CN106980104B - 用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种用于传感器阵列的波达方向自校正方法，其确定噪声子空间估计值；初始化传感器阵列的阵列相位误差，并用MUSIC算法来估计信号波达方向的初始值；基于信号波达方向的计算值来计算Hermitian正定矩阵，Hermitian正定矩阵满足第一等式；令阵元相位误差满足第一限制条件，将阵列相位误差转换为满足第二等式；利用拉格朗日乘子法求解第一、第二等式，得出阵列相位误差的向量估计；用MUSIC算法或高分辨率子空间算法计算得到信号波达方向的校正值；以及，重复迭代上述步骤直到满足迭代停止条件。该方法不依赖于阵列输出协方差矩阵的特殊结构特征，在有限采样数据下性能良好，并且可以有效降低传感器阵列误差对波达方向的影响。

Description

用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法

技术领域

本发明涉及传感器技术领域，更具体地说，涉及一种用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法。

背景技术

阵列信号处理是信号处理领域的一个重要分支，其应用涉及通信、声纳、雷达、地质勘探以及射电天文等众多民用和军事领域。其基本原理是将多个传感器配置在空间的不同位置组成一个传感器阵列，并用该阵列对空间入射信号进行空域和时域采样，从而达到提取感兴趣的信号特征信息的目的。与传统的单个定向传感器相比较，利用多个传感器组成的阵列具有抑制干扰能力强、波速控制灵活和空间分辨能力高等优点。

目前提出的大多数高分辨波达方向估计算法都是以阵列流型精确已知为前提的，因此其性能良好。然而，在实际的工程应用中由于温度、元器件老化以及阵元之间相互耦合等的影响，各种传感器误差不可避免的存在。这些误差直接导致了实际的阵列流型与理想的阵列流型之间出现一定程度的偏差，此时，这些高分辨谱估计算法性能会降低，甚至失效。因此，阵列误差是阵列信号处理技术走向实用化的一个瓶颈，也是技术人员不得不面对的一个难题。

当非相关信号源入射到均匀线性阵列时，其理想的阵列输出协方差矩阵具有对角线元素相等的Toeplitz结构。利用这一性质，可以对增益和相位误差存在时的均匀线性阵列输出协方差矩阵元素进行相关的数学计算，来分别求得增益误差参数和相位误差参数。但是由于阵元相位误差的存在，该算法估计出的相位误差参数存在一个偏移现象，这直接导致了最终的波达方向估计不准确。

事实上这种相位上的模糊性或者说不唯一性并不是由算法本身带来的，而是内嵌于阵列输出参数模型之中，当增加附加的参数限制(比如，所有相位误差参数和为零)，就可以获得上述算法的唯一解。而除了增加附加参数信息外，另外一种解决均匀线性阵列相位模糊的办法是假设均匀线性阵列至少有两个阵元已经被精确校正，此阵列可以理解为部分校正的均匀线性阵列。当阵列耦合误差与传感器增益、相位误差同时存在时，一种基于MUSIC算法的自校正方法被提出用来迭代的估计出耦合矩阵、增益和相位误差矩阵以及波达方向。由于该方法充分利用了误差矩阵的特殊结构，所以适用于均匀线性阵列和均匀圆阵等具有规则几何形状的传感器阵列，但是此自校正算法对初始值的依赖性较高，很容易陷入局部最优解的困扰。当阵列误差的一阶和二阶统计量给出时，可以用极大后验概率(Maximum A Posteriori,MAP)估计来进行阵列自校正。根据优化函数的不同该方法可分为基于极大似然法的后验估计和基于子空间拟合算法的后验估计，两者在估计性能上接近，但是后者可以把误差参数估计从优化函数中分离出去，从而减小了运算量。MAP自校正类算法的另一个优势是不需要依靠阵列几何形状并且可以求解相关入射信号源；但是在实际的工程环境中，阵列误差的先验统计信息是很难得到的。此外由于MAP类自校正算法要用到一阶泰勒展开，所以只适用于阵列误差较小的情况。

发明内容

本发明的目的在于提供一种适用场合更广、估计结果更准确的波达方向自校正方法。

为实现上述目的，本发明提供一种技术方案如下：

一种用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法，其中，假定p个波长为λ的远场窄带无线电波信号

分别以波达方向θ_k入射到均匀线性传感器阵列上，传感器阵列由M个传感器以等间距d排列在一条直线上组成，M＞p，传感器阵列在t时刻的输出表示为：y(t)＝Γ(γ)A(θ)s(t)+n(t)，其中，输入信号向量表示为s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_p(t)]^T，噪声向量表示为n(t)＝[n₁(t),n₂(t),…,n_M(t)]^T，理想传感器阵列的方向矩阵表示为A(θ)＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_p)]，各无线电波信号的方向向量表示为

传感器阵列的阵列相位误差表示为向量γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]^T，其中，φ_i表示第i个传感器的阵元相位误差，该方法包括如下步骤：a)、确定噪声子空间E_n的估计值b)、初始化传感器阵列的阵列相位误差，并用MUSIC算法来估计信号波达方向的初始值并以初始值作为信号波达方向的计算值；c)、基于信号波达方向的计算值来计算Hermitian正定矩阵W(θ)，Hermitian正定矩阵满足第一等式

其中，

为阵列相位误差的向量估计；d)、令阵元相位误差满足第一限制条件，对

进行一阶泰勒展开以转换为第二等式

其中，e₀＝[1,1,…,1]^T；e)、利用拉格朗日乘子法求解第一、第二等式，得出阵列相位误差的向量估计f)、用MUSIC算法或高分辨率子空间算法计算得到信号波达方向的校正值，校正值的计算公式表示为

g)、以信号波达方向的校正值作为信号波达方向的计算值，来重复迭代步骤c)、d)、e)以及f)，直到满足迭代停止条件。

优选地，在步骤a)中，通过传感器阵列的输出采样协方差矩阵

的特征值分解来确定噪声子空间E_n的估计值

其中N为采样数。

优选地，在步骤b)中，初始化阵列相位误差的矩阵为单位矩阵Γ(γ)。

优选地，步骤c)中，计算Hermitian正定矩阵W(θ)采用如下公式：

其中U为p×p正定矩阵，表示为其中

表示矩阵ΓA的Moore-Penrose逆。

优选地，在步骤c)中，计算Hermitian正定矩阵W(θ)采用如下公式：

其中，对角矩阵D[a(θ_i)]＝diag{a(θ_i)}。

优选地，在步骤d)中，第一限制条件为

优选地，在步骤e)中，计算相位误差向量的估计值采用如下公式：

优选地，在步骤g)中，迭代停止条件为：

其中，δ为预先设置的很小的正数，

为第i次迭代的信号波达方向的估计值。

本发明还公开一种传感器阵列，由若干个传感器彼此以等间距排列在一条直线上组成，该传感器阵列根据如上所述的方法，对信号波达方向进行自校正。

此外，本发明又公开一种信号处理装置，其包括如上所述的传感器阵列。

本发明提供一种用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法，其特别适用于均匀线性的传感器阵列彼此之间存在相位误差时的场合。该方法引入合理的限制性条件，并利用一阶泰勒展开将看似难以求解的优化问题转化为一个标准的二次型最小化问题，其最大的优点是该方法不依赖于阵列输出协方差矩阵的特殊结构特征，因此在有限采样数据下性能良好，并且可以有效降低传感器阵列误差对波达方向的影响。

利用上述信号波达方向自校正方法，多个传感器组成的传感器阵列具有抑制干扰能力强、波速控制灵活和空间分辨能力高等优点。

附图说明

图1示出本发明一实施例提供的用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法的流程图。

图2示出无线电波信号入射到均匀线性传感器阵列上的示意图。

图3示出根据仿真试验一、频谱与相位差之间的关系图。

图4示出根据仿真试验二、均方根相位误差与信噪比之间的关系图。

图5示出根据仿真试验三、均方根相位误差与信号间相关性之间的关系图。

具体实施方式

如图1所示，本发明一实施例提供一种用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法。

根据该第一实施例，如图2所示，假定p个波长为λ的远场窄带无线电波信号分别以波达方向θ_k入射到均匀线性传感器阵列上，传感器阵列由M个传感器以等间距d排列在一条直线上组成，M＞p，传感器阵列在t时刻的输出表示为：y(t)＝Γ(γ)A(θ)s(t)+n(t)，其中，输入信号向量表示为s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_p(t)]^T，噪声向量表示为n(t)＝[n₁(t),n₂(t),…,n_M(t)]^T，理想传感器阵列的方向矩阵表示为A(θ)＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_p)]，各无线电波信号的方向向量表示为传感器阵列的阵列相位误差表示为向量γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]^T，其中，φ_i表示第i个传感器的阵元相位误差。

具体地，第一实施例提供的方法包括如下各步骤。

步骤S10、确定噪声子空间E_n的估计值

作为优选实施方式，在步骤S10中，通过传感器阵列的输出采样协方差矩阵

的特征值分解来确定噪声子空间E_n的估计值

其中N为采样数。

步骤S11、初始化传感器阵列的阵列相位误差，并用MUSIC算法来估计信号波达方向的初始值

在该步骤S11中，可以将阵列相位误差的矩阵初始化为单位矩阵Γ(γ)＝I；以及，以信号波达方向的初始值作为信号波达方向的计算值，以进行以下步骤的计算。以下步骤S120、S121可并行执行、或以任何先后顺序来执行，而不影响本发明各实施例所实现的技术效果。

步骤S120、基于信号波达方向的计算值来计算Hermitian正定矩阵W(θ)，Hermitian正定矩阵满足第一等式

其中，

为阵列相位误差的向量估计。具体地，作为一种可选方案，计算Hermitian正定矩阵W(θ)可采用如下公式：

其中U为p×p正定矩阵，表示为

其中

表示矩阵ΓA的Moore-Penrose逆。

作为另一种备选方案，计算Hermitian正定矩阵W(θ)可采用如下公式：

其中，对角矩阵D[a(θ_i)]＝diag{a(θ_i)}。

步骤S121、令阵元相位误差满足第一限制条件，对

进行一阶泰勒展开以转换为第二等式

其中，e₀＝[1,1,…,1]^T。

作为一种优选实施方式，第一限制条件为

这是一个合理的限制条件，因为阵列阵元通常都是经过严格校正的，但是在使用过程中由于各种原因，传感器的相位还是会出现小幅度的扰动。该第一限制条件可以看作在原有未知参数的基础上增加了一个附加信息，使得未知参数个数减少，从而影响了阵列相位误差矩阵Γ(γ)和阵列方向矩阵A(θ)之间的结构关系，使得阵列相位误差可解。

步骤S13、利用拉格朗日乘子法求解第一、第二等式，得出阵列相位误差的向量估计

具体地，计算相位误差向量的估计值可采用如下公式：

步骤S14、用MUSIC算法或高分辨率子空间算法计算得到信号波达方向的校正值。

在该步骤S14中，信号波达方向校正值的计算公式可以表示为

步骤S15、判定是否满足迭代停止条件。若不满足，则以信号波达方向的校正值作为信号波达方向的计算值，来重复迭代步骤S120、S121、S13以及S14，直到满足迭代停止条件时该方法结束。

作为一种优选实施方式，迭代停止条件为：其中，δ为预先设置的很小的正数，

为第i次迭代的信号波达方向的估计值。

作为上述实施例的理论基础，以下说明本发明相关公式的推导过程。

在传感器阵元存在相位扰动误差时，阵列在t时刻的输出可以表示为：

y(t)＝Γ(γ)A(θ)s(t)+n(t) (1)

上式(1)中，输入信号向量和噪声向量分别为

s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_p(t)]^T (2)

以及

n(t)＝[n₁(t),n₂(t),…,n_M(t)]^T (3)

理想阵列方向矩阵和方向向量分别为

A(θ)＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_p)] (4)

其中，

以对角矩阵Γ(γ)表示阵列阵元的相位误差，即

上式中，φ_i表示第i个传感器的阵元相位误差，误差向量γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]^T由对角矩阵Γ(γ)的主对角元素组成。

未知的误差矩阵Γ(γ)与信号向量s(t)之间存在尺度上的模糊，为了保证唯一性，可将误差矩阵的第一个元素γ₁设置为1。

如上所述，在上式(1)中，输出存在相位模糊现象。考察误差参数矩阵Γ(γ)与阵列方向向量a(θ_i)的乘积，可知

其中θ₀为任意角度。

对于阵列方向矩阵A(θ)，满足下式：

Г(γ)A(θ)＝Г(γ＊a(-θ₀))[a(θ₁)＊a(θ₀)，…，a(θ_p)＊a(θ₀)] (8)

其中，＊表示矩阵或向量的对应元素相乘。观察公式(8)知，就传感器阵列所有阵元的信号波达方向而言，sin(θ_i),i＝1,…,p同时被旋转到sin(θ_i)+sin(θ₀),i＝1,…,p。而在波达方向θ_i的观测范围内总可以找到一个角度θ_x满足sin(θ_x)＝sin(θ_i)+sin(θ₀)。因此，在阵列输出模型(1)中，波达方向θ_i的估计值会被旋转到角度θ_x。

为了解决解决此相位模糊问题，需要引入阵列相位误差的线性等式限制

公式(9)可以影响阵列相位误差矩阵Γ(γ)和阵列方向矩阵A(θ)之间的结构关系，从而使得阵列相位误差可解。

假设关于未知参数θ和γ的估计值，可以通过以下优化函数求解

其中，矩阵W(θ)是一个Hermitian正定矩阵并且其值由波达方向θ唯一确定。

当波达方向θ固定时，优化函数γ^HW(θ)γ是一个关于误差参数向量γ的二次型。此处需要强调的是，当向量γ的第一个元素不等于1时，对任意的角度φ，存在

γ^HW(θ)γ＝(e^jφγ)^HW(θ)(e^jφγ) (11)

可见，此时未知向量γ不能唯一的确定。但是附加第一限制条件

(即，公式(9))可使得旋转角度φ＝0。然而，当向量γ的第一个元素不等于1时

阵列相位误差参数矩阵Γ(γ)与阵列方向矩阵A(θ)之间的相位模糊问题又不存在了，不需要通过相位误差参数限制来保证其唯一解。而在阵列输出模型(1)中，为了消除误差矩阵Γ(γ)与入射信号向量s(t)之间的未知尺度模糊，将向量γ的第一个元素设置为1。

观察阵列相位误差向量γ和误差参数等式限制(9)，可以看到相位误差φ_i以指数形式出现在向量

中。由于参数限制条件中误差参数的形式与优化函数中未知参数向量形式的不一致性，导致了该问题的求解不能直接应用限制条件下的二次型最优化公式。为了解决这一问题，通过泰勒展开将优化函数的限制条件(关于误差参数φ_i的线性等式)转化为关于向量γ的线性等式。

假设传感器相位误差参数φ_i很小，则

在点φ_i＝0处的一阶泰勒展开为

当阵列不存在阵元相位误差时(即，φ_i＝0,i＝2,…,M)，矩阵Γ(γ)是一个单位矩阵。由于γ₁＝1，则限制条件式(9)可以转化为

令M×1向量e₀＝[1,1,…,1]^T，当信号波达方向θ固定时，优化函数(10)可转化为

公式(14)为一个标准的线性限制条件下的二次型标准化问题，可以通过拉格朗日(Lagrange)乘子法求解。

定义一个参数化的目标函数f如下。

其中，常量μ为拉格朗日乘子。令函数f对变量γ的一阶偏导数为零，即

当可逆矩阵

给定时，阵列相位误差向量的解为

将上式(17)带入优化函数的第一限制条件，可得到

进而，相位误差向量的估计值采用如下公式：

在此基础上，用MUSIC算法或高分辨率子空间算法可计算得到信号波达方向的校正值。

关于Hermitian正定矩阵，作为示例，本发明提供如下计算方法：假设入射信号s(t)是均值为零的非相干信号，则其协方差矩阵R_s＝E{s(t)s^H(t)}为满秩矩阵。噪声n(t)是均值为零的高斯白噪声并且其协方差矩阵为R_n＝E{n(t)n^H(t)}＝σ²I。在以上假设条件下，阵列输出协方差矩阵可表示为：

R＝E{y(t)y^H(t)}＝ΓAR_sA^HΓ^H+σ²I (20)

将上式进行特征值分解有

当特征值λ_i,i＝1,…,M按照非递增顺序排列时，信号子空间和噪声子空间可分别表示为E_s＝[e₁,…,e_p]和E_n＝[e_p+1,…,e_M]，并且

信号子空间和噪声子空间的估计值可通过阵列输出采样协方差矩阵的特征值分解求得。

可选地，作为一种高分辨率子空间算法，在阵列输出模型(1)下的噪声子空间拟合(Noise Subspace Fitting,NSF)算法可以表示为

式(22)中，优化函数V_NSF可表示为：

其中，p×p的加权矩阵U是一个正定矩阵，其最优值通过下式给出

其中，

表示矩阵ГA的Moore-Penrose逆。

上式(24)中，对角矩阵Λ_s可表示为：

通常式(24)中的参数用它们的一致估计量来替代。

为了将向量γ显式的表示出来，借助于等式Tr{BГ^H(γ)CГ(γ)}＝γ^H(B^T⊙C)γ以及Tr{BC}＝Tr{CB}(假设矩阵B和C具有合适的维数)，则式(23)可以表示为：

因此，Hermitian矩阵W(θ)可以表示为：

备选地，作为一种MUSIC算法，利用矩阵ΓA与E_n之间的正交关系，可以得到如下优化函数：

式(28)中，

令对角矩阵D[a(θ_i)]＝diag{a(θ_i)}，那么Γ(γ)a(θ_i)＝D[a(θ_i)]γ。利用这一等式，式(29)可重新表示为：

当波达方向θ的估计值给定后，上式为关于未知误差参数向量γ的二次型形式。因此，Hermitian矩阵W(θ)可以表示为

显然，在式(19)中Hermitian矩阵W(θ)必须是可逆的。然而当阵列采样数据量非常大或者真实的波达方向θ给定时，矩阵W(θ)有可能出现秩损。因此，优选地，在计算所述相位误差向量的估计值之前，对Hermitian正定矩阵可采用公式

进行修正，以确保所述Hermitian正定矩阵可逆，其中，ε为极小的正数。

本发明另一实施例提供一种传感器阵列，其由若干个传感器彼此以等间距排列在一条直线上组成，该传感器阵列根据上述实施例(或其任何改进方式或等同实现方式)提供的方法，来对信号波达方向进行自校正。

在应用上述传感器阵列的基础上，根据本发明又一实施例，实现一种信号处理装置，其包括这种传感器阵列，传感器阵列可对信号波达方向进行自校正。

为了验证本发明的性能，先进行如下三个仿真实验。实验参数设置为：均匀线性阵列由5个阵元按照等间距d排列组成且

第一个阵元所在位置为参考点。阵列的阵元相位误差向量为γ＝[1,e^j4° e^-j5° e^j8° e^-j2°] (32)

两个能量相等的信号分别从20°和40°入射到阵列上。信噪比定义为

其中

和

分别表示入射信号和附加噪声能量。均方根误差RMSE被用来衡量算法的估计性能，定义为

上式(33)中，K表示试验次数。本发明提出的算法在所有实验中均重复迭代20次。

实验一：MUSIC频谱

本实验中，两个入射信号非相关，信噪比SNR＝0dB，采样数N＝500；此时，获得的频谱图如图3所示。从图3中可以看出，本发明提出的方法可以有效的解决相位模糊问题，从而得到波达方向在阵列相位误差下的准确估计值。

实验二：信噪比对估计性能的影响

在本实验中，假设入射信号源非相关，信噪比SNR从-10dB变化到10dB，采样数为N＝500。从图4可以看出本发明提出的方法接近相位误差已知时的MUSIC算法且在低信噪比下表现良好。

实验三：信号间相关性对算法性能的影响

本实验中用ρ表示两个信号之间的相关系数，信噪比SNR＝0dB，采样数N＝500。从图5可以看出本发明提出的方法可以解决相关入射信号，而目前提出的各种方法均假设入射信号非相关。

上述说明仅针对于本发明的优选实施例，并不在于限制本发明的保护范围。本领域技术人员可作出各种变形设计，而不脱离本发明的思想及附随的权利要求。

Claims (10)

1.一种用于传感器阵列的信号波达方向自校正方法，其中，假定p个波长为λ的远场窄带无线电波信号

分别以波达方向θ_k入射到均匀线性传感器阵列上，所述传感器阵列由M个传感器以等间距d排列在一条直线上组成，M＞p，所述传感器阵列在t时刻的输出表示为：

y(t)＝Γ(γ)A(θ)s(t)+n(t)，其中，输入信号向量表示为s(t)＝[s₁(t),s₂(t),…,s_p(t)]^T，噪声向量表示为n(t)＝[n₁(t),n₂(t),…,n_M(t)]^T，理想传感器阵列的方向矩阵表示为A(θ)＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_p)]，各无线电波信号的方向向量表示为

传感器阵列的阵列相位误差表示为向量γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]^T，

其中，

φ_i表示第i个传感器的阵元相位误差，Γ(γ)为所述阵列相位误差的对角矩阵表示，

所述方法包括如下步骤：

a)、确定噪声子空间E_n的估计值

b)、初始化所述传感器阵列的阵列相位误差，并用MUSIC算法来估计信号波达方向的初始值

并以所述初始值作为信号波达方向的计算值；

c)、基于所述信号波达方向的计算值来计算Hermitian正定矩阵W(θ)，所述Hermitian正定矩阵满足第一等式

其中，

为所述阵列相位误差的向量估计；

d)、令所述阵元相位误差满足第一限制条件以使得所述阵列相位误差可解，对进行一阶泰勒展开以转换为第二等式

其中，e₀＝[1,1,…,1]^T；

e)、利用拉格朗日乘子法求解所述第一、第二等式，得出所述阵列相位误差的向量估计

f)、用MUSIC算法或高分辨率子空间算法计算得到信号波达方向的校正值，所述校正值的计算公式表示为：

g)、以所述信号波达方向的校正值作为所述信号波达方向的计算值，来重复迭代所述步骤c)、d)、e)以及f)，直到满足迭代停止条件。

2.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述步骤a)中，通过传感器阵列的输出采样协方差矩阵

的特征值分解来确定所述噪声子空间E_n的估计值

其中N为采样数。

3.根据权利要求2所述的方法，其特征在于，在所述步骤c)中，计算所述Hermitian正定矩阵W(θ)采用如下公式：

其中U为p×p正定矩阵，表示为

其中表示矩阵ΓA的Moore-Penrose逆，E_s 为信号子空间的矩阵表示，Λ_s为所述输出采样协方差矩阵的特征值分解所取的特征值的对角矩阵表示，σ为噪声信号的协方差。

4.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述步骤c)中，计算所述Hermitian正定矩阵W(θ)采用如下公式：

其中，对角矩阵D[a(θ_i)]＝diag{a(θ_i)}。

5.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述步骤d)中，所述第一限制条件为

6.根据权利要求1所述的方法，其特征在于，在所述步骤e)中，计算所述阵列相位误差的向量估计值采用如下公式：

7.根据权利要求6所述的方法，其特征在于，在所述步骤e)中，在计算所述阵列相位误差的向量估计值之前，对所述Hermitian正定矩阵采用公式

进行修正，以确保所述Hermitian正定矩阵可逆，其中，ε为极小的正数。

8.根据权利要求1至7中任一项所述的方法，其特征在于，在所述步骤g)中，所述迭代停止条件为：其中，δ为预先设置的很小的正数，

为第i次迭代的信号波达方向的估计值。

9.一种传感器阵列，由若干个传感器彼此以等间距排列在一条直线上组成，所述传感器阵列根据权利要求8所述的方法，对信号波达方向进行自校正。

10.一种信号处理装置，包括如权利要求9所述的传感器阵列。

Images