CN104133940A - 点接触双抛物线齿轮的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种点接触双抛物线齿轮的设计方法，用于解决现有抛物线齿轮的设计方法设计的抛物线齿轮传动的承载能力差的技术问题。技术方案是采用两条能相切于顶点的抛物线分别作为原始齿廓的顶部曲线和根部曲线，能实现一对齿轮副的点接触，故设计的点接触双抛物线齿轮传动具有可分性，当存在中心距误差时，不会严重影响齿轮传动的承载能力。此外本发明采用了等强度的设计方法，能有效提高齿轮传动的承载能力。

Description

点接触双抛物线齿轮的设计方法

技术领域

本发明涉及一种抛物线齿轮的设计方法，特别是涉及一种点接触双抛物线齿轮的设计方法。

背景技术

文献“授权公告号是CN86100544C的中国专利”公开了一种抛物线齿轮。抛物线齿轮作为一种新型的圆柱齿轮，其齿廓曲线为特殊抛物线。一方面，抛物线齿轮原始齿廓的顶部曲线和根部曲线对称于原点，因而能像渐开线齿轮一样实现线接触；另一方面，由于该齿廓曲线的固有特性，齿轮的顶部齿廓为凸齿廓，根部齿廓为凹齿廓，一对齿轮实现凹凸接触。抛物线齿轮的滑动系数小而均匀，具有良好的抗磨损性能；抛物线齿轮不发生根切的最小齿数为3齿，且在极小齿数情况下齿顶也不会变尖；在相同的技术参数和加工条件下，与渐开线圆柱齿轮相比，抛物线齿轮的承载能力成倍的提高。但抛物线齿轮采用线接触的设计方法，故不具有可分性，中心距偏差不仅会影响到传动比，还严重的影响到抛物线齿轮传动的承载能力。

发明内容

为了克服现有抛物线齿轮的设计方法设计的抛物线齿轮传动的承载能力差的不足，本发明提供一种点接触双抛物线齿轮的设计方法。该方法采用两条能相切于顶点的抛物线分别作为原始齿廓的顶部曲线和根部曲线，能实现一对齿轮副的点接触，故设计的点接触双抛物线齿轮传动具有可分性，当存在中心距误差时，不会严重影响齿轮传动的承载能力，此外本发明采用了等强度的设计方法，能有效提高齿轮传动的承载能力。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种点接触双抛物线齿轮的设计方法，其特点是采用以下步骤：

步骤一、建立初始坐标系S₁-X₁AY₁，根据给定的初始抛物线系数A生成初始抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，标记为PWX2。在此基础上，给出齿顶抛物线系数A₁和齿根抛物线系数A₂，满足A₁>A₂，并生成两条相应的抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，分别标记为PWX1和PWX3。

建立坐标系S-XOY，其原点为初始抛物线PWX2的一个端点，坐标轴X,Y分别沿水平和竖直方向，根据初始抛物线下端点到抛物线顶点的高度参数h_A，以及抛物线顶点处压力角α_n，采用坐标变换的方法就可以确定坐标系S-XOY和坐标系S₁-X₁AY₁之间的变换关系，即

r(x,y,1)＝M₁·r₁(x₁,y₁,1)   (1)

其中，x,y为抛物线上的点在坐标系S-XOY的值，x₁,y₁为抛物线上的点在坐标系S₁-X1AY1的值，M₁为由坐标系S₁-X₁AY₁向坐标系S-XOY的变换矩阵。

至此，根据三个抛物线系数A,A₁,A₂以及两个高度系数h_A,h_B，确定了坐标系S-XOY下的三条抛物线段。

步骤二、在坐标系S-XOY下，将抛物线段PWX3绕中心O旋转，得到旋转后的齿根抛物线段，其凹凸性与抛物线线段PWX2相反，将抛物线线段PWX2作为齿顶抛物线段。

步骤三、添加三段曲线使上下两段抛物线段连接并形成完整的半个基本齿廓。已知上下两段抛物线段齿形OAB和O’A’B’，确定C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心，以求出完整的半个基本齿廓。

根据等强度原理、轮齿匹配原理、齿廓曲线圆滑过渡原理三条基本原则，得到五个方程，具体为：

等强度原理是指上下两端抛物线在啮合传动过程中，中间过渡圆弧终点的弯曲强度与齿根圆弧终点的弯曲强度相等。当在A点和A’点分别施加一个单位的平行于X轴的水平分力时，在O’点和C’点的弯曲应力相等，则有：

π²/4·m_n ²·(-H_O'+H_A)-(L_C-L_O')²·(-2H_C'+H_A+H_A')＝0   (2)

式中，m_n为齿轮的法向模数；H_o’,H_A,H_C’,H_A’分别为点O’,A,C’,A’在坐标系S-XOY下的纵坐标，L_C,L_O’分别为点C,O’在坐标系S-XOY下的横坐标。

轮齿匹配原理是指在一把齿条刀切出的两个点接触双抛物线齿轮在啮合时，上下两端抛物线应同时参与啮合，即齿顶抛物线的顶点A到轮齿对称线的距离加上齿根抛物线的顶点A’到轮齿对称线的距离应对于π/2个法向模数m_n，则有：

2L_C-L_A-L_A'-π/2·m_n＝0  (3)

齿廓曲线圆滑过渡原理是指连接上下两条抛物线的中间过渡圆弧应与齿顶抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，齿根过渡圆弧应与齿根抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，并且齿根过渡圆弧应与对称于齿槽中心线的另一齿根过渡圆弧平滑过渡。则有：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，k_B’表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点B’处的斜率；k_O表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点O处的斜率。

已知C点的高度系数H_C，C点到C’点的距离为π/2个法向模数，再结合直线和圆弧的几何特性一共得到十个方程式，求解十一个未知量。任意给定一个设计参数，下面给定圆弧高度系数H_O’，得到如下的十个彼此独立的方程式组成的方程组(5)求解十个未知数：L_C、L_O’、r、L_C’、H_C’、r’、L_P、H_P、L_P’、H_P’

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}^2/4\·{m_n}^2\·(-H_{O^{\′}}+H_A)-{(L_C-L_{O^{\′}})}^2\·(-2H_{C^{\′}}+H_A+H_{A^{\′}})=0\\ L_C-L_{C^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ 2L_C-L_A-L_{A^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ k_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\\ H_{P^{\′}}-H_{C^{\′}}=r^{\′}\\ {(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})}^2+{(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})}^2={\left(r^{\′}\right)}^2\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ {(H_P-H_{O^{\′}})}^2+{(L_P-L_{O^{\′}})}^2=r^2\\ H_P^2+L_P^2=r^2\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过求解，完全确定图中的C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心，得到完整的半个基本齿廓，通过镜像操作，得到一个点接触双抛物线齿轮的基本齿形，完成对点接触双抛物线齿轮的设计。

本发明的有益效果是：该方法采用两条能相切于顶点的抛物线分别作为原始齿廓的顶部曲线和根部曲线，能实现一对齿轮副的点接触，故设计的点接触双抛物线齿轮传动具有可分性，当存在中心距误差时，不会严重影响齿轮传动的承载能力，此外本发明采用了等强度的设计方法，能有效提高齿轮传动的承载能力。

下面结合附图和具体实施方式对本发明作详细说明。

附图说明

图1本发明方法设计的点接触双抛物线齿轮的原始抛物线。

图2本发明方法设计的点接触双抛物线齿轮的单侧基本齿形。

图3本发明方法设计的点接触双抛物线齿轮基本齿形。

具体实施方式

参照图1-3。本发明点接触双抛物线齿轮的设计方法具体步骤如下：

在坐标系S₁-X₁AY₁下，根据给定的初始抛物线系数A生成初始抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，用细实线表示，标记为PWX2。在此基础上，给出齿顶抛物线系数A₁和齿根抛物线系数A₂(满足A₁>A₂)，并生成两条相应的抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，分别标记为PWX1和PWX3，用点画线和双点画线表示。

建立坐标系S-XOY，其原点为初始抛物线PWX2的一个端点，坐标轴X,Y分别沿水平和竖直方向，根据初始抛物线下端点到抛物线顶点的高度参数h_A，以及抛物线顶点处压力角α_n，采用坐标变换的方法就可以确定坐标系S-XOY和坐标系S₁-X₁AY₁之间的变换关系，即

r(x,y,1)＝M₁·r₁(x₁,y₁,1)   (1)

其中，x,y为抛物线上的点在坐标系S-XOY的值，x₁,y₁为抛物线上的点在坐标系S₁-X1AY1的值，M₁为由坐标系S₁-X₁AY₁向坐标系S-XOY的变换矩阵。

至此，根据三个抛物线系数A,A₁,A₂以及两个高度系数h_A,h_B，确定了坐标系S-XOY下的三条抛物线段。

在坐标系S-XOY下，将抛物线段PWX3绕中心O旋转，即可得到旋转后的齿根抛物线段，其凹凸性与抛物线线段PWX2相反，将抛物线线段PWX2作为齿顶抛物线段。

为了上下两段抛物线段连接并形成完整的半个基本齿廓，需添加三段曲线。现已知上下两段抛物线段齿形OAB和O’A’B’，还需要确定图中的C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心即可以求出完整的半个基本齿廓。

下面根据等强度原理、轮齿匹配原理、齿廓曲线圆滑过渡原理三条基本原则，可以得到五个方程，其具体为：

上述等强度原理是指上下两端抛物线在啮合传动过程中，中间过渡圆弧终点的弯曲强度与齿根圆弧终点的弯曲强度相等。由于本发明所采用的两条抛物线在啮合过程中，理论上，上下两条抛物线的啮合状态一致，故接触强度相等，仅需考虑弯曲强度，另外，结合实际齿轮弯曲破坏一般有弯曲应力引起，所以在简化模型中仅考虑了弯曲应力，而忽略了剪切应力。当在A点和A’点分别施加一个单位的平行于X轴的水平分力时，在O’点和C’点的弯曲应力相等，则有：

π²/4·m_n ²·(-H_O'+H_A)-(L_C-L_O')²·(-2H_C'+H_A+H_A')＝0   (2)

式中，m_n为齿轮的法向模数；H_o’,H_A,H_C’,H_A’分别为点O’,A,C’,A’在坐标系S-XOY下的纵坐标，L_C,L_O’分别为点C,O’在坐标系S-XOY下的横坐标。在此说明，文中H*表示点*在坐标系S-XOY下的纵坐标，L*表示点*在坐标系S-XOY下的横坐标，后续不再解释。

上述轮齿匹配原理是指在一把齿条刀切出的两个点接触双抛物线齿轮在啮合时，上下两端抛物线应同时参与啮合，即齿顶抛物线的顶点A到轮齿对称线的距离加上齿根抛物线的顶点A’到轮齿对称线的距离应对于π/2个法向模数m_n，则有：

2L_C-L_A-L_A'-π/2·m_n＝0   (3)

上述齿廓曲线圆滑过渡原理是指连接上下两条抛物线的中间过渡圆弧应与齿顶抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，齿根过渡圆弧应与齿根抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，并且齿根过渡圆弧应与对称于齿槽中心线的另一齿根过渡圆弧平滑过渡。则有：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，k_B’表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点B’处的斜率；k_O表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点O处的斜率。

已知C点的高度系数H_C已知，C点到C’点的距离为π/2个法向模数，再结合直线和圆弧的几何特性一共得到十个方程式，要求求解十一个未知量。因此，此时可以任意给定一个设计参数，经试算，建议给定一个齿根圆弧高度系数(或中间过渡圆弧高度系数)进行求解。

下面给定圆弧高度系数H_O’，得到如下的十个彼此独立的方程式组成的方程组(5)求解十个未知数：L_C、L_O’、r、L_C’、H_C’、r’、L_P、H_P、L_P’、H_P’

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}^2/4\·{m_n}^2\·(-H_{O^{\′}}+H_A)-{(L_C-L_{O^{\′}})}^2\·(-2H_{C^{\′}}+H_A+H_{A^{\′}})=0\\ L_C-L_{C^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ 2L_C-L_A-L_{A^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ k_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\\ H_{P^{\′}}-H_{C^{\′}}=r^{\′}\\ {(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})}^2+{(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})}^2={\left(r^{\′}\right)}^2\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ {(H_P-H_{O^{\′}})}^2+{(L_P-L_{O^{\′}})}^2=r^2\\ H_P^2+L_P^2=r^2\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过求解，可以完全确定确定图中的C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心，则可以得到完整的半个基本齿廓，通过镜像操作，得到一个点接触双抛物线齿轮的基本齿形，完成了对点接触双抛物线齿轮的设计。

表1是设计一对相互啮合的点接触双抛物线齿轮基本齿形参数。

表1

A

A1

A2

mn

αn

HA

HB

HO’

0.08

0.085

0.079

4mm

25°

2mm

3.6mm

-0.8mm

图3是按照表1中给定参数设计出的一对相互啮合的点接触双抛物线齿轮基本齿形。从图3中可以看到，一对相互啮合的点接触双抛物线齿轮的顶部齿廓和根部齿廓彼此同时啮合，且啮合状态一致，表明了本设计方法的正确性。

Claims (1)

1.一种点接触双抛物线齿轮的设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤一、建立初始坐标系S₁-X₁AY₁，根据给定的初始抛物线系数A生成初始抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，标记为PWX2；在此基础上，给出齿顶抛物线系数A₁和齿根抛物线系数A₂，满足A₁>A₂，并生成两条相应的抛物线，顶点位于初始坐标系S₁-X₁AY₁的原点，分别标记为PWX1和PWX3；

建立坐标系S-XOY，其原点为初始抛物线PWX2的一个端点，坐标轴X,Y分别沿水平和竖直方向，根据初始抛物线下端点到抛物线顶点的高度参数h_A，以及抛物线顶点处压力角α_n，采用坐标变换的方法就可以确定坐标系S-XOY和坐标系S₁-X₁AY₁之间的变换关系，即

r(x,y,1)＝M₁·r₁(x₁,y₁,1)   (1)

其中，x,y为抛物线上的点在坐标系S-XOY的值，x₁,y₁为抛物线上的点在坐标系S₁-X1AY1的值，M₁为由坐标系S₁-X₁AY₁向坐标系S-XOY的变换矩阵；

至此，根据三个抛物线系数A,A₁,A₂以及两个高度系数h_A,h_B，确定了坐标系S-XOY下的三条抛物线段；

步骤二、在坐标系S-XOY下，将抛物线段PWX3绕中心O旋转，得到旋转后的齿根抛物线段，其凹凸性与抛物线线段PWX2相反，将抛物线线段PWX2作为齿顶抛物线段；

步骤三、添加三段曲线使上下两段抛物线段连接并形成完整的半个基本齿廓；已知上下两段抛物线段齿形OAB和O’A’B’，确定C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心，以求出完整的半个基本齿廓；

根据等强度原理、轮齿匹配原理、齿廓曲线圆滑过渡原理三条基本原则，得到五个方程，具体为：

等强度原理是指上下两端抛物线在啮合传动过程中，中间过渡圆弧终点的弯曲强度与齿根圆弧终点的弯曲强度相等；当在A点和A’点分别施加一个单位的平行于X轴的水平分力时，在O’点和C’点的弯曲应力相等，则有：

π²/4·m_n ²·(-H_O'+H_A)-(L_C-L_O')²·(-2H_C'+H_A+H_A')＝0   (2)

式中，m_n为齿轮的法向模数；H_o’,H_A,H_C’,H_A’分别为点O’,A,C’,A’在坐标系S-XOY下的纵坐标，L_C,L_O’分别为点C,O’在坐标系S-XOY下的横坐标；

轮齿匹配原理是指在一把齿条刀切出的两个点接触双抛物线齿轮在啮合时，上下两端抛物线应同时参与啮合，即齿顶抛物线的顶点A到轮齿对称线的距离加上齿根抛物线的顶点A’到轮齿对称线的距离应对于π/2个法向模数m_n，则有：

2L_C-L_A-L_A'-π/2·m_n＝0   (3)

齿廓曲线圆滑过渡原理是指连接上下两条抛物线的中间过渡圆弧应与齿顶抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，齿根过渡圆弧应与齿根抛物线平滑过渡，连接处不能出现奇异点，并且齿根过渡圆弧应与对称于齿槽中心线的另一齿根过渡圆弧平滑过渡；则有：

$\left\{\begin{array}{c}{k}_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\end{array}\right.---\left(4\right)$

式中，k_B’表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点B’处的斜率；k_O表示在坐标系S-XOY下齿廓曲线在点O处的斜率；

已知C点的高度系数H_C，C点到C’点的距离为π/2个法向模数，再结合直线和圆弧的几何特性一共得到十个方程式，求解十一个未知量；任意给定一个设计参数，下面给定圆弧高度系数H_O’，得到如下的十个彼此独立的方程式组成的方程组(5)求解十个未知数：L_C、L_O’、r、L_C’、H_C’、r’、L_P、H_P、L_P’、H_P’

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\π}}^2/4\·{m_n}^2\·(-H_{O^{\′}}+H_A)-{(L_C-L_{O^{\′}})}^2\·(-2H_{C^{\′}}+H_A+H_{A^{\′}})=0\\ L_C-L_{C^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ 2L_C-L_A-L_{A^{\′}}-\mathrm{\π}/2\·m_n=0\\ k_{B^{\′}}\·(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})+(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})=0\\ L_{P^{\′}}-L_{C^{\′}}=0\\ H_{P^{\′}}-H_{C^{\′}}=r^{\′}\\ {(H_{P^{\′}}-H_{B^{\′}})}^2+{(L_{P^{\′}}-L_{B^{\′}})}^2={\left(r^{\′}\right)}^2\\ H_P\·k_O+L_P=0\\ {(H_P-H_{O^{\′}})}^2+{(L_P-L_{O^{\′}})}^2=r^2\\ H_P^2+L_P^2=r^2\end{array}\right.---\left(5\right)$

通过求解，完全确定图中的C、O’、C’三点坐标和两圆弧半径和圆心，得到完整的半个基本齿廓，通过镜像操作，得到一个点接触双抛物线齿轮的基本齿形，完成对点接触双抛物线齿轮的设计。