CN106950529A - 声矢量近场源esprit和music参数估计方法 - Google Patents

Abstract

声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法，阵列接收K个不同频率、互不相关窄带、随机平稳近场声源信号，阵列接收的延时抽头前后的两组接收信号构成全阵列接收信号，对信号数据自相关矩阵特征分解得到阵列导向矢量矩阵和频率的估计值，由阵列导向矢量估计值得到四个子阵导向矢量间的旋转不变关系，由旋转不变关系矩阵得到信号方位角、俯仰角和距离的粗略估计值，在粗略估计值附近的小区域利用MUSIC谱峰搜索方法得到方位角、俯仰角和距离的精确估计值，该方法突破了现有线阵参数估计方法的局限性以及单纯MUSIC方法的全域三维搜索的超大计算量难题，结合了ESPRIT和MUSIC方法的优点且不需要参数配对运算，大大降低了计算量且提高了参数估计精度。

Description

声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，尤其涉及一种L型声矢量传感器阵列的近场源参数估计方法。

背景技术

确定声波信号的到达方向和距离等信息是声信号处理的一个重要应用领域，传统的声波信号测向采用的是仅能测量声压强度的声压传感器阵列。不同于传统声压传感器，本发明所述的声矢量传感器是由空间共点的三个互相垂直的声速传感器加上一个声压传感器组成，该矢量传感器既能测量声压强度信息，也能测量声波信号的振速信息，因而在声源定位中得到日益广泛的应用。传统的远场声波信号源参数估计假设以平面波传播，然而，当声波信源距离接收阵列较近时，声波信号以球面波的形式进行传播，因而需要估计信源的到达角和距离参数，这就是近场源定位问题。近场源定位问题所涉及的信号源参数估计是阵列信号处理的重要研究内容，广泛地应用于雷达、声纳和通信等领域。

具有高分辨性能的子空间法已应用于近场源定位问题，刘楠楠发表的论文“基于声矢量传感器的近场源多参数估计”(吉林大学2014年硕士学位论文)中研究了基于均匀声矢量传感器线阵的近场源参数估计方法，针对高斯白噪声条件提出了基于双四元数MUSIC的近场源参数估计方法，现有方法都是基于线阵的参数估计方法，线阵要求信号是从yoz平面入射的，只能估计一维到达角和距离，无法给出二维到达角，即当信号不是从yoz平面入射时算法失效。对于二维参数估计多信号分类方法(MUSIC)进行参数估计的精度受到搜索步长限制，要提高精度搜索步长就要减小，计算量就会大大增加。本发明采用L型均匀声矢量传感器阵列，可以利用旋转不变技术估计信号参数(ESPRIT)算法给出二维到达角和距离的粗略估计值，在粗略值附件的区域搜索到达角和距离的精确估计值，参数自动配对，计算量大大减少。

发明内容

本发明的目的是提供一种近场源L型声矢量传感器阵列ESPRIT和MUSIC相结合的参数估计方法。

为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：

声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法，K个不同频率、互不相关窄带、随机平稳近场声源信号分别从不同的方向、不同的距离(θ_k，φ_k，r_k)入射到L型声矢量传感器接收阵列上，θ_k∈[0，π/2]为入射信号的俯仰角，φ_k∈[0，2π]为入射信号的方位角，r_k为第k个信号与坐标原点阵元之间的距离，所述L型阵列由2M-1个等间隔布置于x轴和y轴的阵元构成，其中x轴和y轴共用坐标原点的阵元，x轴上相邻阵元间的间隔为d_x，y轴上相邻阵元间的间隔为d_y，且d_x＝d_y，所述阵元是由声压传感器以及x轴、y轴和z轴方向振速传感器组成的声矢量传感器，所有传感器的对应通道相互平行：所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行，以及所有的z轴方向振速传感器相互平行，且x轴、y轴和z轴振速传感器两两相互垂直，阵元间隔与入射声波信号的波长和声源的距离之间满足近场条件；

声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法的步骤如下：

步骤一、利用L型阵列获取近场源声波信号的接收全数据；

阵列天线的直接接收信号Z₁(t)，延迟ΔT后的接收信号Z₂(t)，由Z₁(t)和Z₂(t)这两组数据构成全数据其中ΔT≤T_s，T_s为奈奎斯特采样周期；

步骤二、计算全数据相关矩阵，对数据相关矩阵进行特征分解得到信号子空间和噪声子空间；

全数据的数据相关矩阵其中E[·]表示求平均，[·]^H为矩阵的转置复共轭操作，A是全数据信号导向矢量矩阵，R_s＝E[SS^H]为入射信号相关矩阵，S是声压强度矩阵，是高斯白噪声的功率，I是与R_Z维数相同的单位矩阵，根据子空间理论，对数据相关矩阵R_Z进行特征分解获取信号子空间和噪声子空间，其中，EVD表示特征分解，U_s＝[v₁，...，v_k，...，v_K]是K个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，∑_s是K个大特征值构成的对角矩阵，U_N＝[v_K+1，...v_16M-8]为16M-8-K个小特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间，∑_N是16M-8-K个小特征值构成的对角矩阵；

步骤三、通过子空间分块以及矩阵特征分解处理，估计声源信号阵列导向矢量矩阵和频率；

将信号子空间分为延时前和延时后两块，U_s＝AT，A是全数据阵列导向矢量矩阵，U₁＝A₁T，U₂＝A₂T，A₁是信号阵列导向矢量矩阵，A₂是延时信号阵列导向矢量矩阵，T是阵列导向矢量和信号子空间之间的K×K的非奇异变换矩阵，利用时间旋转不变结构，通过矩阵运算得到ΨT＝ΦT，其中，矩阵是矩阵U₁的伪逆矩阵，Φ是导向矢量矩阵A₁和A₂间的时间旋转不变关系矩阵，具体形式如下：

对矩阵Ψ进行特征分解，特征值构成矩阵Φ的估计特征矢量构成T的估计值从而得到信号阵列导向矢量矩阵的估计值和信号频率的估计值 A₁(k，k)表示矩阵A₁的第k行第k列元素，A₂(k，k)表示矩阵A₂的第k行第k列元素，其中，angle(·)表示取幅角，表示矩阵的第k行第k列元素；

步骤四、由四个子阵间的旋转不变关系矩阵的估计值和估计声源信号方位角、俯仰角和距离的粗略估计；

信号导向矢量的估计值是(8M-4)×K的矩阵，根据导向矢量的构成将导向矢量分成4个维数为(2M-1)×K的子阵导向矢量，即分别是x轴、y轴、z轴方向的振速传感器和声压传感器子阵导向矢量，四个子阵间的关系为 和是子阵间的旋转不变关系估计矩阵，它们分别由下面的三个公式得到：

和分别是和的对角线上的第k个元素，λ_k为第k个信号的波长，ρ₀是环境流体密度，c是声波传播速度，从而得到方位角、俯仰角和距离的粗略估计值：

其中tan(·)和arctan(·)分别表示正切和反正切运算；

步骤五、根据L型阵列的结构给出导向矢量形式，在粗略估计值附近的小区域内利用MUSIC谱峰搜索方法得到信号到达角和信源距离的精确估计值；

利用步骤二得到的噪声子空间U_N并根据L型阵列结构特点给出全阵列搜索导向矢量利用MUSIC算法搜索得到信号到达角和距离的精确估计值

其中，表示Kronecker积，q(θ，φ，r)＝[1 q_x(θ，φ，r) q_y(θ，φ，r)]^T是全阵列空域导向矢量，是x轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，是y轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，τ_mx是入射信号在x轴子阵第m个阵元和坐标原点间的相位差，τ_ny是入射信号在y轴子阵第n个阵元与坐标原点间的相位差，τ_mx＝(u_xm+v_xm²)和τ_ny＝(u_yn+v_yn²)，其中 和max(·)表示求最大值；

θ，φ，r是搜索变量，

和分别是步骤四中的方位角、俯仰角和距离的粗略估计值，ε_θ、ε_φ和ε_r分别用来设置俯仰角、方位角和距离的搜索区间长度；

前述步骤中的k＝1，...，K，m＝1，...，M，n＝1，...，M，j表示虚数单位。

本发明采用的接收阵列是均匀L型阵列，阵列的阵元为由声压传感器和x轴、y轴及z轴方向的振速传感器构成的声矢量传感器，并且所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行，所有的z轴方向振速传感器相互平行。

本发明给出了一种近场声矢量传感器二维到达角和距离估计方法，突破了现有线阵近场源参数估计方法只能估计一维到达角的局限性，本发明采用L型均匀声矢量传感器阵列可以给出二维到达角的估计，解决了近场条件下不具有平移不变结构，无法利用ESPRIT算法的难题，利用声矢量传感器阵列自身具有的矢量结构特性给出了近场的旋转不变ESPRIT方法。综合利用了ESPRIT方法和MUSIC方法的优点，利用ESPRIT方法给出二维到达角和距离的粗略估计值，在粗略值附件的小区域利用MUSIC方法搜索方位角、俯仰角和距离的精确估计值，该发明方法参数自动配对，计算量大大减少。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中需要使用的附图做简单介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例声矢量传感器阵列的示意图；

图2为本发明方法的流程图；

图3为本发明方法的到达角估计散布图；

图4为本发明方法的俯仰角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图5为本发明方法的方位角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图6为本发明方法的到达角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图7为本发明方法的距离估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图8为本发明方法的到达角估计成功概率随信噪比的变化曲线图。

具体实施方式

为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下。

图1所示为本发明实施例的声矢量传感器阵列的示意图。本发明的L型声矢量传感器阵列由2M-1个等间隔布置于x轴和y轴的阵元构成，其中坐标原点的阵元x轴和y轴共用，x轴上相邻阵元间的间隔为d_x，y轴上相邻阵元间的间隔为d_y，且d_x＝d_y，所述阵元是由声压传感器以及x轴、y轴和z轴方向振速传感器组成的声矢量传感器，所有传感器的对应通道相互平行：所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行，以及所有的z轴方向振速传感器相互平行，且x轴、y轴和z轴振速传感器两两相互垂直，阵元间隔与入射声波信号的波长和声源的距离之间满足近场条件；

参照图2，本发明的近场源参数估计方法的步骤如下：L型均匀声矢量传感器阵列接收K个不同频率、互不相关窄带、随机平稳近场声源信号，K为入射声源信号的数量，

步骤一、利用L型阵列获取近场源声波信号的接收全数据；

阵列天线的直接接收信号Z₁(t)，延迟ΔT后的接收信号Z₂(t)，由Z₁(t)和Z₂(t)这两组数据构成全数据其中ΔT≤T_s，T_s为奈奎斯特采样周期；

步骤二、计算全数据相关矩阵，对数据相关矩阵进行特征分解得到信号子空间和噪声子空间；

全数据的数据相关矩阵其中E[·]表示求平均，[·]^H为矩阵的转置复共轭操作，A是全数据信号导向矢量矩阵，R_s＝E[SS^H]为入射信号相关矩阵，S是声压强度矩阵，是高斯白噪声的功率，I是与R_Z维数相同的单位矩阵，根据子空间理论，对数据相关矩阵R_Z进行特征分解获取信号子空间和噪声子空间，其中，EVD表示特征分解，U_s＝[v₁，...，v_k，...，v_K]是K个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，∑_s是K个大特征值构成的对角矩阵，U_N＝[v_K+1，...v_16M-8]为16M-8-K个小特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间，∑_N是16M-8-K个小特征值构成的对角矩阵；

步骤三、通过子空间分块以及矩阵特征分解处理，估计声源信号阵列导向矢量矩阵和频率；

将信号子空间分为延时前和延时后两块，U_s＝AT，A是全数据阵列导向矢量矩阵，U₁＝A₁T，U₂＝A₂T，A₁是信号阵列导向矢量矩阵，A₂是延时信号阵列导向矢量矩阵，T是阵列导向矢量和信号子空间之间的K×K的非奇异变换矩阵，利用时间旋转不变结构，通过矩阵运算得到ΨT＝ΦT，其中，矩阵是矩阵U₁的伪逆矩阵，Φ是导向矢量矩阵A₁和A₂间的时间旋转不变关系矩阵，具体形式如下：

对矩阵Ψ进行特征分解，特征值构成矩阵Φ的估计特征矢量构成T的估计值从而得到信号阵列导向矢量矩阵的估计值和信号频率的估计值 A₁(k，k)表示矩阵A₁的第k行第k列元素，A₂(k，k)表示矩阵A₂的第k行第k列元素，其中，angle(·)表示取幅角，表示矩阵的第k行第k列元素；

步骤四、由四个子阵间的旋转不变关系矩阵的估计值和估计声源信号方位角、俯仰角和距离的粗略估计；

信号导向矢量的估计值是(8M-4)×K的矩阵，根据导向矢量的构成将导向矢量分成4个维数为(2M-1)×K的子阵导向矢量，即分别是x轴、y轴、z轴方向的振速传感器和声压传感器子阵导向矢量，四个子阵间的关系为 和是子阵间的旋转不变关系估计矩阵，它们分别由下面的三个公式得到：

和分别是和的对角线上的第k个元素，λ_k为第k个信号的波长，ρ₀是环境流体密度，c是声波传播速度，从而得到方位角、俯仰角和距离的粗略估计值：

其中tan(·)和arctan(·)分别表示正切和反正切运算；

步骤五、根据L型阵列的结构给出导向矢量形式，在粗略估计值附近的小区域内利用MUSIC谱峰搜索方法得到信号到达角和信源距离的精确估计值；

利用步骤二得到的噪声子空间U_N并根据L型阵列结构特点给出全阵列搜索导向矢量利用MUSIC算法搜索得到信号到达角和距离的精确估计值

其中，表示Kronecker积，q(θ，φ，r)＝[1 q_x(θ，φ，r) q_y(θ，φ，r)]^T是全阵列空域导向矢量，是x轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，是y轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，τ_mx是入射信号在x轴子阵第m个阵元和坐标原点间的相位差，τ_ny是入射信号在y轴子阵第n个阵元与坐标原点间的相位差，τ_mx＝(u_xm+v_xm²)和τ_ny＝(u_yn+v_yn²)，其中 和max(·)表示求最大值；

θ，φ，r是搜索变量，

和分别是步骤四中的方位角、俯仰角和距离的粗略估计值，ε_θ、ε_φ和ε_r分别用来设置俯仰角、方位角和距离的搜索区间长度；

前述步骤中的k＝1，...，K，m＝1，...，M，n＝1，...，M，j表示虚数单位。

本发明给出了声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法，根据时间延时抽头前后信号具有的不变关系，利用ESPRIT方法求出了信号阵列导向矢量矩阵和信号频率的估计值，通过将阵列导向矢量分成四个子阵导向矢量，利用子阵间导向矢量对应的旋转不变关系矩阵给出信号方位角、俯仰角和声源距离的粗略估计值，在粗略估计值附近小区域利用MUSIC谱峰搜索获取精确的信号到达角和距离估计值，该方法突破了现有线阵参数估计方法的局限性以及单纯MUSIC方法的全域三维搜索的超大计算量难题，结合了ESPRIT和MUSIC方法的优点且不需要参数配对运算，大大降低了计算量且提高了参数估计精度。

本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：

仿真实验条件如下：

两个不同频率的近场、互不相关窄带声源信号入射到由5个等间隔布置于x轴上的阵元和5个等间隔布置于y轴上的阵元构成的L型声矢量传感器阵列，如图1所示，该接收阵列由9个阵元组成，阵元间隔为d_x＝d_y＝λ_min/4，入射信号的参数为：(θ₁，φ₁)＝(60°，24°)，(θ₂，φ₂)＝(50°，27°)，其归一化频率为(f₁，f₂)＝(0.4，0.5)，快拍数为512次，200次独立实验。

仿真实验结果如图3至图8所示，图3为信噪比是15dB时，本发明方法到达角估计的散布图，从图3可以看出本发明的俯仰角和方位角估计精度较高，这是因为本发明方法利用ESPRIT方法获得到达角的粗略估计值，在粗略值附近的小区域进行MUSIC搜索，从而得到了方位角和俯仰角的精确估计值，提高了到达角的参数估计精度；从图4和图7可以看出本发明方法的俯仰角、方位角、到达角和距离的估计均方根误差较小，也就是估计值在真值附近的较小范围内扰动；到达角估计成功概率是指在200次独立试验中俯仰角和方位角估计值满足关系式的实验次数占总实验次数的百分比；其中，θ₀和φ₀是真值，和是指第i次实验的估计值，从图8可以看出，本发明方法的成功概率较高，特别是0dB时，本发明方法的成功概率达到了90％以上。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法，其特征在于：

所述声矢量传感器阵列由M个等间隔布置于x轴上的阵元和M个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，阵元数量为2M-1个，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，所述阵元为由声压传感器及x轴、y轴、z轴方向的振速传感器组成的声矢量传感器，其中，阵元间隔d_x和d_y与入射声波信号的波长和声源的距离之间满足近场条件；

声矢量近场源ESPRIT和MUSIC参数估计方法的步骤如下：阵列接收K个不同频率、互不相关窄带、随机平稳近场声源信号，K为入射声源信号的数量；

步骤一、利用L型阵列获取近场源声波信号的接收全数据；

阵列天线的直接接收信号Z₁(t)，延迟ΔT后的接收信号Z₂(t)，由Z₁(t)和Z₂(t)这两组数据构成全数据其中ΔT≤T_s，T_s为奈奎斯特采样周期；

步骤二、计算全数据相关矩阵，对数据相关矩阵进行特征分解得到信号子空间和噪声子空间；

全数据的数据相关矩阵其中E[·]表示求平均，[·]^H为矩阵的转置复共轭操作，A是全数据信号导向矢量矩阵，R_s＝E[SS^H]为入射信号相关矩阵，S是声压强度矩阵，是高斯白噪声的功率，I是与R_Z维数相同的单位矩阵，根据子空间理论，对数据相关矩阵R_Z进行特征分解获取信号子空间和噪声子空间，其中，EVD表示特征分解，U_s＝[v₁，…，v_k，…，v_K]是K个大特征值对应的特征矢量构成的信号子空间，∑_s是K个大特征值构成的对角矩阵，U_N＝[v_K+1，…v_16M-8]为16M-8-K个小特征值对应的特征矢量构成的噪声子空间，∑_N是16M-8-K个小特征值构成的对角矩阵；

步骤三、通过子空间分块以及矩阵特征分解处理，估计声源信号阵列导向矢量矩阵和频率；

将信号子空间分为延时前和延时后两块，U_s＝AT，A是全数据阵列导向矢量矩阵，U₁＝A₁T，U₂＝A₂T，A₁是信号阵列导向矢量矩阵，A₂是延时信号阵列导向矢量矩阵，T是阵列导向矢量和信号子空间之间的K×K的非奇异变换矩阵，利用时间旋转不变结构，通过矩阵运算得到ΨT＝ΦT，其中，矩阵是矩阵U₁的伪逆矩阵，Φ是导向矢量矩阵A₁和A₂间的时间旋转不变关系矩阵，具体形式如下：

对矩阵Ψ进行特征分解，特征值构成矩阵Φ的估计特征矢量构成T的估计值从而得到信号阵列导向矢量矩阵的估计值和信号频率的估计值 A₁(k，k)表示矩阵A₁的第k行第k列元素，A₂(k，k)表示矩阵A₂的第k行第k列元素，其中，angle(·)表示取幅角，表示矩阵的第k行第k列元素；

步骤四、由四个子阵间的旋转不变关系矩阵的估计值和估计声源信号方位角、俯仰角和距离的粗略估计；

信号导向矢量的估计值是(8M-4)×K的矩阵，根据导向矢量的构成将导向矢量分成4个维数为(2M-1)×K的子阵导向矢量，即 分别是x轴、y轴、z轴方向的振速传感器和声压传感器子阵导向矢量，四个子阵间的关系为 和是子阵间的旋转不变关系估计矩阵，它们分别由下面的三个公式得到：

${\widehat{\Π}}_x\left(t\right)=\tan {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k,{\widehat{\Π}}_y\left(k\right)=\tan {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k,$

${\widehat{\Π}}_p\left(k\right)=-{\mathrm{\ρ}}_0{\mathrm{ce}}^{j\arctan \left(\frac{{\mathrm{\λ}}_k}{2\mathrm{\π}{\hat{r}}_k}\right)}/\left(cos{\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\sqrt{1+{\left(\frac{{\mathrm{\λ}}_k}{2\mathrm{\π}{\hat{r}}_k}\right)}^2}\right);$

和分别是和的对角线上的第k个元素，λ_k为第k个信号的波长，ρ₀是环境流体密度，c是声波传播速度，从而得到方位角、俯仰角和距离的粗略估计值：

${\widehat{\mathrm{\θ}}}_k=\arctan \left(\sqrt{{\widehat{\Π}}_x^2\left(k\right)+{\widehat{\Π}}_y^2\left(k\right)}\right),$

${\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\arctan \left(\frac{{\widehat{\Π}}_y\left(k\right)}{{\widehat{\Π}}_x\left(k\right)}\right),$

${\hat{r}}_k=\frac{{\mathrm{\λ}}_k}{2\mathrm{\π}tan\left(angle\right(-{\widehat{\Π}}_p\left(k\right)\left)\right)};$

其中tan(·)和arctan(·)分别表示正切和反正切运算；

步骤五、根据L型阵列的结构给出导向矢量形式，在粗略估计值附近的小区域内利用MUSIC谱峰搜索方法得到信号到达角和信源距离的精确估计值；

利用步骤二得到的噪声子空间U_N并根据L型阵列结构特点给出全阵列搜索导向矢量利用MUSIC算法搜索得到信号到达角和距离的精确估计值

其中，表示Kronecker积，q(θ，φ，r)＝[1 q_x(θ，φ，r) q_y(θ，φ，r)]^T是全阵列空域导向矢量，是x轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，是y轴上除原点以外的M-1个传感器与原点处传感器之间的相位差构成的空域导向矢量，τ_mx是入射信号在x轴子阵第m个阵元和坐标原点间的相位差，τ_ny是入射信号在y轴子阵第n个阵元与坐标原点间的相位差，τ_mx＝(u_xm+v_xm²)和τ_ny＝(u_yn+v_yn²)，其中 和max(·)表示求最大值；

θ，φ，r是搜索变量， 和分别是步骤四中的方位角、俯仰角和距离的粗略估计值，ε_θ、ε_φ和ε_r分别用来设置俯仰角、方位角和距离的搜索区间长度；

前述步骤中的k＝1，...，K，m＝1，...，M，n＝1，...，M，j表示虚数单位。