JP5331872B2 - ハイポイドギアの設計方法およびハイポイドギア - Google Patents

Description

本発明は、ハイポイドギアの設計方法に関する。

ハイポイドギアの設計方法が下記非特許文献１および２に記載されている。ここでは、設計条件として、軸角、オフセット、歯数、リングギア半径を与えて得られる９個の変数をもつ７個の式を解くために、ピニオンのねじれ角と歯筋曲率半径の式を与えることにより、８元連立方程式を立て解（互いに接する円錐諸元）を求めている。このために、ピッチ円錐角Γgwなどの円錐諸元は、歯筋曲率半径に依存することになり、任意に円錐諸元を決定できない。

また、従来の歯車理論においては、歯筋とは「歯面とピッチ面との交線」と定義されている。しかしながら、従来理論においては、全ての種類の歯車について、共通のピッチ面の幾何学的定義は存在しない。したがって、円筒歯車からハイポイドギアまでの共通の歯筋および歯筋かみ合い率の定義も存在しない。特に、円筒歯車とかさ歯車以外では歯筋とは何かが明確ではない。

従来理論では、全ての歯車の歯筋かみ合い率ｍf は、次の式により定義されている。
ｍf ＝Ｆ tanψ0／ｐ
ここで、ｐ：円ピッチ、Ｆ：有効歯幅、ψ0 ：ねじれ角

表１は、グリーソン式のハイポイドギアの計算例を示したものである。この例に示すように、グリーソン式の設計方法では、駆動側歯面と被駆動側歯面の歯筋かみ合い率が等しくなる。これは、グリーソン式の歯筋かみ合い率の計算では、ねじれ角ψ0 が、ψ0 ＝（ψpw＋ψgw）／２（図９参照）の仮想曲がり歯かさ歯車として計算されているためと予想される。

一方、本出願人は、下記特許文献１において、歯車対の歯面を統一的に記述する方法について提案した。すなわち、最も広く用いられている平行な軸を有する歯車対から、二つの歯車の軸が交わらず、平行でもない位置（ねじれの位置）にある場合にまで統一的に適応できる歯面の記述方法が示された。

特許第３４８４８７９号明細書

アーネスト ウィルドハーバー(Ernest Wildhaber)，ハイポイドギアの基本関係式(Basic Relationship of Hypoid Gears)，「アメリカン マシーニスト(AMERICAN MACHINIST)」，アメリカ，１９４６年２月１４日，１０８−１１１ページ アーネスト ウィルドハーバー(Ernest Wildhaber)，ハイポイドギアの基本関係式II(Basic Relationship of Hypoid Gears II)，「アメリカン マシーニスト(AMERICAN MACHINIST)」，アメリカ，１９４６年２月２８日，１３１−１３４ページ

歯筋曲率半径に依存せず、円錐諸元を決定し、設計の自由度を高めたいという要望がある。

また、ハイポイドギアにおいて、従来の計算方法に基づくかみ合い率とかみ合い誤差は、必ずしも相関があるとは限らない。従来のかみ合い率のうち、歯筋かみ合い率については駆動側と被駆動側が同じ値となっており、その理論的根拠に疑問が持たれる。

本発明は、上記特許文献１に記載された、統一的な歯面の記述方法を用いて、設計自由度の高いハイポイドギアの設計方法を提供する。

また、本発明は、上記特許文献１に記載された、統一的な歯面の記述方法を用いて、ハイポイドギアにも適用できる設計基準回転体（ピッチ面）と、歯筋と、歯筋かみ合い率を新たに定義し、この新たに定義された歯筋かみ合い率を設計指標とするハイポイドギアの設計方法を提供する。

本発明の一態様によるハイポイドギアの設計方法は、ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ0 に基づき第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に共通する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、これらから基本座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定め、この座標系を用いて、諸元の計算を行う。特に、第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点を設計基準点Ｐw として、諸元の算出を行う。

静止空間に任意の点（設計基準点）Ｐw を与えると、この点Ｐw における線速度Ｖ1w、Ｖ2wの作る平面（ピッチ平面）Ｓt と相対速度Ｖrsw とから、点Ｐw で接する６個の円錐諸元が点Ｐw の座標（ｕcw、ｖcw、ｚcw)で表される。ここで円錐諸元とは、第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2w、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgw、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwをいう。これら円錐諸元の内、３個を与えれば、点Ｐw が決定し、したがって残りの３個も決定する。すなわち、本発明では、互いに接する円錐諸元は歯筋曲率とは無関係に点Ｐw の位置だけで決定される。

したがって、設計目的関数として所定の性能を与え、この目的関数を満足する円錐諸元を高い自由度の下で選び出すことが可能となる。設計目的関数としては、例えば歯面のすべり速度、歯の強度、かみ合い率などが挙げられる。円錐諸元、例えばピッチ円錐角Γgwを変更したときの設計目的関数に関する性能の算出を行い、ここから設計要求を満足するべく、円錐諸元を変化させて適切な値を選択する。

設計目的関数として、かみ合い率を採った場合の本発明のハイポイドギアの設計方法の態様は、一つの歯車のピッチ円錐角Γgcone を与え、かみ合い率を算出し、このかみ合い率が所定の値になるように、ピッチ円錐角Γgcone を変化させて、ピッチ円錐角Γgwを決定し、これに基づき諸元計算を行う。前述のように従来の方法により算出されたかみ合い率は、理論的根拠をもっていない。この態様においては、新たに定義された歯筋およびこの歯筋に係るかみ合い率を算出して、ピッチ円錐角の決定を行う。歯筋を、接触点周辺の歯面をその接平面で近似し、接触点の軌跡を接触領域の交線（ピッチ母線Ｌpw）に一致させたとき、この接触点の軌跡を各歯車と共に回転する座標系に変換して得られるピッチハイポロイド上の曲線と定義する。この新定義による歯筋に基づきハイポイドギアの本来のかみ合い率が算出され、かみ合い率を設計の指標として用いることができる。本発明は、上記の新しく定義した歯筋に関わるピッチ円錐角の定義に特徴を持っている。

常時二つの歯車が２歯以上で噛み合うようにするために、歯筋かみ合い率を２．０以上とすることが好ましい。

ピッチ円錐角Γgwを瞬間軸の傾き角Γs とすると、駆動側、被駆動側のかみ合い率をほぼ等しくすることができる。したがって、ピッチ円錐角は、瞬間軸の傾き角の近傍で、設定することが好ましい。また、要求に応じて、駆動側、被駆動側のいずれかのかみ合い率を大きくすることも好ましい。手順としては、まずピッチ円錐角を瞬間軸の傾き角とし、かみ合い率の算出を行い、ここから、かみ合い率を見つつピッチ円錐角を変化させて適切な値を選択する。ピッチ円錐角の変化の幅は、瞬間軸の傾き角Γs に対し、±５°の範囲で値を選ぶことが好適である。これは、この範囲を外れると、駆動側、被駆動側のいずれかのかみ合い率が大きく低下するためである。

具体的には、以下の工程に従って設計を行う。
（ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
（ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
（ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方と、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方との３個の変数を与える工程と、
（ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
（ｅ）第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
（ｆ）第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
（ｇ）設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程

また、他の設計は、以下の工程に従って設計を行う。
（ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
（ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
（ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方の３個の変数を与える工程と、
（ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
（ｅ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw を通り、瞬間軸Ｓに平行なピッチ母線Ｌpwを算出する工程と、
（ｆ）第２歯車の内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを与える工程と、
（ｇ）第２歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
（ｈ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwDとの交点Ｐ0Dおよび交点ＰODのギア軸回りの半径Ｒ20Dを算出する工程と、
（ｉ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwDのなす平面である接触領域ＳwDの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0D と、接触法線ｇwDの接触領域ＳwD上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Dと、接触法線ｇwD上の１ピッチＰgwD とを算出する工程と、
（ｊ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgconeを与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD を算出する工程と、
（ｋ）第２歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
（ｌ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwCとの交点Ｐ0Cおよび交点Ｐ0Cのギア軸回りの半径Ｒ20C を算出する工程と、
（ｍ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwCのなす平面である接触領域ＳwCの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0C と、接触法線ｇwCの接触領域ＳwC上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Cと、接触法線ｇwC上の１ピッチＰgwC とを算出する工程と、
（ｎ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgconeを与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を算出する工程と、
（ｏ）駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD と、被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を比較し、これらが所定の値であるかを判定する工程と、
（ｐ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値であるとき、このときの仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を、上記工程（ｃ）または（ｄ）で得られた第２歯車ピッチ円錐角Γgwと置き換える工程と、
（ｑ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値でないとき、仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgconeを変更して工程（ｇ）から再度実行する工程と、
（ｒ）前記工程（ｃ）において与えられた第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方と、前記工程（ｐ）において置き換えられた第２歯車ピッチ円錐角Γgwとを基に、設計基準点Ｐw と前記工程（ｃ）において与えられなかった第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wの他方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwの他方と、第１歯車のピッチ円錐角γpwを再決定する工程と、
（ｓ）前記工程（ｃ）において与えられた諸元と、前記工程（ｒ）において前記再決定された諸元と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程

更に他の設計は、以下の工程に沿って行われる。
（ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
（ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
（ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方の３個の変数を与える工程と、
（ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
（ｅ）設計基準点Ｐw を通り、瞬間軸Ｓに平行なピッチ母線Ｌpwを算出する工程と、
（ｆ）第２歯車の内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを与える工程と、
（ｇ）第２歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
（ｈ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwDとの交点Ｐ0Dおよび交点ＰODのギア軸回りの半径Ｒ20Dを算出する工程と、
（ｉ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwDのなす平面である接触領域ＳwDの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0D と、接触法線ｇwDの接触領域ＳwD上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Dと、接触法線ｇwD上の１ピッチＰgwD とを算出する工程と、
（ｊ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgconeを与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD を算出する工程と、
（ｋ）第２歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
（ｌ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwCとの交点Ｐ0Cおよび交点Ｐ0Cのギア軸回りの半径Ｒ20C を算出する工程と、
（ｍ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwCのなす平面である接触領域ＳwCの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0C と、接触法線ｇwCの接触領域ＳwC上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Cと、接触法線ｇwC上の１ピッチＰgwC とを算出する工程と、
（ｎ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgconeを与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を算出する工程と、
（ｏ）駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD と、被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を比較し、これらが所定の値であるかを判定する工程と、
（ｐ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値でないとき、仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を変更して工程（ｇ）から再度実行する工程と、
（ｑ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値であるとき、このときの仮の第２歯車のピッチ円錐角Γgcone を円錐角とする仮想円錐を規定する工程と、
（ｒ）前記決定されたピッチ円錐角Γgcone を基に仮の第１歯車の仮想円錐のピッチ円錐角γpcone を算出する工程と、
（ｓ）設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）および（ｄ）において決定された第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wと、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwと、前記工程（ｑ）および（ｒ）において規定された仮想円錐の円錐角Γgcone 、γpcone と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程

本発明の他の態様によるハイポイドギアの設計方法は、一つの歯車のピッチ円錐角を瞬間軸の傾き角に等しくおき、諸元計算を行うものである。ピッチ円錐角を瞬間軸の傾き角に等しくすると、駆動側歯面と被駆動側歯面のかみ合い率がほぼ等しくなる。したがって、簡易的に、つまりかみ合い率を詳細に検討することなく、ピッチ円錐角を瞬間軸の傾き角とする手法が提供される。

具体的には、以下の工程に従って設計を行う。
（ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程
（ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs および第２歯車の回転軸に対する瞬間軸の傾き角Γs を算出する工程
（ｃ）瞬間軸の傾き角Γs を第２歯車ピッチ円錐角Γgwに決定する工程
（ｄ）決定された第２歯車ピッチ円錐角Γgwに基づきハイポイドギアの諸元を算出する工程

本発明の更に他の態様によるハイポイドギアの設計方法は、設計基準点Ｐw を、第１歯車および第２歯車のピッチ円錐の接点として与えるのではなく、第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、ねじれ角ψrwと、設計基準点の位相角βw に基づき定め、諸元の算出を行うものである。

具体的には、以下の工程に従って設計を行う。
（ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程
（ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程
（ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、ねじれ角ψrwと、設計基準点Ｐw の位相角βw とを与え、設計基準点を決める工程
（ｄ）第１歯車と第２歯車とが設計基準点Ｐw を共有する条件から、設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の基準円半径とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程
（ｅ）第１歯車および第２歯車の基準円錐角γpw、Γgwのいずれか一方を与える工程
（ｆ）前記工程（ｅ）において与えられなかった他方の基準円錐角を、軸角Σと前記工程（ｅ）において与えられた基準円錐角に基づき算出する工程
（ｇ）第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程
（ｈ）第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程
（ｉ）前記工程（ｃ）および（ｄ）で決定された設計基準点Ｐw 、基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wおよびねじれ角ψrwと、前記工程（ｅ）および（ｆ）で決定された基準円錐角γpw、Γgwと、前記工程（ｇ）および（ｈ）で与えられた接触法線ｇwC、ｇwDと、に基づきハイポイドギアの諸元を算出する工程

上述の二つの態様の設計工程は、所定のコンピュータプログラムにより記述することにより、コンピュータに実行させることができる。コンピュータには、ギア諸元や変数を受け付ける手段が接続され、また設計結果、または中間段階での演算結果を提供する手段が接続される。

ハイポイドギアの外観を示す図である。 ギアの断面形状を示す図である。 ピニオンの断面形状を示す図である。 各座標系の座標軸、歯車の歯面、歯形曲線および接触点の軌跡の概観を示す図である。 変数決定方法を説明するために設計基準点Ｐ0 と接触点軌跡ｇ0 とをそれぞれ座標系Ｃ2'，Ｏq2，Ｃ1'およびＯq１によって示す図である。 ギア軸Ｉ、IIと瞬間軸Ｓの関係を説明するための図である。 点Ｃs における相対速度Ｖs を示す図である。 平面ＳH ，Ｓs ，Ｓp ，Ｓn と共に基準点Ｐ0 、相対速度Ｖrs0 、および接触点の軌跡ｇ0 を示す図である。 点Ｐにおける相対速度Ｖrsと接触点の軌跡ｇ0 の関係を示す図である。 基準点Ｐ0 における相対速度Ｖrs0 と接触点の軌跡ｇ0 とをそれぞれ座標系Ｃs に寄り示す図である。 ハイポイドギアの座標系Ｃ1 ，Ｃ2 ，Ｃs ，ピッチ母線Ｌpwを示す図である。 相対速度Ｖrsw の接円筒を示す図である。 設計基準点Ｐw におけるピッチ母線Ｌpw、接触点の軌跡ｇw と接触領域Ｓw の関係を示す図である。 円筒歯車、ねじ歯車の場合の、接触領域を座標系Ｃs ，Ｃ1 ，Ｃ2 を用いて示す図である。 かさ歯車、ハイポイドギアの場合の、接触領域を座標系Ｃs ，Ｃ1 ，Ｃ2 を用いて示す図である。 接触点Ｐw と点Ｏ1nw ，Ｏ2nw の関係を示す図である。 平面Ｓtw，Ｓnw，Ｇ2wにおける、接触点Ｐw 、接触点の軌跡ｇw を示す図である。 従来の設計方法により試作されたハイポイドギアのかみ合い伝達誤差を示す図である。 仮想ピッチ円錐の説明図である。 ギア形状の定義を示す図である。 ギア形状の定義を示す図である。 アデンダムを延長して歯先円錐角を変更した状態を示す図である。 本実施形態の設計方法により試作されたハイポイドギアのかみ合い伝達誤差を示す図である。 ハイポイドギアの設計方法を支援するシステムの概略構成図である。 従来の手法で設計された等高歯のハイポイドギアのギア比とピッチ円錐角の関係を示す図である。 従来の手法で設計された勾配歯のハイポイドギアのギア比とピッチ円錐角の関係を示す図である。 等高歯の歯筋曲線とカッター半径の関係を示す図である。 勾配歯の歯筋曲線とカッター半径の関係を示す図である。

以下、本発明の実施形態を、図面に従って説明する。
１．ハイポイドギアの座標系
１．１ 座標系Ｃ1 ，Ｃ2 ，Ｃq1，Ｃq2
以下において、ハイポイドギアの小径歯車をピニオン、大径歯車をギアと呼ぶ。また、以下では、大径歯車であるギアの歯面、歯筋等に基づき説明する場合があるが、基本的にはピニオンとギアは等価であるので、ピニオンでも同様に取り扱うことができる。図１Ａはハイポイドギアの外観を示す斜視図である。ハイポイドギアは、ピニオン１０の回転軸（ピニオン軸）Ｉとギア１４の回転軸（ギア軸）IIが平行でなくまた交わりもしない歯車対である。ピニオン軸とギア軸の共通垂線ｖc が存在し、共通垂線ｖc 上の２軸の距離（オフセット）をＥ、共通垂線ｖc に直交する平面に投射したピニオン軸とギア軸の角度（軸角）をΣ、ギア比をｉ0 とする。図１Ｂは、ギア１４の軸IIを含む面による断面図である。後述する設計基準点Ｐw を通るピッチ円錐の母線ｐｃg と軸IIがなす角がピッチ円錐角Γgwとして示される。また、設計基準点Ｐw と軸IIの距離がピッチ円半径Ｒ2wとして示される。図１Ｃは、ピニオン１０の軸Ｉを含む面による断面図である。設計基準点Ｐw を通るピッチ円錐の母線ｐｃp と軸Ｉがなす角がピッチ円錐角γpwとして示される。また、設計基準点Ｐw と軸Ｉの距離が基準円半径Ｒ1wとして示される。

図２に座標系Ｃ1 ，Ｃ2 を示す。ピニオン軸Ｉとギア軸IIの角速度ω1i，ω2iの外積ω2i×ω1iの方向を正する方向を共通垂線ｖc にもたせる。この共通垂線ｖc とピニオン軸Ｉ、ギア軸IIの交点をＣ1 ，Ｃ2 とし、共通垂線ｖc に関してＣ2 がＣ1 の上にある場合を扱うものとする。ただし、Ｃ2 がＣ1 の下にある場合も全く同様である。Ｃ1 とＣ2 の距離がオフセットＥである。ギア１４の座標系Ｃ2 を次のように定義する。座標系Ｃ2 （ｕ2c，ｖ2c，ｚ2c）はＣ2 を原点とし、ギア軸II上ω20 の方向にｚ2c軸をとり、共通垂線ｖc 上にこれと同方向にｖ2c軸、両軸に垂直にｕ2c軸を右手系となるようにとる。ピニオン１０についても全く同様にして座標系Ｃ1 （ｕ1c，ｖ1c，ｚ1c）をとることができる。

図３に、歯車ＩおよびIIにおける、座標系Ｃ1，Ｃ2，Ｃq1，Ｃq2の関係を示す。歯車IIの座標系Ｃ2 ，Ｃq2を次のように定義する。座標系Ｃ2（ｕ2c，ｖ2c，ｚ2c）はＣ2 を原点とし、II軸上ω20の方向にｚ2c軸をとり、共通垂線ｖc 上にこれと同方向にｖ2c軸、両軸に垂直にｕ2c軸を右手系となるようにとる。座標系Ｃq2（ｑ2ｃ，ｖq2ｃ，ｚ2c）は、原点Ｃ2 およびｚ2c軸を共有し、ｚ2c軸を回転軸として平面ｖ2c＝０が作用面Ｇ20に平行になるように座標系Ｃ2 をχ20（図示方向が正）だけ回転させた座標系であり、ｕ2c軸はｑ2c軸に、ｖ2c軸はｖq2c 軸になっている。

作用面Ｇ20は座標系Ｃq2を用いれば、ｖq2c ＝−Ｒb2で表わされ、座標系Ｃ2に対しては、平面ｖ2c＝０に対する傾き角がχ20であり、かつ、基礎円筒（半径Ｒb2）に接する平面となっている。

座標系Ｃ2 とＣq2との関係は、ｚ2c軸は共通であるから、
ｕ2c＝ｑ2c cosχ20−ｖq2c sinχ20
ｖ2c＝ｑ2c sin χ20＋ｖq2c cosχ20
となる。作用面Ｇ2 はｖq2c ＝−Ｒb20であるから、基礎円半径Ｒb20を用いて表わせば、次式（１）、すなわち、
ｕ2c＝ｑ2c cosχ20＋Ｒb20 sinχ20
ｖ2c＝ｑ2c sinχ20−Ｒb20 cosχ20
ｚ2c＝ｚ2c ・・・（１）
なる諸式が成立する。

共通法線ｇ0 は作用面Ｇ20上にあり、そのｑ2c軸成分が正となる方向を向くものと定義すれば、そのｑ2c軸からの傾き角をψb20（図示方向が正）で表わすことができる。そこで、共通法線ｇ0 の座標系Ｃ2 における傾き角は、有向共通垂線ｖcに対する作用面Ｇ20の傾き角φ20（χ20の余角）とψb2によってｇ0 （φ2 ，ψb2）の形で表わすものと定義する。
集中荷重の法線力ＦN2の方向は共通法線はｎの方向を正とし、ＦN2のｑ2c軸方向成分、ｚ2c軸方向の成分をそれぞれ、Ｆq2，Ｆz2とする。

歯車Ｉについても全く同様にして座標系Ｃ1（ｕ1c，ｖ1c，ｚ1c）、Ｃq1（ｑ1c，ｖq1c ，ｚ1c)、作用面Ｇ10、基礎円半径Ｒb10、共通法線ｇ0 の傾き角ｇ0 （φ10，ψb10）を定義することができる。座標系Ｃ1 とＣq1との関係も、ｚ1c軸は共通であるから全く同様にして、次式（２）、すなわち、
ｕ1c＝ｑ1c cosχ10＋Ｒb10 sinχ10
ｖ1c＝ｑ1c sinχ10−Ｒb10 cosχ10
ｚ1c＝ｚ1c ・・・（２）
なる諸式で表される。
座標系Ｃ1 とＣ2 との関係は、次式（３）、すなわち、
ｕ1c＝−ｕ2c cosΣ−ｚ2c sinΣ
ｖ1c＝ｖ2c＋Ｅ
ｚ1c＝ｕ2c sinΣ−ｚ2c cosΣ ・・・（３）
なる諸式で表される。

１．２ 瞬間軸（相対回転軸）Ｓ
図４は、瞬間軸と座標系Ｃs との関係を示している。２軸Ｉ（ω10），II（ω20）の平面ＳH への正射影をそれぞれＩs （ω10”），IIs （ω20”）とし、共通垂線ｖc の正方向から負方向に向かって平面ＳH を見たとき、Ｉs のIIs に対する角をΩとすれば、ω20×ω10の定義により、Ｉs はIIs に対し、０≦Ω≦π（反時計方向が正）の領域にある。平面ＳH 上で瞬間軸Ｓ（ωr ）のIIs に対する角をΩs （反時計方向が正）とすれば、瞬間軸の定義（ωr ＝ω10−ω20）により、ω10 ”，ω20 ”の平面ＳH 上の瞬間軸に直交する成分が等しくなければならないから、Ωs は次式（４）、すなわち、
sinΩs／sin(Ωs −Ω)＝ω10／ω20
または、
sinΓs／sin(Σ−Γs)＝ω10／ω20 ・・・（４）
となる。ここで、Σ ＝π−Ω（軸角）、Γs ＝π−Ωs である。ただし、いずれも図示の方向に正である。つまり、角度Γs は、平面ＳH 上における、ギア軸IIs に対する瞬間軸Ｓの傾きであり、以降Γs を瞬間軸の傾き角と記す。

共通垂線ｖc 上のＣs の位置は次のようにして求められる。図５は、点Ｃs の相対速度Ｖs （ベクトル）を示している。仮定により共通垂線ｖc に関してＣ1 がＣ2 の下にあり、かつ、ω10 ≧ω20 であるから、Ｃs はＣ2 の下にある。点Ｃs における歯車Ｉ，IIの周速度をＶs1，Ｖs2（いずれもベクトル）とすれば、相対速度Ｖs ＝Ｖs1−Ｖs2は瞬間軸Ｓ上にあるから、Ｖs1，Ｖs2（平面ＳH 上にある）の瞬間軸に直交する成分が常に等しくなければならない。したがって、点Ｃs における相対速度Ｖs ＝Ｖs1−Ｖs2は、瞬間軸Ｓの位置（Γs ）によって、平面ＳH 上で同図に示すようになり、Ｃ2 とＣs との距離Ｃ2 とＣs は、次式（５）、すなわち、
Ｃ2 Ｃs ＝Ｅ tanΓs／｛ tan(Σ−Γs)＋tanΓs ｝ ・・・（５）
で求められる。この式は０≦Γs ≦πの範囲で成り立つが、Ｃs の位置はΓs と共に変化し、０≦Γs ≦π／２のときはＣ1 より上、π／２≦Γs ≦πのときはＣ1 より下となっている。

１．３ 座標系Ｃs
前記式（４），（５）によって瞬間軸Ｓを静止空間に決定することができるから、座標系Ｃs を図４に示すように定義する。座標系Ｃs （ｕc ，ｖc ，ｚc ）は、Ｃs を原点とし、有向共通垂線ｖc をｖc 軸、瞬間軸Ｓをｚc 軸（ωr の方向が正）、そして、両軸に垂直に右手系となるようにとられたｕc 軸によって構成される。対象歯車対は定角速度比の運動を伝達することが仮定されているから、座標系Ｃs は静止空間に固定された座標系となり、先に定義された座標系Ｃ1 ，Ｃ2 と共に、定角速度比の運動伝達を行う歯車対を扱う場合における基本座標系である。

１．４ 座標系Ｃ1 ，Ｃ2 ，Ｃs の関係
点Ｃ1 ，Ｃ2 を座標系Ｃs を用いて、Ｃ1 （０，ｖcs1 ，０），Ｃ2 （０，ｖcs2 ，０）と表せば、ｖcs1 ，ｖcs2 は、次式（６）のようになる。すなわち、
ｖcs2 ＝Ｃs Ｃ2 ＝Ｅ tanΓs／｛ tan(Σ−Γs)＋tanΓs ｝
ｖcs1 ＝Ｃs Ｃ1 ＝ｖcs2 −Ｅ
＝−Ｅ tan(Σ−Γs)／｛ tan(Σ−Γs)＋tanΓs ｝ ・・・（６）
となる。

ｖc 軸に関してＣ2 は常にＣs の上にあることに注意すれば、ｖcs1 ，ｖcs2 およびΣ，Γs とによって、座標系Ｃs と、座標系Ｃ1 ，Ｃ2 の関係は次式（７），（８）のようになる。すなわち、
ｕ1c＝ｕc cos(Σ−Γs)＋ｚc sin(Σ−Γs)
ｖ1c＝ｖc −ｖcs1
ｚ1c＝−ｕc sin(Σ−Γs)＋ｚc cos(Σ−Γs) ・・・（７）
ｕ2c＝−ｕc cosΓs＋ｚc sinΓs
ｖ2c＝ｖc −ｖcs2
ｚ2c＝−ｕc sinΓs −ｚc cosΓs ・・・（８）
となる。座標系Ｃs と、座標系Ｃ1 ，Ｃ2 の関係は、図６に概念的に示されている。

２．座標系Ｃs による接触点の軌跡ｇ0 の定義
２．１ 相対速度と接触点の軌跡ｇ0 との関係
図７は、与えられた接触点の軌跡ｇ0 とそのｇ0 上の任意点Ｐにおける相対速度Ｖrs（ベクトル）との関係を示している。なお、図中の「’」，「”」は、点またはベクトルの対象平面への正射影であることを示している。歯面が接触点の軌跡ｇ0 上の任意点Ｐで接触しているとき、瞬間軸Ｓ上の任意点からのＰの位置ベクトルをｒとすれば、点Ｐにおける相対速度Ｖrsは次式（９）で表わすことができる。すなわち、
Ｖrs＝ωr ×ｒ＋Ｖs ・・・（９）
ここで、
ωr ＝ω10 −ω20
ωr ＝ω20 sinΣ／sin(Σ−Γs ) ＝ω10 sinΣ／ sinΓs
Ｖs ＝ω10 ×〔Ｃ1 Ｃs 〕−ω20 ×〔Ｃ2 Ｃs 〕
Ｖs ＝ω20 Ｅ sinΓs ＝ω10 Ｅsin(Σ−Γs )
である。ただし、〔Ｃ1 Ｃs 〕はＣ1 を始点、Ｃs を終点とするベクトルを表し、〔Ｃ2 Ｃs 〕はＣ2 を始点、Ｃs を終点とするベクトルを表している。

相対速度Ｖrsは瞬間軸Ｓを軸とする円筒面の接平面上にあって、この接平面上におけるＶs に対する傾き角ψは次式（１０）で表わすことができる。すなわち、
cosψ＝｜Ｖs ｜／｜Ｖrs｜ ・・・（１０）
となる。接触点の軌跡ｇ0 は接触点における歯面の共通法線でもあるから、ｇ0 は相対速度Ｖrsと点Ｐにおいて直交している。すなわち、
Ｖrs・ｇ0 ＝０
である。したがって、ｇ0 は点ＰにおけるＶrsに垂直な平面Ｎ上の有向直線になっている。平面Ｎと平面ＳH との交線をＨn とするとき、Ｈn は一般には瞬間軸Ｓに交わる直線となり、ｇ0 は交点が無限遠であることを含めれば必ずＨn を通ることになる。ｇ0 と平面ＳH との交点をＰ0 とすれば、Ｐ0 は交線Ｈn 上にあって、ｇ0 およびＰ0 は歯車対の種類に応じて次のようになる。

(1) 円筒歯車またはかさ歯車の場合（Σ＝０，πまたはＥ＝０）
Ｖs ＝０であるから、Ｖrsは単に相対回転軸Ｓ周りの周速度を意味する。したがって、平面ＮはＳ軸を含むから、Ｈn はＳに一致し、接触点の軌跡ｇ0 は必ず瞬間軸Ｓを通ることになる。すなわち、点Ｐ0 は瞬間軸Ｓ上にあるのである。したがって、これらの歯車対では、接触点の軌跡ｇ0 は相対回転軸上の任意点Ｐ0 を通る任意の有向直線となっている。

(2) 上記以外の歯車の場合（Σ≠０，πまたはＥ≠０）
ハイポイドギア、ねじ歯車またはウォ−ムギアの場合であり、接触点Ｐをある位置に選ぶと、その点Ｐに固有の相対速度Ｖrs，平面Ｎ，直線Ｈn が決定される。接触点の軌跡ｇ0 はＨn 上の任意点Ｐ0 を通る直線になっていて、一般には瞬間軸Ｓを通らない。点Ｐは任意であるから、ｇ0 は平面ＳH との交点Ｐ0 における相対速度Ｖrs0 に垂直な平面上の点Ｐ0 を通る任意の有向直線でもある。すなわち、前記式（９）は次のように表すことができるのである。すなわち、
Ｖrs＝Ｖrs0 ＋ωr ×〔Ｐ0 Ｐ〕・ｇ0
ただし、〔Ｐ0 Ｐ〕は、Ｐ0 を始点、Ｐを終点とするベクトルを表している。したがって、Ｖrs0 ・ｇ0 ＝０ならば、Ｖrs・ｇ0 ＝０となり、ｇ0 上の任意点Ｐは接触点である。

２．２ 基準点の選択
２軸の位置関係と角速度とが与えられた歯車対において、接触点の軌跡ｇ0 が同じ歯車対は同じ歯形曲線をもち、そのどの部分を有効部分とするかの差しかない。したがって、歯車対の設計においては接触点の軌跡ｇ0 を２軸によってきまる静止空間のどこに配置するかが重要であって、設計基準点は接触点の軌跡ｇ0を静止空間に定義するための点にすぎないから、接触点の軌跡ｇ0 上のどこに選んでも本質的な差はない。任意の接触点の軌跡ｇ0 を与えたとき、ｇ0 は交点が無限遠であることも含めて必ず平面ＳH と交わる。そこで、平面ＳH （円筒歯車、かさ歯車の場合は瞬間軸）上にあるＰ0 を基準点として接触点の軌跡ｇ0 を求める。

図８は、基準点Ｐ0 および接触点の軌跡ｇ0 を座標系Ｃs を用いて示したものである。座標系Ｃs によって表示された基準点をＰ0 （ｕc0，ｖc0，ｚc0）とすれば、各座標値は、
ｕc0＝Ｏs Ｐ0
ｖc0＝０
ｚc0＝Ｃs Ｏs
と表わすことができる。ただし、円筒歯車、かさ歯車の場合はｕc0＝０である。また、点Ｏs は基準点Ｐ0 を通り相対回転軸Ｓに垂直な平面Ｓs と瞬間軸Ｓとの交点である。

２．３ 接触点の軌跡ｇ0 の傾き角の定義
点Ｐ0 における相対速度Ｖrs0 は前記式（９）を用いて、
Ｖrs0 ＝ωr ×〔ｕc0〕＋Ｖs
となる。ここで、〔ｕc0〕は、Ｏs を始点、Ｐ0 を終点とするベクトルを表している。点Ｐ0 において瞬間軸Ｓに平行で、かつ、平面ＳH に垂直な平面（ｕc ＝ｕc0）をＳp とすれば、Ｖrs0 は平面Ｓp 上にあって、Ｖrs0 の平面ＳH （ｖc ＝０）からの傾き角ψ0 は、前記式（１０）を用いて、
tanψ0 ＝ωr ｕc0／Ｖs
＝ｕc0 sinΣ／｛Ｅsin(Σ−Γs ) sinΓs｝ ・・・（１１）
で表される。ただし、ψ0 はｕc0≧０のとき正とし、図８にその方向が示されている。

点Ｐ0 を通ってＶrs0 に垂直な平面をＳn とすれば、平面Ｓn は平面Ｓs に対してψ0 だけ傾いた平面になっていて、接触点の軌跡ｇ0 は点Ｐ0 を通り平面Ｓn 上にある任意の有向直線になっている。したがって、ｇ0 の座標系Ｃs 上における傾き角は、平面Ｓn の平面Ｓs （またはｖc 軸）からの傾き角ψ0 と、平面Ｓn 上における平面Ｓp からの傾き角φn0とによって定義することができ、これをｇ0 （ψ0 ，φn0） と表わすことにする。φn0は図８に示す方向を正としている。

２．４ 座標系Ｃs によるｇ0 の定義
図６は、座標系Ｃs と平面ＳH ，Ｓs ，Ｓp ，Ｓn およびＰ0 ，ｇ0 （ψ0 ，φn0）との関係を示したものである。ここで定義された平面ＳH は従来の理論では、円筒歯車の場合のピッチ平面、かさ歯車の場合の軸平面に対応している。平面Ｓs は正面であり、平面Ｓp は円筒歯車の軸平面、かさ歯車のピッチ平面に対応している。また、平面Ｓn は一般の歯車に拡張された歯直角平面であり、φn0，ψ0 もまた一般の歯車に拡張された歯直角圧力角、ねじれ角と考えることができる。これらの平面によって、一般の歯車対の圧力角やねじれ角が、接触点の共通法線（この場合はｇ0 ）の各平面に対する傾き角として静止空間に対して統一的に定義されたことになる。ただし、ここで定義された平面Ｓn ，φn0，ψ0 は従来理論のかさ歯車の場合に一致し、他の歯車の場合のそれとは異なる。これは従来理論が、個々の歯車のピッチ平面を基準とし、それは歯車の種類によって静止空間に対して変化するからである。従来の理論では、基準となるピッチ回転体（円筒あるいは円錐）を決めれば、このピッチ回転体に任意の曲面を歯面として固定し、相手歯面を創成すればよく、与える歯面（接触点の軌跡とその法線）に製作上の制限以外に条件はなかったから、むしろＰ0 の選択（ピッチ回転体の議論）に重点があり、ｇ0 （すなわちｇ0 を実現する歯面）をどう設計するかの議論は歯面が存在するかどうか以外には殆どなされなかった。

軸角ΣとオフセットＥおよび角速度の方向とが与えられた歯車対では、接触点の軌跡ｇ0 は一般には設計基準点Ｐ0 （ｕc0，ｖc0，ｚc0）と傾き角ｇ0 （ψ0 ，φn0）との５個の独立変数によって座標系Ｃs で定義できる。本実施形態においては、設計の条件として角速度比ｉ0 およびｖc0＝０が与えられるから、接触点の軌跡ｇ0 の独立変数は３個になる。すなわち、円筒歯車の場合には、ｚc0が実質的な意味を持たないから、（ｚc0），φn0，ψ0 の２個、かさ歯車の場合には、ｚc0，φn0，ψ0 の３個、ハイポイドギアやウォームギア，ねじ歯車の場合には、ｚc0，φn0，ψ0 （またはｕc0）の３個の独立変数の選択によって静止空間に決定することになる。点Ｐ0 を与えたとき、ハイポイドギアやウォ−ムギアの場合には、ψ0 は同時に決定され、φn0だけが自由に選べる変数であるが、円筒歯車やかさ歯車の場合には、Ｐ0 を瞬間軸上に選ぶから、ψ0 もφn0も自由に選べる変数になっている。

３．ピッチハイパボロイド
３．１ 相対速度の接円筒
図９はハイポイドギアの任意の接触点Ｐw とその接触法線ｇw 、ピッチ平面Ｓtwと相対速度Ｖrsw 、相対速度Ｖrsw に垂直な平面Ｓnwとを基本座標系Ｃ1 ，Ｃ2 ，Ｃs と共に示したものである。図１０は図９を座標系Ｃs のｚc 軸の正方向から描いたものである。任意点Ｐw 及びその相対速度Ｖrsw を円筒座標Ｐw(ｒw,βw,ｚcw：Ｃs)で示している。Ｖrsw はｚc 軸を軸とし、任意点Ｐw を通る半径ｒw の円筒の接平面Ｓpw上で母線Ｌpwからψrwだけ傾いている。

座標系Ｃs をｚc 軸周りにβw だけ回転させて座標系Ｃrs(ｕrc,ｖrc,ｚc：Ｃrs) とすれば、接平面Ｓpwはｕrc＝ｒw で表され、ｕrc＝ｒw とＶrsw の傾き角ψrwとの間に次の関係式が成立する。
ｕrc＝ｒw ＝Ｖs tanψrw／ωr
＝Ｅ tanψrw×sin(Σ−Γs）sinΓs／sinΣ ・・・（１２）
ここで Ｖs ：瞬間軸方向のすべり速度
ωr ：瞬間軸周りの相対角速度
式（１２）は任意点Ｐw(ｒw,βw,ｚcw：Ｃs)のｒw とその相対速度Ｖrsw の傾き角ψrwとの関係を示している。すなわち、ψrwを与えれば、ｒw が決定し、βw 、ｚcwの任意の値に対して成立するから、ψrw 一定のＰw は半径ｒw の円筒を描く。これを相対速度の接円筒と呼ぶ。

３．２ ピッチ母線と接触領域
ｒw （又はψrw）とβw を与えれば、平面ｚc ＝ｚcw上にＰw が決定し、ｚcwの任意の値に対して成立するから、ｒw （又はψrw）とβw が同じＰw は半径ｒw の円筒の母線Ｌpwを描くことになる。この円筒母線をピッチ母線と呼ぶ。このピッチ母線Ｌpw上の任意点Ｐw における相対速度Ｖrsw に直交する平面Ｓnw上のＰw を通る任意の有向直線は、接触の条件を満たすから接触法線になる。

図１１はピッチ母線Ｌpw、有向直線ｇw 、接触領域Ｓw 、接触線ｗ及び被駆動側Ｃの接触領域Ｓwc（破線）の関係を概念的に描いたものである。Ｐw を通る平面Ｓnw上の任意の有向直線ｇw を法線とする平面を歯面Ｗとする。ピッチ母線Ｌpw上の任意点Ｐw における相対速度Ｖrsw はすべて平行、直交する平面Ｓnwもまたすべて平行になっているから、歯面Ｗの法線のうちでピッチ母線Ｌpwを通るものはすべて接触法線となり、ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇw のなす平面が接触領域Ｓw 、このピッチ母線Ｌpwの歯面Ｗへの正射影が接触線ｗとなる。さらに、この関係はＰw を通る平面Ｓnw上の別の法線ｇwcとその接触領域Ｓwcについても同様であるから、ピッチ母線Ｌpwは平面Ｓnw上の異なる接触法線をもつ二つの歯面（駆動側Ｄ、被駆動側Ｃ）の接触領域の交線になっている。

３．３ ピッチハイパボロイド
ピッチ母線Ｌpwは、軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ0 、相対速度Ｖrsw の傾き角ψrw、座標系Ｃs から座標系Ｃrsへの回転角βw によって静止空間に一意的に決定する。ピッチ母線Ｌpwを二つの歯車軸周りにそれぞれ回転させて得られる一対のハイパボロイドはＬpwに沿って線接触し、Ｌpwは接触領域の交線でもあるから、駆動側Ｄも被駆動側ＣもＬpwに沿って接触することになり、歯車対の外形形状を決める回転体に適している。本発明ではこれを設計基準回転体とし、ピッチハイパボロイドと呼ぶことにする。従来のハイパボロイドは瞬間軸Ｓを二つの歯車軸周りにそれぞれ回転した回転体であるが、本発明のピッチハイパボロイドは瞬間軸からの距離がｒw の平行線による回転体である。

円筒歯車やかさ歯車の瞬間軸Ｓはこのピッチ母線Ｌpwの特別な場合（式（１２）でΣ→０又はＥ→０でＶs →０）で、Ｌpwはψrw、βw に無関係に瞬間軸Ｓまたはｚc （rw→０）に一致する。そして瞬間軸Ｓは円筒歯車やかさ歯車の接触領域の交線になっていて、その各歯車軸周りの回転体が円筒歯車のピッチ円筒、かさ歯車のピッチ円錐である。

以上の理由からピッチ母線Ｌpwの回転体のピッチハイパボロイドが“接触領域の交線の回転体”という意味で、式（１２）による共通の定義を持ち、すべての歯車対に共通の歯車対の外形形状を決める設計基準回転体であると言える。

３．４ 歯筋（歯筋の新定義）
接触点周辺の歯面をその接平面で近似し、接触点の軌跡を接触領域の交線（ピッチ母線Lpw）に一致させたとき、この接触点の軌跡を各歯車と共に回転する座標系に変換して得られるピッチハイパボロイド上の曲線（すべての歯車に共通）を本発明では歯筋(曲線)と呼ぶ。換言すれば歯面上の任意の歯形曲線のうち接触点の軌跡が接触領域の交線に一致する歯形曲線を歯筋と呼ぶ。ピッチ面（円錐又は円筒）と歯面の交線として定義されていた従来の歯筋とは円筒歯車やかさ歯車で一致し、それ以外では異なったものになる。現在のハイポイドギアの場合には、選択されたピッチ円錐と歯面との交線を歯筋と呼んでいる。

３．５ かみ合い率
全かみ合い率ｍを歯車対の回転と共に有効接触領域（又は有効歯面）上を移動する接触線の最大角変位量と角ピッチの比と定義する。ギアの角変位で表せば次の様になる。
ｍ＝（θ2max−θ2min）／（２θ2p）
ここで、θ2max,θ2min：接触線の最大、最小ギア角変位
２θ2p：ギア角ピッチ

接触線の位置を回転角の関数で表すことは特別な場合（インボリュ−トヘリコイド）を除いてかなり難しいし、歯面（曲面）上で議論することも難しいから、設計段階では静止空間に接触領域を平面で近似し、その上に接触点の軌跡を与えてそれに沿ったかみ合い率を求め指標としてきた。

図１２，１３は図１１で概念的に示した接触領域を座標系Ｃs,Ｃ1,Ｃ2 を用いて詳細に示したものである。図１２は円筒歯車やねじ歯車の場合の接触領域、図１３はかさ歯車やハイポイドギアの場合である。図１２，１３は図１１のｇw と基準面ＳH（ｖc＝０）との交点をＰ0(ｕc0，ｖc0＝０, ｚc0：Ｃs)とし、ｇw の傾き角を座標系Ｃs で表し接触法線ｇw ＝ｇ0(ψ0,φn0：Ｃs)としたときの歯面（接平面）と接触領域を示している。Ｐ0 を通る歯面がＷ0 、ｇw ＝ｇ0 上の任意点Ｐd を通る歯面がＷd 、接触領域はＳw ＝Ｓw0、接触領域と平面ＳH との交線がＬpw0 （Ｌpwに平行）で表されている。接触領域も歯面も平面を仮定しているから、歯面は接触領域上を平行移動してゆく。Ｐw はどこにとってもよいが、静止座標系Ｃs は平面ＳH 上の点Ｐ0 を基準にしているから、以下にＰw をＰ0 にとった場合を例としてかみ合い率を定義する。

歯面のかみ合い率は接触領域Ｓw ＝Ｓw0上にＰw ＝Ｐ0 を通る接触点の軌跡をどうとるかによって次の様に定義される。
(1) 軸直角かみ合い率ｍz
接触領域Ｓw0と軸直角平面Ｚ10，Ｚ20との交線ｈ1z，ｈ2z（図１２，１３ではＰ0 Ｐz1sw，Ｐ0 Ｐz2sw）の有効接触領域（歯面境界と作用限界）で区切られる長さとこの方向のピッチとの比
(2) 歯筋かみ合い率ｍf
瞬間軸に平行なＬpw0 が有効接触領域で区切られる長さとこの方向のピッチとの比
(3) 正面かみ合い率ｍs
Ｐ0 を通り瞬間軸に垂直な平面Ｓs とＳw0との交線（図１２，１３ではＰ0 Ｐssw ）の有効接触領域で区切られる長さとこの方向のピッチとの比
(4) 任意方向のかみ合い率
接触点の軌跡をｇ0 （図１３ではＰ0 ＰGswn）の方向にとる場合、任意の円錐面とＳw0との交線（図１２，１３ではＰw Ｐgcon）の方向にとる場合等がある。
(5) 総かみ合い率
接触領域上で直交する２方向の接触点の軌跡上のかみ合い率（例えば(2)と(3)）の和が全かみ合い率の代用として使われる。
さらにｇw ＝ｇ0 上以外は点の位置によってピッチ（長さ）は異なり、接触領域も歯面も実際には平面ではないから計算されたかみ合い率は近似値にならざるを得ない。最終的には角変位から求められる全かみ合い率を確認する必要がある。

３．６ ピッチハイパボロイドを用いた歯車の一般的設計法
一般に歯車設計とは、簡単には軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ0 が与えられた場合に決定する静止空間（座標系Ｃs ）に、
（１）設計基準点Ｐw(ｒw(ψrw),βw,ｚcw：Ｃrs）を与えることによってピッチ母線及び設計基準回転体（ピッチハイパボロイド）を選択し、
（２）Ｐw を通る歯面法線ｇw の傾き角（ψrw,φnrw：Ｃrs）を与えることによってｇw をもつ接触領域（歯面）を与える操作であると言えよう。

すなわち、歯車設計法（Ｐw とｇw の選択）はｒw （通常はψrwを与える）、βw 、ｚcw（通常はｚcwの代わりにＲ2w（ギア基準円半径）を与える）、φnrw の４個の変数の選択の問題になっている。以下にΣ，Ｅ，ｉ0 が与えられた場合のピッチハイパボロイドを用いたハイポイドギアの設計法を示す。

３．７ ハイポイドギア（−π／２＜βｗ＜π／２）
（１）ψrw（ｒw ）， ｚcw（Ｒ2w）を与えてもβw をどう選択するかによって様々なハイポイドギアが存在する。
(a) ウィルドハーバー（グリーソン）法は本発明の観点に立てば、“Ｐw におけるピニオンとギアの線速度つくる平面（図９）上の歯筋曲率半径をカッタ半径に一致させる”という拘束条件を与えてβw を決め、Ｐw を決めるひとつの方法と言える。しかし歯面はＰw を通るｇw をもつ任意の曲面（従って任意の歯筋曲率半径）が相手歯面が存在する限り可能だから、この条件は円錐型カッタを使用する場合でも必須であるとは言えない。又この方法はＰw で外接する円錐を採用しているが、歯面対はこの円錐とは無関係にＰw を通るピッチ母線を交線とする接触領域上で接触していることに変わりはない。従ってこの方法によって決定するＰw で外接するピッチ円錐と接触領域との交線はピッチ母線Ｌpw（接触領域の交線）とは異なってくる。ｇw を同一とすれば接触領域上の接触線とＬpwの傾き角は等しいから、接触領域とピッチ円錐との交線方向のピッチは選択されたピッチ円錐によって変化する(図１１)。即ちピッチ円錐と接触領域の交線方向のピッチ（従ってこの方向のかみ合い率）に駆動側と被駆動側とで大きな差を生じることになる。但し、実際のウィルドハーバー（グリーソン）法は、二つの円錐の接触条件式（９個の未知変数をもつ７個の式）を、ピニオンねじれ角と歯筋曲率半径の式を与えることによって２円錐を決定していて、ピッチ母線やピッチハイパボロイドの存在は考慮されていない。

(b) 下記４．２Ａ項に記載の実施形態では“Ｐw において外接する円錐と接触領域との交線をピッチ母線Ｌpwに一致させる”という拘束条件を与えてβw を選択する。この結果後述するように駆動側と被駆動側の歯筋かみ合い率がほぼ等しくなる。

（２）ギア半径Ｒ2w、βw 、ψrwを与えてピッチ母線Ｌpw上に設計基準点Ｐw(ｕcw,ｖcw,ｚcw：Ｃs)を決める。ピッチ母線Ｌpwを各歯車軸周りに回転させればピッチハイパボロイドが求められる。この設計基準点の決定方法について、下記４．２Ｂ項にて説明する。

（３）Ｐw の相対速度Ｖrsw に垂直な平面Ｓnw上にＰw を通る歯面法線ｇw を与える。ｇw とピッチ母線Ｌpwとで接触領域Ｓw が決定する。

４．ハイポイドギアの設計法
ピッチハイパボロイドを用いたハイポイドギアの設計法について以下具体的に述べる。

４．１ 座標系Ｃs，Ｃ1 ，Ｃ2 と基準点Ｐw
軸角Σ、オフセットＥ、ギア比ｉ0 が与えられたとき、瞬間軸の傾き角Γs 、座標系Ｃ1 、Ｃ2 の原点Ｃ1(０，ｖcs1,０：Ｃs)、Ｃ2(０，ｖcs2,０：Ｃs)は次のように表されている。
sinΓs ／sin(Σ−Γs)＝ｉ0
ｖcs2 ＝ＥtanΓs ／｛tan(Σ−Γs)＋tanΓs ｝
ｖcs1 ＝ｖcs2 −Ｅ
基準点Ｐw は座標系Ｃs によって次の様に与えられる。
Ｐw(ｕcw，ｖcw，ｚcw：Ｃs)
Ｐw を相対速度の円筒半径ｒw 、ｕc 軸からの角度をβw で表し、Ｐw(ｒw，βw,ｚcw：Ｃs)とすれば、
ｕcw＝ｒw cosβw
ｖcw＝ｒw sinβw
基準点Ｐw を通り、瞬間軸に平行な直線（傾き角Γs ）としてピッチ母線Ｌpwが決まり、その各歯車軸周りの回転体としてピッチハイパボロイドが定まる。

Ｐw の相対速度をＶrsw とすれば、Ｖrsw とピッチ母線Ｌpwとのなす角ψrwは式（１２）から
tanψrw＝ｒw sinΣ／｛Ｅsin(Σ−Γs) sinΓs｝
となる。ψrwは半径ｒw の同一円筒上ではどこでも同じである。

座標系Ｃ1 ，Ｃ2 に変換すれば、Ｐw(ｕ1cw,ｖ1cw,ｚ1cw ：Ｃ1)，Ｐw(ｕ2cw,ｖ2cw,ｚ2cw ：Ｃ2)、ピニオン及びギア基準円半径Ｒ1w，Ｒ2wは次のようになる。
ｕ1cw ＝ｕcw cos(Σ−Γs)＋ｚcw sin(Σ−Γs)
ｖ1cw ＝ｖcw−ｖcs1
ｚ1cw ＝−ｕcw sin(Σ−Γs)＋ｚcw cos(Σ−Γs)
ｕ2cw ＝−ｕcw cosΓs ＋ｚcw sinΓs
ｖ2cw ＝ｖcw−ｖcs2
ｚ2cw ＝−ｕcw sinΓs−ｚcw cosΓs
Ｒ1w² ＝ｕ1cw²＋ｖ1cw²
Ｒ2w² ＝ｕ2cw²＋ｖ2cw² ・・・（１３）

４．２Ａ 基準点Ｐw を通る円錐
幾何学的な設計基準回転体であるピッチハイパボロイドは製造上やや難しいため実用上は接触点Ｐw を通るピッチ円錐に置き換えて設計、製作されるのが一般的である。ピッチ円錐への置換は、本実施形態では接触点Ｐw で接する円錐へと置換する。

設計基準円錐がＰw で接する必要はないが、現在はこの方式が一般的である。βw を変化させるとＰw で接する円錐のピッチ角は様々に変化するから、拘束条件をひとつ加えて設計基準円錐（βw ）を選択する。拘束条件を何にするかによって設計法が異なってくるが、そのひとつが既に述べたウィルドハーバー（グリーソン）法の歯筋曲率半径である。本実施形態では、Ｐw で接する円錐と接触領域の交線がピッチ母線に一致することを拘束条件としてβw を選択する。

前述のように、設計基準点は接触点の軌跡ｇ0 上のどこに選んでも本質的な差はなく、接触点Ｐw を設計基準点とし、このＰw で接する円錐をピッチ円錐とするハイポイドギアの設計方法を以下に述べる。

４．２Ａ．１ ピッチ円錐角
基準点Ｐw の相対速度Ｖrsw に垂直な平面Ｓnwと各歯車軸との交点をＯ1nw,Ｏ2nw とする（図９）。図１４は図９を各歯車軸ｚ1c，ｚ2cの正方向からみたもので、Ｏ1nw,Ｏ2nw は次の様になる。
Ｏ1nw(０,０,−Ｅ／（tanε2w sinΣ）：Ｃ1)
Ｏ2nw(０,０,−Ｅ／（tanε1w sinΣ）：Ｃ2)
ここで、sinε1w＝ｖ1cw／Ｒ1w，sinε2w＝ｖ2cw／Ｒ2w
さらにＯ1nwＰw，Ｏ2nwＰw は次の様になる。
Ｏ1nwＰw ＝√｛Ｒ1w²＋(−Ｅ／(tanε2w sinΣ)−ｚ1cw)²｝
Ｏ2nwＰw ＝√｛Ｒ2w²＋(−Ｅ／(tanε1w sinΣ)−ｚ2cw)²]
従ってピニオン及びギアの円錐角γpw、Γgwは、Ｏ1nwＰw,Ｏ2nwＰwが背円錐母線であることを利用して次の様に求められる。
cosγpw＝Ｒ1w／Ｏ1nwＰw
cosΓgw＝Ｒ2w／Ｏ2nwＰw ・・・（１４）
式（１４）がＰw で接する半径Ｒ1w、Ｒ2wの円錐のピッチ円錐角を与える。

４．２Ａ．２ 基準点Ｐw における相対速度の傾き角
相対速度及び線速度は次のようになる。
Ｖrsw／ω20 ＝√｛(ＥsinΓs)²＋(ｒw sinΣ／sin(Σ−Γs))²｝
Ｖ1w／ω20 ＝ｉ0Ｒ1w
Ｖ2w／ω20 ＝Ｒ2w
線速度Ｖ1wとＶ2wのつくる平面をＳtwとすれば、Ｓtwはピッチ平面になっている。Ｖ1wとＶ2wとのなす角をψv12w、Ｖrsw とＶ1wとのなす角をψvrs1wとすれば（図９）、
cos(ψv12w) ＝(Ｖ1w²＋Ｖ2w²−Ｖrsw²)／(２Ｖ1w×Ｖ2w)
cos(ψvrs1w)＝(Ｖrsw² ＋Ｖ1w² −Ｖ2w²)／(２Ｖ1w×Ｖrsw)
となる。

平面Ｓtwと各歯車軸との交点をＯ1w，Ｏ2wとすれば、ピニオン及びギアのねじれ角は平面Ｓtw上のＰwＯ1w,ＰwＯ2wからの傾き角として次の様に求められる（図９）。
ψpw＝π／２−ψvrs1w
ψgw＝π／２−ψv12w−ψvrs1w ・・・（１５）
ピッチ点Ｐw(ｒw,βw,ｚcw：Ｃs)を与えれば、式（１４）、（１５）を用いてＰw で接する円錐諸元及び相対速度Ｖrsw の傾き角を定めることができる。だから、逆に円錐諸元及び相対速度Ｖrsw の傾き角の中から３変数（例えばＲ2w，ψpw，Γgw）を与えれば、ピッチ点Ｐw 及び相対速度Ｖrsw を求めることができる。この３変数は、Ｐw を表すものであればどのような変数であってもよいが、例えば上記の他に、ギア基準半径Ｒ2w、ギアねじれ角ψgw、ギアピッチ円錐角Γgwの組み合わせでもよく、またピニオン基準半径Ｒ1w、ギアねじれ角ψpw、Γgwの組み合わせでもよい。

４．２Ａ．３ 歯先円錐角
通常は、アデンダムａＧ、アデンダム角αＧ＝ａＧ／Ｏ2wＰw を求めて、Γgf＝Γs ＋αＧとして、歯先円錐角を決める。ただし、アデンダム角αＧは、これ以外の値を任意に選んでもよい。

４．２Ａ．４ 基準点Ｐw における法線ｇwの傾き角
図１５は設計基準点Ｐw 及び接触法線ｇw を平面Ｓtw，Ｓnw，Ｇ2w上で示したものである。

（１）ｇw の傾き角の座標系Ｃs による表示法
Ｐw(ｕcw，ｖcw，ｚcw：Ｃs)を通るｇw と平面ＳH （βw ＝０) との交点をＰ0(ｕc0，０，ｚc0：Ｃs)とし、点Ｐ0 を基準にｇw の傾き角を座標系Ｃs を用いてｇw(ψ0,φn0：Ｃs)で表す。Ｐ0 とＰw との関係は次の様になる(図１１)。
ｕc0＝ｕcw＋(ｖcw／cosψ0)tanφn0
ｚc0＝ｚcw−ｖcw tanψ0 ・・・（１６）
ここで、ｕc0＝Ｅ tanψ0 cosΓs×sinΓs

（２）ｇw の傾き角のピッチ平面Ｓtwと平面Ｓnwとによる表示法（図９）
平面Ｓnwとピッチ平面Ｓtwとの交線をｇtwとするとき、平面Ｓnw上のｇtwのからの傾き角φnwとする。ｇw の傾き角はＶrsw のピッチ平面Ｓtw上のＰw Ｏ2wからの傾き角ψgwとφnwとを用いてｇw(ψgw，φnw) で表す。

（３）接触法線ｇw の換算式
以下にｇw(ψgw，φnw) からｇw(ψ0,φn0：Ｃs)への換算式を求める。

図１５はｇw(ψgw，φnw) をｇw(φ2w，ψb2w：Ｃ2) で表したものである。ｇw がＰwAで与えられ、点Ａの射影が順次Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅで示されている。また射影点の各断面への垂線の足が（’、”）示されている。各有向線分の長さは次の様に求められる。但しＰwA＝Ｌg としている。
Ａ’Ａ＝Ｌg sinφnw
Ｂ’Ｂ＝Ｌg cosφnw cosψgw
Ｃ’Ｃ＝Ａ’Ａ
ＰwＣ’＝Ｌg cosφnw sinψgw
Ｃ’Ｋ＝Ｐw Ｃ’／tanΓgw
Ｃ”Ｃ＝（Ｃ’Ｃ−Ｃ’Ｋ）sinΓgw
＝Ｌg(sinφnw− cosφnw sinψgw／tanΓgw)sinΓgw
Ｄ’Ｄ＝Ｂ’Ｂ
ＰwＥ＝ＰwＡ
Ｅ’Ｅ＝Ｃ”Ｃ
sinψb2w＝Ｅ’Ｅ／ＰwＥ＝Ｃ”Ｃ／Lg
＝(sinφnw− cosφnw sinψgw／tanΓgw)sinΓgw ・・・（１７）

tanηx2w＝Ｃ’Ｃ／ＰwＣ’＝tanφnw／sinψgw
Ｐw Ｃ＝√(ＰwＣ’²＋Ｃ’Ｃ²)＝Ｌg×√｛(cosφnw sinψgw)²＋(sinφnw)²｝
ＰwＣ”＝ＰwＣcos｛ηx2w−(π／２−Γgw)｝＝ＰwＣsin(ηx2w＋Γgw)
tan(χ2w−ε2w)＝Ｄ’Ｄ／ＰwＣ”
＝cosφnw cosψgw
／［√｛(cosφnw sinψgw)²＋(sinφnw)²｝×sin(ηx2w＋Γgw)］・・（１８）
φ2w＝π／２−χ2w
ｇw(ψ0,φn0：Ｃs)はｇw(φ2w,ψb2w：Ｃ2)を座標系Ｃ2 から座標系Ｃs に変換して次の様になる。
sinφn0＝cosψb2w sinφ2w cosΓs＋sinψb2w sinΓs
tanψ0 ＝tanφ2w sinΓs−tanψb2w cosΓs／cosφ2w ・・・（１９）
式（１７），（１８），（１９）を用いてｇw(ψgw,φnw) をｇw(ψ0,φn0：Ｃs)で表すことができる。

４．２Ｂ Ｒ2w、βw 、ψrwに基づく基準点Ｐw
上記４．２Ａ項の冒頭で記したように、ピニオンとギアのピッチ円錐が基準点Ｐw で接する必要はない。ここでは、ピッチ円錐を用いず、ギア基準円半径Ｒ2w、基準点位相角βw 、ねじれ角ψrwを与えて、基準点Ｐw を座標系Ｃs 上に決定する方法を示す。

基準点Ｐw は座標系Ｃs により次のように与えられる。
Ｐw(ｕcw，ｖcw，ｚcw：Ｃs)
Ｐw を相対速度の円筒半径ｒw 、ｕc 軸からの角度をβw で表し、Ｐw(ｒw，βw,ｚcw：Ｃs)とすれば、
ｕcw＝ｒw cosβw
ｖcw＝ｒw sinβw
となる。また、基準点Ｐw の瞬間軸周りの半径ｒw と相対速度の傾き角ψrwの関係式（１２）
ｒw ＝Ｅ tanψrw×sin(Σ−Γs）sinΓs／sinΣ
から、基準点位相角βw 、ねじれ角ψrwが与えられているので、上記ｕcw、ｖcwが決まる。

次に、Ｐw(ｕcw，ｖcw，ｚcw：Ｃs)を、第２歯車の回転軸座標系Ｃ2 に変換する。この式は、式（１３）として既出である。
ｕ2cw ＝−ｕcw cosΓs ＋ｚcw sinΓs
ｖ2cw ＝ｖcw−ｖcs2
ｚ2cw ＝−ｕcw sinΓs−ｚcw cosΓs ・・・（１３ａ）
ここで、ｖcs2 ＝ＥtanΓs ／｛tan(Σ−Γs)＋tanΓs ｝（４．１項で既出）
また、式（１３）には、
Ｒ2w² ＝ｕ2cw²＋ｖ2cw² ・・・（１３ｂ）
とあり、ギア基準円半径Ｒ2wを与えることにより、式（１３ａ）、（１３ｂ）からｚcwが決定され、基準点Ｐw の座標系Ｃs 上の座標が算出される。

設計基準点Ｐw が定まれば、ピニオン基準円半径Ｒ1wも式（１３）より算出することができる。

設計基準点Ｐw を通るピッチ母線Ｌpwが決まるからピッチハイパボロイドを決めることができる。または、ギア円錐角ΓgwがΓs の周辺、ピニオン円錐角γpwがΣ−Γgwで近似した設計基準円錐を決めることができる。この基準円錐は設計基準点Ｐw を共有しているが、互いに接してはいない。歯先円錐角は、前記４．２Ａ．３項と同様に決定できる。

接触法線ｇw は、図１０に示すようにｇw （ψrw，φnrw ；Ｃrs）で与える。φnrw は、平面Ｓnw上で平面Ｓnwと平面Ｓpwとの交線と、接触法線ｇw とのなす角である。接触法線ｇw は、後述するようにｇw （ψ0 ，φn0；Ｃs ）に換算できる。式（１５）を用いて、ψpwおよびψgwを求めることができるから、前記４．２Ａ．４項と同様にｇw （ψpw，φnw；Ｓnw）で与えることもできる。

上記の接触法線の座標系Ｃrsから座標系Ｃs への換算について説明する。
（１）接触法線ｇw （ψrw，φnrw ；Ｃrs）が与えられる。
（２）接触法線ｇw 上の変位をＬg とすれば、変位Ｌg の座標系Ｃrs上の各軸方向成分は次のようになる。
Ｌurs ＝−Ｌg sinφnrw
Ｌvrs ＝Ｌg cosφnrw・cosψrw
Ｌzrs ＝Ｌg cosφnrw・sinψrw
（３）座標系Ｃs の各軸方向成分は（Ｌurs，Ｌvrs，Ｌzrs）によって、次のように表される。
Ｌuc＝Ｌurs・cosβw −Ｌvrs・sinβw
Ｌvc＝Ｌurs・sinβw ＋Ｌvrs・cosβw
Ｌzc＝Ｌzrs
（４）以上の式から、
Ｌuc＝−（Ｌg sinφnrw ）cosβw −（Ｌg cosφnrw・cosψrw）sinβw
＝−Ｌg（sinφnrw・cosβw ＋ cosφnrw・cosψrw・sinβw）
Ｌvc＝−（Ｌg sinφnrw ）sinβw ＋（Ｌg cosφnrw・cosψrw）cosβw
＝Ｌg（−sinφnrw・sinβw ＋ cosφnrw・cosψrw・cosβw）
（５）図６より、接触法線ｇw （ψ0 ，φn0；Ｃs ）は、次のようになる。
tanψ0 ＝Ｌzc／Ｌvc
＝cosφnrw・sinψrw／（−sinφnrw・sinβw ＋ cosφnrw・cosψrw・cosβw）
sinφn0＝−Ｌuc／Ｌg
＝sinφnrw・cosβw ＋ cosφnrw・cosψrw・sinβw
（６）図１１より、接触法線ｇw （φs0，ψsw0 ；Ｃs ）は次のようになる。
tanψs0 ＝−Ｌuc／Ｌvc＝（sinφnrw・cosβw ＋ cosφnrw・cosψrw・sinβw）
／（−sinφnrw・sinβw ＋ cosφnrw・cosψrw・cosβw）
sinφsw0＝Ｌzc／Ｌg ＝cosφnrw・cosψrw

最も簡単で実用的な方法として、βw ＝０として設計基準点Ｐw を決定し、ギア円錐角がΓgw＝Γs 、ピニオン円錐角γpw＝Σ−Γgwの周辺にある基準円錐を選択する設計法がある。このとき、βw ＝０であるから、接触法線ｇw は、ｇw （ψ0 ，φn0；Ｃs ）で直接与えられることになる。

４．３ 歯筋かみ合い率
４．３．１ 歯筋かみ合い率の一般式
ｇw ＝ｇ0 上の任意点Ｐw を基準にＬpwに沿った歯筋かみ合い率ｍf 及び任意の円錐面とＳw0との交線(図１１ではＰwＰgcone)の方向に沿ったかみ合い率ｍfconeとを計算する。他のかみ合い率ｍz 又はｍs も同様にして求められる。
接触法線ｇw は座標系Ｃs でｇw ＝ｇ0(ψ0,φn0：Ｃs)で表わされているから、座標系Ｃ2 で表された点Ｐw(ｕ2cw,ｖ2cw, ｚ2cw：Ｃ2)は座標系Ｃq2上の点Ｐw(ｑ2cw,−Ｒb2w,ｚ2cw ：Ｃq2) に次の様に変換される。
ｑ2cw ＝ｕ2cw cosχ20＋ｖ2cw sinχ20
Ｒb2w ＝ｕ2cw sinχ20−ｖ2cw cosχ20
＝Ｒ2w cos(φ20＋ε2w)
χ20＝π／２−φ20
tanε2w＝ｖ2cw／ｕ2cw
Ｒ2w＝√(ｕ2cw^２＋ｖ2cw^２) ・・・（２０）
接触法線ｇw ＝ｇ0 の傾き角ｇ0(φ20,ψb20：Ｃ2)及び接触領域Ｓw0の傾き角φs0とｇ0(＝Ｐ0 ＰGswn)のＳw0上での傾き角ψsw0（図１２，１３）は次の様に求められている。
(a) 円筒歯車、ねじ歯車やウオ−ムの場合
tanφ20＝tanφn0 cos(Γs −ψ0)
sinψb20＝sinφn0 sin(Γs −ψ0)
tanφs0＝tanφn0 cosψ0
tanψsw0＝tanψ0 sinφs0
又は sinψsw0＝sinφn0 sinψ0 ・・・（２０ａ）
(b) かさ歯車やハイポイドギアの場合
tanφ20＝ tanφn0 cosΓs／cosψ0＋tanψ0 sinΓs
sinψb20＝sinφn0 sinΓs −cosφn0 sinψ0 cosΓs
tanφs0＝tanφn0／cosψ0
tanψsw0＝tanψ0 cosφs0 ・・・（２０ｂ）
なお、φs0と、ψsw0 の導出については、機械学会論文集Ｃ編７０巻６９２号ｃ２００４−４動力伝達用歯車の設計理論第３報に詳しい。

以下に接触点の軌跡が接触法線ｇw ＝ｇ0 に一致する場合を対象として計算する。
１ピッチ回転することによりＰw はＰg に移動し、接平面ＷはＷg に平行移動するとすれば、移動距離ＰwＰgは次の様になる（図１１）。
ＰwＰg＝Ｐgw＝Ｒb2w(２θ2p)cosψb20 ・・・（２１）
ここで Ｐgw：ｇ0上の１ピッチ、
２θ2p：ギアの角ピッチ
ＬpwとＷg との交点をＰlwとすれば、歯筋Ｌpw上の１ピッチＰfw＝ＰlwＰw は
Ｐfw＝Ｐgw／sinψsw0 ・・・（２２）
ギア内外円半径とギア歯幅との関係は、
Ｒ2t＝Ｒ2h−Ｆg／sinΓgw
ここで Ｒ2t、Ｒ2h:ギアの内外円半径
Ｆg ：ピッチ円錐母線上のギア歯幅
Γgw：ピッチ円錐角
歯筋の有効長さＦlwp はギア内外円で切られるピッチ母線Ｌpwの長さであるから、
Ｆlwp ＝｛√(Ｒ2h²−ｖ2pw²)−√(Ｒ2t²−ｖ2pw²)｝／sinΓs ・・・（２３）
従って、歯筋かみ合い率ｍf の一般式は次の様になる。
ｍf ＝Ｆlwp／Ｐfw ・・・（２４）

４．３．２ 円筒歯車の場合（図１２）
ピッチ母線Ｌpwは瞬間軸（Γs ＝０）に一致し、Ｐw はＬpw上のどこでもよいが、通常は座標系Ｃs の原点にとるから、Ｐw（ｕcw，ｖcw，ｚcw：Ｃs）及び接触法線ｇw ＝ｇ0(ψ0,φn0：Ｃs) は、式（２０），（２０ａ）を用いて次の様に簡単になる。
Ｐw(０，０，０：Ｃs)，Ｐw(０，−ｖcs2，Ｏ：Ｃ2)
Ｐ0(ｑ2pw＝−ｖcs2 sinχ20，−Ｒb2w＝−ｖcs2 cosχ20，０：Ｃq2)
φ20＝φs0，ψb20＝−ψsw0
tanψb20 ＝−tanψsw0 ＝−tanψ0 sinφ20

即ち、平面Ｓw0と作用面Ｇ20とは一致する。但し互いに逆方向から見ていることに注意。
これらの値を式（２１）（２２）に代入して歯筋方向ピッチＰfw、式（２４）を用いて歯筋かみ合い率ｍf を求めることができる。
Ｐgw＝Ｒb2w(２θ2p)cosψb20
Ｐfw＝|Ｐgw／sinψsw0|＝|Ｒb2w(２θ2p)／tanψb20|
ｍf ＝Ｆlwp／Ｐfw＝Ｆtanψ0／R2w(２θ2p)
＝Ｆtanψ0／ｐ ・・・（２５）
ここで Ｒ2w＝Ｒb2w／sinφ20：ギア基準円半径
ｐ＝Ｒ2w(２θ2p)：円ピッチ
Ｆ＝Ｆlwp ：有効歯幅
式（２５）は従来の円筒歯車の歯筋かみ合い率の計算式で、ｐとＦとψ0 だけで決まっていてφn0には依存しない。これはΓs ＝０で平面Ｓw0と作用面Ｇ20とが一致するために成立する特殊な場合である。

４．３．３ かさ歯車やハイポイドギアの場合
かさ歯車やハイポイドギアの場合には平面Ｓw0≠Ｇ20であるから、歯筋かみ合い率ｍf はφn0に依存し、駆動側と被駆動側とで異なってくる。だから、かさ歯車やハイポイドギアの歯筋かみ合い率ｍf は現在の慣用式（２５）では求められない。どのような場合に慣用式（２５）が成立するかを調べるために、次の条件（ａ），（ｂ），（ｃ）を仮定する。
（ａ）かさ歯車である。従ってピッチ母線Ｌpwは瞬間軸に一致し、設計基準点はＰw(０,０,ｚcw：Ｃs)となる。
（ｂ）ギアは冠歯車とする。 従ってΓs ＝π／２
（ｃ）接触点の軌跡はピッチ平面上にある。従ってφn0＝０
式（２０），（２０ｂ）〜（２４）を変形すれば、
φ20＝ψ0，ψb20＝０，φs0＝０，ψsw0＝ψ0
Ｒb2w＝Ｒ2w cosφ20＝Ｒ2w cosψ0
Ｐgw＝Ｒb2w(２θ2p)cosψb20 ＝Ｒ2w(２θ2p)cosψ0
Ｐfw＝|Ｐgw／sinψsw0|＝|Ｒ2w(２θ2p)／tanψ0|
ｍf ＝Ｆlwp／Ｐfw＝Ｆtanψ0／Ｒ2w(２θ2p)＝Ｆtanψ0/p ・・・（２６）
式（２６）は式（２５）と全く同一になる。即ち慣用式（２５）は上記の条件（ａ），（ｂ），（ｃ）を満たすかさ歯車で成立する。従って
（１）Γs ≠π／２、φn0≠０の通常のかさ歯車では厳密には適用できない。
（２）さらにハイポイドギア（Ｅ≠０）では、冠歯車は存在せず、しかもε2w≠０である。
以上の理由により一般のかさ歯車やハイポイドギアの歯筋かみ合い率は式（２６）ではなく、一般式（２４）で求めなければならない。

４．４ ギアピッチ円錐と接触領域Ｓw0の交線に沿ったかみ合い率ｍfcone の計算法
ハイポイドギア（グリーソン式）の歯筋かみ合い率は式（２６）を用い、ψ0＝(ψpw＋ψgw)／２ (図９)の仮想まがりばかさ歯車として計算し、実用上十分としているが、理論上の根拠はない。実際にはギアピッチ円錐と歯面の交線を歯筋曲線とみなしているから、静止座標系ではギアピッチ円錐と接触領域Ｓw0の交線に沿ったかみ合い率を計算するのが妥当であろう。以下にこの観点からハイポイドギアのかみ合い率ｍfcone を計算する。

図１３には接触領域Ｓw0上にＰw を通る任意の円錐面との交線ＰwＰgconeが描かれている。ＰwＰgconeは円錐曲線であるから厳密には直線ではないが、その差は小さいとしてここでは直線として扱う。接触領域Ｓw0と平面ｖ2c＝０との交線をＰsswＰgswn とするとき、この交線ＰsswＰgswn とＰw を通る任意の円錐面とは交点Ｐgcone をもつから、それを次の様に表す。
Ｐgcone(ｕcgcone，ｖcs2，ｚcgcone：Ｃs)
Ｐgcone(ｕ2cgcone，０，ｚc2gcone：Ｃ2)
ここで
ｕcgcone＝ｕcw＋(ｖcw−ｖcs2)tanφs0
ｚcgcone＝｛(ｖcs2−ｖcw)／cosφs0｝tanψgcone＋ｚcw
ｕ2cgcone＝−ｕcgcone cosΓs＋ｚcgcone sinΓs
ｚ2cgcone＝−ｕcgcone sinΓs−ｚcgcone cosΓs
ψgcone：ＰwＰgconeのＳw0上Ｐ0Ｐsswからの傾き角
Ｐgcone はＰw を通る円錐角Γgcone の円錐面上の点であるから、次の関係式が成立する。
ｕ2cgcone−Ｒ2w＝−(ｚ2cgcone−ｚ2cw)tanΓgcone ・・・（２７）
円錐角Γgcone を与えれば、式（２７）を用いてψgcone を求めることができる。
従ってＰwＰgconeに沿った１ピッチＰconeは次の様になる。
Ｐcone＝Ｐgw／cos(ψgcone −ψsw0) ・・・（２８）
ＰwＰgconeに沿ったかみ合い長さＦlwpcone は次の様に求められる。

図１１においてＰwＰgconeとＬpw0 との交点をＰws(ｕcws，０，ｚcws：Ｃs)とすれば、
ｕcws＝ｕcw＋ｖcw tanφs0
ｚcws＝ｚcw−(ｖcw／cosφs0)tanψgcone
直線ＰwＰgcone上の任意点をＱ(ｕcq,ｖcq,ｚcq：Ｃs)とすれば(図１１)、ｕcq、ｖcqは次の様にｚcqの関数として表される。
ｖcq＝｛(ｚcq−ｚcws)／tanψgcone｝cosφs0
ｕcq＝ｕcws−ｖcq tanφs0
点Ｑを式（１３）を用いて座標系Ｃ2 で表してＱ(ｕ2cq,ｖ2cq,ｚ2cq：Ｃ2)とすれば、点Ｑの半径Ｒ2cq は次の様になる。
ｕ2cq ＝−ｕcq cosΓs＋ｚcq sinΓs
ｖ2cq ＝ｖcq−ｖcs2
Ｒ2cq ＝√(ｕ2cq²＋ｖ2cq²)
Ｒ2cq＝Ｒ2h，Ｒ2tとなるｚcqをそれぞれｚcqh,ｚcqt とすれば、かみ合い長さＦlwpconeは
Ｆlwpcone ＝(ｚcqh−ｚcqt)／sinψgcone ・・・（２９）
従って、ＰwＰgcone に沿ったかみ合い率ｍfcone は次の様になる。
ｍfcone＝Ｆlwpcone／Ｐcone ・・・（３０）
ψgcone→π／２のｍfcone (式（３０）)が歯筋かみ合い率ｍf (式（２４）)である。

５．実施例
表１はグリーソン法によって設計されたハイポイドギアの諸元を示す。歯筋曲率半径＝カッタ半径Ｒc ＝3.75”となるようにピッチ円錐が選択されている。以下に、前述の手法に従って
（１）先ず同一ピッチ円錐及び接触法線をもつハイポイドギアを設計して、そのピッチ円錐と接触領域の交線方向のかみ合い率ｍfcone を計算する。
（２）次にギア基準円半径Ｒ2w、ピニオンねじれ角ψpw及び接触法線の傾き角φnwを同一として、駆動側と被駆動側の歯筋かみ合い率がほぼ等しくなるハイポイドギアを設計し、本実施形態の妥当性を試作結果で示す。

５．１ 統一座標系Ｃs、Ｃ1 、Ｃ2 と基準点Ｐw 及びピッチ母線Ｌpw
軸角Σ＝９０°、オフセットＥ＝２８mm、ギア比ｉ0 ＝47/19を与えれば、座標系Ｃ1 ，Ｃ2 に対して瞬間軸と共通垂線との交点Ｃs 及び瞬間軸の傾き角Γs が次のように定まる。
Ｃs(０，24.067，０：Ｃ2)，Ｃs(０，−3.993，０：Ｃ1)，Γs ＝67.989°
表１からギア基準円半径Ｒ2w＝89.255mm、ピニオンねじれ角 ψpw＝46.988°、ギアピッチ円錐角 Γgw＝62.784°を与えれば、式（１３）（１４）（１５）を連立させて解は次の様になる。
ｒw＝9.536mm，βw ＝11.10°，ｚcw＝97.021
従ってピッチ点Ｐw は
Ｐw(9.358，1.836，97.021：Ｃs)
となる。ピッチ母線Ｌpwが基準点Ｐw を通る瞬間軸（Γs＝67.989°）に平行な直線として座標系Ｃs 上に定まる。
以下の計算ではギアの内外円半径Ｒ2t＝73.87、Ｒ2h＝105を一定とする。

５．２ 歯面Ｄ（添え字D で示す）の接触法線ｇwDと歯筋かみ合い率ｍfconeD
表１からgwDをgwD(ψgw=30.859°,φnwD=15°)で与えれば、式（１７）（１８）（１９）を用いて座標系Ｃs 、Ｃ2 に変換し、次の様になる。
ｇwD(φ20D＝48.41°,ψb20D＝0.20°：Ｃ2)、
ｇwD(ψ0D＝46.19°,φn0D＝16.48°：Ｃs)
ピッチ母線ＬpwとｇwDとで座標系Ｃs 上に接触領域ＳwDを決めることができる。さらにｇwDと平面ＳH との交点Ｐ0D及びギア軸周りの半径Ｒ20D は式（１６）を用いて次の様になる。
Ｐ0D(10.142, ０, 95.107：Ｃs)，Ｒ20D＝87.739mm
ピッチ円錐と接触領域の交線方向のかみ合い率ｍfconeDは次の様に求められる。接触領域ＳwDの傾き角φs0D 、ＳwD上でのｇwDの傾き角ψsw0D、ｇwD上の１ピッチＰgwD は、式（２０）（２０ｂ）（２１）を用いて、
φs0D＝23.13°，ψsw0D＝43.79°，ＰgwD＝9.894
と求まる。

（１）Γgw＝Γgcone＝62.784°を与えれば、式（２７）〜（３０）を用いて
ψgcone63D＝74.98°，Ｐcone63D＝20.56，
Ｆlwpcone63D＝34.98，ｍfcone63D＝1.701
（２）Γgcone＝Γs＝67.989°を与えれば、同様にして
ψgcone68D＝−89.99°，Ｐcone68D＝14.30，
Ｆlwpcone68D＝34.70，ｍfcone68D＝2.427
（３）Γgcone＝72.0°を与えれば、同様にして
ψgcone72D＝78.88°，Ｐcone72D＝12.09，
Ｆlwpcone72D＝36.15，ｍfcone72D＝2.989

５．３ 歯面Ｃ（添え字Cで示す）の接触法線ｇwCとかみ合い率ｍfconeC
ｇwC(ψgw＝30.859°,φnwC＝−27.5°) を与えれば、歯面Ｄと同様に
ｇwC(φ20C＝28.68°，ψb20C＝−38.22°：Ｃ2)，
ｇwC(ψ0C ＝40.15°，φn0C ＝−25.61°：Ｃs)
Ｐ0C(8.206，０，95.473：Ｃs)，Ｒ20C＝88.763mm
接触領域ＳwCの傾き角φs0C、ＳwC上でのｇwCの傾き角ψsw0C、ｇwC上の１ピッチＰgwCは式（２０）（２０ｂ）（２１）を用いて、
φs0C＝−32.10°，ψsw0C＝35.55°，ＰgwC＝9.086
（１）Γgw＝Γgcone＝62.784°を与えれば、式（２７）〜（３０）を用いて
ψgcone63C＝81.08°，Ｐcone63C＝12.971，
Ｆlwpcone63C＝37.86，ｍfcone63C＝2.919
（２）Γgcone＝Γs＝67.989°を与えれば、同様にして
ψgcone68C＝−89.99°，Ｐcone68C＝15.628，
Ｆlwpcone68C＝34.70，ｍfcone68C＝2.220
（３）Γgcone＝72°を与えれば、同様にして
ψgcone72C＝−82.92°，Ｐcone72C＝19.061，
Ｆlwpcone72C＝33.09，ｍfcone72C＝1.736

グリーソン設計方式に従えば、Γgw＝Γgcone ＝62.784°であるから、ピッチ円錐と接触領域との交線に沿ったかみ合い率はｍfcone63D＝1.70、ｍfcone63C＝2.92となって歯面Ｄで著しく不利になっている。この計算結果が図１６の試作結果を説明していると考えられる。

また、ギア円錐角Γgcone ＝Γs ＝67.989°の時、駆動側も被駆動側もψgcone ＝−89.99° になっているから、円錐面と接触領域の交線はピッチ母線Ｌpwに一致し、本発明の歯筋かみ合い率となり、駆動側と被駆動側のかみ合い率もほぼ等しくなっている。だから、図１７のように、Γgw＝62.784°のピッチ円錐角上に決定された基準点Ｐw を通るΓgcone ＝67.989°の円錐角を持つ仮想ピッチ円錐Ｃpvおよびγpcone ＝Σ−Γgcone ＝22.02° の円錐角をもつピニオン仮想円錐（図示せず）を定義し、この仮想ピッチ円錐を基準に、歯車の設計の標準式に従って、ハイポイドギアのアデンダム、アデンダム角 、デデンダム、デデンダム角を決定することができる。上記のように決定されたギアは、仮想ピッチ円錐角に沿って、本実施形態の歯筋かみ合い率が実現することになる。
αg ＝Σδｔ×ａg ／（ａg ＋ａp ） ・・・（３１）
ａg ＋ａp ＝ｈk （作用歯丈） ・・・（３２）
Σδt ：ギアアデンダム角とギアデデンダム角の和（歯のテーパ形状によって変わる）
αg ：ギアアデンダム角
ａg ：ギアアデンダム
ａp ：ピニオンアデンダム
なお、ここで定義されたギアおよびピニオンの仮想ピッチ円錐Ｃpvは、基準点Ｐw1を通るものの互いに接しない関係にある。

アデンダム、アデンダム角は、図１８および図１９のように定義される。すなわち、ギア１００のアデンダム角αｇは、ピッチ円錐１０２とギアの歯先が作る円錐１０４の円錐角同士の差であり、デデンダム角βg も同様に、ピッチ円錐１０２とギアの歯元が作る円錐１０６の円錐角同士の差である。ギア１００のアデンダムａg は、設計基準点Ｐw を通りピッチ円錐１０２に直交する直線上での設計基準点Ｐw とギア歯先１０４の距離であり、デデンダムｂg も前記の直線上の設計基準点Ｐw と歯元１０６の距離である。ピニオン１１０においても同様に定義される。

さらにピッチ円錐角を変更し、例えばΓgw＝72°＞Γsとすれば、歯筋かみ合い率は歯面Ｄで大きく歯面Ｃで小さく設計できる。逆にΓgw＝62.784°＜Γsとすれば、歯筋かみ合い率は歯面Ｄで小さく歯面Ｃで大きくなる。

仮想ピッチ円錐Ｃpvによる設計方法について追加して説明する。図１７には、グリーソン設計方式に従った円錐角Γgw＝62.784°のピッチ円錐Ｃp1および設計基準点Ｐw1が示されている。上述のように、グリーソン設計方式では、かみ合い率において、駆動歯面は不利になっている。一方、円錐角Γgw＝67.989°のピッチ円錐Ｃp2を用いて設計を行えば、かみ合い率の改善が図られる。このときの設計基準点Ｐw2は、ギアおよびピニオンのピッチ円錐の接点となっている。言い換えれば、設計基準点を、ギアおよびピニオンのピッチ円錐の接点とするために、基準点をグリーソン設計法による基準点Ｐw1から、基準点Ｐw2に変更している。

先にも述べたように、接触領域が円錐角Γgw＝67.989°の円錐面と歯幅全体で交差していれば、上述の歯筋かみ合い率が実現できる。すなわち、図１７において、設計基準点Ｐw1を通る円錐角が67.989°の円錐（仮想ピッチ円錐）の母線が、ギアの歯幅内で、ギア歯面内に存在すれば、上述のかみ合い率が実現できる。これを実現するために、従来の手法を利用し、アデンダム角、デデンダム角を変更することが考えられるが、これは以下の理由により実現できない。

ピッチ円錐Ｃp1に変更を加えず、円錐角67.989°（約68°）の円錐面と接触領域が歯幅全体で交差するためには、ギアアデンダム角αg を増加し、歯先の円錐角（フェース角）Γf を68°とすればよい。図２０に示すように、ギアアデンダム角αg を5.216°とすることで、フェース角Γf ＝68°となり、歯先に沿って上記の歯筋かみ合い率が達成される。しかし、標準式（３１）、（３２）に従って歯を設計すると、ギアのデデンダムがほとんどなくなる一方、ピニオンはほとんど全てがデデンダムとなります。そして、この場合では、ピニオンが負転移を受けることになり、有効歯面が十分に形成されず、ピニオンの歯の強度が低下し、実現ができない。

５．４ Γgw＝Γs＝67.989°とした時のハイポイドギア諸元と試作結果
表２にΓgw＝Γs＝67.989°とした時のハイポイドギア諸元を示す。表１に対してギア基準円半径Ｒ2w＝89.255mm、ピニオンねじれ角 ψpw＝46.988°を同一とし、ギアピッチ円錐角をΓgw＝62.784°から67.989°に変更している。この結果Ｐw とΓgwとが図１７のように異なっており、また他の諸元についても下記のように異なっている。このピッチ円錐は、ピニオンのピッチ円錐と基準点Ｐw とで接している。
設計基準点 Ｐw(9.607，0.825，96.835：Ｃs)
ピニオン円錐半径 Ｒ1w＝45.449mm
ギアピッチ円錐角 Γgw＝67.989°
ピニオンピッチ円錐角 γpw＝21.214°
ギアピッチ面上ねじれ角 ψgw＝30.768°
圧力角φnwD 、φnwC は表１と同一としてｇwD(30.768°，15°)、ｇwC(30.768°，−27.5°)を与えれば、静止座標系Ｃs では表１のｇwD、ｇwCとは傾き角が異なっている。
ｇwD(ψ0D＝45.86°，φn0D＝19.43°：Ｃs)
ｇwC(ψ0C＝43.17°，φn0C＝−22.99°：Ｃs)
接触領域及び接触領域上のｇwD、ｇwCの傾き角及び１ピッチは次の様になる。
φs0D＝26.86°，ψsw0D＝42.59°，ＰgwD＝9.903
φs0C＝−30.19°，ψsw0C＝39.04°，ＰgwC＝9.094
歯筋かみ合い率は式（２２）（２３）（２４）を用いて次の様に計算される。
駆動側 ： ＰfwD＝14.63，ＦlwpD＝34.70，ｍfD＝2.371
被駆動側： ＰfwC＝14.44，ＦlwpC＝34.70，ｍfC＝2.403
図２１は表２の諸元の試作結果で、図１６と比較すれば歯筋かみ合い率に対応して負荷かみ合い誤差が駆動側と被駆動側とでほぼ等しくなっていることが分かる。

５．５ βw ＝０とした時のハイポイドギア諸元
上記４．２Ｂ項で説明した、Ｒ2w、βw 、ψrwに基づく設計基準点Ｐw の決定方法において、βw ＝０としたときの、ハイポイドギアの諸元を表３に示す。

６．コンピュータ支援設計システム
以上のハイポイドギアの設計において、図２２に示すコンピュータ支援システム（ＣＡＤ）システムにより設計支援がなされるようになっている。このＣＡＤシステムは、プロセッサ１およびメモリ２を含むコンピュータ３と入力装置４と、出力装置５と、外部記憶装置６を有している。外部記憶装置６においては、記録媒体に対して、データの読み書きが行われる。その記録媒体には、前述したハイポイドギアの設計方法を実施するための歯車設計プログラムがあらかじめ記録されており、必要に応じてプログラムがここから読み出されコンピュータにより実行される。

プログラムの概略は、次の通りである。まず、ハイポイドギアの設計要求値および歯面を決定するための変数の値を取得する。一つの歯車のピッチ円錐角Γgcone を仮に与え、取得した変数の値と共に用いて、前述の新たに定義された歯筋に基づく駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD、および被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeCをそれぞれ算出する。これらのかみ合い率が、あらかじめ定められた値となるように、ピッチ円錐角Γgcone を変えて繰り返し算出する。両歯面のかみ合い率があらかじめ定められた値となっとき、このピッチ円錐角を設計値Γgwとし、ハイポイドギアの諸元計算を行う。かみ合い率のあらかじめ定められた値は、ある範囲を指定し、その範囲内にある値をする。好適には、かみ合い率の範囲を２．０以上とする。また、駆動側、被駆動側で範囲を変えることもできる。仮に与えるピッチ円錐角Γgcone の初期値は、瞬間軸Ｓの傾き角Γs とすることが好適である。歯先円錐角Γf を、瞬間軸Ｓの傾き角Γs 周辺の、駆動側歯面および被駆動側歯面の歯筋かみ合い率がそれぞれ２．０以上となる範囲の値とすることができる。

また、別のプログラムは、ピッチ円錐角Γgwを、始めから瞬間軸の傾き角Γs としてギア諸元の計算をし、かみ合い率に応じてピッチ円錐角の再設定を行わない。ピッチ円錐角Γgwを瞬間軸の傾き角Γs とすると、ほぼ両歯面のかみ合い率が等しくなることが分かっているので、簡易的には、これでも足りる。

図２３は、従来の手法で設計されたフェースホブの方法で製作された歯幅方向に等しい歯丈を持つ等高歯のハイポイドギアの、ギア比と歯先円錐角（フェース角）Γf を示している。等高歯は図１９においてアデンダム角αg とデデンダム角βg 共に０°となるもので、歯先円錐角Γf はピッチ円錐角Γgwに等しくなるものである。これにアデンダムとデデンダムを与えて歯の諸元が決められている。等高歯においては、図２５に示すように、カッターは、リングギア１４の中心軸線IIの回りを公転しつつ、カッター中心ｃc を中心に自転する。これにより、カッターの刃先はエピサイクロイドを描き、歯筋曲線もエピサイクロイドとなる。カッター半径ｒc と外径Ｄgoとの比ｒc ／Ｄgoが0.52以下、オフセットＥと外径Ｄgoとの比Ｅ／Ｄgoが、0.111 以上およびギア比が２以上５以下のハイポイドギアにおいては、図２３のように瞬間軸Γs 近傍のハイポイドギアは設計されていない。本実施形態による円錐角の設計法を用いれば、図２３中の符号「Ａ’」、「Ｂ’」、「Ｃ’」で示すように、Γs 近傍の歯先円錐角Γf を持つハイポイドギアを設計できる。点Ａ’、点Ｂ’、点Ｃ’は、それぞれ段落０１０２の（２）、（３）、（１）に基づく等高歯の設計例である。歯先円錐角Γf を瞬間軸Ｓの傾き角Γs に対し、Γs ±５°の範囲の値とすることができる。

図２４は、従来の手法で設計されたフェースミルの方法で製作された歯幅方向に歯丈が変化する勾配歯のハイポイドギアの、ギア比と歯先円錐角（フェース角）Γf を示している。歯先円錐角Γf は、図１９のようにピッチ円錐角Γgwとアデンダム角αg の和であり式（３１）のように、ギアアデンダム角とギアデデンダム角の和、ギアアデンダム及びピニオンアデンダムによって決定される値である。勾配歯においては、図２６に示すように、リングギア１４の歯筋（tooth trace）の曲率半径は、カッター半径ｒc と等しい。カッター半径ｒc と外径Ｄgoとの比ｒc ／Ｄgoが0.52以下、オフセットＥと外径Ｄgoとの比Ｅ／Ｄgoが、0.111 以上およびギア比が２以上５以下のハイポイドギアにおいては、図２４のように瞬間軸Γs 以上のハイポイドギアは設計されていない。一方、本実施形態のハイポイドギアは、図２４中符号「Ａ」、「Ｂ」で示すように上記の範囲にあるにも関わらず歯先円錐角がΓs 以上の値を持っており、従来法からは逸脱した諸元を設計している。点Ａ、点Ｂは、それぞれ段落０１０２の（２）、（３）に基づく勾配歯の設計例である。歯先円錐角Γf を瞬間軸Ｓの傾き角Γs に対し、Γs以上、Γs ＋５°以下の範囲の値とすることができる。

１０ ピニオン、１２ ピニオン軸、１４ ギア、１６ ギア軸、ｖc 共通垂線、Ｅ オフセット、Σ 軸角、ｉ0 ギア比、Ｐ0 ，Ｐ，Ｐw 接触点、Ｃ1 ピニオン座標系、Ｃ2 ギア座標系、Ｃs 相対座標系、Ｓ 瞬間軸、Ｖs 相対速度、ＳH 共通垂線ｖc に垂直で瞬間軸Ｓを含む平面、Γs 瞬間軸の傾き角／平面ＳH 上の瞬間軸Ｓとギア軸IIs の角度、Ｖrsw 相対速度、ψrw 相対速度Ｖrsw の傾き角、Ｌpw ピッチ母線、βw 座標系Ｃs から座標系Ｃrsの回転角、ｍf 歯筋かみ合い率、ｍfcone 円錐母線方向のかみ合い率、ｐ 円ピッチ、Ｆ 有効歯幅、ψ0 ねじれ角、γgw ピニオンピッチ円錐角、Γgw ギアピッチ円錐角、ψpw ピニオンねじれ角、ψgw ギアねじれ角。

Claims (15)

1. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなるハイポイドギアの設計方法であって、
   （ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
   （ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
   （ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方と、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方との３個の変数を与える工程と、
   （ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
   （ｅ）第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
   （ｆ）第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
   （ｇ）設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程と、
   を有する、ハイポイドギアの設計方法。
2. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなるハイポイドギアの設計方法であって、
   （ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
   （ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
   （ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方の３個の変数を与える工程と、
   （ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
   （ｅ）設計基準点Ｐw を通り、瞬間軸Ｓに平行なピッチ母線Ｌpwを算出する工程と、
   （ｆ）第２歯車の内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを与える工程と、
   （ｇ）第２歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
   （ｈ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwDとの交点Ｐ0Dおよび交点ＰODのギア軸回りの半径Ｒ20Dを算出する工程と、
   （ｉ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwDのなす平面である接触領域ＳwDの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0D と、接触法線ｇwDの接触領域ＳwD上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Dと、接触法線ｇwD上の１ピッチＰgwD とを算出する工程と、
   （ｊ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD を算出する工程と、
   （ｋ）第２歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
   （ｌ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwCとの交点Ｐ0Cおよび交点Ｐ0Cのギア軸回りの半径Ｒ20C を算出する工程と、
   （ｍ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwCのなす平面である接触領域ＳwCの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0C と、接触法線ｇwCの接触領域ＳwC上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Cと、接触法線ｇwC上の１ピッチＰgwC とを算出する工程と、
   （ｎ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeCを算出する工程と、
   （ｏ）駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeDと、被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeCを比較し、これらが所定の値であるかを判定する工程と、
   （ｐ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値であるとき、このときの仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を、上記工程（ｃ）または（ｄ）で得られた第２歯車ピッチ円錐角Γgwと置き換える工程と、
   （ｑ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値でないとき、仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を変更して前記工程（ｇ）から再度実行する工程と、
   （ｒ）前記工程（ｃ）において与えられた第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方と、前記工程（ｐ）において置き換えられた第２歯車ピッチ円錐角Γgwとを基に、設計基準点Ｐw と前記工程（ｃ）において与えられなかった第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wの他方と、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwの他方と、第１歯車のピッチ円錐角γpwを再決定する工程と、
   （ｓ）前記工程（ｃ）において与えられた諸元と、前記工程（ｒ）において前記再決定された諸元と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程と、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
3. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなるハイポイドギアの設計方法であって、
   （ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
   （ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
   （ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwのいずれか一方、および第１歯車および第２歯車のピッチ円錐角γpw、Γgwのいずれか一方の３個の変数を与える工程と、
   （ｄ）第１歯車と第２歯車の各々のピッチ円錐の共通接点である設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の３個の変数とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
   （ｅ）設計基準点Ｐw を通り、瞬間軸Ｓに平行なピッチ母線Ｌpwを算出する工程と、
   （ｆ）第２歯車の内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを与える工程と、
   （ｇ）第２歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
   （ｈ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwDとの交点Ｐ0Dおよび交点ＰODのギア軸回りの半径Ｒ20D を算出する工程と、
   （ｉ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwDのなす平面である接触領域ＳwDの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0D と、接触法線ｇwDの接触領域ＳwD上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Dと、接触法線ｇwD上の１ピッチＰgwD とを算出する工程と、
   （ｊ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeDを算出する工程と、
   （ｋ）第２歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
   （ｌ）共通垂線ｖc と直交し、かつ交点Ｃs を通る平面である基準面ＳH と、接触法線ｇwCとの交点Ｐ0Cおよび交点Ｐ0Cのギア軸回りの半径Ｒ20C を算出する工程と、
   （ｍ）ピッチ母線Ｌpwと接触法線ｇwCのなす平面である接触領域ＳwCの、共通垂線ｖc に対する傾き角φs0C と、接触法線ｇwCの接触領域ＳwC上での瞬間軸Ｓに対する傾き角ψsw0Cと、接触法線ｇwC上の１ピッチＰgwC とを算出する工程と、
   （ｎ）仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を与え、内円半径Ｒ2tと外円半径Ｒ2hを用いて被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を算出する工程と、
   （ｏ）駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeD と、被駆動側歯面のかみ合い率ｍfconeC を比較し、これらが所定の値であるかを判定する工程と、
   （ｐ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値でないとき、仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone を変更して工程（ｇ）から再度実行する工程と、
   （ｑ）駆動側、被駆動側のかみ合い率が前記所定の値であるとき、このときの仮の第２歯車のピッチ円錐角Γgcone を円錐角とする仮想円錐を規定する工程と、
   （ｒ）前記決定されたピッチ円錐角Γgcone を基に仮の第１歯車の仮想円錐のピッチ円錐角γpcone を算出する工程と、
   （ｓ）設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）および（ｄ）において決定された第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wと、第１歯車および第２歯車のねじれ角ψpw、ψgwと、前記工程（ｑ）および（ｒ）において規定された仮想円錐の円錐角Γgcone 、γpcone と、前記第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDと、第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCとに基づき、ハイポイドギアの諸元を算出する工程と、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
4. 請求項２または３に記載のハイポイドギアの設計方法であって、
   工程（ｊ）および工程（ｎ）において、最初に与えられる仮の第２歯車ピッチ円錐角Γgcone は、瞬間軸Ｓの傾き角Γs である、
   ハイポイドギアの設計方法。
5. 請求項２から４のいずれか１項に記載のハイポイドギアの設計方法であって、工程（ｏ）のかみ合い率の所定値は、歯筋かみ合い率が２．０以上である、ハイポイドギアの設計方法。
6. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなるハイポイドギアの設計方法であって、
   （ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
   （ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs および第２歯車の回転軸に対する瞬間軸の傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
   （ｃ）瞬間軸の傾き角Γs を第２歯車ピッチ円錐角Γgwに決定する工程と、
   （ｄ）決定された第２歯車ピッチ円錐角Γgwに基づきハイポイドギアの諸元を算出する工程と、
   を有するハイポイドギアの設計方法。
7. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなるハイポイドギアの設計方法であって、
   （ａ）ハイポイドギアの軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 を与える工程と、
   （ｂ）軸角Σ、オフセットＥおよびギア比ｉ0 に基づき、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓ、第１歯車と第２歯車の回転軸に対する共通垂線ｖc 、瞬間軸Ｓと共通垂線ｖc の交点Ｃs 、第２歯車の回転軸に対する瞬間軸Ｓの傾き角Γs を算出し、諸元算出のための座標系Ｃ1 、Ｃ2 、Ｃs を定める工程と、
   （ｃ）第１歯車および第２歯車の基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wのいずれか一方と、ねじれ角ψrwと、設計基準点Ｐw の位相角βw とを与え、設計基準点を決める工程と、
   （ｄ）第１歯車と第２歯車とが設計基準点Ｐw を共有する条件から、設計基準点Ｐw と、前記工程（ｃ）において与えられなかった他方の基準円半径とを、前記工程（ｃ）において与えられた３個の変数に基づき算出する工程と、
   （ｅ）第１歯車および第２歯車の基準円錐角γpw、Γgwのいずれか一方を与える工程と、
   （ｆ）前記工程（ｅ）において与えられなかった他方の基準円錐角を、軸角Σと前記工程（ｅ）において与えられた基準円錐角に基づき算出する工程と、
   （ｇ）第２の歯車の駆動側歯面の接触法線ｇwDを与える工程と、
   （ｈ）第２の歯車の被駆動側歯面の接触法線ｇwCを与える工程と、
   （ｉ）前記工程（ｃ）および（ｄ）で決定された設計基準点Ｐw 、基準円半径Ｒ1w、Ｒ2wおよびねじれ角ψrwと、前記工程（ｅ）および（ｆ）で決定された基準円錐角γpw、Γgwと、前記工程（ｇ）および（ｈ）で与えられた接触法線ｇwC、ｇwDと、に基づきハイポイドギアの諸元を算出する工程と、
   を有する、ハイポイドギアの設計方法。
8. 請求項１，２，３，６，７のいずれか１項に記載のハイポイドギアの設計方法により設計されたハイポイドギア。
9. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなる、歯筋曲率半径が一定でない歯筋形状を持ち、歯幅方向に等しい歯丈を有する等高歯のハイポイドギアであって、
   第２歯車の歯先円錐角Γf を、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓの、第２歯車回転軸に対する傾き角Γs に対し、Γs ±５°の範囲の値、かつ駆動側歯面および被駆動側歯面の歯筋かみ合い率がそれぞれ２．０以上となる範囲の値とする、
   ハイポイドギア。
10. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなる、歯幅方向に歯丈が変化する勾配歯のハイポイドギアであって、
    第２歯車の歯先円錐角Γf を、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓの、第２歯車回転軸に対する傾き角Γsに対し、Γs 以上、Γs ＋５°以下の範囲の値、かつ駆動側歯面および被駆動側歯面の歯筋かみ合い率がそれぞれ２．０以上となる範囲の値とする、
    ハイポイドギア。
11. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなる、オフセットＥと外径Ｄgoとの比Ｅ／Ｄgoが、０．１１１以上およびギア比が２以上５以下の、歯筋曲率半径が一定でない歯筋形状を持ち、歯幅方向に等しい歯丈を有する等高歯のハイポイドギアであって、
    第２歯車の歯先円錐角Γf を、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓの第２歯車回転軸に対する傾き角Γs に対し、Γs ±５°の範囲の値とした、ハイポイドギア。
12. 請求項１１記載のハイポイドギアであって、前記歯筋形状がエピサイクロイドの歯筋形状である、ハイポイドギア。
13. 第１歯車と第２歯車の歯車対からなる、オフセットＥと外径Ｄgoとの比Ｅ／Ｄgoが、０．１１１以上およびギア比が２以上５以下の、歯幅方向に歯丈が変化する勾配歯のハイポイドギアであって、
    第２歯車の歯先円錐角Γf を、第１歯車と第２歯車の相対角速度の軸である瞬間軸Ｓの第２歯車回転軸に対する傾き角Γs に対し、Γs以上、Γs ＋５°以下の範囲の値とした、ハイポイドギア。
14. 請求項１，２，３，６，７のいずれか１項に記載のハイポイドギアの設計方法をコンピュータに実行させるためのプログラム。
15. 請求項１，２，３，６，７のいずれか１項に記載のハイポイドギアの設計方法をコンピュータに実行させるためのプログラムが記憶された記憶媒体。

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