，整个闭环系统是渐近稳定的，即轨迹跟踪误差随着时间的推移收敛到零。

如图2所示，通过Adams和matlab的联合仿真来对上述方法进行验证，以六自由机器人为例，在Adams中导入机器人，对各个关节添加约束，定义材料。在matlab中将本文建立好的动力学方程来完成计算力矩法的框架构建，在系统中以机器人各关节为研究对象，采用阶跃信号为输入信号来测试控制系统的轨迹跟踪结果。

综上所述，目前专利中在对机器人的动力学建模中，只有发明专利CN102207988A一种多自由度机械臂高效动力学建模方法是采用了旋量的方法进行动力学建模，本发明结合了旋量理论和李群李代数的数学工具对牛顿欧拉的递推方程进行简化，降低了算法复杂度，获得更加简洁清晰的动力学表达式，极大的提高了动力学建模计算的效率。

再对机器人轨迹跟踪控制时，在基于计算力矩法的基础上设计模糊自适应补偿控制器，将力矩分为具有精确动力学标称的系统和具有未知参数的不确定系统，计算力矩控制器控制采用上述建立的动力学方程来对具有精确动力学标称的系统进行力矩的求解，模糊自适应补偿控制器则对具有未知参数的不确定系统进行补偿，以保证机器人系统的轨迹跟踪精度；

作为替代方案的，在轨迹跟踪的控制中，已经提出了许多滑模控制，如快速终端滑模控制，神经网络自适应鲁棒滑模控制，具有积分滑模面的模糊滑模控制，复杂的切换模糊化自适应滑模控制等。

最后应说明的是：以上所述仅为本发明的优选实施例而已，并不用于限制本发明，尽管参照前述实施例对本发明进行了详细的说明，对于本领域的技术人员来说，其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分技术特征进行等同替换，凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、推导逆动力学方程：

机器人操作臂的每个连杆的位姿都可用欧氏变换来表示，连杆i相对于连杆i-1的位姿可表示为则机器人操作臂末端相对于基坐标系的位姿用指数积公式表示为：/>

由旋量理论定义连杆i在体坐标系下{i}的广义速度：

符号Ad表示李群的子集在李代数上的线性映射，由李群李代数的定义再结合伴随变换，连杆i在体坐标系下的广义速度为：

由上述广义速度可得广义加速度的李代数表达：

在体坐标{i}下，作用在连杆i上的合力为：

其中，Ad对偶的伴随算子用Ad^*表示，定义为对偶空间的线性映射，定义李代数的对偶相邻表达式为ad^*，结合李代数的伴随变换性质，可以化简得到：/>根据力的相互作用原理和李代数伴随变换的性质，连杆i+1作用在连杆i上的反作用力为：/>因此连杆i承受的力矩和力为：/>

整理可得：

总结上述推导的公式，机器人逆动力学方程的矩阵形式表示为：

步骤二、设计基于计算力矩法的模糊自适应补偿控制器：

首先假设机器人不受结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学表示为：

对这部分进行计算力矩法控制的设计，令e＝q_d-q，q_d为期望的角度，K_d和K_p为正定矩阵，因此该控制的闭环方程表示为：

此时，计算力矩法控制律为：

考虑到机器人系统中的结构不确定性和非结构不确定性的影响，动力学方程表达式为：

定义M(q)＝M_o(q)-ΔM(q)，G(q)＝G_o(q)-ΔG(q)，其中结构不确定项为ΔM(q)，/>ΔG(q)，/>为未建模动态项包括摩擦项和外部扰动，则该控制的闭环方程为：

定义τ＝τ_o+τ_c，τ_c为计算力矩的补偿，接下来开始对结构不确性和非结构不确定性进行自适应模糊补偿控制的设计；

控制系统中补偿力矩为 表示为ρ的模糊逼近估计值，/>为一个权值矩阵，/>为模糊基函数矢量，模糊隶属度函数/>采用高斯型隶属度函数；

ρ用模糊逻辑系统进行表示：

ρ＝W^*ζ+ε

其中，W^*为W的最优值，并满足：

将系统的总控制律τ＝τ_o+τ_c带入系统动力学方程中，可得系统闭环方程：

其中，表示为模糊系统的权值矩阵；

为了便于分析将系统的闭环方程转化为系统的状态空间方程形式，定义系统误差状态矢量定义系统的状态空间方程为：/> 模糊系统参数的自适应调节规律为：

为了证明该控制器能保证闭环系统的稳定性和满意的跟踪性能，引入李雅普诺夫方程：

对上式进行积分可得进一步化简可得/>其中/>因此x∈L₂，由x的有界性可知x∈L_∞，根据Barble引理可得根据上述定义/>可得/>因此整个闭环系统是渐近稳定的，即轨迹跟踪误差随着时间的推移收敛到零。

2.根据权利要求1所述的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于：式中，M_i表示机器人连杆i的坐标位置，/>表示连杆i在自身体坐标系{i}下的关节旋量，q_i表示关节旋转的角度，T_i表示连杆i相对于基坐标系{s}的位姿关系，T_i-1,i表示连杆i相对于连杆i-1的位姿关系。

3.根据权利要求1所述的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于：步骤二中，首先设计计算力矩法控制，再对计算力矩法进行模糊自适应补偿。

4.根据权利要求3所述的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于：机器人系统作为强耦合和非线性动力学系统控制器会受到机器人操作载荷的质量分布、尺寸等引起的结构不确定性和外部扰动，非线性摩擦，机器人的高频模态的非结构不确定性的影响。

5.根据权利要求1所述的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于：步骤二的中：

表示含义包括关节变量函数、物理参数、参数变化与未建模动态；同时ρ也表示为结构不确定性和非结构不确定性的总和，因此ρ被称为机器人动力学的集中不确定函数。

6.根据权利要求1所述的一种多自由度机器人动力学建模和轨迹跟踪方法，其特征在于：步骤二的中，Γ为常值增益矩阵，P为Riccati方程A^TP+PA+P^TBB^TP+Q＝0的对称正定解。