CN109657388A - 基于线面共轭的对构齿轮啮合副及其设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副及其设计方法，涉及齿轮传动技术领域。包括第一齿轮和第二齿轮，第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副；线面共轭齿轮副包括连续相切接触的曲面Σ1和曲线Г1，曲面Σ1位于第一齿轮上，曲面Σ1上仅有一条曲线与曲线Г1接触；在预定时刻，曲线Г1与曲面Σ1保持点接触，且预定时刻，曲线Г1与曲面Σ1的接触点唯一；曲线Г1为光滑曲线，曲面Σ1为光滑曲面。解决了现有技术中，线面共轭的渐开线齿轮传动装置是基于渐开线建立的，齿形具有一定的局限性的技术问题。本发明的线面对构齿轮不仅具有中心距可分性，也具有对轴线偏斜误差和俯仰误差的适应能力，适用范围广。

Description

基于线面共轭的对构齿轮啮合副及其设计方法

技术领域

本发明涉及齿轮传动装置技术领域，尤其是涉及一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副及其设计方法。

背景技术

齿轮作为一种典型的机械基础件，在很大程度上决定着装备的性能，因而针对高性能齿轮传动元件的设计也具有十分重要的意义和工程实用价值。

现有圆柱齿轮啮合副中应用最广的是渐开线齿轮，渐开线齿轮啮合副是面和面共轭，两个面之间的接触形成线接触，齿形为渐开线，渐开线齿轮具有中心距可分性的优点，但是不能应对齿轮轴线的偏斜或者俯仰误差，而且线接触的齿轮滑动率较高，对齿面的磨损、传动效率及齿轮寿命有不利的影响。

基于上述问题，提出了线面共轭的渐开线齿轮传动装置，这种齿轮的滑动率小，可以实现凸凹类型的齿面接触，齿轮的承载能力强，但是线面共轭的渐开线齿轮传动装置仍然是基于渐开线建立的，齿形仍具有一定的局限性，而且也无法解决齿轮的轴线偏差和俯仰误差的问题。

发明内容

本发明的目的在于提供一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副，以解决现有技术中存在的，线面共轭的渐开线齿轮传动装置是基于渐开线建立的，齿形具有一定的局限性，无法解决齿轮的轴线偏差和俯仰误差的技术问题。

本发明还提供了一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，以解决现有技术中存在的，线面共轭的渐开线齿轮传动装置是基于渐开线建立的，齿形具有一定的局限性，无法解决齿轮的轴线偏差和俯仰误差的技术问题。

本发明提供的一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副，包括第一齿轮和第二齿轮，所述第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副：

所述线面共轭齿轮副包括连续相切接触的曲面∑₁和曲线所述曲面∑₁位于所述第一齿轮上，所述曲面∑₁上仅有一条曲线与曲线接触；在预定时刻，曲线与曲面∑₁保持点接触，且预定时刻，曲线与曲面∑₁的接触点唯一；

所述曲线为光滑曲线，所述曲面∑₁为光滑曲面。

本发明提供的一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，包括如下步骤：

i)确定第一齿轮的曲面∑1方程为：

其中，u，v为曲面参数；

ii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线方程为：

其中，φ为空间参数；

iii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线的法向量(n_x2，n_y2，n_z2)为：

iv)由公式n·v⁽¹²⁾＝0，确定曲线与曲面∑₁的啮合方程；

v)根据接触迹线在固定坐标系S₁下的方程与啮合方程，确定共轭曲线；

vi)根据共轭曲线，确定第二齿轮齿面∑₂方程。

进一步的，步骤v中还包括步骤：

建立固定坐标系S₁与动坐标系S₂，固定坐标系S₁与动坐标系S₂分别与曲线与曲面∑₁固联；

确定动坐标系S₂与固定坐标系S₁之间的转化矩阵：

其中，为曲线转过的角度，为曲面∑₁转过的角度。

进一步的，步骤iv中还包括：

确定所述动坐标系S₂相对于固定坐标系S₁的相对运动速度v⁽¹²⁾；

其中，ω₁为曲线转动的角速度，ω₂为曲面∑₁转动的角速度。

进一步的，步骤vi中还包括：

选取法截面曲线为

其中，x(t)和z(t)为参数t的函数；

所述位于曲线的法平面上，且与曲线相交于一点，所述曲线穿过相交点且曲线在相交点的主法矢方向和曲面∑₁在相交点的主法线方向一致；

确定齿面∑₂方程：

其中，为曲面∑₂在相交点的主法线向量，为曲面∑₂上接触轨迹在接触点处的切矢量，由得到。

本发明提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副，所述第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副，所述第一齿轮齿廓保持不变，所述曲面∑₁位于所述第一齿轮上，所述曲面∑₁上仅有一条曲线与曲线接触；在每一时刻t，曲线与曲面∑₁保持点接触，且曲面∑₁每一点都在唯一的时刻t进入接触，即曲线与曲面∑₁存在唯一的接触点；所述曲线为光滑曲线，所述曲面∑₁为光滑曲面，实现对构齿轮啮合副的线面共轭。

本发明提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，先根据已知的第一齿轮确定第一齿轮的曲面∑₁的方程；之后确定第一齿轮的齿面上的接触迹线的方程；根据接触迹线的方程确定接触迹线的法向量之后，由公式n·v⁽¹²⁾＝0，确定曲线与曲面∑₁的啮合方程；根据接触迹线在固定坐标系S₁下的方程与啮合方程，确定共轭曲线；根据共轭曲线，确定第二齿轮齿面∑₂方程，实现对第二齿轮齿面方程的确定，第一齿轮与第二齿轮的接触理论基础是线面啮合，具有对齿轮轴线偏斜、俯仰误差的适应能力强及中心距可分性的特点，且第一齿轮与第二齿轮的实际接触状态为点接触，齿面间接近理论纯滚动，滑动率小；而且齿面接触类型不限于凸凸接触，也可以是凸凹接触，适用范围广，可以提高齿轮的承载能力。

附图说明

为了更清楚地说明本发明具体实施方式或现有技术中的技术方案，下面将对具体实施方式或现有技术描述中所需要使用的附图作简单地介绍，显而易见地，下面描述中的附图是本发明的一些实施方式，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其他的附图。

图1为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的选取示意图；

图2为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的选取示意图；

图3为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的模拟示意图；

图4为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的法线方向的示意图；

图5(a)为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的法线方向的示意图一；

图5(b)为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的接触迹线的法线方向的示意图一；

图6为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的空间坐标系；

图7为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的相对运动速度的空间坐标系；

图8为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的共轭曲线的示意图；

图9为本发明实施例提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的啮合线的示意图；

图10为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的齿面的结构图的模拟示意图；

图11(a)为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的齿面的结构图的仿真示意图一；

图11(b)为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的齿面的结构图的仿真示意图二；

图11(c)为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的齿面的结构图的仿真示意图三；

图12为本发明实施例一提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的小齿轮的模型示意图；

图13为本发明实施例二提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的包络法求解齿形方程的结构示意图；

图14为本发明实施例三提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法的齿形法线法求解齿形方程的结构示意图；

表1为齿轮副参数。

具体实施方式

下面将结合附图对本发明的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。

在本发明的描述中，需要说明的是，如出现术语“中心”、“上”、“下”、“左”、“右”、“竖直”、“水平”、“内”、“外”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。此外，如出现术语“第一”、“第二”、“第三”仅用于描述目的，而不能理解为指示或暗示相对重要性。

在本发明的描述中，需要说明的是，除非另有明确的规定和限定，如出现术语“安装”、“相连”、“连接”应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或一体地连接；可以是机械连接，也可以是电连接；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通。对于本领域的普通技术人员而言，可以具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

本发明提供了一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副，所述基于线面共轭的对构齿轮啮合副包括第一齿轮和第二齿轮，所述第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副，所述第一齿轮齿廓保持不变；所述线面共轭齿轮副包括连续相切接触的曲面∑₁和曲线所述曲面∑₁位于所述第一齿轮上，所述曲面∑₁上仅有一条曲线与曲线接触；在预定时刻，曲线与曲面∑₁保持点接触，且预定时刻，曲线与曲面∑₁的接触点唯一；所述曲线为光滑曲线，所述曲面∑₁为光滑曲面。

本发明提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副，如图1所示，所述第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副，所述曲面∑₁位于所述第一齿轮上，所述曲面∑₁上仅有一条曲线与曲线接触；在每一时刻t，曲线与曲面∑₁保持点接触，且曲面∑₁每一点都在唯一的时刻t进入接触，即曲线与曲面∑₁存在唯一的接触点；所述曲线 为光滑曲线，所述曲面∑₁为光滑曲面，实现对构齿轮啮合副的线面共轭。

实施例一

本发明提供了一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，所述基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法包括如下步骤：i)确定第一齿轮的曲面∑₁方程为：其中，u，v为曲面参数；ii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线方程为：其中，φ为空间参数；iii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线的法向量(n_x2，n_y2，n_z2)为：iv)由公式n·v⁽¹²⁾＝0，确定曲线与曲面∑₁的啮合方程；v)根据接触迹线在固定坐标系S₁下的方程与啮合方程，确定共轭曲线；vi)根据共轭曲线，确定第二齿轮齿面∑₂方程。

本发明以内啮合齿轮为例，如图2所示，第一齿轮已知为内啮合齿轮，内啮合端面齿廓为一端渐开线，其方程可以表示为：

其中，r为基圆半径，θ渐开线参数。

斜齿轮齿面可以由渐开线上的每一点绕旋转轴z轴做相同的螺旋运动得到，即一方面绕z轴等速转动，同时沿z轴做等速直线运动。因此，内齿轮齿面方程可表示为：

两式合并，得曲面∑₁方程：

其中，α为绕z轴旋转的角度。

之后，在第一齿轮上选取接触迹线确定的方程：

具体地，线面啮合对构齿轮的接触轨迹可根据需要进行选择，即在已经第一齿轮上指定一条光滑连续曲线作为接触迹线。对于内齿轮，在其齿面上可以选取无数条曲线，选取的方法多种多样。在第一齿轮的曲面∑₁上确定起始点和终止点后，可以确定一条最短的曲线，假定曲面参数θ与α存在最简单的线性关系：

α＝kθ+b

其中，B为齿宽，p为螺旋参数，θ的范围为θ₁≤θ≤θ₂，θ₁，θ₂为曲面上的起始点与终止点处θ的值。

因此，内齿轮上的接触迹线可以表示为：

如图3所示，在MATLAB软件中模拟接触迹线，与一般点啮合斜齿轮不同的是，啮合迹线不是圆柱螺旋线，而是一条从齿根到齿顶的光滑曲线。

之后，对按照公式进行运算，

如图4所示，确定内齿轮曲面∑1上接触迹线的法线方向

需要说明的是，对于所得到的法向量不同方向代表不同的啮合形式。如图5(a)所示，当法向量指向曲面凸的方向时，构建出来的齿轮副为外啮合方式，如图5(b)所示，当法向量指向曲面凹向时，所构建出来的齿轮副为内啮合方式。

之后根据公式n·v⁽¹²⁾＝0，确定曲线与曲面∑₁的啮合方程；

之后根据公式

确定共轭曲线；

最后，根据共轭曲线，确定第二齿轮齿面∑₂方程。

本发明提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，第一齿轮与第二齿轮的接触理论基础是线面啮合，具有对齿轮轴线偏斜、俯仰误差的适应能力强及中心距可分性的特点，且第一齿轮与第二齿轮的实际接触状态为点接触，齿面间接近理论纯滚动，滑动率小；而且齿面接触类型不限于凸凸接触，也可以是凸凹接触，适用范围广，可以提高齿轮的承载能力。

进一步地，步骤v中还包括步骤：建立固定坐标系S₁与动坐标系S₂，固定坐标系S₁与动坐标系S₂分别与曲线与曲面∑₁固联；确定动坐标系S₂与固定坐标系S₁之间的转化矩阵： 其中，为曲线转过的角度，为曲面∑₁转过的角度。

具体地，在步骤v中需要首先建立固定坐标系S₁与动坐标系S₂，其中固定坐标系S₁与动坐标系S₂分别与曲线与曲面∑₁固联，如图6所示，其中S_o(O_o-x_o，y_o，z_o)及S_p(O_p-x_p，y_p，z_p)是两个在空间固定的坐标系，z轴与曲线的回转轴线重合，Z_p轴与曲面∑₁的回转轴线重合。x轴与x_p轴重合，该方向为两轴线最短距离方向，即中心距α。固定坐标系S₁(O₁-x₁，y₁，z₁)及动坐标系S₂(O₂-x₂，y₂，z₂)在起始位置时分别与S_o(O_o-x_o，y_o，z_o)及S_p(O_p-x_p，y_p，z_p)重合。曲线以角速度ω₁绕z₀轴转动，曲面∑₁以角速度ω₂绕z_p轴转动。从起始位置经过一段时间后，曲线转过角，曲面∑₁转过角。

根据图6所示，动坐标系S₂与固定坐标系S₁之间的转换关系为：

由此根据公式可以求得接触迹线在固定坐标系S₁下的方程。

进一步地，步骤iv中还包括：确定所述动坐标系S₂相对于固定坐标系S₁的相对运动速度v⁽¹²⁾；其中，ω₁为曲线转动的角速度，ω₂为曲面∑₁转动的角速度。

如图7所述，为使矢量运算方便，令i₂，j₂，k₂为坐标轴x₂，y₂，z₂的单位矢量，点p_t为空间中曲线与曲面任意接触点，其在坐标系S₂坐标值为(x₂，y₂，z₂)；曲线和曲面∑₁分别在坐标系S₂中的角速度分别用矢量表示为

其中，ω₁为曲线角速度的模，ω₂为曲面∑₁角速度的模。

如图7所示，

r²＝O₂P_t＝x₂i₂+y₂j₂+z₂k₂

P_t点随曲线和曲面∑₁运动时在坐标系S_o下的速度分别为

同时，坐标系S₂中曲线和曲面∑₁在点P_t的相对运动速度可以表示为

如果写成

综上所述，可得

由公式n.v⁽¹²⁾＝0，进而得出啮合方程：

令A＝i₁₂an_x2，B＝i₁₂an_y2，M＝(i₁₂-1)(x₂n_y2-y₂n_x2)

i₁₂为传动比，且

可得啮合方程的简化形式：

之后，根据接触迹线在固定坐标系S₁下的方程与啮合方程，确定共轭曲线：

之后，运用MATLAB，按照上述的步骤，所求得的共轭曲线如图8所示。

进一步地，步骤vi中还包括：选取法截面曲线为 其中，x(t)和z(t)为参数t的函数；所述位于曲线的法平面上，且与曲线相交于一点，所述曲线穿过相交点且曲线在相交点的主法矢方向和曲面∑₁在相交点的主法线方向一致；确定齿面∑₂方程： 其中，为曲面∑₂在相交点的主法线向量，为曲面∑₂上接触轨迹在接触点处的切矢量，由得到。

实施例一中采用法截面法来进行第二齿轮齿面的构建；

具体地，如图9所示，第二齿轮齿面可由法截面曲面沿着共轭曲线连续变化而构建。法截面可由任意光滑曲线构成，根据公式可得，法截面齿廓方程可以表示为：

其中，k₁为齿面圆弧半径。

根据矢量间关系及必要的矩阵变换，可以计算出法向量β的方程表达式：

切矢α可表示为

副法矢γ可以由表达式γ＝α×β确定，得到

求得其单位向量为：

由此，得到第二齿轮的齿面方程：

构建的曲面如图10所示。

进一步地，所述法截面为圆弧或者双曲线齿廓。

优选地，综合考虑齿面承载能力及加工方便性，法截面选取圆弧或者双曲线齿廓，本实施例以圆弧齿廓作为研究对象。

进一步地，还包括步骤vii：根据齿轮齿面方程，编写程序，求解齿面方程。

齿面方程得出后，运用MATLAB编写程序，得到第二齿轮齿面的结构图，如图10所示。

构建曲线曲面啮合副后，在MATLAB中进行啮合仿真，如图11所示，具体参数见表1，图11(a)为啮合起点，图11(b)为啮合中任意位置，图11(c)为啮合终点，可以看出，曲线与曲面始终保持点接触，分别沿着啮合线啮合，啮合点清晰可见，啮合点在曲面上的轨迹与所求啮合迹线一致。

进一步地，还包括步骤viii：根据求解的齿面方程，计算齿面上点的坐标，将齿面上点的坐标导入三维软件中，由三维软件生成轮齿实体模型。

之后依据表1中齿轮设计参数，将齿面数据点采集并导入UG三维设计软件中，建立函数关系式约束齿顶圆、齿根圆、分度圆等尺寸，通过曲面造型等功能建立完整的齿轮模型，如图12所示。

实施例二

本实施例与实施例一不同的是，步骤vi采用包络法确定齿轮齿形方程。

具体地，如图13所示，设想齿轮2固定不动，把瞬心线I在瞬心线∏上纯滚动，齿形1就在齿轮2的平面上形成曲线族。由于齿形2与齿形1在每个瞬时都是相切接触的，从数学上讲，齿形2就应是齿形1形成的曲线族的包络。用这个原理，可以由齿轮副的运动规律及齿形1求得齿形2，这种方法称为包络法。

由一个齿轮的齿形包络出另一个齿轮的齿形，这种现象在用展成法加工齿轮时可以观察地很清楚，例如，在插齿时把插齿刀的齿形(包括侧刃及顶刃)作为齿形1，在展成过程中它就逐步地包络出工件的齿形2。

实施例三

本实施例与实施例一不同的是，步骤vi采用齿形法线法确定齿轮齿形方程。

具体地，令齿轮1及2都作转动，设在某一瞬时，齿形1在图14中实线所示的位置，根据n·v＝0的条件，可以在齿轮1上求得一点M，它的法线通过瞬心点P，则M就是这个瞬时齿形1和2的接触点。齿轮1转过一个角度，齿形转到图13中虚线所示的位置时，同样可以求得法线通过点P的点M′，则M′又是这个瞬时两个齿形的接触点。用这种方法求得齿轮1转动过程中的一系列接触点位置，它在固定平面中的轨迹就称为啮合线(因为两个齿形是沿着这条线连续地发生啮合的)。接触点在转动着的齿轮2平面上的轨迹就是要求的齿形2。

本发明提供的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法不止局限于渐开线齿轮，而且第一齿轮与第二齿轮的接触理论基础是线面啮合，具有对齿轮轴线偏斜、俯仰误差的适应能力强及中心距可分性的特点，且第一齿轮与第二齿轮的实际接触状态为点接触，齿面间接近理论纯滚动，滑动率小；而且齿面接触类型不限于凸凸接触，也可以是凸凹接触，适用范围广，可以提高齿轮的承载能力。

最后应说明的是：以上各实施例仅用以说明本发明的技术方案，而非对其限制；尽管参照前述各实施例对本发明进行了详细的说明，本领域的普通技术人员应当理解：其依然可以对前述各实施例所记载的技术方案进行修改，或者对其中部分或者全部技术特征进行等同替换；而这些修改或者替换，并不使相应技术方案的本质脱离本发明各实施例技术方案的范围。

Claims (5)

1.一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副，其特征在于，包括第一齿轮和第二齿轮，所述第一齿轮与第二齿轮形成线面共轭齿轮副；

所述线面共轭齿轮副包括连续相切接触的曲面Σ₁和曲线所述曲面Σ₁位于所述第一齿轮上，所述曲面Σ₁上仅有一条曲线与曲线接触；在预定时刻，曲线与曲面Σ₁保持点接触，且预定时刻，曲线与曲面Σ₁的接触点唯一；

所述曲线为光滑曲线，所述曲面Σ₁为光滑曲面。

2.一种基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，其特征在于，包括如下步骤：

i)确定第一齿轮的曲面Σ1方程为：

其中，u，v为曲面参数；

ii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线方程为：

其中，φ为空间参数；

iii)确定第一齿轮的齿面上的接触迹线的法向量 为：

iv)由公式n·v⁽¹²⁾＝0，确定曲线与曲面Σ₁的啮合方程；

v)根据接触迹线在固定坐标系S₁下的方程与啮合方程，确定共轭曲线；

vi)根据共轭曲线，确定第二齿轮齿面Σ₂方程。

3.根据权利要求2所述的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，其特征在于，步骤v中还包括步骤：

建立固定坐标系S₁与动坐标系S₂，固定坐标系S₁与动坐标系S₂分别与曲线与曲面Σ₁固联；

确定动坐标系S₂与固定坐标系S₁之间的转化矩阵：

其中，为曲线转过的角度，为曲面Σ₁转过的角度。

4.根据权利要求3所述的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，其特征在于，步骤iv中还包括：

确定所述动坐标系S₂相对于固定坐标系S₁的相对运动速度v⁽¹²⁾；

其中，ω₁为曲线转动的角速度，ω₂为曲面Σ₁转动的角速度。

5.根据权利要求4所述的基于线面共轭的对构齿轮啮合副的设计方法，其特征在于，步骤vi中还包括：

选取法截面曲线为

其中，x(t)和z(t)为参数t的函数；

所述位于曲线的法平面上，且与曲线相交于一点，所述曲线穿过相交点且曲线在相交点的主法矢方向和曲面Σ₁在相交点的主法线方向一致；

确定齿面Σ₂方程：

其中，为曲面Σ₂在相交点的主法线向量，为曲面Σ₂上接触轨迹在接触点处的切矢量，由得到。