CN114879133A - 一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，本首先构造四阶累积量函数，消除色噪声的影响；利用接收信号的累积量表现出范德蒙形式的特点，构造满秩的Toeplitz矩阵，消除多径造成的信源相干问题的影响；然后对Toeplitz矩阵进行SVD分解，用于降维并得到加权系数；构造稀疏冗余字典、稀疏矩阵、加权矩阵；最后以约束稀疏矩阵的零范数为目标，建立稀疏角度优化问题，并将其转化为二阶锥问题，使用CVX优化工具包求解角度信息。本发明建立稀疏重建Toeplitz矩阵的优化问题，获得稀疏行索引对应的角度即为入射信号的角度，达到了在低信噪比和低快拍数下能够估计出来波信号方向的目的。

Description

一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，具体涉及一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法。

背景技术

现代通信中通过天线阵列来传递信息，而目标信号的角度信息是从阵列接收信号中所要提取的重要参数之一，因此波达方向(Direction of Arrival，DOA)估计技术是阵列信号处理领域的重要研究课题，广泛地应用于雷达、水下通信、无线通信等领域。

实际阵列接收到的信号会受到各种各样的干扰，使得从干扰和噪声中提取出有用信号的角度信息面临着严峻的挑战。在信号传播环境中，由于多径传播，到达接收机的信号呈现出相干性，导致信号协方差矩阵缺秩，无法正确分辨出多个来波信号，进而角度估计失败。传统的空间平滑算法通过将阵列分割为子阵，恢复出满秩的协方差矩阵，但是同时也牺牲了阵列孔径与自由度，对估计性能造成了损失。此外，实际中存在的噪声很大概率上是色噪声，且噪声之间是相关的。传统的角度估计算法只适合于接收到信号噪声为高斯白噪声的理想环境，当在色噪声环境下继续使用传统角度估计算法时，就会偏离正确的结果，因此色噪声下DOA估计也是个不容忽视的问题。目前针对该问题，已有的解决方案是利用高阶累积量和构造Toeplitz矩阵消除其不利影响后，使用多重信号分类(Multiple SignalClassification,MUSIC)算法来搜索最大谱峰值来估计出角度，但是该方案在低信噪比的条件下性能欠佳。

实际信号的传播环境是十分恶劣的，经过路径损耗后，达到接收机的功率可能是十分微小的，因此需要考虑低信噪比环境下的角度估计精度的问题。基于此，考虑如何在多径丰富、高斯色噪声存在的复杂环境时，对阵列接收信号进行处理得到正确目标角度信息将具有重要意义。

针对多径和高斯色噪声环境对DOA估计造成的问题，现有的技术方案是利用高阶累积量和构造Toeplitz矩阵消除其不利影响后，使用MUSIC算法搜索最大谱峰值来估计出角度。但是该方案在低信噪比和较少快拍数下的性能不佳，而稀疏角度估计算法适合低信噪比和较少快拍数的场景。

发明内容

本发明的目的是提供一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，考虑了不利传输环境对DOA估计造成的影响，建立稀疏重建Toeplitz矩阵的优化问题，获得稀疏行索引对应的角度即为入射信号的角度，达到了在低信噪比和低快拍数下能够估计出来波信号方向的目的。

本发明所采用的技术方案是，一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，具体按照以下步骤实施：

步骤1、构造四阶累积量函数，消除色噪声的影响；

步骤2、利用接收信号的累积量表现出范德蒙形式的特点，构造满秩的Toeplitz矩阵，消除多径造成的信源相干问题的影响；

步骤3、对Toeplitz矩阵进行SVD分解，用于降维并得到加权系数；

步骤4、构造稀疏冗余字典、稀疏矩阵、加权矩阵；

步骤5、以约束稀疏矩阵的零范数为目标，建立稀疏角度优化问题，并将其转化为二阶锥问题，使用CVX优化工具包求解角度信息。

本发明的特点还在于，

步骤1如下：

步骤1.1、假设空间中有一个M元均匀线性阵列，阵元间距d＝λ/2，其中λ为信号波长，K个远场窄带信号入射到阵列上，设入射信号的到达角为θ_k，k＝1,...,K，利用硬件设备经过采样、滤波后，阵列接收到的信号表示为：

X(t)＝AS(t)+N(t) (1)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_K)]是阵列流形矩阵，由导向矢量

组成，S(t)表示入射信号，N(t)为高斯色噪声，假设N(t)由高斯白噪声经过二阶滤波器后生成；

步骤1.2、当接收信号之间相干时，有

X(t)＝AS(t)+N(t)＝AΓs₁(t) (2)

其中S(t)＝Γs₁(t)，Γ＝diag{γ₁,γ₂,...,γ_K}为信号之间的相干系数矩阵，所有的信号是入射信号s₁(t)的复制，信号之间只相差一个相干系数；

步骤1.3、使用高阶累积量对雷达阵列或无线通信阵列中各阵元的接收信号进行处理，第一个阵元接收的数据为：

其中n₁(t)是第一个阵元上的噪声；

第m个阵元的接收数据为：

其中n_m(t)是第m个阵元上的噪声，

是第k个信号在第m个阵元上的导向矢量；

步骤1.4、定义如下的四阶累积量函数：

其中cum(·)表示信号的累积量操作，x₁(t)表示第一个阵元的接收信号，x_m(t)表示第m个阵元的接收信号，ρ＝cum(s₁(t),s₁(t),s₁(t),s₁(t))表示信号的四阶累积量。

步骤2如下：

Toeplitz矩阵一个包含阵列导向矢量的满秩矩阵，所述Toeplitz矩阵为：

其中，Β是K×K维对角矩阵，且有

diag{·}表示对角矩阵。

步骤3如下：

理想情况下，高阶累积量的快拍数是无限长的，实际中只能取有限快拍去近似高阶累积量：

其中N是快拍数；x_i(t),x_j(t),x_p(t),x_q(t)分别表示第i,j,p,q个阵元上接收到的信号，1≤i,j,p,q≤M；

对Toeplitz矩阵C进行奇异值(Singular Value Decomposition,SVD)分解操作，得到C＝UΣV^H，其中U是矩阵C的左奇异矢量，V是C的右奇异矢量，Σ是由奇异值组成的对角矩阵，奇异值从大到小排列，通过SVD分解进行降维处理，构造信号子空间，利用信号子空间，构造如下的降维矩阵：

C_s＝UΣD＝CVD (8)

其中

(·)^T表示矩阵转置，I_K是K×K维单位矩阵，0_K×(M-K)是K×(M-K)维的零矩阵。

步骤4如下：

步骤4.1、将空间划分为L个网格，这些网格组成了可能的到达角方向的集合Θ＝{θ₁,θ₂,...,θ_L}，构造一个冗余字典

步骤4.2、引入稀疏矩阵T，得到稀疏矩阵T的非零行索引，从到达角方向的集合里找出索引对应的角度就可以估计出波达角方向，结合冗余字典，降维矩阵可以稀疏重构为

用l₀范数对稀疏矩阵进行约束，角度估计问题转化为求解稀疏矩阵T的问题，具体表示为：

其中

是由矩阵T每一行的l₂范数组成的向量，即

表示对稀疏矩阵T的第i行求l₂范数，||·||₀表示零范数，

的物理意义是对稀疏矩阵添加非零行约束，上述优化问题转化为最小化矩阵T非零行的l₁范数：

其中||·||₁是对向量求l₁范数，||·||_F表示求矩阵的Frobenius范数，ε是误差范围；

步骤4.3、冗余字典中包含对实际来波信号对应的导向矢量

以及剩余稀疏填充的导向矢量

定义矩阵

其中U_n＝UF是Toeplitz矩阵C的噪声子空间，F＝[0_K×(M-K),I_M-K]，令

矩阵T的加权稀疏系数表示为：

则加权矩阵表示为W_r＝diag{w}，是一个L×L维的对角矩阵。

步骤5如下：

优化问题变为：

其中μ是正则化参数，μ的值越大，矩阵T越稀疏，

上述优化问题转化为如下所示的二阶锥规划进行求解：

其中Z是

向量化后的结果，p,q,r_i,r是中间变量，1′表示元素值均为1的行向量，在MATLAB软件仿真平台上通过使用CVX优化工具箱对上式求解，得到T的非零行索引，即可得到目标信号的角度信息。

本发明的有益效果是，一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，实际信号的传播环境是十分恶劣的，经过路径损耗后，达到接收机的功率可能是十分微小的，因此需要考虑低信噪比环境下的角度估计精度的问题；为了减轻接收机的负担的数据处理复杂度，采样数据的快拍数应尽可能小。本发明将稀疏角度估计算法运用于解决多径和高斯色噪声环境的角度估计问题，建立稀疏重建Toeplitz矩阵的优化问题，获得稀疏行索引对应的角度即为入射信号的角度，在低信噪比和较少快拍数的条件下取得了比现有技术方案更好的估计结果。

附图说明

图1为本发明实施例一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法的流程图；

图2为本发明实施例中均匀阵列接收信号示意图；

图3为本发明验证实施例中的算法与其他算法在低信噪比和较少快拍数下的效果对比示意图；

图4为本发明验证实施例中的算法与其他算法在高信噪比和较多快拍数下的效果对比示意图；

图5为本发明验证实施例中的算法随信噪比变化的效果示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式对本发明进行详细说明。

本发明一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，流程图如图1所示，具体按照以下步骤实施：

步骤1、构造四阶累积量函数，消除色噪声的影响；

步骤1如下：

步骤1.1、假设空间中有一个M元均匀线性阵列，阵元间距d＝λ/2，其中λ为信号波长，K个远场窄带信号入射到阵列上，设入射信号的到达角为θ_k，k＝1,...,K，如图2所示，利用硬件设备经过采样、滤波后，阵列接收到的信号表示为：

X(t)＝AS(t)+N(t) (1)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_K)]是阵列流形矩阵，由导向矢量

组成，S(t)表示入射信号，N(t)为高斯色噪声，实际中高斯白噪声经过接收滤波器后变为色噪声，对角度估计造成了影响。这里假设N(t)由高斯白噪声经过二阶滤波器后生成；

步骤1.2、当接收信号之间相干时，有

X(t)＝AS(t)+N(t)＝AΓs₁(t) (2)

其中S(t)＝Γs₁(t)，Γ＝diag{γ₁,γ₂,...,γ_K}为信号之间的相干系数矩阵，一般以第一个信号为参考，即γ₁＝1。因为信号之间相干，所以所有的信号是入射信号s₁(t)的复制，信号之间只相差一个相干系数；

步骤1.3、为了抵抗高斯色噪声，利用高阶累积量本身具有抑制高斯色噪声的特性，使用高阶累积量对雷达阵列或无线通信阵列中各阵元的接收信号进行处理，第一个阵元接收的数据为：

其中n₁(t)是第一个阵元上的噪声；

第m个阵元的接收数据为：

其中n_m(t)是第m个阵元上的噪声，

是第k个信号在第m个阵元上的导向矢量；

步骤1.4、定义如下的四阶累积量函数：

其中cum(·)表示信号的累积量操作，x₁(t)表示第一个阵元的接收信号，x_m(t)表示第m个阵元的接收信号，ρ＝cum(s₁(t),s₁(t),s₁(t),s₁(t))表示信号的四阶累积量。根据高斯分量的四阶累积量恒等于零的性质，因此可以抑制高斯色噪声的影响。

步骤2、利用接收信号的累积量表现出范德蒙形式的特点，构造满秩的Toeplitz矩阵，消除多径造成的信源相干问题的影响；

步骤2如下：

范德蒙矩阵与其共轭转置的乘积为Toeplitz矩阵。Toeplitz矩阵一个包含阵列导向矢量的满秩矩阵，从而实现了解相干处理，所述Toeplitz矩阵为：

其中，Β是K×K维对角矩阵，且有

diag{·}表示对角矩阵。

步骤3、对Toeplitz矩阵进行SVD分解，用于降维并得到加权系数；

步骤3如下：

从公式(6)可以看出，矩阵C为满秩矩阵，消除了信号之间的相干性。需要注意的是，理想情况下，高阶累积量的快拍数是无限长的，实际中只能取有限快拍去近似高阶累积量：

其中N是快拍数；x_i(t),x_j(t),x_p(t),x_q(t)分别表示第i,j,p,q个阵元上接收到的信号，1≤i,j,p,q≤M；

实际信号的传播环境是十分恶劣的，经过路径损耗后，达到接收机的功率可能是十分微小的，因此需要考虑低信噪比环境下的角度估计精度的问题，而稀疏角度估计算法在低信噪比下性能表现良好，因此本发明基于公式(6)提出了一种稀疏角度估计算法。

对Toeplitz矩阵C进行SVD分解操作，得到C＝UΣV^H，其中U是矩阵C的左奇异矢量，V是C的右奇异矢量，Σ是由奇异值组成的对角矩阵，奇异值从大到小排列，通过SVD分解进行降维处理，构造信号子空间，减少了数据处理的复杂度。利用信号子空间，构造如下的降维矩阵：

C_s＝UΣD＝CVD (8)

其中

(·)^T表示矩阵转置，I_K是K×K维单位矩阵，0_K×(M-K)是K×(M-K)维的零矩阵。

步骤4、构造稀疏冗余字典、稀疏矩阵、加权矩阵；

步骤4如下：

步骤4.1、目标信号仅分布在空间内的某些位置，因此在空域内具有稀疏性，从稀疏空间中找到信号功率最大的方向，即为目标信号的角度。将空间划分为L个网格，这些网格组成了可能的到达角方向的集合Θ＝{θ₁,θ₂,...,θ_L}，构造一个冗余字典

步骤4.2、引入稀疏矩阵T，得到稀疏矩阵T的非零行索引，从到达角方向的集合里找出索引对应的角度就可以估计出波达角方向，结合冗余字典，降维矩阵可以稀疏重构为

稀疏矩阵中含有大量的冗余信息，关键在于找到非零行的位置，这个优化问题可以进一步转化为最小化非零行的个数，一般是用l₀范数对稀疏矩阵进行约束，角度估计问题转化为求解稀疏矩阵T的问题，具体表示为：

其中

是由矩阵T每一行的l₂范数组成的向量，即

表示对稀疏矩阵T的第i行求l₂范数，||·||₀表示零范数，

的物理意义是对稀疏矩阵添加非零行约束，零范数是一个非凸的函数，一般考虑使用其他范数去逼近零范数。这里将零范数近似为l₁范数。

上述优化问题转化为最小化矩阵T非零行的l₁范数：

其中||·||₁是对向量求l₁范数，||·||_F表示求矩阵的Frobenius范数，ε是误差范围；

步骤4.3、为了能够使得l₁范数能够更好地近似逼近l₀范数，对稀疏矩阵进行加权处理。冗余字典中包含对实际来波信号对应的导向矢量

以及剩余稀疏填充的导向矢量

定义矩阵

其中U_n＝UF是Toeplitz矩阵C的噪声子空间，F＝[0_K×(M-K),I_M-K]，令

矩阵T的加权稀疏系数表示为：

则加权矩阵表示为W_r＝diag{w}，是一个L×L维的对角矩阵。

根据导向矢量与噪声子空间的正交性，则

的值趋近于0，

的值趋近于1。

步骤5、以约束稀疏矩阵的零范数为目标，建立稀疏角度优化问题，并将其转化为二阶锥问题，使用CVX优化工具包求解角度信息。

步骤5如下：

优化问题变为：

其中μ是正则化参数，用来限制矩阵T中行的稀疏性，μ的值越大，矩阵T越稀疏，因为噪声子空间的原因，加权系数起到了惩罚信号的作用，即大的权值对零行的惩罚力度大，小的权值对非零行的惩罚力度小。

上述优化问题转化为如下所示的二阶锥规划进行求解：

其中Z是

向量化后的结果，p,q,r_i,r是中间变量，1′表示元素值均为1的行向量，在MATLAB软件仿真平台上通过使用CVX优化工具箱对上式求解，得到T的非零行索引，即可得到目标信号的角度信息。

对本发明实施例的方法进行了验证。假设均匀线性阵列的阵元数为6，有2个来波信号入射到阵列上，入射角度分别为24°、30°，信噪比为5dB，快拍数为200，设置噪声的是高斯色噪声，由高斯白噪声经过二阶滤波器产生。

如图3所示，本发明采用的对比方法为：(1)l₁-SVD稀疏角度估计算法：直接对接收信号做处理，利用奇异值分解对数据进行降维，稀疏重构导向矢量，通过求解稀疏优化问题估计角度。(2)基于四阶累积量角度估计算法：构造四阶累积量矩阵使用MUSIC算法搜索谱峰最大值得到信源的角度。(3)基于四阶累积量重构矩阵的MUSIC算法：先利用接收信号构造四阶累积量矩阵抑制噪声，然后构造Toeplitz矩阵以实现信源解相干，使用MUSIC算法搜索谱峰最大值估计出目标的角度。

如图3所示，本发明所提出的算法在低信噪比和低快拍下，空间功率(Power)谱峰比较尖锐，可以清晰地分辨出两个入射信号角度(Angle)，说明本发明提出的算法可以有效地抵抗相干信源和高斯色噪声，而其他算法只能分辨出一个角度。与基于四阶累积量重构Toeplitz矩阵的MUSIC算法相比，本发明所提出的算法因为使用了稀疏角度估计算法，所以角度分辨率有所提升。基于四阶累积量角度估计算法虽然可以抑制色噪声，但是不具有解信源相干的能力，所以估计性能较差；基于l₁-SVD稀疏角度估计算法虽然对相干信源有良好的性能，从图3中可以看出其谱峰也比较尖锐，但是由于高斯色噪声的影响只能分辨出一个信号角度，通过仿真验证了本发明算法的有效性。

其他仿真参数不变，图4仿真了信噪比为10dB时，快拍数为500时，不同算法的性能对比。从图4中可以看出，本发明提出的算法具有良好的估计性能，可以清晰地分辨出两个信源。增大信噪比和快拍数后，基于四阶累积量重构Toeplitz矩阵的MUSIC算法也可以正确估计出角度，而l₁-SVD稀疏角度估计算法和基于四阶累积量角度估计算法仍然不能分辨出角度。这体现了本发明算法对信噪比的要求不高，无论是低信噪比还是高信噪比，都可以估计出角度。

如图5所示，比较了基于四阶累积量重构Toeplitz矩阵的MUSIC算法和本发明所提算法随不同信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)变化的均方误差(Root Mean SquareError,RMSE)曲线。从图中可以看出，随着信噪比的增加，两种算法的均方误差都有所下降；但是本发明所提算法的均方误差始终小于基于四阶累积量重构Toeplitz矩阵的MUSIC算法，表明所提算法有较好的估计性能。

Claims (6)

1.一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，具体按照以下步骤实施：

步骤1、构造四阶累积量函数，消除色噪声的影响；

步骤2、利用接收信号的累积量表现出范德蒙形式的特点，构造满秩的Toeplitz矩阵，消除多径造成的信源相干问题的影响；

步骤3、对Toeplitz矩阵进行SVD分解，用于降维并得到加权系数；

步骤4、构造稀疏冗余字典、稀疏矩阵、加权矩阵；

步骤5、以约束稀疏矩阵的零范数为目标，建立稀疏角度优化问题，并将其转化为二阶锥问题，使用CVX优化工具包求解角度信息。

2.根据权利要求1所述的一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，所述步骤1如下：

步骤1.1、假设空间中有一个M元均匀线性阵列，阵元间距d＝λ/2，其中λ为信号波长，K个远场窄带信号入射到阵列上，设入射信号的到达角为θ_k，k＝1,...,K，利用硬件设备经过采样、滤波后，阵列接收到的信号表示为：

X(t)＝AS(t)+N(t) (1)

其中A＝[a(θ₁),a(θ₂),...,a(θ_K)]是阵列流形矩阵，由导向矢量

组成，S(t)表示入射信号，N(t)为高斯色噪声，假设N(t)由高斯白噪声经过二阶滤波器后生成；

步骤1.2、当接收信号之间相干时，有

X(t)＝AS(t)+N(t)＝AΓs₁(t) (2)

其中S(t)＝Γs₁(t)，Γ＝diag{γ₁,γ₂,...,γ_K}为信号之间的相干系数矩阵，所有的信号是入射信号s₁(t)的复制，信号之间只相差一个相干系数；

步骤1.3、使用高阶累积量对雷达阵列或无线通信阵列中各阵元的接收信号进行处理，第一个阵元接收的数据为：

其中n₁(t)是第一个阵元上的噪声；

第m个阵元的接收数据为：

其中n_m(t)是第m个阵元上的噪声，

是第k个信号在第m个阵元上的导向矢量；

步骤1.4、定义如下的四阶累积量函数：

其中cum(·)表示信号的累积量操作，x₁(t)表示第一个阵元的接收信号，x_m(t)表示第m个阵元的接收信号，ρ＝cum(s₁(t),s₁(t),s₁(t),s₁(t))表示信号的四阶累积量。

3.根据权利要求2所述的一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，所述步骤2如下：

Toeplitz矩阵一个包含阵列导向矢量的满秩矩阵，，所述Toeplitz矩阵为：

其中，Β是K×K维对角矩阵，且有

diag{·}表示对角矩阵。

4.根据权利要求3所述的一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，所述步骤3如下：

理想情况下，高阶累积量的快拍数是无限长的，实际中只能取有限快拍去近似高阶累积量：

其中N是快拍数；x_i(t),x_j(t),x_p(t),x_q(t)分别表示第i,j,p,q个阵元上接收到的信号，1≤i,j,p,q≤M；

对Toeplitz矩阵C进行SVD分解操作，得到C＝UΣV^H，其中U是矩阵C的左奇异矢量，V是C的右奇异矢量，Σ是由奇异值组成的对角矩阵，奇异值从大到小排列，通过SVD分解进行降维处理，构造信号子空间，利用信号子空间，构造如下的降维矩阵：

C_s＝UΣD＝CVD (8)

其中

(·)^T表示矩阵转置，I_K是K×K维单位矩阵，0_K×(M-K)是K×(M-K)维的零矩阵。

5.根据权利要求4所述的一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，所述步骤4如下：

步骤4.1、将空间划分为L个网格，这些网格组成了可能的到达角方向的集合Θ＝{θ₁,θ₂,...,θ_L}，构造一个冗余字典

步骤4.2、引入稀疏矩阵T，得到稀疏矩阵T的非零行索引，从到达角方向的集合里找出索引对应的角度就可以估计出波达角方向，结合冗余字典，降维矩阵可以稀疏重构为

用l₀范数对稀疏矩阵进行约束，角度估计问题转化为求解稀疏矩阵T的问题，具体表示为：

其中

是由矩阵T每一行的l₂范数组成的向量，即

表示对稀疏矩阵T的第i行求l₂范数，||·||₀表示零范数，

的物理意义是对稀疏矩阵添加非零行约束，上述优化问题转化为最小化矩阵T非零行的l₁范数：

其中||·||₁是对向量求l₁范数，||·||_F表示求矩阵的Frobenius范数，ε是误差范围；

步骤4.3、冗余字典中包含对实际来波信号对应的导向矢量

以及剩余稀疏填充的导向矢量

定义矩阵

其中U_n＝UF是Toeplitz矩阵C的噪声子空间，F＝[0_K×(M-K),I_M-K]，令

矩阵T的加权稀疏系数表示为：

则加权矩阵表示为W_r＝diag{w}，是一个L×L维的对角矩阵。

6.根据权利要求5所述的一种多径和高斯色噪声环境下的稀疏角度估计方法，其特征在于，所述步骤5如下：

优化问题变为：

其中μ是正则化参数，μ的值越大，矩阵T越稀疏，

上述优化问题转化为如下所示的二阶锥规划进行求解：

其中Z是

向量化后的结果，p,q,r_i,r是中间变量，1′表示元素值均为1的行向量，在MATLAB软件仿真平台上通过使用CVX优化工具箱对上式求解，得到T的非零行索引，即可得到目标信号的角度信息。

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