CN117254994B

CN117254994B - 基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法

Info

Publication number: CN117254994B
Application number: CN202311540914.2A
Authority: CN
Inventors: 张琬悦; 黄钲; 宋云超
Original assignee: Nanjing University of Posts and Telecommunications
Current assignee: Nanjing University of Posts and Telecommunications
Priority date: 2023-11-20
Filing date: 2023-11-20
Publication date: 2024-03-15
Anticipated expiration: 2043-11-20
Also published as: CN117254994A

Abstract

本发明提供了一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，应用于毫米波大规模MIMO系统。在毫米波大规模MIMO系统中，利用毫米波信道在角域的稀疏性，基于压缩感知理论将信道估计问题描述为具有固定秩约束的稀疏信号恢复问题，该信道估计方法不仅考虑了信道的稀疏特性，还考虑了信道的低秩特性，从而显著降低了导频开销。此外，由于固定秩约束和范数的非光滑性，提出了采用定秩矩阵流形上近端梯度算法解决所提问题的高度非凸性，仿真结果验证了该算法相对于传统的信道估计算法的优越性。相较于现有技术，该信道估计方法能够得到较高的信道估计精确度。

Description

基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法

技术领域

本发明属于毫米波大规模MIMO系统信道估计领域，具体涉及一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法。

背景技术

由于毫米波具有丰富的带宽资源，毫米波通信受到了广泛的关注，成为未来无线通信系统中的重要技术。因为毫米波信号频率高，路径损耗大，可以利用 MIMO天线阵列来实现定向波束对准和数据传输来克服。而大规模MIMO是当前和未来无线通信系统的关键使能技术，因为它具有许多空间自由度，提供很高的频谱效率和鲁棒性。毫米波频谱的两个突出优势是可用的大的带宽和与传统的超高频/微波波段相比的微小波长，因此能够在合理的物理形式因素下在通信链路端实现数十个甚至数百个天线元件。这表明大规模MIMO和毫米波技术应该结合起来，以提供更高的数据速率，更高的频谱效率，从而降低延迟。

信道状态信息(Channel State Information ，CSI) 可以通过信道估计得到，CSI是在发射机和接收机上设计预编码和组合程序所必需的。由于大规模MIMO系统的天线数量大大增加，传统的MIMO信道估计方法可能不适用，因此需要新的信道估计方法。由于毫米波信道的稀疏性，可以利用压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论有效地估计毫米波信道。CS理论指出，如果信号在某个变换域中是稀疏的，可以用一个不相关的矩阵将信号映射到某个空间，然后通过重构算法恢复原始信号。由于CS理论的这一特点，CS被广泛应用于数据采集、信号处理等领域。采用CS技术可以利用信道的内部稀疏性，降低导频成本、提高信道估计精度，这是CS理论在通信领域的重要应用。

目前，基于CS的MIMO信道估计算法主要有最小二乘（Least Squares，LS）的算法、正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）的算法等。同时也在探索如何利用信道的稀疏性来设计更有效的CS算法，例如，可以利用角度信息来设计基于稀疏阵列的CS算法，或者利用时间/频率稀疏性来设计基于时频域的CS算法。研究者们还进行了大量的实验来评估基于CS的MIMO信道估计算法的性能，并将其与传统的估计算法进行比较。实验结果表明，基于CS的算法在一定条件下能够实现更高的精度和更低的计算复杂度并且降低导频。

有鉴于此，确有必要提出一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，以解决上述问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，能够使用比传统信道估计算法更短的导频长度，得到更高的信道估计精度。

为实现上述目的，本发明提供了一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，应用于毫米波大规模MIMO系统，在基站和用户均部署一个均匀平面阵列, 配备M 个天线的基站服务一个配备N个天线的用户，基站发送长度为的导频训练信号，所述稀疏信道估计方法包括以下步骤：

步骤一、建立信道模型

其中，为基站到用户的信道矩阵，/>为导频矩阵，/>为用户接收信号矩阵，/>为信道加性高斯噪声，/>为复向量空间；将/>表示为，其中， />和/>分别表示基站和用户处的过完备码本, />为信道/>的稀疏角域表示；

步骤二、将信道估计问题转化为稀疏信号恢复问题，基于压缩感知理论的信道估计问题建模为：

，

其中，,/>, />为信道/>的最大秩，即为信道/>的路径数，/>是正则项系数，/>表示Kronecker积；

步骤三、基于定秩矩阵流形上近端梯度算法，将信道估计问题转化为定秩矩阵流形上的优化问题：

；

步骤四、处理流形约束，保证下降方向位于切空间，带约束的近端梯度子问题为：

；

其中，，/>，；

步骤五、使用拉格朗日乘子与切空间线性等式约束联系起来，带约束的近端梯度子问题的拉格朗日函数为：

，

其中，为拉格朗日乘子矩阵；

步骤六、初始化迭代总次数，当前迭代次数，基于定秩矩阵流形上近端梯度算法迭代更新如下：

其中，为/>的近端算子，。由于对于任意步长/>,并不一定位于流形/>上，所以进行了一个回缩操作使其回到流形/>上，即：。

作为本发明的进一步改进，步骤一具体包括：用户在第个时隙接收到的信号表示为：/>

其中，表示在第/>个时隙传输的信号，/>表示均值为零，方差为/>的加性高斯白噪声，则/>个时刻接收到的信号为：

其中，,/>。

作为本发明的进一步改进，步骤三具体包括：基于近端梯度算法，建立问题，/>为可微的凸函数,/>为不可微的凸函数,将/> 在/>处进行泰勒二阶展开，由于/>为常数，令/>,则问题变为

，

该问题公式也被称作近端算子，记为：， />是/>梯度下降的形式；近端算子根据/>不同，有不同的闭式解，无约束最小化问题的近端梯度算法迭代步骤为/>，其中/>是步长。

作为本发明的进一步改进，步骤三具体包括：基于定秩矩阵流形，建立大小为且秩为/>的实矩阵集合/>，即定秩矩阵流形是的一个嵌入式子流形，将/>奇异值分解：/>， />，，/>，

其中，为Stiefel流形，/>为/>的奇异值，在/>处的切空间为。

作为本发明的进一步改进，步骤三具体包括：基于定秩流形上的近端梯度算法，将在/>处做泰勒二阶展开为：

，

其中，为/>在点/>的二阶导数，在欧几里得条件下求解的近端梯度算法生成的迭代如下：

，

其中，是一个可以视为步长的参数，/>的梯度为Lipschitz连续且具有Lipschitz常数/>，且满足/>，在/>时为/>的上界，其中/>为/>的Lipschitz常数。

作为本发明的进一步改进，步骤五具体包括：满足：

，

其中，，/>，/>和/>为任意矩阵；/>满足切空间方向，切空间下降方向/>的公式为：

。

本发明的有益效果是：本发明采用定秩流形上的近端梯度算法可以显著降低导频长度，得到较高的信道估计精确度。

附图说明

图1为本发明算法与其他信道估计算法对于不同导频长度的性能对比。

图2为本发明算法与其他信道估计算法在不同信噪比环境下的性能对比。

图3为本发明算法与其他信道估计算法对于不同路径数的性能对比。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案和优点更加清楚，下面结合附图和具体实施例对本发明进行详细描述。

在此，需要说明的是，为了避免因不必要的细节而模糊了本发明，在附图中仅仅示出了与本发明的方案密切相关的结构和/或处理步骤，而省略了与本发明关系不大的其他细节。

另外，还需要说明的是，术语“包括”、“包含”或者其任何其他变体意在涵盖非排他性的包含，从而使得包括一系列要素的过程、方法、物品或者设备不仅包括那些要素，而且还包括没有明确列出的其他要素，或者是还包括为这种过程、方法、物品或者设备所固有的要素。

如图1至图3所示，本发明揭示了一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，本发明相对于传统的信道估计算法采用定秩流形上的近端梯度算法，可以显著降低导频长度，得到较高的信道估计精确度。

在本实施例中，考虑一个大规模MIMO下行通信系统，基站和用户均部署了一个均匀平面阵列（UPA）, 假设配备M 根天线的基站服务一个配备N根天线的用户，基站发送长度为的导频训练序列。设/>表示从基站到用户的信道。那么用户在第/>个时隙接收到的信号/>表示为

其中，表示在第/>个时隙传输的信号，/>表示均值为零，方差为/>的加性高斯白噪声，则/>个时刻接收到的信号为

其中，,/>。

采用窄带几何信道模型对BS到UE的信道进行表征为

其中，为BS到UE信道的路径数，/>为第/>条路径的复路径增益。/>和分别表示接收端和发送端的阵列响应矢量，其中/>表示方位（俯仰）到达角，/>表示方位（俯仰）离开角。一般来说，UPA的响应矢量/>可以写成

其中，表示Kronecker积，/>，/>，/>表示天线间距，/>为信号波长，且

其中，和/>表示UPA的二维尺寸。

由于毫米波信道的稀疏特性，路径的数量相对于/>的维数较小，因此我们可以将表示为

其中，和/>分别表示BS和UE处的过完备码本, />为信道/>的稀疏角域表示。

将信道估计问题转化为稀疏信号恢复问题。此时，基于压缩感知理论的信道估计问题可以建模为

然后可以转化为

(1)

其中，, />,/>为信道/>的最大秩，在这里假设为信道/>的路径数，/>是正则项系数。问题（1）由于包含非光滑的/>范数，难以直接求解，所以我们提出一种基于定秩矩阵流形的近端梯度算法进行求解。

进一步地，基于近端梯度算法，若考虑问题。其中，/>为可微的凸函数， />为不可微的凸函数。首先，将/> 在/>处进行泰勒二阶展开，由于为常数，令/>，则

将代入，则问题变为

(2)

其中，。可以看到/>其实就是/>梯度下降的形式，问题（2）也被称作近端算子，记为：。近端算子根据/>不同，有不同的闭式解，例如/>，那么/>。所以无约束最小化问题的近端梯度算法迭代步骤为/>，其中/>是步长，取常数或者由直线搜索确定。

对于，由于问题（2）是一个凸问题，其解的一阶必要条件为

。

在本实施例中，基于定秩矩阵流形，建立大小为且秩为/>的实矩阵集合，即定秩矩阵流形是/>的一个嵌入式子流形。可以注意到，对于给定的秩/>，/>的维数随/>线性增长，而与嵌入空间的维数相反，/>增长得更快，为/>。因此，秩小的大矩阵可以用少量的数进行编码。为了在数值算法中利用这一关键特性，必须恰当地表示/>。一个适当的选择是将/>奇异值分解：

， />，/>，/>

其中，为Stiefel流形，/>为/>的奇异值。这里使用标准正交矩阵只是为了方便，与/>的几何无关。在/>处的切空间为/>。

设是定义在流形上的函数。/>在/>的黎曼梯度/>满足：/>,其中/>是/>沿方向/>的方向导数。实际上，黎曼梯度/>可以将在/>中的欧氏梯度/>进行正交投影到/>处的切空间得到。使用所谓的正交投影算子/>，可以这样写

将使用缩回操作将切线空间中的增量带回流形。

进一步地，基于定秩流形上的近端梯度算法，首先将在/>处做泰勒二阶展开为/>，

其中，为/>在点/>的二阶导数。那么在欧几里得条件下求解的近端梯度算法生成的迭代如下：

其中，是一个可以视为步长的参数。因为/>的梯度为Lipschitz连续且具有Lipschitz常数/>，且满足/>。所以二次模型在/>时为/>的上界，其中/>为/>的Lipschitz常数。

对于下面定秩矩阵流形上的问题

（3）

为了处理流形约束，需要保证下降方向位于切空间。这引起了下面的带约束的近端梯度子问题：

（4）

由于对于任意步长,/>并不一定位于流形/>上，所以进行了一个缩回操作使其回到/>，即：/>。根据/>的定义，我们有

这意味着问题（4）可以重写为

(5)

因此，我们不需要计算黎曼梯度。相反，只需要欧几里得梯度/>。

为了将问题（5）变为无约束优化问题，使用拉格朗日乘子与切空间线性等式约束联系起来，则问题（5）的拉格朗日函数为

（6）

式（6）的KKT条件为

(7)

(8)

式（7）意味着可以由下式计算

（9）

其中，。将式（9）代入到式（8）中，可以看到/>满足：

（10）

所以求解问题（5）就转化为求解式（10）这个等式问题。

对于求解式（10），观察到只要，其中/>，/>和/>为任意矩阵，那么式（10）就成立。下面假设/>

由于近端算子的性质，则

其中，为未知矩阵。那么/>就可以表示为

设为令/>为零时的解。/>的每一项为/>，/>的每一项为/>，则对应/>的值分别为/>和/>。则/>可以按照下式解得

由于中的可以看作是将/>中的法空间分量抵消掉，并且在进行近端操作处理时减去的/>的数值较小，所以求出来的可以满足为切空间方向，此时我们可以通过下式近似求解切空间下降方向/>

。

进一步地，基于定秩矩阵流形上近端梯度算法，将信道估计问题转化为定秩矩阵流形上的优化问题：

令，/>， />，那么信道估计问题（1）采用FRM-PG算法迭代更新如下：

其中，为拉格朗日乘子，。

在本实施例中，仿真结果验证了该算法相对于传统的信道估计算法的优越性。CE精度根据归一化均方误差(NMSE)进行评估，即,其中/>，/>分别表示实际信道值及其估计值。基站和用户均部署了一个均匀平面阵列,假设配备64根天线的基站服务配备16根天线的单个用户。

综上所述，本发明不仅考虑了信道的稀疏特性，还考虑了信道的低秩特性，从而显著降低了导频开销，采用基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法相对于传统的信道估计方法得到较高的信道估计精确度。

以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的精神和范围。

Claims

1.一种基于定秩矩阵流形上近端梯度算法的稀疏信道估计方法，应用于毫米波大规模MIMO系统，在基站和用户均部署一个均匀平面阵列,配备M个天线的基站服务一个配备N个天线的用户，基站发送长度为T的导频训练信号，其特征在于，所述稀疏信道估计方法包括以下步骤：

步骤一、建立信道模型Y＝GX+N,

其中，为基站到用户的信道，/>为导频矩阵，/>为用户接收信号矩阵，/>为信道加性高斯噪声，/>为复向量空间；将G表示为其中，/>M_G≥M和/>N_G≥N分别表示基站和用户处的过完备码本,/>为信道G的稀疏角域表示；

rank(∑)＝r

然后转化为：

s.t.rank(∑)＝r，

其中，r为信道G的最大秩，即为信道G的路径数，μ是正则项系数，/>表示Kronecker积；

步骤三、基于近端梯度算法，建立问题g(x)为可微的凸函数,h(x)为不可微的凸函数,将g(x)在x_k处进行泰勒二阶展开，由于/>为常数，令则问题变为：

，该问题公式也被称作近端算子，记为：是g(x)梯度下降的形式；近端算子根据h(x)不同，有不同的闭式解，无约束最小化问题的近端梯度算法迭代步骤为/>其中t是步长；

基于定秩矩阵流形，建立大小为m×n且秩为r的实矩阵集合即定秩矩阵流形是/>的一个嵌入式子流形，将X奇异值分解：X＝USV^H，U∈St(m,r)，/>V∈St(n,r)，

其中，为Stiefel流形，σ₁≥…≥σ_r≥0为X的奇异值，在/>处的切空间为/>

基于定秩流形上的近端梯度算法，将g(X)在X_k处做泰勒二阶展开为：

其中，为g(X)在点X_k的二阶导数，在欧几里得条件下求解/>的近端梯度算法生成的迭代如下:

其中，t是步长的参数，t>0，g(X)的梯度为Lipschitz连续且具有Lipschitz常数L，且满足在/>时为g(X)+h(X)的上界，其中L为/>的Lipschitz常数；

其中，根据gradg|_X定义，

然后重写为：

步骤五、将步骤四中近端梯度子问题变为无约束优化问题，使用拉格朗日乘子П与切空间线性等式约束联系起来，带约束的近端梯度子问题的拉格朗日函数为：

其中，∏为拉格朗日乘子矩阵，Z＝prox_thB(∏)-X_k，prox_th(·)为h(x)的近端算子，

步骤六、基于定秩矩阵流形上近端梯度算法，将信道估计问题转化为定秩矩阵流形上的优化问题：

令其中，S为对角线上为X的r个奇异值的对角矩阵，h(X)＝μ‖vec(X)‖₁，基于定秩矩阵流形上近端梯度算法迭代更新如下：

Z_k+1＝prox_th(B(∏_k+1))-X_k

其中，对于任意步长α>0,X_k+αZ_k并不一定位于流形上，所以进行了一个回缩操作使其回到流形/>上，即：/>

2.根据权利要求1所述的稀疏信道估计方法，其特征在于，步骤一具体包括：用户在第t个时隙接收到的信号y(t)表示为：y(t)＝Gx(t)+n(t)，其中，表示在第t个时隙传输的信号，/>表示均值为零，方差为σ²的加性高斯白噪声，则T个时刻接收到的信号为：

其中，

3.根据权利要求1所述的稀疏信道估计方法，其特征在于，步骤五具体包括：Π满足：

其中，P，J和W为任意矩阵；Z＝prox_thB(∏)-X_k满足切空间方向，切空间下降方向Z的公式为：