CN112800599A - 一种阵元失配情况下基于admm的无网格doa估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，属于阵列信号处理领域。包括利用阵列接收数据构建阵元失配情况下的阵列信号接收模型；对信号模型进行变换，将其表示为新的形式；考虑误差矩阵的稀疏性，建立基于原子范数的最优问题描述；基于原子范数定义和范德蒙德分解，将原子范数最小化问题转化为半定规划问题；利用ADMM求解半定规划问题；基于范德蒙德分解，利用ESPRIT算法得到DOA估计值；对求解得到的误差矩阵的稀疏性进行分析，确定失配阵元位置。优点是基于压缩感知理论，降低运算复杂度，减少运行时间，提高运算效率，仿真结果表明，所提出的方法无需划分网格，在小快拍情况下具有更好的估计精度，且复杂度低，耗时少。

Description

一种阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法

技术领域

本发明属于阵列信号处理领域，涉及无网格压缩感知进行DOA估计的技术领域，尤其涉及存在阵元失配情况下无网格DOA估计方法。

背景技术

波达方向(DOA)估计作为阵列信号处理领域中的一个经典问题，已被广泛应用于雷达、声纳和移动通信等领域。大多数DOA估计算法都是以精确已知阵列流形为前提的，而且通常假定实际中的传感器阵列与理论研究中的标准传感器阵列模型完全相同。然而，在实际应用中，由于传感器制造工艺的不完善、传感器老化、意外事件等多种因素，很难做到所有传感器元件都与标准的相一致，常存在阵元失配现象，从而不可避免地产生各种阵列误差，例如，各个传感器的增益或延迟往往不同，导致阵列幅度和相位出现误差。在应用中，如果忽略阵列误差而直接使用如子空间算法等对阵列误差尤其敏感的传统方法，DOA估计精度会显著降低。因此，在阵元失配情况下对误差进行校准十分重要。

早期的阵列误差校准方法是通过对阵列流型进行离散测量、内插、存储来进行误差校准，实现DOA的精确估计。后来，由于对阵列误差的建模变得更加复杂，人们将阵列误差校准问题转换成了参数估计问题。此类方法一般分为有源校正方法和自校正方法，其中，有源校正DOA估计方法的校正范围和校正精度都较高，但是要求外置辅助源等辅助设施，设备成本较高；自校正DOA估计方法是对阵列误差参数和DOA进行联合估计，其中较为著名的有子空间类自校正算法、最大似然自校正算法等。尽管子空间类自校正算法在信噪比、快拍数较适宜的条件下，能够实现超分辨DOA估计，不受瑞利限的影响，但是，它要求信号子空间和噪声子空间必须满足正交条件以获得较高的估计精度。当外部条件发生变化，如出现快拍数减少、信噪比降低、目标信号之间存在相关性等情况，其估计性能会恶化。最大似然自校正算法在相干信号源、低信噪比等条件下有较好的表现，但其要求足够的快拍数，因此计算量较大。

随着压缩感知(CS)理论与应用的发展，已有学者利用信号的稀疏性研究了阵元误差情况下的DOA估计问题。基于CS技术的DOA估计方法在低信噪比、相干信号源、少快拍数情形下，拥有比传统误差校准DOA估计方法更好的估计精度。但是，基于传统CS技术的阵列误差校准DOA估计方法需要将空间划分网格，并且要求估计出的角度值位于预先划分的离散网格上。若没有落在网格上，DOA估计值与实际值之间将会存在一个难以消除的误差。为了使信号来向落在已划分好的网格上的概率增大，人们提出了增加网格数的方法。然而，如果网格划分过于密集，稀疏表示所用字典集的基函数之间将会高度相关，这将导致其不满足有限等距条件，从而影响重构效果。

无网格压缩感知是近年来提出的一种无需网格划分的DOA估计方法。它直接在连续的角度域处理，避免了角度离散化带来的基不匹配等问题。无网格压缩感知基于原子范数理论，通过建立一个连续的原子集合，将对应的稀疏恢复问题转化为一个半正定规划(SDP)问题，从而得到无网格恢复结果。本发明将无网格压缩感知技术应用于阵元失配情况下的DOA估计领域，具有很强的现实意义，它能够在少(单)快拍、相干信号和噪声环境下具有更高的估计精度。

凸优化(CVX)工具箱方法是求解凸优化问题时普遍使用的方法，但是用此方法求解SDP问题的速度较慢，尤其是存在大规模阵列的情况下。而交替方向乘子法(ADMM)作为一种交替求解的方法，能有效降低SDP问题的求解时间，快速求解大规模优化问题，降低运算复杂度，在保证高精度的前提下进行快速的最优求解，具有很强的实际应用意义。

目前，已有学者提出利用压缩感知技术在阵元失配情况下进行DOA估计的方法，但尚未出现利用无网格压缩感知技术在阵元失配情况下基于ADMM进行DOA估计的方法。

发明内容

本发明提供一种阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，在存在阵元失配情况下，提高小快拍时的DOA估计精度，并降低运算复杂度。

本发明采取的技术方案是，包括下列步骤：

步骤一，利用阵列接收数据构建阵元失配情况下的阵列接收信号模型；

步骤二，将步骤一中的信号模型进行变换，将其表示为新的形式；

步骤三，考虑误差矩阵的稀疏性，建立基于原子范数的最优问题描述；

步骤四，基于原子范数的定义和范德蒙德分解，将原子范数最小化问题转化为半定规划SDP问题；

步骤五，通过交替方向乘子法ADMM求解步骤四中的半定规划问题；

步骤六，基于范德蒙德分解，利用子空间方法中的ESPRIT算法得到最终的DOA估计值；

步骤七，对求解得到的误差矩阵的稀疏性进行分析，确定失配阵元的位置。

本发明所述步骤一、建立系统模型，假定由M个接收阵元构成均匀线阵(ULA)，阵元间距d＝λ/2，其中有部分阵元存在幅度相位误差。有K个远场窄带信号从不同角度{θ₁,θ₂,…,θ_K}入射至ULA，第k个目标的到达角度为θ_k，k＝1,…,K。对得到的回波数据信号进行多次快拍收集和处理，快拍数为L。将数据写成一个M×L的矩阵Y:

Y＝ΓAS+N

其中，

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)]，

S为源信号；

为对角矩阵，表示阵列之中的幅相误差信息，其中，γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]，

z_m和φ_m分别代表幅度和相位误差；N为高斯白噪声矩阵。

本发明所述步骤二、对信号模型进行变换，将其表示为新的形式：令D＝(Γ-I)A，由Y＝ΓAS+N＝(A+D)S+N＝AS+DS+N＝X+G+N，得到新的阵列接收信号模型为：

Y＝X+G+N

其中，X＝AS，

G＝DS，

本发明所述步骤三、将阵元失配情况下的DOA估计问题构建为以下优化问题：

其中，||·||_F表示Frobenious范数；||·||_2,1表示l_2,1范数，

||·||_A表示原子范数；μ和η为正则化参数。

本发明所述步骤四、将上述包含原子范数最小化的优化问题转化为等价的SDP问题：

本发明所述步骤五、将上述的SDP问题重新写成如下形式，并利用ADMM方法代替凸优化工具箱求解的方法。

其中，增广拉格朗日函数写为：

这里Λ代表拉格朗日乘子，ρ为惩罚因子。然后，从ADMM算法中估计得到包含DOA信息的Toeplitz矩阵

和误差矩阵

本发明所述步骤六、利用上述得到的包含DOA信息的矩阵

使用子空间方法中的旋转不变子空间(ESPRIT)算法来估计到达角。

本发明所述步骤七、利用误差矩阵

的行稀疏性确定失配的阵元位置。

本发明的优点在于：利用无网格压缩感知方法，考虑了在阵元失配情况下，当部分阵元存在幅度相位误差时误差对DOA估计的影响。在阵元失配模型中，利用l_2,1范数探索误差矩阵的行稀疏性，同时无需网格划分，利用原子范数建立DOA估计的最优问题。利用ADMM求解优化问题能降低运算复杂度，减少运行时间，提高运算效率。最后在求解DOA估计问题的同时能够对失配阵元的位置进行估计。本发明的方法在阵元失配情况下将无网格压缩感知技术与ADMM方法结合，避免了传统方法的缺点，在少快拍时提高了估计精度，且降低了复杂度。

附图说明

图1是本发明中所用到的ULA接收信号模型；

图2是阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法流程图；

图3是阵元失配情况下采用不同估计方法的均方根误差(RMSE)随信噪比(SNR)变化曲线图；

图4是阵元失配情况下采用不同估计方法的RMSE随快拍数(Numberof snapshots)变化曲线图；

图5是阵元失配情况下SDPT3方法和本发明中提出的ADMM方法的运行时间(Running time)随阵元数(Number of array elements)变化曲线图；

图6是失配阵元位置估计的曲线图。

具体实施方式

无网格压缩感知的DOA方法具有无需划分网格、准确度高、在小快拍等条件下具有良好估计性能等优点；ADMM具有高效求解的优势；阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法可有效适用于阵元存在失配的情况。其具体实施方式步骤如下：

步骤一、建立系统模型，假定由M个接收阵元构成均匀线性阵列(ULA)，阵元间距d＝λ/2，其中有部分阵元存在幅度相位误差。K个远场窄带信号从不同角度{θ₁,θ₂,…,θ_K}入射至ULA，第k个目标的到达角度为θ_k，k＝1,…,K。对得到的回波数据信号进行多次快拍收集和处理，快拍数为L。将数据写成一个M×L的矩阵Y:

Y＝ΓAS+N

其中，

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)]，

S为源信号；

为对角矩阵，用于表示阵列之中的幅相误差信息，其中，γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]，

z_m、φ_m分别代表幅度和相位误差；N为高斯白噪声矩阵。从阵列模型中可以看出，因为存在失配阵元，实际的阵列方向矩阵为ΓA，如果实际方向矩阵的变化被忽略，将会导致不准确的估计结果；

步骤二、由于包含幅相误差信息的矩阵与包含到达角信息的矩阵是乘积形式，无法对其特性进行单独分析，从而对步骤一中的信号模型进行变换，将其表示为新的形式：令D＝(Γ-I)A，由Y＝ΓAS+N＝(A+D)S+N＝AS+DS+N＝X+G+N，得到新的阵列信号接收模型为：

Y＝X+G+N

其中，X＝AS，

G＝DS，

由于在实际情况中，由于部分阵元失配，导致存在幅度相位误差的阵元个数远小于整个传感器阵列的阵元个数，因此，幅度相位误差矩阵G可视为行稀疏矩阵，其中包含幅度相位误差信息；N为高斯白噪声矩阵；

步骤三、根据步骤二中建立的模型，将阵元失配情况下的DOA估计问题构建为以下优化问题：

其中，||·||_F表示Frobenious范数；||·||_2,1表示l_2,1范数，

||·||_A表示原子范数；μ和η为正则化参数，它们使优化问题中的三项达到适宜的折中，正则化参数的值表示了不同项的权重，即不同项在优化目标中的影响力，所以应该取合适的值以使误差在一定范围内的条件下得到满意的解；

步骤四、根据原子范数定义和范德蒙德分解，将上述包含原子范数最小化的优化问题转化为等价的SDP问题：

步骤五、利用ADMM方法代替凸优化工具箱，求解步骤三中的SDP问题，可以显著降低运行时间，并获得精确解；

将步骤四中的SDP问题重新写成如下形式：

上式的增广拉格朗日函数可写为：

其中，Λ代表拉格朗日乘子，ρ为惩罚因子，ADMM包含以下更新步骤：

令

其中，

由于u,W,X和G的更新可以通过对增广拉格朗日函数求偏导得到，则通过计算推导，它们可以写成如下形式：

其中，T^*(·)是T(·)的伴随映射。P是对角矩阵，它的组成如下：

G的更新从G^t+1＝(diag(b^t+1))(Y-X^t+1)中计算得到，其中

然后，计算Z的更新：

Z^t+1是通过矩阵

在半定锥上的投影进行求解。因此，可以通过形成Q的特征值分解并将所有负特征值设置为零来实现Z的更新。令Q＝E^tΣ^t(E^t)^H，则

其中

通过令Σ^t的所有负特征值为零来获得。

最后，对Λ^t+1进行更新：

直到满足停止条件或达到最大迭代次数，迭代算法停止。从以上ADMM算法可以估计得到包含DOA信息的Toeplitz矩阵

和误差矩阵

本发明所述步骤六、根据Caratheodory引理，任何半正定的Toeplitz矩阵都能进行范德蒙德分解。

是秩为K的半正定Toeplitz矩阵：

其中

表示u₂的转置，其满足如下分解：

其中，

p_r>0，p＝[p₁,p₂,…,p_K]^T，该分解当K<N时唯一。范德蒙德分解定理表示，当数据协方差矩阵满足K<N的半正定Toeplitz结构时，该协方差矩阵可以唯一地被分解成如上公式所示的等式。因此根据协方差矩阵的范德蒙德分解原理，利用子空间方法可以唯一确定入射信号的来向。基于此，本发明利用步骤四中得到的包含DOA信息的矩阵

使用子空间方法中的ESPRIT算法来估计到达角；

本发明所述步骤七、从步骤六中求得的包含幅度相位误差信息的误差矩阵

是一个行稀疏矩阵，利用其行稀疏性，对它的每一行做l₂范数，其中有一些行的l₂范数值明显较大，则这些行所对应的序数为失配的阵元序数，失配的阵元序数对应的阵元位置即是失配的阵元位置；

本发明所述步骤三的详细说明：观察ULA的接收信号，带有到达角信息的矩阵部分可表示为：

其中，a(f_k)＝[1,e^-j2πf,…,e^-j2π(M-1)f]^T，s_k＝[s_k1,s_k2…,s_kL]，c_k＝||s_k||₂>0，

||φ_k||₂＝1，f_k＝d sinθ_k/λ，2L-1维单位实球记为

定义多快拍情形的原子集如式：

那么根据上述定义，X是原子集A_MMV中K个原子的线性组合，首先定义原子l₀范数以表明观测数据的稀疏度：

原子l₀范数等价于一个矩阵的秩最小化问题，而矩阵的秩最小化问题无法直接求解。因此对定义的原子l₀范数进行凸松弛，凸松弛后得到的范数定义为多快拍条件下的原子范数：

原子范数的定义有半正定规划的等价形式，这使得原子范数可以有效求解：

步骤三正是利用这个与原子范数等价的半定规划形式。

下面结合实例，通过MATLAB仿真实验来进一步说明本发明的优点。

仿真参数设置如下：假定接收阵列为均匀线阵，阵元间距d＝λ/2，K＝2，有两个远场目标，目标位置选取θ＝(-20°,40°)；假定在阵元失配情况下，阵列的第4、第7、第12和第18个阵元存在幅度相位误差，大小分别为2.8exp(jπ/3),3.5exp(jπ/2),2exp(jπ/4),2exp(jπ/4)；分别在相同条件下进行100次蒙特卡罗仿真实验，将本发明提出的方法与当前主要用到的DOA估计方法的估计性能进行对比。以下提到的F-W方法为一种子空间类自校正方法。

图3是阵元失配情况下采用五种不同估计方法的均方根误差(RMSE)随信噪比(SNR)变化的曲线。这五种方法包括：OMP(正交匹配追踪)方法、ANM(原子范数最小化)方法、F-W(Friedlander-Weiss)方法、SDPT3方法(阵元失配情况下直接利用凸优化工具箱SDPT3求解无网格DOA估计)，以及本发明中提出的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法。仿真参数设置如下：快拍数L＝15，阵元数M＝20。从图中可以看出，在不同信噪比条件下，本发明提出的方法的均方根误差均小于其余三个方法。

图4是OMP方法、ANM方法、F-W方法、SDPT3方法和本发明中提出的ADMM方法的RMSE随快拍数变化的曲线，仿真参数设置如下：信噪比SNR＝5dB，阵元数M＝20。从图中可以看出，在不同快拍数条件下，提出的方法的均方根误差均小于其余三个方法，可以得到提出的方法有更好的估计性能。特别是，随着SNR的增加，其他三个方法的RMSE方法的变化不大，但是本发明所提出的方法可以变化为很小的值。因此，可以获得准确的估计。

图5是阵元失配情况下SDPT3方法和本发明中提出的ADMM方法的运行时间随阵元数变化的曲线。仿真参数设置如下：L＝15，SNR＝5dB。从图中可以看出，随着阵元数量增加，本发明提出的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法比直接利用凸优化工具箱SDPT3求解的无网格DOA估计方法复杂度更低，耗时小得多。它说明将ADMM算法用在大型阵列或高实时性的情况下，运行时间较短，有更好的性能。

图6是失配阵元位置估计的曲线图，为误差矩阵每行对应的l₂范数的范数值随阵元序数变化的曲线。具体含义是：明显较大的l₂范数值对应的阵元的序数即是失配阵元的序数，失配阵元序数对应失配阵元位置。图中横坐标Ordinal number of antennas表示阵元序数，纵坐标l2-norm表示对应的l₂范数值。仿真参数设置如下：L＝15，M＝20，SNR＝5dB。从图中可以看出，失配阵元位置位于第4、第7、第12和第18个阵元。

仿真结果表明，所提出的方法在阵元失配情景下其估计精度高于已提出的传统方法，尤其在小快拍情况下具有更好的性能，且复杂度低，耗时少。

Claims (8)

1.一种阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于，包括下列步骤：

步骤一，利用阵列接收数据构建阵元失配情况下的阵列接收信号模型；

步骤二，将步骤一中的信号模型进行变换，将其表示为新的形式；

步骤三，考虑误差矩阵的稀疏性，建立基于原子范数的最优问题描述；

步骤四，基于原子范数的定义和范德蒙德分解，将原子范数最小化问题转化为半定规划SDP问题；

步骤五，通过交替方向乘子法ADMM求解步骤四中的半定规划问题；

步骤六，基于范德蒙德分解，利用子空间方法中的ESPRIT算法得到最终的DOA估计值；

步骤七，对求解得到的误差矩阵的稀疏性进行分析，确定失配阵元的位置。

2.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤一中，建立阵列信号接收模型，假定由M个接收阵元构成均匀线阵ULA，阵元间距d＝λ/2，其中有部分阵元存在幅度相位误差，K个远场窄带信号从不同角度{θ₁,θ₂,…,θ_K}入射至ULA，第k个目标的到达角度为θ_k，k＝1,…,K，对得到的回波数据信号进行多次快拍收集和处理，快拍数为L，将数据写成一个M×L的矩阵Y:

Y＝ΓAS+N

其中，

A＝[a(θ₁),a(θ₂),…,a(θ_K)]，

S为源信号；

为对角矩阵，用于表示阵列之中的幅相误差信息，其中，γ＝[γ₁,γ₂,…,γ_M]，

z_m、φ_m分别代表幅度和相位误差；N为高斯白噪声矩阵。

3.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤二中，对步骤一中的信号模型进行变换：令D＝(Γ-I)A，由Y＝ΓAS+N＝(A+D)S+N＝AS+DS+N＝X+G+N，得到新的阵列信号接收模型为：

Y＝X+G+N

其中，X＝AS，

G＝DS，

4.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤三中，将阵元失配情况下的DOA估计问题构建为以下优化问题：

其中，||·||_F表示Frobenious范数；||·||_2,1表示l_2,1范数，

||·||_A表示原子范数；μ和η为正则化参数。

5.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤四中，将上述包含原子范数最小化的优化问题转化为等价的SDP问题：

。

6.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤五中，将上述的SDP问题重新写成如下形式，并利用ADMM方法代替凸优化工具箱求解：

上式的增广拉格朗日函数写为：

其中，Λ代表拉格朗日乘子，ρ为惩罚因子，再从ADMM算法估计得到包含DOA信息的Toeplitz矩阵

和误差矩阵

7.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤六中，基于步骤五求出的解，利用得到的包含DOA信息的矩阵

使用子空间方法中的ESPRIT算法来估计到达角。

8.根据权利要求1所述的阵元失配情况下基于ADMM的无网格DOA估计方法，其特征在于：在步骤七中，基于步骤五求出的解，利用误差矩阵

的行稀疏性确定失配的阵元位置。

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