CN110113085B - 一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法及系统 - Google Patents

Abstract

本发明涉及了一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法及系统，属于信号处理技术领域。本发明计算期望信号的导向矢量与干扰信号的导向矢量的内积，根据所述内积过零点时对应角度的导向矢量计算得到采样矩阵，根据采样矩阵重构协方差矩阵得到干扰加噪声协方差矩阵；根据干扰加噪声协方差矩阵和期望信号的导向矢量计算最优权矢量。通过引入采样矩阵来辅助协方差矩阵的重构，又针对当前导向矢量估计算法依赖凸优化工具箱的问题，引入了基于采样矩阵和子空间理论的期望信号导向矢量估计的闭式求解算法，降低了计算复杂度，更易于工程实现。解决了现有波束形成方法中协方差矩阵重构和信号导向矢量估计过程复杂、计算量大的问题。

Description

一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法及系统

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，具体涉及一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法及系统。

背景技术

波束形成技术作为阵列信号处理的一个重要研究方向，广泛应用于无线通信、雷达、声呐、地震勘探和射电天文等领域。其实质是通过对阵列天线中的各阵元加权进行空域滤波，来达到增强期望信号和抑制干扰的目的，而且可以根据信号环境的变化自适应地改变各阵元的加权因子。常规Capon波束形成算法在协方差矩阵和导向矢量精确已知的情况下可以得到最优的输出信干噪比。但在实际运用中，由于波达角估计、阵列校准、远近效应、采样数目较少等误差因素的存在，导致采样协方差矩阵和导向矢量往往存在一定的误差，从而引起波束形成算法性能的严重下降，尤其在训练数据中含有期望信号时，这种现象更为明显。

申请公布号为CN106569181A的中国发明专利申请文件公开了一种基于协方差矩阵重构稳健Capon波束形成的算法。该算法基于线性收缩估计对接收数据协方差矩阵进行重构，并更新信号加干扰子空间，而后将失配导向矢量投影至所更新子空间，使其更接近期望信号导向矢量额真实值，从而求得优化接收权。

申请公布号为CN108445486A的中国发明专利申请文件公开了一种基于协方差矩阵重建和导向矢量修正的波束形成方法。首先对雷达阵列的接收信号进行采样，得到接收信号矢量，根据接收信号矢量，求得接收数据协方差矩阵与空间谱分布，然后再通过球形约束方法获得干扰导向矢量，进而重建干扰加噪声协方差矩阵。根据重建的干扰加噪声协方差矩阵修正的期望信号导向矢量，然后将重建的干扰加噪声协方差矩阵和修正的期望信号导向矢量以凸优化方法求解添加副瓣约束的MVDR模型，得到全局最优权重矢量，然后将接收信号矢量与全局最优权重矢量相乘，得到稳健低副瓣自适应波束。

现有的基于Capon谱自适应波束形成算法的信号增强技术，利用Capon谱特性，通过对不存在期望信号的角度区域内的Capon谱进行积分，得到干扰加噪声协方差矩阵的重构，该估计值有效去除了期望信号的成分，但计算量较大，不利于实际应用；其次，利用凸优化算法实现导向矢量估计，但求解过程依赖凸优化工具箱，计算过程复杂。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法，用于解决现有波束形成方法中协方差矩阵重构和信号导向矢量估计过程复杂、计算量大的问题；本发明还提供了一种基于协方差矩阵重构的波束形成系统，以解决现有波束形成中协方差矩阵重构和信号导向矢量估计过程复杂、计算量大的问题。

为解决上述技术问题，本发明的技术方案为：

本发明提供了一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法，首先计算接收信号的协方差矩阵；还包括以下步骤：

1)计算期望信号的导向矢量与干扰信号的导向矢量的内积，根据所述内积过零点时对应角度的导向矢量计算得到采样矩阵，

2)根据采样矩阵重构协方差矩阵得到干扰加噪声协方差矩阵；

3)根据干扰加噪声协方差矩阵和期望信号的导向矢量计算最优权矢量。

有益效果：

本发明提供的方法引入采样矩阵来辅助协方差矩阵的重构，而非直接对Capon空间谱进行积分，降低了算法的工程实现难度。解决了现有波束形成方法中协方差矩阵重构和信号导向矢量估计过程复杂、计算量大的问题。最后，联合两种算法实现了较低复杂度的稳健窄带自适应波束形成。

进一步的，协方差矩阵经锐化矩阵锐化，根据采样矩阵对锐化后的协方差矩阵进行重构，再将重构的结果经锐化矩阵锐化，得到干扰加噪声协方差矩阵；有利于算法的准确。

进一步的，根据谱密度函数和采样矩阵计算得到第一子空间矩阵，根据锐化矩阵和协方差矩阵计算得到第二子空间矩阵；第一子空间矩阵结合第二子空间矩阵得到期望信号的导向矢量的估计值。

进一步的，步骤1)中，采样矩阵B为：

其中，M为阵元数；θ_k为第k个接收信号与接收阵列的入射方位角，k＝1，2，…，M-1；a(θ_k)为第k个接收信号的导向矢量；a^H(θ_k)表示a(θ_k)的共轭转置；Ω为设定角度区域；

干扰加噪声协方差矩阵R_i+n为：

R_i+n＝BR_xB

其中R_x为协方差矩阵；针对当前导向矢量估计算法依赖凸优化工具箱的问题，引入了基于采样矩阵和子空间理论的期望信号导向矢量估计的闭式求解算法，降低了计算复杂度，更易于工程实现。

进一步的，根据谱密度函数c(θ)和采样矩阵构建矩阵C_sv，C_sv为：

C_sv＝c(θ)·B

第一子空间矩阵为：

V_S＝[v₁,v₂,…,v_S]

其中，s为C_sv最大特征值的个数；v_S为C_sv第s个最大特征值对应的特征向量；当前导向矢量估计算法依赖凸优化工具箱的问题，引入了基于采样矩阵和子空间理论的期望信号导向矢量估计的闭式求解算法，降低了计算复杂度，更易于工程实现。

进一步的，利用锐化矩阵T_MZ对协方差矩阵R_x进行锐化，可得：

可表示为：

其中，{λ_j,j＝1,2,…,M}是

的特征值，按降序排列，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,…,λ_Q}和Λ_n＝diag{λ_Q+1,λ_Q+2,…,λ_M}是对角矩阵，{e_j,j＝1,2,…,M}表示与λ_j对应的特征向量；

第二子空间矩阵为：

E_s＝[e₁,e₂,…,e_Q]

其中，Q为在空间中存在的远场窄带信号的个数。

进一步的，将期望信号的导向矢量的估计值和干扰加噪声协方差矩阵代入MVDR优化模型计算得到最优权矢量；针对当前导向矢量估计算法依赖凸优化工具箱的问题，引入了基于采样矩阵和子空间理论的期望信号导向矢量估计的闭式求解算法，降低了计算复杂度，更易于工程实现。

本发明还提供了一种基于协方差矩阵重构的波束形成系统，该系统包括存储器和处理器，以及存储在所述存储器上并在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器与所述存储器相耦合，所述处理器执行所述计算机程序时实现上述波束形成方法。

本发明的波束形成系统解决了现有波束形成中协方差矩阵重构和信号导向矢量估计过程复杂、计算量大的问题，同时还实现了较低复杂度的稳健窄带自适应波束形成。

附图说明

图1是本发明实施例的方法流程示意图；

图2是本发明实施例的输出信干噪比随输入信噪比变化的示意图。

具体实施方式

为使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚，下面结合附图及实施例，对本发明作进一步的详细说明。

方法实施例

本发明提供的方法的基本原理为：

计算期望信号的导向矢量与干扰信号的导向矢量的内积，根据所述内积过零点时对应角度的导向矢量计算得到采样矩阵，根据采样矩阵重构协方差矩阵得到干扰加噪声协方差矩阵；根据干扰加噪声协方差矩阵和期望信号的导向矢量计算最优权矢量。

方法具体步骤为：

1)计算接收信号的协方差矩阵

首先构建接收信号模型，在空间中存在Q个远场窄带信号s_q(t)：包含1个期望信号和Q-1个干扰信号；将信号入射到阵元数为M、阵元间距为半波长的均匀线阵上。阵列接收的感兴趣的源信号称作期望信号，一般假设为s₀(t)，其他信号均视为干扰信号。源信号入射方位角分别为θ_q，q＝0,1,…,Q-1，期望信号的入射方向一般记为θ₀。将全部阵元在t时刻的接收信号表示成矢量形式，得到阵列在t时刻的接收信号矢量x(t)，接收信号矢量x(t)＝[x₁(t),x₂(t),…,x_M(t)]^T可表示为：

x(t)＝As(t)+n(t)

其中，s(t)＝[s₀(t),s₁(t),…,s_Q-1(t)]^T为源信号矢量；

n(t)＝[n₁(t),n₂(t),…,n_M(t)]^T为噪声矢量；

A＝[a(θ₀),a(θ₁),…,a(θ_Q-1)]为阵列流型矩阵，阵列流型矩阵A中的每个列向量

a(θ_q)，q＝0,1,…,Q-1，称作第q个源信号的导向矢量，可表示为：

其中，f₀为信号的频率，τ_M，q为第M个阵元接收到第q个源信号的时长，λ为信号波长，d为阵元间距。

因此接收信号矢量x(t)可以表示为：

为便于区分接收信号中的期望信号和干扰信号成分，可表示为：

x₀(t)＝s₀(t)a(θ_s)

其中，x₀(t)为期望信号成分，x_int(t)为干扰信号成分，a(θ_s)＝a(θ₀)表示期望信号导向矢量。

则接收信号矢量x(t)还可以表示为：

x(t)＝x₀(t)+x_int(t)+n(t)

接收信号的协方差矩阵为：

R_x＝E[x(t)x^H(t)]＝AR_sA+R_n

其中，E[·]表示求取数学期望，(·)^H表示共轭转置。R_s表示源信号的协方差矩阵，R_s表示为：

其中，

表示期望信号功率，

q＝1,2,…,Q-1表示干扰信号功率。

R_n表示噪声协方差矩阵，R_n表示为：

其中，

表示噪声功率，I为单位阵。

期望信号的协方差矩阵R₀和干扰信号的协方差矩阵R_int可分别定义为：

2)构建采样矩阵

针对一个M阵元的均匀直线阵，相邻阵元间距为信号波长的一半，利用任意两个方向θ和θ_c的导向矢量的内积，可定义为：

其中，θ_c表示一个特定的参考方向，θ∈[-π/2,π/2)，θ_c∈[-π/2,π/2)。

根据接收信号模型中的导向矢量的表示形式，可将上式重写为：

那么，令

则上式可写为：

通过上面的推导可知，f(x)可以近似看作频域的M点矩形函数的逆傅里叶变换。当M足够大时，f(x)可以近似为一个归一化sinc函数，即：

当θ和θ_c非常接近时，f(x)取得较大的值，而当M越大时，f(x)越接近一个冲激。

考虑到sinc函数零点分布的性质，满足f(x)＝0的条件是：

因此，集合Z中存在M-1个这样的值，可记作x_k，k＝1,2,…,M-1。

在不进行Kronecker函数近似的情况下，定义f(θ,θ_c)的零点为θ_k，根据

θ_k可以通过下式计算得到：

于是，利用

可定义采样矩阵B：

其中，Ω表示一个特定的角度区域。

不进行Kronecker函数近似的情况指的是，当θ和θ_c非常接近时，f(x)取得较大的值，而当M越大时，f(x)越接近一个冲激。因此，这时可以将f(θ,θ_c)近似地定义为一个Kronecker函数，即：

该函数被称作导向矢量的选择特性。若将导向矢量看作观测空域中全方向变化的变量，则Capon谱可以看作标准Capon波束形成器的输出功率谱，因此利用该选择特性，可以设计不直接估计Capon谱的采样矩阵形式，进而实现干扰加噪声协方差矩阵的构造。

3)干扰加噪声协方差矩阵重构

令

为Θ在整个目标空域的补空间，Θ表示的角度区域只包含期望信号而不包含干扰信号，考虑到接收信号的协方差矩阵R_x可以利用对空间谱在整个空域范围内进行积分得到：

因此，可得到：

调整求和式以及积分式的计算顺序，可得：

通过上述推导可以看到，若当M足够大时，BR_xB将是一个Hermitian矩阵，并且可以近似为：

因此可以看到，上式正是Capon谱的采样表示形式，则利用采样矩阵B即可实现干扰加噪声协方差矩阵的重构，而无需预先估计Capon空间谱。

在实际应用中，接收信号的协方差矩阵R_x可以通过协方差矩阵的估计值

代替，则得到干扰加噪声协方差矩阵：

其中，R_i+n＝R_int+R_n表示M×M维干扰加噪声协方差矩阵。

由上述可知，导向矢量选择特性的实现在理想情况下需要较大的阵元数目，然而实际应用中受限于硬件成本等因素的影响，M常常达不到足够大的值，因此不可避免地将存在一定的重构误差。这是因为此时的采样间隙不够密集，过大的采样间隔不能保证干扰信号和噪声能量信息的准确采集。因此，为了提高算法在实际应用中的性能，协方差矩阵锐化算法，类比其对小样本条件下的协方差矩阵的处理原理，对干扰加噪声协方差矩阵的重构过程进行优化。

假设T表示锐化矩阵，锐化后的协方差矩阵可以表示为：

R_T＝R_x⊙T

其中，“⊙”表示Hadamard积。这里采用Mailloux-Zatman锐化矩阵，利用归一化sinc函数定义其第mn个元素可以得到：

其中，Δ＞0表示抖动量。

先将锐化矩阵T_MZ应用于锐化协方差矩阵的估计值

利用锐化后的结果进行干扰加噪声协方差矩阵重构，即以上述锐化后的结果替代干扰加噪声协方差矩阵

中的

然后再对重构的结果即替换后的干扰加噪声协方差矩阵

进行锐化，即可得到修正后的干扰加噪声协方差矩阵，可以表示为：

其中，B为采样矩阵。

4)计算期望信号的导向矢量的估计值

首先运用子空间交叉法，若令Ω＝Θ，Θ表示的角度区域只包含期望信号而不包含干扰信号，则构造矩阵C_sv，可以得到：

C_sv＝c(θ)·B

其中，c(θ)表示谱密度函数。

接着，对C_sv进行特征值分解，可以得到：

其中，{σ_i,i＝1,2,…,M}表示C_sv的特征值，按降序排列。

Σ＝diag{σ₁,σ₂,…,σ_M}为对角阵。

令V＝[v₁,v₂,…,v_M]，其中，{v_i,i＝1,2,…,M}表示σ_i对应的特征向量；

令S表示满足下式的最小的整数，可得：

其中，0＜ξ＜1，是预先取定的门限值。利用上式可以选出较大的S个特征值。那么，由S个C_sv的最大的特征值对应的特征向量可以构成矩阵V_S＝[v₁,v₂,…,v_S]。实际的期望信号导向矢量a(θ_s)将存在于由V_S的列向量张成的子空间中。

对协方差矩阵进行特征值分解，首先，利用锐化矩阵T_MZ对协方差矩阵的估计值

进行锐化，可得修正后的协方差矩阵

对

进行特征值分解，可得

其中，{λ_j,j＝1,2,…,M}是修正后的协方差矩阵

的特征值，按降序排列。Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,…,λ_Q}和Λ_n＝diag{λ_Q+1,λ_Q+2,…,λ_M}是对角矩阵，{e_j,j＝1,2,…,M}表示与λ_j对应的特征向量。E_s＝[e₁,e₂,…,e_Q]和E_n＝[e_Q+1,e_Q+2,…,e_M]分别表示信号加干扰子空间和噪声子空间。则实际的期望信号导向矢量a(θ_s)存在于信号加干扰子空间E_s的列向量张成的子空间中。

那么由上述推导过程，可以得到两个集合：

其中，α_V和α_E为系数向量。因此，实际的期望信号导向矢量将存在于集合C₀＝C₁∩C₂中，该交集可利用序列矢量空间映射理论获得，则期望信号的导向矢量估计值

可由下式求得：

其中，

P{·}表示取矩阵最大特征值对应的特征向量。

5)求解最优权矢量

将估计得到的干扰加噪声协方差矩阵

和期望信号的导向矢量估计值

代入如下式所示MVDR优化模型：

再利用Lagrange乘子法可以实现对上式表示的MVDR优化模型的求解，得到最优权矢量为：

将接收信号矢量x(t)与最优权矢量w相乘，得到自适应波束。

上述方法可通过下述仿真实验来验证所提算法的有效性。

根据上述最优权矢量，假设阵列均匀直线阵，阵元数为8，三个窄带信号s₀、s₁、s₂分别从-45°、20°、55°方向入射到该阵列。其中s₀是期望信号。s₁和s₂是干扰信号，干噪比均为20dB。期望信号指向误差服从[-4°,4°]范围内的均匀分布，该误差在每次仿真实验中随机选取。采样率为2f_max，快拍数为60。蒙特卡洛次数为200。

图2给出上述方法的输出信干噪比随输入信噪比的变化情况，可以看出随着输入信噪比的增加，输出信干噪比呈线性增长，说明了上述方法在降低计算复杂度后仍可保持较优的性能。

上述实施例中，协方差矩阵的估计值

指的是，在实际环境下，难以获得理想的接收信号协方差矩阵R_x，因此常利用时间平均进行近似，即求取N个快拍数据的采样协方差矩阵，第n个阵列接收信号的采样快拍可表示为：

x(n)＝As(n)+n(n),n＝1,2,…,N

协方差矩阵的估计值的计算式为：

其中，N为采样快拍个数。在方法实施的过程中，上述协方差矩阵的估计值

和信号协方差矩阵R_x可以不做具体区分。

系统实施例

本实施例的基于协方差矩阵重构的波束形成系统包括存储器和处理器，以及存储在存储器上并在处理器上运行的计算机程序，处理器与存储器相耦合，处理器执行计算机程序时实现方法实施例中的波束形成方法。具体的实现过程已在方法实施例中进行详细说明，这里不再赘述。

Claims (8)

1.一种基于协方差矩阵重构的波束形成方法，首先计算接收信号的协方差矩阵；其特征在于，还包括以下步骤：

1)计算期望信号的导向矢量与干扰信号的导向矢量的内积，根据所述内积过零点时对应角度的导向矢量计算得到采样矩阵，

2)根据采样矩阵重构协方差矩阵得到干扰加噪声协方差矩阵；

3)根据干扰加噪声协方差矩阵和期望信号的导向矢量计算最优权矢量；

步骤1)中，采样矩阵B为：

其中，M为阵元数；θ_k为第k个接收信号与接收阵列的入射方位角，k＝1，2，…，M-1；a(θ_k)为第k个接收信号的导向矢量；a^H(θ_k)表示a(θ_k)的共轭转置；Ω为设定角度区域。

2.根据权利要求1所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，协方差矩阵经锐化矩阵锐化，根据采样矩阵对锐化后的协方差矩阵进行重构，再将重构的结果经锐化矩阵锐化，得到干扰加噪声协方差矩阵。

3.根据权利要求2所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，根据谱密度函数和采样矩阵计算得到第一子空间矩阵，根据锐化矩阵和协方差矩阵计算得到第二子空间矩阵；第一子空间矩阵结合第二子空间矩阵得到期望信号的导向矢量的估计值。

4.根据权利要求1-3任一项所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，步骤1)中，

干扰加噪声协方差矩阵R_i+n为：

R_i+n＝BR_xB

其中R_x为协方差矩阵。

5.根据权利要求4所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，根据谱密度函数c(θ)和采样矩阵构建矩阵C_sv，C_sv为：

C_sv＝c(θ)·B

第一子空间矩阵为：

V_S＝[v₁,v₂,…,v_S]

其中，s为C_sv最大特征值的个数；v_S为C_sv第s个最大特征值对应的特征向量。

6.根据权利要求5所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，利用锐化矩阵T_MZ对协方差矩阵R_x进行锐化，可得：

可表示为：

其中，{λ_j,j＝1,2,…,M}是

的特征值，按降序排列，Λ_s＝diag{λ₁,λ₂,…,λ_Q}和Λ_n＝diag{λ_Q+1,λ_Q+2,…,λ_M}是对角矩阵，{e_j,j＝1,2,…,M}表示与λ_j对应的特征向量；

第二子空间矩阵为：

E_s＝[e₁,e₂,…,e_Q]

其中，Q为在空间中存在的远场窄带信号的个数。

7.根据权利要求5或6所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法，其特征在于，将期望信号的导向矢量的估计值和干扰加噪声协方差矩阵代入MVDR优化模型计算得到最优权矢量。

8.一种基于协方差矩阵重构的波束形成系统，其特征在于，该系统包括存储器和处理器，以及存储在所述存储器上并在所述处理器上运行的计算机程序，所述处理器与所述存储器相耦合，所述处理器执行所述计算机程序时实现权利要求1-7中任一项所述的基于协方差矩阵重构的波束形成方法。

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