CN113655444B - 一种阵元失效下基于重加权先验的mimo雷达doa估计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明涉及MIMO雷达DOA估计领域，公开了一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，利用SVD分解技术对虚拟阵列输出数据矩阵进行降维预处理，增强对噪声的鲁棒性；针对降维后存在整行缺失元素的输出数据矩阵，建立联合重加权低秩和稀疏先验信息的矩阵填充模型；在交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM)框架下利用增广拉格朗日乘子法(Augmented Lagrange Method，ALM)迭代得到最优解，在每次迭代中对权值进行更新调整以增强解的低秩性和稀疏性，并对过完备字典进行收缩处理以进一步降低计算复杂度，当算法收敛时即可由稀疏解估计出目标DOA。
Description
技术领域
本发明涉及MIMO雷达DOA估计领域，具体的是一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法。
背景技术
多输入多输出(Multiple-input Multiple-output，MIMO)雷达在发射端利用多个天线发射正交波形，接收端的多个接收天线接收回波信号并进行匹配滤波实现各路正交信号的分选，从而形成远多于实际物理阵元数目的虚拟阵元，扩展了阵列孔径。相较于传统相控阵雷达，MIMO雷达在目标检测和参数估计等方面具有显著的优势。
波达方向估计(Direction ofArrival，DOA)是MIMO雷达目标参数估计中重要的研究内容，学者们对此进行了深入的研究，典型的DOA估计算法主要有多重信号分类(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法、旋转不变子空间(Estimation ofSignalParameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT)算法等子空间类方法和基于压缩感知(Compress Sensing，CS)的稀疏类DOA估计方法等。在实际应用中，由于阵列元器件的长时间使用老化以及受恶劣自然环境的影响，会不可避免地出现阵元失效。为了提高角度分辨率和最大目标分辨个数，阵列规模会不断扩大，此时系统复杂度随之提高，这大大增加了阵元失效的概率。当MIMO雷达阵列出现阵元失效时，经匹配滤波处理后的虚拟阵列中存在大量失效虚拟阵元，致使虚拟阵列输出数据矩阵中出现大批整行缺失数据，破坏了阵列数据结构的完整性，导致传统DOA估计方法性能严重下降甚至失效。在阵列结构复杂、实时性要求高、维修价格昂贵或维修不便等特殊场景中，如星载，战场等应用环境下，无法及时对失效阵元进行更换维修，因此研究阵元失效下MIMO雷达DOA估计方法显得尤为重要。
由于目标个数一般远小于雷达阵列阵元数目，因此阵列协方差矩阵为低秩矩阵，将协方差矩阵中元素进行重排，在保证低秩性的同时，使得重排后的矩阵每行每列元素都不全为零，则可利用矩阵填充(Matrix Completion，MC)算法根据矩阵元素间的相关性来恢复失效阵元的缺失数据。基于此，Sun等人在论文“Direction-of-Arrival EstimationUnder Array Sensor Failures with ULA”(IEEE Access,2020,8:26445-26456)中，将阵元失效分为冗余虚拟阵元失效和非冗余虚拟阵元失效两种情况。对于冗余虚拟阵元失效情况，利用差联合阵中正常工作的冗余虚拟阵元数据来填补失效阵元的缺失数据；对于非冗余虚拟阵元失效情况，将协方差矩阵元素进行重排拓展成高维Toeplitz矩阵，使其每行每列均有非零元素，然后利用凸优化工具箱求解MC模型来重构出完整协方差矩阵。Chen等在论文“Joint Sensor Failure Detection and Corrupted Covariance Matrix Recoveryin Bistatic MIMO Radar With Impaired Arrays”中，提出一种基于块Hankel矩阵填充的缺失数据恢复方法，并将其应用到阵元失效下双基地MIMO雷达DOA估计中。该方法将虚拟阵列协方差矩阵构造成四重块Hankel矩阵，以保证矩阵每行每列均有非零元素，然后利用MC算法恢复块Hankel矩阵中的缺失元素。
实际应用中，目标只占据空域少量角度分辨单元，即目标相对于整个空域来说是稀疏的，MIMO雷达输出数据矩阵可在特定字典下被稀疏表示。因此，MIMO雷达虚拟阵列的输出数据矩阵不仅具有低秩性且可以被稀疏表示，利用低秩和稀疏先验信息能挖掘矩阵行或列之间的相关性以及矩阵行内或列内元素之间的相关性，这为有效恢复MIMO雷达输出数据矩阵中整行缺失元素提供了可能。为了能更好对阵元失效下MIMO雷达的缺失数据矩阵进行恢复，从而能最大程度降低阵元失效对DOA估计的影响，考虑对低秩性和稀疏性引入重加权策略，在每次迭代中对权值进行更新调整以增强解的低秩性和稀疏性，同时对过完备字典进行收缩处理以进一步降低计算复杂度。为了提高MIMO雷达的抗阵元故障能力，研究一种阵元失效下基于重加权先验的低复杂度MIMO雷达DOA估计方法是非常有必要的。
发明内容
为解决上述背景技术中提到的不足，本发明的目的在于提供一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，利用SVD分解技术对虚拟阵列输出数据矩阵进行降维预处理，增强对噪声的鲁棒性；针对降维后存在整行缺失元素的输出数据矩阵，建立联合重加权低秩和稀疏先验信息的矩阵填充模型；在交替方向乘子法(Alternating DirectionMethod ofMultipliers，ADMM)框架下利用增广拉格朗日乘子法(Augmented LagrangeMethod，ALM)迭代得到最优解，在每次迭代中对权值进行更新调整以增强解的低秩性和稀疏性，并对过完备字典进行收缩处理以进一步降低计算复杂度，当算法收敛时即可由稀疏解估计出目标DOA。
本发明的目的可以通过以下技术方案实现：
一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法,所述方法包括如下步骤：
步骤1：阵元失效下具有M个发射阵元和N个接收阵元的MIMO雷达回波信号经过匹配滤波处理后，可获得MN个虚拟阵元输出数据矩阵为
式中，为在L个快拍下虚拟阵列输出数据；/>为P个目标的反射信号矩阵，/>表示复数域；Z为阵元失效下的高斯白噪声矩阵；
为存在阵元失效时的阵列流形矩阵，其中⊙表示Khatri-Rao积；将对应失效阵元的虚拟阵元输出数据置零，则阵元失效下MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵为式中，
其中和Y((n-1)×M+m,:)分别表示矩阵/>和Y的第(n-1)×M+m行元素(n＝1,2,…,N,m＝1,2,…,M)，即对应第(n-1)×M+m个虚拟阵元的输出数据，01×L表示长度为L的全零行矢量；
步骤2：对MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵进行降维得到数据矩阵/>
步骤3：建立在理想无噪声和无失效阵元情况下经降维后的虚拟阵列完整输出数据矩阵的稀疏表示模型；
步骤4：引入Frobenius范数来限制噪声项，建立如下联合重加权低秩和稀疏二重先验的矩阵填充模型：
式中，为完整输出数据矩阵，为待求解的量；γ为正则化参数；η为表示噪声水平的系数，噪声水平越高，η越小；/>表示加权核范数，其中，Wa为核范数的权重矩阵，是一个对角矩阵，Wa(i,i)表示矩阵Wa主对角线上第i个元素，/>为矩阵/>经过SVD分解之后按降序排列的第i个奇异值，其中i＝1,2,…,P；表示加权L2,1范数，其中，Wb(j,j)表示稀疏权重矩阵Wb对角线上第j个元素；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵/>中缺失元素；Ψ为矩阵/>中已知非零元素位置的集合；PΨ(·)表示投影到集合Ψ的投影算子；||·||F表示矩阵的Frobenius范数；
步骤5：利用增广拉格朗日乘子法(ALM)将步骤4中矩阵填充模型所表示的约束最小化问题转化为无约束优化问题来求解；
步骤6：采用ADMM算法将多变量优化问题转化为多个单变量优化问题来分别求解，通过固定其他变量不变来交替的求解E,R1,R2，得到如下第k次迭代时的优化问题：
式中，ρ1,ρ2为大于1的常数；Γk表示索引集合，用来指示中需要保留的列矢量和稀疏矩阵/>中需要保留的行矢量；
步骤7:步骤6结束后输出行稀疏矩阵对/>每一行元素的l2范数构成的稀疏向量/>然后进行谱峰搜索即可确定目标的DOA。
进一步的，所述步骤1中和/>分别为发射阵列和接收阵列存在失效阵元时的流形矩阵，当第/>个发射阵元失效时，发射阵列流形矩阵/>中第/>行为零，第个接收阵元失效时，接收阵列流形矩阵/>中第/>行为零，其中ΩT和ΩR分别为发射和接收阵列中失效阵元位置集合。
进一步的，所述步骤2的方法为：
步骤2-1：对进行SVD分解得输出数据矩阵/>式中，为最大的P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的信号子空间矩阵；为其余MN-P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的噪声子空间矩阵；Λs和Λn分别为最大的P个奇异值和其余MN-P个奇异值组成的对角矩阵；/>和/>为右奇异值矢量组成的矩阵；(·)H表示共轭转置；
步骤2-2：将输出数据矩阵乘以Vs获得降维后的输出数据矩阵为式中，/>为降维后数据矩阵，/>为降维后目标反射信号矩阵，/>为降维后噪声矩阵。
进一步的，所述步骤3的方法为：
将信号可能入射空间范围[-90°,90°]均匀划分得到J个角度网格 则/>可以在一个过完备字典/>下稀疏表示，即/>式中，
其中， 为Kronecker积，/>为正常接收阵列导向向量，/>为正常发射阵列导向向量；/>与SSV具有相同的行支撑，由于J＞＞P，矩阵仅有少量非零行，因此/>是一个行稀疏矩阵，非零行元素对应过完备字典中目标的DOA，即/>其中θp为第p个目标的DOA。
进一步的，所述步骤5中无约束优化问题为：
式中，R1和R2为拉格朗日乘子矩阵；μ1和μ2为惩罚因子；<·>表示两个矩阵的内积。
进一步的，所述步骤6中优化问题的迭代求解步骤具体如下：
步骤6-1:求解并更新
固定E,R1,R2不变，迭代求解/>的核范数最小化子问题可以表述为：
式中，采用SVT算法求解，求解结果为/>式中，soft(x,λ)＝sign(x)max{|x|-λ,0}为软阈值算子，sign(x)为符号函数；Uk和Vk分别为Hk经奇异值分解后的左奇异向量和右奇异向量，Σk为由Hk经奇异值分解后的奇异值构成的对角矩阵；
步骤6-2:求解并更新加权矩阵Wa、Wb和收缩字典
利用步骤6-1中的信号子空间Uk，可对权重矩阵进行更新和对字典/>进行收缩，并用于下一次迭代中对相关子问题的求解，将信号子空间Uk和过完备字典/>进行拟合得到空间谱：
式中，为投影矩阵，/>为字典/>中任一列，tr(·)表示矩阵的迹。当/>为真实目标DOA时，空间谱/>能达到极大值。在每次迭代中，对/>进行谱峰搜索获得对应P个目标的峰值，将每个峰值附近左右Qk个网格保留，远离峰值的其余网格剔除，共得到Jk个网格，其中，Jk＝(2Qk+1)P，且Qk+1＝ρ3Qk，其中0＜ρ3＜1为一个常数使得下次迭代中Qk+1越来越小，即字典/>的规模逐渐变小。假设Γk表示Jk个网格位置集合，将/>和与字典/>相关的行稀疏矩阵/>中对应Jk个网格位置的元素值保留而其余元素去除，得到收缩后的字典/>及其对应行稀疏矩阵/>即/>
利用子空间拟合理论，根据收缩后的过完备字典和信号子空间Uk，得到如下加权系数，
式中， 为/>的第j列，则稀疏矩阵/>的权重矩阵为
式中，其中max(·)表示求最大值，/>表示由矢量/>元素作为对角元素构成对角矩阵。
对于核范数权重矩阵的迭代更新，利用上一次迭代结果中/>的奇异值的倒数进行更新，即
式中，σi k为对角矩阵Σk主对角线上第i个元素，ζ为一个极小值使得分母不为零且ζ＞0，其中当k＝1时，为单位矩阵。
步骤6-3:求解并更新求解/>时，通过固定/>E,R1,R2不变，求解/>的优化子问题可以表述为：
可利用加速近端梯度法来近似求解得到为：
式中，||·||2表示l2范数；为利普希茨(Lipschitz)常数，λmax(·)表示最大特征值；/>
其中，近端变量Bk+1的迭代为
其中/>
步骤6-4:求解并更新E，迭代求解E的子问题表述如下：
因此可得E的完整迭代解为：
式中，集合为Ψ的补集，为矩阵/>中零元素位置的集合；
步骤6-5:拉格朗日乘子矩阵R1和R2的更新为：
惩罚因子μ1和μ2的更新表达式为
进一步的，所述步骤6中，当算法达到最大迭代次数或者满足收敛条件时停止迭代，其中ε为较小的正数。
本发明的有益效果：
1、针对阵元失效下MIMO雷达虚拟阵列中出现大量无效的虚拟阵元，导致现有DOA估计算法性能恶化甚至完全失效的问题，本发明提出一种基于重加权低秩和稀疏二重先验的阵元失效MIMO雷达DOA估计方法，该方法充分利用虚拟阵列输出数据矩阵的低秩和稀疏先验信息来重构无效虚拟阵元的缺失目标数据，从而提高目标DOA的估计精度。
2、利用SVD分解技术对虚拟阵列输出数据矩阵进行降维预处理，能有效降低用于失效阵元缺失数据恢复的运算量，同时通过SVD分解能够积累目标信息分量并分离噪声，从而增强算法在低信噪比下的鲁棒性。
3、设计了一种重加权策略以进一步增强解的低秩性和稀疏性，采用与奇异值大小相反的权值对核范数进行赋权，并利用信号子空间与过完备字典的拟合关系构造稀疏先验的加权值，在ADMM算法的每次迭代中对权值进行更新调整以增强解的低秩性和稀疏性，并对过完备字典进行收缩处理以进一步降低计算复杂度，使得算法具有较高的实时性。
4、本发明方法在对完整虚拟阵列输出数据矩阵进行重构的同时能实现目标DOA的估计，当ADMM算法收敛时可由稀疏解估计出目标DOA，无需采用额外的DOA估计方法从重构后的数据矩阵中估计出目标DOA，增强了算法的实时性和操作便利性。
附图说明
下面结合附图对本发明作进一步的说明。
图1是本发明整体流程图；
图2是本发明DOA估计均方根误差随信噪比变化曲线图；
图3是本发明DOA估计均方根误差随快拍数变化曲线图；
图4是本发明DOA估计均方根误差随接收阵列故障阵元数变化曲线图；
图5是本发明不同阵元失效情况下本发明方法DOA估计成功率随信噪比变化关系图。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其它实施例，都属于本发明保护的范围。
如图1所示，一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法,所述方法包括如下步骤：
步骤1:阵元失效下具有M个发射阵元和N个接收阵元的MIMO雷达回波信号经过匹配滤波处理后，可获得MN个虚拟阵元输出数据矩阵为式中，/>为在L个快拍下虚拟阵列输出数据；/>为P个目标的反射信号矩阵，/>表示复数域；Z为阵元失效下的高斯白噪声矩阵；/>为存在阵元失效时的阵列流形矩阵，其中⊙表示Khatri-Rao积，/>和/>分别为发射阵列和接收阵列存在失效阵元时的流形矩阵，当第个发射阵元失效时，发射阵列流形矩阵/>中第/>行为零，第/>个接收阵元失效时，接收阵列流形矩阵/>中第/>行为零，其中ΩT和ΩR分别为发射和接收阵列中失效阵元位置集合。将对应失效阵元的虚拟阵元输出数据置零，则阵元失效下MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵为/>式中，其中/>和Y((n-1)×M+m,:)分别表示矩阵/>和Y的第(n-1)×M+m行元素(n＝1,2,…,N,m＝1,2,…,M)，即对应第(n-1)×M+m个虚拟阵元的输出数据，01×L表示长度为L的全零行矢量；
假设MIMO雷达中，发射阵列和接收阵列分别由M个发射阵元和N个接收阵元构成，且均为均匀线阵，发射阵列和接收阵列阵元间距分别为dt和dr。远场存在P个非相干目标，它们的DOA分别为θ1,θ2,…,θP。利用发射信号的正交性，对MIMO雷达的接收信号经过匹配滤波处理，则可以得到虚拟阵列的输出信号为：
y(t)＝As(t)+n(t) (1)
式中，为MIMO雷达虚拟阵列流形矩阵，/>为Kronecker积，/>为接收阵列导向向量，为发射阵列导向向量，(·)T表示转置；s(t)＝[s1(t),s2(t),…,sP(t)]T为目标反射信号矢量，n(t)为高斯白噪声，且与信号相互独立。
在L个采样快拍数下虚拟阵列输出数据矩阵为
Y＝AS+Z (2)
式中，为目标反射信号矩阵；/>为高斯白噪声矩阵。
在实际应用中，随着MIMO雷达阵列阵元数量增多，由于阵列元器件寿命限制和恶劣自然环境的影响，MIMO雷达阵列会出现阵元失效的概率增大。发射阵列中的失效阵元无法辐射电磁波，而接收阵列的失效阵元无法接收目标回波信号。因此，当第个发射阵元失效时，发射阵列流形矩阵/>中第/>行为零；第/>个接收阵元失效时，接收阵列流形矩阵/>中第/>行为零，其中ΩT和ΩR分别为失效发射和接收阵元位置集合。可利用现有阵列诊断算法对失效阵元位置进行检测，根据诊断结果将对应失效阵元的虚拟阵元输出数据置零，则阵元失效MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵为
式中，为存在阵元失效时的阵列流形矩阵；
其中，表示矩阵/>的第(n-1)×M+m行元素；/>为阵元失效下的高斯白噪声矩阵，
步骤2:对MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵进行降维以降低计算复杂度，同时增强对噪声的鲁棒性。对/>进行SVD分解得/>
式中，为最大的P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的信号子空间矩阵；/>为其余MN-P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的噪声子空间矩阵；Λs和Λn分别为最大的P个奇异值和其余MN-P个奇异值组成的对角矩阵；/>和为右奇异值矢量组成的矩阵；P(·)H表示共轭转置。将输出信号矩阵/>乘以Vs获得降维后的输出数据矩阵为/>式中，/>为降维后数据矩阵，为降维后目标反射信号矩阵，/>为降维后噪声矩阵。
对MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵进行降维，从而降低计算复杂度，同时增强对噪声的鲁棒性。对/>进行SVD分解得
式中，为最大的P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的信号子空间矩阵；/>为其余MN-P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的噪声子空间矩阵；Λs和Λn分别为最大的P个奇异值和其余MN-P个奇异值组成的对角矩阵；/>和为右奇异值矢量组成的矩阵；(·)H表示共轭转置。
将输出信号矩阵乘以Vs获得降维后的输出数据矩阵为
式中，对比式(3)和式(6)，阵元失效时MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵维度由MN×L降为MN×P，而目标个数P远小于快拍数L，即P＜＜L。因此，输出数据矩阵维度得到显著降低，这能有效降低失效阵元缺失数据恢复的计算复杂度，并对/>进行SVD分解能够积累目标信息分量并分离噪声，从而增强算法在低信噪比下的鲁棒性。
步骤3:建立在理想无噪声和无失效阵元情况下经降维后的虚拟阵列完整输出数据矩阵的稀疏表示模型。由于目标相对于整个空域来说是稀疏的，将信号可能入射空间范围[-90°,90°]均匀划分得到J个角度网格/>则/>可以在一个过完备字典下稀疏表示，即/>式中，/>其中， 为Kronecker积，/>为正常接收阵列导向向量，/>为正常发射阵列导向向量；/>与SSV具有相同的行支撑，由于J＞＞P，矩阵/>有少量非零行，因此/>是一个行稀疏矩阵，非零行元素对应过完备字典中目标的DOA，即其中θp为第p个目标的DOA。
根据式(6)，假设在理想无噪声和无失效阵元情况下，经过降维后的虚拟阵列完整输出数据矩阵可以表示为其秩为/>即经降维变换后的矩阵/>为列满秩矩阵。由于矩阵/>的行秩与列秩相等，且远小于虚拟阵元数MN，因此/>中行之间元素具有强相关性，即/>中每行元素可由其他行向量线性组合得到。MC方法利用矩阵低秩性来恢复缺失数据的本质是利用数据之间的强相关性，则仍可对列满秩矩阵/>进行低秩约束来恢复矩阵中的缺失数据。
由于目标相对于整个空域来说是稀疏的，将信号可能入射空间范围[-90°,90°]划分得到J个角度网格则/>可以在一个过完备字典/>下稀疏表示，即
式中，其中，/> 与SSV具有相同的行支撑，由于J＞＞P，矩阵/>有少量非零行，因此/>是一个行稀疏矩阵，非零行元素对应过完备字典中目标的DOA，即/>
步骤4:为了抑制高斯噪声的干扰，于是引入Frobenius范数来限制噪声项，建立如下联合重加权低秩和稀疏二重先验的矩阵填充模型：
式中，为完整输出数据矩阵，为待求解的量；γ为正则化参数；η为表示噪声水平的系数，噪声水平越高，η越小；/>表示加权核范数，其中，Wa为核范数的权重矩阵，是一个对角矩阵，Wa(i,i)表示矩阵Wa主对角线上第i个元素，/>为矩阵/>经过SVD分解之后按降序排列的第i个奇异值，其中i＝1,2,…,P；表示加权L2,1范数，其中，Wb(j,j)表示稀疏权重矩阵Wb对角线上第j个元素；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵/>中缺失元素；Ψ为矩阵/>中已知非零元素位置的集合；PY(·)表示投影到集合Ψ的投影算子；||·||F表示矩阵的Frobenius范数。
由于在行方向上具有低秩特性且可以被稀疏表示，对/>进行低秩约束正则化可以探索行之间的相关性，同时将待重建矩阵填充问题中再引入稀疏先验，则可进一步挖掘矩阵行内或列内元素的相关性，因此联合利用低秩和稀疏两种先验信息使得矩阵中整行缺失的元素能得以恢复。为了进一步促进解的低秩性和稀疏性，引入重加权思想对核范数和稀疏矩阵进行加权约束，即对大幅值元素给一个较小的权重惩罚，反之对于幅值较小的元素则给一个较大的权重惩罚，并且权重矩阵在每一次迭代中进行更新，因此称之为重新加权。为了抑制高斯噪声的干扰，于是引入Frobenius范数来限制噪声项，建立如下联合重加权低秩和稀疏二重先验的矩阵填充模型：
式中，为待恢复矩阵；γ为正则化参数；η为表示噪声水平的系数，噪声水平越高，η越小；/>其中，Wa为核范数的权重矩阵，是一个对角矩阵，Wa(i,i)表示矩阵Wa主对角线上第i个元素，/>为矩阵/>经过SVD分解之后按降序排列的第i个奇异值；
其中，i＝1,2,…,P；其中，Wb(j,j)表示稀疏权重矩阵Wb对角线上第j个元素；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵/>中缺失元素；Ψ为矩阵中已知非零元素位置的集合；PY(·)表示投影到集合Ψ的投影算子；||·||F表示矩阵的Frobenius范数。
步骤5:利用增广拉格朗日乘子法(ALM)将步骤4中矩阵填充模型所表示的约束最小化问题转化为无约束优化问题来求解，该无约束优化问题为
式中，R1和R2为拉格朗日乘子矩阵；μ1和μ2为惩罚因子；<·>表示两个矩阵的内积。
步骤6:采用ADMM(交替方向乘子，Alternating Direction Method ofMultipliers)算法将多变量优化问题转化为多个单变量优化问题来分别求解，通过固定其他变量不变来交替的求解E,R1,R2，得到如下第k次迭代时的优化问题：
式中，ρ1,ρ2为大于1的常数，使得惩罚因子在每次迭代中能够递增；Γk表示索引集合，用来指示中需要保留的列矢量和稀疏矩阵/>中需要保留的行矢量。
步骤6-1:求解并更新
固定E,R1,R2不变，迭代求解/>的子问题可以表述为
忽略式(12)中常数项，则式(12)可以进一步转化为如下优化方程
/>
式中，上述核范数最小化模型可以用SVT算法求解，求解结果为：
式中，soft(x,λ)＝sign(x)max{|x|-λ,0}为软阈值算子，sign(x)为符号函数；Uk和Vk分别为Hk经奇异值分解后的左奇异向量和右奇异向量，Σk为由Hk经奇异值分解后的奇异值构成的对角矩阵。
步骤6-2:求解并更新加权矩阵Wa、Wb和收缩字典
为了进一步增强解的低秩性和稀疏性，于是引入重加权策略，重加权是一个迭代的过程，利用前次迭代结果作为基础来对权值进行自适应更新调整。在迭代过程中对稀疏先验的加权值进行更新能够加速使得矩阵变成一个行稀疏矩阵，使其非零行元素对应字典/>中目标DOA；而对低秩先验的加权值更新能够将/>中缺失元素恢复，使其趋近于阵元正常时的输出数据矩阵。利用对Hk进行SVD分解得到的信号子空间Uk，可对权重矩阵进行更新和对字典/>进行收缩，并用于下一次迭代中对相关子问题的求解。
在实际中，由于噪声的存在，信号子空间和阵列流形张成的空间不相等，根据子空间拟合理论，将信号子空间Uk和过完备字典进行拟合得空间谱
式中，为投影矩阵，/>为字典/>中任一列，tr(·)表示矩阵的迹。显然，当/>为真实目标DOA时，空间谱/>能达到极大值。由于网格数J较大，因此过完备字典/>规模较大，导致计算复杂度较高，因此需要在在迭代过程中对字典进行收缩，提高算法的运算效率。在每次迭代中，对/>进行谱峰搜索获得对应P个目标的峰值，将每个峰值附近左右Qk个网格保留，远离峰值的其余网格剔除，共得到Jk个网格，其中，Jk＝(2Qk+1)P，且Qk+1＝ρ3Qk，其中0＜ρ3＜1为一个常数使得下次迭代中Qk+1越来越小，即字典/>的规模逐渐变小。假设Γk表示Jk个网格位置集合，将/>和与字典/>相关的行稀疏矩阵/>中对应Jk个网格位置的元素值保留而其余元素去除，得到收缩后的字典及其对应行稀疏矩阵/>即
将过收缩后的完备字典按列方向分为两个子矩阵，即/>/>
其中，为P个目标的导向向量组成的矩阵，/>则由字典/>中剩余的导向向量构成的矩阵。因此利用子空间拟合理论，根据收缩后的过完备字典/>和信号子空间Uk，得到如下加权系数：
式中， 为/>的第j列，则稀疏矩阵/>的权重矩阵为
式中，对于真实目标DOA的导向矩阵/>它所对应/>中的权重系数将会远远小于/>当快拍数L→∞时，通过利用该加权矩阵/>稀疏矩阵/>中幅值较大的行元素受到较小的惩罚，而幅值较小的行元素得到较大的惩罚。
对于核范数权重矩阵的迭代更新，首先当k＝1时，给定一个初值之后利用上一次迭代结果中/>的奇异值的倒数进行更新，即
式中，σi k为Σk主对角线上第i个元素，ζ为一个极小值使得分母不为零且ζ＞0。
步骤6-3:求解并更新
求解时，通过固定/>E,R1,R2不变，只需要在每次迭代中更新/>一次即可保证式(9)模型的最优解稳定收敛，求解/>的子问题可以表述为
由于式(20)不存在闭式解，可利用加速近端梯度法(Accelerated ProximalGradient,APG)来近似求解得到令/>其中通过引入近端变量B，定义如下函数：
式中，为f(·)在B处的梯度；/>
为利普希茨(Lipschitz)常数，使得对于所有的B都有其中λmax(·)表示最大特征值。即可通过求解/>最小化来近似得到/>的最小值如下所示：
式中，式(22)加权l2,1范数最小化是一个凸优化问题，其解的每一行/>表示为：
式中，||·||2表示l2范数。近端变量Bk+1的迭代如下：
步骤6-4:求解并更新E
由于E为一个辅助变量矩阵用来补偿失效阵元对应的缺失数据即中零元素，因此，固定/>R1,R2不变，将E的求解分为两部分，即E在集合Ψ中的索引/>和E在集合/>中的索引/>迭代求解E的子问题表述如下：
使用一阶导数直接求导得：
步骤6-5:拉格朗日乘子矩阵R1和R2的更新为 惩罚因子μ1和μ2的更新表达式为/>
在步骤6中，当算法达到最大迭代次数或者满足收敛条件
/>
时停止迭代，其中ε为较小的正数。
步骤7:步骤6结束后输出行稀疏矩阵对/>每一行元素的l2范数构成的稀疏向量/>然后进行谱峰搜索即可确定目标的DOA。
仿真实验说明
为了验证本发明方法在MIMO雷达阵元失效时的DOA估计性能，以阵元正常时采用RD-MUSIC算法的DOA估计性能作为参照，将本发明方法和阵元失效时采用RD-MUSIC算法，现有技术1(Bing Sun,Chenxi Wu,Junpeng Shi,et al.Direction-of-Arrival EstimationUnder Array Sensor Failures with ULA[J].IEEE Access,2020,8:26445-26456)的方法以及现有技术2(Jinli Chen,Tingxiao Zhang,Jiaqiang Li,et al.Joint SensorFailure Detection and Corrupted Covariance Matrix Recovery in Bistatic MIMORadar With Impaired Arrays[J].IEEE Sensors Journal,2019,19(14):5834-5842)的方法进行对比。
假设MIMO雷达发射阵元数和接收阵元数分别为M＝5,N＝15，阵元间距均为半波长即dt＝dr＝λ/2。远场存在3个非相干目标，其DOA分别为θ1＝-14.6°,θ2＝0°,θ3＝19.3°，信噪比定义为DOA估计均方根误差(Root Mean Squared Error，RMSE)定义为/>其中，MT为蒙特卡罗实验次数，为第p个目标在第mt次蒙特卡罗实验中的目标角度估计值。初始字典按等角度间隔0.05°进行网格划分，其余参数选取如下：ρ1＝ρ2＝1.15，ρ3＝0.98，/>ζ＝10-5，ε＝10-3，γ＝100，Q1＝30，η＝1.2，最大迭代次数为30次。
仿真实验1：DOA估计均方根误差随信噪比的变化关系
本实验设置信噪比变化范围为-12dB～12dB，快拍数为100，假设发射阵列第3个发射阵元失效，接收阵列第2,5,8,11,14个接收阵元失效，进行200次蒙特卡罗实验。DOA估计均方根误差随信噪比的变化如图2所示。由图中可以看出，阵元失效时直接采用RD-MUSIC算法估计DOA的误差明显大于阵元正常时的估计误差。现有技术1和现有技术2分别将协方差矩阵元素重排成高维Toeplitz矩阵和四重Hankel矩阵，再利用MC方法来恢复缺失数据，现有技术2方法的DOA估计性能在高信噪比时优于现有技术1方法，而在低信噪比时低于现有技术1方法。本发明方法利用重加权低秩和稀疏二重先验来重构出完整输出数据矩阵，在重构矩阵过程中实现目标DOA的估计，其DOA估计性能明显优于现有技术1和2方法。随着信噪比的增加，本发明方法的DOA估计精度与阵元正常时RD-MUSIC算法的估计精度越来越接近。
仿真实验2：DOA估计均方根误差随快拍数的变化关系
本实验设置信噪比为-4dB，快拍数由50～350变化，其余仿真参数不变，DOA估计均方根误差随快拍数的变化关系如图3所示。由图3可知，在阵元失效下RD-MUSIC算法随着快拍数增加其DOA估计误差较大且保持在缓慢下降水平，其他算法的DOA估计精度都随着快拍数的增加而提高，但本发明方法的DOA估计性能在不同快拍数下始终保持最优，其精度明显高于RD-MUSIC算法、现有技术1和现有技术2方法。在快拍数较少时，本发明方法的DOA估计精度低于阵元正常时的RD-MUSIC算法，而在快拍数大于150时其DOA估计精度要高于阵元正常时的RD-MUSIC算法。
仿真实验3：DOA估计均方根误差随接收阵列故障阵元数变化关系
本实验假设发射阵列第3个发射阵元失效，接收阵列中失效阵元数由1～8依次增加，信噪比为0dB，快拍数为100，进行200次蒙特卡罗实验，每次实验中接收阵列失效阵元位置均随机分布，其余仿真参数不变，DOA估计均方根误差随接收阵列故障阵元数变化关系如图4所示。图中可以看出，在不同失效接收阵元数情况下，相对于其他方法，本发明方法能获得最优的DOA估计性能。随着失效阵元数增多，各种算法DOA估计误差都有一定程度的上升，但本发明方法的估计误差曲线上升趋势最为平稳，表明本发明方法对失效阵元数具有良好的稳健性。
仿真实验4：不同阵元失效组合情况下DOA估计成功率随信噪比变化
本实验验证不同阵元失效组合情况下DOA估计的成功率随信噪比变化的关系，设置Mf(Mf∈{0,1,2})为发射阵列失效阵元个数，Nf(Nf∈{3,7})为接收阵列失效阵元个数，快拍数为100，信噪比由-12dB～12dB变化，DOA均方根误差RMSE＜0.15°时视为目标角度估计成功，进行100次蒙特卡罗实验，其余仿真参数不变，仿真结果如图5所示。由图5可知，MIMO雷达收发阵列中失效阵元个数在不同取值情况下，本发明方法的DOA估计成功率均随着信噪比的提高而增加，且当信噪比足够高时，DOA的估计成功率均能达到100％。当发射和接收阵列中存在不同失效阵元个数时，本发明方法均能获得较好的DOA估计性能，表明本发明方法对不同的失效阵元数具有较强的适应性。
以上显示和描述了本发明的基本原理、主要特征和本发明的优点。本行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落入要求保护的本发明范围内。
Claims (5)
1.一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法,其特征在于，所述方法包括如下步骤：
步骤1：阵元失效下具有M个发射阵元和N个接收阵元的MIMO雷达回波信号经过匹配滤波处理后，可获得MN个虚拟阵元输出数据矩阵为
式中，为在L个快拍下虚拟阵列输出数据；/>为P个目标的反射信号矩阵，/>表示复数域；Z为阵元失效下的高斯白噪声矩阵；
为存在阵元失效时的阵列流形矩阵，其中⊙表示Khatri-Rao积，/>和/>分别为发射阵列和接收阵列存在失效阵元时的流形矩阵；
将对应失效阵元的虚拟阵元输出数据置零，则阵元失效下MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵为式中，
其中和Y((n-1)×M+m,:)分别表示矩阵/>和Y的第(n-1)×M+m行元素(n＝1,2,…,N,m＝1,2,…,M)，即对应第(n-1)×M+m个虚拟阵元的输出数据，01×L表示长度为L的全零行矢量，ΩT和ΩR分别为发射和接收阵列中失效阵元位置集合；
步骤2：对MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵进行降维得到数据矩阵/>
步骤3：建立在理想无噪声和无失效阵元情况下经降维后的虚拟阵列完整输出数据矩阵Y的稀疏表示模型；
具体的，将信号可能入射空间范围[-90°,90°]均匀划分得到J个角度网格J＞＞P，则/>可以在一个过完备字典/>下稀疏表示，即/>式中，
其中， 为Kronecker积，/>为正常接收阵列导向向量，为正常发射阵列导向向量；/>与SSV具有相同的行支撑，/>为降维后目标反射信号矩阵，Vs为右奇异值矢量组成的矩阵，由于J＞＞P，矩阵/>仅有少量非零行，因此/>是一个行稀疏矩阵，非零行元素对应过完备字典中目标的DOA，即其中θp为第p个目标的DOA；
步骤4：引入Frobenius范数来限制噪声项，建立如下联合重加权低秩和稀疏二重先验的矩阵填充模型：
式中，为完整输出数据矩阵，为待求解的量；γ为正则化参数；η为表示噪声水平的系数，噪声水平越高，η越小；/>表示加权核范数，其中，Wa为核范数的权重矩阵，是一个对角矩阵，Wa(i,i)表示矩阵Wa主对角线上第i个元素，/>为矩阵/>经过SVD分解之后按降序排列的第i个奇异值，其中i＝1,2,…,P；表示加权L2,1范数，其中，Wb(j,j)表示稀疏权重矩阵Wb对角线上第j个元素；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵/>中缺失元素；Ψ为矩阵/>中已知非零元素位置的集合；PΨ(·)表示投影到集合Ψ的投影算子；||·||F表示矩阵的Frobenius范数；
步骤5：利用增广拉格朗日乘子法(ALM)将步骤4中矩阵填充模型所表示的约束最小化问题转化为无约束优化问题来求解；
具体的，无约束优化问题为：
式中，R1和R2为拉格朗日乘子矩阵；μ1和μ2为惩罚因子；<·>表示两个矩阵的内积；
步骤6：采用ADMM算法将多变量优化问题转化为多个单变量优化问题来分别求解，通过固定其他变量不变来交替的求解E,R1,R2，得到如下第k次迭代时的优化问题：
式中，ρ1,ρ2为大于1的常数；Γk表示索引集合，用来指示中需要保留的列矢量和稀疏矩阵/>中需要保留的行矢量；
步骤7:步骤6结束后输出行稀疏矩阵对/>每一行元素的l2范数构成的稀疏向量然后进行谱峰搜索即可确定目标的DOA。
2.根据权利要求1所述的一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，所述步骤1中当第个发射阵元失效时，发射阵列流形矩阵/>中第/>行为零，第/>个接收阵元失效时，接收阵列流形矩阵/>中第/>行为零。
3.根据权利要求1所述的一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，所述步骤2的方法为：
步骤2-1：对进行SVD分解得输出数据矩阵/>式中，/>为最大的P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的信号子空间矩阵；/>为其余MN-P个奇异值对应的左奇异值矢量组成的噪声子空间矩阵；Λs和Λn分别为最大的P个奇异值和其余MN-P个奇异值组成的对角矩阵；/>和/>为右奇异值矢量组成的矩阵；(·)H表示共轭转置；
步骤2-2：将输出数据矩阵乘以Vs获得降维后的输出数据矩阵为/>式中，/>为降维后数据矩阵，/>为降维后噪声矩阵。
4.根据权利要求1所述的一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，所述步骤6中优化问题的迭代求解步骤具体如下：
步骤6-1:求解并更新
固定E,R1,R2不变，迭代求解/>的核范数最小化子问题可以表述为：
式中，采用SVT算法求解，求解结果为/>式中，soft(x,λ)＝sign(x)max{|x|-λ,0}为软阈值算子，sign(x)为符号函数；Uk和Vk分别为Hk经奇异值分解后的左奇异向量和右奇异向量，Σk为由Hk经奇异值分解后的奇异值构成的对角矩阵；
步骤6-2:求解并更新加权矩阵Wa、Wb和收缩字典
利用步骤6-1中的信号子空间Uk，可对权重矩阵进行更新和对字典/>进行收缩，并用于下一次迭代中对相关子问题的求解，将信号子空间Uk和过完备字典/>进行拟合得到空间谱：
式中，为投影矩阵，/>为字典/>中任一列，tr(·)表示矩阵的迹；当/>为真实目标DOA时，空间谱/>能达到极大值；在每次迭代中，对/>进行谱峰搜索获得对应P个目标的峰值，将每个峰值附近左右Qk个网格保留，远离峰值的其余网格剔除，共得到Jk个网格，其中，Jk＝(2Qk+1)P，且Qk+1＝ρ3Qk，其中0＜ρ3＜1为一个常数使得下次迭代中Qk+1越来越小，即字典/>的规模逐渐变小；假设Γk表示Jk个网格位置集合，将/>和与字典/>相关的行稀疏矩阵/>中对应Jk个网格位置的元素值保留而其余元素去除，得到收缩后的字典/>及其对应行稀疏矩阵/>即/>
利用子空间拟合理论，根据收缩后的过完备字典和信号子空间Uk，得到如下加权系数，
式中， 为/>的第j列，j＝1,2,…,Jk；则稀疏矩阵/>的权重矩阵为
式中，其中max(·)表示求最大值，表示由矢量/>元素作为对角元素构成对角矩阵；
对于核范数权重矩阵的迭代更新，利用上一次迭代结果中/>的奇异值的倒数进行更新，即
式中，σi k为对角矩阵Σk主对角线上第i个元素，ζ为一个极小值使得分母不为零且ζ＞0，其中当k＝1时，为单位矩阵；
步骤6-3:求解并更新求解/>时，通过固定/>E,R1,R2不变，求解/>的优化子问题可以表述为：
可利用加速近端梯度法来近似求解得到为：
式中，||·||2表示l2范数；为利普希茨(Lipschitz)常数，λmax(·)表示最大特征值；/>
其中，近端变量Bk+1的迭代为
其中/>
步骤6-4:求解并更新E，迭代求解E的子问题表述如下：
因此可得E的完整迭代解为：
式中，集合为Ψ的补集，为矩阵/>中零元素位置的集合；
步骤6-5:拉格朗日乘子矩阵R1和R2的更新为：
惩罚因子μ1和μ2的更新表达式为
5.根据权利要求4所述的一种阵元失效下基于重加权先验的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，所述步骤6中，当算法达到最大迭代次数或者满足收敛条件时停止迭代，其中ε为较小的正数。
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Legal Events
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| PB01 | Publication | ||
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| SE01 | Entry into force of request for substantive examination | ||
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| GR01 | Patent grant | ||
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