CN106154220B - L型简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法 - Google Patents

Abstract

L型简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法，阵列接收K个不同频率的远场、互不相关窄带声信号，阵列接收的两组数据都按照同阵元的声压及x和y轴方向振速叠加构成全阵列接收四元数数据；对数据自相关矩阵特征分解得到阵列导向矢量的估计值；由阵列导向矢量估计值重构子阵导向矢量的估计并由子阵导向矢量间的旋转不变关系得到信号方向余弦的粗略估计值；利用x和y轴上子阵的平移不变关系得到x和y轴上子阵的平移不变关系矩阵，利用方向余弦粗略估计值确定x和y轴方向平移不变关系矩阵的相位周期模糊数，从而得到方位角和俯仰角的精确估计值，本发明方法保持了声矢量传感器各分量间的正交特性，具有更好的模型误差鲁棒性。

Description

L型简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及一种简化声矢量传感器阵列的到达角估计方法。

背景技术

确定声波的到达方向是声信号处理的一个重要应用，传统的声波到达方向测量方法是采用声压传感器阵列对声场进行空间采样，并进行空间谱估计。实际上，声波是具有标量场和矢量场的矢量信号，传统的声压传感器仅利用了声压信息，声矢量传感器兼有方向敏感性和测量信息量大的诸多优点，因而得到日益广泛的应用。声矢量传感器分为全声矢量传感器和简化声矢量传感器。全声矢量传感器由声压传感器和三分量振速传感器复合而成，声压传感器测量声场的声压，振速传感器测量声场中的振速，因此，声矢量传感器可以空间共点、时间同步地测量声场的声压标量信息和振速矢量信息。从全声矢量传感器中取出若干个传感器分量所构成的低维声矢量传感器，称为简化声矢量传感器。简化声矢量传感器具有结构简单，使用方便等诸多优点，随着声矢量传感器技术的不断发展，其所显示的优越性能使人们对其产生了越来越大的兴趣。

声矢量传感器的长矢量模型将输出的各个分量顺序排列成一个长的复数矢量，并没有考虑声矢量传感器输出的各个分量之间的正交关系，因此，长矢量模型不能充分体现声矢量传感器技术的优越性。基于四元数理论的信号处理方法能够描述声矢量传感器输出的各个分量的输出关系且保持了各分量固有的正交性。但现有的四元数模型没有利用子阵间的信息，而只是利用阵列空域导向矢量的信息，声矢量传感器的矢量特性没有得到充分发挥，本发明构建了声压传感器和x轴、y轴振速传感器组成的简化声矢量传感器四元数新模型，解决了稀疏L型声矢量传感器阵列的相位模糊问题，提高了参数估计精度。

发明内容

本发明的目的是提供一种可以解稀疏阵列相位模糊的简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法。

为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：

L型简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法，L型阵列接收K个不同频率的远场、互不相关窄带声源信号，所述声矢量传感器阵列由N个等间隔布置于x轴上的阵元和N个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，总的阵元数量为2N-1个，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，所述阵元是具有同步共点测量声压以及x轴和y轴方向振速分量的简化声矢量传感器，其中，d_x＞＞λ_min/2，d_y＞＞λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长；

多参数联合估计方法的步骤如下：

步骤一、将2N-1个声矢量传感器构成L型阵列，并保证所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行；对声矢量传感器阵列的接收信号直接进行M次采样得到第一组采样数据延时ΔT后对声矢量传感器阵列的接收信号同步样采样M次得到第二组采样数据

和均为(6N-3)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为声压传感器的接收数据，中间(2N-1)×M个元素为x轴方向振速传感器的接收数据，后(2N-1)×M个元素为y轴方向振速传感器接收数据，其中，A₁是复数域阵列导向矢量，A₂是延时ΔT后的复数域阵列导向矢量，A₁＝[a₁，…，a_k，…，a_K]，a_k0＝[1，v_kx，v_ky]^T是坐标原点处阵元接收的单位功率声矢量信号，v_kx＝sinθ_kcosφ_k是x轴方向振速，v_ky＝sinθ_ksinφ_k是y轴方向振速，q(θ_k，φ_k)＝[1，q_x(θ_k，φ_k)，q_y(θ_k，φ_k)]为2N-1个声矢量传感器与原点处传感器之间的相位差组成的导向矢量，是x轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，是y轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，λ_k是第k个入射信号波长，θ_k∈[0，π/2]和φ_k∈[-π，π]分别是声矢量信号的俯仰角和方位角，A₂＝A₁Ф，是时延矩阵，P＝[p₁，…，p_k，…，p_K]^T是声信号的声压强度矩阵，p_k是第k个信号的M次快拍数据矢量，和是高斯白噪声矩阵；

步骤二、将两组采样数据都按照相同的模式叠加构成四元数数据Z₁和Z₂；数据的叠加模式为：一个阵元的同一次快拍数据按照声压强度加上四元数虚数单位i乘以x轴方向振速加上四元数虚数单位k乘以y轴方向振速叠加构成该阵元的一次四元数快拍数据，所有的接收数据都按照这种方式叠加成四元数数据；

第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝B₁P+N₁，式中的B₁＝[b₁(θ₁，φ₁)，…，b₁(θ_k，φ_k)，…，b₁(θ_K，φ_K)]＝C₁+iC₂为四元数阵列导向矢量，C₁＝[c₁(θ₁，φ₁)，…，c₁(θ_k，φ_k)，…，c₁(θ_K，φ_K)]表示声压传感器构成的子阵导向矢量，C₂＝[c₂(θ₁，φ₁)，…，c₂(θ_k，φ_k)，…，c₂(θ_K，φ_K)]表示x轴和y轴方向的振速矢量构成的子阵导向矢量，其中，b_1k＝1和分别表示坐标原点处的声矢量传感器接收信号四元数表示形式的实部和虚部，c_1k＝b_1kq(θ_k，φ_k)，c_2k＝b_2kq(θ_k，φ_k)，N₁是第一组采样数据中噪声的四元数表示；第二组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₂＝B₂P+N₂，式中的B₂是延时ΔT后的四元数阵列导向矢量，B₂＝B₁Ф，为时延矩阵，N₂是第二组采样数据中噪声的四元数表示；

步骤三、将两组四元数数据Z₁和Z₂构成全阵列接收四元数数据Z，计算四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵R_z进行四元数特征分解并通过相关运算得到阵列导向矢量估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

是四元数噪声，是全数据阵列导向矢量；计算Z的自相关矩阵其中，(·)^H表示转置复共轭操作，σ²为噪声的方差，I为单位矩阵，为入射信号声压强度的自相关函数；

对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，E_s的后2N-1行元素组成矩阵E₂，是矩阵E₁的伪逆矩阵，矩阵不是厄米特矩阵不能直接进行四元数的特征分解，需要转换为复数自伴随矩阵其中Ψ_r和Ψ_i分别是Ψ的实部和虚部，是复数域虚数单位，和分别是Ψ_i和Ψ_r的共轭矩阵，对C_Ψ进行特征分解其中，c_k是特征矢量，v_k是特征值，Ψ的右特征值也是v_k，对应的特征矢量其中，Ф_J＝[I_J，-iI_J]是维数为J×2J的还原矩阵，J＝2N-1，I_J代表维数为J×J的单位阵；从而由第二次特征分解得到阵列导向矢量估计值和延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值以及时延矩阵的估计值其中，为Ψ的特征向量矩阵；

步骤四、由时延矩阵估计值得到声波信号的频率估计由阵列导向矢量估计值重构子阵导向矢量和根据子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵Ω得到信号到达角的粗略估计值和并由此得到方向余弦的粗略无模糊估计值和

由时延矩阵Ф的估计值得到声波信号频率的估计值为：

根据步骤二中B₁和C₁及C₂的关系知阵列导向矢量估计值根据关系重构子阵导向矢量和 子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵为则声波到达角粗略估计值为：

步骤五、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值以及x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值和利用求x轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Ф_x，同样，利用q′_ky求y轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Ф_y；

第k个信号的阵列空域导向矢量估计值其中，表示的第k列，表示的第k列的第一个元素，是x轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，则x轴上的子阵空域导向矢量估计值为y轴上的子阵空域导向矢量估计值为K个信号x轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为K个信号y轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Ф_x和Q_y2＝Q_y1Ф_y得到和Ф_x和Ф_y分别为x轴和y轴方向的平移不变关系矩阵；

步骤六、利用步骤四得到的方向余弦粗略估计值确定平移不变关系矩阵Ф_x和Ф_y的相位周期模糊数估计值和根据得到的相位周期模糊数估计值和消除二维到达角的模糊，求出入射信号的方位角和俯仰角的精确估计值；

平移不变关系矩阵Ф_x和Ф_y的相位周期模糊数的估计值和为：

根据得到的模糊数和估计x轴和y轴方向的精确无模糊的方向余弦；

其中，Ф_x(k，k)表示矩阵Ф_x的第k行第k列的元素，Ф_y(k，k)表示矩阵Ф_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦精确无模糊估计值得到第k个入射信号的精确无模糊方位角估计值和俯仰角估计值

前述步骤中的k＝1，...，K，i，j，为四元数的虚数单位。

本发明采用的阵列是稀疏均匀L型阵列，阵列的阵元为由声压传感器和x轴及y轴方向的振速传感器构成的简化声矢量传感器，并且所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行。

本发明基于四元数这种全新的信号处理工具，利用四元数虚部间的正交特性，可以更好的体现声矢量传感器各组成分量的正交特性，稀疏布阵扩大了阵列孔径，因而本发明获得了比非稀疏阵列方法更好的参数估计性能，而且四元数具有更好的模型误差鲁棒性，与全声矢量传感器阵列相比，简化声矢量传感器阵列具有结构简单、使用方便的优点；

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中需要使用的附图做简单介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例简化声矢量传感器阵列的示意图；

图2为本发明方法的流程图；

图3为仿真实验的非稀疏L阵到达角估计散布图；

图4为仿真实验的本发明方法的到达角估计散布图；

图5为非稀疏L阵方法和本发明方法的方位角估计标准偏差随信噪比的变化曲线图；

图6为非稀疏L阵方法和本发明方法的俯仰角估计标准偏差随信噪比的变化曲线图；

图7为非稀疏L阵方法和本发明方法的到达角估计成功概率随信噪比的变化曲线图。

具体实施方式

为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下。

图1所示为本发明实施例的声矢量传感器阵列的示意图。本发明的声矢量传感器阵列由N个等间隔布置于x轴上的阵元和N个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，所以整个阵列共有2N-1个阵元，N为x轴(或y轴)上的阵元数，其可为任意整数，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，x轴上阵元间的间距d_x和y轴上阵元间的间距d_y都大于最小波长的一半，阵列的阵元为能够同时共点测量声场中的声压以及x轴和y轴方向振速分量的简化声矢量传感器，图1中阵元用“+”表示，其中，d_x＞＞λ_min/2，d_y＞＞λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长，λ_k是第k个入射信号的波长；

参照图2，本发明的多参数联合估计方法的步骤如下：L型简化声矢量传感器阵列接收K个不同频率远场、互不相关窄带声源信号，K为入射声源信号的数量，K≤N-1，

步骤一、将2N-1个声矢量传感器构成L型阵列，并保证所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行；对声矢量传感器阵列的接收信号直接进行M次采样得到第一组采样数据延时ΔT后对声矢量传感器阵列的接收信号同步样采样M次得到第二组采样数据

和均为(6N-3)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为声压传感器的接收数据，中间(2N-1)×M个元素为x轴方向振速传感器的接收数据，后(2N-1)×M个元素为y轴方向振速传感器接收数据，其中，A₁是复数域阵列导向矢量，A₂是延时ΔT后的复数域阵列导向矢量，A₁＝[a₁，…，a_k，…，a_K]，a_k0＝[1，v_kx，v_ky]^T是坐标原点处阵元接收的单位功率声矢量信号，v_kx＝sinθ_kcosφ_k是x轴方向振速，v_ky＝sinθ_ksinφ_k是y轴方向振速，q(θ_k，φ_k)＝[1，q_x(θ_k，φ_k)，q_y(θ_k，φ_k)]为2N-1个声矢量传感器与原点处传感器之间的相位差组成的导向矢量，是x轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，是y轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，λ_k是第k个入射信号波长，θ_k∈[0，π/2]和φ_k∈[-π，π]分别是声矢量信号的俯仰角和方位角，A₂＝A₁Ф，是时延矩阵，P＝[p₁，…，p_k，…，p_K]^T是声信号的声压强度矩阵，p_k是第k个信号的M次快拍数据矢量，和是高斯白噪声矩阵；

步骤二、将两组采样数据都按照相同的模式叠加构成四元数数据Z₁和Z₂；数据的叠加模式为：一个阵元的同一次快拍数据按照声压强度加上四元数虚数单位i乘以x轴方向振速加上四元数虚数单位k乘以y轴方向振速叠加构成该阵元的一次四元数快拍数据，所有的接收数据都按照这种方式叠加成四元数数据；

第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝B₁P+N₁，式中的B₁＝[b₁(θ₁，φ₁)，…，b₁(θ_k，φ_k)，…，b₁(θ_K，φ_K)]＝C₁+iC₂为四元数阵列导向矢量，C₁＝[c₁(θ₁，φ₁)，…，c₁(θ_k，φ_k)，…，c₁(θ_K，φ_K)]表示声压传感器构成的子阵导向矢量，C₂＝[c₂(θ₁，φ₁)，…，c₂(θ_k，φ_k)，…，c₂(θ_K，φ_K)]表示x轴和y轴方向的振速矢量构成的子阵导向矢量，其中，b_1k＝1和分别表示坐标原点处的声矢量传感器接收信号四元数表示形式的实部和虚部，c_1k＝b_1kq(θ_k，φ_k)，c_2k＝b_2kq(θ_k，φ_k)，N₁是第一组采样数据中噪声的四元数表示；第二组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₂＝B₂P+N₂，式中的B₂是延时ΔT后的四元数阵列导向矢量，为时延矩阵，N₂是第二组采样数据中噪声的四元数表示；

步骤三、将两组四元数数据Z₁和Z₂构成全阵列接收四元数数据Z，计算四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵R_z进行四元数特征分解并通过相关运算得到阵列导向矢量估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

是四元数噪声，是全数据阵列导向矢量；计算Z的自相关矩阵其中，(·)^H表示转置复共轭操作，σ²为噪声的方差，I为单位矩阵，为入射信号声压强度的自相关函数；

对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，E_s的后2N-1行元素组成矩阵E₂，是矩阵E₁的伪逆矩阵，矩阵不是厄米特矩阵不能直接进行四元数的特征分解，需要转换为复数自伴随矩阵其中Ψ_r和Ψ_i分别是Ψ的实部和虚部，是复数域虚数单位，和分别是Ψ_i和Ψ_r的共轭矩阵，对C_Ψ进行特征分解其中，c_k是特征矢量，v_k是特征值，Ψ的右特征值也是v_k，对应的特征矢量其中，Ф_J＝[I_J，-iI_J]是维数为J×2J的还原矩阵，J＝2N-1，I_J代表维数为J×J的单位阵；从而由第二次特征分解得到阵列导向矢量估计值和延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值以及时延矩阵的估计值其中，为Ψ的特征向量矩阵；

步骤四、由时延矩阵估计值得到声波信号的频率估计由阵列导向矢量估计值重构子阵导向矢量和根据子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵Ω得到信号到达角的粗略估计值和并由此得到方向余弦的粗略无模糊估计值和

由时延矩阵Ф的估计值得到声波信号频率的估计值为：

根据步骤二中B₁和C₁及C₂的关系知阵列导向矢量估计值根据关系重构子阵导向矢量和 子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵为则声波到达角粗略估计值为：

步骤五、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值以及x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值q′_kx和q′_ky，利用q′_kx求x轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Ф_x，同样，利用q′_ky求y轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Ф_y；

第k个信号的阵列空域导向矢量估计值其中，表示的第k列，表示的第k列的第一个元素，是x轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，则x轴上的子阵空域导向矢量估计值为y轴上的子阵空域导向矢量估计值为K个信号x轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为K个信号y轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_y＝[q′_1y，…，q′_ky，…，q′_Ky]，Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Ф_x和Q_y2＝Q_y1Ф_y得到和Ф_x和Ф_y分别为x轴和y轴方向的平移不变关系矩阵；

步骤六、利用步骤四得到的方向余弦粗略估计值确定平移不变关系矩阵Ф_x和Ф_y的相位周期模糊数估计值和根据得到的相位周期模糊数估计值和消除二维到达角的模糊，求出入射信号的方位角和俯仰角的精确估计值；

平移不变关系矩阵Ф_x和Ф_y的相位周期模糊数的估计值和为：

根据得到的模糊数和估计x轴和y轴方向的精确无模糊的方向余弦；

其中，Ф_x(k，k)表示矩阵Ф_x的第k行第k列的元素，Ф_y(k，k)表示矩阵Ф_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦精确无模糊估计值得到第k个入射信号的精确无模糊方位角估计值和俯仰角估计值

前述步骤中的k＝1，...，K，i，j，四元数的虚数单位。

本发明引入了四元数模型来描述简化声矢量传感器阵列的接收数据，建立了简化声矢量阵列新四元数模型，利用两组同步采样数据构造四元数数据矩阵，对数据自相关矩阵进行四元数特征分解并根据四元数特征分解理论得到阵列导向矢量的估计，利用阵列导向矢量重构四元数表示的子阵导向矢量，从而得到到达角的粗略无模糊的估计，由方向余弦的粗略估计值解x轴和y轴方向的平移不变关系矩阵的周期性相位模糊，得到信号到达角的精确无模糊的估计；

本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：

仿真实验条件如下：

两个不同频率的远场、互不相关窄带声源信号入射到由5个等间隔布置于x轴上的阵元和5个等间隔布置于y轴上的阵元构成的L型声矢量传感器阵列，如图1所示，该接收阵列由9个阵元组成，阵元间隔为d_x＝d_y＝2λ_min，入射信号的参数为：(θ₁，φ₁)＝(30°，43°)，(θ₂，φ₂)＝(72°，85°)，其归一化频率为(f₁，f₂)＝(0.3，0.4)，快拍数为512次，200次独立实验。

仿真实验结果如图3至图7所示，图3和图4为信噪比是15dB时，非稀疏L阵方法和本发明方法到达角估计的散布图，从图3和图4可以看出非稀疏L阵方法的到达角估计精度低于本发明的稀疏解模糊方法的到达角估计精度，这是因为本发明方法通过稀疏布阵，增加了阵列孔径，并通过解模糊处理提高了参数估计精度；从图5和图6可以看出非稀疏L阵算法和本发明方法相比，方位角和俯仰角估计的标准偏差更大，也就是估计值在均值附近的更大范围内扰动；到达角估计成功概率是指在200次独立试验中俯仰角和方位角估计值满足关系式的实验次数占总实验次数的百分比；其中，θ₀和φ₀是真值，和是指第i次实验的估计值，从图7可以看出，本发明方法的成功概率高于非稀疏L阵方法，特别是0dB时，本发明方法的成功概率达到了95％，而非稀疏L阵方法的成功概率低于80％；

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.L型简化声矢量传感器阵列多参数联合估计四元数方法，其特征在于：

所述简化声矢量传感器阵列由N个等间隔布置于x轴上的阵元和N个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，阵元数量为2N-1个，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，所述阵元为由声压传感器及x轴和y轴方向的振速传感器组成的简化声矢量传感器，其中，d_x＞＞λ_min/2，d_y＞＞λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长；

多参数联合估计方法的步骤如下：阵列接收K个不同频率的远场、互不相关的窄带声波入射信号，

步骤一、将2N-1个声矢量传感器构成L型阵列，并保证所有的声压传感器相互平行，所有的x轴方向振速传感器相互平行，所有的y轴方向振速传感器相互平行；对声矢量传感器阵列的接收信号直接进行M次采样得到第一组采样数据延时ΔT后对声矢量传感器阵列的接收信号同步采样M次得到第二组采样数据

和均为(6N-3)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为声压传感器的接收数据，中间(2N-1)×M个元素为x轴方向振速传感器的接收数据，后(2N-1)×M个元素为y轴方向振速传感器接收数据，其中，A₁是复数域阵列导向矢量，A₂是延时ΔT后的复数域阵列导向矢量，A₁＝[a₁，…，a_k，…，a_K]，a_k0＝[1，v_kx，v_ky]^T是坐标原点处阵元接收的单位功率声矢量信号，v_kx＝sin θ_kcos φ_k是x轴方向振速，v_ky＝sin θ_k sin φ_k是y轴方向振速，q(θ_k，φ_k)＝[1，q_x(θ_k，φ_k)，q_y(θ_k，φ_k)]为2N-1个声矢量传感器与原点处传感器之间的相位差组成的导向矢量，是x轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，是y轴上除坐标原点以外的N-1个声矢量传感器相对于坐标原点的导向矢量，λ_k是第k个入射信号波长，θ_k∈[0，π/2]和φ_k∈[-π，π]分别是声矢量信号的俯仰角和方位角，A₂＝A₁Φ，是时延矩阵，P＝[p₁，…，p_k，…，p_K]^T是声信号的声压强度矩阵，p_k是第k个信号的M次快拍数据矢量，和是高斯白噪声矩阵；

步骤二、将两组采样数据都按照相同的模式叠加构成四元数数据Z₁和Z₂；数据的叠加模式为：一个阵元的同一次快拍数据按照声压强度加上四元数虚数单位i乘以x轴方向振速加上四元数虚数单位乘以y轴方向振速叠加构成该阵元的一次四元数快拍数据，所有的接收数据都按照这种方式叠加成四元数数据；

第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝B₁P+N₁，式中的B₁＝[b₁(θ₁，φ₁)，…，b₁(θ_k，φ_k)，…，b₁(θ_K，φ_K)]＝C₁+iC₂为四元数阵列导向矢量，C₁＝[c₁(θ₁，φ₁)，…，c₁(θ_k，φ_k)，…，c₁(θ_K，φ_K)]表示声压传感器构成的子阵导向矢量，C₂＝[c₂(θ₁，φ₁)，…，c₂(θ_k，φ_k)，…，c₂(θ_K，φ_K)]表示x轴和y轴方向的振速矢量构成的子阵导向矢量，其中，b_1k＝1和分别表示坐标原点处的声矢量传感器接收信号四元数表示形式的实部和虚部，c_1k＝b_1kq(θ_k，φ_k)，c_2k＝b_2kq(θ_k，φ_k)，N₁是第一组采样数据中噪声的四元数表示；第二组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₂＝B₂P+N₂，式中的B₂是延时ΔT后的四元数阵列导向矢量，B₂＝B₁Φ，为时延矩阵，N₂是第二组采样数据中噪声的四元数表示；

步骤三、将两组四元数数据Z₁和Z₂构成全阵列接收四元数数据Z，计算四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵R_z进行四元数特征分解并通过相关运算得到阵列导向矢量估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

是四元数噪声，是全数据阵列导向矢量；计算Z的自相关矩阵其中，(·)^H表示转置复共轭操作，σ²为噪声的方差，I为单位矩阵，为入射信号声压强度的自相关函数；

对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，E_s的后2N-1行元素组成矩阵E₂，是矩阵E₁的伪逆矩阵，矩阵不是厄米特矩阵不能直接进行四元数的特征分解，需要转换为复数自伴随矩阵其中Ψ_r和Ψ_i分别是Ψ的实部和虚部，是复数域虚数单位，和分别是Ψ_i和Ψ_r的共轭矩阵，对C_Ψ进行特征分解其中，c_k是特征矢量，v_k是特征值，Ψ的右特征值也是v_k，对应的特征矢量其中，Φ_J＝[I_J，-iI_J]是维数为J×2J的还原矩阵，J＝2N-1，I_J代表维数为J×J的单位阵；从而由第二次特征分解得到阵列导向矢量估计值和延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值以及时延矩阵的估计值其中，为Ψ的特征向量矩阵；

步骤四、由时延矩阵估计值得到声波信号的频率估计由阵列导向矢量估计值重构子阵导向矢量和根据子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵Ω得到信号到达角的粗略估计值和并由此得到方向余弦的粗略无模糊估计值和

由时延矩阵Φ的估计值得到声波信号频率的估计值为：

根据步骤二中B₁和C₁及C₂的关系知阵列导向矢量估计值根据关系重构子阵导向矢量和子阵导向矢量和之间的旋转不变关系矩阵为则声波到达角粗略估计值为：；

步骤五、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值以及x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值q′_kx和q′_ky，利用q′_kx求x轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Φ_x，同样，利用q′_ky求y轴上前N-1个阵元和后N-1个阵元之间的平移不变关系矩阵Φ_y；

第k个信号的阵列空域导向矢量估计值其中，表示的第k列，表示的第k列的第一个元素，是x轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴上除坐标原点以外的N-1阵元所构成的子阵空域导向矢量的估计值，则x轴上的子阵空域导向矢量估计值为y轴上的子阵空域导向矢量估计值为K个信号x轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_x＝[q′_1x，…，q′_kx，…，q′_Kx]，K个信号y轴上的子阵空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_y＝[q′_1y，…，q′_kx，…，q′_Kx]，Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Φ_x和Q_y2＝Q_y1Φ_y得到和Φ_x和Φ_y分别为x轴和y轴方向的平移不变关系矩阵；

步骤六、利用步骤四得到的方向余弦粗略估计值确定平移不变关系矩阵Φ_x和Φ_y的相位周期模糊数估计值和根据得到的相位周期模糊数估计值和消除二维到达角的模糊，求出入射信号的方位角和俯仰角的精确估计值；

平移不变关系矩阵Φ_x和Φ_y的相位周期模糊数的估计值和为：

根据得到的模糊数和估计x轴和y轴方向的精确无模糊的方向余弦；

其中，Φ_x(k，k)表示矩阵Φ_x的第k行第k列的元素，Φ_y(k，k)表示矩阵Φ_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦精确无模糊估计值得到第k个入射信号的精确无模糊方位角估计值和俯仰角估计值

前述步骤中的k＝1，...，K，i，j，为四元数的虚数单位。