CN112285647A - 一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法 - Google Patents

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CN112285647A CN202011064530.4A CN202011064530A CN112285647A CN 112285647 A CN112285647 A CN 112285647A CN 202011064530 A CN202011064530 A CN 202011064530A CN 112285647 A CN112285647 A CN 112285647A
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Abstract

本发明公开了一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，首先，通过基于信号方位角的空间稀疏性进行稀疏表示，利用范数构造联合稀疏向量；然后，构造稀疏重建的字典矩阵，将稀疏向量重建转化为范数约束问题，获取联合协方差矩阵模型；最后，利用协方差矩阵模型求解范数最小化约束问题来实现信号方位检测。本发明不存在表达冗余，充分利用声矢量接收信号特点，不需要估计信号源个数，也不需要对噪声进行抑制，联合利用阵列接收信号x轴和y轴信息，解决了仅利用声压信息进行方位估计时精度低、信号分辨难的问题；本发明提供的信号方位估计精度和多信号分辨能力优于多重信号分类法(MUSIC)和传统的自适应波束形成方法(BARTLETT)。

Description

一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法
技术领域
本发明涉及信号方位高分辨估计方法，尤其是涉及一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，主要是用于目标探测和目标定位，属于阵列信号处理技术领域。
背景技术
通常来说，在声阵列信号处理的研究中，为了计算声信号的方位，早期绝大多数研究者都是采用基本的声压水听器阵列，先通过信号进行空间采样，然后进行空间谱估计。随着水声技术的飞速发展，研究者们发明出新型的声矢量水听器，它由传统的声压水听器和质点振速水听器复合而成，可以同步、共点测量声场空间一点处的声压和质点振速的三个正交分量。因此，基于声矢量水听器阵列的目标方位估计技术较之声压水听器阵要精准很多，研究人员越来越关注基于矢量水听器的阵列信号处理技术。
传统的信号方位估计方法的权矢量为阵列流形矢量，不同的扫描角度对应不同值的权矢量，继而得到不同的空间谱值。该方法实现简单，运算量小，稳健性强，可用于相干信号的波达方向估计。不足之处在于当入射信号相离较近时，信号可能均出现在波束主瓣内，从而失去分辨能力。与常规波束形成方法相比，多重信号分类法分辨率更高，但不适用于相干信号环境。总的来说，国内外近年来研究了大量的水声信号方位估计相关信号处理算法，但是目前业内大多采用阵列信号处理相关方法获取信号参数，对毗邻入射信号的分辨能力不够强，对复杂声源的处理能力不够高，对目标参数的估计不够准确。
综上，提供一种目标探测和目标定位较为精准的基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法是解决上述技术问题的关键所在。
发明内容
本发明在于提供一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法。
本发明通过以下技术方案实现：
一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，首先，通过基于信号方位角的空间稀疏性进行稀疏表示，利用范数构造联合稀疏向量；
然后，构造稀疏重建的字典矩阵，将稀疏向量重建转化为范数约束问题，获取联合协方差矩阵模型；
最后，利用协方差矩阵模型求解范数最小化约束问题来实现信号方位检测。
优选的，建立矢量水听器均匀线阵模型，M是矢量水听器均匀线阵接收到的信号数量，阵元数是L，阵元间距为d，d≦v/2f，其中，v为信号传播速度，f 对应信号的频率，第m个信号的入射角为θm，0≦θm≦2π，m＝1，2…，M；则矢量水听器阵列的时域输出矢量为：
Figure BDA0002713366680000021
式中，x(t)表示水听器阵列的时域输出矢量，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；
Figure BDA0002713366680000022
表示求和；am表示信号导向矢量；sm(t)表示第m个信号；nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y 轴方向的加性高斯噪声矢量，假设第0个阵元是参考阵元，fm对应第m个信号的频率，当信号从x-y平面入射时，具体计算式为：
Figure BDA0002713366680000023
式中，am是第m个信号的导向矢量，
Figure BDA0002713366680000024
对应第m个信号x轴方向的导向矢量的转置，
Figure BDA0002713366680000025
对应第m个信号y轴方向的导向矢量的转置，(·)T表示转置；将x 轴方向和y轴方向的因子单独分离出来，得到计算式为：
aX,m＝cosθmas,m (3)
aY,m＝sinθmas,m (4)
Figure BDA0002713366680000026
式中，aX,m对应第m个信号x轴方向的导向矢量，aY,m对应第m个信号y轴方向的导向矢量，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；θm表示第m个信号的方位角，cosθm为余弦函数，sinθm为正弦函数；
Figure BDA0002713366680000031
表示阵列阵元间的相位差，fm对应第m个信号的频率，d表示阵元间距，v为信号传播速度，l表示第l 个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率；
具体的阵列输出矢量可表示为：
Figure BDA0002713366680000032
式中，x(t)表示阵列输出矢量，
Figure BDA0002713366680000033
和
Figure BDA0002713366680000034
分别是x轴方向和y轴方向的阵列流型矢量； s(t)＝[s0(t),s1(t),...,sM(t)]T是信号矢量，nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y轴方向的加性高斯噪声矢量。
优选的，定义协方差矩阵，
Figure BDA0002713366680000035
Figure BDA0002713366680000036
其中，
Figure BDA0002713366680000037
SX＝diag{σ1cos2(θ1),...,σMcos2(θM)} (10)
SY＝diag{σ1sin2(θ1),...,σMsin2(θM)} (11)
NX＝NY＝σ2I (12)
式中，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，E{·}表示求取数学期望，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；A表示阵列流形矩阵，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量， diag{·}表示矢量对角化，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，σ2表示噪声功率，I是单位矩阵。
优选的，利用式(11)和式(12)获取联合协方差矩阵模型R，
Figure BDA0002713366680000038
Figure BDA0002713366680000041
式中，R表示阵列输出协方差矩阵，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，A表示阵列流形矩阵，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；σ2表示噪声功率，I是单位矩阵；
Figure BDA0002713366680000042
表示阵列阵元间的相位差，c是声速，fm对应第m个信号的频率，d 表示阵元间距，l表示第l个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率。
优选的，定义矢量r0＝[r21,r31,...,rM1]T，其中rij对应于协方差矩阵R的第(i,j)个元素，且r0能被表示为：
r0＝AP (14)
式中，r0是为了便于问题描述而定义的矢量，A表示阵列流形矩阵，P＝[σ1,...,σm,...,σM]T表示信号功率构成的列矢量；
在利用信号的空域稀疏性来估计信号方位时，根据式(13)，r0能进一步被表示为
Figure BDA0002713366680000043
式中，
Figure BDA0002713366680000044
是阵列流行矩阵扩展形成的过完备字典矩阵，由M' 个包含所有可能存在的信号入射角度对应的导向矢量构成；
Figure BDA0002713366680000045
是稀疏列矢量，且该稀疏列矢量仅在有真实信号入射的位置，且
Figure BDA0002713366680000046
的值不为零，且
Figure BDA0002713366680000047
代表了目标方位角的值；
再假设PX,PY是与
Figure BDA0002713366680000048
具有相同结构的，分别对应于x方向和y方向的稀疏矢量,则同一信号的方位角唯一且确定，得出PX,PY非零元素对应的位置相同，使其找到充分稀疏的唯一解，获得信号方位角信息。
本发明的有益效果是：
1、本发明不存在表达冗余，充分利用声矢量接收信号特点，联合利用阵列接收信号x轴和y轴信息，解决了仅利用声压信息进行方位估计时精度低、信号分辨难的问题；
2、本发明与现有信号方位估计方法相比，稀疏表示方法能够准确的重构出原始稀疏目标信号，稀疏重构方法能够获取目标信号的高分辨、高精度估计结果，具有重要的应用价值，然而目前基于压缩感知理论与稀疏信号分解理论的水声信号处理方法研究较为初步，取得的突破性成果相对较少。因此，研究基于稀疏表示与稀疏反演的水声信号目标参数方法具有重要意义；
3、本发明不需要估计信号源个数，也不需要对噪声进行抑制，通过仿真计算，证明本发明提供的信号方位估计精度和多信号分辨能力优于多重信号分类法(MUSIC)和传统的自适应波束形成方法(BARTLETT)。
附图说明
下面结合附图对本发明的具体实施方式作进一步详细的说明，其中：
图1为本发明声矢量传感器组成的阵列示意图；
图2为本发明分辨3个入射信号的空间谱图；
图3为本发明分辨2个毗邻入射信号的空间谱图；
图4为本发明估计信号方位角的均方根误差随信噪比变化的性能仿真图(信号入射角度间隔为5度)；
图5为本发明估计信号方位角的均方根误差随信噪比变化的性能仿真图(信号入射角度间隔为30度)；
图6为本发明分辨多个信号的分辨成功概率随信号入射角度间隔变化的性能仿真图(信噪比为0dB)；
图7为本发明分辨多个信号的分辨成功概率随信噪比变化的性能仿真图(信噪比为15dB)。
具体实施方式
为了使本技术领域的技术人员能更好地理解本发明的技术方案，下面结合附图对其具体实施方式进行详细的说明。
如图1至图7所示的一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，
首先，通过基于信号方位角的空间稀疏性进行稀疏表示，利用范数构造联合稀疏向量；
然后，构造稀疏重建的字典矩阵，将稀疏向量重建转化为范数约束问题，获取联合协方差矩阵模型；
最后，利用协方差矩阵模型求解范数最小化约束问题来实现信号方位检测。
进一步的，建立矢量水听器均匀线阵模型，M是矢量水听器均匀线阵接收到的信号数量，阵元数是L，阵元间距为d，d≦v/2f，其中，v为信号传播速度， f对应信号的频率，第m个信号的入射角为θm，0≦θm≦2π，m＝1，2…，M；声场中某个质点在任意时刻的声压为P，振速矢量V，且声波在海洋波导中传播时，在竖直方向为驻波，故只考虑水平方向的二维指向性，矢量水听器提供正交的偶极子指向性，分别记为x轴方向指向性和y轴方向指向性；记矢量水听器阵列在x轴方向的时域输出为xX(t)，在y轴方向的时域输出为xY(t)，最终得到矢量水听器阵列的时域输出矢量为：
Figure BDA0002713366680000061
式中，x(t)表示水听器阵列的时域输出矢量，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；
Figure BDA0002713366680000062
表示求和；am表示信号导向矢量；sm(t)表示第m个信号；nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和 y轴方向的加性高斯噪声矢量。
具体的，考虑M个信号，具体实施中考虑两种仿真实施案例，分别令M＝2 和M＝3入射到如图1所示的矢量水听器均匀线阵,其中阵元数是L，具体实施中令L＝16，阵元间距为d，d≤v/2f，其中v＝1500m/s为信号传播速度，f对应信号的频率，假设仿真实例中各信号的频率为f＝15kHz，第m个信号的入射角为θm(m＝1,2,...,M)且0≤θm≤2π，具体角度大小设置详见仿真实例。
由于矢量水听器能同时获得声场中某个质点在任意时刻的声压p和振速矢量v，且声波在海洋波导中传播时，在竖直方向为驻波，因此只考虑水平方向的二维指向性；注意到矢量水听器能够提供正交的偶极子指向性，分别记为x轴方向指向性和y轴方向指向性。
记矢量水听器阵列在x轴方向的时域输出(傅立叶级数)为xX(t)，在y轴方向的时域输出为xY(t)，则整个矢量水听器阵列的时域输出矢量可表示为：
Figure BDA0002713366680000071
其中nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y轴方向的加性高斯噪声矢量，am是第m个信号sm(t)的导向矢量。假设第0个阵元是参考阵元，fm对应第m个信号的频率。那么当信号从x-y平面入射时，具体为：
Figure BDA0002713366680000072
式中，am是第m个信号的导向矢量，
Figure BDA0002713366680000073
对应第m个信号x轴方向的导向矢量的转置，
Figure BDA0002713366680000074
对应第m个信号y轴方向的导向矢量的转置，(·)T表示转置；将x 轴方向和y轴方向的因子单独分离出来，得到计算式为：
aX,m＝cosθmas,m (3)
aY,m＝sinθmas,m (4)
Figure BDA0002713366680000075
式中，aX,m对应第m个信号x轴方向的导向矢量，aY,m对应第m个信号y轴方向的导向矢量，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；θm表示第m个信号的方位角，cosθm为余弦函数，sinθm为正弦函数；
Figure BDA0002713366680000076
表示阵列阵元间的相位差，fm对应第m个信号的频率，d表示阵元间距，v为信号传播速度，l表示第l 个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率。
进一步，阵列输出矢量能被重写为：
Figure BDA0002713366680000077
式中，x(t)表示阵列输出矢量，
Figure BDA0002713366680000078
和
Figure BDA0002713366680000079
分别是x轴方向和y轴方向的阵列流型矢量； s(t)＝[s0(t),s1(t),...,sM(t)]T是信号矢量，nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y轴方向的加性高斯噪声矢量。
具体的，s(t)＝[s0(t),s1(t),...,sM(t)]T是信号矢量，
Figure BDA00027133666800000710
和
Figure BDA00027133666800000711
分别是x轴方向和y轴方向的阵列流型矢量，其中M在具体仿真实例中取2或3，即假设有2或3个信号入射到阵列；
进一步的，定义协方差矩阵：
Figure BDA00027133666800000712
Figure BDA00027133666800000713
其中，
Figure BDA00027133666800000714
SX＝diag{σ1cos2(θ1),...,σMcos2(θM)} (10)
SY＝diag{σ1sin2(θ1),...,σMsin2(θM)} (11)
NX＝NY＝σ2I (12)
式中，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，E{·}表示求取数学期望，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；A表示阵列流形矩阵，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量， diag{·}表示矢量对角化，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，σ2表示噪声功率，I是单位矩阵。
进一步的，利用步骤2中的式(11)和(12)，进一步得到：
Figure BDA0002713366680000081
式中，R表示阵列输出协方差矩阵，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，A表示阵列流形矩阵，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；σ2表示噪声功率，I是单位矩阵；
Figure BDA0002713366680000082
表示阵列阵元间的相位差，c是声速，fm对应第m个信号的频率，d 表示阵元间距，l表示第l个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率。
还更具体的，首先，根据信号协方差矩阵的结构特征进行稀疏表示，然后，构造稀疏重建的字典矩阵，将稀疏向量重建转化为范数约束问题，并基于包含信号方位角信息的待恢复稀疏矢量得到定义矢量r0：
定义矢量r0＝[r21,r31,...,rM1]T，其中rij对应于协方差矩阵R的第(i,j)个元素，且 r0能被表示为：
r0＝AP (14)
式中，r0是为了便于问题描述而定义的矢量，A表示阵列流形矩阵， P＝[σ1,...,σm,...,σM]T表示信号功率构成的列矢量；
在利用信号的空域稀疏性来估计信号方位时，根据式(13)，r0能进一步被表示为
Figure BDA0002713366680000091
式中，
Figure BDA0002713366680000092
是阵列流行矩阵扩展形成的过完备字典矩阵，由M' 个包含所有可能存在的信号入射角度对应的导向矢量构成；
Figure BDA0002713366680000093
是稀疏列矢量，且该稀疏列矢量仅在有真实信号入射的位置，且
Figure BDA0002713366680000094
的值不为零，且
Figure BDA0002713366680000095
代表了目标方位角的值，换句话说，
Figure BDA0002713366680000096
中非零元素的位置代表了目标方位角的值；
再假设PX,PY是与
Figure BDA0002713366680000097
具有相同结构的，分别对应于x方向和y方向的稀疏矢量,则同一信号的方位角唯一且确定，得出PX,PY非零元素对应的位置相同，使其找到充分稀疏的唯一解，获得信号方位角信息。
具体的是，PX,PY是与
Figure BDA0002713366680000098
具有相同结构的分别对应于x方向和y方向的稀疏矢量,由于同一信号的方位角唯一且确定，于是PX,PY非零元素对应的位置应该相同，使得可以找到充分稀疏的唯一解，将上述式(15)所述问题转化为凸优化问题，即可利用MATLAB工具包进行求解，获得信号方位角信息。。
本发明的效果可以通过以下的3组仿真实例作进一步具体化说明：
1、考虑由16个声矢量传感器组成的传感器线阵，声速为1500m/s，采样频率为10kHz，快照数为1000，输入信噪比为0dB。然后考虑了以下两种情况：
(1)三个窄带信号分别从方位角θ1＝-35°,θ2＝20°,θ3＝45°入射到阵列上；
(2)两个窄带信号分别从θ1＝33°，θ2＝36°毗邻入射到同一个阵列上，在之后的仿真中，比较了该方法与MUSIC方法和BARTLETT方法的性能，图1显示了空间谱结果。
从图2和图3可以看出，本发明提出的方法对不同间隔的多个信源都有很好的分辨率，特别是在两个信号相邻的情况下，所提方法仍能在3度范围内对输入信号进行分解，而MUSIC和BARTLETT方法不能准确区分两个信号。此外，与其它方法相比，该方法的主光束较窄，零点凹陷较深，在低输入信噪比条件下，具有更好的分辨性能，可以获得高精度的估计结果。
2、估计精度验证：估计精度误差越小，算法的分辨率越高，基本仿真参数与上述相同。仍然考虑以下两种情况：
(1)两个窄带信号从方位角θ1＝50°,θ2＝55°毗邻入射到阵列上，输入信噪比从-15dB变为15dB，变化间隔为5dB；
(2)两个窄带信号分别从方位角θ1＝25°,θ2＝55°入射到阵列上，输入信噪比从-10dB变为20dB，变化间隔为5dB。对每个信噪比下的30个独立测试结果取平均值，得到相对信噪比的RMSE曲线，如图4和图5所示。
同时，从图4和图5可以看出，该算法的估计精度随着输入信噪比的增加而提高。其原因是随着输入信噪比的增大，信号功率变大，信号特征变得更加明显和易于识别。当入射信号入射较近时，BARTLETT方法不能分辨任意输入信噪比下的两个相邻信号，而当输入信噪比大于-5dB时，其它两种方法都能分辨出信号。
除此之外，随着输入信噪比的增加，本发明所提方法的均方根误差小于0.1 度。这是因为基于信号的稀疏特性，本发明所提方法利用矢量传感器阵列两个正交方向的稀疏向量来寻找完全稀疏的唯一解，使得稀疏信号重建更加精确。
3、分辨能力验证：验证本发明所提算法在不同输入信噪比条件下对不同方位间隔入射信号的分辨能力。考虑用分辨率概率作为指标来验证性能。分辨概率定义为区分不同方位角信号的成功实验次数与独立实验总数的比值，当信号方位估计的均方根误差在1度以内时，认为信号已被成功分辨。就此而言，分辨概率的范围介于[0,1]。分辨概率越高，算法的分辨率性能越好。基本仿真参数包括阵列传感器数量、快照数量和采样频率与(2)中相同。还需考虑以下两种情况：
(1)将输入信噪比固定为0dB，假设两个窄带信号入射到阵列上，两个信号之间的方位角从2°变化到7°，变化间隔为1°；
(2)将输入信噪比固定为15dB，假设两个窄带信号入射到阵列上，则两个信号从1°变为6°，变化间隔为1°，图6和图7所示为所提方法相对于信号方位间隔的分辨概率曲线。
从图6和图7可以看出，本发明所提方法对不同方位角的信号具有很高的分辨能力。当输入信噪比为0dB时，所提方法可以在2度范围内分辨信号，而 MUSIC方法只能识别3度以内的信号。当输入信噪比为15dB时，当两个信号之间的方位间隔大于2度时，所提方法和MUSIC方法都能分辨出信号并保持分辨概率为1，而BARTLETT方法仍然不能分辨出任何方位间隔的信号。一般来说，即使在低输入信噪比条件下，本发明中的方法也能分辨出相邻的入射信号。
最后，需要说明的是，上面结合附图对本发明的具体实施方式作了详细的说明，但是本发明并不限于上述的实施方式，在本领域的普通技术人员所具备的知识范围内，还可以对其作出种种变化。

Claims (5)

1.一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，其特征在于：
首先，通过基于信号方位角的空间稀疏性进行稀疏表示，利用范数构造联合稀疏向量；
然后，构造稀疏重建的字典矩阵，将稀疏向量重建转化为范数约束问题，获取联合协方差矩阵模型；
最后，利用协方差矩阵模型求解范数最小化约束问题来实现信号方位检测。
2.根据权利要求1所述的一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，其特征在于：建立矢量水听器均匀线阵模型，M是矢量水听器均匀线阵接收到的信号数量，阵元数是L，阵元间距为d，d≦v/2f，其中，v为信号传播速度，f对应信号的频率，第m个信号的入射角为θm，0≦θm≦2π，m＝1，2…，M；则矢量水听器阵列的时域输出矢量为：
Figure FDA0002713366670000011
式中，x(t)表示水听器阵列的时域输出矢量，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；
Figure FDA0002713366670000012
表示求和；am表示信号导向矢量；sm(t)表示第m个信号；nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y轴方向的加性高斯噪声矢量，假设第0个阵元是参考阵元，fm对应第m个信号的频率，当信号从x-y平面入射时，具体计算式为：
Figure FDA0002713366670000013
式中，am是第m个信号的导向矢量，
Figure FDA0002713366670000014
对应第m个信号x轴方向的导向矢量的转置，
Figure FDA0002713366670000015
对应第m个信号y轴方向的导向矢量的转置，(·)T表示转置；将x轴方向和y轴方向的因子单独分离出来，得到计算式为：
aX,m＝cosθmas,m (3)
aY,m＝sinθmas,m (4)
Figure FDA0002713366670000016
式中，aX,m对应第m个信号x轴方向的导向矢量，aY,m对应第m个信号y轴方向的导向矢量，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；θm表示第m个信号的方位角，cosθm为余弦函数，sinθm为正弦函数；
Figure FDA0002713366670000017
表示阵列阵元间的相位差，fm对应第m个信号的频率，d表示阵元间距，v为信号传播速度，l表示第l个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率；
具体的阵列输出矢量可表示为：
Figure FDA0002713366670000021
式中，x(t)表示阵列输出矢量，
Figure FDA0002713366670000022
和
Figure FDA0002713366670000023
分别是x轴方向和y轴方向的阵列流型矢量；s(t)＝[s0(t),s1(t),...,sM(t)]T是信号矢量，nX(t)和nY(t)分别是矢量水听器阵列x轴方向和y轴方向的加性高斯噪声矢量。
3.根据权利要求2所述的一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，其特征在于：定义协方差矩阵，
Figure FDA0002713366670000024
Figure FDA0002713366670000025
其中，
Figure FDA0002713366670000026
SX＝diag{σ1cos2(θ1),...,σMcos2(θM)} (10)
SY＝diag{σ1sin2(θ1),...,σMsin2(θM)} (11)
NX＝NY＝σ2I (12)
式中，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，E{·}表示求取数学期望，xX(t)表示水听器阵列在x轴方向的时域输出，xY(t)表示y轴方向的时域输出；A表示阵列流形矩阵，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量，diag{·}表示矢量对角化，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，σ2表示噪声功率，I是单位矩阵。
4.根据权利要求3所述的一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，其特征在于：利用式(11)和式(12)获取联合协方差矩阵模型R，
Figure FDA0002713366670000027
Figure FDA0002713366670000031
式中，R表示阵列输出协方差矩阵，RX表示对应于x轴方向的信号协方差矩阵，RY表示对应于y轴方向的信号协方差矩阵，A表示阵列流形矩阵，SX为对应于x轴方向的信号，SY为对应于y轴方向的信号，NX为对应于x轴方向的噪声分量，NY为对应于y轴方向的噪声分量，{σm}(m＝1,...,M)表示第m个信号的功率，as,m表示信号在均匀线阵下的导向矢量；σ2表示噪声功率，I是单位矩阵；
Figure FDA0002713366670000032
表示阵列阵元间的相位差，c是声速，fm对应第m个信号的频率，d表示阵元间距，l表示第l个阵元，j表示虚数单位，π表示圆周率。
5.根据权利要求4所述的一种基于稀疏表示与重构的信号方位高分辨估计方法，其特征在于：定义矢量r0＝[r21,r31,...,rM1]T，其中rij对应于协方差矩阵R的第(i,j)个元素，且r0能被表示为：
r0＝AP (14)
式中，r0是为了便于问题描述而定义的矢量，A表示阵列流形矩阵，P＝[σ1,...,σm,...,σM]T表示信号功率构成的列矢量；
在利用信号的空域稀疏性来估计信号方位时，根据式(13)，r0能进一步被表示为
Figure FDA0002713366670000033
式中，
Figure FDA0002713366670000034
是阵列流行矩阵扩展形成的过完备字典矩阵，由M'个包含所有可能存在的信号入射角度对应的导向矢量构成；
Figure FDA0002713366670000035
是稀疏列矢量，且该稀疏列矢量仅在有真实信号入射的位置，且
Figure FDA0002713366670000036
的值不为零，且
Figure FDA0002713366670000037
代表了目标方位角的值；
再假设PX,PY是与
Figure FDA0002713366670000038
具有相同结构的，分别对应于x方向和y方向的稀疏矢量,则同一信号的方位角唯一且确定，得出PX,PY非零元素对应的位置相同，使其找到充分稀疏的唯一解，获得信号方位角信息。
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