CN113093144B - 基于采样数据矩阵重构的mimo雷达doa估计方法 - Google Patents

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CN113093144B CN202110551473.0A CN202110551473A CN113093144B CN 113093144 B CN113093144 B CN 113093144B CN 202110551473 A CN202110551473 A CN 202110551473A CN 113093144 B CN113093144 B CN 113093144B
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Abstract

本发明涉及基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其将MIMO雷达的阵元失效分为冗余虚拟阵元失效和非冗余虚拟阵元失效。当冗余虚拟阵元失效时，对空间上相同位置的正常工作冗余虚拟阵元数据取均值来填充失效阵元的缺失数据，以降低阵元失效对目标DOA的估计的影响，算法处理复杂度低，实时性高。当非冗余虚拟阵元失效时，联合利用MIMO雷达虚拟阵列的采样数据矩阵的低秩和稀疏先验，不仅能挖掘矩阵行间或列间的相关性，而且还能充分利用行内或列内的相关性，对降维填充后的数据矩阵中整行缺失元素进行高精度重构，有效提高MIMO雷达在阵元失效时的DOA估计精度。

Description

基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法
技术领域
本发明属于MIMO雷达DOA估计领域，具体涉及一种基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法。
背景技术
多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)技术给雷达系统性能带来了全新的突破。与传统雷达相比，MIMO雷达在目标分辨与参数估计、低截获以及杂波抑制等方面有潜在的优势。波达方向角(Direction of Arrival，DOA)估计是MIMO雷达目标参数估计中的重要组成部分，主要有子空间类和稀疏表征类等DOA估计方法。在实际应用中，由于元器件长时间使用老化和恶劣环境的影响，会导致天线阵元物理性损坏。由于失效阵元无法正常发射和接收信号，因此MIMO雷达经匹配滤波处理后所形成虚拟阵列中存在大量失效虚拟阵元，则其输出数据矩阵中存在大量整行缺失元素，破坏了阵列数据的完整结构，导致现有DOA估计方法精度下降甚至完全失效。
近年来，矩阵填充(Matrix Completion，MC)理论被广泛应用于阵元失效下的DOA估计中。当数据矩阵具有低秩性且满足强不相干性(Strong Incoherence Property，SIP)条件时，MC理论可以利用矩阵中已知均匀分布的少量元素重构出原始完整矩阵。阵列中的失效阵元会导致阵列接收数据矩阵中某些行采样数据全部缺失，而传统MC理论要求采样矩阵中每行每列均有非零元素，故传统MC方法不能直接应用于阵元失效时的阵列缺失数据重构问题。
杨东等人在论文“阵列信号降采样低秩矩阵的恢复方法”(西安电子科技大学学报,2014,41(5):30-35)中，将单快拍阵列接收信号变换成一个等效低秩矩阵，使采样点随机分布以满足MC条件，并求解核范数最小化问题对缺失数据进行填充，但由于该方法仅利用单快拍接收数据，DOA估计精度较低。张永顺等人在论文“阵元缺损下的波达方向估计算法”(电子科技大学学报,2017,46(4):501-504+512)中，将阵列接收数据构造成二重块Hankel矩阵，并利用不定增广拉格朗日乘子法(Inexacted Augmented Lagrange Method，IALM)对失效阵元的缺失数据进行恢复。Sun等人在论文“Direction-of-arrivalestimation under array sensor failures with ULA”(IEEEAccess,2020,8:26445-26456)中，提出冗余虚拟阵元和非冗余虚拟阵元失效场景下的阵元失效DOA估计方法，当冗余虚拟阵元失效时，利用差联合阵对失效阵元缺失数据进行填充；非冗余虚拟阵元失效时，利用阵列冗余度结合矩阵填充算法对缺失数据进行恢复。针对存在阵元失效下MIMO雷达DOA估计问题，Zhang等人在论文“DOA estimation in MIMO radar with broken sensorsby difference co-array processing”(IEEE 6th International Workshop onComputational Advances in Multi-Sensor Adaptive Processing(CAMSAP),Cancun,Mexico,2015:321-324)中，提出一种基于差分共阵处理的协方差矩阵重构方法，但该方法要求发射阵元的间距为接收阵元间距的N倍(其中N为接收阵元数)，因此并不能适用于任意结构的MIMO雷达，具有一定的局限性。陈金立等人在申请的发明专利“基于块Hankel矩阵填充的阵元故障MIMO雷达角度估计方法”(申请号：2018115991132，公布日：2019.05.21)公开了一种基于块Hankel矩阵填充的MIMO雷达失效阵元缺失数据恢复方法，该方法利用MIMO雷达虚拟阵列协方差矩阵构造具有四重Hankel结构的低秩块Hankel矩阵，并利用MC算法填补块Hankel矩阵中的缺失数据，得到完整的虚拟阵列协方差矩阵。现有基于矩阵填充理论的阵元失效下DOA估计方法都是对阵列接收数据矩阵中元素进行重排，在保证低秩性同时使得矩阵中每行每列均有非零元素，以利于MC方法的顺利实施，从而恢复失效阵元的缺失数据以提高DOA估计性能。
发明内容
当MIMO雷达阵列存在阵元失效时，虚拟阵列采样数据矩阵出现大批整行目标数据缺失，导致现有DOA估计算法性能下降甚至失效。针对此问题，本发明提出一种基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，有效避免因阵元失效带来的DOA估计性能下降的影响，具有较高的目标DOA估计精度。
本发明所采用的技术方案为：
基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，包括如下步骤：
步骤1：对失效阵元下的MIMO雷达接收信号进行匹配滤波，获得MN个虚拟阵元在Q个脉冲周期的输出信号矩阵
Figure BDA0003075584210000021
M为发射阵元数，N为接收阵元数；
步骤2：利用正常工作的冗余虚拟阵元对信号进行降维与失效阵元数据填充，将具有MN个虚拟阵元的虚拟阵列转换成具有M+N-1个有效虚拟阵元的等效阵列，该等效阵列输出数据矩阵为
Figure BDA0003075584210000022
为等效阵列输出数据矩阵，
Figure BDA0003075584210000023
为降维后的阵元间隔为半波长的线性阵列流形矩阵，
Figure BDA0003075584210000024
为目标系数矩阵，
Figure BDA0003075584210000025
为降维后的高斯白噪声矩阵；K为目标个数；Q为脉冲周期数；
步骤3：若等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA0003075584210000026
中存在某些行元素全为零，则执行步骤4；否则执行步骤6；
步骤4：建立具有联合低秩和稀疏先验约束的矩阵填充模型：
Figure BDA0003075584210000031
Figure BDA0003075584210000032
式中，
Figure BDA0003075584210000033
为待恢复矩阵；γ为正则化参数；||·||*为核范数，||·||1为l1范数；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵
Figure BDA0003075584210000034
中缺失元素；Ψ为矩阵
Figure BDA0003075584210000035
中已知非零元素位置的集合；
Figure BDA0003075584210000036
表示投影到集合Ψ的投影算子；将目标可能入射角范围按等角度间隔划分得到P个角度网格
Figure BDA0003075584210000037
则P＞＞K，过完备字典
Figure BDA0003075584210000038
与S具有相同的行支撑，即
Figure BDA0003075584210000039
是K行稀疏矩阵，
Figure BDA00030755842100000310
中的非零行元素对应冗余字典中目标的DOA；
步骤5：利用ALM-ADMM算法，求解矩阵填充模型，得到完整的等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA00030755842100000311
步骤6：计算等效阵列输出数据矩阵的协方差矩阵，将等效阵列协方差矩阵中每一条对角线上的元素值替换为该对角线上元素的均值，利用root-MUSIC算法估计DOA。
进一步地，步骤1中，输出信号矩阵
Figure BDA00030755842100000312
的各行元素表示为
Figure BDA00030755842100000313
式中，m＝1,2,…,M，n＝1,2,…,N；ΩT为失效发射阵元位置集合，ΩR为失效接收阵元位置集合；01×Q为维度为1×Q的全零行矢量；
Figure BDA00030755842100000314
为矩阵
Figure BDA00030755842100000315
中第(n-1)×M+m行元素；Y(n-1)×M+m,:为阵元正常时MIMO雷达回波信号经匹配滤波后所形成的MN个虚拟阵元的输出数据矩阵Y中第(n-1)×M+m行元素；矩阵Y的表达式为Y＝(Ar⊙At)S+Z，其中，Ar⊙At表示虚拟阵列流形矩阵，⊙为Khatri-Rao积，Ar为接收阵列的流形矩阵，At为发射阵列的流形矩阵；
Figure BDA00030755842100000316
为目标系数矩阵；
Figure BDA00030755842100000317
为高斯白噪声矩阵。
进一步地，步骤2包括：
剔除失效虚拟阵元输出的零元素数据，然后对空间上位置为ud的正常工作的冗余虚拟阵元数据取均值处理，即
Figure BDA00030755842100000318
式中，
Figure BDA00030755842100000319
为降维后空间上位置为ud的等效虚拟阵元在第q个脉冲周期内的输出信号；ud为等效阵列中第d个阵元的坐标位置，d＝0,1,…,M+N-2；集合Γd表示位于空间上相同位置ud的冗余虚拟阵元编号集合，Γd＝{(m,n)|m+n-2＝ud}；Wd(ud)表示空间位置ud的正常冗余虚拟阵元个数；
Figure BDA0003075584210000041
为矩阵
Figure BDA0003075584210000042
中第{(n-1)×M+m,q}个元素；
经上述处理后，即可得到等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA0003075584210000043
进一步地，步骤4中利用ALM-ADMM算法求解矩阵填充模型，包括：
矩阵填充模型的增广拉格朗日函数可表示为
Figure BDA0003075584210000044
公式(9)中，R1,R2为拉格朗日乘子矩阵；μ1，μ2为惩罚因子；<·>表示两个矩阵的内积；||·||F为Frobenius范数；
上式(9)中含有多个未知变量，不易直接求解，因此采用ADMM算法将多变量优化问题分解为多个单变量优化问题，来交替估计最优变量
Figure BDA0003075584210000045
即通过固定其他变量不变的情况下求解其中一个变量，得到如下第k次迭代的优化问题：
Figure BDA0003075584210000046
公式(10)中，ρ1，ρ2为大于1的常数，能够保证每次迭代中
Figure BDA0003075584210000047
两个惩罚因子一直递增；
通过固定
Figure BDA0003075584210000048
不变，迭代求解
Figure BDA0003075584210000049
的子问题可以表述为
Figure BDA0003075584210000051
由于求解
Figure BDA0003075584210000052
的子问题不存在闭式解，于是采用加速近端梯度法来近似求解
Figure BDA0003075584210000053
令
Figure BDA0003075584210000054
其中，
Figure BDA0003075584210000055
引入近端变量W，定义如下函数：
Figure BDA0003075584210000056
公式(12)中，
Figure BDA0003075584210000057
Wj为第j次迭代时的近端变量，Lf是一个常数，保证对于所有W都有
Figure BDA0003075584210000058
即可将问题转化成求解
Figure BDA0003075584210000059
的最小值来近似得到
Figure BDA00030755842100000510
的最小值如下所示：
Figure BDA00030755842100000511
公式(13)中，
Figure BDA00030755842100000512
其中，j表示第j次迭代；公式(13)可以用软阈值函数来求解，
Figure BDA00030755842100000513
公式(14)中，soft(x,λ)＝sign(x)max{x|-λ,0}为软阈值算子，sign(x)为符号函数；近端变量Wj的迭代如下：
Figure BDA00030755842100000514
通过固定
Figure BDA00030755842100000515
不变，迭代求解
Figure BDA00030755842100000516
的子问题可以表述为
Figure BDA00030755842100000517
公式(16)可以转化为求解如下优化方程：
Figure BDA0003075584210000061
公式(17)中，
Figure BDA0003075584210000062
上述核范数最小化问题可以用SVT算法求解得
Figure BDA0003075584210000063
公式(18)中，Uk,Vk分别为Hk的左奇异向量和右奇异向量，Σk是由奇异值组成的对角矩阵，即Hk＝UkΣk(Vk)H，(·)H为共轭转置；
由于E是一个辅助变量矩阵用来补偿等效阵元空洞所对应缺失数据，它在索引集Ψ中元素为零，即
Figure BDA0003075584210000064
定义Ψ的补集为
Figure BDA0003075584210000065
因此只需更新迭代矩阵E在
Figure BDA0003075584210000066
中元素而保持在Ψ中元素为零；固定
Figure BDA0003075584210000067
不变，E的迭代求解问题可以表述为
Figure BDA0003075584210000068
则E的完整迭代解为
Figure BDA0003075584210000069
进一步地，构造冗余字典所使用的角度间隔为0.1°，ρ1＝ρ2＝1.15，
Figure BDA00030755842100000610
Figure BDA00030755842100000611
其中，||·||∞为无穷范数。
本发明的有益效果在于：
1)、本发明利用MIMO雷达虚拟阵元的冗余性、矩阵填充和稀疏表征技术，对失效阵元的缺失数据进行有效填充，解决了阵元失效下MIMO雷达目标DOA估计性能下降问题。
2)、本发明将MIMO雷达的阵元失效分为冗余虚拟阵元失效和非冗余虚拟阵元失效两种情况。本发明针对两种阵元失效情形分别提出相应DOA估计方法。
当冗余虚拟阵元失效时，利用MIMO雷达虚拟阵元的冗余性，对空间上相同位置的正常工作冗余虚拟阵元数据取均值来填充失效阵元的缺失数据，以降低阵元失效对目标DOA的估计的影响，算法处理复杂度低，实时性高。
当非冗余虚拟阵元失效时，针对利用虚拟阵列冗余度进行降维填充后的数据矩阵中仍存在整行缺失的数据问题，联合利用MIMO雷达虚拟阵列的采样数据矩阵的低秩和稀疏先验，不仅能挖掘矩阵行间或列间的相关性，而且还能充分利用行内或列内的相关性，对降维填充后的数据矩阵中整行缺失元素进行高精度重构，有效提高MIMO雷达在阵元失效时的DOA估计精度。
附图说明
图1为本发明的MIMO雷达DOA估计方法流程框图；
图2为冗余虚拟阵元失效场景示意图；
图3为非冗余虚拟阵元失效场景示意图；
图4为冗余虚拟阵元失效时DOA估计均方根误差随信噪比变化；
图5为冗余虚拟阵元失效时DOA估计均方根误差随快拍数变化；
图6为非冗余虚拟阵元失效时DOA估计均方根误差随信噪比变化；
图7为非冗余虚拟阵元失效时DOA估计均方根误差随快拍数变化。
具体实施方式
MIMO雷达虚拟阵列的采样数据矩阵不仅具有低秩性且还具有稀疏特性，本发明的方案联合利用低秩和稀疏先验，不仅能挖掘矩阵行之间或列之间元素的相关性，而且还能充分利用行内或列内元素的相关性，这为恢复阵元失效下MIMO雷达采样数据矩阵中的整行缺失元素提供了可能。通过对失效阵元的缺失数据恢复，能提高阵元失效下MIMO雷达的DOA估计性能。
下面结合附图和具体的实施例对本发明的技术方案作进一步地详细说明。
如图1所示，基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，包括如下步骤：
步骤1：MIMO雷达的发射阵列和接收阵列均为阵元间隔为半波长的均匀线阵。对失效阵元下的MIMO雷达接收信号进行匹配滤波，获得MN个虚拟阵元在Q个脉冲周期的输出信号矩阵
Figure BDA0003075584210000071
M为发射阵元数，N为接收阵元数。
输出信号矩阵
Figure BDA0003075584210000072
的各行元素可表示为
Figure BDA0003075584210000073
式中，m＝1,2,…,M，n＝1,2,…,N。ΩT为失效发射阵元位置集合，ΩR为失效接收阵元位置集合。01×Q为维度为1×Q的全零行矢量。
Figure BDA0003075584210000074
为矩阵
Figure BDA0003075584210000075
中第(n-1)×M+m行元素。Y(n-1)×M+m,:为阵元正常时MIMO雷达回波信号经匹配滤波后所形成的MN个虚拟阵元的输出数据矩阵Y中第(n-1)×M+m行元素。矩阵Y的表达式为Y＝(Ar⊙At)S+Z，其中，Ar⊙At表示虚拟阵列流形矩阵，⊙为Khatri-Rao积，Ar为接收阵列的流形矩阵，At为发射阵列的流形矩阵。
Figure BDA0003075584210000081
为目标系数矩阵。
Figure BDA0003075584210000082
为高斯白噪声矩阵。
假设单基地MIMO雷达系统具有M个发射阵元和N个接收阵元，发射和接收阵列均为阵元间隔为半波长的均匀线阵。各发射阵元和接收阵元的归一化坐标分别记为{uT,m＝m-1}和{uR,n＝n-1},m＝1,2,…,M,n＝1,2,…,N。假设远场存在K个非相干目标，它们的DOA分别为θ1,θ2,…,θK。M个发射阵元发射相互正交的脉冲相位编码信号，在第q个脉冲周期接收阵列接收到的回波信号为：
Figure BDA0003075584210000083
公式(1)中，Ar＝[ar(θ1)，ar(θ2)，…，ar(θK)]，其中，
Figure BDA0003075584210000085
为接收阵列导向矢量。At＝[at(θ1),at(θ2),…,at(θK)]，其中，
Figure BDA0003075584210000086
为发射阵列导向矢量。diag(sq)为由矢量sq构成的对角矩阵，其中，
Figure BDA0003075584210000087
βk表示第k个目标的反射系数，fdk表示第k个目标的多普勒频率，fs为脉冲重复频率。
Figure BDA0003075584210000088
为发射信号波形矩阵。
Figure BDA0003075584210000089
为第q个脉冲周期的噪声矩阵，其中，L为每个脉冲周期内的相位编码个数。Q个脉冲周期的回波信号经匹配滤波后的输出数据矩阵Y为：
Y＝(Ar⊙At)S+Z (2)
公式(2)中，
Figure BDA00030755842100000810
为MN个虚拟阵元在Q个脉冲周期内的输出信号。Ar⊙At表示虚拟阵列流形矩阵，其中，⊙为Khatri-Rao积。
Figure BDA00030755842100000811
为目标系数矩阵。
Figure BDA00030755842100000812
其中，zq为噪声nq经匹配滤波处理后输出的噪声矢量。
在实际应用中，受阵列元器件寿命和恶劣自然环境的影响，MIMO雷达的收发阵列会出现阵元失效，失效阵元不能提供任何有用目标信息。假设发射阵列和接收阵列失效阵元位置已知，或者可以利用现有算法进行诊断。定义ΩT和ΩR分别为失效发射和接收阵元位置集合。若第
Figure BDA00030755842100000813
个发射阵元失效和第
Figure BDA00030755842100000814
个接收阵元失效，则此时阵元失效下MIMO雷达虚拟阵列输出数据矩阵
Figure BDA0003075584210000091
的第
Figure BDA0003075584210000092
行和第
Figure BDA0003075584210000093
行元素全为零，即
Figure BDA0003075584210000094
公式(3)中，
Figure BDA0003075584210000095
为矩阵
Figure BDA0003075584210000096
中第(n-1)×M+m行元素。
步骤2：利用正常工作的冗余虚拟阵元对信号进行降维与失效阵元数据填充，将具有MN个虚拟阵元的虚拟阵列转换成具有M+N-1个有效虚拟阵元的等效阵列，该等效阵列输出数据矩阵为
Figure BDA0003075584210000097
Figure BDA0003075584210000098
为等效阵列输出数据矩阵，
Figure BDA00030755842100000916
为降维后的阵元间隔为半波长的线性阵列流形矩阵，
Figure BDA0003075584210000099
为目标系数矩阵，
Figure BDA00030755842100000910
为降维后的高斯白噪声矩阵，K为目标个数，Q为脉冲周期数。
具体操作为：剔除失效虚拟阵元输出的零元素数据，然后对空间上位置为ud的正常工作的冗余虚拟阵元数据取均值处理，即
Figure BDA00030755842100000911
式中，
Figure BDA00030755842100000912
为降维后空间上位置为ud的等效虚拟阵元在第q个脉冲周期内的输出信号。ud为等效阵列中第d个阵元的坐标位置，d＝0,1,…,M+N-2。集合Γd表示位于空间上相同位置ud的冗余虚拟阵元编号集合，Γd＝{(m,n)|m+n-2＝ud}。Wd(ud)表示空间位置ud的正常冗余虚拟阵元个数。
Figure BDA00030755842100000913
为矩阵
Figure BDA00030755842100000914
中第{(n-1)×M+m,q}个元素。经上述处理后，即可得到等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA00030755842100000915
MIMO雷达的阵元失效分为冗余虚拟阵元失效和非冗余虚拟阵元失效两种情况。MIMO雷达冗余虚拟阵元失效情形如图2所示，假设接收阵列第2个阵元失效。由图2可知，空间上同一位置处具有多个冗余虚拟阵元，即使出现失效虚拟阵元仍有正常冗余虚拟阵元能够输出数据。因此，可以利用正常工作的冗余虚拟阵元对信号进行降维，将具有MN个虚拟阵元的虚拟阵列转换成具有M+N-1个有效虚拟阵元的等效阵列，实现对失效阵元缺失数据的填补。
MN个虚拟阵元输出信号可以看成一个等效阵列的接收信号，则该等效阵列的阵元坐标可表示为
{ud＝uT,m+uR,n|m＝1,2,…,M；n＝1,2,…,N} (4)
定义集合Γd表示位于空间上相同位置ud的冗余虚拟阵元编号，如下所示
Γd＝{(m,n)|uT,m+uR,n＝ud} (5)
为了降低计算复杂度，WANG等在论文“A sparse representation scheme forangle estimation in monostatic MIMO radar”(Signal Processing,2014,104:258-263)中，利用一个降维矩阵对输出数据矩阵进行降维预处理，即将空间上同一位置处冗余虚拟阵元数据合并。由于失效阵元不能提供任何有用的目标信息，即对应失效阵元的虚拟阵元输出数据为零。因此，该方法把失效冗余虚拟阵元数据参与降维运算，影响等效阵列的正常输出数据。本发明方法在降维过程中首先剔除失效虚拟阵元的零元素数据，然后对空间上位置为ud的正常工作的冗余虚拟阵元数据取均值处理，即
Figure BDA0003075584210000101
公式(6)中，
Figure BDA0003075584210000102
为降维后空间上位置为ud的等效虚拟阵元在第q个脉冲周期内的输出信号。Wd(ud)表示空间位置ud的正常冗余虚拟阵元个数。
Figure BDA0003075584210000103
为矩阵
Figure BDA0003075584210000104
中第{(n-1)×M+m,q}个元素。
经过上述处理，不但能够利用虚拟阵列的冗余度对虚拟阵列输出信号进行降维，而且能对失效阵元的缺失数据进行填充，等效阵列的输出数据矩阵为
Figure BDA0003075584210000105
公式(7)中，
Figure BDA0003075584210000106
为等效阵列输出数据矩阵。
Figure BDA0003075584210000107
为降维后的线性阵列流形矩阵，其中，
Figure BDA0003075584210000108
Figure BDA0003075584210000109
为降维后的高斯白噪声矩阵。
步骤3：MIMO雷达的阵元失效可分为冗余虚拟阵元失效和非冗余虚拟阵元失效两种情况。若等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA00030755842100001010
中存在某些行元素全为零，即等效阵列中存在等效阵元空洞，则执行步骤4，此时MIMO雷达的阵元失效为非冗余虚拟阵元失效情形。否则执行步骤6，此时MIMO雷达的阵元失效为冗余虚拟阵元失效情形。
MIMO雷达非冗余虚拟阵元失效情况如图3所示，假设接收阵列第1个阵元失效。由图2可知，在空间位置{ud＝0}上只存在一个失效虚拟阵元即无正常冗余虚拟阵元，因此利用步骤2方法对失效阵元缺失数据进行填充时所形成的等效阵列中仍然存在等效阵元空洞。与冗余虚拟阵元失效不同，当非冗余虚拟阵元失效时，等效阵列中输出数据矩阵
Figure BDA0003075584210000111
中仍然某些行元素全为零。若等效阵列输出数据矩阵中存在某些行元素全为零，即等效阵列中存在等效阵元空洞，此时MIMO雷达的阵元失效为非冗余虚拟阵元失效情形，此时执行步骤4。否则转到步骤6执行，此时MIMO雷达的阵元失效为冗余虚拟阵元失效情形。
步骤4：为了能对等效阵元空洞的填充，建立如下具有联合低秩和稀疏先验约束的矩阵填充模型：
Figure BDA0003075584210000112
式中，
Figure BDA0003075584210000113
为待恢复矩阵。γ为正则化参数。||·||*为核范数，||·||1为l1范数。E为辅助变量矩阵来补偿矩阵
Figure BDA00030755842100001125
中缺失元素。Ψ为矩阵
Figure BDA0003075584210000114
中已知非零元素位置的集合。
Figure BDA0003075584210000115
表示投影到集合Ψ的投影算子。将目标可能入射角范围按等角度间隔划分得到P个角度网格
Figure BDA0003075584210000116
则P＞＞K，过完备字典Φ可以表示为
Figure BDA0003075584210000117
其中，
Figure BDA0003075584210000118
则
Figure BDA0003075584210000119
可以在一个过完备字典Φ下稀疏表示，即
Figure BDA00030755842100001110
其中，
Figure BDA00030755842100001111
与S具有相同的行支撑，即
Figure BDA00030755842100001112
是K行稀疏矩阵，
Figure BDA00030755842100001113
中的非零行元素对应冗余字典中目标的DOA。
根据公式(7)，在理想无噪声和无失效阵元情况下等效阵列输出的完整数据矩阵可以表示为
Figure BDA00030755842100001114
可以得到矩阵的秩
Figure BDA00030755842100001115
由于目标个数k＜min{M+N-1,Q}，显然矩阵
Figure BDA00030755842100001116
为低秩矩阵。由于来波信号在空域具有稀疏性，将目标可能入射角范围按等角度间隔划分得到P个角度网格
Figure BDA00030755842100001117
则P＞＞K，过完备字典Φ可以表示为
Figure BDA00030755842100001118
其中，
Figure BDA00030755842100001119
则
Figure BDA00030755842100001120
可以在一个过完备字典Φ下稀疏表示，即
Figure BDA00030755842100001121
其中，
Figure BDA00030755842100001122
与S具有相同的行支撑，即
Figure BDA00030755842100001123
是K行稀疏矩阵，
Figure BDA00030755842100001124
中的非零行元素对应冗余字典中目标的DOA。根据矩阵的低秩先验，MC方法可利用矩阵行间和列间的相关性来恢复矩阵中随机缺失的元素，而无法对整行缺失的元素进行恢复。如果在待重建矩阵的低秩约束优化问题中增加稀疏先验约束，从而能利用矩阵行内或列内的相关性来克服MC方法的不足。为了能对等效阵元空洞的填充，建立如下具有联合低秩和稀疏先验约束的矩阵填充模型，
Figure BDA0003075584210000121
公式(8)中，
Figure BDA0003075584210000122
为待恢复矩阵，γ为正则化参数，||·||*为核范数，||·||1为l1范数，E为辅助变量矩阵来补偿矩阵
Figure BDA0003075584210000123
中缺失元素，Ψ为矩阵
Figure BDA0003075584210000129
中已知非零元素位置的集合，
Figure BDA0003075584210000124
表示投影到集合Ψ的投影算子。
步骤5:利用ALM-ADMM(Augmented Lagrange Method-Alternating DirectionMethod of Multipliers，增广拉格朗日交替方向乘子法)算法，求解矩阵填充模型，得到完整的等效阵列输出数据矩阵
Figure BDA0003075584210000125
利用增广拉格朗日乘子法(ALM)并结合ADMM算法可以有效地求解公式(8)中的优化问题。公式(8)的增广拉格朗日函数可以表示为
Figure BDA0003075584210000126
公式(9)中，R1,R2为拉格朗日乘子矩阵。μ1，μ2为惩罚因子。<·>表示两个矩阵的内积。||·||F为Frobenius范数。
上式(9)中含有多个未知变量，不易直接求解，因此采用ADMM算法将多变量优化问题分解为多个单变量优化问题，来交替估计最优变量
Figure BDA0003075584210000127
即通过固定其他变量不变的情况下求解其中一个变量，得到如下第k次迭代的优化问题：
Figure BDA0003075584210000128
公式(10)中，ρ1，ρ2为大于1的常数，能够保证每次迭代中
Figure BDA0003075584210000131
两个惩罚因子一直递增。
通过固定
Figure BDA0003075584210000132
不变，迭代求解
Figure BDA0003075584210000133
的子问题可以表述为
Figure BDA0003075584210000134
由于求解
Figure BDA0003075584210000135
的子问题不存在闭式解，于是采用加速近端梯度法(AcceleratedProximal Gradient,APG)来近似求解
Figure BDA0003075584210000136
令
Figure BDA0003075584210000137
其中，
Figure BDA0003075584210000138
引入近端变量W，定义如下函数：
Figure BDA0003075584210000139
公式(12)中，
Figure BDA00030755842100001310
Lf是一个常数，Wj为第j次迭代时的近端变量，保证对于所有W都有
Figure BDA00030755842100001311
即可将问题转化成求解
Figure BDA00030755842100001312
的最小值来近似得到
Figure BDA00030755842100001313
的最小值如下所示：
Figure BDA00030755842100001314
公式(13)中，
Figure BDA00030755842100001315
其中，j表示第j次迭代。公式(13)可以用软阈值函数来求解，
Figure BDA00030755842100001316
公式(14)中，soft(x,λ)＝sign(x)max{|x|-λ,0}为软阈值算子，sign(x)为符号函数。近端变量Wj的迭代如下：
Figure BDA00030755842100001317
通过固定
Figure BDA00030755842100001318
不变，迭代求解
Figure BDA00030755842100001319
的子问题可以表述为
Figure BDA0003075584210000141
公式(16)可以转化为求解如下优化方程：
Figure BDA0003075584210000142
公式(17)中，
Figure BDA0003075584210000143
上述核范数最小化问题可以用SVT算法求解得
Figure BDA0003075584210000144
公式(18)中，Uk,Vk分别为Hk的左奇异向量和右奇异向量，Σk是由奇异值组成的对角矩阵，即Hk＝UkΣk(Vk)H，(·)H为共轭转置。
由于E是一个辅助变量矩阵用来补偿等效阵元空洞所对应缺失数据，它在索引集Ψ中元素为零，即
Figure BDA0003075584210000145
定义Ψ的补集为
Figure BDA0003075584210000146
因此只需更新迭代矩阵E在
Figure BDA0003075584210000147
中元素而保持在Ψ中元素为零。固定
Figure BDA0003075584210000148
不变，E的迭代求解问题可以表述为
Figure BDA0003075584210000149
则E的完整迭代解为
Figure BDA00030755842100001410
公式(8)所表示的优化模型的求解步骤总结如下：
Figure BDA0003075584210000151
步骤6：计算等效阵列输出数据矩阵的协方差矩阵。由于在理想情况下等效阵列协方差矩阵具有Toeplitz特性，因此可将等效阵列协方差矩阵中每一条对角线上的元素值替换为该对角线上元素的均值，从而增强对噪声的鲁棒性，最后利用root-MUSIC算法估计DOA。
本发明的技术效果可通过以下仿真实验说明。为了验证本发明方法在MIMO雷达阵元失效时的DOA估计性能，设计以下仿真实验，以阵元正常时利用RD-root-MUSIC算法进行DOA估计的性能作为参照，其中RD为论文“A sparse representation scheme for angleestimation in monostatic MIMO radar”(Signal Processing,2014,104:258-263)提出的降维(Reduced-Dimensional)方法，root-MUSIC为求根多重信号分类算法，则RD-root-MUSIC算法表示先用RD算法对MIMO雷达虚拟阵列输出数据进行降维，然后利用root-MUSIC估计DOA。同时在阵元失效下将本发明方法和RD-root-MUSIC，现有技术一(SUN Bin,WUChen xi,SHI Jun peng,et al.Direction-of-arrival estimation under array sensorfailures with ULA[J].IEEE Access,2020,8:26445-26456.)的方法以及现有技术二(陈金立,张廷潇,李家强.基于块Hankel矩阵填充的阵元故障MIMO雷达角度估计方法[P].申请号：2018115991132，2019-05-21)的方法进行对比。假设MIMO雷达发射阵元数为M＝5，接收阵元数为N＝15，各发射阵元发射相互正交的Hadamard编码信号，每个脉冲周期内的编码个数为256。3个目标DOA分别为θ1＝20°，θ2＝-15°，θ3＝0°。DOA估计均方根误差定义为
Figure BDA0003075584210000161
其中，
Figure BDA0003075584210000162
为第k个目标在第mt次蒙特卡罗实验中目标DOA的估计值，MT为蒙特卡罗次数，信噪比定义为
Figure BDA0003075584210000163
在本发明方法中，构造冗余字典所使用的角度间隔为0.1°，ρ1＝ρ2＝1.15，
Figure BDA0003075584210000164
其中，||·||∞为无穷范数。
(a)冗余虚拟阵元失效时DOA估计性能对比实验
假设发射阵列中第3个阵元失效，接收阵列中第2,5,9,11,14个阵元失效，快拍数为100，信噪比变化范围为-30dB～0dB，进行100次蒙特卡罗实验，DOA估计均方根误差随信噪比变化如图4所示。由图4可知，当阵元失效时RD-root-Music算法的目标角度估计误差明显大于阵元正常时的估计误差，表明MIMO雷达的传统降维预处理方法无法对失效阵元缺失数据进行有效填补。本发明方法DOA估计性能要优于现有技术一方法和现有技术二方法，低信噪比时与阵元正常时的DOA估计性能接近，而在高信噪比时精度高于阵元正常的DOA估计精度。
假设信噪比为-10dB，快拍数由50～350变化，其余参数与上述仿真实验一致，仿真结果如图5所示。由图5可知，随着快拍数的不断增加，所有方法的DOA估计性能都有所提升，在不同快拍数的情况下本发明方法始终能保持最优，且DOA估计精度高于阵元正常时的估计精度。
(b)非冗余虚拟阵元失效时DOA估计性能对比
假设MIMO雷达发射阵列第3个阵元失效，接收阵列第3,4,8,11,15个阵元失效，快拍数为100，仿真结果如图6所示。由图6可知，随着信噪比的增加，各种方法的DOA精度也随之提高，但本发明方法估计的DOA更加趋近于阵元正常时的DOA，并且DOA估计性能明显优于现有技术一方法和现有技术二方法。图7为目标角度估计均方根误差与快拍数的变化关系图，其中信噪比为-10dB，快拍数由50～350变化，其余参数与上述实验一致。图7中可以看出，本发明方法的目标角度估计性能在不同快拍数下始终保持最优。
以上所述，仅为本发明的具体实施方式，但本发明的保护范围并不局限于此，任何熟悉本技术领域的技术人员在本发明揭露的技术方法范围内，可轻易想到的替换或变换方法，都应该涵盖在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，包括如下步骤：
步骤1：对失效阵元下的MIMO雷达接收信号进行匹配滤波，获得MN个虚拟阵元在Q个脉冲周期的输出信号矩阵
Figure FDA00035238188000000117
M为发射阵元数，N为接收阵元数；
步骤2：利用正常工作的冗余虚拟阵元对信号进行降维与失效阵元数据填充，将具有MN个虚拟阵元的虚拟阵列转换成具有M+N-1个有效虚拟阵元的等效阵列，该等效阵列输出数据矩阵为
Figure FDA0003523818800000011
为等效阵列输出数据矩阵，
Figure FDA0003523818800000012
为降维后的阵元间隔为半波长的线性阵列流形矩阵，
Figure FDA0003523818800000013
为目标系数矩阵，
Figure FDA0003523818800000014
为降维后的高斯白噪声矩阵，K为目标个数，Q为脉冲周期数；
步骤3：若等效阵列输出数据矩阵
Figure FDA0003523818800000015
中存在某些行元素全为零，则执行步骤4；否则执行步骤6；
步骤4：建立具有联合低秩和稀疏先验约束的矩阵填充模型：
Figure FDA0003523818800000016
Figure FDA0003523818800000017
式中，
Figure FDA0003523818800000018
为待恢复矩阵；γ为正则化参数；||·||*为核范数，||·||1为l1范数；E为辅助变量矩阵来补偿矩阵
Figure FDA0003523818800000019
中缺失元素；Ψ为矩阵
Figure FDA00035238188000000110
中已知非零元素位置的集合；
Figure FDA00035238188000000111
表示投影到集合Ψ的投影算子；将目标可能入射角范围按等角度间隔划分得到P个角度网格
Figure FDA00035238188000000112
则P＞＞K，过完备字典
Figure FDA00035238188000000113
Figure FDA00035238188000000120
与S具有相同的行支撑，即
Figure FDA00035238188000000118
是K行稀疏矩阵，
Figure FDA00035238188000000119
中的非零行元素对应冗余字典中目标的DOA；
步骤5：利用ALM-ADMM算法，求解矩阵填充模型，得到完整的等效阵列输出数据矩阵
Figure FDA00035238188000000114
步骤6：计算等效阵列输出数据矩阵的协方差矩阵，将等效阵列协方差矩阵中每一条对角线上的元素值替换为该对角线上元素的均值，利用root-MUSIC算法估计DOA。
2.根据权利要求1所述的基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，步骤1中，输出信号矩阵
Figure FDA00035238188000000115
的各行元素表示为
Figure FDA00035238188000000116
式中，m＝1，2，…，M，n＝1，2，…，N；ΩT为失效发射阵元位置集合，ΩR为失效接收阵元位置集合；01×Q为维度为1×Q的全零行矢量；
Figure FDA0003523818800000021
为矩阵
Figure FDA0003523818800000022
中第(n-1)×M+m行元素；Y(n-1)×M+m，：为阵元正常时MIMO雷达回波信号经匹配滤波后所形成的MN个虚拟阵元的输出数据矩阵Y中第(n-1)×M+m行元素；矩阵Y的表达式为Y＝(Ar⊙At)S+Z，其中，Ar⊙At表示虚拟阵列流形矩阵，⊙为Khatri-Rao积，Ar为接收阵列的流形矩阵，At为发射阵列的流形矩阵；
Figure FDA0003523818800000023
为目标系数矩阵；
Figure FDA0003523818800000024
为高斯白噪声矩阵。
3.根据权利要求2所述的基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，步骤2包括：
剔除失效虚拟阵元输出的零元素数据，然后对空间上位置为ud的正常工作的冗余虚拟阵元数据取均值处理，即
Figure FDA0003523818800000025
式中，
Figure FDA0003523818800000026
为降维后空间上位置为ud的等效虚拟阵元在第q个脉冲周期内的输出信号；ud为等效阵列中第d个阵元的坐标位置，d＝0，1，…，M+N-2；集合Γd表示位于空间上相同位置ud的冗余虚拟阵元编号集合，Γd＝{(m，n)|m+n-2＝ud}；wd(ud)表示空间位置ud的正常冗余虚拟阵元个数；
Figure FDA0003523818800000027
为矩阵
Figure FDA0003523818800000028
中第{(n-1)×M+m，q}个元素；
经上述处理后，即可得到等效阵列输出数据矩阵
Figure FDA0003523818800000029
4.根据权利要求1至3中任一项所述的基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，步骤4中利用ALM-ADMM算法求解矩阵填充模型，包括：
矩阵填充模型的增广拉格朗日函数表示为
Figure FDA00035238188000000210
公式(9)中，R1，R2为拉格朗日乘子矩阵；μ1，μ2为惩罚因子；<·>表示两个矩阵的内积；||·||F为Frobenius范数；
上式(9)中含有多个未知变量，不易直接求解，因此采用ADMM算法将多变量优化问题分解为多个单变量优化问题，来交替估计最优变量
Figure FDA00035238188000000211
E，R1，R2，即通过固定其他变量不变的情况下求解其中一个变量，得到如下第k次迭代的优化问题：
Figure FDA0003523818800000031
公式(10)中，ρ1，ρ2为大于1的常数，能够保证每次迭代中
Figure FDA0003523818800000032
两个惩罚因子一直递增；
通过固定
Figure FDA0003523818800000033
E，R1，R2不变，迭代求解
Figure FDA0003523818800000034
的子问题表述为
Figure FDA0003523818800000035
由于求解
Figure FDA0003523818800000036
的子问题不存在闭式解，于是采用加速近端梯度法来近似求解
Figure FDA0003523818800000037
令
Figure FDA0003523818800000038
其中，
Figure FDA0003523818800000039
引入近端变量W，定义如下函数：
Figure FDA00035238188000000310
公式(12)中，
Figure FDA00035238188000000311
Wj为第j次迭代时的近端变量，Lf是一个常数，保证对于所有W都有
Figure FDA00035238188000000312
即将问题转化成求解
Figure FDA00035238188000000313
的最小值来近似得到
Figure FDA00035238188000000314
的最小值如下所示：
Figure FDA00035238188000000315
公式(13)中，
Figure FDA00035238188000000316
其中，j表示第j次迭代；公式(13)用软阈值函数来求解，
Figure FDA00035238188000000317
公式(14)中，soft(x，λ)＝sign(x)max{|x|-λ，0}为软阈值算子；sign(x)为符号函数；近端变量wj的迭代如下：
Figure FDA0003523818800000041
通过固定
Figure FDA0003523818800000042
E，R1，R2不变，迭代求解
Figure FDA0003523818800000043
的子问题表述为
Figure FDA0003523818800000044
公式(16)转化为求解如下优化方程：
Figure FDA0003523818800000045
公式(17)中，
Figure FDA0003523818800000046
上述核范数最小化问题用SVT算法求解得
Figure FDA0003523818800000047
公式(18)中，Uk，Vk分别为Hk的左奇异向量和右奇异向量，Σk是由奇异值组成的对角矩阵，即Hk＝UkΣk(Vk)H，(·)H为共轭转置；
由于E是一个辅助变量矩阵用来补偿等效阵元空洞所对应缺失数据，它在索引集Ψ中元素为零，即
Figure FDA0003523818800000048
定义Ψ的补集为
Figure FDA0003523818800000049
因此只需更新迭代矩阵E在
Figure FDA00035238188000000410
中元素而保持在Ψ中元素为零；固定
Figure FDA00035238188000000411
R1，R2不变，E的迭代求解问题表述为
Figure FDA00035238188000000412
则E的完整迭代解为
Figure FDA00035238188000000413
5.根据权利要求4所述的基于采样数据矩阵重构的MIMO雷达DOA估计方法，其特征在于，构造冗余字典所使用的角度间隔为0.1°，ρ1＝ρ2＝1.15，
Figure FDA0003523818800000051
其中，||·||∞为无穷范数。
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