CN110927662A - 基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法 - Google Patents

Abstract

基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法，利用y轴方向分布的均匀声矢量传感器对称线性阵列，利用四阶累积量和平行因子方法估计近场源俯仰角、方位角和距离三维参数；由声压和x、y、z轴的四个子阵接收数据矩阵构造四个可以有效提取近场源信号参数的四阶累积量矩阵，由四阶累积量矩阵构造三面阵，根据三线性分解唯一可辨识性得到D、A和B的估计值

和

由估计值

得到Γ₁、Γ₂和Γ₃的第k行第k列的估计值

从而得到声源信号的距离，俯仰角和方位角的估计；本发明方法避免了对称阵列子空间类方法造成的阵列孔径损失，保持了阵列孔径，具有更高的阵列分辨率和分辨精度，参数自动配对，计算量低且具有较高的参数估计精度。

Description

基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及一种声矢量传感器阵列的近场声源参数估计的四阶累积量与平行因子方法。

背景技术

信源参数估计问题在声纳、雷达、电子监控等领域有着广泛的应用，在远场情况下，信号波前视为平面，每个信源位置可由该信源的到达角唯一确定，然而当信源接近阵列时，即近场情况下，信号波前不能视为平面，此时信源波前通常用球面波来描述，每个信源位置由距离和到达角来确定，一些成熟有效的远场源参数估计算法不再适用于近场的情况。近场源参数估计中最常用的对称阵列方法就是利用对称阵列的相位关系将近场的阵列导向矢量转化为远场阵列导向矢量的形式，从而远场的方法可以用于近场的到达角估计，但是该方法造成严重的阵列孔径损失；近场压缩感知的字典是高维字典计算量很大，降维是降低计算量的一种有效途径，常见的降维方法是将高维字典变为几个一维字典，每个一维字典可稀疏重构出一个参数，需要将不同字典得到的参数进行配对，多维参数的配对问题也是一个复杂的问题；如何减少阵列孔径损失，如何有效的进行参数配对，一直以来都是学者们研究的热点问题。

平行因子分析是三面或更高面阵低秩分解的总称，平行因子分析是从心理测量学发展而来的多路方法，在化学计量学和相关领域获得越来越多的关注。多路数据在交叉测量中具有一系列的变量，确定这样的变量产生三路数据，数据可以被安排在多维数据集中而不是标准的多变量数据的一个矩阵中，在心里测量学中一个典型的数据集就是测量不同情况不同人的一系列变量。实际情况中很多其他类型的数据也可能是多路的。平行因子分析方法被用于分光光度分析、化学统计和心理测验等领域。平行因子分析可以看作是一种特殊的联合对角化方法，要求矩阵的k秩满足一定要求即可获得唯一性分解，因此比通常的联合对角化方法适用的条件更为宽松。四阶累积量包含了信号的幅度信息和相位信息，同时其对高斯噪声具有抑制作用，能有效提取出信号中的非高斯成分。

因此，本发明将信号的四阶累积量与平行因子方法结合，运用于窄带信号的多参数估计当中。四阶累积量矩阵充分凸显信号特性，方便后续的参数提取，平行因子分析从三路交叉数据测量中获取信号参数估计。本发明方法不需要参数配对，避免了接收信号空间谱的多维搜索时产生的误差，有效提高到达角估计的分辨率和稳定性，从仿真结果可以看出本方明方法的参数估计精度明显优于高阶基于旋转不变技术的信号参数估计(ESPRIT，estimating signal parameter via rotational invariance techniques)方法。

发明内容

本发明的目的是提供一种可以有效解决近场窄带非相干源的声矢量传感器阵列三维参数估计问题。

为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：

有K个窄带、非高斯、独立的平稳信号从近场入射到由L＝2P+1个均匀布置于y轴的均匀对称线阵上，所述阵元是由声压传感器和x、y和z轴方向的振速传感器构成的声矢量传感器阵列，第k个信号的入射方向为(θ_k，φ_k)，θ_k表示第k个信号的俯仰角，φ_k表示第k个信号的方位角，两相邻阵元间隔为d，阵元间隔d小于或者等于入射信号最小波长的四分之一，将信号源解调到中频并采样后，第k个信号表示为

f_k为第k个信号的频率；

基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法的步骤如下：

步骤一、利用L个阵元构成的均匀对称线阵作为接收阵列，接收K个窄带、非高斯、独立的近场平稳信号，阵列的M次快拍构成声压传感器子阵接收数据矩阵

x轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

y轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

z轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

步骤二、由四个子阵接收数据矩阵Z^[p]，Z^[x]，Z^[y]，Z^[z]构造四个可以有效提取近场源信号的俯仰角、方位角和距离参数的四阶累积量矩阵C₁＝AC_4，sA^H、C₂＝AΓ₁C_4，sA^H、C₃＝AΓ₂C_4，sA^H和C₄＝AΓ₃C_4，sA^H；

其中，C₁、C₂、C₃和C₄为L×L的四阶累积量矩阵，四阶累积量矩阵C₁的第m行和n列元素为

cum{·}表示求四阶累积量，(·)^H表示转置复共轭，

表示第m个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵，

表示第n个阵元的声压传感器接收的数据矩阵；C₂的第m行和n列元素为

表示第n个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₃的第m行和n列元素为

表示第n个阵元x轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₄的第m行和n列元素为

表示第n个阵元y轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；A是一个L×K维的信号导向矢量矩阵，它的第k列可以表示为：

λ_k为第k个信号的波长，

为K个入射信号的信源幅度构成的对角矩阵，diag(·)表示对角矩阵，

表示C_4，s的第k行第k列的元素，

表示第k个信号的四阶累积量，包含信号参数的对角矩阵Γ₁，Γ₂，Γ₃为：

其中，

λ_k是第k个信号的波长，r_k为第k个信号到坐标原点的距离；

步骤三、由四阶累积量矩阵C₁、C₂、C₃和C₄构造L×L×4维三面阵Z、X、Y，三面阵为平行因子模型；

其中z轴方向的切片模型Z可写成：

令B＝A^H，Z写成Khatri-Rao积形式可以表示为Z＝(DΘA)B+N_Z，其中Θ为矩阵的Khatri-Rao积运算，矩阵D具体可以写成D＝[g^-1(C_4，s)；g^-1(Γ₁C_4，s)；g^-1(Γ₂C_4，s)；g^-1(Γ₃C_4，s)]，其中g^-1(◇）为对角阵◇中对角线上元素以行的形式组成的向量，构造x轴平行因子切片模型X＝[Z(1，：，：)，Z(2，：，：)，…，Z(L，：，：)]^T＝(AΘB^T)D^T+N_X，构造y轴方向的切片模型Y＝[Z(：，1，：)，Z(：，2，：)，…，Z(：，L，：)]^T＝(B^TΘD)A^T+N_Y，X、Z和Y为三面阵，并且N_Z、N_X和N_Y为由噪声构成的三面阵；三面阵的矩阵元素按照行、列和道的方式进行排列，Z(：，：，1)表示三面阵Z的第1道的元素，Z(：，1，：)表示三面阵Z的第1列的元素，Z(1，：，：)表示三面阵Z的第1行的元素；

步骤四、根据矩阵A与B和D的维度和特性确定A与B和D矩阵的k秩和与2K+2的大小关系，判定平行因子模型k秩分解是否可唯一确定；当k_A+k_B+k_D≥2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是可唯一确定的；当k_A+k_B+k_D＜2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是不能唯一确定的；

其中K为入射信号的个数，当有K个信号入射到阵列上时，矩阵维度为L×K的A和矩阵维度为L×K的B都是范德蒙矩阵，矩阵A与B的k秩为k_A＝k_B＝K。D的矩阵维度为4×K，其最大线性独立的列数为min(4，K)，min(4，K)表示取4和K中的最小值，因此矩阵D的k秩为k_D＝min(4，K)。当信源个数K≥2时，满足k_A+k_B+k_D＝2K+min(4，K)≥2K+2，所构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解可唯一确定；

步骤五、利用k秩分解可唯一确定的三面阵Z、X、Y，根据三线性分解唯一可辨识性的得到D、A和B的估计值

和

该过程根据三线性交替最小二乘(TALS)方法来实现：

表示所有的B中使得表达式取得最小的B的取值为

||·||_F表示Frobenius范数，

表示使表达式取最小值的B，

表示所有的D^T中使得表达式取得最小的D^T的取值为

表示所有的D^T中使得表达式最小的D^T的取值为

步骤六、由估计值

得到Γ₁、Γ₂和Γ₃的第k行第k列的估计值分别为

其中

为

的第1行第k列的元素，

表示

的第2行第k列的元素，

为

的第3行第k列的元素，

表示

的第4行第k列的元素；

步骤七、根据

可得声源信号到坐标原点的距离，俯仰角和方位角的估计分别为：

前述步骤中的k＝1，...，K为信号个数序号，l＝-P，...，0，...，P为阵元数序号，j为虚拟单位矢量，m＝-P，...，0，...，P为阵元序号，n＝-P，...，0，...，P为阵元序号。

本发明提出了一种近场声源方位角、俯仰角和距离估计的四阶累积量方法，四阶累积量方法具有盲高斯性，特别适合非高斯信号的参数估计，本发明方法避免了对称阵列子空间类方法造成的阵列孔径损失，保持了阵列孔径具有更高的阵列分辨率和分辨精度；本发明的四阶累积量和平行因子方法参数自动配对，不需要额外的配对运算，计算量低且具有较高的参数估计精度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中需要使用的附图做简单介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明的阵列结构示意图；

图2为本发明方法的流程图；

图3为信噪比为15dB时本发明方法到达角估计散点图；

图4为信噪比为15dB时高阶ESPRIT方法到达角估计散点图；

图5为本发明方法和高阶ESPRIT方法距离估计均方根误差对比图；

图6为本发明方法和高阶ESPRIT方法到达角估计均方根误差对比图。

具体实施方式

为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下。

参照图1，本发明的基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法的步骤如下：L＝2P+1个阵元构成的均匀对称线阵接收K个窄带、非高斯、独立的平稳近场声源信号，所述阵元是由声压传感器和x、y和z轴方向的振速传感器构成的声矢量传感器阵列，第k个信号的入射方向为(θ_k，φ_k)，θ_k表示第k个信号的俯仰角，φ_k表示第k个信号的方位角，两相邻阵元间隔为d，阵元间隔d小于或者等于入射信号最小波长的四分之一，将信号源解调到中频并采样后，第k个信号表示为

f_k为第k个信号的频率。

参照图2，基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累积量方法的步骤如下：

步骤一、利用L个阵元构成的均匀对称线阵作为接收阵列，接收K个窄带、非高斯、独立的近场平稳信号，阵列的M次快拍构成声压传感器子阵接收数据矩阵

x轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

y轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

z轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

步骤二、由四个子阵接收数据矩阵Z^[p]，Z^[x]，Z^[y]，Z^[z]构造四个可以有效提取近场源信号的俯仰角、方位角和距离参数的四阶累积量矩阵C₁＝AC_4，sA^H、C₂＝AΓ₁C_4，sA^H、C₃＝AΓ₂C_4，sA^H和C₄＝AΓ₃C_4，sA^H；

其中，C₁、C₂、C₃和C₄为L×L的四阶累积量矩阵，四阶累积量矩阵C₁的第m行和n列元素为

cum{·}表示求四阶累积量，(·)^H表示转置复共轭，

表示第m个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵，

表示第n个阵元的声压传感器接收的数据矩阵；C₂的第m行和n列元素为

表示第n个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₃的第m行和n列元素为

表示第n个阵元x轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₄的第m行和n列元素为

表示第n个阵元y轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；A是一个L×K维的信号导向矢量矩阵，它的第k列可以表示为：

λ_k为第k个信号的波长，

为K个入射信号的信源幅度构成的对角矩阵，diag(·)表示对角矩阵，

表示C_4，s的第k行第k列的元素，

表示第k个信号的四阶累积量，包含信号参数的对角矩阵Γ₁，Γ₂，Γ₃为：

其中，

λ_k是第k个信号的波长，r_k为第k个信号到坐标原点的距离；

步骤三、由四阶累积量矩阵C₁、C₂、C₃和C₄构造L×L×4维三面阵Z、X、Y，三面阵为平行因子模型；

其中z轴方向的切片模型Z可写成：

令B＝A^H，Z写成Khatri-Rao积形式可以表示为Z＝(DΘA)B+N_Z，其中Θ为矩阵的Khatri-Rao积运算，矩阵D具体可以写成D＝[g^-1(C_4，s)；g^-1(Γ₁C_4，s)；g^-1(Γ₂C_4，s)；g^-1(Γ₃C_4，s)]，其中g^-1(◇)为对角阵◇中对角线上元素以行的形式组成的向量，构造x轴平行因子切片模型X＝[Z(1，：，：)，Z(2，：，：)，…，Z(L，：，：)]^T＝(AΘB^T)D^T+N_X，构造y轴方向的切片模型Y＝[Z(：，1，：)，Z(：，2，：)，…，Z(：，L，：)]^T＝(B^TΘD)A^T+N_Y，X、Z和Y为三面阵，并且N_Z、N_X和N_Y为由噪声构成的三面阵；三面阵的矩阵元素按照行、列和道的方式进行排列，Z(：，：，1)表示三面阵Z的第1道的元素，Z(：，1，：)表示三面阵Z的第1列的元素，Z(1，：，：)表示三面阵Z的第1行的元素；

步骤四、根据矩阵A与B和D的维度和特性确定A与B和D矩阵的k秩和与2K+2的大小关系，判定平行因子模型k秩分解是否可唯一确定；当k_A+k_B+k_D≥2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是可唯一确定的；当k_A+k_B+k_D＜2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是不能唯一确定的；

其中K为入射信号的个数，当有K个信号入射到阵列上时，矩阵维度为L×K的A和矩阵维度为L×K的B都是范德蒙矩阵，矩阵A与B的k秩为k_A＝k_B＝K。D的矩阵维度为4×K，其最大线性独立的列数为min(4，K)，min(4，K)表示取4和K中的最小值，因此矩阵D的k秩为k_D＝min(4，K)。当信源个数K≥2时，满足k_A+k_B+k_D＝2K+min(4，K)≥2K+2，所构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解可唯一确定；

步骤五、利用k秩分解可唯一确定的三面阵Z、X、Y，根据三线性分解唯一可辨识性的得到D、A和B的估计值

和

该过程根据三线性交替最小二乘(TALS)方法来实现：

表示所有的B中使得表达式取得最小的B的取值为

||·||_F表示Frobenius范数，

表示使表达式取最小值的B，

表示所有的D^T中使得表达式取得最小的D^T的取值为

表示所有的D^T中使得表达式最小的D^T的取值为

步骤六、由估计值

得到Γ₁、Γ₂和Γ₃的第k行第k列的估计值分别为

其中

为

的第1行第k列的元素，

表示

的第2行第k列的元素，

为

的第3行第k列的元素，

表示

的第4行第k列的元素；

步骤七、根据

可得声源信号到坐标原点的距离，俯仰角和方位角的估计分别为：

前述步骤中的k＝1，...，K为信号个数序号，l＝-P，...，0，...，P为阵元数序号，j为虚拟单位矢量，m＝-P，...，0，...，P为阵元序号，n＝-P，...，0，...，P为阵元序号。

本发明方法利用y轴方向分布的均匀声矢量传感器对称线性阵列，利用四阶累积量和平行因子方法估计近场源俯仰角、方位角和距离三维参数，通过构造方便参数提取的四阶累积量矩阵，利用四阶累积量矩阵构造满足k秩分解唯一确定的三面阵平行因子模型，通过三线性交替投影得到多参数的估计，该方法不存在阵列孔径损失，不需要参数配对运算，具有高于高阶ESPRIT的参数估计精度。

本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：

仿真实验条件如下：

图1所示为本发明实施例的阵列结构示意图，本发明的声矢量传感器阵列由9个声矢量传感器组成，即L＝9，P＝4；考虑两个信号源的情况，它的参数分别为，俯仰角(θ₁，θ₂)＝(20°，40°)，方位角(φ₁，φ₂)＝(30°，60°)，距离r₁＝6.2λ，r₂＝0.8λ，阵元间距d＝λ/4，其中λ为入射信号的最小波长，采样频率f_s＝1000Hz，噪声为高斯色噪声。图3和图4为信噪比为15dB，进行100次估计结果的散点图，由图3和图4可知，本发明方法的方位角紧紧围绕在真实值附近，而高阶ESPRIT方法在方位角这一维度上出现了较大的偏差，但整体上还是围绕在真实值附近。由图5和图6可知，两种方法的距离和到达角参数的均方根误差随着信噪比的增大而减小，本发明方法角度估计性能高于高阶ESPRITT方法而距离估计两种方法精度相当。本发明方法是一种十分有效并且易于工程实现的近场声源多参数估计方法。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.基于声矢量传感器的近场多参数估计四阶累计量方法，其特征在于：

所述声矢量传感器阵列由L个等间隔布置于y轴的阵元构成的均匀对称线阵，阵元是由声压传感器和x、y和z轴方向的振速传感器构成的声矢量传感器，两相邻阵元间隔为d，阵元间隔d小于或者等于入射信号最小波长的四分之一；

近场多参数估计四阶累计量方法的步骤如下：阵列接收K个窄带、非高斯、独立的平稳近场声源信号，

步骤一、利用L个阵元构成的均匀对称线阵作为接收阵列，接收K个窄带、非高斯、独立的近场平稳信号，阵列的M次快拍构成声压传感器子阵接收数据矩阵

x轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

y轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

z轴方向的振速传感器子阵接收数据矩阵

步骤二、由四个子阵接收数据矩阵Z^[p]，Z^[x]，Z^[y]，Z^[z]构造四个可以有效提取近场源信号的俯仰角、方位角和距离参数的四阶累积量矩阵C1＝AC_4，sA^H、C₂＝AΓ₁C_4，sA^H、C₃＝AΓ₂C_{4， s}A^H和C₄＝AΓ₃C_4，sA^H；

其中，C₁、C₂、C₃和C₄为L×L的四阶累积量矩阵，四阶累积量矩阵C₁的第m行和n列元素为

cum{·}表示求四阶累积量，(·)^H表示转置复共轭，

表示第m个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵，

表示第n个阵元的声压传感器接收的数据矩阵；C₂的第m行和n列元素为

表示第n个阵元z轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₃的第m行和n列元素为

表示第n个阵元x轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；C₄的第m行和n列元素为

表示第n个阵元y轴方向的振速传感器接收的数据矩阵；A是一个L×K维的信号导向矢量矩阵，它的第k列可以表示为：

λ_k为第k个信号的波长，

为K个入射信号的信源幅度构成的对角矩阵，diag(·)表示对角矩阵，

表示C_4，s的第k行第k列的元素，

表示第k个信号的四阶累积量，包含信号参数的对角矩阵Γ₁，Γ₂，Γ₃为：

其中，

λ_k是第k个信号的波长，r_k为第k个信号到坐标原点的距离；

步骤三、由四阶累积量矩阵C₁、C₂、C₃和C₄构造L×L×4维三面阵Z、X、Y，三面阵为平行因子模型；

其中z轴方向的切片模型Z可写成：

令B＝A^H，Z写成Khatri-Rao积形式可以表示为Z＝(DΘA)B+N_Z，其中Θ为矩阵的Khatri-Rao积运算，矩阵D具体可以写成D＝[g^-1(C_4，s)；g^-1(Γ₁C_4，s)；g^-1(Γ₂C_4，s)；g^-1(Γ₃C_4，s)]，其中g^-1(◇)为对角阵◇中对角线上元素以行的形式组成的向量，构造x轴平行因子切片模型X＝[Z(1，：，：)，Z(2，：，：)，…，Z(L，：，：)]^T＝(AΘB^T)D^T+N_X，构造y轴方向的切片模型Y＝[Z(：，1，：)，Z(：，2，：)，…，Z(：，L，：)]^T＝(B^TΘD)A^T+N_Y，X、Z和Y为三面阵，并且N_Z、N_X和N_Y为由噪声构成的三面阵；三面阵的矩阵元素按照行、列和道的方式进行排列，Z(：，：，1)表示三面阵Z的第1道的元素，Z(：，1，：)表示三面阵Z的第1列的元素，Z(1，：，：)表示三面阵Z的第1行的元素；

步骤四、根据矩阵A与B和D的维度和特性确定A与B和D矩阵的k秩和与2K+2的大小关系，判定平行因子模型k秩分解是否可唯一确定；当k_A+k_B+k_D≥2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是可唯一确定的；当k_A+k_B+k_D＜2K+2时，构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解是不能唯一确定的；

其中K为入射信号的个数，当有K个信号入射到阵列上时，矩阵维度为L×K的A和矩阵维度为L×K的B都是范德蒙矩阵，矩阵A与B的k秩为k_A＝k_B＝K。D的矩阵维度为4×K，其最大线性独立的列数为min(4，K)，min(4，K)表示取4和K中的最小值，因此矩阵D的k秩为k_D＝min(4，K)。当信源个数K≥2时，满足k_A+k_B+k_D＝2K+min(4，K)≥2K+2，所构造的三面阵Z、X、Y，即平行因子模型k秩分解可唯一确定；

步骤五、利用k秩分解可唯一确定的三面阵Z、X、Y，根据三线性分解唯一可辨识性的得到D、A和B的估计值

和

该过程根据三线性交替最小二乘(TALS)方法来实现：

表示所有的B中使得表达式取得最小的B的取值为

||·||_F表示Frobenius范数，

表示使表达式取最小值的B，

表示所有的D^T中使得表达式取得最小的D^T的取值为

表示所有的D^T中使得表达式最小的D^T的取值为

步骤六、由估计值

得到Γ₁、Γ₂和Γ₃的第k行第k列的估计值分别为

其中

为

的第1行第k列的元素，

表示

的第2行第k列的元素，

为

的第3行第k列的元素，

表示

的第4行第k列的元素；

步骤七、根据

可得声源信号到坐标原点的距离，俯仰角和方位角的估计分别为：

前述步骤中的k＝1，...，K为信号个数序号，l＝-P，...，0，...，P为阵元数序号，j为虚拟单位矢量，m＝-P，...，0，...，P为阵元序号，n＝-P，...，0，...，P为阵元序号。

Images