CN104933290A - 双l型拉伸正交电偶对阵列的多参数联合估计四元数方法 - Google Patents

Abstract

双L型电磁矢量传感器阵列的多参数联合估计方法，阵列接收K个完全极化单位功率电磁波入射信号，对电磁矢量传感器阵列的接收数据进行两次采样；将两组采样数据分别按照同阵元的x轴方向电偶极子和y轴方向电偶极子叠加构成全阵列接收四元数数据；计算全阵列接收四元数数据的自相关矩阵并进行四元数特征分解，得到阵列导向矢量的估计值、延时后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值；利用平移不变关系得到第k个入射信号的x轴方向和y轴方向的方向余弦估计值，得到二维到达角的估计值；根据子阵的阵列导向矢量间的旋转不变关系得到辅助极化角估计值和极化相位差估计值。本发明方法能够更好地保持四元数矢量特性，具有更小的耦合误差。

Description

双L型拉伸正交电偶对阵列的多参数联合估计四元数方法

技术领域

本发明属于信号处理技术领域，尤其涉及一种空间拉伸电磁矢量传感器阵列的参数估计方法。

背景技术

电磁矢量传感器阵列是一种能够获取电磁信号空域和极化域信息的新型阵列。随着无线通信业务的迅猛发展，学者们在基于电磁矢量传感器阵列的参数估计方面取得了许多有价值的研究成果，提出了正交电偶极子对、正交三极子、正交三磁环、全电磁矢量传感器等多种类型的电磁矢量传感器阵列参数估计算法。

图1为现有技术的L型电磁矢量传感器阵列的示意图，该阵列中的阵元为正交电偶极子对，分别对沿x轴和y轴等间隔分布，x轴上的阵元间的间隔为d_x，y轴上的阵元间的间隔为d_y。在理论上共点正交电偶极子天线有很好的性能，但实际上由于受到机械工艺的限制，电偶极子天线完全共点难以实现，而且共点天线间的距离太近，就会存在电磁耦合现象，产生耦合误差。当阵列存在耦合误差时，实际阵列流形与理想阵列流形之间存在偏差，参数估计性能将下降甚至完全失效。

空间拉伸电磁场矢量传感器阵列是一种特殊的矢量传感器阵列，它通过在空间不同位置放置不同的传感器分量来测量电磁场的不同分量。与共点电磁矢量传感器阵列相比，空间拉伸电磁场矢量天线阵可以减少接收机的数目，并感知信号的空间到达角信息和极化信息，从而提高空间谱估计的性能；在系统实现方面，偶极子在空间不同位置放置，可以更好的降低阵元之间的耦合效应，更容易工程实现。公开号为CN 103941221 A的中国发明专利申请公开了一种空间拉伸电磁矢量传感器阵列的参数估计方法，该接收阵列的阵元为沿z轴拉伸分离的电偶极子和磁偶极子，接收阵列接收入射信号后，构造阵列对应的入射信号的导向矢量；将入射信号的导向矢量表示为空域函数矩阵和极化域函数矢量的乘积的形式；计算接收数据协方差矩阵；对接收数据协方差矩阵进行特征分解，得到信号子空间和噪声子空间；构造多信号分类MUSIC空域极化域联合零谱函数，最大化空域极化域联合零谱函数；利用自共轭矩阵Rayleigh-Ritz熵定理，实现空域谱和极化域谱分离的MUSIC降维处理，在各变量的取值范围内进行遍历搜索，对信号参数进行估计。

发明内容

本发明的目的是提供一种可以减小耦合误差的电磁矢量传感器阵列的多参数联合估计方法。

为了实现上述目的，本发明采取如下的技术解决方案：

双L型电磁矢量传感器阵列的多参数联合估计四元数方法，所述电磁矢量传感器阵列由N个等间隔布置于x轴上的阵元和N个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，阵元数量为2N-1个，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，所述阵元为一对沿z轴拉伸分离的正交电偶极子，将平行于x轴方向的电偶极子相对阵元中心向上移d_z，将平行于y轴方向的电偶极子相对阵元中心向下移d_z，阵元中心所在平面的坐标原点为o，x轴方向电偶极子子阵的坐标原点为o’，y轴方向电偶极子子阵的坐标原点为o”，其中，d_x＜λ_min/2，d_y＜λ_min/2，2d_z＜λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长；

多参数联合估计方法的步骤如下：阵列接收K个完全极化、互不相关的横电磁波入射信号，

步骤一、对电磁矢量传感器阵列的接收数据进行M次采样得到第一组采样数据X₁，延时ΔT后对电磁矢量传感器阵列的接收数据同步样采样M次得到第二组采样数据X₂；X₁和X₂均为(4N-2)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为y轴方向电偶极子的接收数据，后(2N-1)×M个元素为x轴方向电偶极子的接收数据；

步骤二、将两组采样数据分别按照同阵元的x轴方向电偶极子和y轴方向电偶极子的接收数据叠加构成全阵列接收四元数数据Z；

第k个完全极化单位功率电磁波信号入射到第n个阵元上，该阵元的x轴方向电偶极子的接收数据x'_k(n)＝e_kxq_xq_n(θ_k,φ_k)+n_ex(n)，y轴方向电偶极子的接收数据y'_k(n)＝e_kyq_yq_n(θ_k,φ_k)+n_ey(n)，其中，e_kx是坐标系oxy的坐标原点o处x轴方向电偶极子接收的x轴方向的电场，q_x是坐标系o'x'y'中x轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，q_n(θ_k,φ_k)为第n个阵元的阵元中心相对于坐标系oxy的坐标原点o的相位差，n_ex(n)为第n个阵元的x轴方向电偶极子接收的噪声，e_ky是坐标原点o处y轴方向电偶极子接收的y轴方向的电场，q_y是坐标系o”x”y”中y轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，n_ey(n)为第n个阵元的y轴方向电偶极子接收的噪声，θ_k为第k个入射信号的俯仰角，φ_k为第k个入射信号的方位角，γ_k为第k个入射信号的辅助极化角，η_k为第k个入射信号的极化相位差；

将第n个阵元的x轴方向电偶极子的接收数据x'_k(n)和y轴方向电偶极子的接收数据y'_k(n)叠加得到该阵元的四元数数据式中的 $c_{1k}^{\′}\left(n\right)=(e_{\mathrm{kx}}^{\′}\left(n\right)+{\tilde{i}}_{\mathrm{ky}}^{\′}\left(n\right))=(e_{\mathrm{kx}}{q}_x+{\tilde{i}e}_{\mathrm{ky}}{q}_y)q_n({\mathrm{\θ}}_k,{\mathrm{\φ}}_k)$ 为第n个阵元的x轴方向和y轴方向电偶极子接收的电场的四元数表示，N_1n是第n个阵元接收的噪声的四元数表示；

每个阵元的接收数据都按照以上方式构成四元数数据，则第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝A₁S+N₁，式中的A₁＝[a₁(θ₁,φ₁,γ₁,η₁),…,a₁(θ_k,φ_k,γ_k,η_k),…,a₁(θ_K,φ_K,γ_K,η_K)]为阵列导向矢量，q(θ_k,φ_k)为整个阵列相位中心的空域导向矢量，N₁是第一组采样数据的噪声的四元数表示，S为K个互不相关信号构成幅度矩阵；

第二组采样数据四元数数据矩阵：Z₂＝A₂S+N₂，式中的N₂是第二组采样数据中噪声的四元数表示，A₂是延时ΔT后的阵列导向矢量，A₂＝A₁Φ，Φ为时延矩阵；

第一组采样数据和第二组采样数据的四元数数据构成全阵列接收四元数数据Z：

$Z=\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]S+N=\mathrm{AS}+N;$

其中， $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 是全阵列四元数噪声， $A=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$ 是全阵列导向矢量；

步骤三、计算全阵列接收四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵进行四元数特征分解，得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

$R_z=\frac{1}{M}{\mathrm{ZZ}}^H={\mathrm{AR}}_s{A}^H+{\mathrm{\σ}}^{2}I;$

其中，(·)^H表示转置复共轭操作，A为全数据阵列导向矢量，R_s为入射信号的自相关函数，对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，根据子空间原理，存在K×K的非奇异矩阵T，E_s＝AT，取E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，取后2N-1行元素组成矩阵E₂，由信号子空间的定义，E₁＝A₁T，E₂＝A₂T＝A₁ΦT，则是矩阵E₁的伪逆矩阵，I为单位阵；

对矩阵进行四元数特征分解，K个大特征值构成延时矩阵Φ的估计值其对应的特征矢量构成非奇异矩阵T的估计值从而得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值

步骤四、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值分别利用x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值，根据平移不变关系得到第k个入射信号的x轴方向和y轴方向的方向余弦估计值，从而得到第k个入射信号的二维到达角的估计值；

阵列空域导向矢量估计值 $\hat{q}({\mathrm{\θ}}_k,{\mathrm{\φ}}_k)=\frac{{\hat{A}}_1(:,k)}{{\hat{A}}_1(1,k)}={[1,{\hat{q}}_{\mathrm{kx}}^T,{\hat{q}}_{\mathrm{ky}}^T]}^T,$

其中，表示的第k列，表示第k列的第一个元素，是x轴方向的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴方向的子阵空域导向矢量的估计值；

K个信号x轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_x＝[q'_1x,…,q'_kx,…,q'_Kx]，K个信号y轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_y＝[q'_1y,…,q'_ky,…,q'_Ky]，坐标原点及x轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成x轴上的空域导向矢量估计值坐标原点及y轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成y轴上的空域导向矢量估计值Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Φ_x和Q_y2＝Q_y1Φ_y以及 ${\mathrm{\Φ}}_x=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k}\left]\right)$ 和 ${\mathrm{\Φ}}_y=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\π}}{{\mathrm{\λ}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k}\left]\right),$ 得到第k个入射信号的x轴方向的方向余弦估计值和y轴方向的方向余弦估计值

${\widehat{\mathrm{\α}}}_k=\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\frac{{\mathrm{\λ}}_k}{2\mathrm{\π}}\arg \left({\mathrm{\Φ}}_x(k,k)\right),$

${\widehat{\mathrm{\β}}}_k=\sin {\widehat{\mathrm{\θ}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\frac{{\mathrm{\λ}}_k}{2\mathrm{\π}}\arg \left({\mathrm{\Φ}}_y(k,k)\right);$

其中，λ_k是第k个入射信号波长，Φ_x(k,k)表示矩阵Φ_x的第k行第k列的元素，Φ_y(k,k)表示矩阵Φ_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦估计值得到第k个入射信号的方位角估计值和俯仰角估计值

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k\&GreaterEqual;0\\ {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\mathrm{\&pi;}+\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k<0\end{array}\right.,$

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k=\arctan \left(\sqrt{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k^2+{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k^2}\right);$

步骤五、由阵列导向矢量估计值重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值得到阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值和阵元中心处的y轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值根据子阵的阵列导向矢量间的旋转不变关系得到辅助极化角估计值和极化相位差估计值

阵列导向矢量估计值 ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_{10}+{\hat{A}}_{11}\tilde{i}+{\hat{A}}_{12}\tilde{j}+{\hat{A}}_{13}\tilde{k},$ 是的实部， 是的三个虚部，阵列导向矢量估计值重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\hat{A}}_{\mathrm{ex}}{\mathrm{\&Phi;}}_z,$ 其中 ${\mathrm{\&Phi;}}_z=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}\left]\right),$ 阵元中心处的y轴方向的电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值为 和间的旋转不变关系为 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2=\mathrm{diag}\left(\right[{\hat{D}}_1,...,{\hat{D}}_k,...,{\hat{D}}_k\left]\right)={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}},$ 其中， ${\hat{D}}_k=\frac{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}-\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{(\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}+\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}={\left({\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}\right)}^{-1}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H,$ 由可得到 $\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}=\frac{{\hat{D}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k+\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k(\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k-{\hat{D}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 令 ${\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k=\frac{{\hat{D}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k+\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k(\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k-{\hat{D}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 则辅助极化角估计值和极化相位差估计值分别为：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&gamma;}}}_k={\tan }^{-1}\left(\right|{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\left|\right),$

${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k=\arg \left({\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\right);$

前述步骤中的k＝1,…,K，n＝1,…,2N-1，为四元数的虚数单位。

本发明采用拉伸分离的正交电偶极子对作为电磁矢量传感器阵列的阵元，引入了四元数模型来描述拉伸正交电偶极子对，建立了基于四元数表示方法的阵列信号处理模型，利用两组同步采样数据构造自相关矩阵，对自相关矩阵进行四元数特征分解并根据子空间理论得到阵列导向矢量的估计，由空域导向矢量分块运算得到信号到达角估计，利用阵列导向矢量重构电偶极子子阵导向矢量，从而得到极化参数的估计。四元数方法能够更好地保持四元数矢量特性，因而获得了比长矢量方法更好的性能，而且具有更小的耦合误差。本发明基于四元数这种全新的信号处理工具，利用四元数虚部间的正交特性，可以更好的体现电磁矢量传感器各组成分量的正交特性，拉伸可以降低组成天线间的耦合，提高参数估计的精度。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例或现有技术描述中需要使用的附图做简单介绍，显而易见地，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为现有技术的L型电磁矢量传感器阵列的示意图；

图2为本发明实施例电磁矢量传感器阵列的示意图；

图3为本发明方法的流程图；

图4为仿真实验的共点正交电偶极子对阵列的到达角估计散布图；

图5为仿真实验的共点正交电偶极子对阵列的极化角估计散布图；

图6为仿真实验的拉伸正交电偶极子对阵列的到达角估计散布图；

图7为仿真实验的拉伸正交电偶极子对阵列的极化角估计散布图；

图8为共点正交电偶极子对阵列和拉伸正交电偶极子对阵列的俯仰角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图9为共点正交电偶极子对阵列和拉伸正交电偶极子对阵列的方位角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图10为共点正交电偶极子对阵列和拉伸正交电偶极子对阵列的辅助极化角估计均方根误差随信噪比的变化曲线图；

图11为共点正交电偶极子对阵列和拉伸正交电偶极子对阵列的极化相位差估计均方根误差随信噪比的变化曲线图。

具体实施方式

为了让本发明的上述和其它目的、特征及优点能更明显，下文特举本发明实施例，并配合所附图示，做详细说明如下。

图2所示为本发明实施例的电磁矢量传感器阵列的示意图。本发明的电磁矢量传感器阵列由N个间隔布置于x轴上的阵元和N个间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，所以整个阵列共有2N-1个阵元，N为x轴(或y轴)上的阵元数，其可为任意整数，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y。阵列的阵元为一对沿z轴拉伸分离的正交电偶极子，将平行于x轴方向的电偶极子相对阵元中心向上平移d_z，将平行于y轴方向的电偶极子相对阵元中心向下平移d_z，形成由上层子阵和下层子阵构成的双L型阵列，即上层子阵的电偶极子的方向平行于x轴，下层子阵的电偶极子的方向平行于y轴，每一阵元的位于上层子阵的电偶极子与位于下层子阵的电偶极子之间的距离均为2d_z。阵元中心位于坐标系oxy中的x轴和y轴上，图2中阵元中心用“.”表示，并用1，2…n...,2N-1标注，x轴方向电偶极子子阵(上层子阵)的坐标原点为o’，y轴方向电偶极子子阵(下层子阵)的坐标原点为o”，d_z是拉伸分离后的电偶极子与阵元中心之间的距离。其中，d_x＜λ_min/2，d_y＜λ_min/2，2d_z＜λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长，λ_k是第k个入射信号的波长。

参照图3，本发明的多参数联合估计方法的步骤如下：电磁矢量传感器阵列接收K个完全极化、互不相关的横电磁波信号，K为入射电磁波的数量，K≤N-1，

步骤一、对电磁矢量传感器阵列的接收数据(即输出信号)进行M次采样得到第一组采样数据X₁，延时ΔT后对电磁矢量传感器阵列的接收数据同步采样M次得到第二组采样数据X₂；X₁和X₂均为(4N-2)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为y轴方向电偶极子的接收数据，后(2N-1)×M个元素为x轴方向电偶极子的接收数据，M为采样次数，其可为任意整数；

步骤二、将两组采样数据分别按照同阵元的x轴方向电偶极子和y轴方向电偶极子的接收数据叠加构成全阵列接收四元数数据Z；

第k个完全极化单位功率电磁波信号入射到第n个阵元上时，该阵元的x轴方向电偶极子接收的x轴方向的电场为e'_kx(n)＝e_kxq_xq_n(θ_k,φ_k)，y轴方向电偶极子接收的y轴方向的电场为e'_ky(n)＝e_kyq_yq_n(θ_k,φ_k)，其中，是坐标系oxy的坐标原点o处x轴方向电偶极子接收的x轴方向的电场，是坐标系o'x'y'中x轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，是坐标原点o处y轴方向电偶极子接收的y轴方向的电场，是坐标系o”x”y”中y轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，q_n(θ_k,φ_k)为第n个阵元的阵元中心相对于坐标系oxy的坐标原点o的相位差，(x_n,y_n)为第n个阵元中心的位置坐标，θ_k(0≤θ_k≤90°)为第k个入射信号的俯仰角，φ_k(0≤φ_k≤360°)为第k个入射信号的方位角，γ_k(0≤γ_k≤90°)和η_k(-180°≤η_k≤180°)为第k个入射信号的用Jones矢量描述法表示的极化参数，γ_k是第k个入射信号的辅助极化角，描述极化的幅度比，η_k是第k个入射信号的极化相位差，k＝1,…,K，n＝1,…,2N-1；

由于实际中存在噪声，因此，第k个完全极化单位功率电磁波信号入射到第n个阵元上时，该阵元的x轴方向电偶极子的接收数据为x'_k(n)＝e'_kx(n)+n_ex(n)＝e_kxq_xq_n(θ_k,φ_k)+n_ex(n)，即接收数据包括该阵元的x轴方向电偶极子接收的x轴方向的电场e'_kx(n)和该阵元的x轴方向电偶极子接收的噪声n_ex(n)，该阵元的y轴方向电偶极子的接收数据为y'_k(n)＝e'_ky(n)+n_ey(n)＝e_kyq_yq_n(θ_k,φ_k)+n_ey(n)，同样也包括y轴方向电偶极子接收的y轴方向的电场e'_ky(n)和y轴方向电偶极子接收的噪声n_ey(n)；

将第n个阵元的x轴方向电偶极子的接收数据x'_k(n)和y轴方向电偶极子的接收数据y'_k(n)叠加得到该阵元的四元数数据式中的 $c_{1k}^{\&prime;}\left(n\right)=(e_{\mathrm{kx}}^{\&prime;}\left(n\right)+{\tilde{i}}_{\mathrm{ky}}^{\&prime;}\left(n\right))=(e_{\mathrm{kx}}{q}_x+{\tilde{i}e}_{\mathrm{ky}}{q}_y)q_n({\mathrm{\&theta;}}_k,{\mathrm{\&phi;}}_k)$ 为第n个阵元的x轴方向和y轴方向电偶极子接收的电场的四元数表示，是第n个阵元接收的噪声的四元数表示；

2N-1个阵元的接收数据都按照以上方式构成四元数数据，则第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝A₁S+N₁，式中的A₁＝[a₁(θ₁,φ₁,γ₁,η₁),…,a₁(θ_k,φ_k,γ_k,η_k),…,a₁(θ_K,φ_K,γ_K,η_K)]是阵列导向矢量，q(θ_k,φ_k)为整个阵列相位中心的空域导向矢量， $q({\mathrm{\&theta;}}_k,{\mathrm{\&phi;}}_k)={[1,q_{\mathrm{kx}}^T,q_{\mathrm{ky}}^T]}^T,$ 其中 $q_{\mathrm{kx}}={[e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{d_x\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{{\mathrm{id}}_x\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{(N-1)d_x\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}}]}^T$ 为x轴上子阵相位中心的空域导向矢量，是x轴上除坐标原点o以外的N-1个阵元的阵元中心相对于坐标原点o的空间相位因子构成的空域导向矢量， $q_{\mathrm{ky}}={[e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{d_y\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{{\mathrm{id}}_y\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}\frac{(N-1)d_y\sin {\mathrm{\&theta;}}_k\cos {\mathrm{\&phi;}}_k}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}}]}^T$ 为y轴上子阵相位中心的空域导向矢量，是y轴上除坐标原点o以外的N-1个阵元的阵元中心相对于坐标原点o的空间相位因子构成的空域导向矢量，i＝1,…,N-1，是第一组采样数据的噪声的四元数表示，N_ex和N_ey分别是x轴方向和y轴方向2N-1个电偶极子直接接收的高斯白噪声矢量，它们皆均值为零、方差为σ²，S＝[s₁,…,s_K]^T为K个互不相关信号构成幅度矩阵，为四元数的虚数单位；

第二组采样数据也按照与第一组采样数据同样的方式构成四元数数据矩阵：Z₂＝A₂S+N₂＝A₁ΦS+N₂，式中的是第二组采样数据中噪声的四元数表示，N'_ex和N'_ey分别是x轴方向和y轴方向2N-1电偶极子延时ΔT后接收的高斯白噪声矢量，它们皆均值为零、方差为σ²，A₂是延时ΔT后的阵列导向矢量，A₂＝A₁Φ，Φ为时延矩阵， $\mathrm{\&Phi;}=\mathrm{diag}[e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}{f}_1\mathrm{\&Delta;T}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}{f}_k\mathrm{\&Delta;T}},...,e^{\tilde{j}2\mathrm{\&pi;}{f}_K\mathrm{\&Delta;T}}],$ f_k为第k个入射信号的频率；

由第一组采样数据和第二组采样数据的四元数数据构成全阵列接收四元数数据Z：

$Z=\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]S+N=\mathrm{AS}+N;$

其中， $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 是全阵列四元数噪声， $A=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$ 是全阵列导向矢量；

步骤三、计算全阵列接收四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵进行四元数特征分解，得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

$R_z=\frac{1}{M}{\mathrm{ZZ}}^H={\mathrm{AR}}_s{A}^H+{\mathrm{\&sigma;}}^{2}I;$

其中，(·)^H表示转置复共轭操作，A为全数据阵列导向矢量，为入射信号的自相关函数，对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，根据子空间原理，存在K×K的非奇异矩阵T，E_s＝AT，取E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，取后2N-1行元素组成矩阵E₂，由信号子空间的定义，E₁＝A₁T，E₂＝A₂T＝A₁ΦT，Φ为时延矩阵，通过矩阵运算得到 表示矩阵E₁的伪逆矩阵，I为(2N-1)×(2N-1)的单位阵；

对矩阵进行四元数特征分解，K个大特征值构成延时矩阵Φ的估计值其对应的特征矢量构成非奇异矩阵T的估计值从而得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值

步骤四、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值根据阵列结构特点，分别利用x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值，利用平移不变关系得到第k个入射信号的x轴方向和y轴方向的方向余弦估计值，从而得到第k个入射信号的二维到达角的估计值；

阵列空域导向矢量估计值 $\hat{q}({\mathrm{\&theta;}}_k,{\mathrm{\&phi;}}_k)=\frac{{\hat{A}}_1(:,k)}{{\hat{A}}_1(1,k)}={[1,{\hat{q}}_{\mathrm{kx}}^T,{\hat{q}}_{\mathrm{ky}}^T]}^T,$

其中，表示的第k列，表示第k列的第一个元素，是x轴方向的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴方向的子阵空域导向矢量的估计值；

K个信号x轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_x＝[q'_1x,…,q'_kx,…,q'_Kx]，K个信号y轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_y＝[q'_1y,…,q'_ky,…,q'_Ky]，坐标原点及x轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成x轴上的空域导向矢量估计值坐标原点及y轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成y轴上的空域导向矢量估计值Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，同理，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Φ_x和Q_y2＝Q_y1Φ_y以及 ${\mathrm{\&Phi;}}_x=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}\left]\right)$ 和 ${\mathrm{\&Phi;}}_y=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}\left]\right),$ 得到第k个入射信号的x轴方向的方向余弦估计值和y轴方向的方向余弦估计值

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k=\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_k}{2\mathrm{\&pi;}}\arg \left({\mathrm{\&Phi;}}_x(k,k)\right),$

${\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k=\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_k}{2\mathrm{\&pi;}}\arg \left({\mathrm{\&Phi;}}_y(k,k)\right);$

其中，Φ_x(k,k)表示矩阵Φ_x的第k行第k列的元素，Φ_y(k,k)表示矩阵Φ_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦估计值进一步得到第k个入射信号的方位角估计值和俯仰角估计值

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k\&GreaterEqual;0\\ {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\mathrm{\&pi;}+\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k<0\end{array}\right.,$

${\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k=\arctan \left(\sqrt{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k^2+{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k^2}\right);$

步骤五、由阵列导向矢量估计值重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值从而进一步得到阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值和阵元中心处的y轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值根据子阵的阵列导向矢量间的旋转不变关系得到极化参数的估计值；

阵列导向矢量估计值 ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_{10}+{\hat{A}}_{11}\tilde{i}+{\hat{A}}_{12}\tilde{j}+{\hat{A}}_{13}\tilde{k},$ 是的实部，是的三个虚部，为四元数的虚数单位，根据步骤二中四元数矩阵的构成，阵列导向矢量估计值可以表示为由的一个实部和三个虚部重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值由于x轴方向电偶极子子阵相对于坐标原点o向上拉开了距离d_z，阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\hat{A}}_{\mathrm{ex}}{\mathrm{\&Phi;}}_z,$ 其中 ${\mathrm{\&Phi;}}_z=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}\left]\right),$ 同样的，y轴方向电偶极子子阵相对于坐标原点o向下拉开了距离d_z，阵元中心处的y轴方向电偶极子子阵导向矢量估计值为 和间的旋转不变关系为 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2,{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2=\mathrm{diag}\left(\right[{\hat{D}}_1,...,{\hat{D}}_k,...,{\hat{D}}_k\left]\right)={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}},$ 其中 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}={\left({\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}\right)}^{-1}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H,$ ${\hat{D}}_k=\frac{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}-\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{(\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}+\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 由可得到 $\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}=\frac{{\hat{D}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k+\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k(\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k-{\hat{D}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 令则第k个入射信号的辅助极化角估计值和极化相位差估计值分别为：

${\stackrel{\&OverBar;}{\mathrm{\&gamma;}}}_k={\tan }^{-1}\left(\right|{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\left|\right),$

${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k=\arg \left({\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\right).$

本发明基于拉伸正交电偶极子对阵列，利用两组同步采样数据构造全阵列接收数据及其自相关矩阵，对自相关矩阵进行四元数特征分解，并根据子空间理论得到阵列导向矢量的估计，通过空域导向矢量分块运算得到x轴方向和y轴方向的方向余弦，从而得到信号二维到达角的估计，根据阵列导向矢量重构x轴方向和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量，利用两个子阵导向矢量间的关系得到极化参数的估计。

本发明的效果可以通过以下的仿真结果进一步说明：

仿真实验条件如下：

两个等功率非相关窄带源入射信号通过各向同性介质入射到沿x轴和y轴方向放置的正交电偶极子对双L型阵列上。如图2所示，该接收阵列由9个阵元组成，阵元间隔为d_x＝d_y＝0.5λ_min，d_z＝0.25λ_min，入射信号的参数为：(θ₁,φ₁,γ₁,η₁)＝(60°,85°,30°,110°)，(θ₂,φ₂,γ₂,η₂)＝(30°,43°,50°,85°)，其归一化频率为(f₁,f₂)＝(0.2,0.4)。实验快拍数为1024次，500次独立实验。

仿真实验结果如图4至图11所示。图4至图7为信噪比是0dB时，拉伸和共点正交电偶极子对阵列的到达角和极化角估计的散布图。从图4至图7可以看出共点正交电偶极子对阵列的参数估计精度低于拉伸正交电偶极子对阵列的参数估计精度，特别是极化角的估计共点阵列的估计偏离了真值。从图4和图6可以看出共点阵列和拉伸阵列的到达角估计值基本相同。从图5可以看出,共点正交电偶极子对阵列对第一个信号的极化角估计值为(γ₁,η₁)＝(29°,117°),对第二个信号的极化角估计值为(γ₂,η₂)＝(52°,87°),估计值明显偏离了真实值，而图7可以看出拉伸电偶极子对阵列对第一个信号的极化角估计值的均值为(γ₁,η₁)＝(30°,110°),对第二个信号的极化角估计值的均值为(γ₂,η₂)＝(50°,85°)，它们均等于真实值是无偏估计。

从图8到图11可以看出拉伸电偶极子对阵列的俯仰角、方位角、辅助极化角、极化相位差估计的均方根误差均优于共点电偶极子对阵列的估计情况，主要是拉伸后互藕大大降低了。

以上所述，仅是本发明的较佳实施例而已，并非对本发明做任何形式上的限制，虽然本发明已以较佳实施例揭露如上，然而并非用以限定本发明，任何熟悉本专业的技术人员，在不脱离本发明技术方案范围内，当可利用上述揭示的技术内容做出些许更动或修饰为等同变化的等效实施例，但凡是未脱离本发明技术方案的内容，依据本发明的技术实质对以上实施例所作的任何简单修改、等同变化与修饰，均仍属于本发明技术方案的范围内。

Claims (1)

1.双L型电磁矢量传感器阵列的多参数联合估计四元数方法，其特征在于：

所述电磁矢量传感器阵列由N个等间隔布置于x轴上的阵元和N个等间隔布置于y轴上的阵元构成，坐标原点上的阵元两轴共用，阵元数量为2N-1个，x轴上阵元间的间距为d_x，y轴上阵元间的间距为d_y，所述阵元为一对沿z轴拉伸分离的正交电偶极子，将平行于x轴方向的电偶极子相对阵元中心向上移d_z，将平行于y轴方向的电偶极子相对阵元中心向下移d_z，阵元中心所在平面的坐标原点为o，x轴方向电偶极子子阵的坐标原点为o’，y轴方向电偶极子子阵的坐标原点为o”，其中，d_x＜λ_min/2，d_y＜λ_min/2，2d_z＜λ_min/2，λ_min为入射信号的最小波长；

多参数联合估计方法的步骤如下：阵列接收K个完全极化、互不相关的横电磁波入射信号，

步骤一、对电磁矢量传感器阵列的接收数据进行M次采样得到第一组采样数据X₁，延时ΔT后对电磁矢量传感器阵列的接收数据同步样采样M次得到第二组采样数据X₂；X₁和X₂均为(4N-2)×M的矩阵，矩阵中的前(2N-1)×M个元素为y轴方向电偶极子的接收数据，后(2N-1)×M个元素为x轴方向电偶极子的接收数据；

步骤二、将两组采样数据分别按照同阵元的x轴方向电偶极子和y轴方向电偶极子的接收数据叠加构成全阵列接收四元数数据Z；

第k个完全极化单位功率电磁波信号入射到第n个阵元上，该阵元的x轴方向电偶极子的接收数据x'_k(n)＝e_kxq_xq_n(θ_k,φ_k)+n_ex(n)，y轴方向电偶极子的接收数据y'_k(n)＝e_kyq_yq_n(θ_k,φ_k)+n_ey(n)，其中，e_kx是坐标系oxy的坐标原点o处x轴方向电偶极子接收的x轴方向的电场，q_x是坐标系o'x'y'中x轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，q_n(θ_k,φ_k)为第n个阵元的阵元中心相对于坐标系oxy的坐标原点o的相位差，n_ex(n)为第n个阵元的x轴方向电偶极子接收的噪声，e_ky是坐标原点o处y轴方向电偶极子接收的y轴方向的电场，q_y是坐标系o”x”y”中y轴方向电偶极子相对于其阵元中心的相位差，n_ey(n)为第n个阵元的y轴方向电偶极子接收的噪声，θ_k为第k个入射信号的俯仰角，φ_k为第k个入射信号的方位角，γ_k为第k个入射信号的辅助极化角，η_k为第k个入射信号的极化相位差；

将第n个阵元的x轴方向电偶极子的接收数据x'_k(n)和y轴方向电偶极子的接收数据y'_k(n)叠加得到该阵元的四元数数据式中的 $c_{1k}^{\&prime;}\left(n\right)=(e_{\mathrm{kx}}^{\&prime;}\left(n\right)+\tilde{i}{e}_{\mathrm{ky}}^{\&prime;}\left(n\right))=(e_{\mathrm{kx}}{q}_x+\tilde{i}{e}_{\mathrm{ky}}{q}_y)q_n({\mathrm{\&theta;}}_k,{\mathrm{\&phi;}}_k)$ 为第n个阵元的x轴方向和y轴方向电偶极子接收的电场的四元数表示，N_1n是第n个阵元接收的噪声的四元数表示；

每个阵元的接收数据都按照以上方式构成四元数数据，则第一组采样数据的四元数数据矩阵为：Z₁＝A₁S+N₁，式中的

A₁＝[a₁(θ₁,φ₁,γ₁,η₁),…,a₁(θ_k,φ_k,γ_k,η_k),…,a₁(θ_K,φ_K,γ_K,η_K)]为阵列导向矢量，

q(θ_k,φ_k)为整个阵列相位中心的空域导向矢量，N₁是第一组采样数据的噪声的四元数表示，S为K个互不相关信号构成幅度矩阵；

第二组采样数据四元数数据矩阵：Z₂＝A₂S+N₂，式中的N₂是第二组采样数据中噪声的四元数表示，A₂是延时ΔT后的阵列导向矢量，A₂＝A₁Φ，Φ为时延矩阵；

第一组采样数据和第二组采样数据的四元数数据构成全阵列接收四元数数据Z：

$Z=\left[\begin{array}{c}{Z}_1\\ Z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]S+N=\mathrm{AS}+N;$

其中， $N=\left[\begin{array}{c}{N}_1\\ N_2\end{array}\right]$ 是全阵列四元数噪声， $A=\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\end{array}\right]$ 是全阵列导向矢量；

步骤三、计算全阵列接收四元数数据Z的自相关矩阵R_z，对自相关矩阵进行四元数特征分解，得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值和全数据阵列导向矢量估计值

$R_z=\frac{1}{M}{\mathrm{ZZ}}^H={\mathrm{AR}}_s{A}^H+{\mathrm{\&sigma;}}^{2}I;$

其中，(·)^H表示转置复共轭操作，A为全数据阵列导向矢量，R_s为入射信号的自相关函数，对R_z进行四元数矩阵特征分解得到信号子空间E_s，根据子空间原理，存在K×K的非奇异矩阵T，E_s＝AT，取E_s的前2N-1行元素组成矩阵E₁，取后2N-1行元素组成矩阵E₂，由信号子空间的定义，E₁＝A₁T，E₂＝A₂T＝A₁ΦT，则 是矩阵E₁的伪逆矩阵，I为单位阵；

对矩阵进行四元数特征分解，K个大特征值构成延时矩阵Φ的估计值其对应的特征矢量构成非奇异矩阵T的估计值从而得到阵列导向矢量的估计值延时ΔT后的阵列导向矢量估计值及全数据阵列导向矢量估计值

步骤四、由阵列导向矢量估计值得到阵列空域导向矢量估计值分别利用x轴和y轴上的空域导向矢量矩阵估计值，根据平移不变关系得到第k个入射信号的x轴方向和y轴方向的方向余弦估计值，从而得到第k个入射信号的二维到达角的估计值；

阵列空域导向矢量估计值 $\hat{q}({\mathrm{\&theta;}}_k,{\mathrm{\&phi;}}_k)=\frac{{\hat{A}}_1(:,k)}{{\hat{A}}_1(1,k)}={[1,{\hat{q}}_{\mathrm{kx}}^T,{\hat{q}}_{\mathrm{ky}}^T]}^T,$

其中，表示的第k列，表示第k列的第一个元素，是x轴方向的子阵空域导向矢量的估计值，是y轴方向的子阵空域导向矢量的估计值；

K个信号x轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_x＝[q'_1x,…,q'_kx,…，q'_Kx]，K个信号y轴上的空域导向矢量估计值构成的矩阵为Q_y＝[q'_1y,…,q'_ky,…，q'_Ky]，坐标原点及x轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成x轴上的空域导向矢量估计值坐标原点及y轴上的N-1个阵元的空间相位因子构成y轴上的空域导向矢量估计值Q_x的前N-1行元素构成Q_x1，Q_x的后N-1行元素构成Q_x2，Q_y的前N-1行元素构成Q_y1，Q_y的后N-1行元素构成Q_y2，根据Q_x2＝Q_x1Φ_x和Q_y2＝Q_y1Φ_yQ_y2＝Q_y1Φ_y以及 ${\mathrm{\&Phi;}}_x=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_K}\left]\right)$ 和 ${\mathrm{\&Phi;}}_y=\mathrm{diag}\left(\right[e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_1},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k},...,e^{\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}\sin {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_K}\left]\right),$ 得到第k个入射信号的x轴方向的方向余弦估计值和y轴方向的方向余弦估计值

${\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k={\sin \widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_k}{2\mathrm{\&pi;}}\arg \left({\mathrm{\&Phi;}}_x(k,k)\right),$

${\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k={\sin \widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\frac{{\mathrm{\&lambda;}}_k}{2\mathrm{\&pi;}}\arg \left({\mathrm{\&Phi;}}_y(k,k)\right);$

其中，λ_k是第k个入射信号波长，Φ_x(k,k)表示矩阵Φ_x的第k行第k列的元素，Φ_y(k,k)表示矩阵Φ_y的第k行第k列的元素；

根据方向余弦估计值得到第k个入射信号的方位角估计值和俯仰角估计值

$\begin{array}{c}\left\{\begin{array}{cc}{\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k\&GreaterEqual;0\\ {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k=\mathrm{\&pi;}+\arctan \left(\frac{{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k}{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k}\right),& {\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k<0\end{array}\right.\\ {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k=\arcsin \left(\sqrt{{\widehat{\mathrm{\&alpha;}}}_k^2+{\widehat{\mathrm{\&beta;}}}_k^2}\right);\end{array}$

步骤五、由阵列导向矢量估计值重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值得到阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值和阵元中心处的y轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值根据子阵的阵列导向矢量间的旋转不变关系得到辅助极化角估计值和极化相位差估计值

阵列导向矢量估计值 ${\hat{A}}_1={\hat{A}}_{10}+{\hat{A}}_{11}\tilde{i}+{\hat{A}}_{12}\tilde{j}+{\tilde{A}}_{13}\tilde{k},$ 是的实部， 是的三个虚部，阵列导向矢量估计值重构x轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值和y轴方向的电偶极子子阵导向矢量估计值阵元中心处的x轴方向电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\hat{A}}_{\mathrm{ex}}{\mathrm{\&Phi;}}_z,$ 其中 ${\mathrm{\&Phi;}}_z=\mathrm{diag}\left(\right[e^{-\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_1}{d}_z\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_1},...,e^{-\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_k}{d}_z\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k},...,e^{-\tilde{j}\frac{2\mathrm{\&pi;}}{{\mathrm{\&lambda;}}_K}{d}_z\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_K}\left]\right),$ 阵元中心处的y轴方向的电偶极子子阵的阵列导向矢量估计值为 和间的旋转不变关系为 ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}}={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}{\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2,$ ${\widehat{\mathrm{\&Omega;}}}_2=\mathrm{diag}\left(\right[{\hat{D}}_1,...,{\hat{D}}_k,...,{\hat{D}}_K\left]\right)={\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ex}},$ 其中， ${\hat{D}}_k=\frac{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}-\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{(\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}+\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ ${\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^{\#}={\left({\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}\right)}^{-1}{\stackrel{=}{A}}_{\mathrm{ey}}^H,$ 由可得到 $\tan {\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k{e}^{\tilde{j}{\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k}=\frac{{\hat{D}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k+{\sin \widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k(\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k-{\hat{D}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 令 ${\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k=\frac{{\hat{D}}_k\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k+{\sin \widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k}{\cos {\widehat{\mathrm{\&theta;}}}_k(\cos {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k-{\hat{D}}_k\sin {\widehat{\mathrm{\&phi;}}}_k)},$ 则辅助极化角估计值和极化相位差估计值分别为：

${\widehat{\mathrm{\&gamma;}}}_k={\tan }^{-1}\left(\right|{\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\left|\right),$

${\widehat{\mathrm{\&eta;}}}_k=\arg \left({\stackrel{\&OverBar;}{D}}_k\right);$

前述步骤中的k＝1,…,K，n＝1,…,2N-1，为四元数的虚数单位。