CN103091671B - 基于非同心电磁矢量阵列雷达的两维波达方向估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于非同心电磁矢量阵列雷达的两维波达方向估计方法，主要解决极化阵列雷达对目标定位和跟踪过程中互耦严重、估计精度低的问题，其实现过程是：1）构造稀疏均匀非同心电磁矢量传感器阵列的接收数据；2）对接收数据进行特征值分解求得信号子空间；3）针对信号子空间构造旋转不变关系方程，并利用最小二乘算法求得模糊方向余弦精估计；4）利用信号子空间求得无模糊方向余弦粗估计；5）结合模糊方向余弦精估计和无模糊方向余弦粗估计，得到两维波达方向估计。本发明在不增加阵元数和硬件复杂度情况下有效扩展了阵列物理孔径，使得两维波达方向的估计精度大大增加，可用于雷达对目标的精确定位与跟踪。

Description

基于非同心电磁矢量阵列雷达的两维波达方向估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理技术领域，涉及极化阵列雷达的两维波达方向估计，可用于目标定位与跟踪。

背景技术

阵列信号处理是现代信号处理的一个重要研究分支，其应用涉及到雷达、通信、生物医学工程以及声呐等多个领域。而波达方向估计是阵列信号处理中最主要的研究方向之一。近30年来，针对阵列天线的波达方向估计方面涌现出了大量的研究成果，代表性成果有：Capon、多重信号分类MUSIC、旋转不变子空间技术ESPRIT、最大似然和子空间拟合等算法。

常规阵列天线能够得到入射信号的时域和空域信息，而极化天线能够额外的提供一维信息即极化域信息，因此在过去的20多年间受到了广泛的关注。其中受到广泛研究和应用的极化天线类型主要有：（1）三正交电偶极子或电磁环；（2）双正交电偶极子，其够成的阵列称为极化敏感阵列；（3）六个分量同心的电磁矢量传感器，通常由相位中心重合的三个正交电偶极子和三个正交磁环组成。针对电磁矢量传感器及其阵列，Ho和Tan等研究了阵列流形独立性的问题，定量的给出了独立条件。在阵列流形独立的前提下，众多针对标量阵列的波达方向估计方法已被应用于电磁矢量传感器阵列。其中经典的算法有：基于单个电磁矢量传感器的矢量叉乘算算法；基于稀疏矢量阵列的无模糊高精度波达方向估计算法；基于电磁矢量传感器中任意三个分量和任意四个分量的波达方向估计算法；基于多元数，如四元数、八元数、四四元数的波达方向估计算法；基于平行因子分析和传播算子的波达方向估计算法；相干信号源入射条件下，基于极化平滑及其改进的波达方向估计算法。上述研究表明电磁矢量传感器独特的时、空、极化之信息多维性，使电磁矢量传感器阵列拥有诸多标量阵列所不具有的优势，令其具有重要的军用、民事应用价值和广泛的应用前景，尤其在雷达辐射源识别、目标跟踪和精确制导等。

但是，上述研究均是建立在相位中心重合的电磁矢量传感器上，即物理结构上同心，这样一个复杂的多极化天线要求各个电磁分量之间具有非常严格的电磁隔离，要做到相对较低的互耦，硬件实现的复杂性大大增加。See等人于2003年首次提出了非同心电磁矢量传感器，阐述了其在硬件实现和波达方向估计方面的诸多好处：在保持同心电磁矢量传感器诸多优势的同时，多极化分量天线在空间上分开，降低互耦、节省电磁隔离的开销。Monte等人于2006年研究了非同心电磁矢量传感器的硬件设计与实现，进一步阐明非同心电磁矢量传感器较同心电磁矢量传感器更容易实现。这些针对非同心电磁矢量传感器的研究均未涉及到具体波达方向估计算法，Wong和Yuan于2011年成功实现了矢量叉乘算法在单个非同心电磁矢量传感器中的应用，填补了该领域的空白，使得电磁矢量传感器在工程上的大规模应用成为可能，但该算法仍存在四个缺陷：一是由于是单个非同心电磁矢量传感器，接收数据协方差矩阵秩不能超过6，最多可估计目标个数为5个；二是该算法由于是建立在时间域旋转不变性的基础上，所以对入射信号源的形式要求较苛刻，必须为单频信号且频率各不相同；三是该算法只能得到其中一维方向余弦的高精度估计，不能得到两维波达方向高精度估计；四是若需要更高精度波达方向估计时，如在末制导雷达中，单个非同心电磁矢量传感器天线是无法满足要求的。

发明内容

本发明的目的在于针对上述已有技术的不足，提出了一种基于非同心电磁矢量阵列雷达的两维波达方向估计方法，把单个非同心电磁矢量雷达推广至非同心电磁矢量阵列雷达，以得到多于5个目标的两维波达方向高精度估计值，便于对多目标进行高精度定位与跟踪。

为实现上述目的，本发明的技术思路是：利用稀疏均匀矩形非同心电磁矢量阵列的旋转不变性得到周期性模糊的两维波达方向估计，通过矢量叉乘求模算法解模糊得到无模糊的两维波达方向高精度估计。具体实现步骤包括如下：

1）根据稀疏均匀矩形非同心电磁矢量传感器的阵列结构，得到每个非同心电磁矢量传感器的接收数据x_m，n(t)，m,＝1,…,M,n＝1,…,N，其中M为x轴方向非同心电磁矢量传感器个数，N为y轴方向非同心电磁矢量传感器个数；将所有x_m，n(t)排列成矢量形式，构成整个阵列的接收数据x(t)；

2）根据接收数据x(t)，利用最大似然估计得到协方差矩阵

其中L为快拍数；对协方差矩阵

进行特征值分解，得到信号子空间E_S；

3）通过信号子空间E_S计算方向余弦的模糊精估计：

3a）构造两对选择矩阵为：

和

其中第一对选择矩阵中的 $J_2^u=\left[\begin{array}{cc}{O}_{6(M-1)N,6N}& I_{6(M-1)N}\end{array}\right],$ $J_1^u=\left[\begin{array}{cc}{I}_{6(M-1)N}& O_{6(M-1)N,6N}\end{array}\right],$ 第二对选择矩阵中的 $J_2^v=I_M\⊗\left[\begin{array}{cc}{O}_{\mathrm{6,6}}& I_{6(N-1)}\end{array}\right],$ $J_1^v=I_M\⊗\left[\begin{array}{cc}{I}_{6(N-1)}& O_{\mathrm{6,6}}\end{array}\right],$ I表示单位矩阵，O表示零矩阵；

3b）通过第一对选择矩阵

构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程

利用总体最小二乘方法解得第一旋转不变关系矩阵Ψ^u；对Ψ^u进行特征分解，得到x轴方向余弦的模糊精估计值

和第一非奇异矩阵T^u；

3c）通过第二对选择矩阵构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程

利用总体最小二乘方法解得第二旋转不变关系矩阵Ψ^v；对Ψ^v进行特征分解得到y轴方向余弦的模糊精估计和第二非奇异矩阵T^v；

4）通过信号子空间E_S计算方向余弦的无模糊粗估计：

4a）计算第一中间变量矩阵

根据矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第一流形矢量

${\tilde{a}}_k^u=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^u\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}\right]}^{m-1}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}\right]}^{n-1}{e}_k$

其中，c₁为复常数，

为矩阵

的第i行至第j行构成的矩阵。选择向量

K为目标个数，

k＝1,…,K为步骤3b）中的x轴方向余弦的模糊精估计值，

k＝1,…,K为步骤3c）中的y轴方向余弦的模糊精估计值。

4b）对第一流形矢量进行归一化矢量叉乘得第一传播矢量q^u；对第一传播矢量q^u求模值得到第一组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值，

表示y轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值；

4c）计算第二中间变量矩阵

根据矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第二流形矢量

${\tilde{a}}_k^v=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^v\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}\right]}^{m-1}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}\right]}^{n-1}{e}_k$

4d）对第二流形矢量

进行归一化矢量叉乘，得到第二传播矢量q^v；对第二传播矢量q^v求模值，得到第二组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值，

表示y轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值；

4e）对步骤4b）中的第一组方向余弦无模糊粗估计值

和步骤4d）中的第二组方向余弦无模糊粗估计值

求平均，得到方向余弦的无模糊估计值

5）根据步骤3）中的方向余弦模糊精估计值

和步骤4）中的方向余弦无模糊粗估计值

用方向余弦模糊精估计值

减去方向余弦无模糊粗估计值

的最小范数，解得高精度无模糊方向余弦估计值

根据高精度无模糊方向余弦估计值

利用下式的三角操作求得高精度两维波达方向估计值：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_k=\arcsin \left(\sqrt{{\hat{u}}_k^2+{\hat{v}}_k^2}\right)\\ {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\arctan \left(\frac{{\hat{v}}_k}{{\hat{u}}_k}\right)\end{array}\right.,k=1,...,K,$

其中，

为第k个目标的俯仰角，

为第k个目标的方位角。

本发明与现有技术相比具有以下优点：

（1）本发明融合了多个非同心电磁矢量传感器，使得可分辨目标个数超过现有算法的5个。

（2）本发明所提阵列的稀疏配置使得在不增加阵元数和硬件复杂度情况下有效扩展了阵列物理孔径，使得两维波达方向估计精度大大增加。

（3）本发明提出了非同心电磁矢量传感器结构，各个天线在空间上分开，解决了同心电磁矢量传感器互耦严重、硬件设计困难的问题。

附图说明

图1是本发明的实现流程图；

图2是本发明中单个非同心电磁矢量传感器示意图；

图3是用本发明中稀疏均匀矩形非同心电磁矢量传感器阵列示意图；

图4是本发明对目标两维波达方向估计的星座图；

图5是用本发明对目标两维波达方向估计均方根误差随信噪比变化曲线图；

图6是用本发明对目标两维波达方向估计均方根误差随快拍数变化曲线图。

具体实施方式

参照图1，本发明的具体实现步骤如下：

步骤1，构造稀疏均匀非同心电磁矢量传感器阵列的接收数据。

1a)设置如下参数：

电偶极子E_x与电偶极子E_y的间距为Δ_x，y，电偶极子E_y与电偶极子E_z间距为Δ_y，z，电偶极子E_x、E_y、E_z位于同一条直线上；

磁环H_x与磁环H_y间距的为Δ_x，y，磁环H_y与磁环H_z间距为Δ_y，z，磁环H_x、H_y、H_z位于与电偶极子E_x、E_y、E_z反向的平行直线上；

磁环H_x的位置坐标设为(x_h,y_h,z_h)，电偶极子和磁环位置的两条平行直线的摆放角度设为

并定义 $\tilde{u}=\sin \widetilde{\mathrm{\θ}}\cos \widetilde{\mathrm{\φ}},$ $\tilde{v}=\sin \widetilde{\mathrm{\θ}}\sin \widetilde{\mathrm{\φ},}$ $\tilde{w}=\cos \widetilde{\mathrm{\θ}.}$ 图2给出当

时单个非同心电磁矢量传感器的示意图。

φ，θ分别表示入射波信号的方位角和俯仰角，γ,η分别为极化辅角和极化相位差。u＝sinθcosφ，v＝sinθsinφ，w＝cosθ分别表示入射信号的沿x轴、y轴、z轴的方向余弦，λ为入射信号波长，⊙为对应元素相乘。x轴方向所有相邻非同心电磁矢量传感器的间距均为D_X，y轴方向所有相邻非同心电磁矢量传感器的间距均为D_Y。

1b）根据以上参数将该非同心电磁矢量传感器的流形矢量

表示为：

其中，同心电磁矢量传感器流形矢量a为：

$a=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}& -\sin \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}& \cos \mathrm{\φ}\\ -\sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\φ}& -\cos \mathrm{\θ}\cos \mathrm{\φ}\\ \cos \mathrm{\φ}& -\cos \mathrm{\θ}\sin \mathrm{\φ}\\ 0& \sin \mathrm{\θ}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\sin {\mathrm{\γe}}^{\mathrm{j\η}}\\ \cos \mathrm{\γ}\end{array}\right]---\left(2\right)$

1c）根据1b）中的非同心电磁矢量传感器阵列流形

得到非同心电磁矢量传感器组成的M×N维均匀稀疏矩形阵列的接收数据为：

$x\left(t\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\mathrm{\Σ}}}[q_x\left(u_k\right)\⊗q_y\left(v_k\right)\⊗\tilde{a}]s_k\left(t\right)+n\left(t\right)=\mathrm{As}\left(t\right)+n\left(t\right)---\left(3\right)$

其中，x轴方向的流形矢量 $q_x\left(u_k\right)={[1,e^{j2\mathrm{\π}{D}_X{u}_k/\mathrm{\λ}},...,e^{j2\mathrm{\π}(M-1)D_X{u}_k/\mathrm{\λ}}]}^T,$ y轴方向的流形矢量 $q_y\left(v_k\right)={[1,e^{j2\mathrm{\π}{D}_Y{v}_k/\mathrm{\λ}},...,e^{j2\mathrm{\π}(N-1)D_Y{v}_k/\mathrm{\λ}}]}^T,$ 流形矩阵 $A=[q_x\left(u_1\right)\⊗q_y\left(v_1\right)\⊗\tilde{a},...,q_x\left(u_K\right)\⊗q_y\left(v_K\right)\⊗\tilde{a}],$ s_k(t)为第k个窄带完全极化信号，信号矢量s(t)＝[s₁(t),…,s_K(t)]^T，n(t)为复高斯白噪声，K为目标个数，上标T为转置操作，

为Kronecker积，该均匀稀疏矩形阵列如图3所示。

步骤2，对接收数据进行特征值分解求得信号子空间。

用有限个快拍数据L的最大似然估计，得到接收阵列的协方差矩阵：对接收信号协方差矩阵

进行特征值分解可把分成如下两个成分的相加：

其中，∑_S表示信号功率，E_S为信号子空间，

为噪声功率，E_N为噪声子空间，上标H表示共轭转置。

步骤3，构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程，求得x轴和y轴的模糊方向余弦精估计。

3a）构造两对选择矩阵为：

和

其中第一对选择矩阵

中的 $J_2^u=\left[\begin{array}{cc}{O}_{6(M-1)N,6N}& I_{6(M-1)N}\end{array}\right],$ $J_1^u=\left[\begin{array}{cc}{I}_{6(M-1)N}& O_{6(M-1)N,6N}\end{array}\right],$ 第二对选择矩阵

中的 $J_2^v=I_M\⊗\left[\begin{array}{cc}{O}_{\mathrm{6,6}}& I_{6(N-1)}\end{array}\right],$ $J_1^v=I_M\⊗\left[\begin{array}{cc}{I}_{6(N-1)}& O_{\mathrm{6,6}}\end{array}\right],$ I表示单位矩阵，O表示零矩阵；

3b）通过第一对选择矩阵

构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程利用总体最小二乘方法解得第一旋转不变关系矩阵Ψ^u；对Ψ^u进行特征分解，得到x轴方向余弦的模糊精估计值

和第一非奇异矩阵T^u；

3c）通过第二对选择矩阵

构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程利用总体最小二乘方法解得第二旋转不变关系矩阵Ψ^v；对Ψ^v进行特征分解得到y轴方向余弦的模糊精估计和第二非奇异矩阵T^v；

步骤4，利用信号子空间E_S计算x轴和y轴的无模糊方向余弦粗估计。

4a）计算第一中间变量矩阵

根据第一中间变量矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第一流形矢量

${\tilde{a}}_k^u=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^v\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}\right]}^{m-1}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}\right]}^{n-1}{e}_k---\left(4\right)$

其中，c₁为复常数，

为矩阵

的第i行至第j行构成的矩阵。选择向量

k＝1,…,K为x轴方向余弦的模糊精估计值，

k＝1,…,K为y轴方向余弦的模糊精估计值。

4b）对第一流形矢量

进行归一化矢量叉乘得第一传播矢量q^u；对第一传播矢量q^u求模值得到第一组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值，

表示y轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值；

4c）计算第二中间变量矩阵

根据矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第二流形矢量

${\tilde{a}}_k^v=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^v\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}\right]}^{m-1}{\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}\right]}^{n-1}{e}_k---\left(5\right)$

4d）对第二流形矢量

进行归一化矢量叉乘，得到第二传播矢量q^v；对第二传播矢量q^v求模值，得到第二组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值，表示y轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值；

4e）对步骤4b）中的第一组方向余弦无模糊粗估计值

和步骤4d）中的第二组方向余弦无模糊粗估计值

求平均，得到x轴和y轴的方向余弦无模糊估计值

$\left\{\begin{array}{c}{u}_k^c=\frac{1}{2}(u_k^{c,1}+u_k^{c,2})\\ v_k^c=\frac{1}{2}(v_k^{c,1}+v_k^{c,2})\end{array}\right.---\left(6\right)$

步骤5，结合模糊精估计和无模糊粗估计，得到两维波达方向估计。

根据步骤4）中的方向余弦模糊精估计值

和步骤6）中的方向余弦无模糊粗估计值

用方向余弦模糊精估计值

减去方向余弦无模糊粗估计值

的最小范数，解得高精度无模糊方向余弦估计值

${\hat{u}}_k=u_k^f+\hat{m}\mathrm{\λ}/D_X,\hat{m}=\underset{m}{\arg \min }|u_k^c-u_k^f-\mathrm{m\λ}/D_X|---\left(7\right)$

${\hat{v}}_k=v_k^f+\hat{n}\mathrm{\λ}/D_Y,\hat{n}=\underset{n}{\arg \min }|v_k^c-v_k^f-\mathrm{n\λ}/D_Y|---\left(8\right)$

其中，

表示x轴方向余弦的模糊精估计值，表示y轴方向余弦的模糊精估计。

根据无模糊方向余弦精估计

通过如下三角操作，求得方位角和俯仰角：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_k=\arcsin \left(\sqrt{{\hat{u}}_k^2+{\hat{v}}_k^2}\right)\\ {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\arctan \left(\frac{{\hat{v}}_k}{{\hat{u}}_k}\right)\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中，表示俯仰角，

表示方位角。

本发明的效果通过以下计算仿真进一步说明：

在下面的仿真中，非同心电磁矢量传感器配置方式设为：阵元位置平行线方向

磁环H_x的坐标为

电偶极子E_x与电偶极子E_y间距Δ_x，y＝λ，电偶极子E_y与电偶极子E_z间距Δ_y，z＝λ。

仿真1：目标两维波达方向估计；

仿真条件：考虑该稀疏均匀矩形非同心电磁矢量传感器阵列大小为4×4，即M＝4，N＝4，x轴方向相邻非同心电磁矢量传感器间距D_X＝5(λ2)、y轴方向的D_Y＝6(λ2)。

假设同一距离单元存在K＝7个独立目标，

目标方位角为：θ＝[10°,20°,80°,40°,50°,60°,70°]，

目标俯仰角为：φ＝[35°,65°,55°,15°,85°,45°,25°]，

极化辅角为：γ＝[70°,60°,50°,40°,30°,20°,10°]，

极化相位差为：η＝[30°,120°,60°,110°,80°,140°,40°]，

快拍数L＝1024，信噪比SNR＝20dB，信号源为随机性未知信号，100次Monte-Carlo实验。

仿真内容：

采用本发明方法对目标的两维波达方向进行估计，结果如图4所示，从图4中可看出该本发明算法能够正确估计出目标方位角和俯仰角。

仿真2：两维波达方向的估计性能与信噪比关系；

仿真条件：非同心电磁矢量传感器阵列的M＝4，N＝4，D_X＝10(λ2)、D_Y＝10(λ2)，K＝2个独立目标，两维波达方向和极化参数为：(θ₁,φ₁,γ₁,η₁)＝(80°,30°,45°,-90°)，(θ₂,φ₂,γ₂,η₂)＝(75°,35°,45°,90°)，快拍数L＝128，1000次Monte-Carlo实验；

仿真内容：

利用本发明方法与非极化矩形阵列估计两维波达方向均方根误差，结果如图5所示，从图5中可以看出，两维波达方向估计性能较非极化矩形阵列显著提高。

仿真3：两维波达方向的估计性能与快拍数关系比较；

仿真条件：假设信噪比SNR＝20dB，快拍数变化，其它仿真条件与仿真2相同。

仿真内容：利用本发明方法与非极化矩形阵列估计两维波达方向均方根误差，结果如图6所示，从图6中可以看出，两维波达方向估计性能较非极化矩形阵列显著提高。

Claims (1)

1.一种基于非同心电磁矢量阵列雷达的两维波达方向估计方法，包括如下步骤：

1）根据稀疏均匀矩形非同心电磁矢量传感器的阵列结构，得到每个非同心电磁矢量传感器的接收数据x_m,n(t)，m,＝1,…,M,n＝1,…,N，其中M为x轴方向非同心电磁矢量传感器个数，N为y轴方向非同心电磁矢量传感器个数；将所有x_m,n(t)排列成矢量形式，构成整个阵列的接收数据x(t)；

2）根据接收数据x(t)，利用最大似然估计得到协方差矩阵

其中L为快拍数；对协方差矩阵

进行特征值分解，得到信号子空间E_S；

3）通过信号子空间E_S计算方向余弦的模糊精估计：

3a）构造两对选择矩阵为：

和

，其中第一对选择矩阵中的 $J_2^u=\left[O_{6(M-1)M,6N}{I}_{6(M-1)N}\right],J_1^u=\left[I_{6(M-1)N}{O}_{6(M-1)N,6N}\right],$ 第二对选择矩阵中的 $J_2^v=I_M\⊗\left[O_{\mathrm{6,6}}{I}_{6(N-1)}\right],J_1^v=I_M\⊗\left[I_{6(N-1)}{O}_{\mathrm{6,6}}\right],$ I表示单位矩阵，O表示零矩阵；

3b）通过第一对选择矩阵

构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程

利用总体最小二乘方法解得第一旋转不变关系矩阵Ψ^u；对Ψ^u进行特征分解，得到x轴方向余弦的模糊精估计值

和第一非奇异矩阵T^u；

3c）通过第二对选择矩阵构造关于信号子空间E_S的旋转不变关系方程利用总体最小二乘方法解得第二旋转不变关系矩阵Ψ^v；对Ψ^v进行特征分解得到y轴方向余弦的模糊精估计和第二非奇异矩阵T^v；

4）通过信号子空间E_S计算方向余弦的无模糊粗估计：

4a）计算第一中间变量矩阵

根据矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第一流形矢量

${\tilde{a}}_k^u=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^u\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}{]}^{m-1}\right[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}{]}^{n-1}{e}_k$

其中，c₁为复常数，为矩阵

的第i行至第j行构成的矩阵；选择向量

K为目标个数，

k＝1,…,K为步骤3b）中的x轴方向余弦的模糊精估计值，

k＝1,…,K为步骤3c）中的y轴方向余弦的模糊精估计值；

4b）对第一流形矢量

进行归一化矢量叉乘得第一传播矢量q^u；对第一传播矢量q^u求模值得到第一组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值，

表示y轴方向的第一组方向余弦无模糊粗估计值；

4c）计算第二中间变量矩阵

根据矩阵

计算非同心电磁矢量传感器的第二流形矢量

${\tilde{a}}_k^v=c_1\underset{m=1}{\overset{M}{\mathrm{\Σ}}}\underset{n=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}{\hat{A}}^v\left\{\right[6(m-1)N+6(n-1)+1]:[6(m-1)N+6n\left]\right\}\left[{\left({\mathrm{\Φ}}^u\right)}^{*}{]}^{m-1}\right[{\left({\mathrm{\Φ}}^v\right)}^{*}{]}^{n-1}{e}_k$

4d）对第二流形矢量

进行归一化矢量叉乘，得到第二传播矢量q^v；对第二传播矢量q^v求模值，得到第二组方向余弦的无模糊粗估计值

表示x轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值，

表示y轴方向的第二组方向余弦无模糊粗估计值；

4e）对步骤4b）中的第一组方向余弦无模糊粗估计值

和步骤4d）中的第二组方向余弦无模糊粗估计值求平均，得到方向余弦的无模糊估计值 $\{u_k^c,v_k^c\};$

5）根据步骤3）中的方向余弦模糊精估计值

和步骤4）中的方向余弦无模糊粗估计值

用方向余弦模糊精估计值

减去方向余弦无模糊粗估计值的最小范数，解得高精度无模糊方向余弦估计值

根据高精度无模糊方向余弦估计值

利用下式的三角操作求得高精度两维波达方向估计值：

$\left\{\begin{array}{c}{\widehat{\mathrm{\θ}}}_k=\arcsin \left(\sqrt{{\hat{u}}_k^2+{\hat{v}}_k^2}\right)\\ {\widehat{\mathrm{\φ}}}_k=\arctan \left(\frac{{\hat{v}}_k}{{\hat{u}}_k}\right)\end{array}\right.,k=1,...,K,$

其中，为第k个目标的俯仰角，

为第k个目标的方位角。

Images