CN104121350B - 一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，包括以下步骤：1)在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立坐标系，求大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程；2)求解大、小齿轮的滚动圆圆心位置；3)获取小齿轮的刀具线方程；4)获取小齿轮齿形的包络线方程；5)获取小齿轮的齿形线方程；6)获取大齿轮的齿槽线方程；7)求出大、小齿轮的轮齿中心线方程；8)确定大、小齿轮上的载荷作用点；9)确定大、小齿轮最弱截面；10)获取大、小齿轮的格里森经验公式所需的五个参数的解析表达式；11)将计算出的大、小齿轮的五个参数代入格里森计算方法计算大、小齿轮的弯曲几何系数，并按照计算结果设置准双曲面齿轮的弯曲几何系数。本发明可广泛应用于各种准双曲面齿轮设计时，其弯曲几何系数的设置或者计算校核过程中。

Description

一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法

技术领域

本发明涉及一种齿轮参数的设置方法，特别是关于一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法。

背景技术

弯曲几何系数是在设计准双曲面齿轮副时需考虑的参数。实际工程为了保证准双曲面齿轮副不出现弯曲疲劳破坏，设计齿轮时需要设置准确的弯曲几何系数值。该值设置的保守将会使齿轮具有冗余的安全系数，设置的激进将面临接触失效的风险。

传统的计算校核方法在选取弯曲几何系数时有两种方式，一种方法是根据齿轮手册或格里森参考资料中给出的在特定的条件(平均压力角和偏置距比大齿轮节圆直径)下，查取与需求情况相似的曲线，并在曲线上近似地取点，获得该参数(如图1所示)；另一种方法是根据格里森经验公式进行求解，求解时的中间过程参数需要利用格里森绘图方法绘制“准双曲面齿轮齿宽中部法向平面齿形投影图”，然后在图中测量需要的几个中间参数值(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分层16～17页)。

上述两种方法存在的问题：第一种方法中，设计资料提供的仅是特殊条件下的曲线，即需要在特定的平均压力角、齿数、偏置距比大齿轮节圆直径等条件下使用，对于一般情况，设计者只能通过插值估算，不同插值方法对结果有很大影响。第二种方法中，经验计算公式在计算时需要获得如下的五个参数(如图2所示)：沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离HL、沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离HM、轮齿强度系数MN、最弱截面齿厚的一半IM和法向力与轮齿中心线垂线间的夹角FHJ。获得这五个值所使用的方法是按照绘图规则绘制出一对齿轮在齿宽中部法向平面的齿形投影图，在该图中用尺规测量出相应值，然后带入经验公式求解弯曲几何系数。但是绘图需要花费大量的时间，且绘图过程比较复杂，特别是进行齿形图的绘制时需要先绘出齿形包络线，而包络线在绘制时参照格里森绘图规则需要使用赛璐珞片，将大齿轮滚动圆和刀具的侧刃绘制在其上，然后在保证大小齿轮滚动圆做纯滚动的条件下绘出小齿轮齿形的包络线。对于直接手工绘制无形中增加了难度和时间成本，绘制精度也不易保证。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种能够快速、准确确定弯曲几何系数的准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，该方法无需绘图即可准确获得格里森经验公式所需的五个参数。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，包括以下步骤：1)在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立坐标系，求大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程；2)求解大、小齿轮的滚动圆圆心位置；3)获取小齿轮的刀具线方程；4)获取小齿轮齿形的包络线方程；5)获取小齿轮的齿形线方程；6)获取大齿轮的齿槽线方程；7)求出大、小齿轮的轮齿中心线方程；8)确定大、小齿轮上的载荷作用点；9)确定大、小齿轮最弱截面；10)获取大、小齿轮的格里森经验公式所需的五个参数的解析表达式，五个所述参数分别是：沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离、沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离、轮齿强度系数、最弱截面齿厚的一半和法向力与轮齿中心线垂线间的夹角；11)将计算出的大、小齿轮的五个参数代入格里森计算方法计算大、小齿轮的弯曲几何系数，并按照计算结果设置准双曲面齿轮的弯曲几何系数。

在所述步骤1)中，在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立的坐标系以大齿轮和小齿轮的节点P为原点、大齿轮的中心OG和小齿轮的中心OP连线所在直线为y轴、与y轴垂直的方向为x轴，记大齿轮的中心OG的坐标为(OG_x,OG_y)，小齿轮的中心OP的坐标为(OP_x,OP_y)，求得大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程：

$x^2+{(y-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{dNG}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNG}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{dNP}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNP}}}^2$

在所述步骤2)中，大、小齿轮的滚动圆圆心坐标根据节圆上的极限压力角φ求出，求得的大齿轮的滚动圆圆心坐标为(R_Gtanφ,R_G)，求得的小齿轮滚动圆圆心坐标(-R_Ptanφ,-R_P)，其中，R_G为大齿轮背锥平面的法向背锥距；R_P为小齿轮背锥平面的法向背锥距。

在所述步骤3)中，小齿轮的刀具线方程的求解过程如下：

根据大齿轮刀点宽度W_G，求得过大齿轮的齿根圆与y轴交点A且位于A点两侧的两点的坐标：A₁点的坐标为(A_1x,A_1y)，A₂点的坐标为(A_2x,A_2y)，A₁点和A₂点为从A点沿平行于x轴，向两侧各延长刀顶距的二分之一，即：

$A_{1}A=A_{2}A=\frac{1}{2}{W}_G$

进而求得小齿轮的刀具线方程：

$y-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

$y-A_{2y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-A_{2x})$

式中：φ₁'为大齿轮轮齿凸面节线上的压力角；φ₂'为大齿轮轮齿凹面节线上的压力角。

在所述步骤4)中，小齿轮齿形的包络线方程是由小齿轮的刀具线方程按照纯滚动的要求进行坐标变换得到的，滚动时的变换矩阵为：

$M=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]$

式中：θ为每次滚动的角度；所得到的小齿轮齿形的包络线方程为：

左侧包络线为：B_ix+C_iy+D_i＝0i＝0,1,2...,10

右侧包络线为：B_rix+C_riy+D_ri＝0i＝0,1,2...,10。

在所述步骤5)中，小齿轮的齿形线方程的求解过程如下：

在由步骤4)所求出的每侧的11条包络线中，每相邻两条包络线都有交点，两相邻交点连成的直线是齿廓线的外切线，取得所有相邻两交点的中点，可获得9个点的坐标值，利用该9个点的高次多项式拟合一条曲线，该曲线小齿轮廓，记左侧的9个相邻两交点的中点为P_i(p_ix,p_iy)，右侧的9个相邻两交点的中点为P_ri(p_rix,p_riy)，其中i＝1,2,3...,9，将上述点用高次多项式拟合成n次曲线，可得到齿形线的方程为：

左侧：y_l＝a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

右侧：y_r＝b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+…+b₁x+b₀

在所述步骤6)中，大齿轮的齿槽线方程的求解过程如下：

大齿轮的第一条齿槽线方程即为步骤3)中所得到的过A₁点的直线方程：

$y-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

记其与x轴的交点坐标为Q(x_Q,0)，根据大齿轮的齿厚，从Q点取齿厚的长度QQ′，则Q′点的坐标为Q(x_Q′,0)＝(x_Q-QQ',0)，进而求得大齿轮的第二条齿槽线方程：

$y=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-x_{Q^{\′}})$

在所述步骤7)中，大、小齿轮的轮齿中心线方程的求解过程如下：

对于大齿轮：取大齿轮左侧齿根圆角圆上一点I′(x_I',y_I')，它是圆角圆与大齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ角后得到的，I′点坐标的计算方法是，先计算切点，设切点坐标为(x_temp,y_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNG}}}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}-x_{\mathrm{cG}})}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-y_{\mathrm{cG}})}^2=r_G^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ角：

x_I'＝cosδ×(x_temp-x_cG)-sinδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

y_I'＝sinδ×(x_temp-x_cG)+cosδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

过I′点平行于x轴的直线与大齿轮右侧齿根圆角交与I点，I点坐标(x_I,y_I)通过直线II'方程与右侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_I=y_{I^{\′}}\\ {(x_I-x_{\mathrm{rcG}})}^2+{(y_I-y_{\mathrm{rcG}})}^2={r_G}^2\end{array}\right.$

取I点与I′点的中点M，则其坐标为

由此求得大齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x}{x_M}$

对于小齿轮：取小齿轮右侧齿根圆角圆上一点i'(x_i',y_i')，它是圆角圆与小齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ'角后得到的，_i'点坐标的计算方法是，先计算切点，

设其坐标为(x'_temp,y'_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}^{\′}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNP}}}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}^{\′}-x_{\mathrm{crg}})}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-y_{\mathrm{crg}})}^2=r_P^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ'角：

x_i'＝cosδ'×(x'_temp-x_crg)-sinδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

y_i'＝sinδ'×(x'_temp-x_crg)+cosδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

过i'点平行于x轴的直线与大齿轮左侧齿根圆角交与i点，对应的i点坐标(x_i,y_i)通过直线ii'方程与左侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_i=y_{i^{\′}}\\ {(x_i-x_{\mathrm{cg}})}^2+{(y_i-y_{\mathrm{cg}})}^2={r_P}^2\end{array}\right.$

取i点与i'点的中点m，则其坐标为

由此求得小齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x}{x_m}$

在所述步骤8)中，大、小齿轮上的载荷作用点的确定过程如下：

首先获得接触轨迹圆方程：根据齿轮基本参数可以获得准双曲面齿轮接触轨迹方向角φ'，接触轨迹圆的切线方程为y＝tan(π-φ')×x，切点为P点，接触轨迹圆圆心C(x_c,y_c)满足接触轨迹圆半径为

$R_c=\frac{R_{\mathrm{rNG}}\×\cos {\mathrm{\φ}}^{\′}}{2}$

接触轨迹圆与其切线之间的相切关系为

$\frac{y_c}{x_c}\×\tan (\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1$

因为P点(0,0)在接触轨迹圆上，可以得到方程组如下，由此计算出C点坐标并得到接触轨迹圆方程：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c^2+y_c^2=R_c^2\\ \frac{y_c}{x_c}\×\tan (\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1\end{array}\right.$

其次，根据接触轨迹圆方程与大小齿轮齿顶圆方程交点，确定中点法向截面作用线；

再次，在中点法向截面作用线上截取大齿轮啮合作用线长度，截取点为E点，该点坐标根据大齿轮啮合作用线长度与圆心C的弧长关系可以求出为E(x_E,y_E)，以大齿轮中心OG为圆心，以圆心到上述截取点E的长度为半径得到圆弧，交大轮齿形线于一点F，F点通过下述圆方程和小齿轮的刀具线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_F^2+{(y_F-{\mathrm{OG}}_y)}^2={\mathrm{OGE}}^2\\ y_F-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x_F-A_{1x})\end{array}\right.$

该F点即是大齿轮上的载荷作用点；

在中点法向截面作用线上截取小齿轮啮合作用线长度，以小齿轮中心OP为圆心，以圆心到上述截取点e的长度为半径得到圆弧，交小轮齿形线于一点f，f点通过下述圆方程和小齿轮的左侧齿形线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_f^2+{(y_f-{\mathrm{OP}}_y)}^2={\mathrm{OPe}}^2\\ y_f=a_n{x_f}^n+a_{n-1}{x_f}^{n-1}+...+a_1{x}_f+a_0\end{array}\right.$

该f点即是小齿轮上的载荷作用点；

在所述步骤9)中，大、小齿轮最弱截面的求解过程如下：

对于大齿轮：在载荷作用点F点处存在直线FH，该直线在点F处垂直于大齿轮轮齿形齿面，交大齿轮中心线于H点，H点坐标(x_H,y_H)由FH的直线方程和大齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_H-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_H}{x_M}\\ y_H-y_F=-\tan {{\mathrm{\φ}}_1}^{\′}\×(x_H-x_F)\end{array}\right.$

过大齿轮中心线，以H点为垂足，存在一直线L₁垂直于大齿轮轮齿中心线，故直线L₁的方程为：

$y-y_H=\frac{-x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_H)$

大齿轮最弱截面点是顶点为H的内接抛物线和齿廓线之间的切点I₁，具体求解方法是：设在大齿轮中心线上有一点K，K点坐标为(x_K,y_K)，I₁点应满足的要求为：在直线L₁上存在一点J，使得I₁J＝JK设I₁点坐标为(x_I1,y_I1)，则J点坐标由几何关系可得为((x_I1+x_K)/2,(y_I1+y_K)/2)，已知I₁点所在圆角的圆弧方程、大齿轮轮齿中心线方程、直线HJ的方程，再根据几何关系联立I₁K与大齿轮右侧齿根圆角圆相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{I1}-x_{\mathrm{crG}})}^2+{(y_{I1}-y_{\mathrm{crG}})}^2={r_G}^2\\ \frac{y_K-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_K}{x_M}\\ \frac{y_{I1}+y_K}{2}-y_H=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(\frac{x_{I1}+x_K}{2}-x_H)\\ \frac{y_K-y_{I1}}{x_K-x_{I1}}\×\frac{y_{I1}-y_{\mathrm{crG}}}{x_{I1}-x_{\mathrm{crG}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到I₁点和K点的坐标；

根据I₁点和H点的坐标,得到直线I₁H的方程为：

$\frac{y-y_H}{y_{I1}-y_H}=\frac{x-x_H}{x_{I1}-x_H}$

过H点，并以H点为垂足，存在直线I₁N与直线I₁H相互垂直，N点在大齿轮轮齿中心线上，直线I₁N的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_{I1}-x_H}{y_{I1}-y_H}\×(x-x_{I1})$

过I₁点，与大齿轮轮齿中心线垂直的直线I₁M₁的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_{I1})$

通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁N相交关系可以求出N点的坐标(x_N,y_N)；通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁M₁相交关系可以求出M₁点的坐标(x_M1,y_M1)；

对于小齿轮：在载荷作用点f点处存在直线fh，该直线在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线方程，交小齿轮中心线于h点，h点坐标(x_h,y_h)由fh的直线方程和小齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_h-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_h}{x_m}\\ y_h-y_f=k_{\mathrm{fh}}\×(x_h-x_f)\end{array}\right.$

其中k_fh为直线fh的斜率，根据直线fh在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线，得到k_fh计算公式为：

$k_{\mathrm{fh}}=-\frac{1}{{\mathrm{na}}_n{x}_f^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}_f^{n-2}+...+a_1}$

过小齿轮中心线，以h点为垂足，存在一直线L₂垂直于小齿轮轮齿中心线，故直线L₂的方程为：

$y-y_h=\frac{{-x}_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_h)$

小齿轮最弱截面点是顶点为h的内接抛物线和齿廓线之间的切点i₁，具体求解方法是：设在小齿轮中心线上有一点k，k点坐标为(x_k,y_k)，i₁点应满足的要求为：在直线L₂上存在一点j，使得i₁j＝jk，设i₁点坐标为(x_i1,y_i1)，则j点坐标由几何关系可得为((x_i1+x_k)/2,(y_i1+y_k)/2)，已知i₁点所在圆角的圆弧方程、小齿轮轮齿中心线方程、直线hj的方程，再根据几何关系联立i₁k与小齿轮左侧齿根圆角相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{i1}-x_{\mathrm{cg}})}^2+{(y_{i1}-y_{\mathrm{cg}})}^2={r_p}^2\\ \frac{y_k-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_k}{x_m}\\ \frac{y_{i1}+y_k}{2}-y_h=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(\frac{x_{i1}+x_k}{2}-x_h)\\ \frac{y_k-y_{i1}}{x_k-x_{i1}}\×\frac{y_{i1}-y_{\mathrm{cg}}}{x_{i1}-x_{\mathrm{cg}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到i₁点和k点的坐标；

根据i₁点和h点的坐标,得到直线i₁h的方程为：

$\frac{y-y_h}{y_{i1}-y_h}=\frac{x-x_h}{x_{i1}-x_h}$

过h点，并以h点为垂足，存在直线i₁n与直线i₁h相互垂直，n点在小齿轮轮齿中心线上，直线i₁n的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_{i1}-x_h}{y_{i1}-y_h}\×(x-x_{i1})$

过i₁点，与小齿轮轮齿中心线垂直的直线i₁m₁的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_{i1})$

通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁n相交关系可以求出n点的坐标(x_n,y_n)；通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁m₁相交关系可以求出m₁点的坐标(x_m1,y_m1)。

在所述步骤10)中，对于大齿轮：格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-HL；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-HM；

轮齿强度系数-MN；

最弱截面齿厚的一半-IM；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-FHJ；

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{HL}=\sqrt{{(x_H-x_L)}^2+{(y_H-y_L)}^2}$

${\mathrm{HM}}_1=\sqrt{{(x_H-x_{M1})}^2+{(y_H-y_{M1})}^2}$

$M_{1}N=\sqrt{{(x_{M1}-x_N)}^2+{(y_{M1}-y_N)}^2}$

${I_{1}M}_1=\sqrt{{(x_{I1}-x_{M1})}^2+{(y_{I1}-y_{M1})}^2}$

$\∠\mathrm{FHJ}=-a\tan \left(\frac{y_F-y_H}{x_F-x_H}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_M-{\mathrm{OG}}_y}{x_M}\right))$

对于小齿轮：格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-hl；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-hm；

轮齿强度系数-mn；

最弱截面齿厚的一半-im；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-fhj；

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{hl}=\sqrt{{(x_h-x_l)}^2+{(y_h-y_l)}^2}$

${\mathrm{hm}}_1=\sqrt{{(x_h-x_{m1})}^2+{(y_h-y_{m1})}^2}$

$m_{1}n=\sqrt{{(x_{m1}-x_n)}^2+{(y_{m1}-y_n)}^2}$

${i_{1}m}_1=\sqrt{{(x_{i1}-x_{m1})}^2+{(y_{i1}-y_{m1})}^2}$

$\∠\mathrm{fhj}=-a\tan \left(\frac{y_f-y_h}{x_f-x_h}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_m-{\mathrm{OP}}_y}{x_m}\right)).$

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、与传统方法中的采用经验公式的方法或查取相似的曲线再在曲线上近似取点的方法相比，本发明先求得“五个参数”的解析值，再将解析值代入格里森计算方法，所计算出的弯曲几何系数为精确值，按照该值设置弯曲几何系数更为准确。2、本发明方法无需人为绘图测量，能够避免绘图测量过程中产生的误差。3、本发明由于将绘图过程进行了解析化和公式化，因此便于进行编程处理，可以使其计算时更加快速。4、由于本发明方法可以广泛地用于一般准双曲面齿轮的设计，因此其具有很好的通用性。本发明可广泛应用于各种准双曲面齿轮设计时，其弯曲几何系数的设置或者计算校核过程中。

附图说明

图1是原格里森方法给出的弯曲几何系数参考曲线；

图2是准双曲面齿轮齿宽中部法向平面齿形投影图大齿轮处五个参数说明示意图；

图3是本发明的步骤2)说明示意图；

图4是本发明的步骤3)说明示意图；

图5是本发明的步骤4)说明示意图；

图6是本发明的步骤5)说明示意图；

图7是本发明的步骤6)说明示意图；

图8是本发明的步骤7)、8)、9)说明示意图；

图9是本发明的步骤10)说明示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

本发明提供的准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法包括以下步骤：

1)在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立坐标系，求大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程：

以大齿轮和小齿轮的节点P为原点、大齿轮的中心OG和小齿轮的中心OP连线所在直线为y轴、与y轴垂直的方向为x轴建立笛卡尔坐标系，记大齿轮的中心OG的坐标为(OG_x,OG_y)，小齿轮的中心OP的坐标为(OP_x,OP_y)，则OG_x＝OP_x＝0。

根据齿轮基本参数可获得大、小齿轮的齿顶圆半径和齿根圆半径，由此得到大、小齿轮的齿顶圆方程和齿根圆方程：

$x^2+{(y-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{dNG}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNG}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{dNP}}}^2$

$x^2+{(y-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNP}}}^2$

式中：R_dNG为大齿轮的齿顶圆半径；R_rNG为大齿轮的齿根圆半径；R_dNP为小齿轮的齿顶圆半径；R_rNP为小齿轮的齿根圆半径。

2)求解大、小齿轮的滚动圆圆心位置：

通过坐标原点P，存在直线T与y轴成节圆上的极限压力角φ(极限压力角φ可根据齿轮基本参数求出)，过小齿轮中心OP，存在平行于x轴的直线，与直线T相交于OP′点(如图3所示)，OP′点即为小齿轮滚动圆圆心(-R_Ptanφ,-R_P)，其中R_P为小齿轮背锥平面的法向背锥距；同理，过大齿轮中心OG存在平行于x轴的直线，与直线T相交于OG′点(未在图中示出，因的距离OG′太长，若在图中示出，则OP′会再图中显示成一点)，OG′点即为大齿轮轮滚动圆圆心(R_Gtanφ,R_G)，其中R_G为大齿轮背锥平面的法向背锥距。

3)获取小齿轮的刀具线方程：

如图4所示，根据大齿轮刀点宽度W_G，可求得过大齿轮的齿根圆与y轴交点A且位于A点两侧的两点的坐标：A₁点的坐标为(A_1x,A_1y)，A₂点的坐标为(A_2x,A_2y)，A₁点和A₂点为从A点沿平行于x轴，向两侧各延长刀顶距的二分之一，即：

$A_{1}A=A_{2}A=\frac{1}{2}{W}_G$

那么过A₁点的直线方程为：

$y-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

过A₂点的直线方程为：

$y-A_{2y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-A_{2x})$

式中：φ₁'为大齿轮轮齿凸面节线上的压力角；φ₂'为大齿轮轮齿凹面节线上的压力角；φ₁'和φ₂'可由齿轮基本参数求得。

上述两直线方程即小齿轮的刀具线方程。

4)获取小齿轮齿形的包络线方程：

如图5所示，利用小齿轮的刀具线方程，将其按照纯滚动的要求进行坐标变换，可得到小齿轮齿形的包络线方程。

记小齿轮的原刀具线方程为Bx+Cy+D＝0，为保证纯滚动，应使对应的滚动圆上的点对应啮合。取每次滚动的角度为θ，每次滚动该角度相当于进行一次坐标变换，也就是说每一条包络线都是通过坐标变换得出的。滚动时，坐标变换矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\θ}& -\sin \mathrm{\θ}\\ \sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]$

原齿槽线方程Bx+Cy+D＝0经过变换得到包络线方程，每侧各有11条直线

左侧包络线为：B_ix+C_iy+D_i＝0i＝0,1,2...,10

右侧包络线为：B_rix+C_riy+D_ri＝0i＝0,1,2...,10

5)获取小齿轮的齿形线方程：

在每侧的11条包络线中，每相邻两条包络线都有交点，两相邻交点连成的直线是齿廓线的外切线。取得所有相邻两交点的中点，可获得9个点的坐标值，利用该9个点的高次多项式拟合一条曲线，该曲线除去与齿顶圆和齿根圆外的部分，再将齿根圆的圆角做出，即为小齿轮廓。

记左侧的9个相邻两交点的中点为P_i(p_ix,p_iy)，右侧的9个相邻两交点的中点为P_ri(p_rix,p_riy)，其中i＝1,2,3...,9，将上述点用高次多项式拟合成n次曲线，可得到齿形线的方程为：

左侧：y_l＝a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

右侧：y_r＝b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+…+b₁x+b₀

齿形线与齿根圆之间的圆角圆的圆心可以通过包络线方程、圆角圆和齿根圆方程求得。对于左侧，记其圆角圆心为C_g(x_cg,y_cg)，圆角圆半径r_p是由设计者给定的参数，取包路线方程为左侧包络线中斜率绝对值最大的一条，即与x轴夹角最大的一条，则圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{cg}}}^2+{(y_{\mathrm{cg}}-{\mathrm{OP}}_y)}^2={(R_{\mathrm{rNP}}+r_p)}^2\\ {\mathrm{Bx}}_{\mathrm{cg}}+{\mathrm{Cy}}_{\mathrm{cg}}+D=0\end{array}\right.$

对于右侧，记其圆角圆心为C_rg(x_crg,y_crg)，取包络线方程为右侧包络线中斜率绝对值最大的一条，即与x轴夹角最小的一条，则圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{crg}}}^2+{(y_{\mathrm{crg}}-{\mathrm{OP}}_y)}^2={(R_{\mathrm{rNP}}+r_p)}^2\\ B^{\′}{x}_{\mathrm{crg}}+{C^{\′}y}_{\mathrm{crg}}+D^{\′}=0\end{array}\right.$

6)获取大齿轮的齿槽线方程：

大齿轮的第一条齿槽线方程即为步骤3)中所得到的过A₁点的直线方程：

$y-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

记其与x轴的交点坐标为Q(x_Q,0)，根据大齿轮的齿厚，从Q点取齿厚的长度QQ′，则Q′点的坐标为Q(x_Q′,0)＝(x_Q-QQ',0)，进而可求得大齿轮的第二条齿槽线方程：

$y=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-x_{Q^{\′}})$

按照与小齿轮相同的方法可推导出大齿轮齿根圆角，具体过程如下：

大齿轮齿根圆角圆心通过大齿轮齿根圆、大齿轮齿槽线和圆角圆的相切关系求出，对于左侧，记其圆角圆心为C_G(x_cG,y_cG)，圆角圆半径r_G是由设计者给定的参数，圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{cG}}}^2+{(y_{\mathrm{cG}}-{\mathrm{OG}}_y)}^2={(R_{\mathrm{rNG}}+r_G)}^2\\ y_{\mathrm{cG}}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x_{\mathrm{cG}}-x_{Q^{\′}})\end{array}\right.$

对于右侧，记其圆角圆心为C_rG(x_crG,_ycrG)，圆角圆半径r_G是由设计者给定的参数，圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{crG}}}^2+{(y_{\mathrm{crG}}-{\mathrm{OG}}_y)}^2={(R_{\mathrm{rNG}}+r_G)}^2\\ y_{\mathrm{crG}}-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x_{\mathrm{crG}}-A_{1x})\end{array}\right.$

7)求出大、小齿轮的轮齿中心线方程：

对于大齿轮：如图8所示，取大齿轮左侧齿根圆角圆上一点I′(x_I',y_I')，它是圆角圆与大齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ角后得到的。其计算方法是，先计算切点，设其坐标为(x_temp,y_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNG}}}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}-x_{\mathrm{cG}})}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-y_{\mathrm{cG}})}^2=r_G^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ角(注意坐标变换时角度顺时针为负，逆时针为正)：

坐标变换矩阵为 $M=\left[\begin{array}{cc}\cos \mathrm{\δ}& -\sin \mathrm{\δ}\\ \sin \mathrm{\δ}& \cos \mathrm{\δ}\end{array}\right]$

x_I'＝cosδ×(x_temp-x_cG)-sinδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

y_I'＝sinδ×(x_temp-x_cG)+cosδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

过I′点平行于x轴的直线与大齿轮右侧齿根圆角交与I点，直线II'上的所有点的纵坐标相等。I点坐标(x_I,y_I)通过直线II'方程与右侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_I=y_{I^{\′}}\\ {(x_I-x_{\mathrm{rcG}})}^2+{(y_I-y_{\mathrm{rcG}})}^2={r_G}^2\end{array}\right.$

取I点与I′点的中点M，则其坐标为

由此求得大齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x}{x_M}$

对于小齿轮：

如图9所示，取小齿轮右侧齿根圆角圆上一点i'(x_i',y_i')，它是圆角圆与小齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ'角后得到的。其计算方法是，先计算切点，设其坐标为(x'_temp,y'_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}^{\′}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{\mathrm{rNP}}}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}^{\′}-x_{\mathrm{crg}})}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-y_{\mathrm{crg}})}^2=r_P^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ'角(注意坐标变换时角度顺时针为负，逆时针为正)：

x_i'＝cosδ'×(x'_temp-x_crg)-sinδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

y_i'＝sinδ'×(x'_temp-x_crg)+cosδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

其中，坐标变换矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}\cos {\mathrm{\δ}}^{\′}& -\sin {\mathrm{\δ}}^{\′}\\ \sin {\mathrm{\δ}}^{\′}& \cos {\mathrm{\δ}}^{\′}\end{array}\right]$

过i'点平行于x轴的直线与大齿轮左侧齿根圆角交与i点，直线ii'上的所有点的纵坐标相等。对应的i点坐标(x_i,y_i)通过直线ii'方程与左侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_i=y_{i^{\′}}\\ {(x_i-x_{\mathrm{cg}})}^2+{(y_i-y_{\mathrm{cg}})}^2={r_P}^2\end{array}\right.$

取i点与i'点的中点m，则其坐标为

由此求得小齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x}{x_m}$

8)确定大、小齿轮上的载荷作用点：

该载荷作用点位置的确定参考格里森绘图方法(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分册第17页)：

首先获得接触轨迹圆方程：根据齿轮基本参数可以获得准双曲面齿轮接触轨迹方向角φ'(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分册第30页计算卡第42项)。接触轨迹圆的切线方程为y＝tan(π-φ')×x，切点为P点，接触轨迹圆圆心C(x_c,y_c)满足 ${(x-x_c)}^2+{(y-y_c)}^2=R_c^2,$ 接触轨迹圆半径为

$R_c=\frac{R_{\mathrm{rNG}}\×\cos {\mathrm{\φ}}^{\′}}{2}$

接触轨迹圆与其切线之间的相切关系为

$\frac{y_c}{x_c}\×\tan (\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1$

因为P点(0,0)在接触轨迹圆上，可以得到方程组如下，由此计算出C点坐标并得到接触轨迹圆方程：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c^2+y_c^2=R_c^2\\ \frac{y_c}{x_c}\×\tan (\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1\end{array}\right.$

其次，根据接触轨迹圆方程与大小齿轮齿顶圆方程交点，如图4中的D点和d点，确定中点法向截面作用线；

再次，在中点法向截面作用线上截取大齿轮啮合作用线长度(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分册第31页计算卡第65项)，截取点为E点，该点坐标根据大齿轮啮合作用线长度与圆心C的弧长关系可以求出为E(x_E,y_E)。以大齿轮中心OG为圆心，以圆心到上述截取点E的长度为半径(该半径值OGE是根据齿轮基本参数求得的)得到圆弧，交大轮齿形线于一点F，该F点是大齿轮上的载荷作用点。F点通过下述圆方程和小齿轮的刀具线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_F^2+{(y_F-{\mathrm{OG}}_y)}^2={\mathrm{OGE}}^2\\ y_F-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x_F-A_{1x})\end{array}\right.$

对于小齿轮求解载荷作用点的方法与大齿轮相同，在中点法向截面作用线上截取小齿轮啮合作用线长度，以小齿轮中心OP为圆心，以圆心到上述截取点e(e点与E点是重合的)的长度为半径(该半径值OPe是根据齿轮基本参数求得的)得到圆弧，交小轮齿形线于一点f，该f点是小齿轮上的载荷作用点。f点通过下述圆方程和小齿轮的左侧齿形线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_f^2+{(y_f-{\mathrm{OP}}_y)}^2={\mathrm{OPe}}^2\\ y_f=a_n{x_f}^n+a_{n-1}{x_f}^{n-1}+...+a_1{x}_f+a_0\end{array}\right.$

9)确定大、小齿轮最弱截面：

对于大齿轮：如图8所示，在载荷作用点F点处存在直线FH，该直线在点F处垂直于大齿轮轮齿形齿面，交大齿轮中心线于H点，H点坐标(x_H,y_H)由FH的直线方程和大齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_H-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_H}{x_M}\\ y_H-y_F=-\tan {{\mathrm{\φ}}_1}^{\′}\×(x_H-x_F)\end{array}\right.$

过大齿轮中心线，以H点为垂足，存在一直线L₁垂直于大齿轮轮齿中心线，故直线L₁的方程为：

$y-y_H=\frac{-x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_H)$

大齿轮最弱截面点是顶点为H的内接抛物线和齿廓线之间的切点I₁。具体求解方法是：设在大齿轮中心线上有一点K，K点坐标为(x_K,y_K)。I₁点应满足的要求为：在直线L₁上存在一点J，使得I₁J＝JK设I₁点坐标为(x_I1,y_I1)，则J点坐标由几何关系可得为((x_I1+x_K)/2,(y_I1+y_K)/2)，已知I₁点所在圆角(大齿轮右侧齿根圆角)的圆弧方程(由步骤6)获得)、大齿轮轮齿中心线方程、直线HJ的方程，再根据几何关系联立I₁K与大齿轮右侧齿根圆角圆相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{I1}-x_{\mathrm{crG}})}^2+{(y_{I1}-y_{\mathrm{crG}})}^2={r_G}^2\\ \frac{y_K-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_K}{x_M}\\ \frac{y_{I1}+y_K}{2}-y_H=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(\frac{x_{I1}+x_K}{2}-x_H)\\ \frac{y_K-y_{I1}}{x_K-x_{I1}}\×\frac{y_{I1}-y_{\mathrm{crG}}}{x_{I1}-x_{\mathrm{crG}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到I₁点和K点的坐标。

如图9所示，根据I₁点和H点的坐标,得到直线I₁H的方程为：

$\frac{y-y_H}{y_{I1}-y_H}=\frac{x-x_H}{x_{I1}-x_H}$

过H点，并以H点为垂足，存在直线I₁N与直线I₁H相互垂直，N点在大齿轮轮齿中心线上，直线I₁N的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_{I1}-x_H}{y_{I1}-y_H}\×(x-x_{I1})$

过I₁点，与大齿轮轮齿中心线垂直的直线I₁M₁的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_{I1})$

通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁N相交关系可以求出N点的坐标(x_N,y_N)；通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁M₁相交关系可以求出M₁点的坐标(x_M1,y_M1)。

对于小齿轮：如图9所示，在载荷作用点f点处存在直线fh，该直线在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线方程，交小齿轮中心线于h点，h点坐标(x_h,y_h)由fh的直线方程和小齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_h-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_h}{x_m}\\ y_h-y_f=k_{\mathrm{fh}}\×(x_h-x_f)\end{array}\right.$

其中k_fh为直线fh的斜率，根据直线fh在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线，得到k_fh计算公式为：

$k_{\mathrm{fh}}=-\frac{1}{{\mathrm{na}}_n{x}_f^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x}_f^{n-2}+...+a_1}$

过小齿轮中心线，以h点为垂足，存在一直线L₂垂直于小齿轮轮齿中心线，故直线L₂的方程为：

$y-y_h=\frac{{-x}_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_h)$

小齿轮最弱截面点是顶点为h的内接抛物线和齿廓线之间的切点i₁。具体求解方法是：设在小齿轮中心线上有一点k，k点坐标为(x_k,y_k)。i₁点应满足的要求为：在直线L₂上存在一点j，使得i₁j＝jk。设i₁点坐标为(x_i1,y_i1)，则j点坐标由几何关系可得为((x_i1+x_k)/2,(y_i1+y_k)/2)，已知i₁点所在圆角(小齿轮左侧齿根圆角)的圆弧方程(由步骤5)获得)、小齿轮轮齿中心线方程、直线hj的方程，再根据几何关系联立i₁k与小齿轮左侧齿根圆角相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{i1}-x_{\mathrm{cg}})}^2+{(y_{i1}-y_{\mathrm{cg}})}^2={r_p}^2\\ \frac{y_k-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_k}{x_m}\\ \frac{y_{i1}+y_k}{2}-y_h=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(\frac{x_{i1}+x_k}{2}-x_h)\\ \frac{y_k-y_{i1}}{x_k-x_{i1}}\×\frac{y_{i1}-y_{\mathrm{cg}}}{x_{i1}-x_{\mathrm{cg}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到i₁点和k点的坐标。

如图9所示，根据i₁点和h点的坐标,得到直线i₁h的方程为：

$\frac{y-y_h}{y_{i1}-y_h}=\frac{x-x_h}{x_{i1}-x_h}$

过h点，并以h点为垂足，存在直线i₁n与直线i₁h相互垂直，n点在小齿轮轮齿中心线上，直线i₁n的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_{i1}-x_h}{y_{i1}-y_h}\×(x-x_{i1})$

过i₁点，与小齿轮轮齿中心线垂直的直线i₁m₁的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_{i1})$

通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁n相交关系可以求出n点的坐标(x_n,y_n)；通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁m₁相交关系可以求出m₁点的坐标(x_m1,y_m1)。

10)获取大、小齿轮的格里森经验公式所需的五个参数的解析表达式：

对于大齿轮：

L点是大齿轮轮齿中心线与x轴的交点，其坐标L(x_L,y_L)可以根据下式计算出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_L-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_L}{x_M}\\ y_L=0\end{array}\right.$

如图9所示，格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-HL；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-HM；

轮齿强度系数-MN；

最弱截面齿厚的一半-IM；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-FHJ。

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{HL}=\sqrt{{(x_H-x_L)}^2+{(y_H-y_L)}^2}$

${\mathrm{HM}}_1=\sqrt{{(x_H-x_{M1})}^2+{(y_H-y_{M1})}^2}$

$M_{1}N=\sqrt{{(x_{M1}-x_N)}^2+{(y_{M1}-y_N)}^2}$

${I_{1}M}_1=\sqrt{{(x_{I1}-x_{M1})}^2+{(y_{I1}-y_{M1})}^2}$

$\∠\mathrm{FHJ}=-a\tan \left(\frac{y_F-y_H}{x_F-x_H}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_M-{\mathrm{OG}}_y}{x_M}\right))$

对于小齿轮：

l点是小齿轮轮齿中心线与x轴的交点，其坐标l(x_l,y_l)可以根据下式计算出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_l-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_l}{x_m}\\ y_l=0\end{array}\right.$

如图9所示，格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-hl；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-hm；

轮齿强度系数-mn；

最弱截面齿厚的一半-im；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-fhj。

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{hl}=\sqrt{{(x_h-x_l)}^2+{(y_h-y_l)}^2}$

${\mathrm{hm}}_1=\sqrt{{(x_h-x_{m1})}^2+{(y_h-y_{m1})}^2}$

$m_{1}n=\sqrt{{(x_{m1}-x_n)}^2+{(y_{m1}-y_n)}^2}$

${i_{1}m}_1=\sqrt{{(x_{i1}-x_{m1})}^2+{(y_{i1}-y_{m1})}^2}$

$\∠\mathrm{fhj}=-a\tan \left(\frac{y_f-y_h}{x_f-x_h}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_m-{\mathrm{OP}}_y}{x_m}\right))$

11)将计算出的大、小齿轮的五个参数代入格里森计算方法计算大、小齿轮的弯曲几何系数，并按照计算结果设置准双曲面齿轮的弯曲几何系数。

下面通过一个具体的实施例，用以说明本发明的效果。

取一对准双曲面齿轮副，其基本参数如表1：

表1一对准双曲面齿轮副的基本参数

1)在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立坐标系，求大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程：

以大齿轮和小齿轮的节点P为原点、大齿轮的中心OG和小齿轮的中心OP连线所在直线为y轴、与y轴垂直的方向为x轴建立笛卡尔坐标系，记大齿轮的中心OG的坐标为(OG_x,OG_y)，小齿轮的中心OP的坐标为(OP_x,OP_y)，则OG_x＝OP_x＝0。

根据齿轮基本参数可获得大、小齿轮的齿顶圆半径和齿根圆半径，由此得到大、小齿轮的齿顶圆方程和齿根圆方程：

x²+(y-1035.8)²＝1038.7²

x²+(y-1035.8)²＝1018.8²

x²+(y+98.9736)²＝113.3235²

x²+(y+98.9736)²＝93.3911²

2)求解大、小齿轮的滚动圆圆心位置：

通过坐标原点P，存在直线T与y轴成节圆上的极限压力角φ(φ＝-0.0242rad)，过小齿轮中心OP，存在平行于x轴的直线，与直线T相交于OP′点(如图3所示)，OP′点即为小齿轮滚动圆圆心(2.3985,-98.9736)；同理，过大齿轮中心OG存在平行于x轴的直线，与直线T相交于OG′点(未在图中示出，因的距离OG′太长，若在图中示出，则OP′会再图中显示成一点)，OG′点即为大齿轮轮滚动圆圆心(-25.1013,1035.8)。

3)获得小齿轮的刀具线方程：

如图4所示，根据大齿轮刀点宽度W_G＝5.5552，沿大齿轮的齿根圆与y轴交点A两侧可求得A₁点的坐标为(-2.7776,16.9932)，A₂点的坐标为(2.7776,16.9932)，A₁点和A₂点为从A点沿平行于x轴，向两侧各延长刀顶距的二分之一，即：

A₁A＝A₂A＝2.7776

由齿轮基本参数求得大齿轮轮齿凸面节线上的压力角和大齿轮轮齿凹面节线上的压力角φ₁'＝0.3665rad，φ₂'＝-0.4189rad则

那么过A₁点的直线方程为：

$y-16.9932=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-0.3665)\×(x+2.7776)$

过A₂点的直线方程为：

$y-16.9932=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-0.4189)\×(x-2.7776)$

上述两直线方程即小齿轮的刀具线方程。

4)获得小齿轮齿形的包络线方程：

如图5所示，利用小齿轮的刀具线方程，将其按照纯滚动的要求进行坐标变换，可得到小齿轮齿形的包络线方程。

取每次滚动的角度为θ＝0.0277rad，每次滚动该角度相当于进行一次坐标变换，也就是说每一条包络线都是通过坐标变换得出的。滚动时，坐标变换矩阵：

$M=\left[\begin{array}{cc}0.9996& -0.0277\\ 0.0277& 0.9996\end{array}\right]$

原齿槽线方程Bx+Cy+D＝0经过变换得到包络线方程，每侧各有11条直线

5)获得小齿轮的齿形线方程：

在每侧的11条包络线中，每相邻两条包络线都有交点，两相邻交点连成的直线是齿廓线的外切线。取得所有相邻两交点的中点，可获得9个点的坐标值，利用该9个点的高次多项式拟合一条曲线，该曲线除去与齿顶圆和齿根圆外的部分，再将齿根圆的圆角做出，即为小齿轮廓。

记左侧的9个相邻两交点的中点为P_i(p_ix,p_iy)，右侧的9个相邻两交点的中点为P_ri(p_rix,p_riy)，其中i＝1,2,3...,9，将上述点用高次多项式拟合成n＝5次曲线，可得到齿形线的方程为：

左侧：yl＝0.003x⁵+0.0926x⁴+1.1517x³+6.9684x²+22.0763x+41.1021

右侧：yr＝-0.0009x⁵+0.0289x⁴-0.3743x³+2.3255x²-8.3891x+25.7975

齿形线与齿根圆之间的圆角圆的圆心可以通过包络线方程、圆角圆和齿根圆方程求得。对于左侧，记其圆角圆心为C_g(x_cg,y_cg)，圆角圆半径r_p＝3.23，取包路线方程为左侧包络线中斜率绝对值最大的一条，即与x轴夹角最大的一条，则圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{cg}}}^2+{(y_{\mathrm{cg}}+98.9736)}^2={(98.9736+3.23)}^2\\ 2.7715x_{\mathrm{cg}}-0.3271y_{\mathrm{cg}}+26.5177=0\end{array}\right.$

求得左侧圆角圆心C_g(-13.2027，-3.2588)，其对应的圆角方程即可以得到为(x+13.2027)²+(y+3.2588)²＝3.23²

对于右侧，记其圆角圆心为C_rg(x_crg,y_crg)，取包络线方程为右侧包络线中斜率绝对值最大的一条，即与x轴夹角最小的一条，则圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{crg}}}^2+{(y_{\mathrm{crg}}+98.9736)}^2={(98.9736+3.23)}^2\\ -2.4299x_{\mathrm{crg}}-0.4158y_{\mathrm{crg}}+25.2666=0\end{array}\right.$

求得右侧圆角圆心C_rg(14.2915,-3.4153)，其对应的圆角方程即可以得到为(x-14.2915)²+(y+3.4153)²＝3.23²

6)获得大齿轮的齿槽线方程：

大齿轮的第一条齿槽线方程即为步骤3)中所得到的过A₁点的直线方程：

$y-16.9932=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-0.3665)\×(x+2.7776)$

其与x轴的交点坐标为Q(-9.2998,0)，根据大齿轮的齿厚，从Q点取大齿轮齿厚的长度QQ′＝9.5629，则Q′点的坐标为Q(x_Q′,0)＝(-18.8627,0)＝(-9.2998-9.5629,0)，进而可求得大齿轮的第二条齿槽线方程：

$y=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}+0.4189)\×(x+18.8627)$

按照与小齿轮相同的方法可推导出大齿轮齿根圆角，具体过程如下：

大齿轮齿根圆角圆心通过大齿轮齿根圆、大齿轮齿槽线和圆角圆的相切关系求出，对于左侧，记其圆角圆心为C_G(x_cG,y_cG)，圆角圆半径r_G＝2.29，圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{cG}}}^2+{(y_{\mathrm{cG}}+1035.8)}^2={(1035.8+2.29)}^2\\ y=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}+0.4189)\×(x+18.8627)\end{array}\right.$

求得左侧圆角圆心C_G(-28.0887，15.0896)，其对应的圆角方程即可以得到为(x+28.0887)²+(y-15.0896)²＝2.29²

对于右侧，记其圆角圆心为C_rG(x_crG,y_crG)，圆角圆半径r_G是由设计者给定的参数，圆角圆的圆心可由如下的方程组求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{cG}}}^2+{(y_{\mathrm{cG}}+1035.8)}^2={(1035.8+2.29)}^2\\ y-16.9932=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-0.3665)\×(x+2.7776)\end{array}\right.$

求得右侧圆角圆心C_rG(-1.2034，14.7039)，其对应的圆角方程即可以得到为(x+1.2034)²+(y-14.7039)²＝2.29²

7)求出大、小齿轮的轮齿中心线方程：

对于大齿轮：如图8所示，取大齿轮左侧齿根圆角圆上一点I′(x_I',y_I')，它是圆角圆与大齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ角后得到的。其计算方法是，先计算切点，其根据联立如下方程求出该切点为(-28.0251,17.3788)，

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-1035.8)}^2={1035.8}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}-28.0887)}^2+{(y_{\mathrm{temp}}-15.0896)}^2={2.29}^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ＝0.5585rad(注意坐标变换时角度顺时针为负，逆时针为正)，得到

x_I'＝-26.8217

y_I'＝16.9972

过I′点平行于x轴的直线与大齿轮右侧齿根圆角交与I点，直线II'上的所有点的纵坐标相等。I点坐标通过直线II'方程与右侧圆角方程联立求出为(-1.2034，16.9972)：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_I=y_{I^{\′}}\\ {(x_I+1.2034)}^2+{(y_I-14.7039)}^2={2.29}^2\end{array}\right.$

取I点与I′点的中点M，则其坐标为 $(x_M,y_M)=(\frac{x_I+x_{I^{\′}}}{2},\frac{y_I+y_{I^{\′}}}{2})=(-\mathrm{14.0126,16.9972})$

由此求得大齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-1035.8}{16.9972-1035.8}=\frac{x}{-14.0126}$

对于小齿轮：

如图9所示，取小齿轮右侧齿根圆角圆上一点i'(x_i',y_i')，它是圆角圆与小齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ'角后得到的。其计算方法是，先计算切点，根据联立如下方程求出该切点(13.8127,-6.6096)：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{\mathrm{temp}}^{\′}}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-98.9736)}^2={98.9736}^2\\ {(x_{\mathrm{temp}}^{\′}-14.2915)}^2+{(y_{\mathrm{temp}}^{\′}-3.4153)}^2={3.23}^2\end{array}\right.$

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ'＝0.6807rad(注意坐标变换时角度顺时针为负，逆时针为正)：

x_i'＝11.9092

y_i'＝-5.5965

过i'点平行于x轴的直线与大齿轮左侧齿根圆角交与i点，直线ii'上的所有点的纵坐标相等。对应的i点坐标通过直线ii'方程与左侧圆角方程联立求出为(-10.9738,-5.5965)：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_i=y_{i^{\′}}\\ {(x_i+13.2027)}^2+{(y_i-3.2588)}^2={3.23}^2\end{array}\right.$

取i点与i'点的中点m，则其坐标为 $(x_m,y_m)=(\frac{x_i+x_{i^{\′}}}{2},\frac{y_i+y_{i^{\′}}}{2})=(0.4677,-5.5965)$

由此求得小齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y+98.9736}{-5.5965+98.9736}=\frac{x}{0.4677}$

8)确定大、小齿轮上的载荷作用点：

该载荷作用点位置的确定参考格里森绘图方法(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分册第17页)：首先获得接触轨迹圆方程，根据齿轮基本参数可以获得准双曲面齿轮接触轨迹方向角φ'＝0.3835rad。接触轨迹圆的切线方程为y＝-0.4035x，切点为P点。接触轨迹圆圆心C(x_c,y_c)满足接触轨迹圆半径R_c＝480.2672，接触轨迹圆与其切线之间的相切关系y_c/x_c×(-0.4035)＝-1，因为P点(0,0)在接触轨迹圆上，可以得到方程组如下，由此计算出C点坐标C(179.7151,445.3752)并得到接触轨迹圆方程：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c^2+y_c^2={480.2672}^2\\ \frac{y_c}{x_c}\×(-0.4035)=-1\end{array}\right.$

其次，根据接触轨迹圆方程与大小齿轮齿顶圆方程交点，如图4中的D(-25.9025,11.3499)和d(7.3943,-2.9128)，确定中点法向截面作用线。

再次，在中点法向截面作用线上，截取大齿轮啮合作用线长度(格里森锥齿轮技术资料译文集第三分册第31页计算卡第65项)，截取点为E点，该点坐标根据大齿轮啮合作用线长度与圆心C的弧长关系可以求出为E(-14.8415,6.2803)。以大齿轮中心OG为圆心，以圆心到上述截取点E的长度为半径(该半径值OGE＝1029.6是根据齿轮基本参数求得的)得到圆弧，交大轮齿形线于一点F，该F点是大齿轮上的载荷作用点。F点通过下述圆方程和小齿轮的刀具线方程联立求出为(-6.9215,6.1966)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_F^2+{(y_F-1035.8)}^2={1029.6}^2\\ y_F-16.9932=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-0.3665)\×(x_F+2.7776)\end{array}\right.$

对于小齿轮求解载荷作用点的方法与大齿轮相同，在中点法向截面作用线上截取小齿轮啮合作用线长度，以小齿轮中心OP为圆心，以圆心到上述截取点e(e点与E点是重合的)的长度为半径(该半径值OPe＝106.2951是根据齿轮基本参数求得的)得到圆弧，交小轮齿形线于一点f，该f点是小齿轮上的载荷作用点。f点通过下述圆方程和小齿轮的左侧齿形线方程联立求出为(-6.3281,7.1330)：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_f^2+{(y_f+98.9736)}^2={106.2951}^2\\ \mathrm{yl}={0.003x}^5+{0.0926x}^4+{1.1517x}^3+{6.9684}^2+22.0763x+41.1021\end{array}\right.$

9)确定大、小齿轮最弱截面：

对于大齿轮：如图8所示，在载荷作用点F点处存在直线FH，该直线在点F处垂直于大齿轮轮齿形齿面，交大齿轮中心线于H点，H点坐标由FH的直线方程和大齿轮轮齿中心直线方程联立求出(-14.1231，8.9606)：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y-1035.8}{16.9972-1035.8}=\frac{x}{-14.0126}\\ y_H-6.1966=-\tan \left(0.3665\mathrm{rad}\right)\×(x_H+6.9215)\end{array}\right.$

过大齿轮中心线，以H点为垂足，存在一直线L₁垂直于大齿轮轮齿中心线，故直线L₁的方程为：

$y-8.9606=\frac{14.0126}{16.9972-1035.8}\×(x+14.1231)$

大齿轮最弱截面点是顶点为H的内接抛物线和齿廓线之间的切点I₁。具体求解方法是：设在大齿轮中心线上有一点K，K点坐标为(x_K,y_K)。I₁点应满足的要求为：在直线L₁上存在一点J，使得I₁J＝JK设I₁点坐标为(x_I1,y_I1)，则J点坐标由几何关系可得为((x_I1+x_K)/2,(y_I1+y_K)/2)，已知I₁点所在圆角(大齿轮右侧齿根圆角)的圆弧方程(由步骤6)获得)、大齿轮轮齿中心线方程、直线HJ的方程，再根据几何关系联立I₁K与大齿轮右侧齿根圆角圆相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{I1}-x_{\mathrm{crG}})}^2+{(y_{I1}-y_{\mathrm{crG}})}^2={r_G}^2\\ \frac{y_K-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_K}{x_M}\\ \frac{y_{I1}+y_K}{2}-y_H=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(\frac{x_{I1}+x_K}{2}-x_H)\\ \frac{y_K-y_{I1}}{x_K-x_{I1}}\×\frac{y_{I1}-y_{\mathrm{crG}}}{x_{I1}-x_{\mathrm{crG}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到I₁(-3.0125，16.1079)和K(-14.2235,1.6619)。

如图9所示，根据I₁点和H点的坐标,得到直线I₁H的方程为：

$\frac{y-8.9606}{16.1079-8.9606}=\frac{x+14.1231}{-3.0125+14.1231}$

过H点，并以H点为垂足，存在直线I₁N与直线I₁H相互垂直，N点在大齿轮轮齿中心线上，直线I₁N的方程为：

$y-16.1079=-\frac{-3.0125+14.1231}{16.1079-8.9606}\×(x+3.0125)$

过I₁点，与大齿轮轮齿中心线垂直的直线I₁M₁的方程为：

$y-16.1079=\frac{-14.0126}{16.9972-1935.8}\×(x+3.0125)$

通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁N相交关系可以求出N点的坐标(-13.7943,32.8683)；通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁M₁相交关系可以求出M₁点的坐标(-14.0227,16.2594)。

对于小齿轮：如图9所示，在载荷作用点f点处存在直线fh，该直线在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线方程，交小齿轮中心线于h点，h点坐标由fh的直线方程和小齿轮轮齿中心直线方程联立求出(0.5147,3.7941)：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_h+98.9736}{-5.5965+98.9736}=\frac{x_h}{0.4677}\\ y_h-7.1330=-\frac{1}{2.0494}\×(x_h+6.3281)\end{array}\right.$

其中k_fh为直线fh的斜率，根据直线fh在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线，得到 $k_{\mathrm{fh}}=-\frac{1}{2.0494}$

过小齿轮中心线，以h点为垂足，存在一直线L₂垂直于小齿轮轮齿中心线，故直线L₂的方程为：

$y-3.7941=\frac{-0.4677}{7.1330+98.9736}\×(x-0.5147)$

小齿轮最弱截面点是顶点为h的内接抛物线和齿廓线之间的切点i₁。具体求解方法是：设在小齿轮中心线上有一点k，k点坐标为(x_k,y_k)。i₁点应满足的要求为：在直线L₂上存在一点j，使得i₁j＝jk。设i₁点坐标为(x_i1,y_i1)，则j点坐标由几何关系可得为((x_i1+x_k)/2,(y_i1+y_k)/2)，已知i₁点所在圆角(小齿轮左侧齿根圆角)的圆弧方程(由步骤5)获得)、小齿轮轮齿中心线方程、直线hj的方程，再根据几何关系联立i₁k与小齿轮左侧齿根圆角相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{i1}-x_{\mathrm{cg}})}^2+{(y_{i1}-y_{\mathrm{cg}})}^2={r_p}^2\\ \frac{y_k-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_k}{x_m}\\ \frac{y_{i1}+y_k}{2}-y_h=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(\frac{x_{i1}+x_k}{2}-x_h)\\ \frac{y_k-y_{i1}}{x_k-x_{i1}}\×\frac{y_{i1}-y_{\mathrm{cg}}}{x_{i1}-x_{\mathrm{cg}}}=-1\end{array}\right.$

求解上述方程可得到i₁(-10.4658,-4.9741)和k(0.5589,12.6170)。

如图9所示，根据i₁点和h点的坐标,得到直线i₁h的方程为：

$\frac{y-3.7941}{-4.9741-3.7941}=\frac{x-0.5147}{-10.4658-0.5147}$

过h点，并以h点为垂足，存在直线i₁n与直线i₁h相互垂直，n点在小齿轮轮齿中心线上，直线i₁n的方程为：

$y+4.9741=-\frac{-10.4658-0.5147}{-4.9741-3.7941}\×(x+10.4658)$

过i₁点，与小齿轮轮齿中心线垂直的直线i₁m₁的方程为：

$y+4.9741=-\frac{0.4677}{-5.5965+98.9736}\×(x+10.4658)$

通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁n相交关系可以求出n点的坐标(0.4026,-18.5849)；通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁m₁相交关系可以求出m₁点的坐标(0.4705,-5.0288)。

10)获取大、小齿轮的格里森经验公式所需的五个参数的解析表达式：

对于大齿轮：

L点是大齿轮轮齿中心线与x轴的交点，其坐标可以根据下式计算出为(-14.2463,0)

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_L-1035.8}{16.9972-1035.8}=\frac{x_L}{-14.0126}\\ y_L=0\end{array}\right.$

如图9所示，格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-HL

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-HM

轮齿强度系数-MN

最弱截面齿厚的一半-IM

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-FHJ

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{HL}=\sqrt{{(x_H-x_L)}^2+{(y_H-y_L)}^2}=8.9615$

${\mathrm{HM}}_1=\sqrt{{(x_H-x_{M1})}^2+{(y_H-y_{M1})}^2}=7.2994$

$M_{1}N=\sqrt{{(x_{M1}-x_N)}^2+{(y_{M1}-y_N)}^2}=16.6105$

${I_{1}M}_1=\sqrt{{(x_{I1}-x_{M1})}^2+{(y_{I1}-y_{M1})}^2}=11.0112$

$\∠\mathrm{FHJ}=-a\tan \left(\frac{y_F-y_H}{x_F-x_H}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_M-{\mathrm{OG}}_y}{x_M}\right))=0.3527\mathrm{rad}$

对于小齿轮：

l点是小齿轮轮齿中心线与x轴的交点，其坐标可以根据下式计算出l(0.4957,0)：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_l+98.9736}{-5.5965+98.9736}=\frac{x_l}{0.4677}\\ y_l=0\end{array}\right.$

如图9所示，格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-hl

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-hm

轮齿强度系数-mn

最弱截面齿厚的一半-im

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-fhj

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$\mathrm{hl}=\sqrt{{(x_h-x_l)}^2+{(y_h-y_l)}^2}=3.7941$

${\mathrm{hm}}_1=\sqrt{{(x_h-x_{m1})}^2+{(y_h-y_{m1})}^2}=8.8230$

$m_{1}n=\sqrt{{(x_{m1}-x_n)}^2+{(y_{m1}-y_n)}^2}=13.5562$

${i_{1}m}_1=\sqrt{{(x_{i1}-x_{m1})}^2+{(y_{i1}-y_{m1})}^2}=10.9365$

$\∠\mathrm{fhj}=-a\tan \left(\frac{y_f-y_h}{x_f-x_h}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-a\tan \left(\frac{y_m-{\mathrm{OP}}_y}{x_m}\right))=0.449\mathrm{rad}$

11)将计算出的大、小齿轮的五个参数代入格里森计算方法计算大、小齿轮的弯曲几何系数，得到小齿轮弯曲几何系数为0.2640，大齿轮的弯曲几何系数为0.2464，并按照计算结果设置准双曲面齿轮的弯曲几何系数。

上述各实施例仅用于对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (10)

1.一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，包括以下步骤：

1)在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立坐标系，求大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程；2)求解大、小齿轮的滚动圆圆心位置；3)获取小齿轮的刀具线方程；4)获取小齿轮齿形的包络线方程；5)获取小齿轮的齿形线方程；6)获取大齿轮的齿槽线方程；7)求出大、小齿轮的轮齿中心线方程；8)确定大、小齿轮上的载荷作用点；9)确定大、小齿轮最弱截面；10)获取大、小齿轮的格里森经验公式所需的五个参数的解析表达式，五个所述参数分别是：沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离、沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离、轮齿强度系数、最弱截面齿厚的一半和法向力与轮齿中心线垂线间的夹角；11)将计算出的大、小齿轮的五个参数代入格里森计算方法计算大、小齿轮的弯曲几何系数，并按照计算结果设置准双曲面齿轮的弯曲几何系数。

2.如权利要求1所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤1)中，在准双曲面齿轮副的背锥平面内建立的坐标系以大齿轮和小齿轮的节点P为原点、大齿轮的中心OG和小齿轮的中心OP连线所在直线为y轴、与y轴垂直的方向为x轴，记大齿轮的中心OG的坐标为(OG_x,OG_y)，小齿轮的中心OP的坐标为(OP_x,OP_y)，求得大、小齿轮齿顶圆方程和齿根圆方程：

x²+(y-OG_y)²＝R_dNG ²

x²+(y-OG_y)²＝R_rNG ²

x²+(y-OP_y)²＝R_dNP ²

x²+(y-OP_y)²＝R_rNP ²

式中：R_dNG为大齿轮的齿顶圆半径；R_rNG为大齿轮的齿根圆半径；R_dNP为小齿轮的齿顶圆半径；R_rNP为小齿轮的齿根圆半径。

3.如权利要求1所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤2)中，大、小齿轮的滚动圆圆心坐标根据节圆上的极限压力角φ求出，求得的大齿轮的滚动圆圆心坐标为(R_Gtanφ,R_G)，求得的小齿轮滚动圆圆心坐标(-R_Ptanφ,-R_P)，其中，R_G为大齿轮背锥平面的法向背锥距；R_P为小齿轮背锥平面的法向背锥距。

4.如权利要求1所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤3)中，小齿轮的刀具线方程的求解过程如下：

根据大齿轮刀点宽度W_G，求得过大齿轮的齿根圆与y轴交点A且位于A点两侧的两点的坐标：A₁点的坐标为(A_1x,A_1y)，A₂点的坐标为(A_2x,A_2y)，A₁点和A₂点为从A点沿平行于x轴，向两侧各延长刀顶距的二分之一，即：

$A_{1}A=A_{2}A=\frac{1}{2}{W}_G$

进而求得小齿轮的刀具线方程：

$y-A_{1y}=tan(\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

$y-A_{2y}=tan(\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-A_{2x})$

式中：φ₁'为大齿轮轮齿凸面节线上的压力角；φ₂'为大齿轮轮齿凹面节线上的压力角。

5.如权利要求1所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤4)中，小齿轮齿形的包络线方程是由小齿轮的刀具线方程按照纯滚动的要求进行坐标变换得到的，滚动时的变换矩阵为：

$M=\left[\begin{array}{cc}cos\mathrm{\θ}& -sin\mathrm{\θ}\\ sin\mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}\end{array}\right]$

式中：θ为每次滚动的角度；所得到的小齿轮齿形的包络线方程为：

左侧包络线为：B_ix+C_iy+D_i＝0i＝0,1,2...,10

右侧包络线为：B_rix+C_riy+D_ri＝0i＝0,1,2...,10；

式中：B_i、C_i、D_i分别为左侧包络线方程的系数；B_ri、C_ri、D_ri分别为右侧包络线方程的系数。

6.如权利要求5所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤5)中，小齿轮的齿形线方程的求解过程如下：

在由步骤4)所求出的每侧的11条包络线中，每相邻两条包络线都有交点，两相邻交点连成的直线是齿廓线的外切线，取得所有相邻两交点的中点，可获得9个点的坐标值，利用该9个点的高次多项式拟合一条曲线，该曲线小齿轮廓，记左侧的9个相邻两交点的中点为P_i(p_ix,p_iy)，右侧的9个相邻两交点的中点为P_ri(p_rix,p_riy)，其中i＝1,2,3...,9，将上述点用高次多项式拟合成n次曲线，可得到齿形线的方程为：

左侧：y_l＝a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

右侧：y_r＝b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+…+b₁x+b₀；

式中：a₀…a_n分别为齿形线方程左侧部分的拟合系数；b₀…b_n分别为齿形线方程右侧部分的拟合系数。

7.如权利要求4所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤6)中，大齿轮的齿槽线方程的求解过程如下：

大齿轮的第一条齿槽线方程即为步骤3)中所得到的过A₁点的直线方程：

$y-A_{1y}=tan(\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x-A_{1x})$

记其与x轴的交点坐标为Q(x_Q,0)，根据大齿轮的齿厚，从Q点取齿厚的长度QQ′，则Q′点的坐标为Q(x_Q′,0)＝(x_Q-QQ',0)，进而求得大齿轮的第二条齿槽线方程：

$y=tan(\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_2}^{\′})\×(x-x_{Q^{\′}}).$

8.如权利要求2所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤7)中，大、小齿轮的轮齿中心线方程的求解过程如下：

对于大齿轮：取大齿轮左侧齿根圆角圆上一点I′(x_I',y_I')，它是圆角圆与大齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ角后得到的，I′点坐标的计算方法是，先计算切点，设切点坐标为(x_temp,y_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x_{temp}}^2+{(y_{temp}-{\mathrm{OG}}_y)}^2={R_{rNG}}^2\\ {(x_{temp}-x_{cG})}^2+{(y_{temp}-y_{cG})}^2=r_G^2\end{array}\right.$

式中：x_cG、y_cG分别为大齿轮左侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；r_G为大齿轮左侧齿根圆角圆半径；OG_y为大齿轮的中心OG的纵坐标；R_rNG为大齿轮的齿根圆半径；

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ角：

x_I'＝cosδ×(x_temp-x_cG)-sinδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

y_I'＝sinδ×(x_temp-x_cG)+cosδ×(y_temp-y_cG)+x_cG

过I′点平行于x轴的直线与大齿轮右侧齿根圆角交与I点，I点坐标(x_I,y_I)通过直线II'方程与右侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_I=y_{I^{\′}}\\ {(x_I-x_{crG})}^2+{(y_I-y_{crG})}^2={r_G}^2\end{array}\right.$

式中：x_crG、y_crG分别表示大齿轮右侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；

取I点与I′点的中点M，则其坐标为

由此求得大齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x}{x_M}$

对于小齿轮：取小齿轮右侧齿根圆角圆上一点i'(x_i',y_i')，它是圆角圆与小齿轮齿根圆切点在圆角圆上顺时针旋转δ'角后得到的，i'点坐标的计算方法是，先计算切点，设其坐标为(x'_temp,y'_temp)，根据联立如下方程求出该切点：

$\left\{\begin{array}{c}{x}^{\′}{{}_{temp}}^2+{({y^{\′}}_{temp}-{\mathrm{OP}}_y)}^2={R_{rNP}}^2\\ {({x^{\′}}_{temp}-x_{crg})}^2+{({y^{\′}}_{temp}-y_{crg})}^2=r_P^2\end{array}\right.$

式中：x_crg、y_crg分别表示小齿轮右侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；OP_y表示小齿轮的中心的纵坐标；r_p表示小齿轮左侧及右侧圆角圆的半径；

再利用坐标变换关系，将该切点顺时针旋转δ'角：

x_i'＝cosδ'×(x'_temp-x_crg)-sinδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

y_i'＝sinδ'×(x'_temp-x_crg)+cosδ'×(y'_temp-y_crg)+x_crg

过i'点平行于x轴的直线与大齿轮左侧齿根圆角交与i点，对应的i点坐标(x_i,y_i)通过直线ii'方程与左侧圆角方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{y}_i=y_{i^{\′}}\\ {(x_i-x_{cg})}^2+{(y_i-y_{cg})}^2={r_P}^2\end{array}\right.$

式中：x_cg、y_cg分别表示小齿轮左侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；

取i点与i'点的中点m，则其坐标为

由此求得小齿轮的轮齿中心线方程为：

$\frac{y-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x}{x_m}.$

9.如权利要求4所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤8)中，大、小齿轮上的载荷作用点的确定过程如下：

首先获得接触轨迹圆方程：根据齿轮基本参数获得准双曲面齿轮接触轨迹方向角φ'，接触轨迹圆的切线方程为y＝tan(π-φ')×x，切点为P点，接触轨迹圆圆心C(x_c,y_c)满足接触轨迹圆半径为

$R_c=\frac{R_{rNG}\×{\mathrm{cos\φ}}^{\′}}{2}$

式中：R_rNG为大齿轮的齿根圆半径；

接触轨迹圆与其切线之间的相切关系为

$\frac{y_c}{x_c}\×tan(\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1$

因为P点(0,0)在接触轨迹圆上，可以得到方程组如下，由此计算出C点坐标并得到接触轨迹圆方程：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_c^2+y_c^2=R_c^2\\ \frac{y_c}{x_c}\×tan(\mathrm{\π}-{\mathrm{\φ}}^{\′})=-1\end{array}\right.$

其次，根据接触轨迹圆方程与大小齿轮齿顶圆方程交点，确定中点法向截面作用线；

再次，在中点法向截面作用线上截取大齿轮啮合作用线长度，截取点为E点，该点坐标根据大齿轮啮合作用线长度与圆心C的弧长关系可以求出为E(x_E,y_E)，以大齿轮中心OG为圆心，以圆心到上述截取点E的长度为半径得到圆弧，交大轮齿形线于一点F，F点通过下述圆方程和小齿轮的刀具线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_F^2+{(y_F-{\mathrm{OG}}_y)}^2={\mathrm{OGE}}^2\\ y_F-A_{1y}=\tan (\frac{\mathrm{\π}}{2}-{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})\×(x_F-A_{1x})\end{array}\right.$

式中：OG_y为大齿轮的中心OG的纵坐标；x_F、y_F分别为F点的横坐标和纵坐标；

该F点即是大齿轮上的载荷作用点；

在中点法向截面作用线上截取小齿轮啮合作用线长度，以小齿轮中心OP为圆心，以圆心到上述截取点e的长度为半径得到圆弧，交小轮齿形线于一点f，f点通过下述圆方程和小齿轮的左侧齿形线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_f^2+{(y_f-{\mathrm{OP}}_y)}^2={\mathrm{OPe}}^2\\ y_f=a_n{x_f}^n+a_{n-1}{x_f}^{n-1}+...+a_1{x}_f+a_0\end{array}\right.$

该f点即是小齿轮上的载荷作用点；x_f、y_f分别为f点的横坐标和纵坐标；

在所述步骤9)中，大、小齿轮最弱截面的求解过程如下：

对于大齿轮：在载荷作用点F点处存在直线FH，该直线在点F处垂直于大齿轮轮齿形齿面，交大齿轮中心线于H点，H点坐标(x_H,y_H)由FH的直线方程和大齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_H-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_H}{x_M}\\ y_H-y_F=-{{\mathrm{tan\φ}}_1}^{\′}\×(x_H-x_F)\end{array}\right.$

过大齿轮中心线，以H点为垂足，存在一直线L₁垂直于大齿轮轮齿中心线，故直线L₁的方程为：

$y-y_H=\frac{-x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_H)$

大齿轮最弱截面点是顶点为H的内接抛物线和齿廓线之间的切点I₁，具体求解方法是：设在大齿轮中心线上有一点K，K点坐标为(x_K,y_K)，I₁点应满足的要求为：在直线L₁上存在一点J，使得I₁J＝JK设I₁点坐标为(x_I1,y_I1)，则J点坐标由几何关系得为((x_I1+x_K)/2,(y_I1+y_K)/2)，已知I₁点所在圆角的圆弧方程、大齿轮轮齿中心线方程、直线HJ的方程，再根据几何关系联立I₁K与大齿轮右侧齿根圆角圆相切的方程，得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{I1}-x_{crG})}^2+{(y_{I1}-y_{crG})}^2={r_G}^2\\ \frac{y_K-{\mathrm{OG}}_y}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}=\frac{x_K}{x_M}\\ \frac{y_{I1}+y_K}{2}-y_H=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(\frac{x_{I1}+x_K}{2}-x_H)\\ \frac{y_K-y_{I1}}{x_K-x_{I1}}\×\frac{y_{I1}-y_{crG}}{x_{I1}-x_{crG}}=-1\end{array}\right.$

式中：r_G为大齿轮左侧齿根圆角圆半径；x_crg、y_crg分别表示小齿轮右侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；

求解上述方程得到I₁点和K点的坐标；

根据I₁点和H点的坐标,得到直线I₁H的方程为：

$\frac{y-y_H}{y_{I1}-y_H}=\frac{x-x_H}{x_{I1}-x_H}$

过H点，并以H点为垂足，存在直线I₁N与直线I₁H相互垂直，N点在大齿轮轮齿中心线上，直线I₁N的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_{I1}-x_H}{y_{I1}-y_H}\×(x-x_{I1})$

过I₁点，与大齿轮轮齿中心线垂直的直线I₁M₁的方程为：

$y-y_{I1}=-\frac{x_M}{y_M-{\mathrm{OG}}_y}\×(x-x_{I1})$

通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁N相交关系求出N点的坐标(x_N,y_N)；通过大齿轮轮齿中心线与直线I₁M₁相交关系求出M₁点的坐标(x_M1,y_M1)；

对于小齿轮：在载荷作用点f点处存在直线fh，该直线在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线方程，交小齿轮中心线于h点，h点坐标(x_h,y_h)由fh的直线方程和小齿轮轮齿中心直线方程联立求出：

$\left\{\begin{array}{c}\frac{y_h-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_h}{x_m}\\ y_h-y_f=k_{fh}\×(x_h-x_f)\end{array}\right.$

式中：OP_y表示小齿轮的中心的纵坐标；

其中k_fh为直线fh的斜率，根据直线fh在点f处垂直于小齿轮轮齿形在该点的切线，得到k_fh计算公式为：

$k_{fh}=-\frac{1}{{\mathrm{na}}_n{x_f}^{n-1}+(n-1)a_{n-1}{x_f}^{n-2}+...+a_1}$

过小齿轮中心线，以h点为垂足，存在一直线L₂垂直于小齿轮轮齿中心线，故直线L₂的方程为：

$y-y_h=\frac{-x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_h)$

小齿轮最弱截面点是顶点为h的内接抛物线和齿廓线之间的切点i₁，具体求解方法是：设在小齿轮中心线上有一点k，k点坐标为(x_k,y_k)，i₁点应满足的要求为：在直线L₂上存在一点j，使得i₁j＝jk，设i₁点坐标为(x_i1,y_i1)，则j点坐标由几何关系可得为((x_i1+x_k)/2,(y_i1+y_k)/2)，已知i₁点所在圆角的圆弧方程、小齿轮轮齿中心线方程、直线hj的方程，再根据几何关系联立i₁k与小齿轮左侧齿根圆角相切的方程，可以得到含有4个未知数的4个方程：

$\left\{\begin{array}{c}{(x_{i1}-x_{cg})}^2+{(y_{i1}-y_{cg})}^2={r_p}^2\\ \frac{y_k-{\mathrm{OP}}_y}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}=\frac{x_k}{x_m}\\ \frac{y_{i1}+y_k}{2}-y_h=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(\frac{x_{i1}+x_k}{2}-x_h)\\ \frac{y_k-y_{i1}}{x_k-x_{i1}}\×\frac{y_{i1}-y_{cg}}{x_{i1}-x_{cg}}=-1\end{array}\right.$

式中：x_cg、y_cg分别表示小齿轮左侧圆角圆心的横坐标和纵坐标；

求解上述方程可得到i₁点和k点的坐标；

根据i₁点和h点的坐标,得到直线i₁h的方程为：

$\frac{y-y_h}{y_{i1}-y_h}=\frac{x-x_h}{x_{i1}-x_h}$

过h点，并以h点为垂足，存在直线i₁n与直线i₁h相互垂直，n点在小齿轮轮齿中心线上，直线i₁n的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_{i1}-x_h}{y_{i1}-y_h}\×(x-x_{i1})$

过i₁点，与小齿轮轮齿中心线垂直的直线i₁m₁的方程为：

$y-y_{i1}=-\frac{x_m}{y_m-{\mathrm{OP}}_y}\×(x-x_{i1})$

通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁n相交关系求出n点的坐标(x_n,y_n)；通过小齿轮轮齿中心线与直线i₁m₁相交关系求出m₁点的坐标(x_m1,y_m1)。

10.如权利要求9所述的一种准双曲面齿轮弯曲几何系数的设置方法，其特征在于：在所述步骤10)中，对于大齿轮：格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-HL；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-HM；

轮齿强度系数-MN；

最弱截面齿厚的一半-IM；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-FHJ；

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$HL=\sqrt{{(x_H-x_L)}^2+{(y_H-y_L)}^2}$

${\mathrm{HM}}_1=\sqrt{{(x_H-x_{M1})}^2+{(y_H-y_{M1})}^2}$

$M_{1}N=\sqrt{{(x_{M1}-x_N)}^2+{(y_{M1}-y_N)}^2}$

$I_1{M}_1=\sqrt{{(x_{I1}-x_{M1})}^2+{(y_{I1}-y_{M1})}^2}$

$\∠FHJ=-atan\left(\frac{y_F-y_H}{x_F-x_H}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-atan(\frac{y_M-{\mathrm{OG}}_y}{x_M}\left)\right)$

式中：L点是大齿轮轮齿中心线与x轴的交点；

对于小齿轮：格里森经验公式所需的五个参数对应的平面内点与点的距离分别为：

沿齿中心线从节圆到载荷作用点的距离-hl；

沿轮齿中心线从最弱截面到载荷作用点的距离-hm；

轮齿强度系数-mn；

最弱截面齿厚的一半-im；

法向力与轮齿中心线垂线间的夹角-fhj；

根据计算出来的点的坐标计算各段要求的变量得到解析表达式如下：

$hl=\sqrt{{(x_h-x_l)}^2+{(y_h-y_l)}^2}$

${\mathrm{hm}}_1=\sqrt{{(x_h-x_{m1})}^2+{(y_h-y_{m1})}^2}$

$m_{1}n=\sqrt{{(x_{m1}-x_n)}^2+{(y_{m1}-y_n)}^2}$

$i_1{m}_1=\sqrt{{(x_{i1}-x_{m1})}^2+{(y_{i1}-y_{m1})}^2}$

$\∠fhj=-atan\left(\frac{y_f-y_h}{x_f-x_h}\right)-(\frac{\mathrm{\π}}{2}-atan(\frac{y_m-{\mathrm{OP}}_y}{x_m}\left)\right)$

式中：l点是小齿轮轮齿中心线与x轴的交点。