CN113671485A - 基于admm的米波面阵雷达二维doa估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明属于雷达技术领域，公开了一种适用于米波雷达的基于ADMM算法的米波面阵二维DOA估计方法。该算法首先通过二维波束合成对目标角度进行粗略估计，并根据得到的角度粗估计信息限定了目标角度范围，减少了求解运算量。其次利用方位、俯仰角无耦合的特性，对面阵数据分别进行行、列波束合成，在提升信噪比的同时实现数据降维，提高了运算效率。并通过傅里叶插值的方式提取目标数据，最后利用ADMM算法进行方位、俯仰角估计，避免了二维联合估计复杂的计算量，降低了复杂度。

Description

基于ADMM的米波面阵雷达二维DOA估计方法

技术领域

本发明涉及雷达技术领域，具体涉及一种基于ADMM的米波面阵雷达二维DOA估计方法，适用于米波面阵雷达对目标角度的测量，保证了测量精度的基础上降低了计算复杂度，大大提高了运算效率。

背景技术

随着隐身技术、低空突防和防辐射导弹等一系列反雷达技术的发展，已对现有雷达技术的发展提出了严峻的挑战。米波雷达具有波长较长，穿透能力强的特点，在反隐身和抗辐射导弹等方面具有独特的优势，因此受到世界各国的广泛重视。随着应用需求的不断提升，现代米波雷达应具有高精度测距和二维测角能力。然而，米波雷达在对低空、超低空目标进行探测时，雷达接收回波信号不仅包括由目标散射的直达波信号，而且还存在经地面反射的多径信号。因此，米波雷达在对低仰角目标的探测和测量问题上存在一些亟待解决的问题，如：(1)直达波和多径信号通常位于同一距离单元，难以从时域、频域进行分辨。(2)由于波束宽，直达波和多径反射波处于同一波束宽度甚至半波束宽度内，且为一组强相关信号，严重影响了米波雷达测角精度。(3)米波雷达带宽较窄，距离单元一般在百米量级，距离测量精度进一步影响了雷达测高性能。

近年来，众多国内外学者对米波低仰角DOA问题展开大量研究。现有低仰角DOA方法主要分为特征子空间类算法、最大似然(Maximum Likelihood,ML)类算法和压缩感知类算法。低仰角特征子空间类算法主要是以多重信号分类(Multiple SignalClassification,MUSIC)和旋转不变子空间(Estimation of Signal Parameter viaRotational Invariance Technique,ESPRIT)为框架的求解方法。由于MUSIC算法较ESPRIT算法有更高稳定性和角分辨率，因此受到研发者的青睐。文献“一种改进的空间平滑算法[J].电子与信息学报,2008(04):101-104.”采用空间平滑(Spatial Smoothing，SS)技术恢复协方差矩阵的秩实现解相干，但有效孔径的缺失将会导致算法估计性能的下降，使得该类算法难以满足米波雷达实际应用需求。文献“Projection Techniques for AltitudeEstimation Over Complex Multipath”将交替投影(Alternating Projection)技术与MUSIC算法相结合，利用先验信息可实现低仰角估计，但由于其代价函数是一个非凸的优化问题，不总能保证算法收敛到全局最优解。ML类算法可直接处理相干信号，在低信噪比条件下也具有较好估计性能，但算法计算量随着目标个数呈指数增长，运算量巨大，无法满足实时性需求。压缩感知类算法利用目标在空域的稀疏特性，可直接进行相干源DOA估计，且大多数稀疏重构类DOA估计方法，在少快拍、低信噪比条件下有更好的估计性能，但目前稀疏重构类算DOA估计算法通常运算量较大，如何在不降低算法精度的前提下降低算法计算量一直是该类算法的研究热点。

发明内容

针对现有技术存在的问题，本发明的目的在于提供一种基于ADMM的米波面阵雷达的二维DOA估计方法，能够克服传统方法中计算复杂度大，运算效率低的缺点。

为了达到上述目的，本发明采用以下技术方案予以实现。

基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，包括以下步骤：

步骤1，建立米波雷达二维面阵的信号模型，对各个阵元接收的回波数据进行脉压处理，对脉压后回波数据进行二维波束合成，得到目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

其中，米波雷达二维面阵为M×N维；

步骤2，利用方位角粗估计

对各行阵元进行方位角波束合成，插值处理后提取距离单元R_Q数据，得到各行阵列输出数据y_r＝[S_1r(R_Q),…S_mr(R_Q),…S_Mr(R_Q)]^T,利用俯仰角粗估计θ₁和距离单元R_Q得到各列阵列输出数据y_c＝[S_1c(R_Q),…S_nc(R_Q),…S_Nc(R_Q)]^T；利用几何关系，将输出数据y_r和y_c分别扩展为空域角度超完备表示形式，据此建立稀疏恢复模型，将目标的二维DOA估计问题转化为目标函数的凸优化问题；

其中，S_mr(R_Q)表示第m行阵元方位波束合成并插值处理后的距离单元R_Q数据；S_nc(R_Q)表示第n列阵元俯仰波束合成并插值处理后距离单元R_Q数据；上标T为转置操作；

步骤3，将所述目标函数的凸优化问题进行分块处理，采用交替方向乘子法求解分块后的一维DOA估计问题，对应得到俯仰维和方位维的角度估计，即为目标俯仰角和方位角的精确估计。

与现有技术相比，本发明的有益效果为：

本发明首先通过二维波束合成对目标角度进行粗略估计，并根据得到的角度粗估计信息限定了目标角度范围，减少了求解运算量。其次利用方位、俯仰角无耦合的特性，对面阵数据分别进行行、列波束合成，在提升信噪比的同时实现数据降维，提高了运算效率。并通过傅里叶插值的方式提取目标数据，最后利用交替方向乘子法(AlternatingDirection Method of Multipliers,ADMM)算法进行方位、俯仰角估计，将具有可分结构的凸优化问题(二维DOA估计问题)分块处理，降低求解复杂度，且估计精度高，收敛速度快，避免了二维联合估计复杂的计算量，降低了复杂度。

附图说明

下面结合附图和具体实施例对本发明做进一步详细说明。

图1为本发明的米波面阵雷达几何模型；

图2为本发明的理想反射面多径传播模型；

图3是本发明提出的一种基于ADMM的米波面阵雷达二维DOA估计方案流程图；

图4为本发明所提算法与DBF，SS-MUSIC和AP-MUSIC算法正确估计时空域谱结果；其中，(a)为方位角空域谱结果；(b)为俯仰角空域谱结果；

图5为本发明算法方位俯仰角估计RMSE随信噪比变换曲线图；

图6为本发明所提算法与DBF，SS-MUSIC和AP-MUSIC算法俯仰角RMSE随信噪比变化曲线图。

具体实施方式

下面将结合实施例对本发明的实施方案进行详细描述，但是本领域的技术人员将会理解，下列实施例仅用于说明本发明，而不应视为限制本发明的范围。

参照图3，为本发明的一种基于ADMM的二维DOA估计算法的流程图，具体包括以下步骤：

步骤1，建立米波雷达二维面阵的信号模型，对各个阵元接收的回波数据进行脉压处理，对脉压后回波数据进行二维波束合成，得到目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

具体包含以下子步骤：

子步骤1.1，如图1所示，设米波雷达二维面阵为阵元数为M×N的均匀面阵，将其放置在YOZ平面，波长λ＝1m，相邻阵元间隔为d＝0.5m，满足d＝λ/2。在远场条件下目标回波到达各阵元可认为是平面波，定义目标在XOY平面投影与Y轴正方向的夹角为方位角

，目标与XOY平面的夹角为俯仰角θ。令O点阵元为参考阵元，各阵元发射窄带线性调频信号为：

其中，t表示时间，g(t)表示信号复包络，f_c为中心频率，T表示脉冲宽度。

为方便分析，设空间中只有单个目标，噪声是独立同分布的加性噪声，则各阵元在t时刻接收的基频回波表示为：

其中，σ表示目标后向散射系数，ρ表示多径回波镜面反射系数；c表示光速，R(m,n)表示目标到第m行第n列阵元距离，m∈[1,M]，n∈[1,N]；R'(m,n)表示多径回波到达各阵元的距离，w(m,n,t)表示第m行第n列阵元的加性高斯白噪声；

子步骤1.2，根据远场条件假设，令目标与参考阵元距离为R，则

y_n表示第n列阵元的Y轴坐标，z_m表示第m行阵元的Z轴坐标；当反射面为理想平面阵地时，只考虑多径信号镜面反射，反射模型如图2所示。直达波(由目标直接反射的回波)和多径反射模型中多径波(经地面反射的回波)和直达波的距离差表示为：△R＝R'(m,n)-R(m,n)≈2h_asinθ，其中h_a表示阵列中心高度，在该反射模型中，直达波仰角θ_d与多径仰角θ_s满足θ_d≈-θ_s，直达波方位角

与多径方位角

满足

忽略时延对包络的影响，在窄带信号条件下可得到如下关系式：

利用上式将式(2)整理为：

其中，

表示多径衰减系数。

子步骤1.3，对各阵元的基频回波数据进行脉压处理，得到对应脉压后的回波数据s(m,n,t)，并进行波束合成，完成对目标角度粗略估计。

令第一行阵元、第一列阵元分别作为方位、俯仰波束合成的参考阵元，行阵元方位加权矢量表示为

列阵元俯仰加权矢量表示为

通过式(4)可完成目标检测并获得目标角度粗略估计

其中，S_refM(t)＝[S(1,1,t)；S(2,1,t)；…；S(M,1,t)]表示参考列M个阵元的脉压后的回波数据，S_refN(t)＝[S(1,1,t)；S(1,2,t)；…；S(1,N,t)]表示参考行N个阵元的脉压后的回波数据，χ(·)表示恒虚警检测。

步骤2，利用方位角粗估计

对各行阵元进行方位角波束合成，插值处理后提取距离单元R_Q数据，得到各行阵列输出数据y_r＝[S_1r(R_Q),…S_mr(R_Q),…S_Mr(R_Q)]^T,利用俯仰角粗估计θ₁和距离单元R_Q得到各列阵列输出数据y_c＝[S_1c(R_Q),…S_nc(R_Q),…S_Nc(R_Q)]^T；利用几何关系，将输出数据y_r和y_c分别扩展为空域角度超完备表示形式，据此建立稀疏恢复模型，将目标的二维DOA估计问题转化为目标函数的凸优化问题；

子步骤2.1，在均匀面阵模型下，方位角和俯仰角不存在耦合现象。因此，对于方位角和俯仰角的估计可分别独立进行。

首先利用方位角度

对各行阵元进行方位角波束合成，再插值处理后提取距离单元R_Q数据，此时各行阵列输出数据y_r＝[S_1r(R_Q),S_2r(R_Q),…S_Mr(R_Q)]^T,其中S_mr(R_Q)表示第m行阵元方位波束合成并插值处理后距离单元R_Q数据。利用俯仰角度θ₁和距离单元R_Q得到各列阵列输出数据y_c＝[S_1c(R_Q),S_2c(R_Q),…S_Nc(R_Q)]^T，其中S_nc(R_Q)表示第n列阵元俯仰波束合成并插值处理后距离单元R_Q数据。将目标数据y_r,y_c写成向量形式可表示为：

其中，a(θ_d)＝exp(-j2πZ_Msin(θ_d)/λ)、a(θ_s)＝exp(-j2πZ_Msin(θ_s)/λ)分别表示直达波和多径信号的俯仰接收导向矢量，Z_M＝[0,d,2d,…,(M-1)d]。

分别表示直达波和多径信号的方位接收导向矢量，Y_N＝[0,d,2d,…,(N-1)d]，S_r表示各行阵元方位波束合成目标对应包络矢量，S_c表示各列阵元俯仰波束合成目标对应包络矢量，w表示阵列合成后对应噪声矢量。

子步骤2.2，利用

将式(5)输出信号扩展为空域角度超完备表示形式：

其中，

分别对应空域俯仰、方位角度完备集合。

表示以

中各角度元素对应的导向矢量为列构成的直达波俯仰角导向矢量矩阵，利用

可得到多径导向矢量矩阵

表示以

中各角度元素对应的导向矢量为列构成的直达波方位角导向矢量矩阵。

分别表示入射信号在俯仰、方位角度完备集的补零扩展。

从稀疏恢复角度出发，式(7)求解目标方位、俯仰问题可转化为对目标函数最小化的优化问题，其表达式如下：

其中，q(·)表示稀疏约束函数，η表示正则化参数，||·||₂表示求2范数；

当确定约束函数后，通过稀疏恢复算法即可求解出目标方位、俯仰角。

步骤3，将所述目标函数的凸优化问题进行分块处理，采用交替方向乘子法求解分块后的一维DOA估计问题，对应得到俯仰维和方位维的角度估计，即为目标俯仰角和方位角的精确估计。

首先，给出ADMM算法的一般形式可表示为：

其中，x∈Rⁿ¹,z∈R^m1为待优化变量，f(x)+g(z)为待优化目标函数，且f(x)和g(z)分别为凸函数。线性约束条件中A∈R^p×n1,B∈R^p×m1,C∈R^p；m1、n1、p分别为正整数。

然后，求解上述优化问题，构造增广拉格朗日函数，其表达式为：

其中，γ表示拉格朗日乘子，τ表示惩罚项系数。根据ADMM求解思想，对任一变量求解时固定另外两变量，采用交替迭代的方法进行参数更新直至收敛，其求解过程如下所示：

其中，

k＝1,2,3…为迭代次数。

基于以上过程，将ADMM思想推广到一维DOA中，将式(8)目标函数划分为俯仰维和方位维，分别采用上述ADMM算法进行求解。目标函数的任一维度均可表示为如下优化问题：

其中，y表示观测数据，对俯仰角估计时y＝y_r，对方位角估计时y＝y_c。x表示待优化角度向量。A表示角度估计观测字典，在ADMM求解框架下，引入角度向量β，满足β＝x，η表示正则化系数，||·||₁表示1范数；

根据信号模型，俯仰角估计观测字典具体形式可表示为：

方位角估计观测字典可表示为：

此时，构造增广拉格朗日函数：

其中，γ表示拉格朗日乘子矢量；

根据ADMM算法求解思想，首先对变量x进行求解。由于L_τ对x是可导的，令

可得：

其中，上标H表示共轭转置，上标-1表示求逆，I表示单位矩阵，

其次，固定x、ζ，对β求解：

其中，

表示软阀值算子。

进一步可得到ζ的解析式。

在以上ADMM算法的求解过程中，各参数的更新策略可表示为：

本发明中将初始的x⁰设置为步骤1的目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

设置最大迭代次数K，采用式(16)进行迭代求解，直到达到最大迭代次数，则x^K即为目标俯仰角和方位角精确估计。

仿真实验

通过以下仿真对本发明效果进行进一步验证说明。

仿真一：

1、仿真参数设置

仿真条件设置如下：水平阵元个数20，竖直阵元个数16，阵元间隔0.5米，波长1米，雷达架高5米，多径反射系数0.95，各阵元发射带宽500K。假设空间中一个方位、俯仰为(30°,1.5°)的低仰角目标，信噪比为5dB，实验中设置行列波束合成角度搜索间隔为1°。本实验中设定为方位搜索方位为28°～32°，俯仰角搜索范围可设定为-5°～5°，角度搜索间隔设置为0.1°。

2、仿真内容

为验证本申请中基于ADMM的DOA估计方法的优势，给定空间中一个方位，比较本申请中的方案与基于DBF、SS-MUSIC和AP-MUSIC进行DOA估计方案，方位角与俯仰角的估计结果分别如图4(a)，图4(b)所示。

3、仿真结果分析

从图4(a)可以看出DBF虽然可以正确估计目标方位角度，但相比与其他三种方法，其估计精度较差，不具有超分辨性能。从图4(b)可以看出由于多径信号的影响，DBF已经无法完成角度估计，与SS-MUSIC和AP-MUSIC算法相比，ADMM算法具有较窄主瓣及较低旁瓣，从而表明所提算法具有较高的DOA估计精度。

仿真二：

1、仿真参数设置

仿真条件设置如下：水平阵元个数20，竖直阵元个数16，阵元间隔0.5米，波长1米，雷达架高5米，多径反射系数0.95，各阵元发射带宽500K。采用均方根误差(RMSE)作为DOA估计精度的衡量标准，方位、俯仰角RMSE可分别定义为：

其中，D为蒙特卡洛实验次数，

分别表示第d次实验得到的估计值，

θ表示目标的真实方位角、俯仰角。

2、仿真内容

为了验证本申请算法的测角性能，对比不同信噪比条件下本文所提算法、SS-MUSIC和AP-MUSIC算法角度估计性能。图5为本文算法方位俯仰角估计RMSE随信噪比变换曲线，图6为三种算法俯仰角RMSE随信噪比变化曲线。

3、仿真结果分析

从图中可以看出当信噪比较低时，本发明算法与AP-MUSIC算法RMSE相差0.1°左右，信噪比较高时，两算法测角精度基本一致，可以看出两算法在测角精度上基本相同。SS-MUSIC算法测角精度与本文算法差距较大，且该算法测角精度与子阵个数，目标个数有关，适用性较差。

为了对比算法之间的运算效率，表1给出各算法单次运行所需时间。由表1可知本文算法运算效率明显优于AP-MUSIC算法，其原因在于本文方法无需进行特征分解，且收敛速度快。SS-MUSIC方法由于不涉及迭代过程，运算速度快，由于求解过程需进行特征分解，当阵面较大时，特征分解运算时间将大幅增大，因此在保证精度要求的前提下，本文所提算法更具优势。

表1各算法运行时间表

结合上述分析，得出以下结论：本发明利用均匀面阵条件下方位、俯仰角无耦合的特性，将二维角度估计问题转化为两个一维角度估计问题，通过方位、俯仰维波束合成实现对目标信息提取。相较于DBF，SS-MUSIC和AP-MUSIC算法具有更高的DOA估计精度，且计算复杂度低，具有更快的运算速度。

虽然，本说明书中已经用一般性说明及具体实施方案对本发明作了详尽的描述，但在本发明基础上，可以对之作一些修改或改进，这对本领域技术人员而言是显而易见的。因此，在不偏离本发明精神的基础上所做的这些修改或改进，均属于本发明要求保护的范围。

Claims (7)

1.一种基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1，建立米波雷达二维面阵的信号模型，对各个阵元接收的回波数据进行脉压处理，对脉压后回波数据进行二维波束合成，得到目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

其中，米波雷达二维面阵为M×N维；

步骤2，利用方位角粗估计

对各行阵元进行方位角波束合成，插值处理后提取距离单元R_Q数据，得到各行阵列输出数据y_r＝[S_1r(R_Q)，…S_mr(R_Q)，…S_Mr(R_Q)]^T，利用俯仰角粗估计θ₁和距离单元R_Q得到各列阵列输出数据y_c＝[S_1c(R_Q)，…S_nc(R_Q)，…S_Nc(R_Q)]^T；利用几何关系，将输出数据y_r和y_c分别扩展为空域角度超完备表示形式，据此建立稀疏恢复模型，将目标的二维DOA估计问题转化为目标函数的凸优化问题；

其中，S_mr(R_Q)表示第m行阵元方位波束合成并插值处理后的距离单元R_Q数据；S_nc(R_Q)表示第n列阵元俯仰波束合成并插值处理后距离单元R_Q数据；上标T为转置操作；

步骤3，将所述目标函数的凸优化问题进行分块处理，采用交替方向乘子法求解分块后的一维DOA估计问题，对应得到俯仰维和方位维的角度估计，即为目标俯仰角和方位角的精确估计。

2.根据权利要求1所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，所述建立米波雷达二维面阵的信号模型，具体为：

1.1，建立空间直角坐标系，设二维面阵为阵元数为M×N的均匀面阵，将其放置在YOZ平面，相邻阵元间隔为d，满足d＝λ/2，λ表示波长；在远场条件下目标回波到达各阵元认为是平面波，定义目标在XOY平面投影与Y轴正方向的夹角为方位角

目标与XOY平面的夹角为俯仰角θ；令O点阵元为参考阵元，各阵元发射窄带线性调频信号为：

其中，g(t)表示信号复包络，f_c为中心频率，T表示脉冲宽度；

1.2，设空间中只有单个目标，噪声是独立同分布的加性噪声，各阵元在t时刻接收基频回波表示为：

其中，σ表示目标后向散射系数，ρ表示多径回波镜面反射系数；c表示光速，R(m，n)表示目标到第m行第n列阵元距离，m∈[1，M]，n∈[1，N]；R′(m，n)表示多径回波到达各阵元的距离，w(m，n，t)表示第m行第n列阵元的加性高斯白噪声；

1.3，根据远场条件，令目标与参考阵元距离为R，则

其中，y_n表示第n列阵元的Y轴坐标，z_m表示第m行阵元的Z轴坐标；

当反射面为理想平面阵地时，只考虑多径信号镜面反射，则直达波和多径波的距离差表示为：ΔR＝R′(m，n)-R(m，n)≈2h_asinθ，h_a表示阵列中心高度，在该反射模型中，直达波仰角θ_d与多径仰角θ_s满足θ_d≈-θ_s，直达波方位角

与多径方位角

满足

忽略时延对包络的影响，在窄带信号条件下得到如下关系式：

利用上式将步骤1.2中的基频回波整理为：

其中，

表示多径衰减系数。

3.根据权利要求2所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，步骤1中，令第一行阵元、第一列阵元分别作为方位、俯仰波束合成的参考阵元，行阵元方位加权矢量表示为

列阵元俯仰加权矢量表示为

则所述目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

为：

其中，S_refM(t)＝[S(1，1，t)；S(2，1，t)；…；S(M，1，t)]表示参考列M个阵元的脉压后的回波数据，S_refN(t)＝[S(1，1，t)；S(1，2，t)；…；S(1，N，t)]表示参考行N个阵元的脉压后的回波数据，χ(·)表示恒虚警检测。

4.根据权利要求1所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，所述输出数据y_r和y_c的空域角度超完备表示形式为：

其中，

分别对应空域俯仰、方位角度完备集合；

表示以

中各角度元素对应的导向矢量为列构成的直达波俯仰角导向矢量矩阵，利用

得到多径导向矢量矩阵

表示以

中各角度元素对应的导向矢量为列构成的直达波方位角导向矢量矩阵，

分别表示入射信号在俯仰、方位角度完备集的补零扩展；w为加性高斯白噪声矢量；

从稀疏恢复角度出发，将上式求解目标方位、俯仰问题转化为对目标函数最小化的优化问题，其表达式如下：

其中，q(·)表示稀疏约束函数，η表示正则化参数，||·||₂表示求2范数。

5.根据权利要求4所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，所述将所述目标函数的凸优化问题进行分块处理，具体为：将所述目标函数划分为俯仰维和方位维，分别采用ADMM算法进行求解，具体过程为：

将目标函数的任一维度表示为如下优化问题：

s.tβ-x＝0

其中，y表示观测数据，对俯仰角估计时y＝y_r，对方位角估计时y＝y_c；x表示待优化角度向量；A表示角度估计观测字典，在ADMM求解框架下，引入角度向量β，满足β＝x，η表示正则化系数，||·||₁表示1范数；

根据信号模型，俯仰角估计观测字典具体形式表示为：

方位角估计观测字典表示为：

6.根据权利要求5所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，所述采用交替方向乘子法求解分块后的一维DOA估计问题，具体为：初始化x⁰为步骤1的目标俯仰角粗估计θ₁和方位角粗估计

设置最大迭代次数K，采用迭代更新公式进行迭代求解，直到达到最大迭代次数，则x^K即为目标俯仰角和方位角精确估计；

所述迭代更新公式表示为：

其中，上标k表示迭代次数，上标H表示共轭转置，上标-1表示求逆，I表示单位矩阵，

γ表示拉格朗日乘子矢量；

表示软阀值算子。

7.根据权利要求6所述的基于ADMM的米波面阵二维DOA估计方法，其特征在于，所述交替方向乘子法的具体求解过程为：

构造增广拉格朗日函数：

首先对变量x进行求解，令

可得：

x＝(A^HA+τI)^-1(A^Hy+τβ-γ)

＝(A^HA+τI)^-1(A^Hy+τ(β-ζ))

其次，固定x、ξ，对β求解：

其中，

表示软阀值算子；

进一步可得到ζ的解析式。

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