CN110045321B - 基于稀疏和低秩恢复的稳健doa估计方法 - Google Patents

基于稀疏和低秩恢复的稳健doa估计方法 Download PDF

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Abstract

本发明属于信号处理领域，具体为一种基于稀疏和低秩恢复的稳健DOA估计方法。本发明的技术方案是：首先，基于低秩矩阵分解方法，将接收信号协方差矩阵建模为低秩无噪协方差及稀疏噪声协方差矩阵之和；而后基于低秩恢复理论，构造关于信号和噪声协方差矩阵的凸优化问题；然后构建关于采样协方差矩阵估计误差的凸模型，并将此凸集显式包含进凸优化问题；最后基于所得协方差矩阵，利用MVDR方法实现DOA估计。此外，基于采样协方差矩阵估计误差服从渐进正态分布的统计特性，本发明推导了一种误差参数因子选取准则以重构协方差矩阵。数值仿真表明，在有限次采样条件下与传统CBF，MVDR算法相比所提算法DOA估计精度较高，性能稳健。

Description

基于稀疏和低秩恢复的稳健DOA估计方法
技术领域
本发明属于信号处理领域，更进一步涉及一种基于稀疏和低秩恢复的稳健DOA估计方法。
背景技术
在波达方向角(direction of arrival,DOA)估计是阵列信号处理领域的研究热点之一，在雷达、声纳、导航、无线通信、语音处理和射电天文学等领域具有较为广泛的应用。噪声和干扰条件下，众多有效的DOA估计方法相继被提出以改善角度估计性能。常规波束形成(conventional beamforming,CBF)算法在较高信噪比(signal to noise ratio,SNR)条件下可较为精确地估计出目标DOA，然而，SNR较低条件下，其估计性能将显著下降。针对此问题，李等人提出一种最小方差无畸变响应(minimum variance distortionlessresponse,MVDR)算法，其在CBF基础上确保设定目标方向增益最大，同时尽可能减小其他方向增益。信源数已知条件下，MVDR可获得较为准确的DOA估计，然而其估计性能易受相关信号等影响。基于此，GU Yujie等人在IEEE Transactions on Signal Processing 2012年第7期60卷中提出一种基于干扰加噪声协方差矩阵(interference-plus-noise covariancematrix,INCM)和导向矢量重构的RAB(robust adaptive beamforming)算法，其采用MVDR功率谱积分以重构不含期望信号的INCM，并基于所得INCM估计目标期望信号导向矢量，而后联合二者进行波束形成以获得较好DOA估计性能，然而积分操作导致其运算量较大，从而限制该算法的实际应用。因此，如何提高噪声和干扰场景下传统DOA估计算法性能并降低算法计算量是当前阵列信号处理领域的研究热点之一。
近年来，随着稀疏重构算法研究的不断深入，基于信号空域稀疏特性的DOA估计方法相继被提出，GU Yujie等人在Signal Processing 2014年第5期96卷中提出一种基于INCM的稀疏重构RAB算法，其利用来波信号方向稀疏性估计干扰导向矢量及其对应功率以重构INCM从而避免具有较高计算复杂度的积分运算，进而提升DOA估计性能并显著降低算法复杂度。然而，该算法需要阵列结构先验信息确知，因而易受阵列误差(比如阵元位置、通道误差)影响，从而限制了该算法的应用。针对此问题，HUANG Lei等人在IEEETransactions on Signal Processing 2015年第7期63卷中提出一种改进的INCM重构算法，通过构造关于导向矢量的凸不确定性集以降低阵列校准误差。韦等人提出一种基于加权l1范数稀疏重构DOA估计算法，其利用信号稀疏性且基于改进Capon算法的倒谱函数来设计权值并构造加权l1范数凸优化问题以实现未知信源数目先验信息下DOA的有效估计。CHEN Yong等人在2017年IEEE 9th International Conference on.IEEE,Guangzhou,China中提出一种采样协方差矩阵确知条件下基于稀疏低秩分解的增强拉格朗日乘子(sparse and low-rank decomposition based augmented Lagrange multiplier,SLD-ALM)DOA估计方法，其利用信号协方差矩阵的稀疏及低秩特性构造关于DOA的凸优化问题，而后采用ALM算法求解该优化问题以获得有限次采样快拍下DOA的有效估计。需要注意的是，上述优化问题皆基于有限次采样快拍场景下实现。然而，众所周知，由于采样次数的有限性，采样协方差矩阵不可能确知，即实际应用中采样协方差矩阵估计存在误差。因而，基于估计得到的采样协方差矩阵的DOA估计性能将对采样协方差矩阵估计误差比较敏感，进而限制了此算法的工程应用。
发明内容
针对上述问题，基于低秩恢复理论，本发明提出一种采样协方差矩阵存在误差条件下基于噪声协方差矩阵稀疏及信号协方差矩阵低秩特性重构无噪声协方差矩阵的稳健MVDR波达方向角估计方法(sparse and low-rank decomposition based robust MVDR,SLRD-RMVDR)。
针对有限次采样导致传统波达方向角(DOA)估计算法存在较大估计误差的问题，本发明提出一种基于低秩恢复的稳健DOA估计方法。首先，基于低秩矩阵分解方法，将接收信号协方差矩阵建模为低秩无噪协方差及稀疏噪声协方差矩阵之和；而后基于低秩恢复理论，构造关于信号和噪声协方差矩阵的凸优化问题；再者构建关于采样协方差矩阵估计误差的凸模型，并将此凸集显式包含进凸优化问题以改善信号协方差矩阵估计性能进而提高DOA估计精度及稳健性；最后基于所得最优无噪声协方差矩阵，利用MVDR方法实现DOA估计。此外，基于采样协方差矩阵估计误差服从渐进正态分布的统计特性，本发明推导了一种误差参数因子选取准则以较好重构无噪声协方差矩阵。实现本发明的基本思路是，首先建立阵列接收信号模型；其次基于低秩恢复理论，构造关于信号和噪声协方差矩阵的凸优化问题；然后，构造关于采样协方差矩阵估计误差的凸模型，并将此误差模型显式地包含进凸优化问题；最后基于所得最优无噪声协方差矩阵，并利用MVDR方法实现DOA估计。具体步骤如下：
1.建立接收信号模型
假设Q个远场窄带信号
Figure BDA0002025679910000021
入射至阵元数为M的均匀线性阵列，则t时刻接收信号模型可表示为
Figure BDA0002025679910000031
其中，x(t)为接收信号矢量，xs(t)，xi(t)分别为t时刻包含在接收信号数据中的期望信号分量和干扰信号分量，
Figure BDA0002025679910000032
和
Figure BDA0002025679910000033
分别表示期望信号及第q个干扰信号的导向矢量，d和λ分别为阵元间距及载波波长，通常d≤λ/2，{θ0 θ1 … θQ-1}为Q个信源DOA，sq(t)为第q个信号源的信号幅度，n(t)＝[n1(t) n2(t)… nM(t)]T为互不相关高斯白噪声。
为便于推导，式(1)接收信号模型可进一步改写为
x(t)＝As(t)+n(t)        (2)
其中，
Figure BDA0002025679910000034
为阵列导向矢量矩阵，
Figure BDA0002025679910000035
为信号波形矢量。
假设信号和噪声互不相关，且信源之间相互独立，则接收信号协方差可表示为
Figure BDA0002025679910000036
其中，Rs表示信号和干扰协方差矩阵之和，Rn则为噪声协方差矩阵，可分别表示如下
Figure BDA0002025679910000037
Figure BDA0002025679910000038
其中，
Figure BDA0002025679910000039
表示第q个期望信号和干扰功率，
Figure BDA00020256799100000310
为噪声功率。
2.传统波束形成方法
设阵列接收权值矢量w＝[w1 w2 … wM]T，则阵列t时刻输出y(t)可表示为
y(t)＝wHx(t)         (6)
基于式(1)，式(6)可进一步表示为
Figure BDA0002025679910000041
其中，wHxs(t),wHxi(t),wHn(t)分别对应输出的期望信号，干扰和噪声分量。
基于MVDR准则，权值矢量w需保证期望信号无失真通过，即wHa(θ)＝1，且使得输出干扰加噪声功率最小，即最小化如下期望功率
Figure BDA0002025679910000042
基于以上所述，可得如下优化问题
Figure BDA0002025679910000043
其中，Ri+n为干扰加噪声协方差矩阵。
基于拉格朗日乘子法求解上述优化问题，可得最优权值矢量如下
Figure BDA0002025679910000044
然而，实际应用中Ri+n一般是未知的，通常利用采样协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000045
代替Ri+n，即
Figure BDA0002025679910000046
其中，L次快拍条件下采样协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000047
可表示为
Figure BDA0002025679910000048
基于式(12)，MVDR功率谱可表示为
Figure BDA0002025679910000049
由式(13)可知，采样协方差矩阵
Figure BDA00020256799100000410
包含信号、干扰和噪声协方差分量。在低信噪比条件下，采样协方差矩阵
Figure BDA00020256799100000411
中信号分量Rs较小，其求逆后将对
Figure BDA00020256799100000412
造成较大扰动，从而导致DOA估计性能严重下降。此外，实际应用中采样快拍次数通常有限，随着快拍数减小，协方差矩阵估计会出现较大误差，进而严重影响DOA估计精度。
需要注意的是，通常情况下阵元数远大于需要估计的信源数(M＞＞Q)，则可得rank(Rs)＝Q＜M，说明无噪声信号协方差矩阵Rs具有低秩特性。此外，在高斯白噪声条件下，噪声协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000051
可知其为满秩矩阵，即rank(Rn)＝M，且其除对角线元素非零外，其余元素均为零，即具有稀疏特性。基于无噪声信号协方差矩阵的上述特性，本发明利用低秩恢复理论，基于采样协方差矩阵的低秩及稀疏特性构建考虑采样协方差矩阵估计误差的稳健稀疏恢复问题以重构无噪声协方差矩阵，进而改善有限次快拍场景下的DOA估计性能。
3.基于低秩恢复理论重构无噪声协方差矩阵
(1)低秩恢复重构算法
基于上述讨论，可将样本协方差矩阵R建模为低秩无噪声协方差矩阵Rs及稀疏噪声协方差矩阵Rn之和，而后基于低秩恢复理论重构无噪声协方差矩阵。需要注意的是，通常基于秩函数表述低秩优化问题，基于l0范数表述稀疏优化问题，由此可得如下关于低秩矩阵Rs及稀疏矩阵Rn的优化问题
Figure BDA0002025679910000052
其中，rank(·)为秩函数，||·||0表示l0范数，β为权衡秩函数和稀疏度的正则化因子，D+为半正定对角矩阵集合，A为矩阵变换投影算子，定义如下
Figure BDA0002025679910000053
由于秩函数rank(·)和l0范数为NP问题，上述优化问题难以求解，为求解此问题，通常将秩函数松弛为核范数，将l0范数松弛为l1范数，则优化问题(14)可等价为
Figure BDA0002025679910000054
其中，||·||*为核范数，||·||1为l1范数。
基于式(15)，上述问题可进一步等价为
Figure BDA0002025679910000061
(2)引入采样协方差矩阵估计误差模型
如前所述，接收信号协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000062
可由式(12)得到。然而，由于实际应用中采样次数有限，因而存在估计误差，即
Figure BDA0002025679910000063
针对此问题，构建如下凸误差模型
Figure BDA0002025679910000064
其中，||·||F为矩阵Frobenius范数，ε为误差参数因子。
基于上述误差凸集，问题(17)可重新表示为
Figure BDA0002025679910000065
由于Rs为半正定矩阵，基于矩阵理论，可得||Rs||*＝tr(Rs)，其中tr(·)为矩阵迹。因此，式(19)可进一步表示为
Figure BDA0002025679910000066
由上式可知，求解上述优化问题需要误差上界ε确知。然而，此值在实际中难以确知，通常基于经验确定。基于此，本发明基于协方差估计误差服从渐进正态分布的统计特性，推导误差上界的确定方法。由OTTERSTEN B等人分析可知，矢量化协方差矩阵误差
Figure BDA00020256799100000610
服从渐进正态(Asymptotically Normal,AsN)分布，即
Figure BDA0002025679910000067
其中，vec(·)表示矩阵矢量化算子，AsN(μ,∑)表示均值为μ，方差为∑的渐进正态分布，
Figure BDA0002025679910000068
Figure BDA0002025679910000069
为Kronecker积。
经过简单矩阵运算，式(21)可重新表示为
Figure BDA0002025679910000071
基于正态分布性质，可得
Figure BDA0002025679910000072
其中，Asχ2(M2)表示自由度为M2的渐进卡方分布，M为阵列阵元数。
基于上式，问题(20)可改写成
Figure BDA0002025679910000073
其中，η为误差参数因子，可由下式求得
Pr{χ2(M2)≤η}＝p，η＝χp 2(M2)      (25)
其中，Pr{·}表示概率分布，χ2(·)表示卡方分布。由上式可知，η可通过自由度为M2的χ2(·)分布函数确定，p为概率值，一般在仿真实验中p值设置为0.999。
(3)最优无噪声协方差矩阵求解
实际应用中，接收信号协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000074
可由式(12)求得，相应地
Figure BDA0002025679910000075
因此，式(24)优化问题可等价为
Figure BDA0002025679910000076
整理得
Figure BDA0002025679910000077
上述凸优化问题式(27)可通过Matlab凸优化工具包CVX实现高效求解。
4.基于MVDR的DOA估计
基于上述优化问题所得无噪声协方差矩阵估计Rs，MVDR空间信号功率谱可表示为
Figure BDA0002025679910000081
其中，δ为对角加载因子，可保证功率谱P(θ)求解问题中的矩阵Rs+δI可逆。
综上所述，本发明所提SLRD-RMVDR算法可表述如下：
(1)求解
Figure BDA0002025679910000082
(2)求解式(23)(25)以获得误差参数η；
(3)求解式(27)以得到最优无噪声协方差矩阵Rs；
(4)求解式(28)以得到信号功率谱P(θ)，搜索其谱峰所在位置实现DOA估计。
本发明与现有技术相比，在信号处理步骤上的优势在于：基于低秩恢复理论，利用采样协方差矩阵稀疏及低秩特性构造关于信号和噪声协方差矩阵的凸优化问题；然后，构造关于采样协方差矩阵估计误差的凸模型，并基于采样协方差矩阵估计误差服从渐进正态分布的统计特性推导估计误差上界，而后将此凸集显式包含进上述凸问题以改善信号协方差矩阵估计性能；而且从处理结果来看，数值仿真表明，与传统CBF，MVDR及SLD-ALM算法相比，有限次采样条件下所提算法具有较高DOA估计精度及较好稳健性能，明显在有限次采样快拍条件下提高DOA估计精度及稳健性。
附图说明
图1为本发明实现的流程图；
图2为有限次快拍条件下邻近非相干信号空域谱图；
图3为非相干信号空域谱图；
图4为均方根误差随SNR或者快拍数变化图以验证所提算法估计精度；
图5为平均输出均方根误差随SNR或者快拍数变化图以验证所提算法稳健性。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分优选实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
1.建立接收信号模型
假设Q个远场窄带信号
Figure BDA0002025679910000091
入射至阵元数为M的均匀线性阵列，则t时刻接收信号模型可表示为
Figure BDA0002025679910000092
其中，x(t)为接收信号矢量，xs(t)，xi(t)分别为t时刻包含在接收信号数据中的期望信号分量和干扰信号分量，
Figure BDA0002025679910000093
和
Figure BDA0002025679910000094
分别表示期望信号及第q个干扰信号的导向矢量，d和λ分别为阵元间距及载波波长，通常d≤λ/2，{θ0 θ1 … θQ-1}为Q个信源DOA，sq(t)为第q个信号源的信号幅度，n(t)＝[n1(t) n2(t) … nM(t)]T为互不相关高斯白噪声。
为便于推导，式(29)接收信号模型可进一步改写为
x(t)＝As(t)+n(t)         (30)
其中，
Figure BDA0002025679910000095
为阵列导向矢量矩阵，
Figure BDA0002025679910000096
为信号波形矢量。
假设信号和噪声互不相关，且信源之间相互独立，则接收信号协方差可表示为
Figure BDA0002025679910000097
其中，Rs表示信号和干扰协方差矩阵之和，Rn则为噪声协方差矩阵，可分别表示如下
Figure BDA0002025679910000098
Figure BDA0002025679910000099
其中，
Figure BDA00020256799100000910
表示第q个期望信号和干扰功率，
Figure BDA00020256799100000911
为噪声功率。
2.传统波束形成方法
设阵列接收权值矢量w＝[w1 w2 … wM]T，则阵列t时刻输出y(t)可表示为
y(t)＝wHx(t)         (34)
基于式(29)，式(34)可进一步表示为
Figure BDA0002025679910000101
其中，wHxs(t),wHxi(t),wHn(t)分别对应输出的期望信号，干扰和噪声分量。
基于MVDR准则，权值矢量w需保证期望信号无失真通过，即wHa(θ)＝1，且使得输出干扰加噪声功率最小，即最小化如下期望功率
Figure BDA0002025679910000102
基于以上所述，可得如下优化问题
Figure BDA0002025679910000103
其中，Ri+n为干扰加噪声协方差矩阵。
基于拉格朗日乘子法求解上述优化问题，可得最优权值矢量如下
Figure BDA0002025679910000104
然而，实际应用中Ri+n一般是未知的，通常利用采样协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000105
代替Ri+n，即
Figure BDA0002025679910000106
其中，L次快拍条件下采样协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000107
可表示为
Figure BDA0002025679910000108
基于式(40)，MVDR功率谱可表示为
Figure BDA0002025679910000109
由式(41)可知，采样协方差矩阵
Figure BDA00020256799100001012
包含信号、干扰和噪声协方差分量。在低信噪比条件下，采样协方差矩阵
Figure BDA00020256799100001010
中信号分量Rs较小，其求逆后将对
Figure BDA00020256799100001011
造成较大扰动，从而导致DOA估计性能严重下降。此外，实际应用中采样快拍次数通常有限，随着快拍数减小，协方差矩阵估计会出现较大误差，进而严重影响DOA估计精度。
需要注意的是，通常情况下阵元数远大于需要估计的信源数(M＞＞Q)，则可得rank(Rs)＝Q＜M，说明无噪声信号协方差矩阵Rs具有低秩特性。此外，在高斯白噪声条件下，噪声协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000111
可知其为满秩矩阵，即rank(Rn)＝M，且其除对角线元素非零外，其余元素均为零，即具有稀疏特性。基于无噪声信号协方差矩阵的上述特性，本发明利用低秩恢复理论，基于采样协方差矩阵的低秩及稀疏特性构建考虑采样协方差矩阵估计误差的稳健稀疏恢复问题以重构无噪声协方差矩阵，进而改善有限次快拍场景下的DOA估计性能。
3.基于低秩恢复理论重构无噪声协方差矩阵
(1)低秩恢复重构算法
基于上述讨论，可将样本协方差矩阵R建模为低秩无噪声协方差矩阵Rs及稀疏噪声协方差矩阵Rn之和，而后基于低秩恢复理论重构无噪声协方差矩阵。需要注意的是，通常基于秩函数表述低秩优化问题，基于l0范数表述稀疏优化问题。由此可得如下关于低秩矩阵Rs及稀疏矩阵Rn的优化问题
Figure BDA0002025679910000112
其中，rank(·)为秩函数，||·||0表示l0范数，β为权衡秩函数和稀疏度的正则化因子，D+为半正定对角矩阵集合，A为矩阵变换投影算子，定义如下
Figure BDA0002025679910000113
由于秩函数rank(·)和l0范数为NP问题，上述优化问题难以求解，为求解此问题，通常将秩函数松弛为核范数，将l0范数松弛为l1范数，则优化问题(42)可等价为
Figure BDA0002025679910000114
其中，||·||*为核范数，||·||1为l1范数。
基于式(43)，上述问题可进一步等价为
Figure BDA0002025679910000121
(2)引入采样协方差矩阵估计误差模型
如前所述，接收信号协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000122
可由式(40)得到，然而由于实际应用中采样次数有限，因而存在估计误差，即
Figure BDA0002025679910000123
针对此问题，本发明构建如下凸误差模型
Figure BDA0002025679910000124
其中，||·||F为矩阵Frobenius范数，ε为误差参数因子。
基于上述误差凸集，问题(45)可重新表示为
Figure BDA0002025679910000125
由于Rs为半正定矩阵，基于矩阵理论，可得||Rs||*＝tr(Rs)，其中tr(·)为矩阵迹。因此，式(47)可进一步表示为
Figure BDA0002025679910000126
由上式可知，求解上述优化问题需要误差上界ε确知。然而，此值在实际中难以确知，通常基于经验确定。基于此，本发明基于协方差估计误差服从渐进正态分布的统计特性，推导误差上界的确定方法。由OTTERSTEN B等人分析可知，矢量化协方差矩阵误差
Figure BDA00020256799100001210
服从渐进正态(Asymptotically Normal,AsN)分布，即
Figure BDA0002025679910000127
其中，vec(·)表示矩阵矢量化算子，AsN(μ,∑)表示均值为μ，方差为∑的渐进正态分布，
Figure BDA0002025679910000128
Figure BDA0002025679910000129
为Kronecker积。
经过简单矩阵运算，式(49)可重新表示为
Figure BDA0002025679910000131
基于正态分布性质，可得
Figure BDA0002025679910000132
其中，Asχ2(M2)表示自由度为M2的渐进卡方分布，M为阵列阵元数。
基于上式，问题(48)可改写成
Figure BDA0002025679910000133
其中，η为误差参数因子，可由下式求得
Pr{χ2(M2)≤η}＝p，η＝χp 2(M2)        (53)
其中，Pr{·}表示概率分布，χ2(·)表示卡方分布。由上式可知，η可通过自由度为M2的χ2(·)分布函数确定，p为概率值，一般在仿真实验中p值设置为0.999。
(3)最优无噪声协方差矩阵求解
实际应用中，接收信号协方差矩阵
Figure BDA0002025679910000134
可由式(40)求得，相应地
Figure BDA0002025679910000135
因此，式(52)优化问题可等价为
Figure BDA0002025679910000136
整理得
Figure BDA0002025679910000137
上述凸优化问题式(55)可通过Matlab凸优化工具包CVX实现高效求解。
4.基于MVDR的DOA估计
基于上述优化问题所得无噪声协方差矩阵估计Rs，MVDR空间信号功率谱可表示为
Figure BDA0002025679910000141
其中，δ为对角加载因子，可保证功率谱P(θ)求解问题中的矩阵Rs+δI可逆。
综上所述，本实施例所提SLRD-RMVDR算法可表述如下：
(1)求解
Figure BDA0002025679910000142
(2)求解式(51)(53)以获得误差参数η；
(3)求解式(55)以得到最优无噪声协方差矩阵Rs；
(4)求解式(56)以得到信号功率谱P(θ)，搜索其谱峰所在位置实现DOA估计。
本发明的效果可通过以下仿真试验进一步说明：
仿真条件：阵元数M＝12，采样快拍数L＝400，阵元间距d＝λ/2。正则化参数β对估计性能有较大影响，若β值过大，可能导致较大DOA估计误差；若β值过小，可能出现伪峰，根据实验及经验，设置
Figure BDA0002025679910000143
对角加载因子δ通过仿真实验可确定其最优值，本文取δ＝10-8。其中，DOA估计精度的衡量标准可采用均方根误差(Root-Mean-Square Error,RMSE)，定义为
Figure BDA0002025679910000144
其中，K为蒙特卡洛试验次数，N表示目标个数，
Figure BDA0002025679910000145
为第k次有效实验对第i个目标的估计角度，θi为第i个目标的真实角度。
仿真内容：
仿真1：有限次快拍条件下邻近非相干信号的空域谱图。考虑两个入射角度分别为15°、20°的非相干信号和一个入射角度为26°的干扰信号，SNR＝0dB，INR＝0dB，快拍数L＝400，如图2所示，体现CBF，MVDR，SLD-ALM和所提SLRD-RMVDR算法的空域谱估计输出对比。由图2可知，有限次采样快拍数条件下，传统CBF算法仅呈现一个谱峰，无法正确分辨位于15°和20°的两个邻近信号及位于26°的干扰信号，MVDR算法未能有效估计两个目标信号角度和一个干扰信号，SLD-ALM算法虽可正确辨识位于26°的干扰信号，但其不能有效分辨位于15°和20°的两个邻近信号角度，而所提SLRD-RMVDR算法因在信号协方差矩阵估计问题中考虑接收数据协方差估计误差以消除有限次采样条件下协方差矩阵估计误差带来的不利影响，从而增强DOA估计精度，所以可有效分辨两相邻信号及干扰角度。
仿真2：非相干信号空域谱图。考虑两个入射角度分别为10°和20°的非相干信号，SNR＝5dB，快拍数L＝400，如图3所示的四种算法空域谱估计输出对比图。由图3可知，给定仿真条件下，CBF，MVDR，SLD-ALM和SLRD-RMVDR算法均能有效分辨位于10°和20°的两个目标信号角度。然而需要注意的是，传统CBF算法虽可正确估计出两目标信号角度，但相比MVDR，SLD-ALM和SLRD-RMVDR算法，其所得两目标信号角度的估计精度较差。此外，由图3还能看出，与MVDR和SLD-ALM算法相比，SLRD-RMVDR算法具有较窄主瓣及较低旁瓣，从而表明所提SLRD-RMVDR算法具有较高的DOA估计精度。
仿真3：RMSE随SNR或者快拍数变化图。考虑两个入射角度分别为20°和26°的非相干信号，进行200次蒙特卡洛独立重复实验，分析在不同信噪比和快拍数条件下，CBF，MVDR，SLD-ALM和所提SLRD-RMVDR算法DOA估计值的RMSE曲线对比图。图4(a)为四种算法DOA估计的RMSE随SNR变化对比图，采样快拍数设置为L＝400，SNR＝[-4:2:10]。由图4(a)可知，在低信噪比条件下，传统CBF和MVDR算法DOA估计的RMSE相对较高，SLD-ALM和所提SLRD-RMVDR算法的RMSE较低，且所提SLRD-RMVDR算法估计性能明显优于SLD-ALM。此外，随着SNR增加，四种算法DOA估计的RMSE均逐渐降低；图4(b)为四种算法DOA估计的RMSE随快拍数变化对比图，背景参数：SNR＝0dB，快拍数L＝[100:1100]。由图4(b)可知，随着快拍数增加，上述四种算法DOA估计的RMSE均逐渐降低。此外需要注意的是，任何快拍数条件下，本实施例所提算法的RMSE均低于三种对比算法，表明有限快拍数条件下所提算法具有较高的DOA估计精度。
仿真4：平均输出RMSE随SNR或者快拍数变化。为验证所提算法稳健性，在实验3基础上进行20次独立重复实验，分析所提SLRD-RMVDR算法和SLD-ALM算法平均输出RMSE随SNR或者快拍数的变化曲线。由图5可知，SLD-ALM算法所得平均输出RMSE随SNR或快拍数变化波动较大，而所提SLRD-RMVDR算法因在重构无噪协方差矩阵优化问题中考虑进误差模型，以改善有限次采样条件下协方差矩阵估计误差带来的不利影响从而增强了算法估计的稳健性，故而所得平均输出RMSE随SNR或快拍数变化较平稳。
仿真5：为较全面地评估所提SLRD-RMVDR算法性能，在此就要分析误差参数η对所提算法重构性能的影响。在此实验中，考虑两个入射角度分别为20°和26°的非相干信号，SNR＝5dB，快拍数L＝400，必要前提为除误差参数外，其他参数均为定值。由表1可知，误差参数为0.1时，所提SLRD-RMVDR算法能够较好重构无噪声信号协方差矩阵，随着误差参数增加，本实施例所提算法重构性能逐渐降低，表明误差参数η取值对算法重构性能有较大影响。
表1误差参数对算法重构性能影响
Figure BDA0002025679910000161
综上所述，本发明实施例基于低秩恢复理论，提出一种SLRD-RMVDR方法。为改善有限次采样场景下DOA估计精度及稳健性，所提算法首先利用采样协方差矩阵稀疏及低秩特性构造关于信号和噪声协方差矩阵的凸问题，而后构造关于采样协方差矩阵估计误差的凸模型，并将此误差模型显式地包含进凸优化问题；为较好求解上述稳健优化问题，所提方法基于采样协方差矩阵估计误差服从渐进正态分布的统计特性推导出估计误差上界确定方法，而后获得稳健优化问题的高效求解；最后基于所得最优无噪声协方差矩阵，利用MVDR方法实现DOA估计。仿真结果表明，与传统CBF，MVDR及SLD-ALM算法相比，有限次采样快拍条件下所提算法具有较高DOA估计精度及较好稳健性能。由此，本发明实施例所提算法可以为工程应用中阵列信号处理领域的DOA估计性能研究提供坚实的理论基础与实现方法。
尽管已经示出和描述了本发明的实施例，对于本领域的普通技术人员而言，可以理解在不脱离本发明的原理和精神的情况下可以对这些实施例的步骤进行多种变化、修改、替换和变型，本发明的范围由所附权利要求及其等同物限定。

Claims (1)

1.基于稀疏和低秩恢复的稳健DOA估计方法，其特征在于包括如下步骤：
步骤1：建立接收信号模型
假设Q个远场窄带信号
Figure FDA0003980063370000011
入射至阵元数为M的均匀线性阵列，则t时刻接收信号模型可表示为
Figure FDA0003980063370000012
其中，x(t)为接收信号矢量，xs(t)，xi(t)分别为t时刻包含在接收信号数据中的期望信号分量和干扰信号分量，
Figure FDA0003980063370000013
和
Figure FDA0003980063370000014
分别表示期望信号及第q个干扰信号的导向矢量，d和λ分别为阵元间距及载波波长，通常d≤λ/2，{θ0 θ1…θQ-1}为Q个信源DOA，sq(t)为第q个信号源的信号幅度，n(t)＝[n1(t) n2(t)…nM(t)]T为互不相关高斯白噪声；
为便于推导，式(1)接收信号模型可进一步改写为
x(t)＝As(t)+n(t)    (2)
其中，
Figure FDA0003980063370000015
为阵列导向矢量矩阵，
Figure FDA0003980063370000016
为信号波形矢量；
假设信号和噪声互不相关，且信源之间相互独立，则接收信号协方差可表示为
Figure FDA0003980063370000017
其中，Rs表示信号和干扰协方差矩阵之和，Rn则为噪声协方差矩阵，可分别表示如下
Figure FDA0003980063370000018
Figure FDA0003980063370000019
其中，
Figure FDA00039800633700000110
表示第q个期望信号和干扰功率，
Figure FDA00039800633700000111
为噪声功率；
步骤2：传统波束形成方法
设阵列接收权值矢量w＝[w1 w2…wM]T，则阵列t时刻输出y(t)可表示为
y(t)＝wHx(t)    (6)
基于式(1)，式(6)可进一步表示为
Figure FDA0003980063370000021
其中，wHxs(t),wHxi(t),wHn(t)分别对应输出的期望信号，干扰和噪声分量；
基于MVDR准则，权值矢量w需保证期望信号无失真通过，即wHa(θ)＝1，且使得输出干扰加噪声功率最小，即最小化如下期望功率
Figure FDA0003980063370000022
基于以上所述，可得如下优化问题
Figure FDA0003980063370000023
其中，Ri+n为干扰加噪声协方差矩阵；
基于拉格朗日乘子法求解上述优化问题，可得最优权值矢量如下
Figure FDA0003980063370000024
然而，实际应用中Ri+n是未知的，因此利用采样协方差矩阵
Figure FDA0003980063370000025
代替Ri+n，即
Figure FDA0003980063370000026
其中，L次快拍条件下采样协方差矩阵
Figure FDA0003980063370000027
可表示为
Figure FDA0003980063370000028
基于式(12)，MVDR功率谱可表示为
Figure FDA0003980063370000029
由式(13)可知，采样协方差矩阵
Figure FDA00039800633700000210
包含信号、干扰和噪声协方差分量，低信噪比条件下，采样协方差矩阵
Figure FDA00039800633700000211
中信号分量Rs较小，其求逆后将对
Figure FDA00039800633700000212
造成较大扰动，从而导致DOA估计性能严重下降，此外，实际应用中采样快拍次数通常有限，随着快拍数减小，协方差矩阵估计会出现较大误差，进而严重影响DOA估计精度；
需要注意的是，鉴于阵元数远大于需要估计的信源数(M＞＞Q)，则可得rank(Rs)＝Q<M，即无噪声信号协方差矩阵Rs具有低秩特性，此外，高斯白噪声条件下，噪声协方差矩阵
Figure FDA0003980063370000031
可知其为满秩矩阵，即rank(Rn)＝M，且其除对角线元素非零外，其余元素均为零，即具有稀疏特性，基于此特性，利用低秩恢复理论，基于采样协方差矩阵的低秩及稀疏特性构建考虑采样协方差矩阵估计误差的稳健稀疏恢复问题以重构无噪声协方差矩阵，进而改善有限次快拍场景下DOA估计性能；
步骤3：基于低秩恢复重构无噪声协方差矩阵
(1)低秩恢复重构算法
基于步骤2中的讨论，可将样本协方差矩阵R建模为低秩无噪声协方差矩阵Rs及稀疏噪声协方差矩阵Rn之和，而后基于低秩恢复理论重构无噪声协方差矩阵，需要注意的是，基于秩函数表述低秩优化问题，用l0范数表述稀疏优化问题，由此可得如下关于低秩矩阵Rs及稀疏矩阵Rn的优化问题
Figure FDA0003980063370000032
其中，rank(·)为秩函数，||·||0表示l0范数，β为权衡秩函数和稀疏度的正则化因子，D+为半正定对角矩阵集合，A为矩阵变换投影算子，定义如下
Figure FDA0003980063370000033
由于秩函数rank(·)和l0范数为NP问题，上述优化问题难以求解，为求解此问题，将秩函数松弛为核范数，将l0范数松弛为l1范数，则优化问题(14)可等价为：
Figure FDA0003980063370000034
其中，||·||*为核范数，||·||1为l1范数；
基于式(15)，上述问题可进一步等价为
Figure FDA0003980063370000035
(2)引入采样协方差矩阵估计误差模型
如前所述，接收信号协方差矩阵
Figure FDA0003980063370000041
可由式(12)得到，然而由于实际应用中采样次数有限，因而存在估计误差，即
Figure FDA0003980063370000042
针对此问题，本发明构建如下凸误差模型
Figure FDA0003980063370000043
其中，||·||F为矩阵Frobenius范数，ε为误差参数因子；
基于上述误差凸集，问题(17)可重新表示为
Figure FDA0003980063370000044
由于Rs为半正定矩阵，基于矩阵理论，可得||Rs||*＝tr(Rs)，其中tr(·)为矩阵迹，所以式(19)可进一步表示为
Figure FDA0003980063370000045
由上式可知，求解上述优化问题需要确知误差上界ε，然而，此值在实际中难以确知，因此基于协方差估计误差服从渐进正态分布的统计特性，推导误差上界的确定方法，基于瑞典的B·OTTERSTEN和P·STOICA的分析可知，矢量化协方差矩阵误差
Figure FDA0003980063370000046
服从渐进正态分布，即
Figure FDA0003980063370000047
其中，vec(·)表示矩阵矢量化算子，AsN(μ,∑)表示均值为μ，方差为∑的渐进正态分布，
Figure FDA0003980063370000048
为Kronecker积；
经过简单矩阵运算，式(21)可重新表示为
Figure FDA0003980063370000049
基于正态分布性质，可得
Figure FDA00039800633700000410
其中，Asχ2(M2)表示自由度为M2的渐进卡方分布，M为阵列阵元数，
基于上式，问题(20)可改写成
Figure FDA0003980063370000051
其中，η为误差参数因子，可由下式求得
Pr{χ2(M2)≤η}＝p，η＝χp 2(M2)    (25)
其中，Pr{·}表示概率分布，χ2(·)表示卡方分布，由上式可知，η可通过自由度为M2的χ2(·)分布函数确定，p为概率值，在仿真实验中p值设置为0.999；
(3)最优无噪声协方差矩阵求解
实际应用中，接收信号协方差矩阵
Figure FDA0003980063370000052
可由式(12)求得，相应地
Figure FDA0003980063370000053
因此，式(24)优化问题可等价为
Figure FDA0003980063370000054
整理得
Figure FDA0003980063370000055
式(27)可通过Matlab凸优化工具包CVX实现高效求解；
步骤4：基于MVDR的DOA估计
基于上述优化问题所得无噪声协方差矩阵估计Rs，MVDR空间信号功率谱可表示为
Figure FDA0003980063370000056
其中，δ为对角加载因子，可保证功率谱P(θ)求解问题中的矩阵Rs+δI是可逆的。
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Families Citing this family (10)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN110554352A (zh) * 2019-09-11 2019-12-10 哈尔滨工业大学 基于vgg16神经网络的航天测控系统干扰源波达方向估计方法
CN110838096B (zh) * 2019-11-14 2022-05-10 成都理工大学 基于信息熵范数的地震图像补全方法
CN111025385B (zh) * 2019-11-26 2020-11-27 中国地质大学（武汉） 一种基于低秩和稀疏约束的地震数据重建方法
CN111273238B (zh) * 2020-01-06 2022-09-27 中国航天科工集团八五一一研究所 一种基于低秩恢复的sar宽窄带干扰同时抑制方法
CN111398890B (zh) * 2020-03-24 2023-02-03 南京信息工程大学 一种基于协方差矩阵重构的布谷鸟搜索doa估计方法
CN113422630B (zh) * 2021-06-17 2023-02-07 长安大学 一种自适应聚焦宽带波束形成方法及系统
CN113391260B (zh) * 2021-06-21 2022-07-12 南京信息工程大学 一种基于低秩和稀疏先验的mimo雷达doa估计方法
CN113640737B (zh) * 2021-07-27 2022-06-21 哈尔滨工程大学 一种基于二维功率分布的少阵元阵列高分辨方位估计方法
CN115356678B (zh) * 2022-05-21 2024-05-14 南京理工大学 基于dpnalm算法的稀疏阵列doa估计方法
CN116540172B (zh) * 2023-07-05 2023-09-22 南京理工大学 入射信号来波方向的估计方法、装置、电子设备及介质

Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103885035A (zh) * 2014-03-20 2014-06-25 西安电子科技大学 一种基于矩阵恢复的降采样阵列信号处理方法
CN106772225A (zh) * 2017-01-20 2017-05-31 大连大学 基于压缩感知的波束域doa估计
CN107329110A (zh) * 2017-08-24 2017-11-07 浙江大学 基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法
CN107544052A (zh) * 2017-08-07 2018-01-05 大连大学 一种基于矩阵补全的二阶统计量重构doa估计方法
CN108445486A (zh) * 2018-03-13 2018-08-24 南京理工大学 基于协方差矩阵重建和导向矢量修正的波束形成方法

Family Cites Families (1)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
WO2009059279A1 (en) * 2007-11-01 2009-05-07 University Of Maryland Compressive sensing system and method for bearing estimation of sparse sources in the angle domain

Patent Citations (5)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Publication number Priority date Publication date Assignee Title
CN103885035A (zh) * 2014-03-20 2014-06-25 西安电子科技大学 一种基于矩阵恢复的降采样阵列信号处理方法
CN106772225A (zh) * 2017-01-20 2017-05-31 大连大学 基于压缩感知的波束域doa估计
CN107544052A (zh) * 2017-08-07 2018-01-05 大连大学 一种基于矩阵补全的二阶统计量重构doa估计方法
CN107329110A (zh) * 2017-08-24 2017-11-07 浙江大学 基于稀疏阵列直接内插的波达方向估计方法
CN108445486A (zh) * 2018-03-13 2018-08-24 南京理工大学 基于协方差矩阵重建和导向矢量修正的波束形成方法

Non-Patent Citations (2)

* Cited by examiner, † Cited by third party
Title
基于低秩矩阵恢复的DOA稀疏重构方法;房云飞，王洪雁，裴炳南;《计算机应用研究》;20190228;第36卷(第2期);566-569 *
基于协方差矩阵重构的稳健Capon波束形成算法;季科等;《计算机仿真》;20170515;第34卷(第05期);209-212 *

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