CN105912793B - 一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法，包括以下步骤：1)对小齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，得到小齿轮模型Ⅰ；2)进一步约束小齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，得到小齿轮模型Ⅱ；3)计算小齿轮模型Ⅰ和模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_P1和K_P2；4)对大齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，得到大齿轮模型Ⅰ；5)进一步约束大齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，得到大齿轮模型Ⅱ；6)计算大齿轮模型Ⅰ和模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_G1和K_G2；7)对大小齿轮接触线上的所有点依次施加单位法向载荷，计算每条接触线小齿轮和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和R_G；8)利用R_P和R_G，根据接触点上实际载荷F，计算各点对应的弯曲变形量。

Description

一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法

技术领域

本发明涉及一种获取齿轮弯曲变形的方法，特别是关于一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法。

背景技术

准双曲面齿轮加载接触分析(LTCA)方法是准双曲面齿轮设计过程中的一项关键技术。它的主要作用是，在用实际加工参数进行切齿前，先计算准双曲面齿轮在真实工作载荷下的各性能指标，包括齿面加载接触印迹和加载传动误差等。利用LTCA技术可以缩短准双曲面齿轮的研发周期和研发成本。

当前LTCA计算方法研究中，轮齿的变形主要分为三部分，分别为弯曲变形δ_弯曲变形、接触变形δ_接触变形和剪切变形δ_剪切变形(如图1所示)。Krenzer、郑昌启等(参考文献：Krenzer,T.J.Tooth contact analysis of spiral and hypoid gears under load.The GleasonWorks,SAE810688,1981和郑昌启,螺旋锥齿轮轮齿加载接触分析原理.机械工程学报,1993.29(4))使用赫兹接触公式计算齿面的接触变形，弯曲变形和剪切变形采用了考虑剪切影响的悬臂梁模型。

由于悬臂梁模型较为简化，整体精度不高，Wilcox,Fan Qi等提出使用Weber经验公式计算接触变形和剪切变形；使用轮齿实体有限元模型计算弯曲变形(参考文献：Wilcox,L.E.Improved Finite Element Model for Calculating Stresses in Beveland Hypoid Gear Teeth.AGMA,97FTM5,1997和Q.Fan,L.Wilcox,New Developments inTooth Contact Analysis(TCA)and Loaded TCA for Spiral Bevel and Hypoid GearDrives.AGMA,05FTM08,2005.)。

在上述使用轮齿实体有限元模型计算弯曲变形过程中，约束了轮坯内圈结点全部自由度。在计算弯曲变形时，认为得到的齿面接触点的法向变形就是轮齿中部的弯曲变形。这种情况对于把整个齿和齿坯作为刚体是成立的，但实际上由于轮齿实体有限元模型具有柔性，因此得到的弯曲变形中还包含了由于柔性引起的变形；同时也包含了加载点处与轮坯之间的剪切变形，这一部分变形已经在韦伯公式中进行了计算。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种在计算过程中能够消除轮齿弯曲变形中包含的其它变形的获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法，包括以下步骤：1)对小齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅰ；2)在小齿轮模型Ⅰ的基础上，约束小齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅱ；3)利用小齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_P1；利用小齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_P2；4)对大齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅰ；5)在大齿轮模型Ⅰ的基础上，约束大齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅱ；6)利用大齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_G1；利用大齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_G2；7)分别对大小齿轮接触线上的所有点依次施加单位法向载荷，计算每条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G；8)利用小齿轮和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和R_G，根据接触点上实际载荷F，按照如下的公式计算各点对应的弯曲变形量：δ_弯曲变形＝(R_P+R_G)F。

所述步骤7)中：

任一条接触线上小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P的计算过程如下：

对于任一条接触线，利用小齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_P1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(1)得到各接触点位移d_P1：

式中，N_s为单元形函数，用于将结点位移转换到接触点；

利用小齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_P2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(2)得到各接触点位移d_P2：

利用小齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与小齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(3)，得到该条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P：

R_P[i,j]＝d_P1-d_P2,(i,j＝1,...,m) (3)

式中，m为该条接触线上接触点的个数；

任一条接触线上大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G的计算过程如下：

对于任一条接触线，利用大齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_G1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(4)得到各接触点位移d_G1：

利用大齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_G2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(5)得到各接触点位移d_G2：

利用大齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与大齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(6)，得到该条接触线大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G：

R_G[i,j]＝d_G1-d_G2,(i,j＝1,...,m)。 (6)

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、利用本发明方法获得的准双曲面齿轮轮齿弯曲变形，其结果不参杂有其它变形。2、本发明方法获得的加载接触印迹与实际加载实验结果的吻合程度，比传统方法获得的加载接触印迹与加载实验结果的吻合程度好。

附图说明

图1是准双曲面齿轮加载接触分析方法中的三种变形示意图；

图2是本发明方法中模型Ⅰ对应的约束方式二维示意图；

图3是本发明方法中模型Ⅱ对应的约束方式二维示意图；

图4是本发明方法中每条接触线法向柔度矩阵计算过程示意图；

图5是具体实施例中准双曲面齿轮副采用本发明方法得到的加载接触印迹图；

图6是具体实施例中准双曲面齿轮副采用传统方法得到的加载接触印迹图；

图7是具体实施例中准双曲面齿轮副进行加载实验得到的加载接触印迹图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

本发明提出了一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法，包括以下步骤：

1)对小齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度(如图2所示)，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅰ。

2)在小齿轮模型Ⅰ的基础上，约束小齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度(如图3所示)，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅱ。

3)利用小齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_P1；利用小齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_P2。

4)对大齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅰ。

5)在大齿轮模型Ⅰ的基础上，约束大齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度(如图3所示)，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅱ。

6)利用大齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_G1；利用大齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_G2。

7)分别对大小齿轮接触线上的所有点依次施加单位法向载荷，计算每条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G，其具体过程如下：

轮齿受载后齿面上每一时刻会有相应的接触线，某一条接触线的齿面法向柔度矩阵R[i,j]定义为由该接触线上i点施加单位载荷，引起的j点的变形。因此，为了计算小齿轮和大齿轮的齿面法向柔度矩阵，需要对每条接触线上的点依次施加相应的法向单位载荷F_unit，并计算由其产生的其它点的变形。这里取其中的一条接触线进行说明，如图4所示，在接触线上一接触点1施加单位法向力，根据有限元模型将该载荷分解到该点所在的单元靠齿面一侧的节点上，并根据齿面凝聚刚度矩阵，计算得到其他齿面节点位移，获得节点位移后再通过单元形函数得到接触线上的点1～4的法向位移，即R[1,1]～R[1,4]，它分别代表的含义为由1点处的载荷引起的1～4点的变形。齿面柔度矩阵R[i,j]中其它项也用相同方法计算。

下面具体说明利用模型Ⅰ和模型Ⅱ求齿面法向柔度矩阵的过程：

①小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P：

对于任一条接触线，利用小齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_P1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(1)得到各接触点位移d_P1：

式中，N_s为单元形函数，用于将结点位移转换到接触点；

利用小齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_P2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(2)得到各接触点位移d_P2：

利用小齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与小齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(3)，得到该条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P：

R_P[i,j]＝d_P1-d_P2,(i,j＝1,...,m) (3)

式中，m为该条接触线上接触点的个数。

②大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G：

对于任一条接触线，利用大齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_G1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(4)得到各接触点位移d_G1：

利用大齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_G2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(5)得到各接触点位移d_G2：

利用大齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与大齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(6)，得到该条接触线大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G：

R_G[i,j]＝d_G1-d_G2,(i,j＝1,...,m) (6)

8)利用小齿轮和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和R_G，根据接触点上实际载荷F，按照如下的公式计算各点对应的弯曲变形量：

δ_弯曲变形＝(R_P+R_G)F。

利用该弯曲变形量可以进行LTCA分析，最后获得准双曲面齿轮加载接触分析结果。

下面通过一个具体的实施例，用以说明本发明的效果。

取一对准双曲面齿轮副，其精加工工艺为磨齿，其中，小齿轮凹面在磨齿加工时加入了刀具的圆弧修型，修行圆弧半径为1500mm。该齿轮副设计参数见表1：

表1 准双曲面齿轮基本参数表

该齿轮的齿面信息由加工参数决定，该齿轮对应的大齿轮与小齿轮的加工参数见表2和表3：

表2 大轮加工参数

表3 小轮加工参数

首先，顺次按照上述步骤1)～7)，求得小齿轮每条接触线小齿轮和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和R_G，给定实际运行工况为正车驱动输入扭矩1615.4Nm，进行LTCA迭代分析，求解准双曲面齿轮加载接触印迹(如图5所示)。图中为大齿轮齿面上接触印迹云图，颜色最深的区域为未接触区域，其余部分为接触区域。

然后，利用传统的有限元方法也进行LTCA分析，获得相应的接触印迹(如图6所示)。同时利用与上述分析过程相同的准双曲面齿轮副进行实际加载实验，得到实验后两齿轮实际加载啮合时的接触印迹(如图7所示)，图中涂有红丹粉区域为未接触区域，金属色区域为实际接触区域。将本发明方法和传统方法进行LTCA分析得到的结果与实验结果进行对比。

通过结果对比可以看出，本发明使用的方法与实验结果吻合程度优于传统方法。传统方法的接触印迹扩展速度比实际情况快，LTCA分析结果中齿轮小端已经脱出，大端开始有少量脱出；而本发明方法在此时接触印迹距小端还有一定距离，大端也恰达到脱出的边界，与实际实验结果吻合更好。

上述各实施例仅用于对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种获取准双曲面齿轮轮齿弯曲变形的有限元方法，包括以下步骤：

1)对小齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅰ；

2)在小齿轮模型Ⅰ的基础上，约束小齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为小齿轮模型Ⅱ；

3)利用小齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_P1；利用小齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_P2；

4)对大齿轮的有限元模型，约束轮坯内圈结点全部自由度，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅰ；

5)在大齿轮模型Ⅰ的基础上，约束大齿轮齿厚中部中间结点的周向自由度，用以计算由于有限元模型非刚性引起的施加力后轮齿受到压缩产生的压缩变形以及加载点处与轮坯之间的剪切变形，该步骤所建立的模型称为大齿轮模型Ⅱ；

6)利用大齿轮模型Ⅰ，计算其对应约束情况下的齿面凝聚刚度矩阵K_G1；利用大齿轮模型Ⅱ，计算其对应约束下的齿面凝聚刚度矩阵K_G2；

7)分别对大小齿轮接触线上的所有点依次施加单位法向载荷，计算每条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G；

8)利用小齿轮和大齿轮齿面法向柔度矩阵R_P和R_G，根据接触点上实际载荷F，按照如下的公式计算各点对应的弯曲变形量δ_弯曲变形：

δ_弯曲变形＝(R_P+R_G)F；

所述步骤7)中：

任一条接触线上小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P的计算过程如下：

对于任一条接触线，利用小齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_P1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(1)得到各接触点位移d_P1：

式中，N_s为单元形函数，用于将结点位移转换到接触点；

利用小齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_P2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(2)得到各接触点位移d_P2：

利用小齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与小齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(3)，得到该条接触线小齿轮齿面法向柔度矩阵R_P：

R_P[i,j]＝d_P1-d_P2,i＝1,…,m；j＝1,…,m (3)

式中，m为该条接触线上接触点的个数；

任一条接触线上大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G的计算过程如下：

对于任一条接触线，利用大齿轮模型Ⅰ的齿面凝聚刚度矩阵K_G1，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(4)得到各接触点位移d_G1：

利用大齿轮模型Ⅱ的齿面凝聚刚度矩阵K_G2，依次在接触线上各点施加单位法向载荷F_unit后，由式(5)得到各接触点位移d_G2：

利用大齿轮模型Ⅰ得到的各接触点的位移与大齿轮模型Ⅱ得到的各接触点的位移相减，即式(6)，得到该条接触线大齿轮齿面法向柔度矩阵R_G：

R_G[i,j]＝d_G1-d_G2,i＝1,…,m；j＝1,…,m (6)。