CN107544052B - 一种基于矩阵补全的二阶统计量重构doa估计方法 - Google Patents

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CN107544052B CN201710664949.5A CN201710664949A CN107544052B CN 107544052 B CN107544052 B CN 107544052B CN 201710664949 A CN201710664949 A CN 201710664949A CN 107544052 B CN107544052 B CN 107544052B
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Abstract

本发明属于信号处理领域，具体涉及一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法。本发明基于矩阵补全理论，提出一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法。首先，基于矩阵补全方法，引入弹性正则化因子将接收信号协方差矩阵重构为无噪声协方差矩阵；而后在二阶统计量域下通过矩阵求和平均将无噪声协方差矩阵多矢量问题转化为单矢量问题；最后利用稀疏重构加权l1范数实现DOA参数估计。本发明能显著抑制非均匀噪声影响，具有较好的DOA参数估计性能，且在低信噪比条件下，所提算法具有较高的角度估计精度和分辨力。

Description

一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法
技术领域
本发明属于信号处理领域，具体涉及一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法。
背景技术
在雷达、移动通信、无线传感器网络和射电天文学等领域，波达方向角估计(Direction of Arrival,DOA)是一类重要的问题，通常被称为定向(Direction Finding,DF)估计或DOA估计。基于信号和噪声子空间的传统DOA估计算法如多重信号分类(MultipleSignal Classification,MUSIC)算法可显著改善DOA估计精度和分辨力。以MUSIC方法为代表的子空间类算法通常假设噪声是零均值、方差为1的复高斯白噪声。然而当附加在阵列传感器上的噪声为非均匀高斯噪声时，对接收信号协方差进行特征空间分解会引起信号子空间泄漏，诸如子空间类算法的性能将会急剧下降甚至失效。为进一步提高DOA的估计精度和分辨力，基于压缩感知理论，Liang G等人利用目标信号的空域稀疏性，提出一种稀疏重构l1-SVD算法。在信源数量已知条件下，该算法将得到DOA高精度估计。然而，在非均匀高斯噪声或未知信源先验信息条件下，该算法将无法分辨两个邻近角度，因而空间分辨力较差。
近年来，随着信号处理技术的快速发展，研究人员相继提出多种非均匀高斯噪声下的DOA估计算法。Pesavento M等人提出一种非均匀高斯噪声下最大似然(MaximumLikelihood,ML)估计算法，该算法通过逐步迭代求解信号和噪声的对数似然函数以实现DOA参数估计。然而，ML算法具有的较强初始值依赖性及较大运算复杂度限制该算法的广泛应用。Liao B等人提出一种非均匀高斯噪声下基于矩阵补全的DOA参数估计算法(MatrixCompletion Based MUSIC,MC-MUSIC)。该算法基于矩阵补全思想重构出无噪声信号协方差，而后采用传统类MUSIC算法实现DOA参数估计，不仅降低了非均匀噪声的影响，也进一步避免DOA估计算法的迭代求解。然而，该算法没有考虑协方差矩阵元素之间相关性，有可能导致算法求解数值不稳定，从而使得算法稳定性较差。
发明内容
本发明所要解决的技术问题是解决传统DOA估计算法在非均匀噪声下角度估计精度差和分辨率低的问题，提出了一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法。
本发明为解决其问题所采用的的技术方案为：提出一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法(MC-WLOSRSS)。首先建立阵列接收信号模型；其次基于矩阵补全方法，引入弹性正则化因子将接收信号协方差矩阵重构为无噪声协方差矩阵；而后在二阶统计量域下通过矩阵求和平均将无噪声协方差矩阵多矢量问题转化为单矢量问题；最后利用稀疏重构加权l1范数实现DOA估计。该方法的具体步骤为：
步骤1：建立接收信号模型
假设有Q个远场窄带信号
Figure BDA0001371406900000021
入射至具有M个阵元的均匀线性阵列，则阵列接收信号模型可表示为：
Figure BDA0001371406900000022
其中，x(t)为M×1信号接收矢量，sq(t)和a(θq)＝[1e-jα…e-j(M-1)α]T分别为第q个信号源的幅度和阵列导向矢量，α＝2πsin(θq)/λ表示阵元之间的第q个信号到达此阵元时的相移，{θ1,θ2,…,θq,…θQ}为Q个窄带信号的发射角度，d为阵元间距，λ为载波信号波长，通常d≤λ2，n(t)＝[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为互不相关的0均值非均匀高斯噪声，即n(t)～CN(0,W)，W为噪声n(t)功率协方差矩阵，信号sq(t)互不相关。
为便于推导，式(1)接收信号模型可进一步改写为：
x(t)＝As(t)+n(t) (2)
其中，阵列导向流型矩阵
Figure BDA0001371406900000023
且M＞＞Q，即假设阵元数量远大于信号数量，信号波形矢量
Figure BDA0001371406900000024
在多快拍数条件下，式(2)接收信号模型可进一步表示为：
XM×L＝AM×QSQ×L+NM×L (3)
其中，X＝[x(1),x(2),…,x(L)]、S＝[s(1),s(2),…,s(L)]、N＝[n(1),n(2),…,n(L)]分别为L个快拍下的接收信号矩阵、信号幅度矩阵、非均匀高斯噪声矩阵，L表示快拍数。
基于式(3)，上述接收信号的协方差可表示为：
Figure BDA0001371406900000025
其中，R为接收信号协方差矩阵，
Figure BDA0001371406900000026
为信号功率协方差矩阵，Pq为单信号功率，R0＝APAH为不包含噪声的信号协方差矩阵，非均匀高斯噪声功率协方差矩阵
Figure BDA0001371406900000031
且
Figure BDA0001371406900000032
Figure BDA0001371406900000033
为2单非均匀高斯噪声功率，信号与噪声互不相关。
步骤2：基于矩阵补全的信号协方差重构算法
为避免在非均匀高斯噪声下，信号协方差矩阵特征空间分解会引起信号子空间泄漏，诸如子空间类算法的性能将会急剧下降甚至失效的情况，本发明引入矩阵补全重构算法以消除非均匀高斯噪声对信号协方差R的影响。
(1)矩阵补全重构算法
假设阵列信号模型中的阵元数远大于信号数(M＞＞Q)，则无噪声信号协方差的秩rank(R0)＝Q＜M，即无噪声信号协方差矩阵R0是一个低秩矩阵，且协方差矩阵R0非主对角线元素值等价于接收信号对应元素值，故可进一步通过矩阵补全理论对R0进行主对角线元素重构，以此消除非均匀高斯噪声对信号协方差R的影响。
对给定矩阵
Figure BDA0001371406900000034
其在相应的子集Ω内投影，即采样可表示为：
Figure BDA0001371406900000035
其中子集
Figure BDA0001371406900000036
表示采样元素索引集合，m,n分别为采样最大索引行数和列数，Xij,[PΩ(X)]ij分别为矩阵X和PΩ(X)第ij个索引元素，PΩ(·)为正交投影算子。
鉴于子集Ω是随机抽取的，使得采样后的信号空域数据矩阵满足矩阵低秩特性，故而可通过矩阵补全方法重构出其中的未知元素，即重构模型可表示为：
Figure BDA0001371406900000037
其中
Figure BDA0001371406900000038
为待重构变量，X为其对应的已知变量。
由于
Figure BDA0001371406900000039
秩函数具有非凸性，故将其等价松弛为凸核范数
Figure BDA00013714069000000310
则式(6)重构模型可等价转化为凸优化模型，即：
Figure BDA00013714069000000311
其中核范数
Figure BDA00013714069000000312
等价于矩阵
Figure BDA00013714069000000313
所有奇异值之和。
(2)引入弹性正则化因子
为避免利用矩阵补全重构算法对强相关性数据进行求解时出现解不稳定的情况，本发明引入弹性正则化项
Figure BDA0001371406900000041
增加矩阵补全重构算法求解稳定性，则式(7)凸优化模型进一步表示为：
Figure BDA0001371406900000042
其中，τ为
Figure BDA0001371406900000043
和
Figure BDA0001371406900000044
之间的平衡度正则化因子。
基于式(4)和式(8)，矩阵补全凸优化求解模型可改写为：
Figure BDA0001371406900000045
由无噪声协方差R0是一个半正定矩阵，可得：
τ||R0||*＝τtr(R0)＝tr(τR0) (10)
其中tr(·)表示矩阵的迹，即矩阵对角线元素之和。
又
Figure BDA0001371406900000046
则式(9)最小化项可重写为：
Figure BDA0001371406900000047
同时，式(9)约束条件PΩ(R0)＝PΩ(R)可等价表示为：
Jvec(R0-R)＝0 (12)
其中J代表一个M(M-1)×M2的选择矩阵。
(3)正则化矩阵补全重构算法
基于式(11)和式(12)，式(9)凸优化模型可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000048
式(13)凸优化模型是一个线性规划问题，约束条件Jvec(R0-R)＝0在实际工程中要求较为苛刻，故可将其等价松弛化为：
||Jvec(R0-R)||2≤ξ (14)
其中，ξ表示为与接收信号协方差R相关的一误差常数。
则式(14)凸优化模型可等价表示为：
Figure BDA0001371406900000051
为便于后续矩阵补全重构算法求解，式(15)凸优化求解问题可进一步表示为：
Figure BDA0001371406900000052
其中，t为辅助优化变量。
优化问题(16)中约束条件可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000053
根据Schur补定理及tr(XHX)＝[vec(X)]Hvec(X)可知，式(17)凸优化求解问题可转化为半定规划问题(semidefinite programming,SDP)，即：
Figure BDA0001371406900000054
上述SDP问题可运用CVX工具包实现高效求解。
步骤3：二阶统计量域下的加权l1稀疏重构算法
本发明基于矩阵补全理论(MC理论)重构无噪声协方差R0，以此消除非均匀高斯噪声影响，而后可采用传统子空间类算法实现DOA参数估计。然而，基于无噪声协方差R0的传统类DOA估计算法没有考虑到协方差矩阵R0元素之间的的相关性，在实现DOA参数估计的同时，会导致算法计算量较大、低信噪比条件下估计稳定性差和分辨率低等问题。
为进一步提高低信噪比条件下来波信号角度估计精度和分辨力，降低稀疏重构算法计算复杂度，本发明基于MC理论，提出一种二阶统计量域下的加权l1范数稀疏重构算法。
(1)协方差矩阵求和平均
无噪声协方差R0中的元素，即第i行和第j列的阵列输出互相关系数可表示为：
Figure BDA0001371406900000061
对信号协方差R0按行展开，可表示为：
Figure BDA0001371406900000062
其中，当i-j＝u-v时，互相关系数rij＝ruv，i,j,u,v∈[1,M]，即它们含有相同的系数特征，可通过二阶统计量域下的求和平均将协方差多矢量问题进一步转化为单矢量问题。
定义(2M-1)×1的向量Υ，通过对信号协方差R0求和平均，其第
Figure BDA0001371406900000066
个元素可表示为：
Figure BDA0001371406900000063
(2)接收信号单矢量稀疏表示
Υ的向量形式可表示为：
Υ＝B(θ)P (22)
其中，P＝[P1,P2,…,PQ]T，
Figure BDA0001371406900000064
为虚拟阵列流型矩阵，其第q列可表示为：
Figure BDA0001371406900000065
上述单矢量问题可转变为稀疏信号重构问题，将空间波达方向角θ分割为N(N＞＞M)个网格，即
Figure BDA0001371406900000071
则稀疏表示下的接收信号矢量可表示为：
Figure BDA0001371406900000072
其中，
Figure BDA0001371406900000073
为过完备基矩阵，
Figure BDA0001371406900000074
为K稀疏的信号功率向量。
(3)基于加权l1范数的DOA优化问题求解
上述稀疏重构问题可通过l1范数约束最优化算法进行求解，即：
Figure BDA0001371406900000075
其中，η为估计误差参数因子，||·||F和||·||1表示2范数和1范数。
由式(25)可知，l1范数约束最优化算法对目标信号大系数的约束比对小系数的约束更为严格，导致其事实上是一种有偏的估计。
基于此，本发明采用加权l1范数稀疏重构算法实现非均匀噪声下的信源DOA估计，即：
Figure BDA0001371406900000076
式(26)还可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000077
式(27)凸优化问题可通过二阶锥规划(Second-order cone programming,SOCP)重构实现DOA参数估计。
基于上述讨论，本专利提出的MC-WLOSRSS算法可表述如下：
Ⅰ)初始化：
(1).Υ＝avr(R0)，Maxiter，ε，
Figure BDA0001371406900000078
η；
(2).
Figure BDA0001371406900000079
Ⅱ)迭代：
(3).权值
Figure BDA00013714069000000710
(4).解如下优化问题
Figure BDA00013714069000000711
以更新系数；
Ⅲ)终止：
(5).重复步骤3、4直至满足如下条件
Figure BDA0001371406900000081
或者m≥Maxiter。
其中，avr代表式(21)矩阵求和平均运算；Maxiter表示算法最大迭代次数；ε为算法迭代终止参数；
Figure BDA0001371406900000082
为权值w平衡约束因子，防止算法迭代求解时权值分母趋于无穷大；η为估计误差参数因子；m为算法进行第m次迭代；
Figure BDA0001371406900000083
为算法迭代初始化值；
Figure BDA0001371406900000084
为算法进行第m次迭代获得的角度谱峰估计值。
本发明基于矩阵补全理论，引入弹性正则化因子重构无噪声信号协方差矩阵，从而避免非均匀高斯噪声的影响，且提高了MC求解的数值稳定性；此外所提算法在二阶统计量域下通过矩阵求和平均将稀疏多矢量问题转化为单矢量问题以改善低信噪比条件下DOA估计性能，一定程度上降低了算法计算复杂度，且在低信噪比条件下具有较高的角度估计精度和分辨力。
附图说明
以下结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细说明。
图1为本发明实现的流程图。
图2为在信噪比SNR＝0dB和-5dB条件下的非相干信号空域谱对比图。
图3为在邻近非相干信号空域谱对比图。
图4为在信源数变化对MUSIC、MC-WLOSRSS算法的影响。
图5为在非相干信号时DOA估计均方根误差随信噪比的变化曲线图。
图6为DOA估计均方根误差随快拍数的变化曲线图。
具体实施方式
为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合附图和具体的实施方式对本发明进行详细描述。
本发明提出一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法，该方法的具体步骤为：
步骤1：建立接收信号模型
假设有Q个远场窄带信号
Figure BDA0001371406900000085
入射至具有M个阵元的均匀线性阵列，则阵列接收信号模型可表示为：
Figure BDA0001371406900000086
其中，x(t)为M×1信号接收矢量，sq(t)和a(θq)＝[1e-jα…e-j(M-1)α]T分别为第q个信号源的幅度和阵列导向矢量，α＝2πsin(θq)/λ表示阵元之间的第q个信号到达此阵元时的相移，{θ1,θ2,…,θq,…θQ}为Q个窄带信号的发射角度，d为阵元间距，λ为载波信号波长，通常d≤λ2，n(t)＝[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为互不相关的0均值非均匀高斯噪声，即n(t)～CN(0,W)，W为噪声n(t)功率协方差矩阵，信号sq(t)互不相关。
为便于推导，式(1)接收信号模型可进一步重写为：
x(t)＝As(t)+n(t) (29)
其中，阵列导向流型矩阵
Figure BDA0001371406900000091
且M＞＞Q，即假设阵元数量远大于信号数量，信号波形矢量
Figure BDA0001371406900000092
在多快拍数条件下，式(2)接收信号模型可进一步表示为：
XM×L＝AM×QSQ×L+NM×L (30)
其中，X＝[x(1),x(2),…,x(L)]、S＝[s(1),s(2),…,s(L)]、N＝[n(1),n(2),…,n(L)]分别为L个快拍下的接收信号矩阵、信号幅度矩阵、非均匀高斯噪声矩阵，L表示快拍数。
基于式(3)，上述接收信号的协方差可表示为：
Figure BDA0001371406900000093
其中，R为接收信号协方差矩阵，
Figure BDA0001371406900000094
为信号功率协方差矩阵，Pq为单信号功率，R0＝APAH为不包含噪声的信号协方差矩阵，非均匀高斯噪声功率协方差矩阵
Figure BDA0001371406900000095
且
Figure BDA0001371406900000096
Figure BDA0001371406900000097
为单非均匀高斯噪声功率，信号与噪声互不相关。
步骤2：基于矩阵补全的信号协方差重构算法
为避免在非均匀高斯噪声下，信号协方差矩阵特征空间分解会引起信号子空间泄漏，诸如子空间类算法的性能将会急剧下降甚至失效的情况，本发明引入矩阵补全重构算法以消除非均匀高斯噪声对信号协方差R的影响。
(1)矩阵补全重构算法
假设阵列信号模型中的阵元数远大于信号数(M＞＞Q)，则无噪声信号协方差的秩rank(R0)＝Q＜M，即无噪声信号协方差矩阵R0是一个低秩矩阵，且协方差矩阵R0非主对角线元素值等价于接收信号对应元素值，故可进一步通过矩阵补全理论对R0进行主对角线元素重构，以此消除非均匀高斯噪声对信号协方差R的影响。
对给定矩阵
Figure BDA0001371406900000101
其在相应的子集Ω内投影，即采样可表示为：
Figure BDA0001371406900000102
其中子集
Figure BDA0001371406900000103
表示采样元素索引集合，m,n分别为采样最大索引行数和列数，Xij,[PΩ(X)]ij分别为矩阵X和PΩ(X)第ij个索引元素，PΩ(·)为正交投影算子。
鉴于子集Ω是随机抽取的，使得采样后的信号空域数据矩阵满足矩阵低秩特性，故而可通过矩阵补全方法重构出其中的未知元素，即重构模型可表示为：
Figure BDA0001371406900000104
其中
Figure BDA0001371406900000105
为待重构变量，X为其对应的已知变量。
由于
Figure BDA0001371406900000106
秩函数具有非凸性，故将其等价松弛为凸核范数
Figure BDA0001371406900000107
则式(6)重构模型可等价转化为凸优化模型，即：
Figure BDA0001371406900000108
其中核范数
Figure BDA0001371406900000109
等价于矩阵
Figure BDA00013714069000001010
所有奇异值之和。
(2)引入弹性正则化因子
为避免利用矩阵补全重构算法对强相关性数据进行求解时出现解不稳定的情况，本发明引入弹性正则化项
Figure BDA00013714069000001011
增加矩阵补全重构算法求解稳定性，则式(7)凸优化模型进一步表示为：
Figure BDA00013714069000001012
其中，τ为
Figure BDA00013714069000001013
和
Figure BDA00013714069000001014
之间的平衡度正则化因子。
基于式(4)和式(8)，矩阵补全凸优化求解模型可改写为：
Figure BDA0001371406900000111
由无噪声协方差R0是一个半正定矩阵，可得：
τ||R0||*＝τtr(R0)＝tr(τR0) (37)
其中tr(·)表示矩阵的迹，即矩阵对角线元素之和。
又
Figure BDA0001371406900000112
则式(9)最小化项可重写为：
Figure BDA0001371406900000113
同时，式(9)约束条件PΩ(R0)＝PΩ(R)可等价表示为：
Jvec(R0-R)＝0 (39)
其中J代表一个M(M-1)×M2的选择矩阵。
(3)正则化矩阵补全重构算法
基于式(11)和式(12)，式(9)凸优化模型可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000114
式(13)凸优化模型是一个线性规划问题，约束条件Jvec(R0-R)＝0在实际工程中要求较为苛刻，故可将其等价松弛化为：
||Jvec(R0-R)||2≤ξ (41)
其中，ξ表示为与接收信号协方差R相关的一误差常数。
则式(14)凸优化模型可等价表示为：
Figure BDA0001371406900000115
为便于后续矩阵补全重构算法求解，式(15)凸优化求解问题可进一步表示为：
Figure BDA0001371406900000121
其中，t为辅助优化变量。
优化问题(16)中约束条件可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000122
根据Schur补定理及tr(XHX)＝[vec(X)]Hvec(X)可知，式(17)凸优化求解问题可转化为半定规划问题(semidefinite programming,SDP)，即：
Figure BDA0001371406900000123
上述SDP问题可运用CVX工具包实现高效求解。
步骤3：二阶统计量域下的加权l1稀疏重构算法
本发明基于MC理论重构无噪声协方差R0，以此消除非均匀高斯噪声影响，而后可采用传统子空间类算法实现DOA参数估计。然而，基于无噪声协方差R0的传统类DOA估计算法没有考虑到协方差矩阵R0元素之间的的相关性，在实现DOA参数估计的同时，会导致算法计算量较大、低信噪比条件下估计稳定性差和分辨率低等问题。
为进一步提高低信噪比条件下来波信号角度估计精度和分辨力，降低稀疏重构算法计算复杂度，本发明基于MC理论，提出一种二阶统计量域下的加权l1范数稀疏重构算法。
(1)协方差矩阵求和平均
无噪声协方差R0中的元素，即第i行和第j列的阵列输出互相关系数可表示为：
Figure BDA0001371406900000124
对信号协方差R0按行展开，可表示为：
Figure BDA0001371406900000131
其中，当i-j＝u-v时，互相关系数rij＝ruv，i,j,u,v∈[1,M]，即它们含有相同的系数特征，可通过二阶统计量域下的求和平均将协方差多矢量问题进一步转化为单矢量问题。
定义(2M-1)×1的向量Υ，通过对信号协方差R0求和平均，其第
Figure BDA0001371406900000139
个元素可表示为：
Figure BDA0001371406900000132
(2)接收信号单矢量稀疏表示
Υ的向量形式可表示为：
Υ＝B(θ)P (49)
其中，P＝[P1,P2,…,PQ]T，
Figure BDA0001371406900000133
为虚拟阵列流型矩阵，其第q列可表示为：
Figure BDA0001371406900000134
上述单矢量问题可转变为稀疏信号重构问题，将空间波达方向角θ分割为N(N＞＞M)个网格，即
Figure BDA0001371406900000135
则稀疏表示下的接收信号矢量可表示为：
Figure BDA0001371406900000136
其中，
Figure BDA0001371406900000137
为过完备基矩阵，
Figure BDA0001371406900000138
为K稀疏的信号功率向量。
(3)基于加权l1范数的DOA优化问题求解
上述稀疏重构问题可通过l1范数约束最优化算法进行求解，即：
Figure BDA0001371406900000141
其中，η为估计误差参数因子，||·||F和||·||1表示2范数和1范数。
由式(25)可知，l1范数约束最优化算法对目标信号大系数的约束比对小系数的约束更为严格，导致其事实上是一种有偏的估计。
基于此，本发明采用加权l1范数稀疏重构算法实现非均匀噪声下的信源DOA估计，即：
Figure BDA0001371406900000142
式(26)还可进一步改写为：
Figure BDA0001371406900000143
式(27)凸优化问题可通过二阶锥规划(Second-order cone programming,SOCP)重构实现DOA参数估计。
基于上述讨论，本专利提出的MC-WLOSRSS算法可表述如下：
Ⅰ)初始化：
(1).Υ＝avr(R0)，Maxiter，ε，
Figure BDA0001371406900000144
η；
(2).
Figure BDA0001371406900000145
Ⅱ)迭代：
(3).权值
Figure BDA0001371406900000146
(4).求解如下优化问题
Figure BDA0001371406900000147
以更新系数；
Ⅲ)终止：
(5).重复步骤3、4直至满足如下条件
Figure BDA0001371406900000148
或者m≥Maxiter。
其中，avr代表式(21)矩阵求和平均运算；Maxiter表示算法最大迭代次数；ε为算法迭代终止参数；
Figure BDA0001371406900000149
为权值w平衡约束因子，防止算法迭代求解时权值分母趋于无穷大；η为估计误差参数因子；m为算法进行第m次迭代；
Figure BDA00013714069000001410
为算法迭代初始化值；
Figure BDA00013714069000001411
为算法进行第m次迭代获得的角度谱峰估计值。
本发明的效果可通过仿真进一步说明：
仿真条件：均匀线性阵列空间阵元个数M＝12，信号快拍数L＝500，非相干信号功率为
Figure BDA0001371406900000155
误差常数ξ＝5，τ＝5M，ε＝0.01，
Figure BDA0001371406900000151
网格数量N＝181。信噪比定义为
Figure BDA0001371406900000152
其中为
Figure BDA0001371406900000153
单噪声功率。均方根误差定义为：
Figure BDA0001371406900000154
其中，K为蒙特卡洛实验重复次数。
非均匀高斯噪声功率协方差定义为：
W＝diag{2.0,10,2.5,5.0,0.5,1.5,3.0,5.0} (56)
其中，diag{·}表示对角化算子。
仿真内容：
仿真1：考虑信噪比SNR＝0dB和-5dB两种情况。图2为在信噪比SNR＝0dB和-5dB条件下的非相干信号空域谱对比图。
从图2(a)可看出，传统MUSIC、WL1和l1-SVD算法在非均匀噪声条件下不能有效分辨10°和16°两个目标，而MC-MUSIC算法和本发明所提MC-WLOSRSS算法可以有效分辨10°和16°两个目标。图2(b)为三个入射角度分别为-3°、10°和16°、SNR＝-5dB的信号空域谱输出对比图。从图2(b)可看出，在低信噪比情况下，只有本发明所提MC-WLOSRSS算法可以有效分辨三个角度，MC-MUSIC等其它传统类算法均不能有效分辨10°和16°两个目标。图2表明，与MC-MUSIC等其它传统类算法相比，所提算法在非均匀高斯噪声和低信噪比条件下仍具有较好的DOA估计性能。另外，从图2还可以看出，本发明所提MC-WLOSRSS算法具有更窄的主瓣谱峰和更低的旁瓣，进一步验证本发明所提MC-WLOSRSS算法在非均匀高斯噪声和低信噪比条件下具有较高的角度估计精度和分辨力。
仿真2：考虑三个入射角度分别为-3°、10°和13°的非相干信号，信噪比SNR＝5dB。图3为在邻近非相干信号空域谱对比图。
由图3可以看出，由于非均匀高斯噪声的影响，传统MUSIC算法和WL1算法不能有效分辨10°和13°两个邻近角度，MC-MUSIC算法虽然重构出无噪声协方差，但是受限于算法角度分辨率的影响，不能对邻近角度实现有效估计。本发明所提MC-WLOSRSS算法和理想高斯白噪声下的l1-SVD(Ideal-l1-SVD)算法可以对邻近角度实现有效分辨。然而，需要注意的是，Ideal-l1-SVD算法虽然正确估计出两个邻近角度，但是相对于本发明所提MC-WLOSRSS算法而言，Ideal-l1-SVD算法在两个邻近角度之间的谱峰估计精度较差，而本发明所提MC-WLOSRSS算法在两个邻近角度之间的谱峰估计精度较高，且具有更低的旁瓣，表明本发明所提MC-WLOSRSS算法对邻近角度具有较高角度分辨力。
仿真3：考虑三个入射角度分别为-3°、10°和16°的非相干信号，信噪比SNR＝5dB，信源数K＝1，2，3时，MUSIC、MC-WLOSRSS算法的DOA估计有效性。图4为在信源数变化对MUSIC、MC-WLOSRSS算法的影响。
图4(a)为信源数变化对MUSIC算法性能影响。从4(a)可以看出，当信源数K分别为1，2时，传统MUSIC算法不能有效分辨三个角度。只有当信源数等于待估计角度数量，即K＝3时，MUSIC才能有效分辨三个角度。图4(b)为信源数变化对MC-WLOSRSS算法性能影响。从4(b)可以看出，当信源数K分别为1，2，3时，本发明所提MC-WLOSRSS算法均能有效分辨三个角度，信源数的变化对本发明所提MC-WLOSRSS算法几乎没有影响。从图4可以看出，传统子空间类DOA估计算法由于受制于信号或信号子空间数目，即信源数目的先验信息，导致子空间类算法的DOA估计性能对信源数的变化较为敏感；本发明所提MC-WLOSRSS算法利用目标空域稀疏性，采用稀疏重构对待估计信号进行稀疏逼近，而无需已知信源先验信息，进一步体现所提MC-WLOSRSS算法优越性。
仿真4：考虑两个入射角度为-3°和5°的非相干信号，快拍数L＝500，信噪比SNR＝[-8:2:12]，进行200次蒙特卡洛独立重复实验。图5为在非相干信号时DOA估计均方根误差随信噪比的变化曲线图。
从图5可以看出，传统MUSIC算法在低信噪比条件下的DOA估计RMSE相对较高。MC-MUSIC算法采用MC理论重构出无噪声协方差，以消除分均匀噪声的影响，故而MC-MUSIC算法在低信噪比条件下DOA估计RMSE低于传统MUSIC算法。在低信噪比条件下，WL1算法和l1-SVD算法有一个相对较低的RMSE。然而，从图5还可以看出，在给定仿真条件下，本发明所提MC-WLOSRSS算法估计性能明显优于WL1算法和l1-SVD算法，具有较低RMSE，特别是在低信噪比条件下，这种优势更加明显，表明所提MC-WLOSRSS算法具有较好的DOA估计性能。
仿真5：考虑两个入射角度为-3°和5°的非相干信号，信噪比SNR＝0dB，快拍数L＝[100:1200]，进行200次蒙特卡洛独立重复实验。图6为DOA估计均方根误差随快拍数的变化曲线图。
从图6可以看出，随着快拍数的增加，本发明所提MC-WLOSRSS算法及MUSIC、MC-MUSIC、WL1和l1-SVD算法的RMSE逐渐降低。然而，需要注意的是，所提MC-WLOSRSS算法RMSE均低于MUSIC、MC-MUSIC、WL1和l1-SVD算法，表明所提MC-WLOSRSS算法在非均匀高斯噪声下具有更优的DOA参数估计性能。
仿真结果表明，与传统的MUSIC、MC-MUSIC、WL1和l1-SVD算法相比，所提算法在非均匀高斯噪声和低信噪比条件下，具有较好的DOA参数估计性能。由此，本发明所提算法可以为工程应用中阵列信号处理领域的DOA估计性能研究提供坚实的理论与实现依据。
发明基于矩阵补全理论，引入弹性正则化因子重构无噪声信号协方差矩阵，从而避免非均匀高斯噪声的影响，且提高了MC求解的数值稳定性；此外所提算法在二阶统计量域下通过矩阵求和平均将稀疏多矢量问题转化为单矢量问题以改善低信噪比条件下DOA估计性能，一定程度上降低了算法计算复杂度，且在低信噪比条件下具有较高的角度估计精度和分辨力。

Claims (1)

1.一种基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法，其特征在于，该方法包括如下步骤：
步骤1：建立接收信号模型
假设有Q个远场窄带信号
Figure FDA0002525543820000011
入射至具有M个阵元的均匀线性阵列，则阵列接收信号模型可表示为：
Figure FDA0002525543820000012
其中，x(t)为M×1信号接收矢量，sq(t)和a(θq)＝[1 e-jα … e-j(M-1)α]T分别为第q个信号源的幅度和阵列导向矢量，α＝2πsin(θq)/λ表示阵元之间的第q个信号到达此阵元时的相移，{θ1,θ2,…,θq,…θQ}为Q个窄带信号的发射角度，d为阵元间距，λ为载波信号波长，通常d≤λ/2，n(t)＝[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T为互不相关的0均值非均匀高斯噪声，即n(t)～CN(0,W)，W为噪声n(t)功率协方差矩阵，信号sq(t)互不相关；
式(1)接收信号模型可进一步改写成：
x(t)＝As(t)+n(t) (2)
其中，阵列导向流型矩阵
Figure FDA0002525543820000013
且M＞＞Q，即假设阵元数量远大于信号数量，信号波形矢量
Figure FDA0002525543820000014
在多快拍数条件下，式(2)接收信号模型可进一步表示为：
XM×L＝AM×QSQ×L+NM×L (3)
其中，X＝[x(1),x(2),…,x(L)]、S＝[s(1),s(2),…,s(L)]、N＝[n(1),n(2),…,n(L)]分别为L个快拍下的接收信号矩阵、信号幅度矩阵、非均匀高斯噪声矩阵，L表示快拍数；
基于式(3)，上述接收信号的协方差可表示为：
Figure FDA0002525543820000015
其中，R为接收信号协方差矩阵，
Figure FDA0002525543820000016
为信号功率协方差矩阵，Pq为单信号功率，R0＝APAH为不包含噪声的信号协方差矩阵，非均匀高斯噪声功率协方差矩阵
Figure FDA0002525543820000017
且
Figure FDA0002525543820000021
Figure FDA0002525543820000022
为单非均匀高斯噪声功率，信号与噪声互不相关；
步骤2：基于矩阵补全的信号协方差重构算法
(1)矩阵补全重构算法
假设阵列信号模型中的阵元数远大于信号数(M＞＞Q)，则无噪声信号协方差的秩rank(R0)＝Q＜M，即无噪声信号协方差矩阵R0是一个低秩矩阵，且协方差矩阵R0非主对角线元素值等价于接收信号对应元素值，故可进一步通过矩阵补全理论对R0进行主对角线元素重构，消除非均匀高斯噪声对信号协方差R的影响；
对给定矩阵
Figure FDA0002525543820000023
其在相应的子集Ω内投影，即采样可表示为：
Figure FDA0002525543820000024
其中子集
Figure FDA0002525543820000025
表示采样元素索引集合，m,n分别为采样最大索引行数和列数，Xij,[ΡΩ(X)]ij分别为矩阵X和ΡΩ(X)第ij个索引元素，PΩ(·)为正交投影算子；
基于式(5)，矩阵补全重构模型可进一步表示为：
Figure FDA0002525543820000026
其中
Figure FDA0002525543820000027
为待重构变量，X为其对应的已知变量；
式(6)重构模型可进一步等价松弛转化为凸优化模型，即：
Figure FDA0002525543820000028
其中核范数
Figure FDA0002525543820000029
等价于矩阵
Figure FDA00025255438200000210
所有奇异值之和；
(2)引入弹性正则化因子
引入弹性正则化项
Figure FDA00025255438200000211
增加矩阵补全重构算法求解的稳定性，式(7)凸优化模型进一步表示为：
Figure FDA00025255438200000212
其中，τ为
Figure FDA0002525543820000031
和
Figure FDA0002525543820000032
之间的平衡度正则化因子；
基于式(4)和式(8)，矩阵补全凸优化求解模型可改写为：
Figure FDA0002525543820000033
由无噪声协方差R0是一个半正定矩阵，可得：
τ||R0||*＝τtr(R0)＝tr(τR0) (10)
其中tr(·)表示矩阵的迹，即矩阵对角线元素之和；
又
Figure FDA0002525543820000034
则式(9)最小化项可重写为：
Figure FDA0002525543820000035
同时，式(9)约束条件ΡΩ(R0)＝ΡΩ(R)可等价表示为：
Jvec(R0-R)＝0 (12)
其中J代表一个M(M-1)×M2的选择矩阵；
(3)正则化矩阵补全重构算法
基于式(11)和式(12)，式(9)凸优化模型可进一步改写为：
Figure FDA0002525543820000036
式(13)凸优化问题约束条件可进一步等价松弛转化为：
||Jvec(R0-R)||2≤ξ (14)
其中，ξ表示为与接收信号协方差R相关的一误差常数；
式(14)凸优化模型可等价表示为：
Figure FDA0002525543820000037
式(15)凸优化求解问题进一步表示为：
Figure FDA0002525543820000041
其中，t为辅助优化变量；
优化问题(16)中约束条件可进一步改写为：
Figure FDA0002525543820000042
根据Schur补定理及tr(XHX)＝[vec(X)]Hvec(X)，将式(17)凸优化求解问题转化为半定规划问题(semidefinite programming,SDP)，即：
Figure FDA0002525543820000043
步骤3：二阶统计量域下的加权l1稀疏重构算法
(1)协方差矩阵求和平均
无噪声协方差R0中的元素，即第i行和第j列的阵列输出互相关系数可表示为：
Figure FDA0002525543820000044
对信号协方差R0按行展开，可表示为：
Figure FDA0002525543820000045
其中，当i-j＝u-v时，互相关系数rij＝ruv，i,j,u,v∈[1,M]，即它们含有相同的系数特征，可通过二阶统计量域下的求和平均将协方差多矢量问题进一步转化为单矢量问题；
定义(2M-1)×1的向量Υ，通过对信号协方差R0求和平均，其第
Figure FDA0002525543820000051
个元素可表示为：
Figure FDA0002525543820000052
(2)接收信号单矢量稀疏表示
Υ的向量形式可表示为：
Υ＝B(θ)P (22)
其中，P＝[P1,P2,…,PQ]T，
Figure FDA0002525543820000053
为虚拟阵列流型矩阵，其第q列可表示为：
Figure FDA0002525543820000054
上述单矢量问题可转变为稀疏信号重构问题，将空间波达方向角θ分割为N(N＞＞M)个网格，即
Figure FDA0002525543820000055
则稀疏表示下的接收信号矢量可表示为：
Figure FDA0002525543820000056
其中，
Figure FDA0002525543820000057
为过完备基矩阵，
Figure FDA0002525543820000058
为K稀疏的信号功率向量；
(3)基于加权l1范数的DOA优化问题求解
上述稀疏重构问题可通过l1范数约束最优化算法进行求解，即：
Figure FDA0002525543820000059
其中，η为估计误差参数因子，||·||F和||·||1表示2范数和1范数；
为进一步提高l1范数约束最优化算法的DOA估计精度，本发明采用加权l1范数稀疏重构算法实现非均匀噪声下的信源DOA估计，即：
Figure FDA00025255438200000510
式(26)进一步改写为：
Figure FDA0002525543820000061
式(27)凸优化问题可通过二阶锥规划(Second-order Cone Programming,SOCP)重构实现DOA参数估计；
基于矩阵补全的二阶统计量重构DOA估计方法可表述如下：
(Ⅰ)初始化：
1.
Figure FDA0002525543820000062
其中Maxiter表示算法最大迭代次数，e为算法迭代终止参数，
Figure FDA0002525543820000063
为权值w平衡约束因子，h为凸优化问题误差参数；
2.
Figure FDA0002525543820000064
(Ⅱ)迭代：
3.权值
Figure FDA0002525543820000065
4.求解如下优化问题
Figure FDA0002525543820000066
以更新系数；
(Ⅲ)终止：
5.重复步骤3、4直至满足如下条件
Figure FDA0002525543820000067
或者m≥Maxiter；
其中，avr代表式(21)矩阵求和平均运算；Maxiter表示算法最大迭代次数；ε为算法迭代终止参数；
Figure FDA0002525543820000068
为权值w平衡约束因子，防止算法迭代求解时权值分母趋于无穷大；η为估计误差参数因子；m为算法进行第m次迭代；
Figure FDA0002525543820000069
为算法迭代初始化值；
Figure FDA00025255438200000610
为算法进行第m次迭代获得的角度谱峰估计值。
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